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第 7 节 函数的图象与方程
（本卷满分150分，考试时间120分钟）
一、单选题
1．若 是二次函数 的两个零点，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，令 ，解得 或 ，
不妨设 ，代入可得 .故选：D.
2．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在(1，1.5)内的近似解的过程中，有
f（1）<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则该方程的根所在的区间为（ ）
A．(1，1.25) B．(1.25，1.5)
C．(1.5，2) D．不能确定
【答案】B
【解析】∵f(1.25)·f(1.5)<0，且f(x)是单调增函数，∴该方程的根所在的区间为(1.25，1.5)．
故选：B.
3．函数 的零点所在的区间可能是（ ）
A． B． ， C． ， D． ，
【答案】B
【解析】因为 ，
所以 ，又函数 图象连续且在 单调递增，
所以函数 的零点所在的区间是 ， ，故选：B．
4．函数 的部分图象是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 定义域为R.
∵ ，
∴ 为奇函数，其图像关于原点对称，排除A、B；
对于CD，令 ，解得： ，即 有三个零点，如图示，
取 ，有 ，
∵ ，∴ .排除C；故选：D
5．函数 的零点所在区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为 在 上单调递减，且 ， ，
所以 的零点所在区间为 ．故选：B.6．函数 的部分图大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为函数 ，为偶函数，函数图象关于 轴对称，故排除AB；
又 ，∴ ，故排除D.故选：C.
7．已知函数 ，则 的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据题意， ，所以 ， 在区间 上，在 轴下方有图象，排除 ，又 ，而 ，有 ，
不会是增函数，排除 ，故选： ．
8．函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由函数的解析式可得： ，则函数 为奇函数，其图象关
于坐标原点对称，选项CD错误；当 时， ，选项B错误.
故选：A.
9．若函数 有且只有一个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】当 时，因为 ，所以有一个零点，
所以要使函数 有且只有一个零点，
则当 时，函数 没有零点即可，
当 时， ， ， ，
所以 或 ，即 或 .
即 的取值范围是 .故选：B.10．已知函数 有唯一的零点，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，所以，
，所以，函数
的图象关于直线 对称，若 ，则函数 的零点必成对出现，即函数
的零点个数为偶数，不合乎题意.由于函数 有唯一零点， ，解得
.故选：B.
11．已知函数 在 上的值域为 ，其中 ，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】易知函数 在 上单调递增，
故 即关于 的方程 有两个不同的实数根.
令 ，
易知函数 在 上单调递减.在 上单调递增.
而 ， ，
作出函数 的大致图象如图所示，
观察可知 .故选：A12．对于函数 ，若在定义域内存在实数 ，满足 ，则称 为“局
部奇函数”.已知 在 上为“局部奇函数”，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，所以 ，则
.因为 （当且仅当 时，等号成立），所以 ，即
.故选：B．
二、填空题
13．已知定义在 上的偶函数 ，当 时， 若
函数 恰有六个零点，且分别记为 则
的取值范围是________
【答案】
【解析】根据题目条件，作出函数 在 上的图像，如图所示：
设 的六个零点，自左到右为 ，则 ，
由对称性知： ，又 ，
则 ，
故 ，
易知 ，则 ，故答案为：
14．已知函数 则函数 的所有零点之和为___________.
【答案】【解析】 时， ， ，由 ，可得 或 ，
或 ； 时， ， ，由 ，可得 或 ， 或
； 函数 的所有零点为 ， ， ， ，所以所有零点的和为
故答案为： ．
15．已知函数 ，若 且 ，则 的最小值是
________．
【答案】
【解析】作出函数 的大致图象如图所示，
设 ，则 ．
由 ，可得 ；由 ，可得 ．
令 ，其中 ，则 ．
由 ，得 ．
当 时， ，则 在 上单调递减；
当 时， ，则 在 上单调递增．
所以 ．即 的最小值为 ．
故答案为：
16．已知函数 为偶函数，当 时， ，若函数
恰有 个不同的零点，则实数 的取值范围为_______
【答案】
【解析】令 ，可得 ，所以，函数 与 的图象有 个交点，如下图所示：
由图可知，当 时，直线 与函数 的图象有 个交点，
因此，实数 的取值范围是 .故答案为： .
三、解答题
17．已知函数 .
(1)求 在点 处的切线方程；
(2)求函数 在 上的最值.
【解析】 (1) ， ， ；
所以 在点 处的切线方程为 ，即 ；
(2) ，
令 得 或 ；
1 2
0 0
0 2
由表可知，最大值为 ，最小值为 .
18．已知函数 是定义域上的奇函数，且 ．
（1）求函数 的解析式，判断函数 在 上的单调性并证明；
（2）令 ，若函数 在 上有两个零点，求实数 的取值范围；
（3）令 ，若对 ， 都有 ，求实数 的取值范围．
【解析】（1） ，且 是奇函数， ，
，解得 ，
．
函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
证明如下：任取 ， ，且 ，
则 ，
，且 ，
， ，
∴ ，
，即 ，
函数 在 上单调递减.
同理可证明函数 在 上单调递增．
（2）函数 在 上有两个零点，即方程 在 上有两个不相等的
实数根，
所以 在 上有两个不相等的实数根，
则 ，解得 ．
（3）由题意知 ，
令 ， ，
由（1）可知函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
，
函数 的对称轴方程为 ，函数 在 上单调递增，
当 时， 取得最小值， ；
当 时， 取得最大值， .
所以 ， ，
又 对任意的 ， 都有 恒成立，
，
即 ，
解得 ，又 ，
的取值范围是 ．
19．已知函数 ．
（1）若 在 上为增函数，求实数 的取值范围；
（2）若 在 上最小值为 ，求实数 的值；
（3）若 在 上只有一个零点，求实数 的取值范围．
【解析】（1）由 得
若 在 为增函数，则 所以
（2）令
即 最小值为
若 则 时最小
若 则 时最小 无解
若 时 则 时最小 得 舍去
（3） 只一个零点
由 得 舍去或
若 有二个零点且只一个在 内
则
即
解得
．
20．已知函数 ， ．
（1）若不等式 的解集为 ， ，求不等式 的解集；
（2）若对于任意的 ， ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）已知 ，若方程 在 有解，求实数 的取值范围．
【解析】（1）若不等式 的解集为 ， ，
即1，2是方程 的两个根，
则 ，即 ，
则 ，由 得，
即 得 ，得 或 ，
即不等式的解集为 ．
（2）不等式 恒成立，
即 在 ， 恒成立，
令 ， ， ，
则 ，
令 ，解得： ，
故 在 ， 递增，在 ， 递减，
故 （1）或 ，
而 （1） ， ，
故 ．（3）由 得 ，
，即 ，
若方程 在 ， 有解，等价为 有解，
设 ，
， ， ， ，
即 ，即 ，则 ，
即实数 的取值范围是 ， ．
21．设函数 ．
（1）当 时，解不等式 ；
（2）若 ，且关于 的方程 在[－2，6]上有实数解，求实数 的取值
范围．
【解析】（1）由题意，知 ，则
由 得 或 ，由 得 ，
所以 ，原不等式的解集为
（2） ，
即
因为 在 上是增函数， 在 上减函数，
所以函数 在 上是增函数，
所以 时， ； 时， ，
所以，实数 的取值范围是 ．
22．对于函数 ，若其定义域内存在实数 满足 ，则称 为“伪奇函数”．
（1）已知函数 ，试问 是否为“伪奇函数”？说明理由；
（2）若幂函数 使得 为定义在 上的“伪奇函
数”，试求实数 的取值范围；
（3）是否存在实数 ，使得 是定义在 上的“伪奇函数”，若
存在，试求实数 的取值范围；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）假设 为“伪奇函数”， 存在 满足 ，
有解，化为 ，无解，
不是“伪奇函数”；
（2） 为幂函数， ， ，
，
为定义在 的“伪奇函数”，
在 上有解，
在 上有解，
令 ， 在 上有解，
又对勾函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
且 时， ， 时， ，
， 的值域为 ，
， ；
（3）设存在 满足，即 在 上有解，
在 上有解，
在 上有解，
令 ，取等号时 ，
在 上有解，
在 上有解（*），，解得 ，
记 ，且对称轴 ，
当 时， 在 上递增，
若（*）有解，则 ， ，
当 时， 在 上递减，在 上递增，
若（*）有解，则 ，即 ，此式恒成立，
，综上可知， .
