文档内容
20.1（第 1 课时）勾股定理（解析版）
目 录
类型一、用勾股定理解三角形..................................................................................................................................1
类型二、两点间的距离公式....................................................................................................................................23
类型三、勾股数问题................................................................................................................................................32
类型四、勾股定理与折叠问题................................................................................................................................36
类型五、勾股定理的证明方法................................................................................................................................47
类型一、用勾股定理解三角形
1．如图，是一个可调节平板支架，其结构示意图如图所示，已知平板宽度 为 ，支架脚 的长度
为 ，当 且 平分 时，则点 到 的距离是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理，角平分线的性质．过点 分别作 的垂线，垂足分别为 ，根据
勾股定理求得 ，等面积法求得 ，根据角平分线的性质可得 ，即可求解．
【详解】解：如图，过点 分别作 的垂线，垂足分别为 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
故选：D．2．如图，在 中， ， ，作 的中垂线 交 于点 ，连接 ，若 ，
则 的长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，含 角的直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，解题
的关键是掌握直角三角形的相关性质并灵活运用．
【详解】解：∵直线 垂直平分 ，
．
．
．
，
．
．
故选：C．
3．《算法统宗》中有一道题目，大致意思是：“昨天量了田地回到家里，记得长方形田的长为30步，宽
及其对角线之和为50步，求该田有多少亩．”若设长方形田的宽为x步，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，理解题意是解决本题的关键．
根据勾股定理，长方形的对角线长为 步，再根据宽与对角线之和为50步，得到方程
，变形后平方即可得到正确方程．
【详解】解：∵宽为x步，
∴对角线长为 步，
∵宽及其对角线之和为50步，
∴
，
故选A．4．如图， 中， ，其中点D为 的中点．若 ，则阴影部分的面积是（ ）
A．30 B．35 C．60 D．65
【答案】A
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据等腰三角
形三线合一，结合勾股定理求出 的长，根据对称性得到阴影部分的面积等于 面积的一半，进行
求解即可．
【详解】解：∵D为 的中点， ， ，
∴ ， ，
∴在 中，由勾股定理得， ，
∵ ， ，
∴ ， ， ，
∴阴影部分的面积为： ，
故选：A．
5．如图，在 中， 于点D，且 ，则 的长为（ ）
A．30 B．24 C．18 D．32
【答案】A
【分析】本题考查勾股定理，掌握勾股定理并正确运算是解题关键．
先将 ，转化为 ，利用勾股定理求出 ，再用勾股定理求出 即可．
【详解】解：由 ，得 ，
在 中， ，即 ，
解得 ，
在 中， ，故选：A．
6．如图，四边形 中，对角线 ， 相交于点 ，且 ．若 ， ，则
的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，利用
勾股定理找到 之间的关系即可求解．
【详解】解：因为 ，所以 ，
由勾股定理得 ，
，
所以 ，所以 ．
因为 ， ，
所以 ，
故选：B．
7．如图，在 中， ， ，中线 ，则BD长为（ ）
A．3．5 B． C． D．4
【答案】C
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理和勾股定理的逆定理．延长 至点E，使得
，连接 ，证明 ， 为直角三角形，然后利用勾股定理即可解决问题.
【详解】解：如图，延长 至点E，使得 ，连接 ，
∵ 是 的中线，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形， ，
∴ ．
故选：C．
8．一个直角三角形的两条直角边分别是3和4，则它的斜边长为（ ）
A．2 B．5 C．6 D．8
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理．利用勾股定理直接计算斜边长即可．
【详解】解：∵直角三角形的两条直角边分别是3和4，
∴它的斜边长为
故选：B
9．如图，在直角坐标系中， 是等边三角形，若B点的坐标是 ，则A点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了等边三角形的性质，坐标与图形，勾股定理，掌握等边三角形三线合一的性质是解题
关键．过点 作 轴于点 ，根据等边三角形的性质，得到 ， ，再结
合勾股定理得出 ，即可得到A点的坐标．【详解】解：如图，过点 作 轴于点 ，
B点的坐标是 ，
，
是等边三角形，
， ，
，
A点的坐标是 ，
故选：C．
10．在 中， ， ， ， ， 平分 ，则 的值为（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理及三角形面积公式．过点D作 ，根据角
平分线性质得出 ，再证明 ，设 ，则 ，
利用勾股定理列出方程求解x的值，从而求得 ，再利用三角形面积公式即可求得结果．
【详解】解：如图，过点D作 ，
∵ 平分 ，
∴ ，在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得， ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
11．如图，在 中， ， ， ， ，则 长（ ）
A．2 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质与含 角的直角三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形
“三线合一”和 角对的直角边是斜边的一半推导线段长度．
过 作 ，由 得 ；结合 的“三线合一”性质得 ，进而计算
出 的长度．
【详解】解：如图，过点 作 于 ，
，
，，
，
，
．
故选：D．
12．已知一个直角三角形的两直角边长分别为1和2，则第三边长是（ ）
A．3 B． C． D．1
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理的基本应用，熟练掌握勾股定理是解题关键，根据勾股定理，直角三角形的斜
边平方等于两直角边平方和，直接计算即可．
【详解】解：∵ 两直角边长分别为1和2，
∴ 第三边（斜边）长 ．
故选：C．
13．小明画了一个如图所示的四边形 ，若 ， ，连结 ， ，
则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理：利用勾股定理求出 即可．
【详解】解：在 中， ， ， ，
，
， ，
．
故选：B．
14．若一个三角形三个内角度数之比为 ，则此三角形的三条边之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查三角形的内角和定理，等腰直角三角形的判定和性质，先根据度数比推出三角形为等腰
直角三角形，再根据勾股定理求出三角形的三边比，进行判断即可．
【详解】解：∵三角形三个内角度数之比为 ，∴三个内角的度数分别为 ，
∴三角形为等腰直角三角形，
设两条直角边的长为 ，则斜边长为 ，
∴三角形的三条边之比为 ；
故选B．
15．如图，在 中， ，若 ， ，则 的长是（ ）
A．18 B． C．12 D．8
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．
根据勾股定理得到 ，据此即可求解．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
故选：C．
16． 为等边三角形，如图，以点 为坐标原点， 所在直线为 轴，过点 作 的垂线为 轴，
建立平面直角坐标系，若 ，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查等边三角形的性质和平面直角坐标系中点的特征，利用等边三角形的性质求解点的
坐标是解题的关键．
首先作辅助线构造直角三角形，再利用等边三角形的性质求解点B的横坐标，最后利用勾股定理求点B的
纵坐标，最后确定点B的坐标即可．
【详解】解：如图，过点B作 于点C，∵ 为等边三角形， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∵点B在第一象限，
∴ ，
故选：D．
17．如图，在四边形 中， 平分 ， ， ， ．则 的长为
．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，勾股定理．在 上截取 ，
连接 ，作 于点 ．可以得出 ，从而得到 ，利用等腰三角形
“三线合一”的性质得到 ，在 中和在 中，分别利用勾股定理即可得到结论．
【详解】解：如图，在 上截取 ，连接 ，作 于点 ．
平分 ，
．
在 和 中，
， ， ，
，
，．
在 中，
， ，
．
在 中，
， ，
，
的长为 ．
故答案为： ．
18．如图，在 中， 的平分线交 于点E，过点C作 ，
垂足为D，连接 ，则 的面积是 ．
【答案】 /0.75
【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，三角形的面积计算，延长 交 的延长线于
，由勾股定理求出 的长，证明 得到 ， ，由 ，即
可求解．
【详解】解：如图，延长 交 的延长线于 ，
∵在 中， ，
，
∵ 平分 ，
，
，
，
又∵ ，∴ ，
， ，
，
；
故答案为： ．
19．如图，在 中， ， 边的垂直平分线 交 于点 ，交 于点 ，若 ，
，则 的周长为 ．
【答案】14
【分析】本题考查求三角形周长，涉及勾股定理、垂直平分线性质等知识，熟记勾股定理及垂直平分线性
质是解决问题的关键．
先由勾股定理求出 ，再由垂直平分线性质得到 ，再由三角形周长公式得到 的周长为
，代值计算即可得到答案．
【详解】解：在 中， ， ， ，则由勾股定理可得 ，
边的垂直平分线 交 于点 ，
，
则 的周长为 ，
故答案为： ．
20．在 中， ， 是斜边 上的高， ， ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，先求出 ，再借助面积求出 ，最后用勾股定理求出
结论即可．
【详解】解：在 中， ， ， ，，
，
，
是斜边 上的高，
在 中， ，
故答案为： ．
21．如图， 在 中， ， ， ，求 的长．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理，含 角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是通
过作辅助线构造直角三角形．过点 作 于点 ，在 中，根据含 角的直角三角形的性
质可求得 的长， 再根据勾股定理可求得 的长，易知 为等腰直角三角形，可求得 的长，
最后根据 即可求解．
【详解】解：如图所示，过点 作 于点 ，
在 中， ， ，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
．
22．如图，在 中， ， ， 的垂直平分线 交 于点D，连接 ．(1)若 ，求 的度数；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)
(2)5
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关
键．
（1）求出 ，由线段垂直平分线的性质推出 ，得到 ，即可
求出 的度数；
（2）由线段垂直平分线的性质推出 ，设 ，由勾股定理得到 ，求出 ，
得到 ．
【详解】（1）解： ， ，
，
垂直平分 ，
，
，
；
（2）解： 垂直平分 ，
，
设 ，
，
，
，
，
，
．
23．如图，等腰直角三角形 中，点 在斜边 上，以 为直角边作等腰直角三角形 ．(1)求证： ；
(2)当 时，求 ．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要涉及等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定以及三角形内角和定理等知识．
（1）通过等腰直角三角形的性质找出对应边和对应角的关系，利用全等三角形的判定定理(SAS)来证明两
个三角形全等；
（2）先根据等腰直角三角形的边长求出斜边长度，再通过角度关系推出边的关系，进而求出 的长度．
【详解】（1）证明： 和 都是等腰直角三角形，BC、DE为斜边，
，
，
在 和 中，
．
（2）解： ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的长为 ．
24．如图，已知 中， ， ， ， 、 是 边上的两个动点，其中点
从点 开始沿 方向运动，且速度为每秒 ，点 从点 开始沿 方向运动，且速度为每秒
，它们同时出发，设出发的时间为 秒．(1)当 秒时，求 的长（不要求化简）；
(2)求出发时间为几秒时， 是等腰三角形？
(3)若 沿 方向运动，则当点 在边 上运动时，求能使 成为等腰三角形的运动时间．
【答案】(1)
(2) 秒
(3)9秒或8.25秒或9.9秒
【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、一元一次方程的应用，运用分类讨论思想解决
问题是解题的关键．
（1）根据题意得 ， ，得到 ，再利用勾股定理即可求解 的长；
（2）根据题意得 ， ，则 ，结合 是等腰三角形，得
，列出方程，求出 的值解答即可；
（3）利用勾股定理求出 ，由题意得 ，分三种情况：①当
时；②当 时；③当 时，利用勾股定理和等腰三角形的性质分别求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，得 ， ，
当 秒时， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
∴ 的长为 ；
（2）解：根据题意， ， ，
∴ ，
∵ 是等腰三角形， ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，∴出发时间为 秒时， 是等腰三角形；
（3）解：∵ ， ， ，
∴ ，
∵ 沿 方向运动，速度为每秒 ，且点Q在边 上，
∴ ，
∵ 是等腰三角形，
∴下面分3种情况讨论：
①当 时，此时 ，
∴ ，
解得 ；
②当 时，
则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ；
③当 时，
如图，过点B作 于点G，则 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ；
∴综上所述，能使 成为等腰三角形的运动时间为9秒或8.25秒或9.9秒．
25．已知直角三角形的两边 ， 满足 ．
(1)求 ， 的值；
(2)求这个直角三角形第三边的长度．
【答案】(1) ，
(2)这个直角三角形的第三边的长度是 或
【分析】本题考查了勾股定理，非负数的性质；
（1）根据非负数的性质，即可求解；
（2）需分两种情况讨论：①已知两边 均为直角边；②较长的边 为斜边，另一边 为直角边．再根据
勾股定理求解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ， .
∵ ， 为三角形的两边，
∴ 舍去，
∴ ， .
（2）解：①若 ， 都为直角边，则第三边长度为 ；
②若 为斜边， 为直角边，则第三边长度为 .
综上所述，这个直角三角形的第三边的长度是 或 .
26．如图，在 中， ， ．(1)尺规作图：在边 上作一点D，使得点D到边 与边 的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】本题考查了作角平分线，角平分线的判定与性质，30度角的直角三角形，勾股定理，等角对等边，
正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）理解点D到边 与边 的距离相等，即作出 的平分线，交 于一点，即为点 ，即可作
答．
（2）先求出 ，结合角平分线的定义，得出 ，根据等角对等边，得
，运用30度角的直角三角形的性质以及勾股定理列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：点D如图所示：
（2）解：∵ ， ．
∴ ，
由（1）的作图痕迹，得出 是 的角平分线，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ．
27．如图， 是 的高， ， 求 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定．
先利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出 的长，再证明 ，即可利用勾股定理求出
的长．【详解】解：∵ 是 的高，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
28．已知：如图，在 中， ， ，垂足为 ．若 ， ，求 的长．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理，利用等积法求出 的长，是解题的关键．勾股定理求
出 的长，等积法求出 的长，再利用勾股定理求出 的长即可．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，即 ，
∴ ，
∴ ．
29．综合与实践
如图，在平面直角坐标系中，点 ，直线 经过点 ，且 满足 ，
连接 ．(1)求点 的坐标．
(2)试判断 的形状，并说明理由．
(3)若动点 在直线 上运动，当 与 的面积之比为 时，直接写出点 的纵坐标．
【答案】(1)点 的坐标为 ，点 的坐标为 ；
(2) 是直角三角形，理由见解析；
(3)点 的纵坐标为 或 ．
【分析】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，勾股定理及其逆定理的应用，点到坐标轴的距离，三
角形的面积公式；
（1）根据实数的非负性，确定a，b的值，继而确定点 的坐标；
（2）根据 的坐标，结合勾股定理分别计算 ，根据 ，即可求解；
（3）先计算 ，设 的纵坐标为 ，分点 在 上和 的延长线上两种情况分析，
即可求解．
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ， ，
（2）解： 是直角三角形，理由如下，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∵ ，即
∴ 是直角三角形；
（3）∵ ， ， ，
∴ ，∴ ，
∴
∵ 与 的面积之比为 ，
∴ ，
设 的纵坐标为 ，
当 在 上时，
∴ ，即
解得：
当 在 的延长线上时，
∴ ，即
解得：
∴点 的纵坐标为 或 ．
30．已知：如图，在 中， ，点 是高 上一点， ．若 ， ，
求 的长．
【答案】
【分析】此题考查了勾股定理、等腰三角形的判定和性质、三角形外角的性质等知识．根据等边对等角得
到 ，由三角形外角的性质得到 ，则 ，设
则 ，由勾股定理得到 ，由
得到 ，得到 ，在 中， ，得到
，解得 ，即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，∵
∴ ，
设 则 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
类型二、两点间的距离公式
31．若点 ， 可知 ，则 的最小值为
（ ）
A．4 B．5 C．2 D．3
【答案】B
【分析】本题考查了两点间的距离公式，勾股定理，轴对称-最短路径问题．把式
看成点 到两点 和 的距离之和，作点
关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ，此时 的值最小，最小值为
的长，再根据两点间的距离公式即可得到结论．
【详解】解： ，
∵把式 看成点 到两点 和 的距离之和，
作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ，如图所示：
根据轴对称可知： ，∴ ，
∵两点之间线段最短，
∴此时 最小，即 的值最小，且最小值为 的长，
∵ ，
∴ 的最小值为5，
故选：B．
32．如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标是 ，点 的坐标是 ，点 是 的中点，若点
在 轴上，且 ，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】本题主要考查的考试知识集中在平面直角坐标系和三角形全等首先根据点的坐标及中点性质，得
出 ；再结合 和直角条件用 定理证 ，推得 ；最后
因 在 轴上，分正负半轴讨论，得到 的坐标．
【详解】解：∵点 是 的中点，点 ，
∴ ，
∵点 ，
∴
∴ ，
∵ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
点 在 轴负半轴上时，坐标为 ；
点 在 轴正半轴上时，坐标为 ；综上所述，点 的坐标为 或 ．
故选：C．
33．点 离原点的距离是（ ）
A．4 B．7 C．3 D．5
【答案】D
【分析】先画图，据图可知 BOM是直角三角形，所求OM是其斜边，利用勾股定理易求．
【详解】解：如图所示，
△
过M分别做x、y轴的垂线段，垂足分别是A、B，
∵点M的坐标是（-4，3），
∴MB=4，OB=3，
∵在Rt MOB中，OM2=OB2+BM2，
∴OM2=32+42=25，
△
∴OM=5（负数舍去）．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是能把求两点的距离转化成求斜边的长．
34．已知点 和 ，则线段 的长度为 ．
【答案】6
【分析】本题主要考查两点间的距离公式 ，根据两点间的距离公式求解即可．
【详解】由两点间距离公式， ．
故答案为：6．
35．在坐标系中，点A，B，C的坐标分别为 ， ， ，那么点C到直线 的最短距离是
．
【答案】
【分析】本题主要考查了直角坐标系，直角三角形的性质，路径最短问题，解题的关键是数形结合．根据
题意在直角坐标系中找到点A，B，C的位置，并依次连接三个点，根据坐标点求出 、 、 的值，根据坐标可得 是直角三角形，过点C作 于点D， 即为所求，利用等面积法求解即可．
【详解】解：如图，顺次连接A，B，C三点，过点C作 于点D， 即为所求，
∵点A，B，C的坐标分别为 ， ， ，
∴ 是直角三角形， ， ， ，
∴ ，
即 ，
解得： ．
故答案为： ．
36．已知点A坐标为 ，则点A到原点的距离为 ．
【答案】
【分析】本题考查了两点间距离公式．
利用两点间距离公式求解点A到原点的距离即可．
【详解】解：点A的坐标为 ，原点坐标为 ，
∴A到原点的距离为 ．
故答案为： ．
37．如图， 的顶点 分别在第一，二象限内， ，则n的值为 ．
【答案】【分析】本题主要考查了勾股定理，熟知坐标系中两点距离公式是解题的关键．
利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵ 的顶点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 .
故答案为： ．
38．点 到原点的距离是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内两点之间的距离公式，掌握两点间的距离公式是解题的关键．
直接运用两点之间的距离公式求解即可．
【详解】解：∵点 ，原点坐标为 ，
∴点 到原点的距离是 ．
故答案为： ．
39．如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，连接 ，以点 为圆心，
长为半径画弧交 轴负半轴于点 ，则点 的横坐标为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了平面直角坐标系中两点间距离公式的应用，勾股定理等知识点，解题的关键是利用两
点间距离公式求出 的长度，再结合圆的半径相等确定点 的坐标．
先通过两点间距离公式计算 的长度，由 得到 的长度，再结合点 的坐标求出点 的横坐
标．
【详解】解：由点 、 ，根据两点间距离公式：
以 为圆心, 为半径画弧交 轴负半轴于 ，．
设点 的坐标为 ，则 ，
在 轴负半轴， ，
，解得 ．
故答案为： ．
40．已知点 ， ，点 是 轴上一动点，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了两点之间线段最短，勾股定理求两点距离，连接 ，当 在 上时， 的
值最小，根据勾股定理求得 的长，即可求解．
【详解】解：如图，连接 ，
当 在 上时， 的值最小，最小值为
故答案为： ．
41．在平面直角坐标系 中，若点P的坐标为 ，则 的长为 ．
【答案】5
【分析】本题考查平面直角坐标系中点的特征、勾股定理，正确结合坐标系求出 的长是解题的关键．
利用勾股定理计算即可．
【详解】解：如图所示：
∵ ，
∴ ．
故答案为：5．
42．在平面直角坐标系 中，点A的坐标为 ，则线段 的长为 ．
【答案】【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的特征及勾股定理，根据勾股定理，计算原点O到点A的距离．
【详解】解：点A的坐标为 ，由勾股定理得 ．
故答案为： ．
43．如图，已知 ， 两点的坐标分别为 、 ，以点 为圆心， 长为半径画弧，交 轴负
半轴于点 ，则点 的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了图形与坐标，勾股定理，利用点 ， 坐标、求得 的长度，进而求出 的长度即
可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵以点 为圆心， 长为半径画弧交 轴负半轴于点 ，
∴ ，
∴ ，
∵点 在 轴的负半轴上，
∴点 的坐标为 ，
故答案为： ．
44．已知点 ，点 ，
(1)若点B在第四象限，求b的取值范围；
(2)若 ，求 的长；
(3)若 ，求b的值．
【答案】(1)
(2)
(3) 或1【分析】本题考查了坐标点的象限和坐标系上两点之间的距离的知识点．
（1）根据第四象限上点的横坐标为正，可得出结论；
（2）过点A与点B分别平行于y轴、x轴作平行线，构建出直角三角形 ，通过勾股定理即可求出斜边
的长；
（3）根据题意构造出直角三角形，并注意分类讨论，结合 ，可求得 的长，进而求出b的值．
【详解】（1）解：∵点B在第四象限，则点B的横坐标为正数，则 ；
（2）解：如图①所示，过点A作 平行于y轴，过点B作 平行于x轴， 与 交于点C，
∵点 ，点 ，
∴ ， ，
∴ ；
（3）解：如图②所示，
点 与点 均符合 ；
在 中， ， ，则 ，
∵点P的横坐标为 ，
∴点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ．
∴b的值为 或1．
45．如图，在 中， ， ， ，点 是线段 的垂直平分线与 的交点，连
接 ．(1)求 的长度；
(2)求 的长度．
【答案】(1)8
(2)5
【分析】此题考查了勾股定理、垂直平分线的性质等知识，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的
距离相等．
（1）在 中，利用勾股定理可得 ，由此求解即可；
（2）由 是线段 的垂直平分线上的点可知 ，设 ，则 ，利用勾股定理
列方程即可求出 的长度．
【详解】（1）解：在 中， ， ， ，
∴
（2）设 ，
∵点 是线段 的垂直平分线上的点，
∴ ， ，
在 中，由勾股定理得， ，
∴ ，
解得 ，
即 的长度为 ．
46．在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为 ， ， ．
(1)在图中作出 关于y轴对称 ，点A，B，C的对应点分别为点 ， ， ；
(2)求 的周长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了作图-轴对称变换及勾股定理，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
（1）作出 三顶点关于y轴的对称点，再顺次连接可得 即可；
（2）根据勾股定理求出三边长，进而求出周长即可．
【详解】（1）解：如图， 即为所求．（2）解：∵ ， ， ，
∴ ，
，
，
∴ 的周长 ．
类型三、勾股数问题
47．下列各组数中，是勾股数的一组是（ ）
A．7， 8，9 B．1， 1， 2 C．9， 12， 15 D．2， 3，4
【答案】C
【分析】本题考查了勾股数，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，根据勾股数的定
义逐项判断即可，熟练掌握勾股数的定义是解此题的关键．
【详解】解：A、 ，故7，8，9不是勾股数，不符合题意；
B、 ，故1，1，2不是勾股数，不符合题意；
C、 ，故9，12，15是勾股数，符合题意；
D、 ，故2，3，4不是勾股数，不符合题意．
故选：C．
48．当n为正整数时，下列各组数：① ， ， ；②5，6，7；③ ， ， ，其中是勾股数的是
（ ）
A．① B．①② C．①③ D．①②③
【答案】C
【分析】本题考查了勾股数：两个较小数的平方和等于最大数的平方的三个正整数，掌握勾股数的定义是
解决本题的关键．
根据勾股数的定义判断即可．
【详解】解：①：∵ ，
∴①是勾股数．②：∵ ， ， ，
∴②不是勾股数．
③：∵ ， ，∴ ，
∴③是勾股数．
综上，是勾股数的有①和③．
故选C．
49．在下列各组数中，是勾股数的一组是( )
A．1，2，3 B．5，6，7 C． ， ， D．5，12，13
【答案】D
【分析】本题考查了勾股数的定义，熟练掌握勾股数的定义是解题的关键．根据勾股数是满足较小的两个
数的平方之和等于最大的数的平方的一组正整数，据此逐项分析即可作答．
【详解】解：A、 ，故该选项不符合题意；
B、 ，故该选项不符合题意；
C、 ， ， 不是正整数，故该选项不符合题意；
D、 ，故该选项符合题意；
故选：D．
50．下列各组数中，是勾股数的一组为（ ）
A． ， ， B．1， ，2 C．0.3，0.4，0.5 D．6，8，10
【答案】D
【分析】本题考查勾股数，勾股数需为一组正整数，且满足两较小数的平方和等于最大数的平方，据此进
行判断即可．
【详解】解：A、 不是正整数，不符合题意．
B、1， ， 2 中 不是正整数，不符合题意．
C、0.3， 0.4， 0.5 不是正整数，不符合题意．
D、6， 8， 10 均为正整数，且 ， ，
∴ ，是勾股数，符合题意；
故选D．
51．下列各组数是勾股数的是（ ）
A．1，1， B． ， ， C．2，12，14 D．8，15，17
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股数问题，若三个正整数满足较小的两个正整数的平方和等于最大数的平方，
那么这三个正整数是勾股数，据此求解即可．
【详解】解：A、∵ 不是整数，∴1，1， 这组数不是勾股数，不符合题意；
B、∵ ， 都不是整数，
∴ ， ， 这组数不是勾股数，不符合题意；
C、∵ ，
∴2，12，14这组数不是勾股数，不符合题意；
D、∵ ，
∴8，15，17这组数是勾股数，符合题意；
故选：D．
52．下列四组数是勾股数的一组是（ ）
A．1，2，3 B．0.3，0.4，0.5 C．5，12，13 D．1， ，3
【答案】C
【分析】本题考查了勾股数以及勾股定理，解决本题的关键是熟练掌握勾股数的概念．
勾股数是三个正整数，且满足 ，其中c为最大数，逐一验证各选项是否满足定义和勾股定理即
可．
【详解】解：对于选项A： ，不是勾股数；
对于选项B：0.3，0.4，0.5不是正整数，不是勾股数；
对于选项C： ，且5，12，13均为正整数，是勾股数；
对于选项D： 不是整数，不是勾股数．
故选：C．
53．下列各组数据中，不是勾股数的是（ ）．
A．3，4，5 B．7，24，25
C．8，15，17 D．1，2，3
【答案】D
【分析】本题考查勾股数问题，根据三个正整数，满足两个数的平方和等于第三个数的平方，这三个数为
勾股数，进行判断即可．
【详解】解：A、 ，是勾股数，不符合题意；
B、 ，是勾股数，不符合题意；
C、 ，是勾股数，不符合题意；
D、 ，不是勾股数，符合题意；
故选D．
54．在下列四组数中，是勾股数的是（ ）
A．2，1， B．6，8，12 C．7，40，41 D．5，12，13
【答案】D【分析】本题考查了勾股数的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据勾股数是三个正整数，且满足两较
小数的平方和等于最大数的平方，据此逐项判断即可．
【详解】解：A、含 ，不是正整数，不符合定义，故该选项错误；
B、 ， ， ，不符合定义，故该选项错误；
C、 ， ， ，不符合定义，故该选项错误；
D、 ， ，相等且均为正整数，符合定义，故该选项正确；
故选：D．
55．下列各组中的3个数是勾股数的是（ ）
A．4，5，6 B．0.3，0.4，0.5 C． ， ， D．3，4，5
【答案】D
【分析】本题考查了勾股数，勾股数是三个正整数，满足勾股定理 （其中 为最大数）．通
过计算各组数是否满足此条件且均为正整数来判断．
【详解】解：A、 ，∴不是勾股数；
B、 、 、 不是正整数，∴不是勾股数；
C、 ，∴不是勾股数；
D、 ，且 、 、 均为正整数，∴是勾股数；
故选：D．
56．下面各组数中，是勾股数的是 （填序号）．
（1） ， ， ；
（2） ， ， ；
（3） ， ， ；
（4） ， ， ．
【答案】（1）（2）
【分析】本题主要考查勾股数，判断各组数是否为正整数，并验证是否满足勾股定理即可．
【详解】（1）三个数均为正整数，且 ，该组数为勾股数；
（2）三个数均为正整数，且 ，该组数为勾股数；
（3）三个数均为正整数，但 ，该组数不是勾股数；
（4）三个数不是正整数，该组数不是勾股数．
故答案为：（1）（2）．
57．清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，
不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股
数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；⑤11，60，61…根据上述规律，写出第⑥
组勾股数为 ．【答案】13，84，85
【分析】本题考查了数的规律问题，勾股数．
观察勾股数序列，第一个数字为连续奇数，第⑥组第一个数字为13，设第二个数字为b，则第三个数字为
，根据勾股定理列方程求解．
【详解】解：由题意可知，第⑥组勾股数的第一个数字为13，
设第二个数字为b，则第三个数字为 ，
由勾股定理，得 ，
即 ，
整理得 ，
解得 ，
故 ．
因此第⑥组勾股数为 ．
故答案为： ．
类型四、勾股定理与折叠问题
58．如图，在长方形 中， ， ，将此长方形沿 折叠，使点 与点 重合，则 的
长度为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，解题的关键是理解 ，先表示出 ，再根据勾
股定理计算即可．
【详解】解：长方形沿 折叠，使点D与点B重合，
，
，
在长方形 中， ，
，即 ，
解这个方程得： ，
故选：C．59．如图，长方形 中， ， ，把这个长方形折叠，使点 B 与点 D 重合， 是折痕，
的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理．
根据折叠的性质可得 ，利用勾股定理列式计算即可得解．
【详解】解：∵长方形 ，
∴ ，
∵将此长方形折叠，使点B与点D重合，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
60．如图，在长方形 中， ， ，点 在 上，连接 ，将 沿着 翻折得到
，点 刚好落到长方形 的对角线 上，点 是 上一点，连接 ， ，若 ，
则 的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，全等三角形的性质与判定，根据勾股定理求得 ，根据折叠
的性质以及勾股定理求得 ，过点 作 于点 ，证明 ，进而得出
，勾股定理求得 的长，进而在 中，利用勾股定理求得 的长，即可
求解．【详解】解：依题意， ， ，
∴
∵将 沿着 翻折得到 ，点 刚好落到长方形 的对角线 上，
∴ ， ， ，
∴
设 ，则 ， ，
在 中，
∴
解得：
∴ ，
如图，过点 作 于点 ，
∵ ，即
∴
∵
∴
∵
∴
又∵
∴
∴ ， ，
∴ ，
设 ，则
在 中，
∴
解得： ，即 ，则 ，
∴ ，∴ ，
故选：A．
61．如图，在长方形 中，E，F分别是 边上的点，将 沿 折叠，点B的对应点G恰
好落在 边上．若 ，则 的长为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查翻折变换，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题
型．过点E作 ，由折叠可知： ， ，由勾股定理可得 ，
再得 ，设 ，则 ，利用勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：如图，过点E作 ，
由题意可得： ，
由折叠可知： ， ，
，
，
设 ，则 ，
在 中， ，
，
解得： ，
．
故选：D．
62．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边 ， ，现将 折叠，使点B与点A重合，折痕为 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，由折叠的性质得 ，设 ，则
，在 中利用勾股定理列出方程，求出 的值即可得出答案．
【详解】解：由折叠的性质得， ，
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ，
∴ 的长为 ．
故选：C．
63．如图所示的三角形纸片中， ．现将纸片进行折叠，使得顶点B落在 边上
的点D处，折痕为 ，则 的长为（ ）
A．2.4 B．2.5 C．2.8 D．3
【答案】A
【分析】由∠B＝90°，AC＝13，BC＝5，可求得AB的长，设BE＝x，由折叠的性质可得：△DEC是直角三
角形，ED＝BE＝x，EC＝5−x，CD＝1，然后由勾股定理求得BE的长．【详解】解：∵∠B＝90°，AC＝13，BC＝5，
∴AB＝ ，
设BE＝x，
由折叠的性质可得：CD＝AC−AD＝ 13−12＝1，
DE＝BE＝x，∠ADE＝∠B＝90°，
∴EC＝BC−BE＝5−x，
在Rt△DEC中，EC2＝CD2＋DE2，
∴(5−x)2＝1＋x2，
解得：x＝2.4，
∴BE＝2.4．
故选：A．
【点睛】此题考查了折叠的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意
数形结合思想与方程思想的应用．
64．如图，已知ABCD是长方形纸片， ，在CD上存在一点E，沿直线AE将 折叠，D恰好落
在BC边上的点F处，且 ，则 的面积是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据面积求出BF、AF、CF，设DE为x，列方程求出即可．
【详解】解：ABCD是长方形纸片，
∴AB=CD=3，
，
∴ ，
∴BF=4，
∴AF= ，
∴AF=AD=BC=5，CF=1，
设DE为x，EF=DE=x，EC=3-x，
x2=(3-x)2+1，解得，x= ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理与翻折，解题关键是恰当的设未知数，根据勾股定理列方程．
65．如图，长方形纸片ABCD， ，将长方形纸片折叠，使点 与点 重合，点 落在点 处，折
痕为 ，若 ， ，则 的长为 ．
【答案】 /
【分析】此题考查了折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．根据折叠的
性质得到 ，则 ，在 中，利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：根据折叠的性质得到， ，
四边形 是长方形， ， ，
， ，
在 中， ，
，解
得 ．
故答案为： ．
66．在平面直角坐标系中，点A的坐标是 ，点B的坐标是 ，点M是y轴上一点，将 沿
折叠，点B恰好落在x轴上的点 处，则点M的坐标为 ．
【答案】 或
【分析】本题考查了平面直角坐标系、勾股定理与折叠问题，运用分类讨论思想是解题的关键．
分两种情况讨论：①点 在点A的右侧，②点 在点A的左侧，利用勾股定理求出 ，根据折叠的
性质得到 ， ，设 ，在 中利用勾股定理列出方程，求出 的值，再
结合坐标系即可得到点M的坐标．
【详解】解：①若点 在点A的右侧，如图，∵点A的坐标是 ，点B的坐标是 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
由折叠的性质得到， ， ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴点M的坐标为 ；
②若点 在点A的左侧，如图，
由折叠的性质得到， ， ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，∴点M的坐标为 ；
∴综上所述，点M的坐标为 或 ．
故答案为： 或 ．
67．如图，在 中， ，点D在边 上．将 沿 折叠，使点C落在点
处，连接 ，则 的最小值为 ．
【答案】 /
【分析】本题主要考查勾股定理、折叠的性质、三角形三边关系．
由折叠性质可知 ，然后根据三角形三边关系可进行求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
由折叠的性质可知 ，
∵ ，
∴当 、 、B三点在同一条直线上时， 取最小值，最小值即为 ．
故答案为： ．
68．如图，在长方形 中， ，在 上任取一点 ，连接 ，取 的中点 ，连接 ，
将 沿 折叠，当点 恰好落在 边上的点 处时，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理与折叠，全等三角形的判定与性质；延长 与 交于点 ，由长方形
得到 ，再证明 ，得到 ， ，根据
折叠得到 ， ，再根据勾股定理求出 ，则 ，再在 中，根据，解得 ，得到 ，即可根据勾股定理得到 ，最后根
据 求解即可．
【详解】解：延长 与 交于点 ，
∵在长方形 中， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵点P是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵将 沿 折叠，点 恰好落在 边上的点 处，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
中， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故答案为： ．
69．如图，已知 中， ．现将 进行折叠，使顶点 重合．则
线段 ．
【答案】
【分析】本题考查通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，根据实际操作图
形的折叠，易于找到图形间的关系；在 中可得 ，在 中可得 ，则
，在 中根据勾股定理即可求解．
【详解】解：在 中， ，
∴
∵将 进行折叠，使顶点 重合
∴ ，
设 ，在 中，
∴
解得：
则
∴在 中，
故答案为： ．
70．如图，在长方形 中， ，将 沿 翻折，得到 ，其中， 与 相交
于点 ，则 为【答案】
【分析】本题主要考查折叠的性质与勾股定理，熟练掌握折叠的性质与勾股定理是解题的关键；由题意易
得 ，然后可得 ，则可设 ，
则有 ，进而根据勾股定理可建立方程进行求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
由折叠的性质可知： ，
在长方形 中， ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则有 ，
∴在 中，由勾股定理可得： ，
解得： ，
∴ ；
故答案为 ．
类型五、勾股定理的证明方法
71．我国是最早了解勾股定理的国家之一．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一
个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三，股四，弦五”．它被记载于下列哪部著
名数学著作中（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】根据传统文化知识，记录在《周髀算经》中，解答即可．
本题考查了勾股定理的发展史，熟练掌握知识是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得记录在《周髀算经》中，
故选：C．
72．如图，以 的斜边 为直角边作等腰直角三角形 ，再作 ，交 的延长线于点
E．请利用面积相等证明勾股定理．
【答案】证明见详解
【分析】本题考查勾股定理的证明，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理的证明解答即可．
【详解】证明： ，
是直角三角形，
，
是等腰直角三角形，
， ，
， ，
，
， ，
，
， ， ，
，
， ，
，
，
，
四边形 是梯形，
梯形 中 ， ， ，
，
等腰直角三角形 中， ，
，， ，
，
，
．
73．小明学了勾股定理后很高兴，兴冲冲的回家告诉了爸爸：在 中，若 ， ， ，
，如图，根据勾股定理，则 ．爸爸笑眯眯地听完后说：很好，你又掌握了一样知识，现
在考考你，若不是直角三角形，那勾股定理还成不成立？若成立，请说明理由；若不成立，请你类比勾股
定理，试猜想 与 的关系，并证明你的结论．（下图备用）
【答案】①在锐角三角形中， ．②在钝角三角形中， ；证明见解析
【分析】本题考查了勾股定理，作出高转化到直角三角形中去，利用勾股定理得出结论．根据题意要分锐
角三角形、钝角三角形分别证明，作出它们的高，根据高是两个直角三角形的一个公用直角边，利用勾股
定理作出证明．
【详解】解：①当三角形是锐角三角形时，
证明：如图，作 垂足是 ，设 的长为 ，
根据勾股定理得：
整理得：
②当三角形为钝角三角形时
证明：如图，过 点作 的垂线交 于 点，设 的长为 ，在直角三角形 中，
在直角三角形 中， ，
整理得：
， ．
所以：①在锐角三角形中， ．
②在钝角三角形中， ．
74．【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第 页的部分内容．
把两个全等的直角三角形拼成如图所示的形状，使点 、 、 在同一条直线上，
利用此图的面积表示式证明勾股定理．
(1)请结合图①，写出完整的证明过程；
(2)如图②，等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，AB=2 ，P是射线BC上一点，以AP为直角边在AP边的
右侧作△APD，使∠APD=90°，AP=PD．过点D，作DE⊥BC于点E，当DE=4时，则BD=______．【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证△BEC是等腰直角三角形，由面积和差关系可得结论；
（2）由等腰直角三角形的性质可求AH=BH=HC=2，由AAS可证△APH≌△PDE，可得DE=PH=4，
AH=PE=2，由勾股定理可求解．
【详解】（1）证明：∵△ABE≌△DEC，
∴∠ABE=∠DEC，
∵∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠AEB+∠CED=90°，
∴∠BEC=90°，
∴△BEC是等腰直角三角形，
∴S BEC= ，
△
∵S BEC=S ABCD-2S ABE，
梯形
△ △
∴ = ，
∴c2=a2+b2．
（2）解：如图②，过点A作AH⊥BC于H，
∵△ABC是等腰直角三角形，AB=2 ，
∴AH=BH=CH=2，
∵∠APH+∠PAH=90°=∠APH+∠DPE，
∴∠PAH=∠DPE，
在 APH和 PDE中，
△ △，
∴△APH≌△PDE（AAS），
∴DE=PH=4，AH=PE=2，
∴BE=BH+HP+PE=8，
∴BD= ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用这些性质解
决问题是解题的关键．
75．综合与实践
【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三
角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于 ，另一种是等于四
个直角三角形与一个小正方形的面积之和．即 ，从而得到等式 ，化
简便得结论 ．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求
法”．
【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，
向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形 和 如图2放置，其三边
长分别为a，b，c， ，显然 ．
（1）请用a，b，c分别表示出四边形 ，梯形 ， 的面积，再探究这三个图形面积之间
的关系，证明勾股定理 ．
【方法迁移】（2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为2，连接小正方形的三个
顶点，可得 ，直接写出 边上的高为 ；
（3）如图4，在 中， 是 边上的高， ， ， ，设 ，求x的值．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）
【分析】（1）根据 建立等式证明即可．
（2）用两种方法表示三角形的面积，建立等式，解答即可；（3）根据题意，得 ， ，分别表示后，建立等式解答即可．
本题考查了勾股定理的证明，勾股定理的应用，熟练掌握证明和应用是解题的关键．
【详解】（1）证明： ， ， ，且
，
，
，
；
（2）解：设 边上的高为h，
根据题意， ，且 ，
又
故 ，
解得 ，
故答案为： ；
（3）解：在 中，由勾股定理得： ，
在 中，由勾股定理得： ， ，
解得 ．
1．如图，在 中， ， ，点D为 的中点，点E为 边上一点，将 沿
翻折，点A的对应点为 ，当 落在 内部（不包括边上）时， 的取值范围是______．（
）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查翻折变换，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握翻折变换的性质，学会寻
找特殊位置解决问题．如图1中，当点 落在 上时，如图2中，当点 落在 上时，分两种情形求出
的长可得结论·
【详解】解：连接 ，当点 落在 上时， ，
∵D是 的中点， ，
，
，
，
，
，
如图，当点 落在 上时，，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
，
，
关于 对称，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴当点 落在 内部 (不包括边上)时， 的取值范围是 ．
故选：A．
2．如图①，直角三角形的两个锐角分别是 和 ，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由
两个小正方形向外分别作锐角为 和 的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作
正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉
斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为（ ）．A．16 B．30 C．48 D．60
【答案】C
【分析】本题考查与直角三角形有关的图形的面积问题，熟练掌握勾股定理，找到规律是解题的关键：把
图②中各个小正方形标上字母，设正方形 的边长为 ，正方形 的边长为 ，根据勾股定理，得到
，得到正方形 的面积+正方形 的面积 ，进而得到图①中所有正方形的面积和
，依次类推，每一次操作后，所有正方形的面积和都比前一次操作增加4，进行求解即可．
【详解】解：如图，把图②中各个小正方形标上字母，设正方形 的边长为 ，正方形 的边长为 ．
正方形 的面积为 ，正方形 的面积为 ．
由题意得：正方形 的边长为2，并且是直角三角形的斜边．
正方形 的面积为4．
根据勾股定理可得： ．
∴正方形 的面积+正方形 的面积 ；
图①中所有正方形的面积和 ．
同理可得：正方形 的面积＋正方形 的面积 正方形 的面积，正方形 的面积＋正方形 的面积 正
方形 的面积，
正方形 的面积＋正方形 的面积＋正方形 的面积＋正方形 的面积 正方形 的面积＋正方形 的
面积 ．
图②中所有正方形的面积和 图①中所有正方形的面积和 ．
即一次操作后所有正方形的面积和 图①中所有正方形的面积和 ．
同理可得2次操作后增加的8个小正方形的面积和也是4．
次操作后所有正方形的面积和 图①中所有正方形的面积和 ．
次操作后所有正方形的面积和 图①中所有正方形的面积和 ．
故选C
3．如图，在长方形 中， ， ，点 在 上，连接 ，将 沿着 翻折得到
，点 刚好落到长方形 的对角线 上，点 是 上一点，连接 ， ，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，全等三角形的性质与判定，根据勾股定理求得 ，根据折叠
的性质以及勾股定理求得 ，过点 作 于点 ，证明 ，进而得出
，勾股定理求得 的长，进而在 中，利用勾股定理求得 的长，即可
求解．
【详解】解：依题意， ， ，
∴
∵将 沿着 翻折得到 ，点 刚好落到长方形 的对角线 上，
∴ ， ， ，
∴
设 ，则 ， ，
在 中，
∴
解得：
∴ ，
如图，过点 作 于点 ，
∵ ，即
∴
∵
∴∵
∴
又∵
∴
∴ ， ，
∴ ，
设 ，则
在 中，
∴
解得： ，即 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
二、填空题
4． 是等边三角形，D是 边上的动点，以 为边在 右侧作等边 连接 ，F是 的
中点，连接 ，若 ，则 的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的
性质等知识，先求出 ，再证出 ，根据全等三角形的性质可得 ，从
而可得在点D运动过程中，点E的运动轨迹在射线 上，然后根据垂线段最短可得当 时，
取得最小值，最后利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可得．
【详解】解：如下图，
∵ 是等边三角形， ，
∴ ，
∵F是 的中点，
∴ ，∵ 和 都是等边三角形，
∴ ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴在点D运动过程中，始终有 ，
∴在点D运动过程中，点E的运动轨迹在射线 上，
由垂线段最短可知，当 时， 取得最小值，
此时，
∴在 中， ，
∴ 的最小值为 ，
故答案为： ．
1． 中， ， ，点D为直线 上一动点（点D不与B，C重合），以 为边在
右侧作四边形 ，使 ， ，连接 ．
(1)观察猜想
如图1，当点D在线段 上时，
① 与 的位置关系为 ；
② ， ， 之间的数量关系为 ；
(2)数学思考
如图2，当点D在线段 的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请
你写出正确结论再给予证明．(3)拓展延伸
如图3，当点D在线段 的延长线上时，延长 交 于点G，连接 ．若已知 ， ，
请求出 的长．
【答案】(1)① ；②
(2)结论①成立，结论②不成立应为 ，证明见解析
(3)
【分析】（1）①证明 ，根据全等三角形的性质得出 ，即可得到结论；
②证明 ，根据全等三角形的性质得到 ，即可得到结论；
（2）证明 ，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（3）证明 ，得出 ，根据勾股定理得出 ，结合已知求出
，过E作 于H，过A作 于O，证明 、 、 是等腰直角三角形，
可求出 ， ， ，证明 ，得出 ， ，最后在
中，根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：①∵ ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ；
故答案为：垂直；
②∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故答案为： ；
（2）解：结论①成立，结论②不成立应为 ；
，，
，
， ，
，
在 与 中，
，
，
，
，
，
即 ；
，
，
，
．
（3）解： ，
，
在 与 中，
，
，
， ，
又 在 中 ，
，
∴ ，
，
过E作 于H，过A作 于O，，
，
，
，
，
又 ，
，
，
， ，
，
，
，
， ，
， ， ，
，
， ，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，余角的性质，勾股定理，等腰直角三角形
的性质，本题综合性强，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
2．如图①，含 和 角的两块直角三角板 和 ， ，它们的斜边 与 重合
且 ，点 为 （ ）的中点，直角边 与 相交于点 ．
(1)求 的长；
(2)当 绕着点 以每秒 的速度逆时针旋转 （ ）（如图②，直角边 与的斜边 交于点 ，设旋转时间为 秒，当 为何值时， 为等腰三角形．
(3)在（2）的旋转过程中直角边 与 的斜边 交于点 ，求点 移动路径长．
【答案】(1)
(2)2或3或 4秒
(3)
【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理， 所对的直角边是斜边的
一半，运用分类讨论思想，临界思想是解题的关键．
（1）过点 作 ，于点 ，易得 是等腰直角三角形，设 ，则 ，根据
求出 的值，即可求解；
（2）依题意得 ， 为等腰三角形时，有三种情况，根据等边对等角及三角形内角和求
解即可；
（3）当 时，点 与点 重合，当 时，点 与点 重合，由此画出图形，即可求出点 移动
路径长．
【详解】（1）解：如图1，过点 作 ，于点 ，
依题意得： ， ，
是等腰直角三角形．
．
设 ，
在 中， ，
．
由勾股定理得： ，
，解得 ．
．
（2）依题意得： ，
当 时，
，
即 ，解得 ．当 时，
．
，
，解得 ．
当 时，
，
，解得 ．
综上所述，当 为2或3或 4秒时， 为等腰三角形．
（3）当 时，点 与点 重合，
连接 ，
是等腰直角三角形，点 为 的中点，
， ．
当 时，点 与点 重合，如图所示．
∴点 移动路径长即为 的长．
，
．
，
．
在 中， ，
．
．
∴点 移动路径长即为 ．3．如图1，在平面直角坐标系中，已知点 ，点 ，点B在x轴负半轴上，且 ．
(1)点B的坐标为 ；
(2)如图2，在线段 上作出一点D（用直尺与圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）使点D到 的距离
等于 ，并求出点D的坐标；
(3)如图3，若点E为边 的中点，动点M从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿线段 向点A匀速运
动，设点M运动的时间为t(秒)，在点M运动的过程中， 能否成为直角三角形？若能，求出此时t的
值，并写出相应的点M的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)见解析，
(3)运动时间为 ，且 或运动时间为 ，且
【分析】（1）根据两点间距离公式得 ，结合 ， ，
得到 ，根据点的位置特征，确定坐标即可．
（2）根据角的平分线判定定理，作 的角平分线，与 的交点即为所求，后利用角的平分线性质定
理和勾股定理解答即可；
（3）当点M在原点的左侧时，得到 是一个钝角，则 是钝角三
角形，不符合题意；当点M在原点的右侧，且 时，确定 ， ，当点M在
原点的右侧，且 时，取 的中点N，得到 ；实施两次勾股定理解答即
可得解运动时间为 ，且 ．
本题考查了勾股定理，两点间距离公式，角的平分线作图，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，
直角三角形的判定和性质，解方程，分类思想，熟练掌握公式，定理和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：∵点 ，点 ，且 ．
∴根据两点间距离公式得 ，且 ，
∵ ，∴ ，
∵点B在x轴负半轴上，
∴点B的坐标为 ，
故答案为： ．
（2）解：如图所示，设点D到 的距离为 ， 是点D到 的距离，且 ，
∴点D一定在 的角平分线上，
∴作 的角平分线，与 的交点D即为所求，
设 ，则 ，
在 和 中
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴
解得 ，
∴ ．
（3）解：当点M在原点的左侧时，如图所示，
∵ 是一个钝角，
故 是钝角三角形，不符合题意；
如图，当点M在原点的右侧，且 时，
∵ ，且点E为边 的中点， ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵动点M从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿线段 向点A匀速运动，点M运动的时间为t(秒)，
∴ ，
故运动时间为 ，此时 中 ，且 ；
如图，当点M在原点的右侧，且 时，
∵ ，且点E为边 的中点， ，
∴ ，
取 的中点N，
∴ ， ，
；
在 中，
则 ，
在 中，
则 ，∴ ，
设 ，则 ，
∴
整理，得 ，
解得 ，
故此时 ，
∴ ，
∵动点M从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿线段 向点A匀速运动，点M运动的时间为t(秒)，
∴ ，
∴运动时间为 ，且 ，
综上所述，运动时间为 ，且 或运动时间为 ，且 时， 是直角三角形．
4．勾股定理是人类最伟大的十大科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．某数学兴趣小组在学
习了勾股定理之后，进行了如下探究．
【问题提出】
（1）如图①，在 中， ，分别以这个三角形的三边为边长向外作正方形，面积分别记
为 ， ， ，如果 ，求阴影部分的面积；
【深入探究】
（2）如图②，四边形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ都是正方形，三角形Ⅵ，Ⅶ都是直角三角形，若正方形Ⅰ，Ⅱ，
Ⅳ的面积依次为6，10，24，求正方形Ⅲ的面积；
【应用】
（3）如图③，在四边形 中， ，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，
若 ， ，求 的值．
【答案】（1）阴影部分的面积为 ；（2）正方形Ⅲ的面积为8；（3） 的值为46【分析】本题考查勾股定理的证明及运用，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题．
（1）由勾股定理得， ，得到 ，结合 得到 ，最后根据阴影
部分的面积 求解即可；
（2）由题意得， ， ，得到
，再代入计算即可；
（3）由勾股定理得到 ，即 ，再代入求值即可．
【详解】解：（1）由勾股定理得， ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
由图形可知，阴影部分的面积 ，
∴阴影部分的面积 ；
（2）由题意得 ， ，
∴ ，
∵正方形Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ的面积依次为6，10，24，
∴ ，
∴ ，
（3）由题意可知： ， ， ， ，
如解图，连接AC，
在 和 中， ，
即 ，
∴ ．
5．如图，长方形 中， ，点 分别在边 上，沿着 折叠长方形 ，
使点 分别落在 处．(1)如图1，当 落在线段 的中点位置时，则 ；
(2)如图2，若点 与点 重合，连接 ，当线段 的值最小时， 的长度为 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了翻折变换（折叠问题)，矩形的性质，勾股定理，掌握翻折的性质以及勾股定理是解题
的关键．
由折叠的性质可得 ，设 ，则 ，在 中，利用勾股
定理求出x的值，即可求解；
当 共线时， 的值最小，为 的长，线段 的值最小时，点 在 上的点
处，点 在点 处，在 中，由勾股定理得 ，设 ，由折叠的性质得 ，
，从而得到 ，在 中，利用勾股定理求出y的值，即可求解．
【详解】（1）解：在长方形 中， ，
为线段 的中点，
，
由折叠的性质，得 ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得 ，
，
解得 ，
．
故答案为： ．
（2）连接 ，
，当 共线时， 的值最小，为 的长，
此时，点 在 上的点 处，点 在点 处，如图，
，
在 中，由勾股定理得 ，
设 ，
由折叠的性质得 ， ，
，
在 中，由勾股定理得 ，
，
解得 ，
线段 的值最小时， 的长度为 ．
故答案为： ．
6．已知点 ， 分别在矩形纸片 的边 、 所在直线上，连接 ，将矩形纸片 沿 折
叠，点 落在 处，点 落在 处．当 ， 时，请解决下列问题：
(1)如图 ，若点 恰好与点 重合， 与 相交于点 ，连接 、 ，求 的长；
(2)如图 ，若点 恰好在边 上时， 交 于点 ，且满足 ，求证： ；
(3)若点 在边 所在直线上，且满足 ，求 的长．
【答案】(1) 的长为
(2)见解析
(3) 的长为 或
【分析】本题考查了折叠的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理等知识点，关键是折叠的性质的应用；
（1）由折叠得到 ，再利用勾股定理即可求得；
（2）利用折叠及判定三角形全等即可得证结论；
（3）利用勾股定理分情况讨论即可．
【详解】（1）解：设 ，则 ，
由折叠的性质可知 ，
在 中， ，
，
解得 ，
的长为 ；
（2）证明：由折叠的性质可知 ， ，
在 和 中，
，
≌ ，
，
，
在 和 中，
，
≌ ，
，
；（3）解：①当 在 的延长线上时，如图①，
由 ，设 ，则 ，
，
，
，
，
， ，
设 ，则 ，
在 中， ，
，
解得 ，
；
②当 在线段 上时，如图②，
设 ，则 ，
由折叠的性质可知 ，
， ，
，
在 中， ，
，
解得 ，
，综上， 的长为 或 ．
7．（1）如图，一条竹竿 长10米，斜靠在竖直的墙 上，这时竹竿的顶端到墙地面的距离为6米（
米），求 的值．
（2）在（1）的条件下，杆子的长度不变，杆子顶端下滑了1米（即 米），求杆子底部滑动的距离
（ 的长度）．
（3）如图， ，点 在 边上，点 在 边上，连结 和 ．求证：
．
（4）如图，四边形 中， ，求 的值．
【答案】（1） 的值为 ；（2）杆子底部滑动的距离为 ；（3）证明见解析；（4）
的值为20
【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意是解决本题的关键．
（1）在 中，运用勾股定理求解即可；
（2）根据题意求出 的值，再在 中，运用勾股定理求出 ，进而求解即可；
（3）在 和 和 和 中，运用勾股定理即可求证；（4）延长 、 交于点 ，运用（3）中的结论即可求解．
【详解】（1）在 中，
；
（2）由题意可知 ，
在 中，
，
，
即杆子底部滑动的距离为 ；
（3）证明：在 中， ，
在 中， ，
在 中， ，
在 中， ，
； ；
；
（4）如图，延长 、 交于点 ，
，
，
则由（3）中结论可知
．
8．我们知道八年级教材中勾股定理的证明是借助“赵爽弦图”结合着图形的割补，并利用代数运算的方
式获得的，而在引发定理的思考时，引用了七年级教材中的内容，即在等腰直角三角形的情况下，可以将
以两直角边为边长的两个正方形作分割后直接填满在以斜边为边长的正方形中，进而猜测得到勾股定理的．
显然在证明与引例之间，思路上并不一致．由此引发了小明同学的思考：是否可以对任意的直角三角形，
也用引例中分割后直接填满的方法来证明勾股定理呢？为了探究这个问题，小明制订了如下的探究方案：
1．设定直角三角形的较小直角边长为1，另一直角边长记为 ，则 ；
2．考虑一些特殊情况，如引例中 取1，可以再取 为2、3等；
3．设法获得一些经验或找到一些规律，进而探索 的一般情况：
4．获得完整的结论，并反思前面的探索证明中有无漏洞．
下面，请你和小明一起来探究吧．可仿照上述“分割并填满”的方式，在下列图示进行分割并标注清相应
区域的编号．
(1)如图1，此时 为2，设法将两个小正方形分割，再填满到大正方形中；
(2)如图2，此时 为3，设法将两个小正方形分割，再填满到大正方形中；
(3)如图3，此时 为大于3，设法将两个小正方形分割，再填满到大正方形中；
(4)如果你完成了上述问题，你觉得是否对任意 的情况都作了证明吗？如果是，就此结束；如果不是，
那么还需要作哪些完善？
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)是，理由见解析
【分析】（1）将边长为 的正方形分割成4个边长分别为 和 的直角三角形，再将边长为 的小正方形放
在大正方形的中间；
（2）将边长为 的正方形分割成4个边长为 和 的直角三角形以及4个边长为 和 的长方形，再将边长
为 的小正方形放在大正方形的中间将四个长方形放置四周，构成边长为2的正方形，边长为 和 的直角
三角形同（1）放置，即可；（3）同（2）的方法，将边长为 的正方形，分割为边长为 和 的直角三角形以及4个边长为 和
的长方形，
（4）根据（1）（2）（3）找到规律，可得证明了勾股定理．
【详解】（1）解：如图所示，
（2）解：如图所示，
（3）解：如图所示，
（4）上述拼接即对任意 的情况都作了证明；
根据拼接可得，将边长为 的正方形，分割为边长为 和 的直角三角形以及4个边长为 和 的长方
形，
边长为1的正方形，边长为 和 的直角三角形以及4个边长为 和 的长方形，
总面积为： ，∵将两个小正方形填入大正方形中，则大正方形的面积为 ，则大正方形的边长为
∴ ，即对任意 的情况都作了证明．
