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第 2 课时 菱形的判定
∴四边形BCFE是平行四边形．又∵EF＝
BE，∴四边形BCFE是菱形．
1．掌握菱形的判定方法；(重点) 方法总结：菱形必须满足两个条件：一
2．探究菱形的判定条件并合理利用它 是平行四边形；二是一组邻边相等．
进行论证和计算．(难点) 【类型二】 利用 “ 对角线互相垂直的平
行四边形是菱形 ” 判定四边形是菱 形
一、情境导入
我们已经知道，有一组邻边相等的平行 如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，
四边形是菱形．这是菱形的定义，我们可以 且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于
根据定义来判定一个四边形是菱形．除此之 点D，连接CD.求证：
外，还能找到其他的判定方法吗？ (1)AC⊥BD；
菱形是一个中心对称图形，也是一个轴 (2)四边形ABCD是菱形．
对称图形，具有如下的性质： 解析：(1)证得△BAC是等腰三角形后
1．两条对角线互相垂直平分； 利用“三线合一”的性质得到AC⊥BD即
2．四条边都相等； 可；(2)首先证得四边形ABCD是平行四边形，
3．每条对角线平分一组对角． 然后根据“对角线互相垂直”得到平行四
这些性质，对我们寻找判定菱形的方法 边形是菱形．
有什么启示呢？ 证明： (1)∵AE∥BF，∴∠ BCA＝
二、合作探究 ∠CAD.∵AC 平分∠BAD，∴∠BAC＝
探究点一：菱形的判定 ∠CAD，∴∠BCA＝∠BAC，∴△BAC是等
【类型一】 利用 “ 有一组邻边相等的平 腰三角形．∵BD平分∠ABC，∴AC⊥BD；
行四边形是菱形 ” 判定四边形是菱形 (2)∵△BAC 是等腰三角形，∴AB＝
CB.∵BD 平 分 ∠ ABC ， ∴ ∠ CBD ＝
∠ABD.∵AE∥BF，∴∠CBD＝∠BDA，
∴∠ABD＝∠BDA，∴AB＝AD，∴DA＝
CB.∵BC∥DA，∴四边形ABCD是平行四边
如图，在△ABC中，D、E分别是 形．∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形．
AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F， 方法总结：用判定方法“对角线互相垂
使得EF＝BE，连接CF. 直的平行四边形是菱形”证明四边形是菱
求证：四边形BCFE是菱形． 形的前提条件是该四边形是平行四边形；对
解析：由题意易得，EF与BC平行且相 角线互相垂直的四边形不一定是菱形．
等，∴四边形BCFE是平行四边形．又∵EF 【类型三】 利用 “ 四条边相等的四边形
＝BE，∴四边形BCFE是菱形． 是菱形 ” 判定四边形是菱形
证明：∵BE＝2DE，EF＝BE，∴EF＝
2DE.∵D、E分别是AB、AC的中点，∴BC＝
2DE且DE∥BC，∴EF＝BC.又∵EF∥BC，
第 1 页 共 3 页如图，平行四边形ABCD中，AF、
CE分别是∠BAD和∠BCD的平分线，根据
现有的图形，请添加一个条件，使四边形
AECF为菱形，则添加的一个条件可以是
如图，已知△ABC，按如下步骤作 __________(只需写出一个即可，图中不能
图： 再添加别的“点”和“线”)．
①分别以A，C为圆心，大于AC的长为 解 析 ： ∵ AD∥BC ， ∴ ∠ FAD ＝
半径画弧，两弧交于P，Q两点； ∠AFB.∵AF是∠BAD的平分线，∴∠BAF
②作直线PQ，分别交AB，AC于点E， ＝∠FAD，∴∠BAF＝∠AFB，∴AB＝BF.同
D，连接CE； 理ED＝CD.∵AD＝BC，AB＝CD，∴AE＝
③过C作CF∥AB交PQ于点F，连接 CF.又∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四
AF. 边形．∵对角线互相垂直的平行四边形是菱
(1)求证：△AED≌△CFD； 形，则添加的一个条件可以是AC⊥EF.
(2)求证：四边形AECF是菱形． 方法总结：菱形的判定方法常用的是三
解析：(1)由作图知PQ为线段AC的垂 种：(1)定义；(2)四边相等的四边形是菱形；
直平分线，从而得到AE＝CE，AD＝CD.然 (3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
后根据 CF∥AB 得到∠EAC＝∠FCA， 【类型二】 菱形的性质和判定的综合应
∠CFD＝∠AED，利用“AAS”证得两三角 用
形全等即可；(2)根据(1)中全等得到AE＝CF.
然后根据EF为线段AC的垂直平分线，得
到EC＝EA，FC＝FA.从而得到EC＝EA＝
FC＝FA，利用“四边相等的四边形是菱
形”判定四边形AECF为菱形．
证明：(1)由作图知PQ为线段AC的垂 如图，在四边形ABCD中，AB＝
直平分线，∴AE＝CE，AD＝CD.∵CF∥AB， AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于
∴∠EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED.在 F，连接DF.
△ AED 与 △ CFD 中 ， (1)求证：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝
∴△AED≌△CFD(AAS)； ∠CFE；
(2)∵△AED≌△CFD，∴AE＝CF.∵EF (2)若AB∥CD，试证明四边形ABCD是
为线段AC的垂直平分线，∴EC＝EA，FC＝ 菱形；
FA，∴EC＝EA＝FC＝FA，∴四边形AECF (3)在(2)的条件下，试确定E点的位置，
为菱形． 使得∠EFD＝∠BCD，并说明理由．
方法总结：判定一个四边形是菱形把握 解 析 ： (1) 首 先 利 用 “ SSS” 证 明
以下两起点：(1)以四边形为起点进行判定； △ABC≌△ADC，可得∠BAC＝∠DAC.再证
(2)以平行四边形为起点进行判定． 明△ABF≌△ADF，可得∠AFD＝∠AFB，进
探究点二：菱形的判定的应用 而得到∠AFD＝∠CFE；(2)首先证明∠CAD
【类型一】 菱形判定中的开放性问题 ＝∠ACD，再根据“等角对等边”，可得AD
＝CD.再由条件AB＝AD，CB＝CD，可得AB
＝CB＝CD＝AD，可得四边形ABCD是菱形；
第 2 页 共 3 页(3)首先证明△BCF≌△DCF，可得∠CBF＝
∠CDF，再根据 BE⊥CD 可得∠BEC＝
∠DEF＝90°，进而得到∠EFD＝∠BCD.
(1)证明：在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠BAC＝
∠ DAC. 在 △ ABF 和 △ ADF 中 ，
∴ △ ABF≌△ADF(SAS) ， ∴ ∠ AFD ＝
∠AFB.∵∠AFB＝∠CFE，∴∠AFD＝
∠CFE；
(2)证明：∵AB∥CD，∴∠BAC＝
∠ACD.又∵∠BAC＝∠DAC，∴∠CAD＝
∠ACD，∴AD＝CD.∵AB＝AD，CB＝CD，
∴AB＝CB＝CD＝AD，∴四边形ABCD是
菱形；
(3)解：当EB⊥CD于E时，∠EFD＝
∠BCD.理由如下：∵四边形ABCD为菱形，
∴BC＝CD，∠BCF＝∠DCF.在△BCF和
△DCF中，
∴△BCF≌△DCF(SAS)，∴∠CBF＝
∠CDF.∵BE⊥CD，∴∠BEC＝∠DEF＝
90°，则∠BCD＋∠CBF＝∠EFD＋∠CDF
＝90°，∴∠EFD＝∠BCD.
方法总结：此题主要考查了全等三角形
的判定与性质，以及菱形的判定与性质，全
等三角形的判定是结合全等三角形的性质
证明线段和角相等的重要工具．
三、板书设计
1．菱形的判定
有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
四条边相等的四边形是菱形．
2．菱形的性质和判定的综合运用
在运用判定时，要遵循先易后难的原则，
让学生先会运用判定解决简单的证明题，再
由浅入深，学会灵活运用．通过做不同形式
的练习题，让学生能准确掌握菱形的判定并
会灵活运用．
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