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2017年山东省高考数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符号题目要求的.
1．（5分）设函数y= 的定义域为A，函数y=ln（1﹣x）的定义域为B，则A
∩B=（ ）
A．（1，2） B．（1，2]C．（﹣2，1） D．[﹣2，1）
2．（5分）已知a∈R，i是虚数单位，若z=a+ i，z• =4，则a=（ ）
A．1或﹣1 B． 或﹣ C．﹣ D．
3．（5分）已知命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2，下
列命题为真命题的是（ ）
A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q
4．（5分）已知x，y满足约束条件 ，则z=x+2y的最大值是（ ）
A．0 B．2 C．5 D．6
5．（5分）为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）
的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间
有线性相关关系，设其回归直线方程为 = x+ ，已知 x=225， y=1600，
i i
=4，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（ ）
A．160 B．163 C．166 D．170
6．（5分）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x值为7，第二次输
入的x值为9，则第一次，第二次输出的a值分别为（ ）
第1页 | 共22页A．0，0 B．1，1 C．0，1 D．1，0
7．（5分）若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（ ）
A．a+ ＜ ＜log （a+b）） B． ＜log （a+b）＜a+
2 2
C．a+ ＜log （a+b）＜ D．log （a+b））＜a+ ＜
2 2
8．（5分）从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽
取1张，则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．（5分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形
，且满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC，则下列等式成立的是（ ）
A．a=2b B．b=2a C．A=2B D．B=2A
10．（5分）已知当x∈[0，1]时，函数y=（mx﹣1）2
的图象与y= +m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是（ ）
A．（0，1]∪[2 ，+∞） B．（0，1]∪[3，+∞）
C．（0， ）∪[2 ，+∞） D．（0， ]∪[3，+∞）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分
第2页 | 共22页11．（5分）已知（1+3x）n的展开式中含有x2的系数是54，则n= ．
12．（5分）已知 ， 是互相垂直的单位向量，若 ﹣
与 +λ 的夹角为60°，则实数λ的值是 ．
13．（5分）由一个长方体和两个
圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 ．
14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线 =1（a＞0，b＞0）的右支
与焦点为F的抛物线x2=2py（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该
双曲线的渐近线方程为 ．
15．（5分）若函数exf（x）（e≈2.71828…是自然对数的底数）在f（x）的定义
域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数
的序号为 ．
①f（x）=2﹣x②f（x）=3﹣x③f（x）=x3④f（x）=x2+2．
三、解答题（共6小题，满分75分）
16．（12分）设函数f（x）=sin（ωx﹣ ）+sin（ωx﹣ ），其中0＜ω＜3，
已知f（ ）=0．
（Ⅰ）求ω；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）
，再将得到的图象向左平移 个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[
﹣ ， ]上的最小值．
第3页 | 共22页17．（12分）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以
AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是 的中点．
（Ⅰ）设P是 上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；
（Ⅱ）当AB=3，AD=2时，求二面角E﹣AG﹣C的大小．
18．（12分）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人
的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心
理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的
结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A ，A ，A ，A ，A ，A 和4
1 2 3 4 5 6
名女志愿者B ，B ，B ，B ，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙
1 2 3 4
种心理暗示．
（Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 但不包含B 的概率．
1 1
（Ⅱ）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX
．
19．（12分）已知{x }是各项均为正数的等比数列，且x +x =3，x ﹣x =2．
n 1 2 3 2
（Ⅰ）求数列{x }的通项公式；
n
（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P （x ，1），P （x ，2）…
1 1 2 2
P （x ，n+1）得到折线P
n+1 n+1 1
P …P ，求由该折线与直线y=0，x=x ，x=x 所围成的区域的面积T ．
2 n+1 1 n+1 n
20．（13分）已知函数f（x）=x2+2cosx，g（x）=ex（cosx﹣sinx+2x﹣2），其中
e≈2.17828…是自然对数的底数．
第4页 | 共22页（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；
（Ⅱ）令h（x）=g （x）﹣a
f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．
21．（14分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E： =1（a＞b＞0）的离心
率为 ，焦距为2．
（Ⅰ）求椭圆E的方程．
（Ⅱ）如图，该直线l：y=k x﹣ 交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上的一点，直
1
线OC的斜率为k ，且看k k ，M是线段OC延长线上一点，且|MC|：|AB|=2
2 1 2=
：3，⊙M的半径为|MC|，OS，OT是⊙M的两条切线，切点分别为S，T，求∠SO
T的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．
第5页 | 共22页2017年山东省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符号题目要求的.
1．（5分）（2017•山东）设函数y= 的定义域为A，函数y=ln（1﹣x）的
定义域为B，则A∩B=（ ）
A．（1，2） B．（1，2]C．（﹣2，1） D．[﹣2，1）
【解答】解：由4﹣x2≥0，解得：﹣2≤x≤2，则函数y= 的定义域[﹣2，2]
，
由对数函数的定义域可知：1﹣x＞0，解得：x＜1，则函数y=ln（1﹣x）的定义
域（﹣∞，1），
则A∩B=[﹣2，1），
故选D．
2．（5分）（2017•山东）已知a∈R，i是虚数单位，若z=a+ i，z• =4，则a=（
）
A．1或﹣1 B． 或﹣ C．﹣ D．
【解答】解：由z=a+ i，则z的共轭复数 =a﹣ i，
由z• =（a+ i）（a﹣ i）=a2+3=4，则a2=1，解得：a=±1，
∴a的值为1或﹣1，
故选A．
3．（5分）（2017•山东）已知命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0；命题q：若a＞b
，则a2＞b2，下列命题为真命题的是（ ）
A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q
【解答】解：命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0，则命题p为真命题，则￢p为假命
第6页 | 共22页题；
取a=﹣1，b=﹣2，a＞b，但a2＜b2，则命题q是假命题，则￢q是真命题．
∴p∧q是假命题，p∧￢q是真命题，￢p∧q是假命题，￢p∧￢q是假命题．
故选B．
4．（5分）（2017•山东）已知x，y满足约束条件 ，则z=x+2y的最大
值是（ ）
A．0 B．2 C．5 D．6
【解答】解：画出约束条件 表示的平面区域，如图所示；
由 解得A（﹣3，4），
此时直线y=﹣ x+ z在y轴上的截距最大，
所以目标函数z=x+2y的最大值为
z =﹣3+2×4=5．
max
故选：C．
5．（5分）（2017•山东）为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（
单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以
看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为 = x+ ，已知 x=225，
i
第7页 | 共22页y=1600， =4，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（ ）
i
A．160 B．163 C．166 D．170
【解答】解：由线性回归方程为 =4x+ ，
则 = x=22.5， = y=160，
i i
则数据的样本中心点（22.5，160），
由回归直线方程样本中心点，则 = ﹣4x=160﹣4×22.5=70，
∴回归直线方程为 =4x+70，
当x=24时， =4×24+70=166，
则估计其身高为166，
故选C．
6．（5分）（2017•山东）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x值
为7，第二次输入的x值为9，则第一次，第二次输出的a值分别为（ ）
A．0，0 B．1，1 C．0，1 D．1，0
第8页 | 共22页【解答】解：当输入的x值为7时，
第一次，不满足b2＞x，也不满足x能被b整数，故b=3；
第二次，满足b2＞x，故输出a=1；
当输入的x值为9时，
第一次，不满足b2＞x，也不满足x能被b整数，故b=3；
第二次，不满足b2＞x，满足x能被b整数，故输出a=0；
故选：D
7．（5分）（2017•山东）若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（
）
A．a+ ＜ ＜log （a+b）） B． ＜log （a+b）＜a+
2 2
C．a+ ＜log （a+b）＜ D．log （a+b））＜a+ ＜
2 2
【解答】解：∵a＞b＞0，且ab=1，
∴可取a=2，b= ．
则 =4， = = ，log （a+b）= = ∈（1，2），
2
∴ ＜log （a+b）＜a+ ．
2
故选：B．
8．（5分）（2017•山东）从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽
取2次，每次抽取1张，则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，共有
=36种不同情况，
且这些情况是等可能发生的，
抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的情况有 =20种，
故抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率P= = ，
第9页 | 共22页故选：C．
9．（5分）（2017•山东）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△AB
C为锐角三角形，且满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC，则下列等式成立
的是（ ）
A．a=2b B．b=2a C．A=2B D．B=2A
【解答】解：在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足sinB（1+2cosC
）=2sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sin（A+C）=sinAcosC+sinB，
可得：2sinBcosC=sinAcosC，因为△ABC为锐角三角形，所以2sinB=sinA，
由正弦定理可得：2b=a．
故选：A．
10．（5分）（2017•山东）已知当x∈[0，1]时，函数y=（mx﹣1）2 的图象与y=
+m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是（ ）
A．（0，1]∪[2 ，+∞） B．（0，1]∪[3，+∞）
C．（0， ）∪[2 ，+∞） D．（0， ]∪[3，+∞）
【解答】解：根据题意，由于m为正数，y=（mx﹣1）2
为二次函数，在区间（0， ）为减函数，（ ，+∞）为增函数，
函数y= +m为增函数，
分2种情况讨论：
①、当0＜m≤1时，有 ≥1，
在区间[0，1]上，y=（mx﹣1）2 为减函数，且其值域为[（m﹣1）2，1]，
函数y= +m为增函数，其值域为[m，1+m]，
此时两个函数的图象有1个交点，符合题意；
②、当m＞1时，有 ＜1，
y=（mx﹣1）2 在区间（0， ）为减函数，（ ，1）为增函数，
函数y= +m为增函数，其值域为[m，1+m]，
若两个函数的图象有1个交点，则有（m﹣1）2≥1+m，
第10页 | 共22页解可得m≤0或m≥3，
又由m为正数，则m≥3；
综合可得：m的取值范围是（0，1]∪[3，+∞）；
故选：B．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分
11．（5分）（2017•山东）已知（1+3x）n的展开式中含有x2的系数是54，则n=
4 ．
【解答】解：（1+3x）n的展开式中通项公式：T = （3x）r=3r xr．
r+1
∵含有x2的系数是54，∴r=2．
∴ =54，可得 =6，∴ =6，n∈N*．
解得n=4．
故答案为：4．
12．（5分）（2017•山东）已知 ， 是互相垂直的单位向量，若 ﹣
与 +λ 的夹角为60°，则实数λ的值是 ．
【解答】解： ， 是互相垂直的单位向量，
∴| |=| |=1，且 • =0；
又 ﹣ 与 +λ 的夹角为60°，
∴（ ﹣ ）•（ +λ ）=| ﹣ |×| +λ |×cos60°，
即 +（ ﹣1） • ﹣λ = ×
× ，
化简得 ﹣λ= × × ，
即 ﹣λ= ，
解得λ= ．
第11页 | 共22页故答案为： ．
13．（5分）（2017•山东）由一个长方体和两个
圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 2+ ．
【解答】解：由长方体长为2，宽为1，高为1，则长方体的体积V =2×1×1=2，
1
圆柱的底面半径为1，高为1，则圆柱的体积V = ×π×12×1= ，
2
则该几何体的体积V=V +2V =2+ ，
1 1
故答案为：2+ ．
14．（5分）（2017•山东）在平面直角坐标系xOy中，双曲线 =1（a＞0
，b＞0）的右支与焦点为F的抛物线x2=2py（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF
|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为 y=± x ．
【解答】解：把x2=2py（p＞0）代入双曲线 =1（a＞0，b＞0），
可得：a2y2﹣2pb2y+a2b2=0，
∴y +y = ，
A B
∵|AF|+|BF|=4|OF|，∴y +y +2× =4× ，
A B
∴ =p，
第12页 | 共22页∴ = ．
∴该双曲线的渐近线方程为：y=± x．
故答案为：y=± x．
15．（5分）（2017•山东）若函数exf（x）（e≈2.71828…是自然对数的底数）在
f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质．下列函数中所有具有
M性质的函数的序号为 ①④ ．
①f（x）=2﹣x②f（x）=3﹣x③f（x）=x3④f（x）=x2+2．
【解答】解：对于①，f（x）=2﹣x，则g（x）=exf（x）= 为实数集
上的增函数；
对于②，f（x）=3﹣x，则g（x）=exf（x）= 为实数集上的减函数；
对于③，f（x）=x3，则g（x）=exf（x）=ex•x3，
g′（x）=ex•x3+3ex•x2=ex（x3+3x2）=ex•x2（x+3），当x＜﹣3时，g′（x）＜0，
∴g（x）=exf（x）在定义域R上先减后增；
对于④，f（x）=x2+2，则g（x）=exf（x）=ex（x2+2），
g′（x）=ex（x2+2）+2xex=ex（x2+2x+2）＞0在实数集R上恒成立，
∴g（x）=exf（x）在定义域R上是增函数．
∴具有M性质的函数的序号为①④．
故答案为：①④．
三、解答题（共6小题，满分75分）
16．（12分）（2017•山东）设函数f（x）=sin（ωx﹣ ）+sin（ωx﹣ ），其
中0＜ω＜3，已知f（ ）=0．
（Ⅰ）求ω；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）
，再将得到的图象向左平移 个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[
第13页 | 共22页﹣ ， ]上的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=sin（ωx﹣ ）+sin（ωx﹣ ）
=sinωxcos ﹣cosωxsin ﹣sin（ ﹣ωx）
= sinωx﹣ cosωx
= sin（ωx﹣ ），
又f（ ）= sin（ ω﹣ ）=0，
∴ ω﹣ =kπ，k∈Z，
解得ω=6k+2，
又0＜ω＜3，
∴ω=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）= sin（2x﹣ ），
将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到
函数y= sin（x﹣ ）的图象；
再将得到的图象向左平移 个单位，得到y= sin（x+ ﹣ ）的图象，
∴函数y=g（x）= sin（x﹣ ）；
当x∈[﹣ ， ]时，x﹣ ∈[﹣ ， ]，
∴sin（x﹣ ）∈[﹣ ，1]，
∴当x=﹣ 时，g（x）取得最小值是﹣ × =﹣ ．
17．（12分）（2017•山东）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD
（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是 的中点．
（Ⅰ）设P是 上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；
（Ⅱ）当AB=3，AD=2时，求二面角E﹣AG﹣C的大小．
第14页 | 共22页【解答】解：（Ⅰ）∵AP⊥BE，AB⊥BE，且AB，AP⊂平面ABP，AB∩AP=A，
∴BE⊥平面ABP，又BP⊂平面ABP，
∴BE⊥BP，又∠EBC=120°，
因此∠CBP=30°；
（Ⅱ）解法一、
取 的中点H，连接EH，GH，CH，
∵∠EBC=120°，∴四边形BECH为菱形，
∴AE=GE=AC=GC= ．
取AG中点M，连接EM，CM，EC，
则EM⊥AG，CM⊥AG，
∴∠EMC为所求二面角的平面角．
又AM=1，∴EM=CM= ．
在△BEC中，由于∠EBC=120°，
由余弦定理得：EC2=22+22﹣2×2×2×cos120°=12，
∴ ，因此△EMC为等边三角形，
故所求的角为60°．
解法二、以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在直线为x，y，z轴建立空间直
角坐标系．
由题意得：A（0，0，3），E（2，0，0），G（1， ，3），C（﹣1， ，0
），
故 ， ， ．
设 为平面AEG的一个法向量，
由 ，得 ，取z =2，得 ；
1
第15页 | 共22页设 为平面ACG的一个法向量，
由 ，可得 ，取z =﹣2，得 ．
2
∴cos＜ ＞= ．
∴二面角E﹣AG﹣C的大小为60°．
18．（12分）（2017•山东）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同
心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一
组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受
心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A ，A ，A ，
1 2 3
A ，A ，A 和4名女志愿者B ，B ，B ，B ，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示
4 5 6 1 2 3 4
，另5人接受乙种心理暗示．
（Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 但不包含B 的概率．
1 1
（Ⅱ）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX
．
【解答】解：（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 但不包含B 的事件为
1 1
M，
第16页 | 共22页则P（M）= = ．
（II）X的可能取值为：0，1，2，3，4，
∴P（X=0）= = ，
P（X=1）= = ，
P（X=2）= = ，
P（X=3）= = ，
P（X=4）= = ．
∴X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
X的数学期望EX=0× +1× +2× +3× +4× =2．
19．（12分）（2017•山东）已知{x }是各项均为正数的等比数列，且x +x =3，
n 1 2
x ﹣x =2．
3 2
（Ⅰ）求数列{x }的通项公式；
n
（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P （x ，1），P （x ，2）…
1 1 2 2
P （x ，n+1）得到折线P
n+1 n+1 1
P …P ，求由该折线与直线y=0，x=x ，x=x 所围成的区域的面积T ．
2 n+1 1 n+1 n
第17页 | 共22页【解答】解：（I）设数列{x }的公比为q，则q＞0，
n
由题意得 ，
两式相比得： ，解得q=2或q=﹣ （舍），
∴x =1，
1
∴x =2n﹣1．
n
（II）过P ，P ，P ，…，P 向x轴作垂线，垂足为Q ，Q ，Q ，…，Q ，
1 2 3 n 1 2 3 n
即梯形P P Q Q 的面积为b ，
n n+1 n+1 n n
则b = =（2n+1）×2n﹣2，
n
∴T =3×2﹣1+5×20+7×21+…+（2n+1）×2n﹣2，①
n
∴2T =3×20+5×21+7×22+…+（2n+1）×2n﹣1，②
n
①﹣②得：﹣T = +（2+22+…+2n﹣1）﹣（2n+1）×2n﹣1
n
= + ﹣（2n+1）×2n﹣1=﹣ +（1﹣2n）×2n﹣1．
∴T = ．
n
20．（13分）（2017•山东）已知函数f（x）=x2+2cosx，g（x）=ex（cosx﹣sinx+
2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；
（Ⅱ）令h（x）=g （x）﹣a
f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．
【解答】解：（I）f（π）=π2﹣2．f′（x）=2x﹣2sinx，∴f′（π）=2π．
∴曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程为：y﹣（π2﹣2）=2π（x﹣π）
．
第18页 | 共22页化为：2πx﹣y﹣π2﹣2=0．
（II）h（x）=g （x）﹣a f（x）=ex（cosx﹣sinx+2x﹣2）﹣a（x2+2cosx）
h′（x）=ex（cosx﹣sinx+2x﹣2）+ex（﹣sinx﹣cosx+2）﹣a（2x﹣2sinx）
=2（x﹣sinx）（ex﹣a）=2（x﹣sinx）（ex﹣elna）．
令u（x）=x﹣sinx，则u′（x）=1﹣cosx≥0，∴函数u（x）在R上单调递增．
∵u（0）=0，∴x＞0时，u（x）＞0；x＜0时，u（x）＜0．
（1）a≤0时，ex﹣a＞0，∴x＞0时，h′（x）＞0，函数h（x）在（0，+∞）单调
递增；
x＜0时，h′（x）＜0，函数h（x）在（﹣∞，0）单调递减．
∴x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣1﹣2a．
（2）a＞0时，令h′（x）=2（x﹣sinx）（ex﹣elna）=0．
解得x =lna，x =0．
1 2
①0＜a＜1时，x∈（﹣∞，lna）时，ex﹣elna＜0，h′（x）＞0，函数h（x）单调
递增；
x∈（lna，0）时，ex﹣elna＞0，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减；
x∈（0，+∞）时，ex﹣elna＞0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增．
∴当x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣2a﹣1．
当x=lna时，函数h（x）取得极大值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（
lna）+2]．
②当a=1时，lna=0，x∈R时，h′（x）≥0，∴函数h（x）在R上单调递增．
③1＜a时，lna＞0，x∈（﹣∞，0）时，ex﹣elna＜0，h′（x）＞0，函数h（x）单
调递增；
x∈（0，lna）时，ex﹣elna＜0，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减；
x∈（lna，+∞）时，ex﹣elna＞0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增．
∴当x=0时，函数h（x）取得极大值，h（0）=﹣2a﹣1．
当x=lna时，函数h（x）取得极小值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（
lna）+2]．
综上所述：a≤0时，函数h（x）在（0，+∞）单调递增；x＜0时，函数h（x）在
（﹣∞，0）单调递减．
第19页 | 共22页x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣1﹣2a．
0＜a＜1时，函数h（x）在x∈（﹣∞，lna）是单调递增；函数h（x）在x∈（lna
，0）上单调递减．当x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=l
na时，函数h（x）取得极大值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）
+2]．
当a=1时，lna=0，函数h（x）在R上单调递增．
a＞1时，函数h（x）在（﹣∞，0），（lna，+∞）上单调递增；函数h（x）在（
0，lna）上单调递减．当x=0时，函数h（x）取得极大值，h（0）=﹣2a﹣1．当x
=lna时，函数h（x）取得极小值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna
）+2]．
21．（14分）（2017•山东）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E： =1（a＞
b＞0）的离心率为 ，焦距为2．
（Ⅰ）求椭圆E的方程．
（Ⅱ）如图，该直线l：y=k x﹣ 交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上的一点，直
1
线OC的斜率为k ，且看k k ，M是线段OC延长线上一点，且|MC|：|AB|=2
2 1 2=
：3，⊙M的半径为|MC|，OS，OT是⊙M的两条切线，切点分别为S，T，求∠SO
T的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．
【解答】解：（Ⅰ）由题意知， ，解得a= ，b=1．
第20页 | 共22页∴椭圆E的方程为 ；
（Ⅱ）设A（x ，y ），B（x ，y ），
1 1 2 2
联立 ，得 ．
由题意得△= ＞0．
， ．
∴|AB|= ．
由题意可知圆M的半径r为
r= ．
由题意设知， ，∴ ．
因此直线OC的方程为 ．
联立 ，得 ．
因此，|OC|= ．
由题意可知，sin = ．
而 = ．
第21页 | 共22页令t= ，则t＞1， ∈（0，1），
因此， = ≥1．
当且仅当 ，即t=2时等式成立，此时 ．
∴ ，因此 ．
∴∠SOT的最大值为 ．
综上所述：∠SOT的最大值为 ，取得最大值时直线l的斜率为 ．
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