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专题 22.3 二次函数综合——面积问题
【典例1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−4交x轴于A(−3,0)，B两点，交y轴于点
C，CD∥x轴，交抛物线于点D，AC=CD．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线AD上方的抛物线上是否存在一点Q，连接AQ，DQ，使S =8，若存在，求点Q的横坐
△AQD
标；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）根据抛物线解析式确定点C(0,−4)，根据勾股定理，得到AC=CD=5，确定抛物线的对称轴，把点
A代入解析式计算即可．
（2）设Q ( m, 1 m2− 5 m−4 ) ，分类用m的代数式表示三角形的面积，建立方程计算即可．
6 6
【解题过程】
解：（1）∵y=ax2+bx−4，
令x=0，得y=−4.
∴C(0,−4).
∴OC=4.
∵A(−3,0)，
∴OA=3.
∴ .
AC=❑√OA2+OC2=5
∴CD=5.5
∴抛物线对称轴为x= ，
2
b 5
∴− = .
2a 2
∴b=−5a.
将点A(−3,0)代入y=ax2−5ax−4中，
1
得a= .
6
5
∴b=−5a=− ，
6
1 5
∴抛物线解析式为y= x2− x−4．
6 6
（2）∵CD=5，C(0,−4)，
∴D(5,−4).
设Q ( m, 1 m2− 5 m−4 ) ，
6 6
当m<−3时，
设直线QD的解析式为y=kx+b，
{ mk+b= 1 m2− 5 m−4)
∴ 6 6 ，
5k+b=−4
1
{ k= m )
6
解得 ，
5
b=− m−4
6
m 5m
∴直线QD的解析式为y= x− −4.
6 6
过点A作AE∥y轴，交QD于点E，( 4 )
则E −3,− m−4 ,
3
4
∴AE=− m−4,
3
1 1( 4 )
∴S = AE(x −x )= − m−4 (5−m),
△ADQ 2 D Q 2 3
∵S =8,
△AQD
1( 4 )
∴ − m−4 (5−m)=8，
2 3
解得 （舍去）
m =1−2❑√7,m =1+2❑√7
1 2
故Q的横坐标为1−2❑√7；
当m>5时，
设直线Q′ A的解析式为y=px+q，
{ mp+q= 1 m2− 5 m−4)
∴ 6 6 ，
−3p+q=0
1
{ p= (m−8))
6
解得 ，
1
q= (m−8)
2
m−8 m−8
∴直线Q′ A的解析式为y= x+ .
6 2
( 4 )
过点D作DG∥y轴，交Q′ A于点G，则G 5, (m−8) ,
34
∴GD= (m−5),
3
1 1 4 2
∴S = GD(x −x )= × (m−5)(m+3)= (m−5)(m+3),
△ADQ 2 Q A 2 3 3
∵S =8,
△AQD
2
∴ (m−5)(m+3)=8，
3
解得 （舍去）
m =1+2❑√7,m =1−2❑√7
1 2
故Q的横坐标为m=1+2❑√7；
∴点Q的横坐标为m=1+2❑√7或1−2❑√7．
1
1．（2023·山东菏泽·统考二模）已知抛物线y=− x2+bx+4的对称轴是直线x=3，与x轴相交于A，B两
4
点（点B在点A右侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），是否存在点P，使四边形
PBOC的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形PBOC面积的最大值；若不存在，请说明理由．2．（2023秋·河南·九年级校联考期末）如图，已知抛物线y=−x2+bx+c与直线y=x+1交于A(a,0)，
C(3,4)两点．
（1）求a的值及抛物线的解析式；
（2）若点P是位于直线AC上方的抛物线上的一个动点，求△APC面积的最大值及此时点P的坐标．
3．（2022春·九年级单元测试）如图，抛物线y=ax2+bx+5经过点A(−5,0),B(−4,−3)，与x轴的另一
个交点为C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P为抛物线上一动点（与点B，C不重合），设点P的横坐标为t，连接PB，PC，若点P在直线
BC的下方运动，当△PBC的面积最大时，求t的值．
4．（2023秋·山东济宁·九年级统考期末）如图，抛物线y=mx2+3mx+3(m<0)与y轴交于C点，与x轴
交于A，B两点，点A在点B的左侧，且OC=3OB．（1）求此抛物线的解析式；
（2）求A点坐标和抛物线的对称轴；
（3）如果点M是线段AC上方抛物线上的动点，设M点的横坐标为t，△ACM的面积为S，求S与t的关系
式，并求当S最大时M点的坐标．
1 1
5．（2023·全国·九年级专题练习）如图一，已知直线y=− x与抛物线y=− x2+6交于A、B两点，抛
2 4
物线与y轴交于C．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）设抛物线与x轴的两个交点M、N（M在N左侧），请计算△AOM和△BON的面积；
（3）在抛物线A、B两点之间有一动点P，△APB的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大面积；若
不存在，请说明理由；2
6．（2023秋·江苏宿迁·九年级统考期末）如图，二次函数y=− x2+bx+c的图像与x轴交于A(−1,0)、
3
C(3,0)两点，与y轴交于点B．点P是直线BC上方抛物线上的一个动点，连接PB、PC．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）设△PBC的面积为S，点P的横坐标为m，求S与m之间的函数表达式；
（3）点P在运动过程中，能否使△PBC的面积S恰好为整数？若能，请求出m的值；若不能，请说明理
由．
7．（2020秋·广东广州·九年级广州市第十三中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为
(−3,−4)，线段OB绕原点逆时针旋转后与x轴的正半轴重合，点B的对应点为点A．
（1）直接写出点A的坐标，并求出经过A、O、B三点的抛物线的解析式．
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点C，使BC+OC的值最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，
请说明理由．
（3）点P是抛物线上的一个动点，且在x轴的上方，当点P运动到什么位置时，△PAB的面积最大？求出
此时点P的坐标和△PAB的最大面积．8．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）如图，顶点M在y轴负半轴上的抛物线与直线
y=x+2相交于点A(−2,0)，B(4,6)，连接AM，BM.
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若将抛物线向下平移3个单位长度，则在平移后的抛物线上，且在直线AB的下方，是否存在点P，
11
使得S = S ？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由.
△ABP 8 △ABM
9．（2022秋·天津滨海新·九年级校考期中）如图，已知抛物线y=x2−2x+c与x轴交于A，B两点，与y
轴交于C点，抛物线的顶点为D点，点A的坐标为(−1,0)．
（1）求D点的坐标；
（2）连接BC、CD，说明∠BCD=90°；
（3）若点P是直线BC下方抛物线上一动点，当点P位于何处时，△PBC的面积最大？求出此时点P的坐
标．10．（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考模拟预测）已知抛物线y=−x2+bx+c交x轴于
A(−1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C．
（1）求b，c的值；
（2）已知P为抛物线y=−x2+bx+c一点（不与点B重合），若点P关于x轴对称的点P′恰好在直线BC
上，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，平移抛物线y=−x2+bx+c，使其顶点始终在直线y=x上，且与PP′相交于点
Q，求△QBP′面积的最小值．
11．（2022秋·山西大同·九年级大同一中校考阶段练习）如图，已知抛物线y=−x2+mx+3与x轴交于A，
B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为(3,0)，
（1）求m的值及抛物线的顶点坐标
（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标．
（3）点E为抛物线在第一象限上的一个点，连接BE，CE，当△BCE的面积最大时，求出△BCE的最大
面积和点E的坐标；
12．（2023秋·广东韶关·九年级统考期末）如图，已知抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A(−1,0)，B(5,0)
两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上存在一点P，使得PA+PC的值最小，此时点P的坐标为______；
（3）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（不与点C，B重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线
BC于点E，连接BD，直线BC把△BDF的面积分成两部分，使S :S =3:2，请求出点D的坐标．
△BDE △BEF
13．（2023秋·黑龙江大庆·九年级统考期末）如图，抛物线 与 轴相交于 、 两点，与 轴
y=(x+1) 2+k x A B y
相交于点C(0,−3)．
（1）求抛物线的对称轴及k值；
（2）抛物线的对称轴上存在一点P，使得PA+PC的值最小，求此时点P的坐标；
（3）点M是抛物线上一动点，且在第三象限，当M点运动到何处时，四边形AMCB的面积最大？求出四
边形AMCB的最大面积．
14．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x
轴交于点A(−2,0)和点B(6,0)两点，与y轴交于点C(0,6)．点D为线段BC上的一动点．（1）求二次函数的表达式；
（2）如图1，求△AOD周长的最小值；
（3）如图2，过动点D作DP∥AC交抛物线第一象限部分于点P，连接PA,PB，记△PAD与△PBD的面
积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．
15．（2022秋·浙江嘉兴·九年级平湖市林埭中学校联考期中）已知：m，n是方程x2−6x+5=0的两个实
数根，且m0)与x轴分别交于A，B两点（点A在点B
的左侧），与y轴交于点P．直线y=kx+b(k≠0)经过点B，与y轴正半轴和抛物线分别交于C，D两点．
（1）如图1，当点P的坐标为(0,−1)，且△PAB的面积为1时，求该抛物线的表达式；
（2）在（1）的条件下，若∠DAC=90°，求k的值；
（3）如图2，过点D作DE⊥x轴于点E．判断△PAE的面积与△OBC的面积之间的数量关系，并说明理
由．20．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物
线y=ax2+bx+3交x轴负半轴于点A，交x轴正半轴于点B，交y轴于点C，且A(−3,0)，B(1,0)
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）如图1，点P为第三象限抛物线上的点，设点P的横坐标为t，△PAC面积S ，求S 与t的函数解析式
1 1
（直接写出自变量t的取值范围）；
（3）如图2，在（2）的条件下，Q为CA延长线上的一点，QB与AP交于点M，若S =S ，求
1 △ABC
S S 的最大值．
△QBC− △QMA
S S
△PBC △BMP
