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第十五章 分 式
15.2 分式运算性质
15.2.3 整数指数幂
学习目标：1．理解并掌握整数指数幂的运算性质．
2．会用科学记数法表示绝对值小于1的数．
3．理解负整数指数幂的性质并应用其解决实际问题．
重点：掌握整数指数幂的运算性质．
会用科学记数法表示绝对值小于1的数
难点：理解负整数指数幂的性质并应用其解决实际问题．
自主学习
一、知识链接
1．计算：
（1）23×24= ； （2）(a2)3= ； （3）(-2a)2= ；
（4）(-2)6÷(-2)3= ； （5）105÷105= ； （6） = ．
2．正整数指数幂的运算性质有哪些？
（1）am·an= ( m、n都是正整数)； （2）(am)n= ( m、n都是正整数)；
（3）(ab)n= ( n是正整数)； （4）am÷an= (a ≠0， m，n是正整数，
m>n)；
（5） = (n是正整数）； （6）当a ≠0时，a0= ．
3．如何用科学记数法表示一些绝对值较大的数？
利用10的正整数次幂，把一个绝对值大于10的数表示成 的形式，其中n是正整数，
1 ≤|a|<10．n等于原数整数位数减去 ．
课堂探究
一、要点探究
探究点1：负整数指数幂
问题1：am中指数m可以是负整数吗？如果可以，那么负整数指数幂am表示什么？
问题2：计算：a3 ÷a5=？ (a≠0)
知识要点：负整数指数幂的意义：
一般地，我们规定：当n是正整数时， (a≠0)，这就是说，a-n (a≠0)是an的倒数．
引入负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到全体整数．也就说前面提到的运算性
质也推广到整数指数幂．
想一想：对于am，当a≠0，m=7，0，－7时，你能分别说出它们的意义吗？
针对训练
填空：（1） ， ；（2） ，
．
典例精析
例1：若a＝(－)－2，b＝(－1)－1，c＝(－)0，则a、b、c的大小关系是( )
A．a＞b＝c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a
方法总结：关键是理解负整数指数幂及零次幂的意义，依次计算出结果．当底数是分数时
只要把分子、分母颠倒位置，负指数就可变为正指数．
例2：计算：（1）(x3y－2)2； （2）x2y－2·(x－2y)3；
（3）(3x2y－2)2÷(x－2y)3； （4）(3×10－5)3÷(3×10－6)2．
方法总结：计算结果一般需化为正整数幂的形式．
针对训练
计算：（1） ；（2） ；（3） ；（4）
要点归纳：
（1）根据整数指数幂的运算性质，当 m，n为整数时，am÷an=am-n．又am·a-n=am-n，因此
am÷an=am·a-n (a≠0)．
（2）特别地， ，所以 ，即商的乘方可以转
化为积的乘方．
整数指数幂的运算性质归结为：
（1）am·an=am+n (m、n是整数，a≠0)；
（2）(am)n=amn (m、n是整数，a≠0)；
（3）(ab)n=anbn(n是整数，a≠0，b≠0)．例3：计算：－22＋(－)－2＋(2022－π)0＋|2－|．
探究点2：科学记数法
忆一忆：科学记数法：绝对值大于10的数记成a×10n的形式，其中1≤a<10，n是正整数．
例如，864000可以写成 ．
想一想：怎样把0.0000864用科学记数法表示？
探一探：因为 ；0.01= = ；0.001= = ；……
所以， 0.0000864=8．64 ×0.00001= ．
类似地，我们可以利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它
们表示成a×10- n的形式，其中n是正整数，1≤| a |＜10．
算一算：10－2= ___________；10－4= ___________；10－8= ___________．
议一议：指数与运算结果的0的个数有什么关系？
通过上面的探索，你发现了什么？:
一般地，10的－n次幂，在1前面有_________个0．
想一想：10－21的小数点后的位数是几位？1前面有几个零？
要点归纳：利用10的负整数次幂，把一个绝对值小于1的数表示成a×10-n的形式，其中n
是正整数，1≤| a |<10．
n等于原数第一个非零数字前所有零的个数（特别注意：包括小数点前面这个零）．
典例精析
例4：用小数表示下列各数：
（1）2×10－7； （2）3.14×10－5； （3）7.08×10－3； （4）2.17×10－1．
针对训练
1．用科学记数法表示：
（1）0.00003； （2）－0.0000064； （3）0.0000314．
2．用科学记数法填空：
（1）1 s是1 μs的1 000000倍，则1 μs＝______s； （2）1 mg＝______kg；
（3）1 μm＝______m； （4）1 nm＝______ μm；（5）1 cm2＝______ m2； （6）1 ml ＝______m3．
典例精析
例5：纳米是非常小的长度单位，1 nm=10-9 m．把1 nm3的物体放到乒乓球上，就如同把
乒乓球放到地球上，1 mm3的空间可以放多少个1 nm3的物体（物体之间隙忽略不计）？
二、课堂小结
要点归纳
1
负整数指数
幂的意义
当n是正整数时，
an
=
an
（a≠0）．即a-n (a≠0)是an的倒数
（1）am·an= ；（2）(am)n= ；（3）(ab)n= ；
整数指数幂
的运算性质
（4）am ÷an= ；（5） = ；（6）a0= ．
(以上m，n均为整数，且a，b≠0)
利用10的负整数次幂，把一个绝对值小于1的数表示成a×10-n的形
用科学记数
法表示绝对 式，其中n是正整数，1 ≤|a|<10．n等于原数第一个非零数字前所
值较小的数 有零的个数（特别注意：包括小数点前面这个零）
当堂检测
1．填空：(－3)2·(－3)－2=( )；103×10－2=( )；a－2÷a3=( )；a3÷a－
4=( )．
2．计算：（1）0.1÷0.13； （2）(－5)2022÷(－5)2024；
（3）100×10－1÷10－2； （4）x-2·x－3÷x2．
3．计算：（1）(2×10－6)× (3.2×103)； （2）(2×10－6)2 ÷(10－4)3．
4．下列是用科学记数法表示的数，写出原来的数．
（1）2×10－8； （2）7.001×10－6．
5．比较大小：
（1）3.01×10－4_______9.5×10－3；
（2）3.01×10－4________3.10×10－4．
6．用科学记数法把0.000009405表示成9.405×10n，那么n=________．参考答案
自主学习
一、知识链接
1．（1）27 （2）a6 （3）4a2 （4）-8 （5）1 （6）
2．（1）am+n （2）amn （3）anbn （4）am-n （5） （6）1
3．1×10n 1
课堂探究
二、要点探究
探究点1：负整数指数幂
问题1 解：可以是负数．
问题2 解：解法1：
解法2：再假设正整数指数幂的运算性质am÷an=am-n(a≠0，m，n是正整数，m>n)中的m>n
这个条件去掉，那么a3÷a5=a3-5=a-2．
针对训练
填空：（1） （2）
典例精析
例1 B 解析：∵ ， ， ，
∴a＞c＞b，故选B．
例2 解：（1）原式 .
（2）原式 .
（3）原式 .
（4）原式
针对训练
解：（1） . （2） .（3） . （4）
例3 解：原式=－4＋4＋1+2－ = ．
探究点2：科学记数法
忆一忆 8.64×105
探一探 8.64×10-5
算一算 0.01 0.0001 0.00000001
议一议 n
典例精析
例4 解：（1）2×10－7=0.0000002. （2）3.14×10－5=0.0000314.
（3）7.08×10－3=0.00708. （4）2.17×10－1=0.217．
针对训练
1．解：（1）原式=3×10-5. （2）原式=6.4×10-6. （3）原式=3.14×10-5．
2．1×10-6 1×10-6 1×10-6 1×10-3 1×10-4 1×10-6
典例精析
例5 解：1mm=10-3m，1nm=10-9m，(10-3)3÷(10-9)3=10-9÷10-27=1018．
答：1 mm3的空间可以放1018个1 nm3的物体．
当堂检测
1．1 10 a7
2．解：（1）原式 .
（2）原式 ；
（3）原式=100×10-1÷10-2=100-1+2=10.
（4）原式
3．解：（1）原式=6.4×10-3. （2）原式=4．
4．解：（1）原式=0.00000002. （2）原式=0.000007001．
5．＜ ＜ 6．－6
