文档内容
专题 4.3 二次函数多结论压轴小题精选 30 道
【人教版】
1．（2024春•岳麓区校级期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的有（
）
①abc＞0；②b2＞4ac；③a﹣b+c＜0；④2a﹣b＞0；⑤a+c＜1．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据图上给的信息，结合二次函数的性质去判断对错即可．
【解答】解：①如图所示，图象开口向上，
∴a＞0，
∵图象与y轴的交点在x轴下方
∴c＜0，
∵图象的对称轴在y轴的左边，且a＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①错误；
②根据图象可知，抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故②正确；
③由图可得，当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，故③正确；
b
④由图可得，− ＞−1，
2a
∵a＞0，
∴2a＞b，
∴2a﹣b＞0，故④正确；⑤当x＝1时，a+b+c＝2，
∴a+c＝2﹣b，
∵a﹣b+c＜0，
∴2﹣b﹣b＜0，解得：b＞1，
∴2﹣b＜1，
∴a+c＜1，故⑤正确；
综上所述，共有4个是正确的；
故选：D．
2．（2024•宝安区校级模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论①abc＜0，
1
②a+b+c＝2，③a＞ ④0＜b＜1中正确的有（ ）
2
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置，与y轴的交点的位置，可以得出a、b、c的符号，进而
确定abc的符号，对①做出判断；把（1，2）代入可对②做出判断；而无法判断③④一定正确，综
合得出答案．
【解答】解：因为抛物线开口向上，可知a＞0，
对称轴在y轴的左侧，a、b同号．故b＞0，
抛物线与y轴的交点在负半轴，因此c＜0，
∴abc＜0，故①正确；
把（1，2）代入得a+b+c＝2，故②正确；
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
又∵a+b+c＝2，
∴2b＞2，即：b＞1，因此④不正确，
b b 1
因为对称轴x=− 介在﹣1与0之间，因此− ＞−1，得2a＞b，而b＞1，∴a＞ ，因此③正
2a 2a 2确．
故选：B．
3．（2024•凤凰县模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，在下列5个结论：①abc＜
0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确结论个
数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点判定系数符号，及运用一些特殊点解答问题．
【解答】解：开口向下，a＜0；
对称轴在y轴的右侧，a、b异号，则b＞0；
抛物线与y轴的交点在x轴的上方，c＞0，
∴abc＜0，
所以①正确，符合题意；
当x＝﹣1时图象在x轴下方，则y＝a﹣b+c＜0，
即a+c＜b，
所以②不正确，不符合题意；
对称轴为直线x＝1，则x＝2时图象在x轴上方，
则y＝4a+2b+c＞0，
所以③正确，符合题意；
b 1
x=− =1，则a=− b，而a﹣b+c＜0，
2a 2
1
则− b−b+c＜0，2c＜3b，
2
所以④正确，符合题意；
开口向下，当x＝1，y有最大值a+b+c；
当x＝m（m≠1）时，y＝am2+bm+c，则a+b+c＞am2+bm+c，
即a+b＞m（am+b）（m≠1），
所以⑤错误，不符合题意．
故①③④正确，
故选：B．
4．（2024•汝阳县一模）图形结合法既可以由数解决形的问题，也可以由形解决数的问题．如图所示，已
知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示．下列结论：①ab＞0；②4a﹣2b+c＜0；③2a﹣b＜0；④|
a+c|＜|b|．其中正确的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据所给函数图象，可得出a，b，c的正负，再根据抛物线的对称性和增减性对四个结论依次
进行判断即可．
【解答】解：由所给函数图象可知，
a＜0，b＜0，
所以ab＞0．
故①正确．
抛物线上横坐标为﹣2的点在x轴下方，
所以4a﹣2b+c＜0．
故②正确．
因为抛物线的对称轴在直线x＝﹣1和y轴之间，
b
所以− ＞−1，
2a
则2a﹣b＜0．
故③正确．
当x＝1时，函数值小于零，
则a+b+c＜0；
当x＝﹣1时，函数值大于零，
则a﹣b+c＞0；所以（a+b+c）（a﹣b+c）＜0，
即（a+c）2﹣b2＜0，
所以（a+c）2＜b2，
所以|a+c|＜|b|．
故④正确．
故选：D．
5．（2024•斗门区校级模拟）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：
①abc＞0；
②3a+c＞0；
③（a+c）2﹣b2＜0；
④a+b≤m（am+b）（m为实数）．
其中结论正确的为（ ）
A．①④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与 y轴交点位置判断①，由a与b的关系及x＝﹣1
时y＜0可判断②，利用（a+c）2﹣b2＝（a+b+c）（a﹣b+c），根据x＝﹣1时y＞0，x＝1时y＜0可判
断③，由x＝1时y取最小值可判断④．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
b
∵抛物线对称轴为直线x=− =1＞0
2a
∴b＝﹣2a＜0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0
∴abc＞0，故①正确．
∵x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝3a+c＝0，故②不正确．∵（a+c）2﹣b2＝（a+b+c）（a﹣b+c），
且a+b+c＜0，a﹣b+c＝0，
∴（a+c）2﹣b2＝0，故③不正确．
∵x＝1时，y＝a+b+c为最小值，
∴a+b≤m（am+b），故④正确．
故选：A．
6．（2024•岚山区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点为（4，0），其对称轴为直
线x＝1，其部分图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＜0；③8a+c＝0；④若关
于x的方程ax2+bx+c＝﹣1有两个实数根x x ，且满足x ＜x ，则x ＜﹣2，x ＞4；⑤直线y＝kx﹣4k
1 2 1 2 1 2
（k≠0）经过点（0，c），则关于x的不等式ax2+（b﹣k）x+c+4k＞0的解集是0＜x＜4．其中正确结论
的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】根据抛物线与方程、不等式的关系及二次函数的性质求解．
【解答】解：由图象得：a＜0，c＞0，b＝﹣2a＞0，
∴abc＜0，故①是正确的；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴0＝ax2+bx+c有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＞0，故②是错误的；
根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的交点的横坐标分别为：﹣2，4，
∴当x＝﹣2时，4a﹣2b+c＝8a+c＝0，故③是正确的；
由图象得：抛物线与y＝﹣1的交点的横坐标分别位于﹣2的左边，4的右边，
∴x ＜﹣2，x ＞4；故④是正确的；
1 2
∵直线y＝kx﹣4k（k≠0）经过点（0，c）和（4，0），
∴于x的不等式ax2+（b﹣k）x+c+4k＞0即：ax2+bx+c＞kx﹣4k的解集是0＜x＜4，故⑤是正确的；
故选：B．7．（2024•旺苍县三模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：
①abc＞0；
②b2＜4ac；
③2c＜3b；
④a+b＞m（am+b）（m≠1）；
⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为2．
其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
b
【分析】①由二次函数图象性质知，开口向下，则a＜0．再结合对称轴− ＞0，得b＞0．据二次函
2a
数图象与y轴正半轴相交得c＞0；
②由于二次函数图象与x轴交于不同两点，则b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac；
b
③由− =1，得b＝﹣2a，当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，所以2a﹣2b+2c＜0，把b替换成a计
2a
算；
④x＝1时函数有最大值，所以当x＝1时的y值大于当x＝m（m≠1）时的y值，即a+b+c＞m（am+b）
+c，所以a+b＞m（am+b）（m≠1）成立；
⑤将x轴下方二次函数图象翻折到x轴上方，则与直线y＝1有四个交点即可，由二次函数图象的轴对
称性知：关于对称轴对称的两个根的和为2，四个根的和为4．
【解答】解：∵图象开口向下，
∴a＜0，∵对称轴在y轴的右侧，a与b异号，
∴b＞0，
∵与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，
故①错误；
∵二次函数图象与x轴交于不同两点，则Δ＝b2﹣4ac＞0．
∴b2＞4ac．
故②错误；
b
∵− = 1，
2a
∴b＝﹣2a．
又∵当x＝﹣1时，y＜0．
即a﹣b+c＜0．
∴2a﹣2b+2c＜0．
∴﹣3b+2c＜0．
∴2c＜3b．
故③正确；
∵x＝1时函数有最大值，
∴当x＝1时的y值大于当x＝m（m≠1）时的y值，
即a+b+c＞m（am+b）+c
∴a+b＞m（am+b）（m≠1）成立，
故④正确．
将x轴下方二次函数图象翻折到x轴上方，则与直线y＝1有四个交点即可，
由二次函数图象的轴对称性知：关于对称轴对称的两个根的和为2，四个根的和为4，
故⑤错误．
综上：③④正确，
故选：A．
8．（2023秋•龙港区期中）函数y＝ax2+bx+c与y＝kx的图象如图所示，下列结论：
①b2﹣4ac＞0；
②a+b+c＝0；③x＝﹣2时，函数y＝﹣ax2+（k﹣b）x﹣c有最大值；
④关于x的方程ax2+（b﹣k）x+c＝0的根是x ＝﹣1，x ＝﹣3，
1 2
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据抛物线与x轴交点个数与Δ＝b2﹣4ac的关系即可判断①；由x＝1时，二次函数的函数值
{9a−3b+c=−3k①)
即可判断②；由抛物线与直线的两个交点的横坐标为﹣3，﹣1得到 ，解得k﹣
a−b+c=−k②
b＝﹣4a，代入y＝﹣ax2+（k﹣b）x﹣c得到y＝﹣ax2+（k﹣b）x﹣c＝﹣ax2﹣4ax﹣c＝﹣a（x+2）2+4a
﹣c，根据二次函数的性质即可判断③；抛物线与直线的交点的坐标与函数解析式的关系即可判断④．
【解答】解：∵抛物线与x轴没有交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＜0，故选项①错误；
由图象可知，当x＝1时，y＝a+b+c＞0，故选项②错误；
∵抛物线与直线的两个交点的横坐标为﹣3，﹣1，
{9a−3b+c=−3k①)
∴ ，
a−b+c=−k②
②﹣①得﹣8a+2b＝2k，即k﹣b＝﹣4a，
∴y＝﹣ax2+（k﹣b）x﹣c＝﹣ax2﹣4ax﹣c＝﹣a（x+2）2+4a﹣c，
∵﹣a＜0．
∴x＝﹣2时，函数y＝﹣ax2+（k﹣b）x﹣c有最大值，故选项③正确；
∵抛物线与直线的两个交点的横坐标为﹣3，﹣1，
∴方程ax2+bx+c与y＝kx的解为x ＝﹣1，x ＝﹣3，
1 2
∴关于x的方程ax2+（b﹣k）x+c＝0的根是x ＝﹣1，x ＝﹣3，故选项④正确．
1 2
故选：B．
9．（2023•石城县模拟）二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论：① abc＞0；
② 2a+b＝0；③ m 为任意实数，则 a+b＞am2+bm；④ a﹣b+c＞0；⑤若ax2+bx =ax2+bx 且
1 1 2 2x ≠x ，则x +x ＝2．其中正确的有（ ）
1 2 1 2
A．①④ B．③④ C．②⑤ D．②③⑤
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据
对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①抛物线开口方向向下，则a＜0．
抛物线对称轴位于y轴右侧，则a、b异号，即ab＜0．
抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0．
所以abc＜0．
故①错误．
b
②∵抛物线对称轴为直线x=− =1，
2a
∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，
故②正确；
③∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴函数的最大值为：y＝a+b+c；
∴a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am2+bm，
故③错误；
④∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，
∴当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
故④错误；
⑤∵ax2+bx =ax2+bx ，
1 1 2 2
∴ax2+bx −ax2−bx ＝0，
1 1 2 2
∴a（x +x ）（x ﹣x ）+b（x ﹣x ）＝0，
1 2 1 2 1 2∴（x ﹣x ）[a（x +x ）+b]＝0，
1 2 1 2
而x ≠x ，
1 2
b
∴a（x +x ）+b＝0，即x +x =− ，
1 2 1 2 a
∵b＝﹣2a，
∴x +x ＝2，
1 2
故⑤正确．
综上所述，正确的有②⑤．
故选：C．
10．（2024•苍溪县模拟）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）的图象关于直线x＝﹣1对
称，则下列五个结论：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③9a﹣3b+c＜0；④a（m2﹣1）+b（m+1）≤0（m
为任意实数）；⑤3a+c＜0．其中结论正确的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据所给函数图象可得出a，b，c的正负，再结合抛物线的对称性及增减性，利用数形结合的
思想对所给结论依次进行判断即可．
【解答】解：由函数图象可知，
a＜0，b＜0，c＞0，
所以abc＞0．
故①正确．
因为抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
b
所以− =−1，
2a
即2a﹣b＝0．
故②正确．
因为抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，且x＝1时，函数值小于零，所以x＝﹣3时，函数值小于零，
则9a﹣3b+c＜0．
故③正确．
因为抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，且开口向下，
所以当x＝m时，am2+bm+c≤a﹣b+c，
即am2﹣a+bm+b≤0，
所以a（m2﹣1）+b（m+1）≤0．
故④正确．
由函数图象可知，
当x＝1时，函数值小于零，
则a+b+c＜0，
又因为b＝2a，
所以3a+c＜0．
故⑤正确．
故选：D．
11．（2024•高青县校级一模）小明从图所示的二次函数y＝ax2+bx+c的图象中，观察得出了下面五条信
息：
①c＜0；②abc＞0；③a﹣b+c＞0；④2a﹣3b＝0；⑤c﹣4b＞0，你认为其中正确信息的个数有（
）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
b 1
【分析】观察图象易得 a＞0，− = ＞0，所以b＜0，2a﹣3b＞0，因此abc＞0，由此可以判定
2a 3
①②是正确的，而④是错误的；
当x＝﹣1，y＝a﹣b+c，由点（﹣1，a﹣b+c）在第二象限可以判定a﹣b+c＞0③是正确的；
当x＝2时，y＝4a+2b+c＝2×（﹣3b）+2b+c＝c﹣4b，由点（2，c﹣4b）在第一象限可以判定c﹣4b＞
0⑤是正确的．【解答】解：∵抛物线开口方向向上，
∴a＞0，
∵与y轴交点在x轴的下方，
∴c＜0，
b 1
∵− = ＞0，
2a 3
∵a＞0，
∴b＜0，
2a﹣3b＞0，
∴abc＞0，
∴①②是正确的，
b 1
④对称轴x=− = ，
2a 3
∴3b＝﹣2a，
∴2a+3b＝0，
∴④是错误的；
当x＝﹣1，y＝a﹣b+c，
而点（﹣1，a﹣b+c）在第二象限，
∴a﹣b+c＞0是正确的；
当x＝2时，y＝4a+2b+c＝2×（﹣3b）+2b+c＝c﹣4b，
而点（2，c﹣4b）在第一象限，
∴c﹣4b＞0．
故选：C．
12．（2024•沂源县一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分如图所示，其中对称轴为：x
＝1，下列结论：①abc＞0；②a+c＞0；③2a+3b＞0；④a+b＞am2+bm（m≠1）；上述结论中正确
结论的个数为（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由抛物线的开口方向可判定a的符号；结合抛物线的对称轴b的符号可判断①；通过x＝﹣1
和x＝3的对称性判断②；将不等式的两边加上c，进而判断出③；将b＝﹣2a，a﹣b+c＝0可推出
④．
【解答】解：∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
b
∵对称轴为：x=− =1，
2a
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴交于y轴的正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，
故①不正确；
∵2×1﹣3＝﹣1，当x＝3时，y＞0，
∴当x＝﹣1时，a﹣b+c＞0，
∴a+c＞b，
∵b＝﹣2a＞0，
∴a+c＞0，
故②正确；
∵b＝﹣2a，
∴2a+3b＝2a﹣6a＝﹣4a＞0，
故③正确，
∵当x＝1时，y＝a+b+c，a＜0，
∴函数的最大值为：a+b+c，
∴a+b+c＞am2+bm+c（m≠0），∴a+b＞am2+bm，
故④正确，
∴②③④正确，
故选：C．
13．（2024•桃江县一模）抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（2，﹣a）（如图所示），则下列说法：
①abc＜0；②（a+b）2≥c；③关于x的方程ax2+bx＝0有两个不相等的实数根；④﹣1≤a≤0．则正
确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由二次函数图象的性质及二次函数图象与系数的关系逐一判定即可．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的顶点坐标为（2，﹣a），
b
∴− = 2，
2a
∴b＝﹣4a＞0，
∵抛物线交y轴的负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，故①错误；
∵抛物线的顶点坐标为（2，﹣a），
∴4a+2b+c＝﹣a，
∵b＝﹣4a，
∴4a﹣8a+c＝﹣a，即c＝3a，
∴（a+b）2﹣c＝9a2﹣3a＝3a（3a﹣1），
∵a＜0，
∴3a（3a﹣1）＞0，∴（a+b）2﹣c＞0，
∴（a+b）2＞c，故②错误；
由图可知抛物线与直线y＝c有两个交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝c，即ax2+bx＝0有两个不相等的实数根，故③正确；
∵a为抛物线二次项系数，
∴a≠0，故④错误．
故选：A．
14．（2023秋•中山市校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论：①2a+b＝
0；②3a+c＞0；③m为任意实数，则a+b＞am2+bm；④若A（x ，0），B（x ，0），则x +x ＝2，
1 2 1 2
其中正确的有（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
【分析】根据对称轴为直线x＝1，抛物线开口向下，当x＝1时取得最大值，即可判断①③，根据x＝
3时，y＜0，即可判断②，根据对称性即可判断④．
b
【解答】解：∵抛物线对称轴为直线x=− =1，
2a
∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，所以①正确；
∵x＝3时，y＝9a+3b+c＜0，
即9a+3×（﹣2a）+c＜0，
∴3a+c＜0，故②不正确；
抛物线对称轴为直线x＝1，开口向下，
∴函数的最大值为a+b+c，
∴a+b+c≥am2+bm+c（m为任意实数），即a+b≥am2+bm，故③不正确；
∵A（x ，0），B（x ，0），对称轴为直线x＝1，则x +x ＝2，
1 2 1 2
故④正确，
故选：C．
15．（2023秋•西城区校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：b
①a＜0；②9a+3b+c＞0；③c＞0；④﹣3＜− ＜0
2a
其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据开口方向判断a的符号，当x＝3时，判断9a+3b+c＞0；根据抛物线与y轴的交点位置判
断c的符号；根据抛物线对称轴的位置判断④．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，故①正确；
b
由图可以看出，对称轴﹣3＜x=− ＜0，
2a
故④正确；
设抛物线与x轴的另一个交点为x ，由题意得，
1
x −3
对称轴x= 1 ＜0，
2
解得x ＜3，
1
∴当x＝3时，y＝9a+3b+c＜0，故②错误；
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，故③正确．
综上所述，①③④正确．
故选：B．
16．（2023•东港区校级三模）函数y＝x2+bx+c与y＝x的图象如图所示，有以下结论：
①b2﹣4c＞0；②b+c＝0；③2b+c+3＝0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0
其中正确的有（ ）个．A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】①根据开口方向判定a的符号，根据对称轴判断b的符号，根据抛物线与y轴的交点判断c的
符号，根据抛物线与x轴的交点情况判断b2﹣4ac的符号；
②当x＝1时，y＝1，判断b+c+1的符号，由b+c+1＝1，可得b+c＝0；
③根据对称轴求b的值，由b+c＝0，代入可作判定；
④由抛物线和直线所处的位置判断x2+bx+c＜x，得出x2+（b﹣1）x+c＜0．
【解答】解：①∵函数y＝x2+bx+c与x轴没交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＜0，
∵a＝1，
∴Δ＝b2﹣4c＜0，
故①错误；
②∵函数y＝x2+bx+c与y＝x的交点的横坐标为1，
∴交点为：（1，1），（3，3），
∴b+c+1＝1，
∴b+c＝0；
故②正确；
3
③由图象得：抛物线的对称轴是：x= ，且a＝1，
2
b 3
∴− = ，
2 2
∴b＝﹣3，
∴2b+c+3＝b+0+3＝0，
故③正确；
④由图象可知：当1＜x＜3时，抛物线在直线的下方，
∴x2+bx+c＜x，
∴x2+（b﹣1）x+c＜0，
故④正确．故选：B．
17．（2023•双台子区校级一模）二次函数 y＝ax2+bx+c的图象如图所示，给出四个结论：①abc＞0；
c
②4a﹣2b+c＞0；③对于任意实数m，有am2+bm+c＜a﹣b+c；④ ＞−3，其中正确的有（ ）
a
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
【分析】二次函数y＝ax2+bx+c的系数确定了抛物线开口方向、对称轴、与 y轴的交点等．对于①，先
根据二次函数图象的性质判断a，b，c的正负，进而得出答案；对于②，令x＝﹣2求出y值，判断即
可；对于③，先求出当x＝﹣1时，求初最大值，再比较即可；对于④，根据对称轴求出a，b的关
系，再将x＝1，y＝0代入关系式，即可判断．
【解答】解：①∵对称轴位于x轴的左侧，
b
∴− ＜0，
2a
∴即ab＞0．
∵与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0．故①正确；
②∵x＝﹣2时，y＞0，
∴4a﹣2b+c＞0，
故②正确；
③当x＝﹣1时，y最大 ＝a﹣b+c，
当x＝m时，y＝am2+bm+c，
∴有am2+bm+c≤a﹣b+c，故③错误；
b
④∵抛物线的对称轴为直线x=− =−1，
2a
∴b＝2a．∵x＝1时，y＝0，
∴a+b+c＝0，
∴c＝﹣3a，
c −3a
∴ = =−3，
a a
故④错误；
正确的结论有：①②，
故选：A．
18．（2023•遂溪县模拟）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，对称轴是直线l，则以下说法：①a﹣b+c
ab
＝0；②4a+b＝0；③ ＞0；④16a+5b+2c＞0，其中正确的个数是（ ）
c
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】先由抛物线与x轴交点为（5，0），对称轴为x＝2，可以得到抛物线与x轴的另一交点为（﹣
1，0）可以判断①；利用抛物线的对称轴为x＝2，判断出结论②；先由抛物线的开口方向判断出a＞
0，进而判断出b＜0，再用抛物线与y轴的交点的位置判断出c＞0，判断出结论③；先求出b＝﹣4a，
c＝﹣5a，然后代入16a+5b+2c即可判断．
【解答】解：有图象知，抛物线过点（5，0），对称轴为直线x＝2，
∴抛物线过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
故①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝2，
b
∴− = 2，
2a
∴4a+b＝0，
故②正确；由图象知，抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵4a+b＝0，
∴b＜0，
而抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c＜0，
ab
∴ ＞0，故③正确；
c
∵4a+b＝0，
∴b＝﹣4a，
∵a﹣b+c＝0，
∴c＝﹣5a，
∴16a+5b+2c＝16a﹣20a﹣10a＝﹣14a＜0，
故④错误．
故选：C．
19．（2023秋•义乌市期中）已知二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列 4个结论：
①abc＞0；②b2＞4ac；③a（m2﹣1）+b（m﹣1）＜0（m≠1）；④关于x的方程|ax2+bx+c|＝1有四
个根，且这四个根的和为4．其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①④ D．②③
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断①，由抛物线与x轴有两个交
点可判断②，由当x＝1时函数取最大值可判断③，由函数最大值大于1且抛物线开口向下可判断
④．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝1，b
∴− = 1，
2a
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，①错误；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，②正确；
∵x＝1时函数取最大值，
∴am2+bm+c＜a+b+c（m≠1），
∴am2﹣a+bm﹣b＜0，即a（m2﹣1）+b（m﹣1）＜0（m≠1），③正确．
∴由图象可得函数最大值大于2，
∴ax2+bx+c＝1有两个不相等的实数根x ，x ，
1 2
ax2+bx+c＝﹣1有两个不相等的实数根x ，x ，
3 4
∵图象对称轴为直线x＝1，
∴x +x ＝2，x +x ＝2．
1 2 3 4
∴x +x +x +x ＝4，
1 2 3 4
∴④正确．
故选：B．
20．（2023秋•铜梁区校级期中）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：
①abc＞0；
②2a+b＜0；
b
③若﹣1＜m＜n＜1，则m+n＜− ；
a
④3|a|+|c|＜2|b|．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】分别根据二次函数开口方向以及对称轴位置和图象与y轴交点得出a，b，c的符号，再利用特
殊值法分析得出各选项．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴2a＜0，
b
∵对称轴x=− ＞1，b＞0，
2a
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，故选项①正确；
b
对称轴x=− ＞1，又a＜0，则﹣b＜2a，则2a+b＞0，故②错误；
2a
∵﹣1＜m＜n＜1，则﹣2＜m+n＜2，
b b b
∴抛物线对称轴为：x=− ＞1，− ＞2，m+n＜− ，故选项③正确；
2a a a
当x＝1时，a+b+c＞0，2a+b＞0，则3a+2b+c＞0，
∴3a+c＞﹣2b，
∴﹣3a﹣c＜2b，
∵a＜0，b＞0，c＜0（图象与y轴交于负半轴），
∴3|a|+|c|＝﹣3a﹣c＜2b＝2|b|，故④选项正确．
故选：C．
21．（2023•仁怀市模拟）如图，根据二次函数y＝ax2+bx+c的图象得到如下结论：①abc＞0 ②2a﹣b＝
0 ③a+b+c＝0 ④3a+c＜0 ⑤当x＞﹣2时，y随x的增大而增大 ⑥一定存在实数x ，使得ax 2+bx
0 0 0
＞a﹣b成立．上述结论，正确的是（ ）
A．①②⑤ B．②③④ C．②③⑥ D．③④⑤【分析】由开口方向、对称轴及抛物线与y轴的交点位置可判断结论①；由对称轴为直线x＝﹣1即可
得到，2a﹣b＝0，即可判断②；由抛物线的对称性即可判断③④；由抛物线的增减性可判断结论
⑤；函数的最值即可判断结论⑥．
【解答】解：∵抛物线开口向上、顶点在y轴左侧、抛物线与y轴交于负半轴，
∴a＞0，b＞0，c＜0，
∴abc＜0，故①错误；
b
∵− =−1，
2a
∴b＝2a，
∴2a﹣b＝0，故②正确；
∵抛物线过点（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线过点（1，0），
∴a+b+c＝0，故③正确；
∴b＝2a，a+b+c＝0，
∴3a+c＝0，故④错误；
∵抛物线开口向上，对称轴是直线x＝﹣1，
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大；故⑤错误；
∵函数最小值为a﹣b+c，
∴当x ≠﹣1时，则ax 2+bx +c＞a﹣b+c，即ax 2+bx ＞a﹣b，
0 0 0 0 0
∴一定存在实数x ，使得ax 2+bx ＞a﹣b成立，故⑥正确；
0 0 0
故选：C．
22．（2023•广东模拟）二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象如图所示，有如下结论：① abc＜0；② 2a﹣
b+c≤0；③3b﹣2c＜0；④对任意实数m，都有2am2+2bm﹣b≥0．其中正确的有（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与 y轴的交点位置可判断①；由x＝﹣1时y＞0及a
＞0，可判断②；
由x＝﹣1时y＞0及a与b的数量关系可判断③，由x＝1时函数取最小值可判断④．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴为直线x＝1，
b
∴− = 1，
2a
∴b＝﹣2a＜0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，故①错误；
∵x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
∵a＞0，
∴2a﹣b+c＞0，故②错误；
∵b＝﹣2a，
b
∴a=− ，
2
3
由图象可得x＝﹣1时，y＝a﹣b+c=− b+c＞0，
2
∴3b﹣2c＜0，故③正确；
由x＝1时函数取最小值可得am2+bm+c≥a+b+c，
∴am2+bm≥a+b，
b
∵a=− ，
2
b
∴am2+bm≥ ，
2
∴2am2+2bm﹣b≥0，故④正确．
故选：D．
23．（2023•凤凰县模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论①abc＜0；②1
3a+b＞− c；③2c＜3b；④（k+1）（ak+a+b）≤a+b，其中正确的是（ ）
3
A．①③④ B．①②④ C．①④ D．②③④
【分析】根据二次函数图象与性质，先判断a＜0，b＝﹣2a，即b＞0，c＞0，即可判断①正确；根据
图象得出x＝3时y＜0，即可得出9a+3b+c＜0，通过变形可判断②错误；根据9a+3b+c＜0结合b＝﹣
2a可以判断③正确；根据x＝1时，y＝a+b+c是函数的最大值，可以判断④正确．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴是直线x＝1，
b
∴− =1，即b＝﹣2a，
2a
∴b＞0，
∵抛物线与y轴交点在正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，
故①正确；
由图象可知，抛物线与x轴左侧的交点在（﹣1，0）的右侧，
∵抛物线的对称轴为x＝1，
∴抛物线与x轴右侧的交点在（3，0）的左侧，
∴当x＝3时，y＜0，
∴9a+3b+c＜0，
1
∴3a+b＜− c，
3
故②错误；
∵9a+3b+c＜0，b＝﹣2a，9
∴− b+3b+c＜0，
2
∴2c＜3b，
故③正确；
当x＝1时，y＝a+b+c是函数的最大值，
∴a（k+1）2+b（k+1）+c≤a+b+c，
∴a（k+1）2+b（k+1）≤a+b，
∴（k+1）（ak+a+b）≤a+b，
故④正确；
∴正确的有①③④，
故选：A．
24．（2024•黄石模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于点（x ，0），（2，0），其中﹣1＜x
1 1
c
＜0．下列四个结论：①abc＜0；②a﹣b+c＞0；③2b﹣c＜0；④不等式ax2+bx+c＞− x+c的解集
2
为0＜x＜2．其中正确结论的序号为（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①④
【分析】根据题意画出函数图象，得到a、b异号，c＞0，可判断①结论；根据当x＝﹣1时，y＜0，可
1 1
判断②结论；根据抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）过点（2，0），得到a=− b− c，可判断③结论；
2 4
c
令y =− x+c，画出一次函数图象，利用图象可判断④结论．
1 2
【解答】解：根据题意画出函数图象如下：
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于点（x ，0），（2，0），其中﹣1＜x ＜0，
1 1
1
∴抛物线开口向下，对称轴在 ～1之间，与y轴交点在正半轴，
2
∴a、b异号，c＞0，
∴abc＜0，①结论正确；
由图象可知，当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，②结论错误；
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）过点（2，0），
∴4a+2b+c＝0，2b+c 1 1
∴a=− =− b− c，
4 2 4
1 1 3 3 3
∴a−b+c=− b− c−b+c=− b+ c=− (2b−c)＜0，
2 4 2 4 4
∴2b﹣c＞0，③结论错误；
c
令y =− x+c，
1 2
当x＝0时，y＝c；当y＝0，x＝2，
函数图象如下：
c
由图象可知，当0＜x＜2时，抛物线y＝ax2+bx+c图象在一次函数y =− x+c的上方，
1 2
c
∴不等式ax2+bx+c＞− x+c的解集为0＜x＜2，④结论正确，
2
故选：D．
25．（2024•殷都区模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线 y ＝mx+n与抛物线y =ax2+bx−3相交于点
1 2
A，B．结合图象，判断下列结论：①当﹣3＜x＜2时，y ＞y ；②x＝﹣3是方程ax2+bx﹣3＝0的一个
1 2
解；③若（﹣4，t ），（1，t ）是抛物线上的两点，则t ＞t ；④对于抛物线y =ax2+bx−3，当﹣3
1 2 1 2 2
＜x＜2时，y 的取值范围是0＜y ＜5．其中正确结论的个数是（ ）
2 2A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据函数图象即可判断①②④；求出对称轴，再由开口向上得到离对称轴越远函数值越大，
即可判断③．
【解答】解：由函数图象可知，当一次函数图象在二次函数图象上方时，自变量的取值范围为﹣3＜x＜
2，
∴当﹣3＜x＜2时，y ＞y ，故①正确；
1 2
∵二次函数与x轴的一个交点坐标为当（﹣3，0），
∴x＝﹣3是方程ax2+bx﹣3＝0的一个解，故②正确；
∵抛物线经过（2，5），（﹣3，0）
∴4a+2b﹣3＝5，9a﹣3b﹣3＝0，
∴a＝1，b＝2，
b
∴抛物线对称轴为直线x= =−1，
−2a
∵函数开口向上，
∴离对称轴越远，函数值越大，
∵﹣1﹣（﹣4）＝3＞1﹣（﹣1）＝2，
∴t ＞t ，故③正确；
1 2
由函数图象可知，当﹣3＜x＜2时，y 的取值范围是不是0＜y ＜5，故④错误，
2 2
故选：B．
26．（2024•东港区校级一模）如图，抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标
为（1，n），与y轴的交点在（0，2）和（0，3）两点之间（包含端点）．下列结论中正确的是
（ ）
①不等式ax2+c＜﹣bx的解集为x＜﹣1或x＞3；
②9a2﹣b2＜0；1
③一元二次方程cx2+bx+a＝0的两个根分别为x = ，x ＝﹣1；
1 3 2
④6≤3n﹣2≤10．
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【分析】由已知求出b＝﹣2a，c＝﹣3a，由抛物线的对称性可求抛物线与x轴的另一个的交点为（3，
0），则不等式ax2+c＜﹣bx的解集为x＜﹣1或x＞3；再将b＝﹣2a，c＝﹣3a，代入9a2﹣b2，即可判断
②；将一元二次方程cx2+bx+a＝0化为﹣3ax2﹣ax+a＝0，即可求方程的根；由已知可得2≤c≤3，再由
8
抛物线的顶点坐标可求n＝﹣4a，从而进一步可求n的范围为 ≤n≤4，即可求出6≤3n﹣2≤10．
3
【解答】解：∵顶点坐标为（1，n），
∴b＝﹣2a，
∵与x轴交于点A（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∵对称轴为直线x＝1，经过点（﹣1，0），
∴抛物线与x轴的另一个的交点为（3，0），
∵抛物线开口向下，
∴不等式ax2++bx+c＜0的解集为x＜﹣1或x＞3，
即不等式ax2+c＜﹣bx的解集为x＜﹣1或x＞3，
故①正确；
∵9a2﹣b2＝9a2﹣（﹣2a）2＝5a2＞0，
故②不正确；
∵一元二次方程cx2+bx+a＝0可化为﹣3ax2﹣2ax+a＝0，
即3x2+2x﹣1＝0，
1
∴方程的根为x = ，x ＝﹣1，
1 3 2
故③正确；∵抛物线与y轴的交点在（0，2）和（0，3）两点之间，
∴2≤c≤3，
∵顶点坐标为（1，n），
∴n＝﹣4a，
∵c＝﹣3a，
4
∴n= c，
3
8
∴ ≤n≤4，
3
∴6≤3n﹣2≤10；
故④正确；
故选：D．
27．（2024•射洪市一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示（1＜x＝h＜2，0＜x ＜
A
1）．下列结论：①abc＜0；②2a+b＞0；③若OC＝2OA，则2b﹣ac＝4；④3a﹣c＜0．其中正确的
有 ②③④ ．（只填写序号）
【分析】①根据抛物线的开口向下即可得出a＜0，再根据抛物线的对称轴在x＝1和x＝2之间即可得
出b＞﹣2a，②正确；②由b＞﹣2a可得出b＞0，再根据抛物线与y轴交于y轴负半轴可得出c＜0，
c
由此即可得出abc＞0，①错误；③将A(− ，0)代入抛物线解析式中，整理后可得出2b﹣ac＝4，
2
b
③正确；④根据抛物线的对称轴1＜− ＜2可得出﹣2a＜b＜﹣4a，再由当x＝1时y＞0即可得出
2a
a+b+c＞0，进而即可得出3a﹣c＜0，④正确．综上即可得出结论．
【解答】解：∵抛物线的开口向下，
∴a＜0．
b
∵抛物线的对称轴− ＞1，
2a
∴b＞﹣2a，即2a+b＞0，②成立；∵b＞﹣2a，a＜0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，①错误；
∵OC＝2OA，
c
∴A(− ，0)，
2
1 1
∴ ac2− bc+c=0，
4 4
整理得：2b﹣ac＝4，③成立；
b
∵抛物线的对称轴1＜− ＜2，
2a
∴﹣2a＜b＜﹣4a，
∵当x＝1时，y＝a+b+c＞0，
∴a﹣4a+c＞0，即3a﹣c＜0，④正确．
综上可知正确的结论为②③④．
故答案为：②③④．
28．（2023秋•太康县期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的图象如图所示．下列
4个结论：①b＞0；②b＜a+c；③c＜4b；④a+b＜k2a+kb（k为常数，且k≠1）．其中正确的结论
序号是 ①③ ．
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而
对所得结论进行判断．
【解答】解：由图象可知，a＜0，
b
− =1，
2a∴b＝﹣2a，
∴b＞0，
故①正确；
由图象可知，当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，
∴b＞a+c，
故②错误；
∵二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为直线x＝1，
∴当x＝3时，函数值小于0，y＝9a+3b+c＜0，且b＝﹣2a，
b b 3
即a=− ，代入得9（− ）+3b+c＜0，得c＜ b，
2 2 2
∵b＞0，
∴c＜4b，
故③正确；
当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，
而当x＝k时，y＝ak2+bk+c，
∵k为常数，且k≠1，
所以a+b+c＞ak2+bk+c，
故a+b＞ak2+bk，
故④错误．
故①③正确．
故答案为：①③．
29．（2023秋•青山区期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点（2，c），且满足a﹣b+c＝0．下列四个结
论：
①抛物线的对称轴是直线x＝1；
②b与c同号；
③若a+2b+4c＞0，则不等式ax2+bx+c＜﹣2ax﹣a﹣b的解集﹣2＜x＜2；
1
④抛物线上的两个点M（m﹣1，y ），N（m+2，y ），当c＜0，且y ＞y 时，m＜ ．
1 2 1 2 2
其中一定正确的是 ①②③ .（填写序号）
【分析】根据二次函数的性质及抛物线与不等式的关系求解．
【解答】解：由题意得：4a+2b+c＝c，
∴b＝﹣2ab
∴− = 1，
2a
故①是正确的；
又∵a﹣b+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴a、c异号，a、b异号，
∴b、c同号，
故②是正确的；
∵a+2b+4c＞0，
∴a﹣4a﹣12a＝﹣15a＞0，
∴a＜0，
∴不等式化为：x2﹣4＞0，
解得：﹣2＜x＜2，
故③是正确的；
∵c＜0，
∴a＞0，
抛物线开口向上，
∵m﹣1＜m+2，y ＞y ，
1 2
∴m+2≤1，或1﹣（m﹣1）＞m+2﹣1
1
解得：m≤﹣1或m＜ ，
2
故④是错误的；
故答案为：①②③．
30．（2023秋•城厢区校级月考）如图，是抛物线y ＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐
1
标为A（1，3），与x轴的一个交点为B（4，0），点A和点B均在直线y ＝mx+n（m≠0）上．
2
①2a+b＝0；②abc＞0；③抛物线与x轴的另一个交点是（﹣4，0）；④方程ax2+bx+c＝﹣3有两个
不相等的实数根；⑤a﹣b+c＜4m+n；⑥不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为1＜x＜4．
其中正确的是 ①④ ．b
【分析】利用抛物线的对称轴方程得到− = 1，则可对①进行判断；由抛物线开口向下得到 a＜0，
2a
则b＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得到c＞0，则可对②进行判断；利用抛物线的对称性得到
抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0），则可对③进行判断；利用抛物线与直线y＝﹣3只有一个交点
可对④进行判断；利用x＝﹣1时，y ＞0，即a﹣b+c＞0，x＝4时，y ＝0，即4m+n＝0，则可对⑤进
1 2
行判断；结合函数图象可对⑥进行判断．
b
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=− =1，
2a
∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，所以①正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以②错误；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点为B（4，0），
∴抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0），所以③错误；
∵抛物线的顶点坐标为（1，3），
∴抛物线与直线y＝﹣3有两个交点，
∴方程ax2+bx+c＝﹣3有两个不相等的实数根，所以④正确；
∵x＝﹣1时，y ＞0，即a﹣b+c＞0，
1
而x＝4时，y ＝0，即4m+n＝0，
2
∴a﹣b+c＞4m+n；所以⑤错误；
∵当1＜x＜4时，y ＜y ，
2 1∴不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为x＜1或x＞4．所以⑥错误．
故答案为：①④．
