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专题 24.2 点和圆的位置关系
◆ 典例分析
【典例1】如图，A，B为⊙O上两点，∠AOB=90°，C为⊙O上一动点（不与A，B重合），D为AC
的中点．若⊙O的半径为2，则BD的最大值为 ．
【思路点拨】
取OA的中点E，连接OC,BE,DE，得到EO=EA，即D是以点E为圆心，1为半径的圆上的一点，再求
最值即可．
【解题过程】
1
解：如图，取OA的中点E，连接OC,BE,DE，则EA=EO= OA=1，
2
∵D为线段AC的中点，
∴DE是△OAC的中位线，
1
∴DE= OC=1．
2
∴EO=EA=DE，即D是以点E为圆心，1为半径的圆上的一点．
∴求线段BD长度的最大值即是求点B与⊙E上的点的最大距离．
如图，当点D在线段BE的延长线上时，线段BD的长度取得最大值，∵OB=2,OE=1,∠AOB=90°，
∴ ．
BE=❑√OB2+OE2=❑√5
∴线段BD长度的最大值为BE+DE=❑√5+1．
故答案为：❑√5+1．
◆ 学霸必刷
1．（24-25九年级上·全国·课后作业）在△ABC中，∠B=55°,∠C=65°．分别以B,C为圆心，BC长为
半径作圆B、圆C，关于A点位置，下列叙述中正确的是（ ）
A．在圆B外部，在圆C内部 B．在圆B外部，在圆C外部
C．在圆B内部，在圆C内部 D．在圆B内部，在圆C外部
2．（23-24九年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，将平行四边形ABCD的顶点A置于坐标原
点，点B坐标为(−10,0)，点D坐标为(2,4)，以AB为直径画圆，则顶点C与这个圆的位置关系是( )
A．点C在圆内 B．点C在圆上 C．点C在圆外 D．不能确定
3．（23-24八年级上·山东滨州·开学考试）一个点到圆的最小距离为4cm，最大距离为9cm，则该圆的半
径是（ ）
A．2.5cm或6.5cmB．2.5cm C．6.5cm D．5cm或13cm
4．（2024·四川凉山·模拟预测）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，D为AB的中点．以A为
圆心，r为半径作⊙A，若B、C、D三点中只有一点在⊙A内，则⊙A的半径r的取值范围是（ ）
A．2.5<r≤4 B．2.5<r<4 C．2.5≤r≤4 D．2.5≤r<4
5．（2023·上海闵行·模拟预测）矩形ABCD中，AB=8，BC=3❑√5，点P在边AB上，且BP=3AP，如
果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）A．点B，C均在圆P外 B．点B在圆P外，点C在圆P内
C．点B在圆P内，点C在圆P外 D．点B，C均在圆P内
6．（2024·河北保定·二模）如图，在直角坐标系中，存在三个定点分别为A(−2,−2)，B(6,−2)，
C(6,4)，顺次连接，现添加一点D，使得AD=5，那么CD的长不可能为（ ）
A．4 B．7 C．11 D．15
7．（2024·广东江门·一模）如图，△ABC的三边BC、AC、AB的长度分别用a、b、c表示，且
满足 ，点 在边 上，将 沿 折叠，使点
a、b、c (a−b) 2+❑√2a−b−4+|c−4❑√2|=0 M BC △ACM AM C
落在点C′，则BC′的最小值为（ ）
A．2❑√2−2 B．4❑√2−2 C．4−2❑√2 D．4❑√2−4
8．（2023·广东清远·模拟预测）如图，AB是半⊙O的直径，点C在半⊙O上，
AB=2❑√13cm，AC=6cm．D是B´C上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE．在点
D移动的过程中，BE的最小值为（ ）
A．❑√13−2 B．❑√13 C．❑√3 D．2
9．（23-24九年级上·湖北·期中）如图，⊙O的直径AB=4，C为弧AB的三等分点(靠近点A)，P是⊙O上的一个动点，取弦AP的中点D，则线段CD的最大值为（ ）
A．❑√2+1 B．❑√3 C．❑√3+1 D．❑√5+1
10．（23-24九年级上·全国·单元测试）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，D是AB边
的中点，以点C为圆心，2.4cm为半径作圆，则点D与⊙C的位置关系是 ．
11．（24-25九年级上·浙江金华·开学考试）在△ABC中，若点O为BC边的中点，则必有：
AB2+AC2=2AO2+2BO2成立． 依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE=6
，EF=4，点M在以半径为2的⊙D上运动，则M F2+MG2的最大值为 ．
12．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，点A的坐标为(6,8)，AB⊥x轴于点B，点C为坐标平面内
一点，OC=5，点D为线段AC的中点，连接BD，则BD的最小值为 ．
13．（23-24九年级上·江苏·周测）如图，已知⊙O的半径是6，点A，B在⊙O上，且∠AOB=90°，动
点C在⊙O上运动（不与A，B重合），点D为线段BC的中点，连接AD，则线段AD长度的最小值是
．14．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，圆M的半径为4，圆心M的坐标为(6，8)，点P是圆
M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则
AB的最大值为 .
15．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，点M(2,0)、N(0,4)，以点M为圆心❑√5为半径作⊙M交
y轴于A、B两点，点C为⊙M上一动点，连接CN，取CN中点D，连接AD、BD，则AD2+BD2的最
大值为 ．
16．（2024·浙江·一模）如图，在矩形ABCD中，AB=2，P是线段AB上一动点，点C，D绕点P逆时针
旋转90°得到点E，F，若在运动过程中∠EAF的度数最大值恰好为90°，则BC的长度为 ．
17．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，分别以AC和BC为斜边，向外作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE，则线段BD的最大值为 ．
18．（2023九年级上·全国·专题练习）已知圆O的直径AB=4，半径OC⊥AB，在射线OB上有一点D，
且点D与圆O上各点所连接线段最短为1，则CD的长为多少？
19．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，有一圆弧经过三个点A、B、C，
且点A、B、C的坐标分别为A(0,4)、B(−4,4)、C(−6,2)．
（1）该圆弧所在圆的圆心M的坐标为______；
（2）⊙M的直径为______；
（3）点D(−6,−2)在⊙M______；（填内、外、上）；
（4）点O到⊙M上的点最远的距离为______．20．（23-24九年级上·吉林长春·期末）【问题呈现】小华在一次学习过程中遇到了下面的问题：
点A为⊙O内一定点，点P为⊙O上一动点，确定点P的位置，使线段AP最长．
【问题解决】以下是小华的方法：
如图①，连结AO并延长交⊙O于点P，点P为所求．
理由如下：在 上取点 异于点 ，连结 、 ．
⊙O P′ ( P) AP′ OP′
接下来只需证明AP>AP′．
请你补全小华的证明过程．
【类比结论】点A为⊙O外一定点，点P为⊙O上一动点，设⊙O的半径为r，AO的长为m，则线段AP
长度的最大值为______，线段AP长度的最小值为______．(用含r、m的代数式表示)
【拓展延伸】如图②，在半圆O中，直径AB的长为10，点D在半圆O上，AD=6，点C在B´D上运动，连
结AC，H是AC上一点，且∠DHC=90°，连结BH.在点C运动的过程中，线段BH长度的最小值为
______．
