文档内容
20.1（第 2 课时）勾股定理在实际生活中的应用（原卷版）
目 录
类型一、梯子滑落问题..............................................................................................................................................1
类型二、旗杆问题......................................................................................................................................................4
类型三、大树折断问题..............................................................................................................................................8
类型四、航海问题......................................................................................................................................................9
类型五、受影响问题................................................................................................................................................10
类型六、最短路径问题............................................................................................................................................12
类型七、其他问题....................................................................................................................................................16
类型一、梯子滑落问题
1．如图，一架长 的梯子靠在墙上，梯子底端离墙 ，如果梯子的顶端下滑 ，那么梯子的底端将
滑动（ ）
A． B． C． D．
2．如图，小宇将 米长的梯子搭在自己家的房屋外面的墙面上，此时梯子底端离屋底1米，则梯子顶端
与地面的距离是（ ）
A． 米 B． 米 C．2米 D． 米
3．如果梯子的底端离建筑物 ，那么长 的梯子可以达到该建筑物的高度是（）
A． B． C． D．
4．消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图2，某栋楼发生火
灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房
的距离 为15米，完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方4米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从A处向着火的楼房靠近移动到C，请问 米．
5．如图，一架云梯 长25米，斜靠在一面墙上，此时云梯底端离墙 是7 米，若云梯顶端下滑4米
（即 米），则云梯的底部B 在水平方向上滑行的距离 是 米．
6．如图，一个长为10米的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的长为8米，如果梯子的顶端A
沿墙下滑2米到点C处，那么梯子底端B将外移到D，则线段BD的长为 米．
7．小东和小毅在课后复习时，对课本P93“目标与评定”中的一道题，进行了认真地探索．如图，一架2.5
米长的梯子 斜靠在竖直的墙 上，这时B到墙C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，
那么点B将向外移动多少米？
(1)小东顺利完成了此题的解答，请写出他的完整解答过程；
(2)看了小东解答后，小毅又有了如下思考：梯子的顶端从A处沿墙 下滑的距离与点B向外移动的距离，
有可能相等吗？他是这样想的，当 时，……请帮助小毅把完整解题过程写下来．
8．某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长 的云梯 ，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离 ．
(1)这架云梯顶端距地面的距离 有多高？
(2)消防员接到命令，按要求将云梯从顶端 下滑到 位置上（云梯长度不改变）、 ，那么梯子的
底端移动的距离 是多少米？
9．如图，一架梯子 长 ，斜靠在一竖直的墙 上，此时梯子顶端 A到地面的距离为 ．
(1)求梯子底端B到墙角O的距离；
(2)如果梯子的顶端 A沿墙下滑 ，那么梯子底端 B 将向外移动多少米？
10．如图，长 的梯子 靠在墙上，梯子的底端离墙脚的距离 ．
(1)求梯子顶端距地面的高度 ；
(2)若梯子顶端 沿墙面向下滑动 ，则梯子底端 向右滑动______ ．
∴ ，
11．一架梯子AB长25m，如图斜靠在一面墙上，梯子底端B离墙7m．
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4m，那么梯子的底端在水平方向也滑动了4m吗？如果不是，梯子的底端在水平方向上滑动了多长的距离呢？
12．如图所示，一架梯子AB斜靠在墙面上，且AB的长为2.5米．
（1）若梯子底端离墙角的距离OB为1.5米，求这个梯子的顶端A距地面有多高？
（2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端A下滑0.5米到点A'，那么梯子的底端B在水平方向滑动的距离
BB'为多少米？
类型二、旗杆问题
13．有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度 ，将它往前推送 (即：水平距离 )
时，秋千踏板离地的垂直高度 ，秋千的绳索始终拉得很直，则绳索 长为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
14．《九章算术》是我国古代数学的重要著作，其中有一道题，原文是：今有户不知高、广，从之不出二
尺，斜之适出，不知其高、宽，有竿，竿比门宽长出4尺；竖放；斜放，竿与门对角线恰好相等问．问门
高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程（ ）
A．x2＝（x﹣4）2＋（x﹣2）2 B．2x2＝（x﹣4）2＋（x﹣2）2
C．x2＝42＋（x﹣2）2 D．x2＝（x﹣4）2＋22
15．如图，升旗的绳子自由下垂到地面还多出一段，小霞在绳子与地面接触处打了一个结，然后将绳子拉
直使其末端接触地面，此时绳子末端距离旗杆底端 ，并测得绳子末端距离打结处 ，则旗杆的高度为16．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，
也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．
(1)应用一：最短路径问题
如图1，一只蚂蚁从点 沿圆柱侧面爬到相对一侧中点 处，如果圆柱的高为 ，圆柱的底面半径为
，那么最短的路线长是___________；
(2)应用二：解决实际问题．
小明在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过如图2勘测，得到如下记录：
①测得水平距离 的长为12米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线 的长为13米；
③小明牵线放风筝的手到地面的距离 长为1.5米，如果小明想让风筝沿 方向再上升4米， 和
的长度不变（理想状态下）．则他应该再放出___________米线．
17．某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．
活动主题 测量校园内旗杆的高度
测量工具 皮尺等
注 ： 线 段 表 示 旗
模型抽象
杆， 垂直地面于点
测绘过程第一次操作：如图 ，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出
的一段在地面拉直后记作 ，用皮尺量出 的长度．第二次操作：如图
，将绳子拉直，绳子末端落在地面上的点 处用皮尺量出 的长度．
数据信息 图 中 的长度为 ；图 中 的长度为 ．
请根据表格中提供的信息，求学校旗杆的高度．
18．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为
了测得风筝的垂直高度 （如图），他们进行了如下操作：
①测得水平距离 的长为8米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线 的长为17米；
③牵线放风筝的小明的身高为 米．
(1)求风筝的垂直高度 ．
(2)如果小明想让风筝沿 方向下降5米，那么他应该往回收线多少米？
19．如图，数学兴趣小组要测量旗杆 的高度，同学们发现系在旗杆顶端 的绳子垂到地面多出一段的
长度为 米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点 处，到旗杆底部 的距离为 米．
(1)求旗杆 的高度；
(2)小明在 处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的3米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落
在点 处，问小明需要后退几米（即 的长）？则 ，
∴四边形 为矩形，
∴ ， ，
，
， ，
在 中， ，
由勾股定理得： ，
答：小明需后退 ．
20．在城市建筑测量中，经常会用到几何知识．小明家附近有一栋居民楼 ，楼顶 处刚好有一根绳子
（ ）垂直落到地面，绳子（ ）比楼高（ ）多 米．小明想了解楼的高度，于是他把绳子拉开
米时（即 米），绳子（ ）刚好举过头顶，小明的身高是 米（即 米），小明能够
求出这栋居民楼 的高度，请帮小明写出完整的过程．
21．白鹭洲公园是温州市民放风筝的最佳场所．某校八年级（1）班的小华和小轩学习了“勾股定理”之
后，为了测得风筝的垂直高度 ，他们进行了如下操作：
①测得水平距离 的长为12米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线 的长为20米；
③牵线放风筝的小明的身高为1.62米．(1)根据以上操作，可得风筝的垂直高度 为_____；
(2)若小明想让风筝沿 方向下降11米，则他应该往回收线多少米？
(3)若小明以1米每秒的速度往左移动，风筝线也以1米每秒的速度延长，而风筝始终保持在点E的上方，
风筝在经过t秒之后 高度是上升还是下降，说出你的理由．
22．某学校八年级数学兴趣小组开展了测量学校旗杆（如图1）高度的实践活动，同学们制订了测量方案，
并利用课余时间完成了实地测量．如图2，线段 的长表示旗杆高度， 垂直地面于点N．将系在旗杆
顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段 ．用皮尺测出 的长度为 ．如图3，小丽同学将绳子末端
放置于头顶，向正东方向水平移动，直到绳子拉直为止，此时小丽同学直立于地面点B处．用皮尺测出点
N与点B之间的距离为 ．已知小丽身高 为 ．请根据所给信息，求学校旗杆 的高．
类型三、大树折断问题
23．如图，一棵高为10m的大树被台风刮断，若树在离地面4m处折断，树顶端刚好落在地面上，折断后
树顶端离树底部（ ）m．
A．6 B．4 C． D．
24．如图，有一棵大树被大风吹折，折断处 与地面的距离 ，折断处 与折断后树的顶端 的距
离 ．在大树倒下的方向上的点 处停着一辆小轿车， 的距离为 ，求 的距离．25．如图，一棵高为 的大树被台风刮断，若树在离地面 处折断，树顶端刚好落在地上，求此处离
树底部多远．
类型四、航海问题
26．一艘轮船从海面上A地出发，向南偏西 的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西 的方
向行驶30海里到达C地，则A，C两地相距为 海里．
27．如图，某港口 位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号
以每小时 的速度沿北偏东30°方向航行，“海天”号以每小时 的速度沿北偏西60°方向航
行．一小时后，“远航”号、“海天”号分别位于 ， 处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为
．
28．如图， ， 分别是两个港口， ， 是海上两座小岛景点， 在 正北方向 千米处， 在 北
偏东 方向， 千米， 在 的南偏西60°方向，且 在 北偏西 方向．（参考数据：
）
(1)求港口 和小岛 的距离为多少千米（结果保留小数点后一位）；
(2)一艘货船从 港口出发沿 前往 港口，同时一艘观光船也从 港口出发，沿路线 前往小岛，货船的速度与观光船的速度之比为 ，出发 小时后观光船在由 到 的途中且离 港口的直线距
离与离货船的直线距离正好相等．求货船从 港口出发多少小时后到达 港口（结果保留小数点后一位）．
29．在 岛上有一个观测站，上午 时观测站发现在 岛正北方 海里 处有一艘船向正东方向航行，上
午 时，该船到达距 岛 海里的 岛，且 ，求该船的航行速度．
30．如图，一艘轮船以16海里 时的速度离开港口A向东南方向航行，另一艘轮船同时以12海里 时的速
度离开港口A向西南方向航行．那么，它们离开港口 后，相距多远？
31．甲，乙两船同时从港口A出发，甲船以24海里/小时的速度向北偏东50°航行．乙船以32海里/小时的
速度向南偏东40°航行，一小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，画出图形，并求C、B两岛之间的距离．
32．如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10km至C港．
求A，C两港之间的距离（结果保留到0.1km，参考数据： ≈1.414）．
类型五、受影响问题
33．今年，第13号台风“贝碧嘉”9月16日登陆后的影响还在持续，第14号台风“普拉桑”和第15号台
风“苏力”又于19日登陆．A市接到台风警报时，台风中心位于距离A市 的B处（即 ），
正以 的速度沿 直线方向移动．(1)已知A市到 的距离 ，那么台风中心从B点移到D点经过多长时间？
(2)如果在距台风中心 的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市受到台风影响的时间是多长？
34．我国大部分东部地区属于亚热带季风气候，夏季炎热多雨．如图，A城气象台测得台风中心在A城正
西方向 的B处，以每小时 的速度向北偏东 的 方向移动，距离台风中心 的范围内
是受台风影响的区域．若A城到 的距离为 ，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？
35．台风使很多地区受到严重影响，某台风的风力影响半径为 ，即距离台风中心为 的区域都
会受到台风的影响．如图，线段 是台风中心从 市移动到 市的路线， 是大型农场，且 ．
若 ， 之间相距 ， ， 之间相距 ．判断农场 是否会受到台风的影响，请说明理由．
36．广东省 月份是台风登陆的高频季节，在这期间，西太平洋和南海海域水温较高，大气不稳定，热
带扰动容易发展成台风，且此时副热带高压位置偏北，引导气流使台风更容易向广东沿海移动．如图，某
沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向 的B处有一台风中心，沿 方向以 的速度移
动，已知城市A到 的距离 为 ．
(1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？
(2)如果在距台风中心 的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小
时？类型六、最短路径问题
37．如图，在一个长方形草坪 上，放着一根长方体的木块，已知 ， ，该木块的较
长边与 平行，横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是
（ ）
A．13m B．10m C． D．
38．如图，圆柱底面周长为20，高为12， 是底面圆的直径，点C是 的中点．现有一只蚂蚁从点C
爬到上顶点D，则蚂蚁所走的最短路径为（ ）
A．2 B．13 C．17 D．22
39．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为 ，底面周长为 ，在容器内壁离容器
底部 的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿 的点A处，则蚂蚁吃到饭
粒需爬行的最短路径是（ ）
A． B． C． D．
40．如图，一圆柱体底面周长为 ，高 为 ， 是上底面的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着
圆柱的侧面爬行到点C，求出爬行的最短路程等于（ ）A． B． C． D．
41．如图，圆柱形玻璃杯高为17 ，底面周长为16 ，在杯内壁离杯底6.5 的点B处有一滴蜂蜜，此
时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4.5 且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短
距离为（ ） ．（杯壁厚度不计）
A． B． C．15 D．17
42．如图，圆柱的底面周长为 ，高为 ，蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B（点B在点A的
正对面）的最短路程是（ ）
A． B． C． D．
43．如图所示的是两层台阶，每一层台阶都相同，数据如图（单位： ），一只蚂蚁沿台阶表面从点A
出发爬到点 B，其爬行的最短线路的长度是（ ）
A． B． C． D．
44．如图，一个棱长为 的正方体盒子上，一只蚂蚁在 的中点 处，它到 的中点 的最短路
线是（ ）
A．8 B． C． D．
45．如图，底面周长为 ，高为 的圆柱体，在圆柱下底面 有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点 相对的食物 ，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
46．如图，圆柱的底面半径为3cm，高为4πcm，一只蚂蚁从A点沿着圆柱的侧面爬行到与点A相对的B点，
则最短路线长为（ ）
A． cm B． cm C． cm D． cm
47．如图， 和 是一个三级台阶两个相对的端点，点 处有一只蚂蚁想到点 处去吃可口的食物．若这
个台阶的每一级的长、宽和高分别为 ， 和 ，则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程为
．
48．中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，太原晋祠宋代木雕盘龙，即圣母殿前的八根木
雕盘龙是我国现存最早的木雕盘龙，其形象雕刻得栩栩如生．如图所示，每根木柱有雕龙的部分的柱身高
长为4米，在底面周长为1.5米的木柱上，有一条雕龙从柱底 点沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方
的 点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为 ．
49．如图，教室墙面 与地面 垂直，点P在墙面上，若 ， ，点P到 的距离
是3，一只蚂蚁要从P爬到B，它的最短行程是 ．50．如图，在 中， ， ， ， ，若在边 上取一点M，则
的最小值为 ．
51．在一个长为5米、宽为3米的长方形草地ABCD上，放着一个正三棱柱木块（如图），它的侧棱平行
于AD，木块的主视图是边长为1米的正三角形．一只蚂蚁从点A处到点C处需要走的最短路程是
米．
52．代数式 的最小值为 ．
53．如图，长方体的长、宽、高分别为2，4，3， ， 为长方体的两个顶点．
(1)求点 到点 之间的距离；
(2)若一只蚂蚁从长方体表面的点 爬到点 ，求爬行的最短路程．
54．如图，某个储存油罐为圆柱形，油罐外设置了旋梯，供操作人员上下油罐使用．为保障操作人员安全，
旋梯上全部安装了扶手．旋梯上某位置有一个平台，将旋梯分成两段，该平台的长度约为 ．若油罐高约
，油罐底面圆直径约为 ，且顶处的扶手位置处于底面扶手正对面上．(1)若平台在旋梯中间位置，即平台到地面的距离为 ，求旋梯的扶手长度 的最小值．
(2)若平台在旋梯中间偏上的某位置，求旋梯的扶手长度的 最小值．（本题（1）（2）中 ）
类型七、其他问题
55．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树
的树梢，问小鸟至少飞行 米．
56．如图，有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树
的树顶，问小鸟至少飞行 米．
57．如图，有一个水池，水面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，高出水面2尺．如
果把这根芦苇拉向水池一边的边沿，它的顶端恰好到达池边的水面，求这根芦苇的长度是多少尺？设芦苇
的长度是x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
58．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是 ，内壁高 ，若这只铅笔在笔筒
外面部分的长度为 ，则这只铅笔的长度可能是（ ）
A． B． C． D．59．如图，将一根长为20cm的筷子置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，筷子露在杯子外面
的长度为（ ）
A．13cm B．8cm C．7cm D．15cm
60．如图是楼梯的一部分，若 ， ， ，一只蚂蚁在A处发现C处有一块糖，则这只蚂蚁
吃到糖所走的最短路程为（ ）
A． B．3 C． D．
61．如图，要为一段高5m，长13m的楼梯铺上红地毯，至少需要红地毯 m．
62．如图，有一个水池，水面 的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根
芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是 尺．
63．如图是一圆柱玻璃杯，从内部测得底面半径为 ，高为 ，现有一根长为 的吸管任意放入
杯中，则吸管露在杯口外的长度最少是64．如图是一个饮料罐，下底面直径是 ，上底面半径是 ，高是 ，上底面盖子的中心有一个
小圆孔．若一条到达底部长 的直吸管如图放置，则在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小
忽略不计）是 ．
65．我国古代数学著作《九章算术》中记载着名为“池葭（jiā）出水”的一道趣题：有一个正方形的池子，
边长为1丈，池中心有一株芦苇，露出水面1尺．将芦苇拽至池边中点处，它的末端刚好与水面相齐，那
么水有多深？芦苇有多长？求解此题．（注：“丈”和“尺”都是旧制长度单位，现已停止使用．1丈
尺，1米 尺）
1．如图，小亮与小红进行遥控赛车游戏，终点为点A，小亮的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向
东行驶，同时小红的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶，已知整个过程两辆赛车均沿直线行
驶， 米， 米．
(1)经过4秒，两赛车之间的距离是多少米？
(2)已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，若某一时刻，这两辆赛车距点A
的距离之和为35米，则此时遥控信号是否会产生相互干扰？2．小渝和小川是一对好朋友，如图，小渝家住A，小川家住B．两家相距10公里，小渝家A在一条笔直
的公路AC边上，小川家到这条公路的距离BC为6公里，两人相约在公路D处见面，且两家到见面地点D
的距离相等，求小渝家A到见面地点D的距离．
3．【问题情境】如图①，已知圆柱底面的周长为 ，圆柱的高为 ，在圆柱的侧面上，过上底面的
点A和下底面上与点A相对的点C嵌有一圈长度最短的金属丝，下底面的点B在点A的正下方．
(1)【操作发现】现将圆柱侧面沿 剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ．（填字母）
(2)【变式探究】如图②，若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，求所需金属丝的最短长度．
(3)【拓展应用】如图③，现有一个长、宽、高分别为 ， ， （即 ， ，
）的无盖长方体木箱．现在箱外的点A处有一只蚂蚁，箱内的点C处有一滴蜂蜜．请你为蚂蚁
设计一条路线，使其能以最短的路程吃到蜂蜜，并求出此最短路程． 木板的厚度忽略不计
1．背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有
著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法．
小试牛刀：把两个全等的直角三角形 ， ，如图1放置，其三边长分别为 、 、
．显然， ，请用a、b、c分别表示出梯形 、四边形 、
的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理， ________
________ ________则它们满足的关系式为________经化简，可得到勾股定理
知识运用：
（1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），
， ，垂足分别为A、B， 千米， 千米，则两个村庄的距离为________千
米（直接填空）；
（2）在（1）的背景下，若 千米， 千米， 千米，要在 上建造一个供应站P、使
得 ，求出 的距离．
2．【探究】
（1）把两个全等的直角三角形如图 放置，其三边长分别为 ， ， ． ，点 ， ， 在
一条直线上．请利用图 证明勾股定理．
【运用】
（2）如图2，铁路上 ， 两点（看作直线上的两点）相距 千米， ， 为两个村庄（看作两个点），
， ，垂足分别为 ， ， 千米， 千米，要在 上建造一个供应站 ，
使得 ，求 的距离．
【拓展】
（3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式 的最小值（ ）．
3．已知在 中， ， ．(1)如图1，过点 作 于点 ，点 为线段 上一点（不与端点重合），连接 ，过点 作
交 的延长线于点 ，若 ， ，求 的长度；
(2)如图2，点 为 内一点，连接 ， ， ，过点 在 的下方作 ，且 ，
连接 ， ，点 为 的中点，连接 、 ，求证： ；
(3)如图3，点 为 的中点，连接 ，过点 作 于点 ，点 为线段 上一点，过点 作
交直线 于点 ，点 为线段 上一点，连接 ，当 时，连接 ， ．
在同一平面内将 沿直线 翻折得到 ，过点 作 交 的延长线于点 ，连接
， ．若 ， ，请直接写出 的最小值．
4．十九世纪英国赫赫有名的谜题创作者在1903年的英国报纸上发表了“蚂蚁爬行”的问题．问题是：如
图①，在一个长、宽、高分别为 ， ， 的长方体房间内，一只蚂蚁在右面墙与后墙及地面的墙角
处（即M点处），苍蝇正好在左面墙与房顶相交位置（即N点处），并且距离后面墙 ，蚂蚁爬到苍蝇
处应该怎样爬行所走路程最短，最短路程是多少 ？这只蚂蚁在长方体表面爬行的问题，引起了当时很多
数学爱好者的研究与讨论，今天我们也一起来研究一下这个当时非常热门的数学问题！
【方案设计】
为了研究上面提出的“蚂蚁爬行”的最短路线问题，小明先进行了如下操作；如图②，是由 个棱长为
的小正方体所搭建的几何体，一只蚂蚁从点A出发，沿几何体的表面爬到点B，沿什么路线爬行所走
路程最短？
（1）观察发现：蚂蚁从A点出发，为了走出最短路线，根据两点之间线段最短的知识，并结合展开与折
叠原理，一共有3种不同的爬行路线．
①填空：例如：图③是由上面与右面展开得到的平面图形；图④是由_______面与________面展开得到的
平面图形（填“前”、“后”、“左”、“右”、“上”、“下”）；
②画图：3种不同的爬行路线，小明已经画出了其中两种，请你在网格中补充出第三种展开得到的平面图，
并画出相应的最短路线，即线段 ；（2）比较验证
③比较 ， ， 三种爬行路线的长短后可得，线段 ， ， 中最短路线是________；
【问题回归】
定义：如图⑤，在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方．数学语
言表达：如图，如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么可用 进
行相关计算．请你试着用从上面定义中学到的新知识解决你遇到的问题．
（3）最后让我们再回到那道十九世纪英国报纸上发表的“蚂蚁爬行”的问题（如图①），若那只蚂蚁所
走的路程用d表示，则 最小值为_____．
5．在边长为1的正方形网格中， 的顶点都在格点上，且 ．
(1)直接写出 的面积为______；
(2)若一个三角形的三边长分别为 （ ），请在网格中画出该三角形，并求其面
积；
(3)求代数式 （ ）的最小值．
