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专题 3-3 平行四边形（考题猜想，特殊四边形的性质在动点问题中的巧
用）
技巧1：巧用平行四边形的性质解决动点问题
【例题1】（22-23八年级下·河南新乡·期中）如图1，点E是平行四边形 边上一动点，沿
A→D→C→B的路径移动，设点E经过的路径长为x， 的面积是y，图2是点E运动时y随x变化的
关系图象，则 与 间的距离是（ ）
A．5 B．4 C． D．
【答案】D
【分析】根据点E的运动可得 ，设 与 间的距离是d，当点E在
上时， 的面积占平行四边形 面积的一半，再根据平行四边形面积公式求解即可．
【详解】由图2可知， ，
设 与 间的距离是d，
当点E在 上时， ，
解得 ，故选：D．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，准确理解函数图象并熟练掌握平行四边形面积公式是解题的关
键
【变式1】（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，E是 的中点，已知 ，
， ， ，点P是线段 上的一个动点，当 的长为 时，以点P，A，D，
E为顶点的四边形是平行四边形．
【答案】1或9
【分析】本题主要考查了坐标与图形，平行四边形的判定，根据四个点的坐标求出 ， ，
， ，根据平行四边形的判定得出当 时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平
行四边形，分两种情况进行讨论即可得出答案．
【详解】解：∵ ， ， ， ，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∵E是 的中点，
∴ ，
当 时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形，
分两种情况：
①当点P在点E的左侧时， ；
②当点P在点E的右侧时， ；
综上所述，当 的长为1或9时，以点P，A，D，E为顶点的四边形是平行四边形，
故答案为：1或9
【变式2】（22-23八年级下·吉林长春·期末）直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，菱形
如图放置在平面直角坐标系中，其中点D在x轴负半轴上，直线 经过点C，交x轴于点E.
(1)请直接写出点C，点D的坐标，并求出m的值；(2)点 是线段 上的一个动点（点P不与O、B重合），经过点P且平行于x轴的直线交 于M，
交 于N.当四边形 是平行四边形时，求点P的坐标；
(3)点 是y轴正半轴上的一个动点，Q是平面内任意一点，t为何值时，以点C、D、P、Q为顶点的四
边形是菱形？
【答案】(1) ， ，
(2)
(3) 或3或
【分析】（1）首先求出 ， ，再利用勾股定理求得 ，再根据菱形的性质求得 ，
，再把点C坐标代入直线 即可求解；
（2）由（1）可知，直线 ， ，求得 ， ，设 ， ，可
得 ，根据平行四边形的性质可得 ，即 ，即可求解；
（3）若以点C、D、P、Q为顶点的四边形是菱形，则 是等腰三角形，分类讨论： 、
、 分别求值即可．
【详解】（1）解：∵直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，
当 时， ；当 时， ，解得 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
在 中， ，
∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵直线 经过点C，
∴ ，
解得： ．
（2）解：由（1）可知， ， ，
∴直线 ，
当 时， ，解得 ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴设 ， ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，即 ，
解得 ，
∴ ．
（3）解：∵以点C、D、P、Q为顶点的四边形是菱形，
∴ 是等腰三角形，
当 时，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
解得 ， （舍去），
当 时， ，
解得 ，
当 时， ，
解得 ，
综上所述， 或3或 时，以点C、D、P、Q为顶点的四边形是菱形．
【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查直线上点的坐标的特征、平行四边形的性质、菱形的性质、等
腰三角形的性质及勾股定理，将菱形的存在性问题转化为等腰三角形的存在性问题是解题的关键
【变式3】（22-23八年级下·四川成都·期中）如图，在平行四边形 中，点E是 边上的动点，现
将 沿 折叠，点 是点B的对应点．(1)如图1，当点 恰好落在 边上时，求证：四边形 是平行四边形；
(2)如图2，若 点 落在 上时，求 的长；
(3)如图3．若 取 的中点F，连接 ，求 的取值范围
【答案】(1)见解析
(2) 的长是
(3) 的取值范围是
【分析】（1）由平行四边形的性质得 由折叠得 则 进而即
可证明四边形 是平行四边形；
（2）由题意作 交 的延长线于点H，结合平行四边形的性质及勾股定理进行分析求解；
（3）根据题意取 的中点T、连接 进一步得出 是等边三角形，并且分析出当点F在直线
的上方，且点E与点C重合时 的值最大，结合平行四边形的性质及勾股定理进行分析求解。
【详解】（1）证明：如图1，∵四边形 是平行四边形，
∴
∴
由折叠得
∴
∴
∴
∴四边形 是平行四边形．
（2）解：如图2，作 交 的延长线于点H，
∵
∴
∵点 落在 上，∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴ ，
∴ 3 ，
∵
∴ ，
∴ 的长是 ．
（3）解：如图3，取 的中点T、连接
∵
∴
∴
∴
∴ 是等边三角形，
∴
∵ 点F是 的中点，T是 的中点，
∴ 3，
∵ ，且 ，
∴ ，
∴ 的最小值是3；
∵点E是 边上的动点，
∴当点F在直线 的上方，且点E与点C重合时 的值最大，
如图4，点E与点C重合，∴ ，
∴ 三点在同一条直线上，
∴ 且 ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最大值为 ，
∴ 的取值范围是 ．
【点睛】本题重点考查平行四边形的判定与性质、轴对称的性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于
斜边的一半、勾股定理、等边三角形的判定与性质、三角形的三边关系等知识，此题综合性强，难度较大，
属于中考压轴题
技巧2：巧用菱形的性质解决动点问题
【例题2】（22-23八年级下·山东德州·期中）如图，点P是边长为1的菱形 对角线 上的一个动
点E，F分别是边 ， 的中点，则 的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】本题考查菱形的性质，轴对称求最短距离，作点E关于 的对称点 ，连接 与 交点为
P点，此时 的值最小；易求 是 的中点，则有 ，所以
；
【详解】解：作点E关于 的对称点 ，连接 与 交点为P点，∵E，F分别是边 ，
，
∴ 是 的中点，
∵菱形 ，
∴ ，
∴ ，
故选：B
【变式1】（22-23八年级下·福建莆田·期末）定义：平面上一点与某个图形所有点相连的线段中最短的线
段长度叫做点与该图形之间的距离，记为 ．如图，已知菱形 ， ， ，平面内一
动点 菱形外部 到菱形 的距离为 ，则点 运动轨迹的长度为
【答案】 /
【分析】本题考查了菱形的性质，圆的周长公式，根据新定义可得点 运动轨迹的长度为菱形 的边
长加上一个圆的周长，即可求解．
【详解】解：如图所示，依题意点 运动轨迹的长度为菱形 的边长加上一个圆的周长，
依题意， 点 运动轨迹的长度为 ，
故答案为： ．
【变式2】（22-23八年级下·辽宁抚顺·期末）在 中， ，点D为射线 上一动点（点D不
与B，C重合），以 为边作菱形 ，使 ，连接 ．(1)如图1，当点D在线段 上时，直接写出线段 与 的数量关系；
(2)如图2，当点D在线段BC的延长线上，且 时，求证： ．
【答案】(1)
(2)见详解
【分析】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，菱形的性质，利用已知条件证明
是解题的关键．
（1）由已知 得 ，再根据菱形的性质得 ，再由 ，证明
≌ ；
（2）同（1）可得 ≌ ，得 ，再由 ， 证得 ，所以
．
【详解】（1）证明： 四边形 是菱形，
，
，
，
，
≌ ，
．
（2）证明： 四边形 是菱形，
，
，
，
，
≌ ，
，
， ，
∴由勾股定理，得 ，
，
．【变式3】（23-24八年级上·重庆渝中·期末）在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于
点 ，且 ， ．
(1)如图1，点 为线段 上一点，若 ，求点 的坐标；
(2)如图2，点 在线段 上， 是直线 上的两个动点且 ， 是 轴上任意一
点，连接 ，求 的最小值；
(3)在（2）的条件下，当 取最小值时， 为直线 上一动点， 是平面内任意一点，当
四点构成的四边形是以 为边的菱形时，请直接写出点 的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)点 的坐标为 或 或 或 ．
【分析】（1）作 于 ，由 求得 ，从而得出 ，进
一步得出结果；
（2）作点 关于 的对称点 ，将点 沿 的方向移动 单位至 ，作 于 ，交 于 ，
作 于 ，交 于 ，作 于 ，则 最小，最小为： ，利用直角三角
形的性质和勾股定理，进一步得出结果；
（3）由（2）得： ， ，从而得出 ， ，根据勾股定
理求得 ，进而得出 坐标，进而得出 点坐标，同样另外两点．
【详解】（1）解：如图1，作 于 ，
由 得，
，
，
，
；
（2）
解：如图2，
作点 关于 的对称点 ，将点 沿 的方向移动 单位至 ，作 于 ，交 于 ，作
于 ，交 于 ，作 于 ，
则 最小，最小为： ，
， ，
，
， ， ，
，
， ， ，
∴ ，
，，
的最小值为： ；
（3）解：如图3，
， ，
∴ ，
由勾股定理得 ，
由（2）得： ， ，
，
，
、 、 、 四点构成的四边形是以 为边的菱形，
，
， ，
， ， ， ，
， ，
， ， ，
，∴点 的坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质等知识，解决问题的关键
是较强的计算能力
技巧3：巧用矩形的性质解决动点问题
【例题3】（23-24八年级上·广东揭阳·期中）在矩形 中， ， ，点P是线段 上一个
动点，若将 沿 折叠，使点B落在点E处，连结 、 ，若P、E、D三点在同一条直线上，则
的长度是（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．0.5
【答案】C
【分析】本题考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理，根据矩形的性质和折叠的性质得到 ，
利用勾股定理算出 ，设 ，则 ， ，在 中，根据勾股定理建立
方程求解，即可解题．
【详解】解：当P、E、D三点在同一条直线上，如图所示：
在矩形 中， ， ， ，
根据折叠的性质，可得 ， ， ，
，
在 中，根据勾股定理，得 ，
设 ，则 ， ，
在 中，根据勾股定理，得 ，
解得 ，
，故选：C．
【变式1】（23-24八年级上·山东淄博·期末）如图，在矩形 中， ， ，对角线 与
交于点 ，点 为 边上的一个动点， ， ，垂足分别为点F，G，则
．【答案】 /
【分析】本题考查了矩形的性质和勾股定理，连接 ，根据矩形的性质和勾股定理求出 ，从而求出
，进而表示出 ，可得 即可求解．
【详解】解：连接
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：
【变式2】（22-23八年级下·江苏苏州·阶段练习）在矩形 中， ，点E是射线 上一
个动点，连接 并延长交射线 于点F，将 ，沿直线 翻折到 ，延长 与直线 交于
点M．(1)求证： ；
(2)当点E是边 的中点时，求 的长；
(3)当 时，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3) 或
【分析】本题考查矩形与折叠，全等三角形的判定和性质，勾股定理．
（1）根据矩形的性质和折叠的性质，推出 ，即可得证；
（2）先证明 ，得到 ，设 ，在 中利用勾股定理进行求解
即可；
（3）分点E在线段 上和点E在线段 的延长上，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，
由折叠可知： ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵点E是边 的中点，
∴ ，
∵四边形 为矩形， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴ ，
设 ，则由（1）知， ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ，
∴ 的长为 ；
（3）解：当 时，设 ，
第一种情况，点E在线段 上，如图所示：
则 ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ，
∴ 的长为 ；
第二种情况，点E在线段 的延长线上，如图所示：
则∴在 中， ，
∴ ，
解得： ，
∴ 的长为 ；
综上可知，当 时， 的长为 或
【变式3】（22-23八年级下·辽宁沈阳·期末）如图①，在矩形 中， ， ，对角线
与 交于点 ．
(1)求证： 是等边三角形；
(2)动点 在对角线 上，连接 ，将 绕点 逆时针旋转 得 ，连接 ， ， ．
①如图②，当点 在线段 上，且 时， （直接填空）；
②当 时，直接写出 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)① ；② 的面积为 或
【分析】（1）先根据矩形的性质和勾股定理求出矩形 对角线的长，然后求出 ，即可
判定 是等边三角形；
（2）①根据等边三角形的性质和旋转的性质判定 ，得到 ，再用 减去 的长即可
求出 的长；
②分 在 上和在 上两种情况，设直线 与 的交点为 ，根据 推出 ，
得到 ，根据含 角的直角三角形的性质求出 的长，根据 求出 的长，即可求出
中 边上的高，根据三角形面积公式即可求出面积．
【详解】（1）证明： 四边形 是矩形，
， ，
在 中， ， ，，
，
，
又 ，
，
是等边三角形；
（2）解：① 是等边三角形，
， ，
又 ， ，
，
，
；
故答案为： ；
② ：如图，当 在 上时，延长 交 于 ，
，
，
，
，
，
，
∴ ，
，
即 ，
在 中， ， ，，
又 ，
，
；
：如图，当点 在 上时，
此时 ，
又 ，
，
；
综上， 的面积为 或 ．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，
三角形面积公式，勾股定理等知识点，深入理解题意是解决问题的关键．
技巧4：巧用正方形的性质解决动点问题
【例题4】（22-23八年级下·广东广州·期中）如图，M、N是正方形 的边 上的两个动点，满足
，连接 交 于点E，连接 交 于点F，连接 ，若正方形的边长为2，则线段 的
最小值是（ ）A．2 B．1 C． D．
【答案】C
【分析】先根据正方形的性质证明 ≌ ，可得 ，再证明 ≌ ，可得
，然后说明 ，再取 的中点O，连接 、 ，可求 ，根据勾股定理求出 ，
最后根据三角形的三边关系，可知当O、F、C三点共线时， 的长度最小，进而求出答案．
【详解】在正方形 中， ， ， ，
在 和 中，
，
∴ ≌ （HL），
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ≌ （SAS），
∴ ，
∴ .
∵ ，
∴ ，
∴ .
取 的中点O，连接 、 ，
则 ，
在 中， ，
根据三角形的三边关系， ，
∴当O、F、C三点共线时， 的长度最小，最小值 ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系等，确定 最小
值的位置是解题的关键
【变式1】（22-23八年级下·河北石家庄·期中）如图，在正方形 中， 是 上一点， ，
，则 ，若 是 上一动点，则 的最小值是 ．
【答案】8 10
【分析】首先根据题意解得 、 的值，再根据正方形的性质求得 的值；连接 ，交 于 ，
连接 ，则此时 的值最小，由题意易知 关于 对称，进而可得 ，所以
，利用勾股定理解得 的值，即可获得答案．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 为正方形，
∴ ；
如下图，连接 ，交 于 ，连接 ，则此时 的值最小，
∵四边形 是正方形，∴ 关于 对称，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
故 的最小值是10．
故答案为：8，10．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、最短路径问题、轴对称对称的性质、勾股定理等知识，正确作出辅
助线是解题关键
【变式2】（22-23八年级下·云南红河·期末）如图，四边形 是正方形，对角线 ， 相交于点 ，
， 分别是边 ， 上的动点，且 ，连接 ， 分别交对角线 于点 ， ，连接 ，
．
(1)求证： ．
(2)当点 ， 分别在 ， 的什么位置时？四边形 是平行四边形，并说明理由．
【答案】(1)见详解
(2)当点 ， 分别在 ， 的中点时，四边形 是平行四边形，理由见详解
【分析】（1）由四边形 是正方形，得 ， ，从而证明
，即可得证 ；
（2）当点 ， 分别在 ， 的中点时，则 为 的中位线，那么 ， ，由
四边形 是正方形，得 ，所以 ， ，即可得到四边形 是平行
四边形．
【详解】（1）解：∵四边形 是正方形，
∴ ．
∵正方形 的对角线 ， 相交于点 ，
∴ ， ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ．
（2）解：当点 ， 分别在 ， 的中点时，四边形 是平行四边形，
∵当点 ， 分别在 ， 的中点时，
∴ 为 的中位线，
∴ ， ，
∵正方形 的对角线 ， 相交于点 ，
∴ ，
∴在四边形 中， ， ，
∴四边形 是平行四边形．
【点睛】本题考查了正方形的性质、中位线的性质、平行四边形以及全等三角形的判定，正确掌握相关内
容性质是解题的关键
【变式3】（22-23八年级下·湖北武汉·期中）如图1，在平面直角坐标系中，正方形 的顶点在坐标
原点，点G的坐标为 ．
(1)求 的长及F点的坐标；
(2)将图1正方形 绕O点旋转至图2位置，使点E在x轴负半轴上，以 为腰作等腰 ，B为
中点， 与 交于C，D为 中点，连 ，求证：线段 的长为定值；
(3)如图3，正方形对角线 上的两个动点M，N满足 ，点P为 中点，连 ，当
取得最小值时，求 的长值．
【答案】(1) 的长是5，F点的坐标
(2)见解析
(3) 的值为
【分析】（1）连接 ， 交 于点K，过点G作 轴于点P，过点E作 轴于点Q，
证明 ，可得 ，从而得到点 ，再由中点坐标公式，即可求解；
（2）根据正方形的性质，等腰三角形的性质，四点共圆，证明即可．
（3）过点G作 ，交x轴于点S， 上截取 ，连接 ，交 于点H，结合
，故当P，M，Q三点共线时， 有最小值，且为 得长度，利用勾股定理正方形
的性质计算即可．
【详解】（1）解∶如图，连接 ， 交 于点K，过点G作 轴于点P，过点E作
轴于点Q，
∵点 ，
∴ ，
，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 ，
∴点 ，
∴点 ；
故答案为： ；
（2）解：如图：正方形 绕O点旋转至图2位置，以 为腰作等腰 ，B为 中点， 与
交于C，D为 中点，∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 四点共圆，
∴ ，
∵D为 中点，
∴ ，
∴线段 的长为定值；
（3）如图，过点G作 ，交x轴于点S，
∵正方形 ，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
在 上截取 ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
连接 ，交 于点H，
∵ ，
故当P，M，Q三点共线时， 有最小值，且为 得长度，连接 ，设
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
过点Q作 轴于点T，过点H作 轴于点R，点P为 中点，
∴ , ，
设 ，
根据题意，得 ，
整理得， ，
解得 即 ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，四点共圆，熟练掌握正方形的性质是
解题的关键
