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14.2.1平方差公式
一、单选题
1．式子 化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用添项法，构造平方差公式计算即可．
【详解】设S= ，
∴（2—1）S=（2—1）
∴S=
=
=
= ，
故选C．
【点评】本题考查了平方差公式的应用，善于观察题目的特点，通过添项构造连续的平方差公式使用条件是解
题的关键．
2．可以用平方差公式进行计算的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据两数之和与两数之差的乘积等于两数的平方差判断即可得到正确的选项．
【详解】A．不可用平方差公式，故不符合题意；
B． ，不是平方差，故不符合题意；C． ，符合题意；
D． ，不是平方差，故不符合题意．
故选C．
此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特点是解答本题的关键．
3．根据等式： ， ，
……的规律，则可以推算得出 的末
位数字是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用题目给出的规律：把 乘（2-1）得出22022-1，研究22022的末位数
字规律，进一步解决问题．
【详解】由题目中等式的规律可得：
=（2-1）×
=22022-1，
21的末位数字是2，22的末位数字是4，23的末位数字是8，24的末位数字是6，25的末位数字是2…，
所以2n的末位数字是以2、4、8、6四个数字一循环．
2022÷4=505…2，
所以22022的末位数字是4，
22022-1的末位数字是3．
故选：B
【点评】此题考查了平方差公式，乘方的末位数字的规律，尾数特征，注意从简单情形入手，发现规律，解决问
题．
4． ··· 的个位数是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】原式中的3变形为22-1，反复利用平方差公式计算即可得到结果．
【详解】3（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1
=（24-1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1…=264-1+1=264，
∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，…，
∴个位上数字以2，4，8，6为循环节循环，
∵64÷4=16，
∴264个位上数字为6，即原式个位上数字为6．
故选：C．
【点评】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
5．记A ＝（1﹣ ）（1﹣ ）（1﹣ ）…（1﹣ ），其中正整数n≥2，下列说法正确的是（ ）
n
A．A ＜A
5 6
B．A 2＞A A
5 4 6
C．对任意正整数n，恒有A ＜
n
D．存在正整数m，使得当n＞m时，A ＜
n
【答案】D
【分析】根据平方差公式因式分解然后约分，便可归纳出来即可．
【详解】A、A ＝ ，
5
A ＝ ，
6
∴A ＞A ，
5 6此选项不符合题意；
B、A4＝ ，
∴A 2＝ ，A A ＝ ，
5 4 6
∵ ，
∴A 2＜A A ，
5 4 6
此选项不符合题意；
C、∵A ＝ ，
2
且 ，
∴n≥2时，恒有A ≤ ，
n
此选项不符合题意；
D、当m＝2015时，A ＝ ，
m
当n＞m时，A ＜ ，
n
∴存在正整数m，使得当n＞m时，A ＜ ，
n
此选项符合题意；
故选择：D．
【点评】本题考查数字的变化规律，平方差公式，关键是根据题目找出规律是关键．
6．下列计算正确的是（ ）
A．(ab3)2＝a2b6 B．a2·a3＝a6 C．(a＋b)(a－b)＝a2－2b2 D．5a－2a＝3【答案】A
【分析】根据整式的积的乘方计算法则，同底数幂相乘法则，平方差公式，合并同类项依次进行计算并判断．
【详解】A、(ab3)2＝a2b6，故正确；
B、a2·a3＝a5，故错误；
C、(a＋b)(a－b)＝a2－b2，故错误；
D、5a－2a=3a，故错误；
故选：A．
【点评】此题考查整式的计算，正确掌握整式的积的乘方计算法则，同底数幂相乘法则，平方差公式，合并同
类项是解题的关键．
7．下列运算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据积的乘方与幂的乘方运算法则，合并同类项法则，同底数幂的乘法以及平方差公式分别计算各项，
然后再进行判断即可．
【详解】A. ，所以原选项计算错误，故不符合题意；
B. ，所以原选项计算错误，故不符合题意；
C. ，计算正确，符合题意；
D. ，所以原选项计算错误，故不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了乘方与幂的乘方运算法则，合并同类项法则，同底数幂的乘法以及平方差公式，要熟
练掌握．
8．若 ，则A的末位数字是（ ）
A．4 B．2 C．5 D．6
【答案】D
【分析】在原式前面加（2-1），利用平方差公式计算得到结果，根据2的乘方的计算结果的规律得到答案．
【详解】=
=
=
=
= ，
∵2的末位数字是2，
的末位数字是4，
的末位数字是8，
的末位数字是6，
的末位数字是2，
，
∴每4次为一个循环，
∵ ，
∴ 的末位数字与 的末位数字相同，即末位数字是6，
故选：D．
【点评】此题考查利用平方差公式进行有理数的简便运算，数字类规律的探究，根据2的乘方末位数字的规律
得到答案是解题的关键．
二、填空题
9．计算 =__________．
【答案】7
【分析】根据平方差公式，得 = ，计算即可【详解】∵ =
=10×0.7
=7，
故答案为：7．
【点评】本题考查了平方差公式，灵活运用平方差公式计算两个数的差是解题的关键．
10．化简 ______________；
【答案】
【分析】根据乘方的意义以及积的乘方公式的逆运用，结合平方差公式，即可求解．
【详解】原式=
=
=
=
=
=
= ，
故答案是： ．
【点评】本题主要考查实数的混合运算，掌握积的乘方公式的逆运用，平方差公式是解题的关键．
11．已知 ， ， _____．
【答案】 ；
【分析】根据平方差公式化简，代入求值即可；
【详解】 ，∵ ， ，
∴原式 ；
故答案是 ．
【点评】本题主要考查了代数式求值，准确利用平方差公式是解题的关键．
12．计算： ________
【答案】
【分析】运用平方差公式进行计算即可．
【详解】
=
=
=
= ．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了有理数的混合运算以及平方差公式的应用，熟练掌握运算法则以及平方差公式是解
答此题的关键．
三、解答题
13．计算： ．【答案】
【分析】根据整式的混合运算法则进行计算即可求解．
【详解】
．
【点评】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算顺序、多项式除以单项式法则、平方差公式是
解题关键．
14．计算并观察下列各式：
（1） ；
；
；
（2）从上面的算式及计算结果，你发现了什么？请根据你发现的规律直接写下面的空格．
（ ） ；
（3）利用该规律计算
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1）直接根据前2个式子即可得出答案；
（2）根据规律直接可得出答案；
（3）首先通过对所求的变形，先乘以 ，再乘以 ，从而利用规律解题即可．
【详解】（1） ；
（2） ；
（3）解：根据此规律，得．
【点评】本题主要考查平方差公式的扩展迁移，找出规律是解题的关键．
15．如图1所示，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2是由图1中阴影部分拼成的一个
长方形．
（1）请问用这两个图可以验证公式法因式分解中的哪个公式？
（2）若图1中的阴影部分的面积是10，a-b=2，求a+b的值；
（3）试利用这个公式计算：
【答案】（1） ；（2）5；（3）232
【分析】（1）根据两个图形的面积相等，即可写出公式；
（2）根据a2-b2=（a+b）（a-b）=10，把a-b的值代入即可求得a+b的值；
（3）从左到右依次利用平方差公式即可求解．
【详解】（1）平方差公式：
故答案为
（2）∵ 且 ，a-b=2∴a+b=5
（3）原式=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（23+1）（216+1）+1
=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）+1
=（24-1）（24+1）（28+1）（216+1）+1
=（28-1）（28+1）（216+1）+1
=（216-1）（216+1）+1=（232-1）+1
=232
故答案为232
【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，注意几次分割后边的变化情况是关键，属于基础题
16．如图所示，小刚家门口的商店在装修，他发现工人正在一块半径为R的圆形板材上，冲去半径为r的四个
小圆，小刚测得R＝6.8dm，r＝1.6dm，他想知道剩余阴影部分的面积，你能利用所学过的因式分解的知识帮
助小刚计算吗？请写出求解过程（结果保留π）．
【答案】36πdm2
【分析】根据剩余部分的面积＝圆形板材的面积﹣四个小圆的面积，即可求解
【详解】根据题意有：剩余部分的面积＝圆形板材的面积﹣四个小圆的面积．
剩余部分的面积＝πR2﹣4πr2＝π（R2﹣4r2）＝π（R+2r）（R﹣2r）
将R＝6.8dm，r＝1.6dm代入上式得：
剩余部分的面积＝π（R+2r）（R﹣2r）＝π（6.8+3.2）（6.8﹣3.2）＝36π．
答：剩余部分的面积为：36π dm2
【点评】本题考查面积法求剩余部分面积，计算当中应用的平方差公式，属于基础题．
17．如图，将一张长方形大铁皮切割(切痕为虚线)成九块，其中有两块是边长都为a cm的大正方形，两块是边
长都为b cm的小正方形，且a＞b．
(1)这张长方形大铁皮的长为________cm，宽为________cm；(用含a、b的代数式表示)
(2)①求这张长方形大铁皮的面积S(用含a、b的代数式表示)；
②若最中间的小长方形的周长为22 cm，大正方形与小正方形的面积之差为33 cm2，试求a和b的值，并求这
张长方形大铁皮的面积S．
【答案】（1）（2a+b）；（2b+a）；（2）①5ab+2a2+2b2（cm2）；②a=7，b=4，270cm2【分析】（1）根据图形可知张长方形大铁皮长为（2a+b）cm，宽为（a+2b）cm；
（2）①根据图形，利用长方形面积公式计算；
②根据题意列出关于a与b的方程，联立求出a与b的值，根据长方形面积公式即可求出面积．
【详解】（1）这张长方形大铁皮长为（2a+b）厘米，宽为（2b+a）厘米（用含a、b的代数式表示）；
故答案为：（2a+b）；（2b+a）；
（2）①根据题意得：
（2a+b）（2b+a）
=4ab+2a2+2b2+ab
=5ab+2a2+2b2（cm2）；
②根据题意得：2（a+b）=22，a2-b2=33，
整理得：a+b=11，（a+b）（a-b）=33，
解得：a-b=3，
∴a=7，b=4，
∴5ab+2a2+2b2=140+98+32=270，
则这张长方形大铁皮的面积为270平方厘米.
【点评】本题考查了整式的混合运算，列代数式和二元一次方程组的运用，解答本题的关键是理解题意，列出
等式方程．
18．乘法公式的探究及应用．
（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是_______（写成两数平方差的形式）；
（2）图2是将图1中的阴影部分裁剪开，重新拼成的一个长方形，观察它的长和宽，其面积是______（写成多
项式乘法的形式）．
（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式_______．（用等式表示）
（4）运用你所得到的公式，计算下列各题：
①②
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4）①99.91；②
【分析】（1）利用正方形的面积公式就可求出；
（2）仔细观察图形就会知道长，宽，由面积公式就可求出面积；
（3）建立等式就可得出；
（4）利用平方差公式就可方便简单的计算．
【详解】（1）利用大正方形面积减去小正方形面积即可求出： ，
故填： ；
（2）它的宽是a﹣b，长是a+b，面积是 ，
故填： ；
（3）根据题意得出： ，
故填： ；
（4）①解：原式
；
②解：原式
．
【点评】此题主要考查了平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就
叫做平方差公式．对于有图形的题同学们注意利用数形结合求解更形象直观．
19．计算：【答案】-2
【分析】利用平方差公式计算第一项的乘积，利用多项式除以单项式法则计算除法，再计算加减法．
【详解】原式
．
【点评】此题考查整式的混合运算，掌握整式乘法的平方差公式，多项式除以单项式计算法则是解题的关键．
20．对于任意实数 、 、 、 ，我们规定符号的意义是 按照这个规律计算：
（1） ______
（2）当 时，求 的值．
【答案】（1）-2；（2）1
【分析】（1）直接按规定的法则计算即可；
（2）先解 变形为 ，再按法则把 转化为(x+1)(x-1)-3x(x-2)按多项式乘多
项式法则，单项式乘多项式运算法则计算，合并同类项，然后把 代入计算即可．
【详解】（1） =5×8-7×6=40-42=-2，
故答案为：-2；
（2）∵ ，
∴ ，
∴
=(x+1)(x-1)-3x(x-2)，
= x2-1-3x2+6x，=-2x2+6x-1，
=-2(x2-3x)-1，
=-2×(-1)-1，
=1．
【点评】本题考查了新定义问题，整式的混合运算法则，新符号，新运算、要求读懂题意并结合已有知识、能力
进行理解，根据新概念进行运算是解题关键．
21．探究发现：
（1）计算并观察下列各式：
；
________；
________；
（2）从上面的算式及计算结果，你发现了什么规律？请根据你发现的规律直接填写下面的空格．
________；
________；
（3）利用该规律计算： ．
【答案】（1）x3−1；x4−1；（2）x7−1；xn+1−1；（3） ．
【分析】（1）利用平方差公式，依此类推得到结果即可；
（2）利用发现的规律填写即可；
（3）原式变形后，利用得出的规律计算即可得到结论．
【详解】（1） ；
x3−1；
x4−1；
故答案为：x3−1；x4−1；（2）由已知的等式可得 x7−1；
xn+1−1；
故答案为：x7−1；xn+1−1；
（3）
=
=
= ．
【点评】本题主要考查平方差公式，发现题目中的规律是解决问题的关键．
