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专题7.16 平面直角坐标系中的几何问题（建系问题）
一、单选题
1．（22·23七年级下·福建龙岩·期中）如图，若在象棋盘上建立直角坐标系，使“兵”位于点 ，
“馬”位于点 ，则“帅”位干点（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·江苏南京·一模）在正方形网格中，点A、B、C的位置如图所示，建立适当的直角坐标系后，
点B，C的坐标分别是 ， ，则点A在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（19·20七年级下·山西吕梁·期末）如图是人民公园的部分平面示意图，为准确表示地理位置，可
以建立坐标系用坐标表示地理位置，若牡丹园的坐标是 ，南门的坐标是 ，则湖心亭的坐标为
（ ）A． B． C． D．
4．（21·22七年级下·福建福州·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点 ，
均在格点上，以某一个格点为原点，适当方向为 ， 轴的正方向，取相同单位长度建立平面直角坐标
系，则下列不可能是同一个坐标系中点 ， 的坐标的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
5．（22·23七年级下·河北邢台·期中）有甲、乙、丙三人，他们所在的位置不同，三人都以相同的单
位长度和方向建立不同的坐标系．根据甲、丙两人的描述，如果以乙为坐标原点，甲和丙的位置分别是（
）
甲：“以我为坐标原点，乙的位置是 ．” 丙：“以我为坐标原点，甲的位置是 ．”
A． ， B． ，
C． ， D． ，
二、填空题
6．（21·22七年级下·重庆·期中）为了学习研究平面直角坐标系中点的坐标，甲同学以A为原点，建
立平面直角坐标系，甲同学读出B、C坐标为B（a，b）、C（4，3）；乙同学以B为原点、与甲同学相同正方向、相同单位长度建立直角坐标系，乙同学发现点C恰好横、纵坐标相等，则3a−3b+1的值是 ．
7．（19·20八年级下·北京·期末）在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 的坐标为（1，1）．如果将 x 轴
向上平移 2 个单位长度，y 轴不变，得到新坐标系，那么点 P 在新坐标系中的坐标是 ．
8．（18·19七年级下·北京丰台·期末）阅读理如图1,在平面内选一定点O,引一条有方向的射线Ox,再选
定一个单位长度,那么平面上任一点M的位置可由∠MOx的度数θ与OM的长度m确定,有序数对（θ,m）
称为M点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．应用：在图2的极坐标系下，如果正六边
形的边长为2，有一边OA在射线Ox上，则正六边形的顶点C的极坐标应记为 .
9．（20·21七年级下·广西河池·期中）如图，直角坐标系中 、 两点的坐标分别为 ， ，则
该坐标系内点 的坐标为 ．
10．（21·22七年级下·四川绵阳·期末）法国数学家笛卡尔最早引入坐标系，开始用坐标描述图形中点
的位置．如图，中国象棋棋盘的一部分，若其中 的坐标为 ， 的坐标为 ，则 的
坐标为 ．三、解答题
11．（21·22七年级上·全国·单元测试）坐标平面内有 个点： ， ， ， ．
（1）建立坐标系，描出这 个点，顺次连接 ， ， ， ，组成四边形 ；
（2）求四边形 的面积．
12．（22·23七年级下·湖北咸宁·期末）如图，网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，
的各顶点都在网格的格点（正方形的顶点）上，若记点A的坐标为 ，点C的坐标为 ．
（1）请在图中建立合适的平面直角坐标系；
（2）把 平移，使点A与图中的点 重合，请你画出平移后的 ；（点 分别是顶点
B，C的对应点）
（3）在（1）中的坐标系内，过点A作直线 轴，点P在直线l上，且 的面积是4，则点P的
坐标为_______（直接填写结果）．
13．（23·24八年级上·河南焦作·期中）如图，已知长方形 的长和宽分别为6，3．（1）建立适当的坐标系，使长方形一个顶点的坐标为 ；
（2）直接写出在（1）所建坐标系中其余三个顶点的坐标．
14．（23·24八年级上·甘肃兰州·期中）坐标平面内有4个点： ， ， ， ．
（1）建立坐标系，描出这4个点，顺次连接A，B，C，D，组成四边形 ；
（2）求四边形 的面积．
15．（23·24八年级上·广东梅州·期中）建立平面直角坐标系，在坐标系中描出下列各点，并写出各点
所在的象限或坐标轴． ．
16．（18·19八年级上·甘肃兰州·期中）如图，在等腰三角形ABC中，腰AB=AC=6，底边BC=4，建立适
当的坐标系，写出各顶点的坐标，并计算三角形的面积.17．（18·19七年级下·全国·单元测试）坐标平面内有4个点A（0,2）,B（-2,0）,C（1,-1）,D（3,1）.
（1）建立坐标系,描出这4个点;
（2）顺次连接A,B,C,D,组成四边形ABCD,求四边形ABCD的面积.
（3）线段AB,CD有什么关系?请说明理由.
18．（21·22七年级下·安徽芜湖·期中）如图，在长方形 中， ， ，以O为原点，
为x轴， 为y轴，建立平面直角坐标系坐标系．动点P从点A出发，沿A→O→C→B路线运动到点
B停止，速度为4个单位长度/秒；动点Q从点O出发，沿O→C→B路线运动到点B停止，速度为2个单
位长度/秒；当点P到达点B时，两点同时停止运动．设运动时间为t．
（1）写出A、B、C三点的坐标；
（2）当点P恰好追上点Q时，求此时点P的坐标；
（3）当点P运动到线段 上时，连接 、 ，当 的面积是3时，求t的值．19．（2022八年级上·浙江·专题练习）如图，已知直角梯形 ， ， ，
，建立适当坐标系，写出四个顶点的坐标．
20．（18·19七年级·山东济宁·期中）如图所示的象棋盘上，若“士”的坐标是（﹣2，﹣2）．
（1）在图中建立正确的平面直角坐标；
（2）根据所建立的坐标系，分别写出“相”、“炮”和“兵”的坐标．21．（2021八年级上·全国·专题练习）如图是某台阶的一部分，如果建立适当的坐标系，使A点的坐
标为（0，0），B点的坐标为（1，1）
（1）直接写出C，D，E，F的坐标；
（2）如果台阶有10级，你能求得该台阶的长度和高度吗？22．（19·20七年级下·河南周口·期末）如图，已知圆形吸盘在长方形金属板上．
（1）建立适当的坐标系，写出圆形吸盘圆心的坐标；
（2）保持（1）的坐标系不变，将圆形吸盘先右移3个单位长度，再下移2个单位长度，写出移动后
吸盘圆心的坐标
23．（22·23七年级下·湖北黄冈·阶段练习）如图，在平面直苴角坐标系中，点 ，且a，b满足
，将线段 向右平移至线段 ，A与B对应，O与C对应，其中点B落在y轴正半
轴上．
（1）求出点B、C的坐标；
（2）若 与 互补，若 ．
①求证： ；
②求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，动点P从点B出发，以 的速度沿射线 方向运动；同时，动点Q从
点C出发，以 的速度沿射线 方向运动．是否存在某一个时刻t，使得 ，若存在，请
直接写出t的值；若不存在，请说明理由．24．（23·24八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，已知 、 、
（1）在坐标系中描出各点，画出 ；
（2）求 的面积；
（3）点 在 轴上，当 的面积为6时，请直接写出点 的坐标．参考答案：
1．D
【分析】先根据“兵”、“馬”的位置确定原点的坐标，建立平面直角坐标系，从而可确定“帅”的
坐标．
解：如图，根据题意建立平面直角坐标系：由图可得“帅”的坐标为： ，
故选：D．
【点拨】本题考查了平面直角坐标系的建立，在平面直角坐标系中确定点的位置，熟练掌握在平面直
角坐标系中确定点的位置是解题的关键．
2．B
【分析】根据题意得，建立如图直角坐标系，再判断即可．
解：根据题意得，建立如图直角坐标系，如图：
∴点A在第二象限，
故选：B．
【点拨】本题考查直角坐标系，解题的关键是根据 ， 构造合适的直角坐标系．
3．B
【分析】根据题中的牡丹园和南门的坐标确定原点的位置，即可得到湖心亭的坐标.
解：∵牡丹园的坐标是 ，南门的坐标是 ，
∴中心广场的位置是原点，
∴湖心亭的坐标为 ，
故选：B.
【点拨】此题考查利用点的坐标表示实际的地理位置，根据已知的条件确定原点的位置，由此确定其
他点的坐标是解题的关键.
4．D
【分析】根据选项中给出的其中一个点的坐标找到直角坐标系的原点，设每个小正方形格长为单位长
度，建立直角坐标系，再确认另一个点的位置，看是否符合题意判断答案即可．
解：按已知条件给出的点M的坐标，先确定直角坐标系的位置，
再在坐标系中判断点N是否与已知相符，
A.M（-2，0），N（1，1）B.M（-1，0），N（0，2）
C.M（-4，-4），N（2，-2）
（当每个小方格边长代表2个单位长度时，即可成立．）
D.M（1，2），N（4，3）通过画图，选项D符合题意．
故选：D．
【点拨】考查已知点的坐标画直角坐标系，直角坐标系中点的位置，关键要掌握直角坐标系中点的坐
标的意义，特别注意B选项，直角坐标系的原点位置．
5．B
【分析】先根据甲的描述确定甲的位置，再根据丙的描述确定丙和甲的相对位置，进而求出丙的位置．
解：以甲为坐标原点，乙的位置是 ，则以乙为坐标原点，甲的位置是 ，
由“以丙为坐标原点，甲的位置是 ”，可知甲向右移动7个单位长度，再向上移动5个单位长
度与丙重合，
因此以乙为坐标原点，丙的位置是 ，即 ，
故选B．
【点拨】本题考查用坐标表示位置，解题的关键是根据丙的描述确定丙和甲的相对位置．
6．4
【分析】根据以B为原点、与甲同学相同正方向、相同单位长度建立直角坐标系，乙同学发现点C恰
好横、纵坐标相等，可以推断出点C恰好在平面直角坐标系的第一、三象限的角平分线上，故3−b=4−a，
求出a−b=1，然后再求解即可．
解：根据题意可知，甲同学以A为原点，B、C坐标为B（a，b）、C（4，3），
当以B为原点、与甲同学相同正方向、相同单位长度建立直角坐标系，乙同学发现点C恰好横、纵坐
标相等，
∴点C恰好在平面直角坐标系的第一、三象限的角平分线上，
∴3−b=4−a，∴a−b=1，
∴3a−3b+1=4，
故答案为：4．
【点拨】本题主要考查点的坐标表示，熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标规律是解答此题的关键．
7．（1， ）
【分析】将坐标系中的x轴向上平移2个单位，即相当于将点P向下平移2个单位，根据左加右减，
上加下减的规律求解即可．
解：如果将x轴向上平移2个单位长度，则其纵坐标减少2，
∴点P在新坐标系中的坐标是（1，-1），
故答案为：（1， ）．
【点拨】本题考查了坐标与图形变化——平移，熟记坐标平移左减右加，上加下减的规律是解题的关
键．
8．（60°,4）.
【分析】设正六边形的中心为D，连接AD，判断出 AOD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得
OD=OA，∠AOD=60°，再求出OC，然后根据“极坐标”的△定义写出即可．
解：如图，设正六边形的中心为D，连接AD，
∵∠ADO=360°÷6=60°，OD=AD，
∴△AOD是等边三角形，
∴OD=OA=2,∠AOD=60°，
∴OC=2OD=2×2=4，
∴正六边形的顶点C的极坐标应记为（60°,4）.
故答案为（60°,4）.
【点拨】此题考查正多边形和圆，坐标与图形性质，解题关键在于作辅助线.
9．【分析】首先根据A、B点坐标确定原点位置，然后再建立坐标系，再确定C点坐标即可．
解：点C的坐标为（-1，3），
故答案为：（-1，3）．
【点拨】此题主要考查了点的坐标，关键是正确建立坐标系．
10．
【分析】根据题目中马与兵的坐标，在图中确定原点在马上面三格，再向左一格的位置，然后再确定
炮的位置即可．
解：∵马的坐标为 ，兵的坐标为 ，
∴炮的坐标为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查如何运用直角坐标系确定点的位置，正确得出原点位置是解题关键．
11．（1）见分析；（2）
【分析】（1）根据题意，画出坐标系，然后描点即可求解；
（2）根据四边形 的面积等于 即可求解．
（1）解：如图所示，（2）解：四边形 的面积等于
．
【点拨】本题考查了坐标与图形，数形结合是解题的关键．
12．（1）见分析；（2）见分析；（3） 或
【分析】（1）根据点的坐标建立直角坐标系即可；
（2）根据点A及 的位置可得，将 向右平移2个单位，再向下平移1 个单位即可得到 ；
（3）由过点A作直线 轴，得 的高是2，由面积得到 ，即可得到点P的坐标．
解：（1）如图：
（2）如图， 即为所求；
（3）∵过点A作直线 轴，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，
∴点B到直线l的距离为2，
∵点P在直线l上，且 的面积是4，
∴ 的高是2，
∴ ,∴ ,
∴ 或 ，
故答案为： 或 ．
【点拨】此题考查了坐标与图形，图形的平移，利用三角形的面积确定点的坐标，正确掌握坐标与图
形的关系是解题的关键．
13．（1）见分析；（2）
【分析】此题重点考查平面直角坐标系、图形与坐标等知识，适当确定原点 的位置进而建立平面直
角坐标系是解题的关键．
（1）令点A的坐标为 ，再确定原点的位置，建立使长方形 的边分别与 轴、 轴平行的
平面直角坐标系即可；
（2）由长方形的性质得 轴, 轴, 可求得
写出点的坐标即可．
解：（1）建立平面直角坐标系，如图所示, 使 ， 轴, 轴．（2）
理由：∵四边形 是长方形， ，
∴ ，
∴ 轴， 轴，
，
．
14．（1）图形见分析；（2）四边形 的面积等于6．
【分析】本题考查了坐标与图形，数形结合是解题的关键．
（1）根据题意，画出坐标系，然后描点即可求解；
（2）根据四边形 的面积等于 即可求解．
（1）解：如图所示，
（2）解：四边形 的面积等于
．
15．描点见分析， 在第一象限； 在第一象限； 在第二象限； 在第三象限； 在 轴上； 在
轴上
【分析】本题考查图形与坐标，先将各点在平面直角坐标系中标出，再由各象限及坐标轴上点的坐标
特征判定即可得到答案，熟练掌握图形与坐标相关知识是解决问题的关键．解：如图所示：
；
在第一象限； 在第一象限； 在第二象限； 在第三象限； 在 轴上； 在 轴上．
16．8
【分析】以BC边所在的直线为 轴，以 边的垂直平分线为 轴，建立平面直角坐标系，即可写出
各个点的坐标，根据面积公式计算三角形的面积即可.
解：如图：建立直角坐标系，AB=AC=6，底边BC=4，【点拨】考查等腰三角形的性质，勾股定理以及三角形的面积公式，建立合适的坐标系是解题的关键.
17．（1）见分析；（2）8；（3）AB∥CD，理由见分析.
【分析】（1）根据平面直角坐标系找出点A、B、C、D的位置，然后描出即可；（2）利用四边形
ABCD所在的矩形的面积减去四周四个直角三角形的面积列式计算即可得解；
解： （1） 描点如下：
（2）四边形ABCD的面积为8.
S =5×3- ×2×2- ×3×1- ×2×2- ×3×1=8.
四边形ABCD
（3）AB∥CD, ,因为点A向右平移3个单位后,再向下平移1个单位,得到点D,而B点也是向右平移3个单
位后,再向下平移1个单位,得到点C,所以AB∥CD.【点拨】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，坐标与图形变化-平移，熟练掌握网格结构准确
找出对应点的位置是解题的关键．
18．（1） ； ； ；（2） ；（3） 或
【分析】（1）根据长方形的性质和平面直角坐标系中点的坐标的写法写出即可；
（2）设x秒后点P恰好追上点Q，此时根据点P运动的路程减去点Q运动的路程等于OA的长，列出
方程并解出，再根据图形即可得出点P的坐标；
（3）根据题意，分点Q在点P的前面和点P在点Q的前面两种情况，再根据三角形的面积列出方程
解出即可．
（1）解：∵ ， ，以O为原点， 为x轴， 为y轴，
∴ ； ； ；
（2）解：设x秒后点P恰好追上点Q，
∴ ，
解得 ，
∴点P运动的路程为 ，
∵ ， ，
∴点P在BC上，
∴ ，
∴点P的坐标为 ．
（3）解：①当点Q在点P的前面时，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
解得 ；
②当点P在点Q的前面时，
∴ ，
又∵ ，
，解得： ．
综上可得：当 的面积是3时， 或 ．
【点拨】本题考查了坐标与图形、一元一次方程的实际应用，解本题的关键在找出追及问题的等量关
系，以及（3）中的分情况讨论．
19．坐标系见分析， ， ， ，
【分析】以点B为坐标原点建立平面直角坐标系，然后写出各点的坐标即可．
解：建立平面直角坐标系如图，
∵ ， ， ，
∴ ， ， ， ．
【点拨】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了平面直角坐标系的建立与点的坐标，根据原点的不
同选择，答案也不一致．
20．（1）画图见分析；（2）“相”（3，2）、“炮”（﹣3，0）、“兵”（3，﹣2）
【分析】（1）根据“士”的坐标向右移动两个单位，再向上移动两个单位，可得原点，据此可得坐
标系；
（2）根据所建立的平面直角坐标系及点的坐标的定义可得．
解：（1）建立坐标系如图所示：
（2）由坐标系知，“相”的坐标为（3，2）、“炮”的坐标为（﹣3，0）、“兵”的坐标为（3，﹣
2）．【点拨】考查了坐标确定位置，利用“士”的坐标得出原点的位置是解题关键．
21．（1）C（2，2），D（3，3），E（4，4），F（5，5）；（2）高度是10，长度为10
【分析】（1）根据平面直角坐标系的定义建立，然后写出各点的坐标即可；
（2）利用平移的性质求出横向与纵向的长度，然后求解即可．
解：（1）以A点为原点，水平方向为x轴，建立平面直角坐标系．
所以C，D，E，F各点的坐标分别为C（2，2），D（3，3），E（4，4），F（5，5）．
（2）每级台阶高为1，宽也为1，
所以10级台阶的高度是10，长度为10．
【点拨】本题考查了坐标与图形的性质确，主要利用了平面直角坐标系，从平移的角度考虑求解是解
题的关键．
22．（1）坐标系见分析，圆心坐标（4，6）；（2）平移后圆心的坐标为（7，4）．
【分析】如图，以长方形的左下方的顶点为原点建立坐标系，根据金属板上的数据即可得圆心的坐标；
（2）根据点“横坐标左减右加，纵坐标上加下减”的平移规律即可得平移后圆心的坐标．
解：（1）如图，以长方形的左下方的顶点为原点建立坐标系，
由图中数据可知：圆心坐标为（4，6）．
（2）∵将圆形吸盘先右移3个单位长度，再下移2个单位长度，圆心坐标为（4，6），∴平移后圆心的坐标为（7，4）．
【点拨】本题考查平面直角坐标系及点的平移，熟练掌握“横坐标左减右加，纵坐标上加下减”的平
移规律是解题关键．
23．（1） ；（2）①见分析；② ；（3）存在， 或
【分析】（1）根据非负数性质求出a、b值，从而得点A坐标，再由平移性质求解即可．
（2）①先证明 ，再由 ，可证明 ，从而得结论；
②根据 ，即 ，求出 ，即可求解．
（3）过点O作 于E， 于F，分两种情况：当点P在线段 上时，点Q在线段
上时；当点P在线段 延长线上时，点Q在线段 延长线上时；分别求解即可．
（1）解：
，
， ，
由平移的性质可得：
， ．
（2）解：① 与 互补 ，
，
，
，
，
，
②由①得： ，
解得： ，
．（3）解：过点O作 于E， 于F，如图，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ，
同理可求得， ， ．
分两种情况：当点P在线段BC上时，点Q在线段CD上时，
当 时，即
∴ ，
解得： ；
当点P在线段BC延长线上时，点Q在线段CD延长线上时，如图，当 时，即
∴ ，
解得： ；
综上，存在，当使得 时，t的值为 或 ．
【点拨】本题考查非负数性质，平移的性质，勾股定理，三角形的面积．熟练掌握平移的性质和非负
数性质是解题的关键．注意分类讨论思想的运用．
24．（1）见分析；（2） ；（3） 或
【分析】本题主要考查了坐标与图形，三角形面积，画出图形是解答关键．
（1）依据点 ， ， ，即可描出A，B，C三点；
（2）根据三角形的面积公式求解；
（3）设点 ，根据三角形面积公式求解．
（1）解：如图所示， 为所求，（2）解：∵ 、 、
∴
点 到边 的距离为：
∴ 的面积为：
（3）解：设点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴点的坐标为或．
