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专题 4.6 整式的加减（全章知识梳理与考点分类讲解）
【知识点1】整式的相关概念
1．单项式：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是
单项式．
【要点提示】（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数；（2）单项式的次数是指单
项式中所有字母的指数和．
2．多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项．
【要点提示】（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项．（2）多项式中次数最高的
项的次数，就是这个多项式的次数．（3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把
这个多项式称为n次m项式．
3. 多项式的降幂与升幂排列：
把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个
字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把
这个多项式按这个字母升幂排列．
【要点提示】（1）利用加法交换律重新排列时，各项应连同它的符号一起移动位置；
（2）含有多个字母时，只按给定的字母进行降幂或升幂排列．
4．整式：单项式和多项式统称为整式．
【知识点2】整式的加减
1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．所有的常数
项都是同类项．
【要点提示】辨别同类项要把准“两相同，两无关”：（1）“两相同”是指：①所含
字母相同；②相同字母的指数相同；（2）“两无关”是指：①与系数无关；②与字母的排
列顺序无关．
2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．
【要点提示】合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数
保持不变．
3．去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符
号都不改变；括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都
要改变．4．添括号法则：添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变；添括号后，
括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变．
5．整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、
减号连接，然后去括号，合并同类项．
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】代数式书写方法及代数式的意义
【例1】（23-24七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为6元/辆，
小型汽车的停车费为4元/辆，某天停车场内共有45辆中小型汽车，其中小型汽车有a辆．
（1）单项式 表示的实际意义为________；
（2）这一天停车场共可收缴停车费多少元？（用含a的代数式表示）
【答案】(1)a辆小型汽车的停车费 (2)这一天停车场共可收缴停车费为 元．
【分析】本题考查了列代数式．
（1）根据题意，得出单项式4a表示的实际意义为a辆小型汽车的停车费；
（2）根据停车总费用 中型汽车辆数 小型汽车辆数，即可得出关于a的代数式．
解：（1）单项式 表示的实际意义为a辆小型汽车的收费，
答案为：a辆小型汽车的停车费；
（2）根据题意得： ，
答：这一天停车场共可收缴停车费为 元．
【变式1】（22-23六年级上·山东泰安·阶段练习）下列各式中，符合整式书写要求的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用代数式的书写要求分别判断得出答案．此题考查了代数式，解题的关键是掌握代数式的书
写要求：
（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“ ”或者省略不写；
（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；
（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．
解：A、 不符合代数式的书写要求，应为 ，故此选项不符合题意；B、 不符合代数式的书写要求，应为 ，故此选项不符合题意；
C、 不符合代数式的书写要求，应为 ，故此选项不符合题意；
D、 符合代数式的书写要求，故此选项符合题意；
故选：D．
【变式2】（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）对代数式“ ”，请你结合生活实际，给出
“ ”一个合理解释： ．
【答案】每千克苹果售价x元，商家促销，每千克优惠 ，则实际售价为 元（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了代数式的意义，解题的关键是掌握代数式表达的实际意义．根据代数式的意义
进行解答即可．
解：每千克苹果售价x元，商家促销，每千克优惠 ，则实际售价为 元．
故答案为：每千克苹果售价x元，商家促销，每千克优惠 ，则实际售价为 元（答案不唯
一）．
【题型2】单项式的系数、次数及系数与次数形成的规律题
【例2】（24-25七年级上·全国·假期作业）观察下列关于 的单项式： ， ， ， ，
（1）直接写出第 个单项式：___________；
（2）第 个单项式的系数和次数分别是多少？
（3）系数的绝对值为 的单项式的次数是多少？
【答案】(1) (2)系数是 ，次数是 (3)
【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的单项式，探索出单项式的一般规律是解题的关键．
（1）根据所给的式子，直接写出即可；
（2）通过观察可得第 个单项式为 ，当 时，即可求解；
（3）由题意可得 ，求出 ，再由（2）的规律求解即可．
解：（1）第5个单项式为 ，故答案为： ；
（2） ， ， ， ，
第 个单项式为 ，
第20个单项式为 ，
第20个单项式的系数是 ，次数是41；
（3）解： 系数的绝对值为2023，
∴
，
次数为 ．
【变式1】（23-24七年级上·江西九江·期中）单项式 的系数、次数是（ ）
A．系数是3，次数是3 B．系数是 ，次数是3
C．系数是 ，次数是3 D．系数是 ，次数是4
【答案】D
【分析】本题考查单项式的知识，解题的关键是掌握单项式的定义．根据单项式的定义，逐项判断即可．
解：∵单项式 的系数是 ，次数是 ．
故选：D．
【变式2】（23-24七年级上·河北保定·期末）请你写出一个单项式，同时满足下列条件：①含有字母
x、y；②系数是 ；③次数是5，则写出的单项式为 （写一个即可）．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】本题主要考查单项式，掌握单项式的系数、次数的概念是解题的关键．
根据单项式系数、次数的定义写出符合题意的单项式即可．
解：根据题意可得：符合题意的单项式为： （答案不唯一）．
故答案为： （答案不唯一） ．【题型3】多项式的项、次数、升（降）幂排列
【例3】（23-24七年级上·吉林·期中）已知多项式 是关于 的六次四项式，且
单项式 的次数与该多项式的次数相同．
（1）求 的值；
（2）请将该多项式按 的降幂重新排列．
【答案】(1) ， (2)
【分析】本题考查了多项式及单项式的相关概念，几个单项式的和（或者差），叫做多项式，多项式中
的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数，熟练掌握相关概
念是解此题的关键．
（1）根据题意得出 ， ，求出 的值即可；
（2）由（1）得出原多项式为： ，再重新排列即可得到答案．
解：（1） 多项式 是关于 的六次四项式，且单项式 的次数与该多项
式的次数相同，
， ，
解得： ， ；
（2） ，
原多项式为： ，
将该多项式按 的降幂重新排列为： ．
【变式1】（23-24七年级下·吉林长春·开学考试）下列多项式中，是四次二项式的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了多项式，能熟记多项式的次数与项的定义是解此题的关键．
根据多项式的次数定义和多项式的项的定义：多项式中次数最高的项的次数叫多项式的次数，多项式中每一个单项式叫多项式的项，逐个判断即可．
解：A． 是四次二项式，故本选项符合题意；
B． 是一次二项式，不是四次二项式，故本选项不符合题意；
C． 是二次四项式，不是四次二项式，故本选项不符合题意；
D． 是三次二项式，不是四次二项式，故本选项不符合题意．
故选：A．
【变式2】（21-22七年级上·广东汕头·阶段练习）关于 的多项式 的次数是2，那么
．
【答案】2
【分析】此题主要考查了多项式的定义，多项式的次数，正确把握多项式的定义是解题关键．
直接利用多项式的定义得出 ，进而得出答案．
解： 关于 的多项式 的次数是2，
， ，
解得： ， ，
∴ 故答案为：2．
【题型4】同类项及合并同类项
【例4】（22-23七年级上·广东江门·期中）已知 与 是同类项，求多项式
的值．
【答案】 ，
【分析】本题考查了同类项的定义，整式化简求值；合并同类型，代值计算即可求解；理解定义“所含
字母相同，相同字母的指数相同的单项式叫做同类项．”是解题的关键.
解： 与 是同类项，
， ，
原式
，当 ， 时，
原式
．
【变式1】（23-24八年级下·浙江温州·开学考试）下列各对式子是同类项的是 （ ）
A． 与 B． 与 C． 与 D． 与
【答案】D
【分析】本题考查同类型定义，判断单项式是否为同类项，须从两个方面验证：①含有相同的字母；②
相同字母的次数相等；根据这两个要求逐项验证即可得到答案，熟记单项式的定义是解决问题的关键．
解：A、 与 中相同字母的次数不相等，不是同类项，不符合题意；
B、 与 中所含字母不相同，不是同类项，不符合题意；
C、 不是单项式， 与 不是同类项，不符合题意；
D、 与 中所含字母相同、相同字母的次数也相等，是同类项，符合题意；
故选：D．
【变式2】（2024六年级上·上海·专题练习）合并同类项：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
【答案】
【分析】此题主要考查了合并同类项的方法，解答此题的关键是要明确合并同类项的法则：把同类项的
系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
（1）根据合并同类项的法则计算即可；
（2）根据合并同类项的法则计算即可；
（3）根据合并同类项的法则计算即可；
（4）根据合并同类项的法则计算即可．
解：（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ，
故答案为：（1） ；（2） ；（3） ；（4） .
【题型5】去括号与添括号【例5】（22-23七年级上·重庆九龙坡·期末）化简：
(1) ； (2) ．
【答案】(1) (2)
【分析】本题考查了整式的加减．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，
然后合并同类项．
（1）（2）先去括号，然后合并同类项；
解：（1）
；
（2）解：
．
【变式1】（23-24七年级上·河北保定·期末）下列式子中去括号错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了去括号法则，熟练掌握去括号法则是解题关键．
根据去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括
号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反，分别判断得出答案．
解：A． ，正确，故此选项不合题意；
B． ，正确，故此选项不合题意；C． ，原计算错误，故此选项符合题意；
D． ，正确，故此选项不合题意；
故选：C．
【变式2】（22-23七年级上·河北唐山·单元测试）当 时，代数式 的值为2024，则当
时，代数式 的值为
【答案】
【分析】本题考查代数式求值，利用等式的性质得出 的值是解题关键．
把 代入代数式，得到 ，再把 与 的值代入计算即可求出值．
解：∵当 时，代数式 的值为2024，
∴
∴
∴当 时， ．
故答案为： ．
【题型6】整式的加减运算
【例6】（23-24七年级上·四川泸州·开学考试）已知关于 的整式 ，整式
．
（1）求 的值；
（2）若 是常数，且 的值与 无关，求 的值．
【答案】(1) (2)
【分析】此题考查了整式的加减，熟练掌握去括号与合并同类项法则是解本题的关键．
（1）将M和N代入 ，然后利用整式的加减运算法则求解即可；
（2）由结果与x值无关，得到 ，求出a的值即可．
解：（1）∵ ，
∴；
（2）∵ ，
∵ 是常数，且 的值与 无关，
∴ ，
∴ ．
【变式1】（23-24七年级上·四川南充·期中）计算 与 的差，结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了整式的加减，掌握去括号、合并同类项法则是解答此题的关键．先根据题意列
出式子，再运算即可．
解：由题意得：
，
，
，
故选：D．
【变式2】（23-24七年级下·江苏淮安·开学考试）已知有理数 ， ， 在数轴上对应点的位置如图所示，
化简 ．
【答案】 /
【分析】本题主要考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，化简绝对值，整式的加减运算等知识点，
熟练掌握运算法则是解题的关键．
根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到
结果．解：根据数轴上点的位置得： ，
，
从数轴可以看出： ，
，
，
故答案为： ．
【题型7】整式的化简求值
【例7】（23-24七年级下·重庆·开学考试）化简求值 ： ，其中
．
（1）求a，b的值
（2）化简并求出 的值．
【答案】(1) ， (2) ，
【分析】本题考查整式的运算，熟练运用整式运算法则是解题关键．
（1）根据绝对值的非负性即可求解；
（2）先去括号，然后和合并同类项，得出最简式后，把 、 的值代入计算即可．
解：（1）∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ；
（2）
，
当 ， 时，原式 ．
【变式1】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）若关于 的多项式 中不含一次项，
则 的值是（ ）
A．4 B．2 C． D．4或
【答案】C
【分析】本题考查了整式加减运算，本题的关键是找出多项式中的一次项，让其系数为0，进行计算即可．
解：
，
∵多项式 中不含一次项，
∴ ，
解得： ，
故选：C．
【变式2】（23-24七年级下·广西南宁·开学考试）阅读材料：我们知道， ，类
似地，我们把 看成一个整体，则 ．“整体思
想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，请你尝试用
此思想解决以下问题：
若 ，则 ．
【答案】40
【分析】原式去括号整理后，把已知等式代入计算即可求出值．此题考查了整式的加减 化简求值，熟练
掌握运算法则是解本题的关键．
解：，
，
原式 ，
故答案为：40．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·江苏扬州·中考真题）1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，
2，3，5，……，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的
前2024个数中，奇数的个数为（ ）
A．676 B．674 C．1348 D．1350
【答案】D
【分析】将这一列数继续写下去，发现这列数的变化规律即可解答．
本题主要考查的是数字规律类问题，发现这列数的变化规律是解题的关键．
解：这一列数为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…
可以发现每3个数为一组，每一组前2个数为奇数，第3个数为偶数．
由于 ，
即前2024个数共有674组，且余2个数，
∴奇数有 个．
故选：D
【例2】（2023·西藏·中考真题）按一定规律排列的单项式： ， ， ， ， ．则按此规律
排列的第n个单项式为 ．（用含有n的代数式表示）
【答案】
【分析】根据系数和字母的次数与单项式的序号关系写出即可．
解： 系数为 ，次数为1；
系数为 ，次数为2；
系数为 ，次数为3；系数为 ，次数为4；
第n个单项式的系数可表示为： ，字母a的次数可表示为：n，
∴第n个单项式为： ．
【点拨】本题考查数字变化类规律探究，掌握单项式的系数和次数并发现其变化规律是解题的关键．
2、拓展延伸
【例1】（23-24七年级上·四川达州·期末）阅读下列材料：等式 在一般情形下不成立，但有些
特殊数可以使它成立，例如： ， 时， 成立，我们称 为 成立的“特
异数对”．
请完成下列问题：
（1）若 是 成立的“特异数对”，则 ；
（2）写出一对 成立的“特异数对” ，其中 ， ；
（3）若 是 成立的“特异数对”，求代数式 的值．
【答案】(1) ； (2) ；（答案不唯一） (3) ．
【分析】（ ）根据“特异数对”的定义计算即可求解；
（ ）令 ，再根据“特异数对”的定义计算即可求解；
（ ）由“特异数对”的定义可得 ，再化简代数式，把 代入到化简后的结果中计算
即可求解；
本题考查了有理数的新定义运算，整式的加减 化简求值，理解“特异数对”的定义是解题的关键．
解：（1）由题意可得， ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）令 ，∴ ，
∴ ，
∴ 是一对“特异数对”；
（3）∵ 是 成立的“特异数对”，
∴ ，
∴原式
，
，
，
，
．
【例2】（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：
（1）在④后面的横线上写出相应的等式：
① ；② ；③ ；④________；⑤ ；…
（2）若n表示任意一个整数，则2n可以表示任意一个偶数，请你写出第n个等式；
（3）利用（2）中的等式，计算：
【答案】(1) (2) (3)2100
【分析】本题考查了图形类和数字类规律探究，解决本题的关键是通过从一些特殊的数字变化中发现不
变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．
（1）观察图形的变化情况即可填空；
（2）结合（1）即可得第n个等式；
（3）结合（2）的规律进行计算即可．
解：（1）根据题意得：④ ，故答案为： ；
（2）∵ ；
；
；
；
；…
∴
故答案为： ；
（3）
．
