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2023-2024人教版九年数学上册期末考试核心素养达标检测试卷十套（解析版）
2023-2024人教版九年数学上册期末考试核心素养达标检测试卷（05）
（满分100分，答题时间90分钟）
一、选择题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能
够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转 180°，如
果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进
行逐一判断即可．
A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握二者的定义.
2．一个不透明的盒子中装有2个黑球和4个白球，这些球除颜色外其他均相同，从中任意摸出3个球，下
列事件为必然事件的是（ ）
A．至少有1个白球 B．至少有2个白球
C．至少有1个黑球 D．至少有2个黑球
【答案】A
【解析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念分别进解答即可得出答案．
至少有1个球是白球是必然事件，故本选项符合题意；
至少有2个球是白球是随机事件，故本选项不符合题意；
至少有1个球是黑球是随机事件，故本选项不符合题意；
至少有2个球是黑球是随机事件，故本选项不符合题意．
3．同时掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子向上的点数之和为 的概率是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，总事件有36种，和为7的事件有6种，所以
4. 关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 （ ）
A. -2 B. -1 C. 0 D. 1
【答案】B
【解析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△＝b2−4ac＝0，据此可列出关于k的等量关
系式，即可求得k的值．
原方程有两个相等的实数根，
∴△＝b2−4ac＝4−4×（−k）＝0，且k≠0；
解得 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一
隐含条件．
5. 如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠CAB＝65°，则∠ADC的度数为（ ）
A. 25° B. 35° C. 45° D. 65°
【答案】A
【解析】首先利用直径所对的圆周角是直角确定∠ACB=90°，然后根据∠CAB=65°求得∠ABC的度数，利
用同弧所对的圆周角相等确定答案即可．
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=65°，
∴∠ABC=90°-∠CAB=25°，∴∠ADC=∠ABC=25°，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆周角定理的知识，解题的关键是了解直径所对的圆周角为直角，难度不大．
6．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则（ ）
A．b＞0，c＞0 B．b＞0，c＜0 C．b＜0，c＜0 D．b＜0，c＞0
【答案】B
【解析】根据二次函数的性质一一判断即可．
二次函数y=ax2+bx+c的开口向下，
∴a＜0，
∵二次函数与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∵对称轴x=﹣ ＞0，
∴b＞0，
故选B．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，灵活运用知识解决问题，属
于基础题，中考常考题型．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
1. 平面直角坐标系中，点P(2，1)关于x轴对称的点的坐标是_______。
【答案】
【解析】直接利用关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，得出答案．
点P（2，1）关于x轴对称的点的坐标是（2，-1）．
【点睛】本题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键．
2.如图,△DEC与△ABC关于点C成中心对称,AB=3,AC=2,∠CAB=90°,则AE的长是 .【答案】5
【 解 析 】 ∵ △ DEC 与 △ ABC 关 于 点 C 成 中 心 对
称,∴△ACB≌△DCE,∴CD=AC=2,∠D=∠CAB=90°,DE=AB=3,∴AD=4,∴AE= =5.
√DE2+AD2=√32+42
3. 如图，在 中， ，以 为直径的 交边 于D，E两点， ，
则 的长是_______．
【答案】
【解析】连接OE，OD，根据等腰三角形的性质，求得∠DOE=50°，半径为1，代入弧长公式计算即可．
连接OE，OD，
∵ ，OB=OD，OA=OE，
∴∠B=∠ODB =65°，∠A=∠OEA =50°，∴∠BOD =50°，∠AOE =80°，
∴∠DOE=50°，半径为1，
的长是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
4. 若关于 的一元二次方程 有实数根，则实数k的取值范围是_____．
【答案】
【解析】由关于 的一元二次方程 有实数根，可得 再解不等式可得答案．
关于 的一元二次方程 有实数根，
∴ ， 即
解得： ．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-
4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ
＜0时，方程无实数根．
5. 不透明的袋子中装有5个球，其中有3个红球和2个黑球，它们除颜色外都相同．从袋子中随机取出1
个球，它是黑球的概率是_____．
【答案】
【解析】直接根据概率公式求解．
∵盒子中装有3个红球，2个黑球，共有5个球，
∴从中随机摸出一个小球，恰好是黑球的概率是 ．
【点睛】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的
结果数．6. 一个圆柱形橡皮泥，底面积是 ．高是 ．如果用这个橡皮泥的一半，把它捏成高为 的圆
锥，则这个圆锥的底面积是______
【答案】18
【解析】首先求出圆柱体积，根据题意得出圆柱体积的一半即为圆锥的体积，根据圆锥体积计算公式列出
方程，即可求出圆锥的底面积．
Ｖ ＝ = ，
圆柱
这个橡皮泥的一半体积为： ，
把它捏成高为 的圆锥，则圆锥的高为5cm，
故 ，
即 ，
解得 （cm2）．
【点睛】本题考查了圆柱 的体积和圆锥的体积计算公式，解题关键是理解题意，熟练掌握圆柱体积和圆锥
体积计算公式．
三、解答题（本大题有5小题，共52分）
1. （8分）解方程（x - 2) (1-3x) =6.
【答案】原方程没有实数根.
【解析】去括号 ，得x–2-3x2 + 6x=6,
化为一般式 3x2 - 7x + 8=0,
这里 a=3, b=-7 , c=8.
∵b2 - 4ac=(-7 )2 –4×3×8 =49–96 =- 47 < 0,
∴原方程没有实数根.
2.（10分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格
点，△ABC的顶点均在格点上，请按要求完成下列步骤：（1）画出将△ABC向右平移3个单位后得到的△ABC，再画出将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转90°后
1 1 1 1 1 1 1
所得到的△ABC；
2 1 2
（2）求线段BC 旋转到BC 的过程中，点C 所经过的路径长．
1 1 1 2 1
【答案】见解析。
【解析】根据平移的性质得出对应点位置以及利用旋转的性质得出对应点位置画出图形即可；根据弧长计
算公式求出即可．此题主要考查了图形的旋转与平移变换以及弧长公式应用等知识，根据已知得出对应点
位置是解题关键．
（1）如图所示：
（2）点C 所经过的路径长为： =2π．
1
的
3. （10分）一只不透明 袋子中装有1个白球，3个红球，这些球除颜色外都相同．
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球是白球的概率为______；
（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回，搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球恰好
是1个白球和1个红球的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）
【答案】（1） （2）2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率为
【解析】【分析】（1）直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）画树状图表示所有等可能出现的情况，从中找出两个球颜色不同的结果数，进而求出概率．
【详解】(1)解：∵一只不透明的袋子中装有1个白球和3个红球，这些球除颜色外都相同，
∴搅匀后从中任意摸出1个球，则摸出白球的概率为： ．
故答案为： ；
(2)解： 画树状图，如图所示：
共有16种不同的结果数，其中两个球颜色不同的有6种，
∴2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率为 ．
【点睛】考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每一种结果出现的可能性
是均等的，即为等可能事件．
4. （12分）如图，四边形 是正方形，点A，点B在 上，边 的延长线交 于点E，对角
线 的延长线交 于点F，连接 并延长至点G，使 ．
（1）求证： 与 相切；（2）若 的半径为1，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】【分析】(1)连接BE，根据四边形ABCD是正方形，得到∠BAE=90°，从而得到BE是圆O的直径，
结合∠BAF+∠EAF=90°，∠EAF=∠EBF， ，证明∠FBG+∠EBF=90°即可．
（2）连接OA，OF，证明∠FED=45°，从而证明∠AOF=90°，实施勾股定理计算即可．
【详解】（1）连接BE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE=90°，
∴BE是圆O的直径，
∵∠BAF+∠EAF=90°，∠EAF=∠EBF， ，
∴∠FBG+∠EBF=90°，
∴∠OBG=90°，
故BG是圆O的切线．
（2）如图，连接OA，OF，∵四边形ABCD是正方形，BE是圆的直径，
∴∠EFD=90°，∠FDE=45°，
∴∠FED=45°，
∴∠AOF=90°，
∵OA=OF=1，
∴ ，
∴AF= ，AF=- （舍去）．
【点睛】本题考查了圆的切线判定，圆周角定理，勾股定理，熟练掌握切线的判定定理，圆周角定理，勾
股定理是解题的关键．
5. （12分）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线
的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为
飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起
跳台的高度 为 ，基准点K到起跳台的水平距离为 ，高度为 （h为定值）．设运动员从起
跳点A起跳后的高度 与水平距离 之间的函数关系为 ．（1）c的值为__________；
（2）①若运动员落地点恰好到达K点，且此时 ，求基准点K的高度h；
②若 时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为__________；
（3）若运动员飞行的水平距离为 时，恰好达到最大高度 ，试判断他的落地点能否超过K点，并
说明理由．
【答案】（1）66 （2）①基准点K的高度h为21m；②b＞ ；
（3）他的落地点能超过K点，理由见解析．
【解析】【分析】（1）根据起跳台的高度OA为66m，即可得c＝66；
（2）①由a＝﹣ ，b＝ ，知y＝﹣ x2+ x+66，根据基准点K到起跳台的水平距离为75m，即得
基准点K的高度h为21m；
②运动员落地点要超过K点，即是x＝75时，y＞21，故﹣ ×752+75b+66＞21，即可解得答案；
（3）运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，即是抛物线的顶点为（25，76），设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，可得抛物线解析式为y＝﹣ （x﹣25）2+76，当x＝75时，y＝36，
从而可知他的落地点能超过K点．
【详解】（1）解：∵起跳台的高度OA为66m，
∴A（0，66），
把A（0，66）代入y＝ax2+bx+c得：
c＝66，
故答案为：66；
（2）解：①∵a＝﹣ ，b＝ ，
∴y＝﹣ x2+ x+66，
∵基准点K到起跳台的水平距离为75m，
∴y＝﹣ ×752+ ×75+66＝21，
∴基准点K的高度h为21m；
②∵a＝﹣ ，
∴y＝﹣ x2+bx+66，
∵运动员落地点要超过K点，
∴当x＝75时，y＞21，
即﹣ ×752+75b+66＞21，
解得b＞ ，故答案为：b＞ ；
（3）解：他的落地点能超过K点，理由如下：
∵运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，
∴抛物线的顶点为（25，76），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，
把（0，66）代入得：
66＝a（0﹣25）2+76，
解得a＝﹣ ，
∴抛物线解析式为y＝﹣ （x﹣25）2+76，
当x＝75时，y＝﹣ ×（75﹣25）2+76＝36，
∵36＞21，
∴他的落地点能超过K点．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据题意把实际问题转化为数学问题．
