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19.3 二次根式的加法与减法
知识点一 同类二次根式
1．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期末）下列二次根式，能与 合并的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）下列二次根式与 是同类二次根式的是 （ ）
A． B． C． D．
3．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）下列各式中，能与 合并的是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25八年级下·山东烟台·期末）若最简二次根式 与 可以合并，则 的值是
（ ）．
A． B． C． D．
知识点二 分母有理化
1．（24-25八年级下·广东惠州·期末）化简： ．2．（24-25八年级下·天津河西·阶段练习）化简： ．
3．（24-25八年级下·湖北黄石·期中）化简 ； ； ．
4．（24-25八年级下·海南·期末）化简 的结果是 ．
知识点三 比较二次根式的大小
1．（24-25八年级下·湖北十堰·阶段练习）比较大小： ．
2．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）比较大小： （填“＞”、“＜”或“=”）．
3．（2025·宁夏银川·模拟预测）比较大小： ．
4．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）比较大小： （填“ ”或“ ”或“ ”）
知识点四 二次根式的加减运算
1．（24-25八年级下·广东湛江·阶段练习）计算：
2．（23-24八年级下·吉林松原·期中）计算： ．
3．（24-25八年级下·陕西安康·期中）计算： ．
4．（24-25八年级下·福建龙岩·阶段练习）计算：
知识点五 二次根式的混合运算
1．（24-25八年级下·吉林白山·期末）计算： ．
2．（24-25八年级下·山西朔州·期末）计算：
(1) ；
(2) ；(3) ．
3．（24-25八年级下·浙江温州·阶段练习）计算：
(1)
(2)
4．（24-25八年级下·江苏徐州·阶段练习）计算：
(1) ；
(2) ．
知识点一 已知字母的值，化简求值
1．（24-25八年级下·云南普洱·期末）已知 ， ，求下列各式的值．
(1) ．
(2) ．
2．（22-23八年级下·陕西西安·期中）若 ， ，求代数式 的值．
3．（24-25八年级下·山东日照·月考）已知 ， ，求 的值．
4．（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）阅读理解：已知 ，将其分母有理化，小明
同学是这样解答的：
．
请你参考小明的化简方法，解决如下问题：(1)化简： ；
(2)计算： ；
(3)若 ，求 的值．
知识点二 二次根式的应用
1．（24-25八年级下·甘肃甘南·月考）某加工厂有一批面积为56平方分米的铝合金板，它的宽是 分米．
(1)若用这批铝合金板裁出如下包含正方形A、B的工件，计算剩余材料 阴影部分 的面积；
(2)用这种铝合金板能裁出两张面积均为25平方分米的正方形工件吗？若能求出剩余材料面积，若不能说
明理由．
2．（24-25八年级下·重庆·月考）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，物品从离地面为h米的高
处自由落下，落到地面的时间为t，经过实验，发现 （不考虑阻力的影响）．
(1)求物体从 的高空落到地面的时间；
(2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J） 物体质量（kg）×高度（m），一串质量为 的钥
匙经过 落在地上，这串钥匙在下落过程中所带能量有多大？
(3)在（2）的结果中，你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要 的能量）
3．（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）阅读材料：
小甘在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如： ，
善于思考的小甘进行了以下探索：设 （其中a，b，m，n均为正整数），则有
．∴ ， ．这样小甘就找到了一种把部分形如 的式子
化为平方式的方法．请你仿照小甘的方法探索并解决下列问题：
(1)当a，b，m，n均为正整数时，若 ，用含m，n的式子分别表示a，b，得 ______，
______；
(2)若 ，且a，m，n为依次减小的正整数，求a的值．
4．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）定义：对于正数 ，把 叫做 与 的算术平均数， 叫做
与 的几何平均数；而且两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，即如果 ，那么
，当 时，等号成立．
(1)2和12的算术平均数和几何平均数分别为___________、___________；
(2)①已知 ，则 的最小值是___________；
②已知 ，且 ，则 的最大值是___________；
(3)已知 ，记 ，求 的取值范围．
1．（22-23八年级下·湖南长沙·月考）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，
此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记 ，
则其面积 ．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式．
(1)当三角形的三边 ， ， 时，请你利用公式计算出三角形的面积；
(2)一个三角形的三边长依次为 、 ， ，请求出三角形的面积；
(3)若 ， ，求此时三角形面积的最大值．
2．（22-23八年级下·北京西城·期中）在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下：
对于两个数 ， ，
称为 ， 这两个数的算术平均数，
称为 ， 这两个数的几何平均数，
称为 ， 这两个数的平方平均数
小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整：
(1)若 ， ，则 ； ________； _______；
(2)小聪发现当 ， 两数异号时，在实数范围内 没有意义，所以决定只研究当 ， 都是正数时这三种
平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题：
如图，画出边长为 的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示 ．
①请你分别在图2，图3中用阴影标出一面积为 ， 的图形：
②借助图形可知，当 ， 都是正数时， 的大小关系是： ___________（把 从小到大排列，
并用“ ”或“ ”号连接）；
③若 ．则 的最小值为________．
3．（2024·广东肇庆·一模）【发现问题】
由 得， ；如果两个正数 ， ，即 ， ，则有下面的不等式：
，当且仅当 时取到等号．
【提出问题】若 ， ，利用配方能否求出 的最小值呢？【分析问题】例如：已知 ，求式子 的最小值．
解：令 ，则由 ，得 ，当且仅当 时，即 时，式子有最小
值，最小值为4．
【解决问题】
请根据上面材料回答下列问题：
（1） __________ （用“ ”“ ”“ ”填空）；当 ，式子 的最小值为__________；
【能力提升】
（2）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个
长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
（3）如图，四边形 的对角线 、 相交于点 ， 、 的面积分别是8和14，求四
边形 面积的最小值．
4．（24-25八年级下·江西南昌·月考）【阅读下列材料】：
若 ， ，则 ， ，∴ ．（注： ）∵
， ，∴ ．“ ”称为“基本不等式”，利用它可求一
些代数式的最值及解决一些实际问题．（a、b为正数；积定和最小；和定积最大；当 时，取等
号．）
【例】：若 ， ， ，求 的最小值．
解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ．∴ 时， 的最小值为8
【解决问题】
(1)用篱笆围成一个面积为 的长方形菜园（一面靠墙，墙足够长），当这个长方形的边长为多少时，
所用篱笆最短？最短篱笆的长是多少；
(2)如图，四边形 的对角线 相交于点O， 、 的面积分别为2和3，求四边形
面积的最小值．
