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专题 24.2 点和圆的位置关系
◆ 典例分析
【典例1】如图，A，B为⊙O上两点，∠AOB=90°，C为⊙O上一动点（不与A，B重合），D为AC
的中点．若⊙O的半径为2，则BD的最大值为 ．
【思路点拨】
取OA的中点E，连接OC,BE,DE，得到EO=EA，即D是以点E为圆心，1为半径的圆上的一点，再求
最值即可．
【解题过程】
1
解：如图，取OA的中点E，连接OC,BE,DE，则EA=EO= OA=1，
2
∵D为线段AC的中点，
∴DE是△OAC的中位线，
1
∴DE= OC=1．
2
∴EO=EA=DE，即D是以点E为圆心，1为半径的圆上的一点．
∴求线段BD长度的最大值即是求点B与⊙E上的点的最大距离．
如图，当点D在线段BE的延长线上时，线段BD的长度取得最大值，∵OB=2,OE=1,∠AOB=90°，
∴ ．
BE=❑√OB2+OE2=❑√5
∴线段BD长度的最大值为BE+DE=❑√5+1．
故答案为：❑√5+1．
◆ 学霸必刷
1．（24-25九年级上·全国·课后作业）在△ABC中，∠B=55°,∠C=65°．分别以B,C为圆心，BC长为
半径作圆B、圆C，关于A点位置，下列叙述中正确的是（ ）
A．在圆B外部，在圆C内部 B．在圆B外部，在圆C外部
C．在圆B内部，在圆C内部 D．在圆B内部，在圆C外部
2．（23-24九年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，将平行四边形ABCD的顶点A置于坐标原
点，点B坐标为(−10,0)，点D坐标为(2,4)，以AB为直径画圆，则顶点C与这个圆的位置关系是( )
A．点C在圆内 B．点C在圆上 C．点C在圆外 D．不能确定
3．（23-24八年级上·山东滨州·开学考试）一个点到圆的最小距离为4cm，最大距离为9cm，则该圆的半
径是（ ）
A．2.5cm或6.5cmB．2.5cm C．6.5cm D．5cm或13cm
4．（2024·四川凉山·模拟预测）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，D为AB的中点．以A为
圆心，r为半径作⊙A，若B、C、D三点中只有一点在⊙A内，则⊙A的半径r的取值范围是（ ）
A．2.5AP′．
请你补全小华的证明过程．
【类比结论】点A为⊙O外一定点，点P为⊙O上一动点，设⊙O的半径为r，AO的长为m，则线段AP
长度的最大值为______，线段AP长度的最小值为______．(用含r、m的代数式表示)
【拓展延伸】如图②，在半圆O中，直径AB的长为10，点D在半圆O上，AD=6，点C在B´D上运动，连
结AC，H是AC上一点，且∠DHC=90°，连结BH.在点C运动的过程中，线段BH长度的最小值为
______．
