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11.2.2三角形的外角
一、单选题
1．如图，射线AD，BE，CF构成∠1，∠2，∠3，则∠1+∠2+∠3=（ ）
A．180° B．360° C．540° D．无法确定
2．下图能说明∠1＞∠2的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，BC//DE，∠1=100°，∠AED=80°，则∠A的大小是（ ）
A． B． C． D．
4．已知直线a∥b，将一块含45°角的直角三角板（∠C=90°）按如图所示的位置摆放，若∠1=55°，则∠2的度数
为（ ）
A．80° B．70° C．85° D．75°
5．如图，已知 ABC为直角三角形，∠B=90°，若沿图中虚线剪去∠B，则∠1+∠2=（ ）
△
A．90° B．135° C．270° D．315°
6．如图， 下列各式中正确的是（ ）A． B．
C． D．
7．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外部时，则∠A与∠1和∠2之间有一种数量关系
始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）
A．∠A=∠1-∠2 B．2∠A=∠1-∠2
C．3∠A=2∠1-∠2 D．3∠A=2（∠1-∠2）
8．如图， 、 是 的外角角平分线，若 ，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在 中， ， 是 内角 的平分线， 是 外角 的平
分线， 是 外角 的平分线，以下结论不正确的是（ ）
A． B．C． D． 平分
10．如图，在射线OA，OB上分别截取OA=OB，连接AB，在BA，BB上分别截取BA=BB，连接AB，…
1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2
按此规律作下去，若∠ABO=α，则∠A B O=（ ）
1 1 10 10
A． B． C． D．
二、填空题
11．将一把直尺与一块三角板如图所示放置，若 ，则 的度数为________．
12．已知：如图， ，则 _____________度．
13．如图，a∥b，∠1=40°，∠2=80°，则∠3= 度．
14．如图，l∥l， ABC的顶点B、C在直线l 上，已知∠A=40°，∠1=60°，则∠2的度数为______°．
1 2 2
△15．如图，直线 平移后得到直线 ，若 ，则 ______.
16．如图，在 中， ， 平分 ，点 在 延长线上，且 .若 ，则
的度数是__________
17．如图，在△ABC中，∠A＝α．∠ABC与∠ACD的平分线交于点A，得∠A；∠ABC与∠ACD的平分线相交
1 1 1 1
于点A，得∠A；…；∠A BC与∠A CD的平分线相交于点A ，得∠A ，则∠A ＝_____．
2 2 2019 2019 2020 2020 2020
18．如图，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠AFC，以下结论：
①AD∥BC；②∠ACB=2∠ADB；③∠ADC=90°—∠ABD；④∠BDC= ∠BAC，其中正确的结论有
_____________．三、解答题
19．∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E．
(1)若∠A=58º，求：∠E的度数．
(2)猜想∠A与∠E的关系，并说明理由．
20．（1）如图1，AB∥CD，点E是在AB、CD之间，且在BD的左侧平面区域内一点，连结BE、DE．求证：
∠E=∠ABE+∠CDE．
（2）如图2，在（1）的条件下，作出∠EBD和∠EDB的平分线，两线交于点F，猜想∠F、∠ABE、∠CDE之间
的关系，并证明你的猜想．
（3）如图3，在（1）的条件下，作出∠EBD的平分线和 EDB的外角平分线，两线交于点G，猜想∠G、
∠ABE、∠CDE之间的关系，并证明你的猜想． △
21．（1）如图1，在 中， 平分 ，且与 的外角 的角平分线交于点 ，若
， ，求 的度数.
图1
（2）如图2，在四边形 中， 平分 ，且与四边形 的外角 的角平分线交于点 ，
若 ， ，求 的度数.图2
22．已知 ABC，P 是平面内任意一点（A、B、C、P 中任意三点都不在同一直线上）．连接 PB、PC，设
∠PBA＝s°，∠PCA＝t°，∠BPC＝x°，∠BAC＝y°．
（1）如图，当点 P 在 ABC 内时，
①若 y＝70，s＝10，t＝20，则 x＝ ；
②探究 s、t、x、y 之间的数量关系，并证明你得到的结论．
（2）当点 P 在 ABC 外时，直接写出 s、t、x、y 之间所有可能的数量关系，并画出相应的图形．参考答案
1．B
【解析】
【分析】
由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,得∠1=∠BAC+∠BCA，
∠2=∠ABC+∠BAC,∠3=∠ACB+∠ABC,所以∠1+∠2+∠3=2（∠BAC+∠BCA+∠ABC）,进而利用三角形的内角
和定理求解．
【详解】
解:∵∠1=∠BAC+∠BCA,∠2=∠ABC+∠BAC，∠3=∠ACB+∠ABC （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个
内角的和）,
∴∠1+∠2+∠3=2（∠BAC+∠BCA+∠ABC）,
又∵∠BAC+∠BCA+∠ABC=180° （三角形内角和定理）,
∴∠1+∠2+∠3=2×180°=360°.
故选B．
【点睛】
本题主要考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理,实际上证明了三角形的外角和是360°,解决本题的关键是要
熟练掌握三角形外角和内角的关系．
2．C
【解析】
【分析】
【详解】
A、根据对顶角的性质，∠1=∠2；
B、若两直线平行，则∠1=∠2，若两直线平行，则∠1和∠2的大小不确定；
C、根据三角形的外角大于与它不相邻内角的性质，∠1＞∠2；
D、根据直角三角形两锐角互余的关系，∠1=∠2.
故选C.
3．A
【解析】
【分析】
先根据平行线的性质得到∠C=∠AED=80°，然后根据三角形外角性质求解．
【详解】
∵BC∥DE，
∴∠C=∠AED=80°，
∵∠1=∠A+∠C，∴∠A=100°-80°=20°．
故选：A．
【点睛】
本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等．也考查来了三角形外角的性质．
4．A
【解析】
【分析】如图，先根据三角形外角的性质求出∠4的度数，再根据平行线的性质求出∠5的度数，最后根据邻补角
的定义进行求解即可得.
【详解】如图，
∵∠1=∠3=55°，∠B=45°，
∴∠4=∠3+∠B=100°，
∵a∥b，
∴∠5=∠4=100°，
∴∠2=180°﹣∠5=80°，
故选A．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，结合图形灵活运用相关的
知识解决问题是关键.
5．C
【解析】
【分析】
如图，根据题意可知∠1=90°+∠BNM，∠2=90°+∠BMN，然后结合三角形内角和定理即可推出∠1+∠2的度数．
【详解】
解：∵△ABC为直角三角形，∠B=90°
∴∠1=90°+∠BNM，∠2=90°+∠BMN，∠BMN +∠BNM=90°，∴∠1+∠2=270°．
故选C．
【点睛】
本题考查三角形的外角性质、三角形内角和定理，直角三角形的性质，解题的关键在于求证∠1=90°+∠BNM，
∠2=90°+∠BMN．
6．D
【解析】
试题分析：延长TS，
∵OP∥QR∥ST，
∴∠2=∠4，
∵∠3与∠ESR互补，
∴∠ESR=180°﹣∠3，
∵∠4是△FSR的外角，
∴∠ESR+∠1=∠4，即180°﹣∠3+∠1=∠2，
∴∠2+∠3﹣∠1=180°．
故选D．
考点：平行线的性质．
7．B
【解析】
【分析】
本题求的是∠A、∠1、∠2之间的数量关系，首先画出折叠前的三角形，设为△BCF，可根据三角形的外角性质，
首先表示出∠DEF的度数，进而根据三角形内角和定理，得到所求的结论．
【详解】
如图，设翻折前A点的对应点为F．根据折叠的性质知：∠3＝∠4，∠F＝∠A．
由三角形的外角性质知：∠DEF＝∠5+∠3＝∠A+∠2+∠3．
在△DEF中，∠DEF＝180°﹣∠4﹣∠F，故180°﹣∠4﹣∠F＝∠A+∠2+∠3，即：
180°﹣∠4﹣∠A＝∠A+∠2+∠3，180°﹣∠4﹣∠3＝2∠A+∠2，即∠1＝2∠A+∠2，2∠A＝∠1﹣∠2．故选B．
【点睛】
本题考查了图形的翻折变换、三角形内角和定理以及三角形的外角性质，正确作出辅助线是解答此题的关键．
8．B
【解析】
【分析】
首先根据三角形内角和与∠P得出∠PBC+∠PCB，然后根据角平分线的性质得出∠ABC和∠ACB的外角和，进而
得出∠ABC+∠ACB，即可得解.
【详解】
∵
∴∠PBC+∠PCB=180°-∠P=180°-60°=120°
∵ 、 是 的外角角平分线
∴∠DBC+∠ECB=2（∠PBC+∠PCB）=240°
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠DBC+180°-∠ECB=360°-240°=120°
∴∠A=60°
故选：B.
【点睛】
此题主要考查角平分线以及三角形内角和的运用，熟练掌握，即可解题.
9．D
【解析】
【分析】
A、由AD平分 ABC的外角∠EAC，求出∠EAD=∠DAC，由三角形外角得∠EAC=∠ACB+∠ABC，且
∠ABC=∠ACB△，得出∠EAD=∠ABC，利用同位角相等两直线平行得出结论正确．
B、由AD∥BC，得出∠ADB=∠DBC，再由BD平分∠ABC，所以∠ABD=∠DBC，∠ABC=2∠ADB，得出结论
∠ACB=2∠ADB，
C、在 ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，利用角的关系得
∠ADC△+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°，得出结论∠ADC=90°-∠ABD；
D、由BD平分∠ABC，得到∠ABD=∠DBC，由于∠ADB=∠DBC，∠ADC=90°- ∠ABC，得到∠ADB不等于∠CDB，故错误．
【详解】
A. ∵AD平分 ABC的外角∠EAC，
∴∠EAD=∠D△AC，
∵∠EAC=∠ACB+∠ABC，且∠ABC=∠ACB，
∴∠EAD=∠ABC，
∴AD∥BC，
故A正确.
B. 由(1)可知AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABC=2∠ADB，
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠ACB=2∠ADB，
故B正确.
C. 在 ADC中,∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，
∵CD△平分 ABC的外角∠ACF，
∴∠ACD=△∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠DCF，∠ADB=∠DBC，∠CAD=∠ACB
∴∠ACD=∠ADC，∠CAD=∠ACB=∠ABC=2∠ABD，
∴∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°，
∴∠ADC+∠ABD=90°
∴∠ADC=90°−∠ABD，
故C正确；
D. ∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵∠ADB=∠DBC,∠ADC=90°− ∠ABC，
∴∠ADB不等于∠CDB，∴D错误；
故选D.
【点睛】
此题考查平行线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，解题关键在于掌握各性质定义.10．B
【解析】
【分析】
根据等腰三角形两底角相等用α表示出∠AB O，依此类推即可得到结论．
2 2
【详解】
∵B A＝B B ，∠AB O＝α，
1 2 1 2 1 1
∴∠AB O＝ α，
2 2
同理∠AB O＝ × α＝ α，
3 3
∠AB O＝ α，
4 4
∴∠AB O＝ α，
n n
∴∠A B O＝ ，
10 10
故选B．
【点睛】
本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，图形的变化规律，依次求出相邻的两个角的差，得到分母成2的指数
次幂变化，分子不变的规律是解题的关键．
11．130°
【解析】
【分析】
【详解】
解：如解图，∵ ，∴ ，∵ ， ， ，∴
．
12．30【解析】
【分析】
本题可利用两直线平行，同位角相等求解∠EGC，继而根据邻补角定义求解∠CDE，最后根据外角定义求解
∠BCD．
【详解】
令BC与EF相交于G点，如下图所示：
∵ ，
∴∠EGC=∠ABC=75°，∠EDC=180°-∠CDF=180°-135°=45°，
又∵∠EGC=∠BCD+∠EDC，
∴∠BCD=75°-45°=30°，
故答案：30．
【点睛】
本题考查直线平行的性质，外角以及邻补角定义，难度一般，掌握一些技巧有利于解题效率，例如见平行推角等．
13．120
【解析】
【分析】
【详解】
如图，
∵a∥b，∠2=80°，∴∠4=∠2=80°（两直线平行，同位角相等）
∴∠3=∠1+∠4=40°+80°=120°．
故答案为120°．
14．
【解析】
分析：首先根据两直线平行，内错角相等得到∠ABC=∠1，再由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的
和的性质得到∠2=∠A+∠ABC，接下来再将∠A、∠ABC的度数代入即可求得∠2的度数.
详解：∵ ∥ ，
∴∠ABC=∠1=60°，
∴∠2=∠A+∠ABC=40°+60°=100°.
故答案为100°.
点睛：本题考查了平行线的性质、熟练掌握平行线的性质，并能进行推理论证与计算是解决本题的关键.
15．110°.
【解析】
【分析】
延长直线后根据平行线的性质和三角形的外角性质解答即可．
【详解】
延长直线,如图：
∵直线a平移后得到直线b，
∴a∥b，
∴∠5=180°−∠1=180°−70°=110°，
∵∠2=∠4+∠5，∠3=∠4，
∴∠2−∠3=∠5=110°，
故答案为110°.
【点睛】
此题考查平移的性质，解题关键在于作辅助线.16．100°.
【解析】
【分析】
根据题意先求出∠EAC的度数，因为AD平分∠BAC，所以可知∠BAD的度数．因为∠ADC是△ABD的外角，所以
∠ADC＝∠B+∠BAD.
【详解】
∵EC⊥AC
∴∠ACE=90°
∵∠E＝50°
∴∠EAC＝180°-∠AEC-∠E=40°
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠EAC=40°
∵∠B＝60°
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝60°+40°=100°
【点睛】
本题考查三角形内角和定理与内角外角之间的关系.
17．
【解析】
【分析】
根据角平分线的定义以及三角形外角的性质，可知：∠A= ∠A，∠A= ∠A= ∠A，…，以此类推，即可
1 2 1
得到答案．
【详解】
∵∠ABC与∠ACD的平分线交于点A，
1
∴∠ABC= ∠ABC，∠ACD= ∠ACD，
1 1
∵∠ACD=∠A+∠ABC，
1 1 1
即： ∠ACD=∠A+ ∠ABC，
1
∴∠A= (∠ACD−∠ABC)，
1∵∠A+∠ABC=∠ACD，
∴∠A=∠ACD−∠ABC，
∴∠A= ∠A，
1
∠A= ∠A= ∠A，…，
2 1
以此类推可知：∠A = ∠A= ．
2020
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查三角形的外角的性质，以及角平分线的定义，掌握三角形的外角等于不相邻的内角的和，是解题的
关键．
18．①②③④
【解析】
【分析】
根据角平分线定义得出∠ABC＝2∠ABD＝2∠DBC，∠EAC＝2∠EAD，∠ACF＝2∠DCF，根据三角形的内角和
定理得出∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°，根据三角形外角性质得出∠ACF＝∠ABC＋∠BAC，∠EAC＝∠ABC
＋∠ACB，根据已知结论逐步推理，即可判断各项．
【详解】
解：∵AD平分∠EAC，
∴∠EAC＝2∠EAD，
∵∠EAC＝∠ABC＋∠ACB，∠ABC＝∠ACB，
∴∠EAD＝∠ABC，
∴AD∥BC，∴①正确；
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC，
∴∠ACB＝2∠ADB，∴②正确；
∵AD平分∠EAC，CD平分∠ACF，∴∠DAC＝ ∠EAC，∠DCA＝ ∠ACF，
∵∠EAC＝∠ABC＋∠ACB，∠ACF＝∠ABC＋∠BAC，∠ABC＋∠ACB＋∠BAC＝180°，
∴∠ADC＝180°−（∠DAC＋∠ACD）
＝180°− （∠EAC＋∠ACF）
＝180°− （∠ABC＋∠ACB＋∠ABC＋∠BAC）
＝180°− （180°+∠ABC）
＝90°− ∠ABC
＝90°—∠ABD，∴③正确；
∵∠ACF＝2∠DCF，∠ACF＝∠BAC＋∠ABC，∠ABC＝2∠DBC，∠DCF＝∠DBC＋∠BDC，
∴∠BAC＝2∠BDC，∴④正确，
故答案为①②③④.
【点睛】
本题考查了三角形外角性质，角平分线定义，平行线的判定，三角形内角和定理的应用，主要考察学生的推理能
力，有一定的难度．
19．(1) ∠E的度数290；(2)∠A与∠E的关系是∠E = ∠A，理由详见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据角平分线的定义可得∠ABC=2∠CBE，∠ACD=2∠DCE，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个
内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠DCE=∠E+∠CBE，然后整理即可得到∠A=2∠E，再求解即可；
（2）根据（1）的求解解答．
【详解】
（1）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠ABC=2∠CBE，∠ACD=2∠DCE，由三角形的外角性质得：
∠ACD=∠A+∠ABC，∠DCE=∠E+∠CBE，∴∠A+∠ABC=2（∠E+∠CBE），∴∠A=2∠E．
∵∠A=58°，∴∠E=29°．（2）∠E = ∠A．理由如下：
∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠ABC=2∠CBE，∠ACD=2∠DCE，由三角形的外角性质得：
∠ACD=∠A+∠ABC，∠DCE=∠E+∠CBE，∴∠A+∠ABC=2（∠E+∠CBE），∴∠A=2∠E，∴∠E = ∠A．
【点睛】
本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图是
解题的关键．
20．（1）见解析（2）见解析（3） ∠ ∠ ∠
【解析】 2 G= ABE+ CDE
【分析】
（1）利用平行线的性质即可得出结论；
（2）先判断出∠EBD+∠EDB=180°-（∠ABE+∠CDE），进而得出∠DBF+∠BDF=90°- （∠ABE+∠CDE），
最后用三角形的内角和即可得出结论；
（3）先由（1）知，∠BED=∠ABE+∠CDE，再利用角平分线的意义和三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】
（1）如图，
过点E作EH∥AB，
∴∠BEH=∠ABE，
∵EH∥AB，CD∥AB，
∴EH∥CD，
∴∠DEH=∠CDE，
∴∠BED=∠BEH+∠DEH=∠ABE+∠CDE；
（2）2∠F-（∠ABE+∠CDE）=180°，
理由：由（1）知，∠BED=∠ABE+∠CDE，∵∠EDB+∠EBD+∠BED=180°，
∴∠EBD+∠EDB=180°-∠BED=180°-（∠ABE+∠CDE），
∵BF，DF分别是∠DBE，∠BDE的平分线，
∴∠EBD=2∠DBF，∠EDB=2∠BDF，
∴2∠DBF+2∠BDF=180°-（∠ABE+∠CDE），
∴∠DBF+∠BDF=90°- （∠ABE+∠CDE），
在△BDF中，∠F=180°-（∠DBF+∠BDF）=180°-[90°- （∠ABE+∠CDE）]=90°+ （∠ABE+∠CDE），
即：2∠F-（∠ABE+∠CDE）=180°；
（3）2∠G=∠ABE+∠CDE，理由：如图3，
由（1）知，∠BED=∠ABE+∠CDE，
∵BG是∠EBD的平分线，
∴∠DBE=2∠DBG，
∵DG是∠EDP的平分线，
∴∠EDP=2∠GDP，
∴∠BED=∠EDP-∠DBE=2∠GDP-2∠DBG=2（∠GDP-∠DBG），
∴∠GDP-∠DBG= ∠BED= （∠ABE+∠CDE）
∴∠G=∠GDP-∠DBG= （∠ABE+∠CDE），
∴2∠G=∠ABE+∠CDE．
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，判断出∠BED=∠EDP-∠DBE是解
本题的关键．21．（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）根据三角形内角和定理以及角平分线的性质即可求出；
（2）根据（1）中的结论，将图2转化为图1即可得出结论．
【详解】
解：（1） 平分 ， 平分 ，
， .
， ，
，即 ，
.
， ，
，
.
（2）如图，延长 交于点 .
， ，
，
由（1）知 .
【点睛】
本题考查三角形内角外角的计算及角平分线的定义，灵活运用角平分线的定义进行角度的计算是解题的关键．
22．（1）①100；②x=y+s+t；（2）见详解．
【解析】
【分析】
（1）①利用三角形的内角和定理即可解决问题；②结论：x=y+s+t．利用三角形内角和定理即可证明；
（2）分6种情形分别求解即可解决问题．
【详解】
解：（1）①∵∠BAC=70°，
∴∠ABC+∠ACB=110°，
∵∠PBA=10°，∠PCA=20°，
∴∠PBC+∠PCB=80°，
∴∠BPC=100°，
∴x=100，
故答案为：100．
②结论：x=y+s+t．
理由：∵∠A+∠ABC+∠ACB=∠A+∠PBA+∠PCA+∠PBC+∠PCB=180°，∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，
∴∠A+∠PBA+∠PCA=∠BPC，
∴x=y+s+t．
（2）s、t、x、y之间所有可能的数量关系：
如图1：s+x=t+y；
如图2：s+y=t+x；
如图3：y=x+s+t；如图4：x+y+s+t=360°；
如图5：t=s+x+y；
如图6：s=t+x+y；【点睛】
本题考查三角形的内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
