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专题 8.2 二元一次方程组的解法与特殊解法之六大考点
目录
【典型例题】..............................................................................................................................................................1
【考点一 代入消元法解二元一次方程组】....................................................................................................1
【考点二 加减消元法解二元一次方程组】....................................................................................................4
【考点三 二元一次方程组的错解复原问题】................................................................................................7
【考点四 构造二元一次方程组求解】..........................................................................................................10
【考点五 二元一次方程组中同解方程组】..................................................................................................11
【考点六 二元一次方程组的特殊解法】......................................................................................................13
【过关检测】............................................................................................................................................................16
【典型例题】
【考点一 代入消元法解二元一次方程组】
例题：（2024下·全国·七年级假期作业）用代入法解方程组：
(1) (2)
【变式训练】
1．（2023下·云南昆明·七年级统考期末）解下列方程组：
(1) (2)
2．（2023下·山东菏泽·七年级统考期中）解下列方程组(1) ； (2) ．
【考点二 加减消元法解二元一次方程组】
例题：解方程组：
(1) (2)
【变式训练】
1.解方程组：
(1) ； (2) ．
2.解下列二元一次方程组：
(1) ； (2) ．
【考点三 二元一次方程组的错解复原问题】
例题：下面是小亮解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：第一步：由①得， ③；
第二步：将③代入②，得
第三步：解得
第四步：将 代入③，解得 ；
第五步：所以原方程组的解为
任务一：小亮解方程组用的方法是________消元法．（填“代入”或“加减”）；
任务二：小亮解方程组的过程，从第________步开始出现错误，错误的原因是________．
任务三：请写出方程组正确的解答过程．
【变式训练】
1.下面是马小虎同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解方程组：
解：①×2，得 ……③ 第一步
②－③，得 第二步
． 第三步
将 代入①，得 ． 第四步
所以，原方程组的解为 第五步
(1)这种求解二元一次方程组的方法叫做 法，以上求解步骤中，马小虎同学第 步开始出现错误．
(2)请写出此题正确的解答过程．2.解方程组： ．
小海同学的解题过程如下：
解：由②，得 ③……（1）
把③代入①，得： ……（2）
解得： ……（3）
把 代入③，得 ……（4）
∴此方程组的解为 ……（5）
判断小海同学的解题过程是否正确，若不正确，请指出错误的步骤序号，并给出正确的解题过程．
【考点四 构造二元一次方程组求解】
例题：（2023下·贵州·七年级校联考阶段练习）已知 ，则 ，
．
【变式训练】
1．（2023上·江西吉安·八年级统考阶段练习）已知 ，则 ．
2．（2023下·湖南张家界·七年级统考期末）已知 ，则 ．
【考点五 二元一次方程组中同解方程组】
例题：（2023春·河南南阳·七年级校考阶段练习）方程组 与 有相同的解，求a，
b的值．
【变式训练】1．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）已知关于x，y的方程组 与 的解相同，
则 ．
2．（2022春·陕西安康·七年级校考阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程组 的解和关于
x，y的二元一次方程组 的解相同，求 的平方根．
【考点六 二元一次方程组的特殊解法】
例题：（2023春·浙江台州·七年级统考期末）若关于x，y的二元一次方程组 的解是 ，
则关于m、n的二元一次方程组 的解是 ．
【变式训练】
1．（2023春·江苏扬州·七年级校考阶段练习）已知方程组 的解是 ，则方程组
的解是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022春·福建福州·七年级校考期中）若关于m，n的二元一次方程组 的解是 那么关于x，y的二元一次方程组 的解 ．
3．（2023春·四川巴中·七年级校考阶段练习）已知关于x，y的方程组 的解是 ，求关于
x，y的方程组 的解．
【过关检测】
一、单选题
1．（2024上·广东河源·八年级统考期末）已知 和 是二元一次方程 的两个解，则 ，
的值分别为（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
2．（2023上·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考阶段练习）以方程组 的解为坐标的点 在平
面直角坐标系中位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（2024上·山东滨州·七年级校考期末）以下解方程组 的步骤正确的是（ ）
A．代入法消去m，由①得 B．代入法消去n，由②得
C．加减法消去n， 得 D．加减法消去m， 得
4．（2023下·浙江金华·七年级统考期末）已知 是关于 、 的二元一次方程组，求 是
（ ）
A． B． C． D．
5．（2024下·浙江·九年级自主招生）若方程组 的解是 ，则方程组
的解是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（2023下·新疆乌鲁木齐·七年级新疆师范大学附属中学校考期中）已知二元次方程 ，用 的
代数式表示 ，则 =
7．（2024上·山东滨州·七年级校考期末）若 ，则 ．
8．（2023下·福建泉州·七年级校考期中）若关于 ， 的二元一次方程组 的解也是二元一次方
程 的解，则 的值为
9．（2024上·四川成都·八年级统考期末）若关于 ， 的方程组 和 的解相同，则
．10．（2023下·河南周口·七年级校考阶段练习）关于x、y的方程组 ，则以下结论：①当
时，方程组的解也是 的解；②当 时， ；③不论a取什么数， 的值始终不变，
其中正确的结论有 （填序号）．
三、解答题
11．（2024上·山东济南·八年级统考期末）解二元一次方程组：
(1) ；
(2) ．
12．（2023下·黑龙江绥化·八年级校考期中）解下列二元一次方程组．
(1)
(2)
13．（2024上·安徽安庆·七年级统考期末）对有理数 、 ，定义新运算 ，其中 ， 为
常数，已知 ， ．
(1)求 ， 的值；
(2)如果 ， ，求 的值．14．（2023上·山东青岛·八年级统考期末）下面是小马同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成
相应的任务．
解方程组：
解： 得 ③．．．．．．．．．．．．．．．．．．第一步
得 ．．．．．．．．．．．．．．．第二步
．．．．．．．．．．．．．．．第三步
将 代入①得 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．第四步
所以，原方程组的解为 ．．．．．．．．．．．．．．．．．第五步
(1)这种求解二元一次方程组的方法叫做_________，其中第一步的依据是_________；
(2)第_________步开始出现错误；
(3)请你从出现错误的那步开始，写出后面正确的解题过程．
15．（2023上·河南郑州·八年级统考期末）在《二元一次方程组》单元回顾与整理时，刘老师给出方程组
请同学们用自己喜欢的方法解这个方程组．小明和小颖解方程组的部分过程如下：
小明： ，得 ．
小颖：由②，得 ，
把①代入③，得 ．
(1)①小明和小颖解方程组的过程是否正确（在横线处填写“正确”或“不正确”）：
小明的过程______ 小颖的过程______
②小明和小颖解二元一次方程组的方法虽然不同，但基本思路相同，都是______．
(2)请你用喜欢的方法解二元一次方程组16．（2023上·安徽亳州·七年级统考阶段练习）已知关于x，y的方程组 与
有相同的解．
(1)求这个相同的解；
(2)求m，n的值；
(3)若（1）中的解也是关于x，y的方程 的解，求a的值．
17．（2023下·河南漯河·七年级校考阶段练习）阅读理解
（Ⅰ）我国古代很早就开始对一次方程组进行研究，其中不少成果被收录在中国古代数学著作《九章算
术》中，它的方程章中就有许多关于一次方程组的内容．下面的两幅算筹图就表示了两个二元一次方程组：
把它们写成我们现在的方程组是 与 ．
（Ⅱ）对于二元一次方程组 ，我们可以将x，y的系数和相应的常数项排成一个数表，通过运
算使数表变为 即可求得的方程组的解为 ．用数表简化解二元一次方程组 的过
程如下：
所以方程组的解为 ，解答下列问题：(1)直接写出下面算筹图表示的关于x，y的二元一次方程组．
(2)依照阅读材料（Ⅱ）中数表的解法格式解（1）中你写出的二元一次方程组．
18．（2023下·河北沧州·七年级校考阶段练习）阅读探索：
解方程组 时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下：
解：设 ， ，原方程组可化为
解得 即 解得
根据上述材料，解决下列问题：
(1)运用换元法求关于a，b的方程组 的解；
(2)若关于x，y的方程组 的解为 求关于m，n的方程组 的
解．
