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专题9.2 不等式及其性质（分层练习）
一、单选题
1．（2024七年级下·全国·专题练习）有下列式子：① ；② ；③ ；④ ；⑤
；⑥ ．其中不等式的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（23-24八年级下·山西太原·期中）如图是2024年4月12日太原的天气，这天的最高气温是 ，最
低气温是 ，设当天某一时刻的气温为 ，则t的变化范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（22-23七年级下·湖南衡阳·期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．不等式 的解集是 B． 是不等式 的一个解
C．不等式 的整数解有无数个 D．不等式 的正整数解有4个
4．（23-24八年级下·广东河源·期中）若 ，则下列式子错误的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·山东淄博·一模）已知 ，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐
标可能是（ ）A． B． C． D．
6．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）下面各数中，是不等式 的解的是（ ）
A． B． C． D．
7．（22-23七年级下·山东济宁·阶段练习）下列选项中，不能用不等式表示的是（ ）
A． 小于0 B． 是正数 C． 等于零 D．a比b大
8．（22-23七年级下·北京昌平·期中）定义新运算“ ”，规定： ．若关于 的不等式
的解集为 ，则 的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
9．（2024·江苏无锡·一模）已知 、 、 满足等式 ，则下列结论不正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
10．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）已知 ，下列不等式成立的是：（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（23-24六年级下·上海普陀·期中）a的平方减去2的差不大于a与b的乘积，用不等式表示为 ．
12．（22-23八年级下·广东佛山·阶段练习）写出一个不等式，使它的解为 ，则这个不等式可以是
．
13．（20-21七年级上·湖北襄阳·期中）如图所示，数轴的一部分被墨水污染，被污染的部分内含有整数
为 ．14．（22-23七年级上·福建泉州·期中）已知 ，则 的最大值与最小
值的差为__________．
15．（23-24七年级下·北京西城·期中）以下是一位同学求解不等式 时的过程：
发现有错后，请你修改正确答案.
他在分析错因时写道：单独一个数或字母，在“去分母”时，容易漏乘，应该在“1”下面标注“ ”或另
作标记，提醒自己注意．
① “⭕”内应修改的正确答案是
② “去分母”这步，依据的不等式基本性质是 （请写明基本性质的具体内容）
16．（2024八年级下·全国·专题练习）用不等式表示“x的平方与a的平方之差不是正数”为 ．
17．（2023八年级上·浙江·专题练习）我们定义 ，例如 ，若x，y
均为整数，且满足 ，则 的值是 ．
18．（20-21八年级上·四川成都·阶段练习）若方程组 的解是 （m为常数），方程
组 的解x、y满足 ，则m的取值范围为 ．
19．（2024·四川成都·二模）若实数m，n，p满足 ，且 ，我们将 ， ，
这三个数中最小的一个数记为t，则t的最大值为 ．
20．（2024七年级·全国·竞赛）已知角 为锐角，角 为钝角，其数值已给出，在计算
的值时，全班得到 和 这样三个不同的结果，其中确定有正确的结果，则正确的结果是
．三、解答题
21．（23-24八年级下·陕西西安·期中）已知 ，请比较下列各式的大小，并说明理由．
(1) 与 ； (2) 与 ．
22．（22-23七年级上·上海杨浦·开学考试）已知关于 的不等式 的解集是 ，求不等式
的解集
23．（23-24七年级下·安徽滁州·阶段练习）先阅读下面的解题过程，再解题．
已知 ，试比较 与 的大小．
解：因为 ，①
所以 ，②
故 ．③
(1)上述解题过程中，从步骤_______开始出现错误；
(2)请写出正确的解题过程．
24．（20-21七年级下·全国·课后作业） （ 为定值）是关 一元一次不等式，求关于
的方程 的解．
25．（2021·河北承德·二模）解方程组
老师设计了一个数学游戏，给甲、乙、丙三名同学各一张写有最简代数式的卡片，规则是两位同学的代
数式相减等于第三位同学的代数式，甲、乙、丙的卡片如图所示，其中丙同学卡片上的代数式未知．（1）若乙同学卡片上的代数式为一次二项式，求 的值；
（2）若甲同学卡片上的代数式减去乙同学卡片上的代数式等于丙同学卡片上的代数式．
①当丙同学卡片上的代数式为常数时，求 的值；
②当丙同学卡片上的代数式为非负数时，求 的取值范围．
26．（2024八年级·全国·竞赛）定义运算“ ”，规定 （其中 均为常数），例如
．已知 ．
(1)求 的值；
(2)若关于 的不等式 恰有2个正整数解，求实数 的取值范围．参考答案：
1．C
【分析】本题主要考查的是不等式的定义，掌握不等式的定义是解题的关键，依据不等式的定义求解即可．
【详解】解：① 是不等式；
② 是不等式；
③ 不是不等式；
④ 不是不等式；
⑤ 是不等式；
⑥ 是不等式．
综上可知，①②⑤⑥是不等式，共4个，
故选： ．
2．D
【分析】直接利用不等式的定义分析得出答案．此题主要考查了不等式的定义，正确理解不等式的意义是
解题关键．
【详解】解：∵2024年4月12日太原的天气，这天的最高气温是 ，最低气温是 ，
∴t的变化范围是： ．
故选：D．
3．C
【分析】先求出不等式的解集，再依次判断解的情况．
【详解】解：A、该不等式的解集为 ，故错误，不符合题意；
B、∵ ，故错误，不符合题意；
C、正确，符合题意；
D、因为该不等式的解集为 ，所以无正整数解，故错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的性质和不等式的解集的理解，解题关键是根据解集正确判断解的情况．
4．B
【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐个判断即可．
【详解】解：A． ，
，故本选项不符合题意；
B． ，
，
，故本选项符合题意；C． ，
，故本选项不符合题意；
D． ，
，故本选项符不符合题意；
故选：B．
5．B
【分析】本题考查了象限内点的坐标特征，不等式等知识点，因为 ，所以 同号，又 ，
所以 ，观察图形判断出小手盖住的点在第二象限，然后解答即可，记住各象限内点的坐标的符
号是解题的关键．
【详解】∵ ， ，
∴ ，
A、 在第三象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项不符合题意；
B、 在第二象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项符合题意；
C、 在第四象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项不符合题意；
D、 在第一象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项不符合题意；
故选：B．
6．D
【分析】本题主要考查不等式的解集，根据不等式的解集为 ，即找出满足不小于 的数即可，熟练
掌握不等式的解集的意义是解题的关键．
【详解】解：A、 ，故选项不符合题意；
B、 ，故选项不符合题意；
C、 ，故选项不符合题意；
D、 ，故选项符合题意；
故选：D．
7．C
【分析】根据选项语句描述概括出数量关系即可得出结论．
【详解】解：A. 小于0，用不等式表示为： ，故选项A不符合题意；B. 是正数，用不等式表示为： ，故选项B不符合题意；
C. 等于零，即 ，是相等关系，故选项C符合题意；
D. a比b大，用不等式表示为： ，故选项D不符合题意；
故选：C
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据关键词语，弄清运算的先后顺序和不等
关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
8．D
【分析】根据定义的新运算得到 ，得 ，由不等式的解集得 ，即可求
得 的值．
【详解】解： ，
，
得： ，
不等式 的解集为 ，
，
解得： ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查对新定义运算的理解、不等式的解集、一元一次方程的解等，解题的关键是将新定
义运算转化为所熟悉的不等式．
9．B
【分析】本题考查了等式的性质和不等式的性质．根据题意得到 ，则 ，再逐一计算
即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，则 ，
若 ，则 ，
∴ ，
若 ，则 ，
∴ ，，
∵ ，
∴ ，∴ ，
，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
观察四个选项，选项B符合题意，
故选：B．
10．D
【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质进行逐一判断即可得到答案.
【详解】解：A． ，当 ， 时， ， ， ，故A不符合题意；
B． ，当 时， ，故B不符合题意；
C． ，当 ， 时， ，故C不符合题意；
D． ， ，则 成立，故D符合题意；
故选：D．
11．
【分析】根据题意，选择正确的不等号，列出不等式即可，本题考查了不等式的应用，熟练掌握不等式的
应用是解题的关键．
【详解】根据题意，得 ，
故答案为： ．
12． （答案不唯一）．
【分析】根据要求构造不等式即可．
【详解】解：∵ 的解集为： ，
∴符合条件的一个不等式为： ．
故答案为： （答案不唯一）．
【点睛】本题考查不等式的解集，理解不等式解集的含义是求解本题的关键．13．-1，0，1
【分析】由数轴可知被污染的部分是-1.3至1.6．
【详解】解：由数轴可知：设被污染的部分的数为x，
∴-1.3≤x≤1.6
∴x=-1或0或1，
故答案为-1，0，1．
【点睛】本题考查数轴．关键在于根据数轴的定义判断出污染部分整数的取值范围．
14．20
【分析】利用绝对值的性质得出 ，进一步列出不
等式，并化简，即可求得 的最大值和最小值．
【详解】解：
，化简得：
的最大值为： ， 的最小值为：
最大值与最小值的差为： ．
故答案为：20．
【点睛】本题主要考查绝对值的性质和不等式的化简，熟练绝对值的性质并懂得化简不等式是解题的关键．
15． 12 不等式两边同时乘或除以一个正数，不等号开口方向不变
【分析】本题主要考查了不等式的性质，解题的关键在于能够熟练掌握不等式的性质．
①根据去分母的方法进行求解即可；
②根据不等式的性质2：不等式的两边同时乘以或除以一个正数，不等号的方向不变，求解即可．
【详解】解：①“⭕”内应修改的正确答案是12；
②“去分母”这步，依据的不等式基本性质是不等式两边同时乘或除以一个正数，不等号开口方向不变．故答案为：①12；②不等式的两边同时乘以或除以一个正数，不等号的方向不变．
16．
【分析】
本题考查了列不等式，根据“x与a的平方差不是正数”，即“x与a的平方差小于等于0”即可．
【详解】解：x与a的平方差不是正数可表示为：
故答案为：
17．
【分析】先根据题意列出不等式，根据x的取值范围及x为整数求出x的值，再把x的值代入求出y的值即
可．
【详解】解：由题意得， ，即 ，
∴ ，
∵x、y均为整数，
∴ 为整数，
，
时， ，
时， ，
或 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了不等式，解答此题的关键是根据题意列出不等式，根据 均为整数求出 的值即
可．
18．
【分析】先将 转化为 与已知的方程组
联合起来代数求出 和 的值即可．【详解】方程组 ，
可转换为 ，
∵方程组 的解集为 ，
∴方程组 的解为： ，
由②-①得： ， ，
把 代入①得： ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：m>2．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解不等式，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入法是
解题的关键．
19． /
【分析】本题考查了不等式的性质，利用换元法解决问题是关键．令 ， ， ，用含
、 、 的式子分别表示出 、 ，再根据 ，得出 ，然后结合t为三个数中最小的一个
数，求得 ，即可得到答案．
【详解】解： ，
， ， ，
令 ， ， ，
， ， ，， ，
， ，
，
，
，
将 ， ， 这三个数中最小的一个数记为t，
则 ， ， ，
，
解得： ，
t的最大值为 ，
故答案为：
20． /115度
【分析】本题考查了角的分类，不等式的传递性，根据题意得出 ，
则 ，进而得出 ，即可解答．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
只有 满足．
故答案为： ．
21．(1) ，见解析
(2) ，见解析
【分析】本题考查的是不等式的基本性质，熟知①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含
有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．
（1）根据不等式的基本性质解答即可．
（2）根据不等式的基本性质解答即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ．
22．
【分析】先把原不等式系数化为1，表示出解集，根据已知解集确定出a与b的关系，即可求出所求不等
式的解集．
【详解】解： 不等式 的解集是 ，
，且 ，
， ，
整理，得： ， ，
把 代入 ，得 ，
解得： ，
，
解集为： ，
把 代入得： ，
不等式 的解集 ．
【点睛】本题考查了不等式的解集，利用不等式的解集得出 的关系是解题关键．
23．(1)②
(2)见解析【分析】此题主要考查了不等式的解法，熟知不等式的性质是解题的关键．
（1）由题意 ，不等式两边乘以负数，不等式号改变，故②错误；
（2）根据不等式的性质，不等式两边同乘以一个负号，不等号方向要发生改变，来求解．
【详解】（1）由题意得②错误，
根据不等式两边乘以负数，不等式号改变即可判断；
故答案为：②；
（2）因为 ，
所以 ，
故 ．
24．方程的解为 或 ．
【分析】先根据一元一次不等式的定义得到 ，求得 ，则可得到 ，由此求解即可．
【详解】解：∵ （ 为定值）是关 一元一次不等式，
∴ ，
解得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的定义，解绝对值方程，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识
进行求解．
25．（1） ；（2）① ；② ．
【分析】（1）根据乙同学卡片上的代数式为一次二项式知 ，据此求解即可；
（2）①根据题意列出算式 ，然后去括号、合并同类项，继而根据结果为常数项知二次项系数为0，据此求解即可；
②根据题意列出不等式 ，求解此不等式即可．
【详解】解：（1）∵乙同学卡片上的代数式为一次二项式，
则 ，
∴ ；
（2）① ，
∵结果为常数，
∴ ，
解得 ；
②由①知丙卡片上的代数式为 ，要使其为非负数，则 ，
则 ，解得 ．
【点睛】本题主要考查整式的加减以及解不等式，整式的加减的实质就是去括号、合并同类项，解不等式
注意按照运算步骤进行即可．
26．(1)
(2)
【分析】（1）根据 得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可得到答案；
（2）根据 ， ， 以及关于 的不等式 恰有2个正整数解，即可得到答案；
此题考查了二元一次方程组的应用、求不等式的解集等知识，读懂题意，正确列出方程组和理解新定义是
解题的关键．
【详解】（1）解：由 得到，
，
解得（2）由题意可得， ，
∵ ， ， ，关于 的不等式 恰有2个正整数解，
∴ .
