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24.1 圆的有关性质
【基础训练】
一、单选题
1．P为⊙O内一点， ，⊙O半径为5，则经过P点的最短弦长为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】
根据勾股定理和垂径定理即可求得．
【详解】
解：在过点P的所有⊙O的弦中，
如图，当弦与OP垂直时，弦最短，
此时 ，
得其半弦长为4，则弦长是8，
故选：C．
【点睛】
此题首先要能够正确分析出其最短的弦，然后综合运用垂径定理和勾股定理进行计算．
2．如图，点 ， ， 在⊙O上， ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
直接利用圆周角定理即可得．
【详解】
解： ，
由圆周角定理得： ，
故选：B．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．
3．如图， 是 的直径， 、 是 上的两点，若 ，则 （ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【答案】B
【分析】
根据 ，求出 的度数，根据圆周角定理求出 的度数．
【详解】
∵ ，
∴ ，∴ ，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是圆周角定理，掌握一条弧所对的圆周角是这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
4．如图，在 中， 为直径， 为弦，已知 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由圆周角定理结合三角形内角和定理即可求出．
【详解】
∵ ，
∴ ．
∵AB为⊙O直径，
∴ ．
∴ ．
故选C．
【点睛】
本题考查圆周角定理及三角形内角和定理．掌握圆周角定理及其推论是解答本题的关键．
5．如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠AOD＝30°，则∠BCD的度数是（ ）A．100° B．105° C．110° D．120°
【答案】B
【分析】
连接AC，根据圆周角定理，可分别求出∠ACB＝90°，∠ACD＝15°，即可求∠BCD的度数．
【详解】
解：连接AC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠AOD＝30°，
∴∠ACD＝15°，
∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝105°，
故选：B．
【点睛】
本题考查圆周角定理及其推论．连接常用的辅助线并结合数形结合的思想是解答本题的关键．
6．如图， 是四边形 的外接圆，连接 和 ，且 ，则 的度数是（
）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据圆内接四边形的性质求出 ，再根据圆周角定理解答即可．
【详解】
∵四边形ABCD为 的内接四边形，
，
∴ ，
由圆周角定理得， ，
故选：A．
【点睛】
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
7．如图，点 、 、 在⊙O上， ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】
直接利用圆周角定理计算即可．
【详解】
解：∵ ， ，
∴ ．
故选：A．
【点睛】
本题考查圆周角定理．圆周角定理 “一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半”是解答本题的关键．
8．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的点， ＝ ．若∠CBA＝40°，则∠CBD的大小为（
）
A．50° B．40° C．25° D．20°
【答案】C
【分析】
连接AC、AD，如图，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，利用互余计算出∠BAC＝50°，然后利用圆周角定
理得到∠CAD＝∠BAD＝∠CBD ∠BAC．
【详解】
解：连接AC、AD，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠CBA＝90°﹣40°＝50°，
∵ ＝ ，∴∠CAD＝∠BAD＝∠CBD＝ ∠BAC＝ ×50°＝25°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的
一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
9．如图，四边形 内接于⊙O，若 ，则 的度数为（ ）
A．18 B．72 C．100 D．108
【答案】D
【分析】
∠D与∠B是圆内接四边形的对角，根据圆内接四边形的对角互补求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠D+∠B=180°，
又∠B=72°，
∴∠D=180°-∠B=180°-72°=108°．
故选：D．
【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质，即圆内接四边形的对角互补．10．如图， 是 的外接圆， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据圆周角定理计算即可．
【详解】
解：由圆周角定理得，∠C= ∠AOB=25°，
故选：A．
【点睛】
本题考查的是圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
11．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝50°，则∠BOC的度数为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
【答案】D
【分析】
由⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝50°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的
圆心角的一半，即可求得∠BOC的度数．
【详解】
解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝50°，
∴∠BOC＝2∠A＝100°．
故选：D．【点睛】
本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条
弧所对的圆心角的一半．
12．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BDC＝30°，则∠ABC的大小为（ ）
A．30° B．60° C．70° D．80°
【答案】B
【分析】
连接AC，先根据圆周角定理得出∠A，再由直角三角形的性质即可得出结论．
【详解】
解：连接AC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∵∠BDC=30°，
∴∠A=∠BDC=30°，
∴∠ABC=90°-∠A=60°．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解答此题的关键．13．如图，圆 的弦中最长的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据直径是圆内最长的弦，由图可知AB最长，
【详解】
解：由图可知，弦AB经过圆心O，故圆 的弦中最长的是 ．
故选： ．
【点睛】
本题主要考查了圆的认识，掌握直径是圆中最长的弦是关键．
14．如图，点A，B，C是⊙O上点，且∠AOB＝60°，则∠ACB等于（ ）
A．25° B．30° C．45° D．60°
【答案】B
【分析】
根据圆周角定理直接计算即可．
【详解】
解：∵点A，B，C是⊙O上点，且∠AOB＝60°，
∴∠ACB= ∠AOB＝30°，
故选：B．【点睛】
本题考查了圆周角定理，解题关键是掌握圆周角定理，准确识图，找到角的关系．
15．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠A＝24°，则BC弧的度数为（ ）
A．66° B．48° C．33° D．24°
【答案】B
【分析】
连接OC，根据圆周角定理求得∠BOC，得到答案．
【详解】
连接OC，
∵∠A=24°，
∴∠BOC=2∠A=48°，
∴BC弧的度数为48°．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，
都等于这条弧所对的圆心角的一半．
16．已知：如图， 是 的两条半径， ，点C在 上，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
直接根据圆周角定理求解即可．
【详解】
圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴ ，
故选：D．
【点睛】
本题考查圆周角定理，理解并熟记圆周角定理是解题关键．
17．下列语句中正确的是（ ）
A．长度相等的两条弧是等弧 B．平分弦的直径垂直于弦
C．相等的圆心角所对的弧相等 D．直径所在直线是圆的对称轴
【答案】D
【分析】
根据等弧的定义对A进行判断；根据垂径定理对B进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对C进行判断；
根据圆的对称性对D进行判断．
【详解】
解：A、能完全重合的两条弧是等弧，所以此选项不符合题意；
B、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以此选项不符合题意；
C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以此选项不符合题意；
D、经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，即直径所在直线是圆的对称轴，所以D选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．
也考查了垂径定理和圆心角、弧、弦的关系．
18．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，若∠B＝110°，则∠ADE的度数为（
）
A．35° B．55° C．70° D．110°
【答案】D
【分析】
根据圆内接四边形的性质解答．
【详解】
解：由题意可得：∠B+∠ADC=180°，
∵∠B=110°，
∴∠ADC=180°-110°=70°，
∴∠ADE=180°-∠ADC=110°，
故选D．
【点睛】
本题考查圆内接四边形的应用，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题关键．
19．如图，在 中，AB、CD是 的直径，若 ，则∠C=（ ）
A．20° B．35° C．55° D．70°
【答案】B
【分析】
根据圆周角定理解答即可．
【详解】解: ∵ ，∴∠C= ∠DOA=35°，
故选B．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理．
20．如图， 是 的直径， 是 的弦．若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先根据平角的定义求出∠AOB，再根据等腰三角形的性质求解，即可．
【详解】
解：∵ ，
∴∠AOB=180°-60°=120°，
∵OA=OB，
∴ =∠OBA=（180°-120°）÷2=30°，
故选C．
【点睛】
本题主要考查圆的基本性质以及等腰三角形的性质，掌握圆的半径相等，是解题的关键．
21．如图，已知 为 的直径，点C在 上， ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由OA=OC，可得∠OAC=∠OCA，根据三角形外角性质∠OCA= 即可．
【详解】
解：∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠BOC=∠BAC+∠ACO， ，
∴∠OCA= ．
故选择B．
【点睛】
本题考查圆的半径相等，等腰三角形性质，三角形外角性质，掌握圆的半径相等，等腰三角形性质，三角
形外角性质是关键．
22．如图，在 中， 为半径， 为弦，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】
先由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出 ，再由圆周角定理求解即可．
【详解】
解： ， ，
，
，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理；熟练掌握圆周角定理和等腰三角形的
性质是解题的关键．
23．如图，C，D是⊙O上位于直径AB异侧的两点，若∠ACD=20°，则∠BAD的度数是（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
【答案】A
【分析】
由直径AB，可以得到 ， ,根据同弧所对的圆周角相等，进行
角度转换即可．
【详解】
解：∵AB为直径
∴
又∵ ,∴
∵
∴
故选：A
【点睛】
本题考查直径所对的圆周角是 ，同弧所对的圆周角相等，根据题意数形结合是解题关键．
24．往水平放置的半径为 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度
，则水的最大深度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
连接OA，过点O作OD⊥AB交AB于点C交⊙O于D，再根据勾股定理求出AC的长，进而可得出CD的长．
【详解】
解：连接OA，过点O作OD⊥AB交AB于点C交⊙O于D，∵OC⊥AB，由垂径定理可知，
∴AC=CB= AB=12，
在Rt△AOC中，由勾股定理可知：
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】
本题考查了垂径定理及勾股定理的应用，属于基础题，关键是过O点作AB的垂线，由此即可求解．
25．如图，点A，D，B，C是圆O上的四个点，连接 ， 相交于点E，若 ，
，则 的度数为（ ）
A．95° B．90° C．85° D．80°
【答案】C
【分析】
首先连接BC，根据∠BOD和∠BCD是同弧所对的圆心角和圆周角，得出∠BCD的度数，再根据∠AOC和
∠ABC是同弧所对的圆心角和圆周角，得出∠ABC的度数，再根据三角形的外角，得出
∠AEC=∠EBC+∠ECB,即可求出∠AEC的度数．
【详解】连接BC，
∵ 和 是 所对的圆心角和圆周角，
,
又 和 是 所对的圆心角和圆周角，
,
又∵∠AEC是△BEC的外角，
∴ ,
故选：C．
【点睛】
本题考查了同弧所对的圆周角是圆心角的一半，三角形的外角，解题关键是连接辅助线，构造同弧所对的
圆周角和圆心角．
26．如图，点 ， 在 上， 是 的直径，若 ，则 等于（ ）
A．33° B．43° C．28.5° D．57°
【答案】A【分析】
连接CD，可得 ，根据圆周角定理以及三角形内角和可得．
【详解】
解：连接CD,
可知 ，
∵BD为直径，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角相等以及直径所对的圆周角是直角是解题关键．
27．如图， 中所对的圆周 ，点P在劣弧 上， ，则 的度数为（
）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】
根据圆周角定理可得 ，再根据角的和差即可得出答案．
【详解】
解： 中所对的圆周 ，
点P在劣弧 上， ，
故选C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，熟练掌握定理是解题的关键．
28．如图， 内接于 ，CD是 的直径， ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由CD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，得出∠CAD=90°，根据直角三角形两锐角互余得到
∠ACD与∠D互余，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠D的度数，继而求
得∠ACD的度数．
【详解】
解：∵CD是⊙O的直径，
∴∠CAD=90°，
∴∠ACD+∠D=90°．
∵∠ADC=∠ABC=20°，
∴∠ACD=90°-∠ADC=70°．
故选：D．【点睛】
此题考查了三角形的外接圆与外角，圆周角定理，直角三角形的性质，难度不大，注意掌握数形结合思想
的应用．
29．如图， 的半径 为 ， 于点 ， ，则 的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据圆周角定理求出∠COB的度数，再求出∠OBD的度数，根据“30°的锐角所对的直角边等于斜边的一
半”求出OD的长度．
【详解】
∵ ∠BAC=30°，
∴∠COB=60°，
∵∠ODB=90°，
∴∠OBD=30°，
∵OB=4，
∴OD= OB= =2．
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，掌握相关定理和性质是解题的关键．
30．如图，矩形 的边 ， 分别在 轴、 轴的正半轴上，点 在 的延长线上．若
， ，以 为圆心、 长为半径的弧经过点 ，交 轴正半轴于点 ，连接 ， 、
则 的度数是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
连接OB，由题意易得∠BOD=60°，然后根据圆周角定理可进行求解．
【详解】
解：连接OB，如图所示：
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故选C．
【点睛】
本题主要考查圆周角定理、矩形的性质及含30°的直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理、矩形的性质
及含30°的直角三角形的性质是解题的关键．
二、填空题
31．如图，点 ， ， 在 上， ，则 的度数为______．
【答案】
【分析】
根据点A、B、C在圆上，利用等腰三角形性质，可得∠OAB=∠B，∠OAC=∠C，根据同圆中同弧所对的圆
周角等于圆心角的一半解答即可．
【详解】
解：连结OA，
点 在 上，
∴OA=OB=OC，
∴∠OAB=∠B，∠OAC=∠C，
∵ ，
∴ ，
．故答案为： ．
【点睛】
本题考查的圆的半径相等，等腰三角形性质，圆周角定理，熟记定理内容是解题的关键．
32．《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以
锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，
用锯去锯这木材，锯口深 等于1寸，锯道 长1尺，问圆形木材的直径是多少？（1尺＝10寸）
答：圆形木材的直径___________寸；
【答案】26
【分析】
延长DC，交⊙O于点E，连接OA，由题意易得DE即为⊙O的直径， 寸， 寸，则有
寸，设OA=x寸，最后根据垂径定理及勾股定理可进行求解．
【详解】解：延长DC，交⊙O于点E，连接OA，如图所示：
由题意得CD⊥AB，点C为AB的中点， 寸， 寸，
∴DE为⊙O的直径，
∴ 寸，
设OA=x寸，则 寸，
∴在Rt△AOC中， ，即 ，
解得： ，
∴圆形木材的直径为26寸；
故答案为26．
【点睛】
本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
33．弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作 ．
已知 ，则 与 的大小关系是 ________ ．【答案】
【分析】
根据弧度的定义，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作 ，当 时，三
角形为等边三角形，所以圆心角所对的弧长比半径大，即可判断大小．
【详解】
解：根据弧度的定义，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作 ，
当 时，易知三角形为等边三角形，弦长等于半径，
圆心角所对的弧长比半径大，
，
故答案是： ．
【点睛】
本题考查了弧度的定义，解题的关键是：理解弧度的定义，从而利用定义来判断．
34．如图， 是 的内接三角形， ， ，则 __________________．
【答案】112
【分析】由等腰三角形性质可求∠ACB=∠ABC=62°，利用三角形内角和∠BAC=56°，利用圆周角定理可求
∠BOC=2∠BAC=112°即可．
【详解】
解:∵ ， ，
∴∠ACB=∠ABC=62°，
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-62°-62°=56°，
∴∠BOC=2∠BAC=2×56°=112°．
故答案为：112．
【点睛】
本题考查等腰三角形性质，三角形内角和，圆周角定理，掌握等腰三角形性质，三角形内角和，圆周角定
理是解题关键．
35．如图，已知AD是∠BAC的平分线，以线段AB为直径作圆，交∠BAC和角平分线于C，D两点过D向
AC作垂线DE垂足为点E，若 ，则直径 ________．
【答案】10
【分析】
连接 ， ， ，过点 作 于点 ，根据勾股定理求出 ，由圆周角定理可得
，根据角平分线的性质可得 ，在 中，根据勾股定理可得半径 的值，即可得
出直径 的值．
【详解】
解：连接 ， ， ，过点 作 于点 ，， ，
，
，
是 的平分线， ， ，
， ，
，
，
在 中，设 ，则 ，
，解得： ，
．
故答案为：10．
【点睛】
本题考查圆周角定理，角平分线的性质，勾股定理等知识，熟练掌握圆周角定理是解题的关键
三、解答题
36．如图， 的弦 相交于点P，且 ．求证 ．
【答案】证明见解析；
【分析】要证PB=PD，可连接BD，需证∠Ｄ=∠B，根据已知条件，只需证 即可．
【详解】
证明：连接BD．
即
【点睛】
本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系的定理及推论、圆周角定理及推论、等腰三角形的判定等知识点，
熟知上述定理及推论是解题的基础，而善于发现问题、掌握分析问题的方法是解题的关键．
37．如图， 在 方格中，点 在格点上，按要求画图；（1）在图1中画出 ，使得 ，点 为格点．
（2）在图2中画出 ，使得 ，点 为格点．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据要求作出图形（答案不唯一）．
（2）利用圆内接四边形的性质，根据要求作出图形（答案不唯一）．
【详解】
解：（1）如图，点P或点P′即为所求作．
（2）如图，点M或点M′即为所求作．
【点睛】
本题考查作图-应用与设计，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
38．如图， 是 的直径， 、 两点在 上，若 ．
（1）求 的度数；
（2）若 ， ，求 的半径．【答案】（1） ；（2）5．
【分析】
（1）根据圆周角定理 ， ，求出 ，再根据直角三角形的性质
求出答案即可；
（2）连接 ，根据圆周角定理得出 ， ，再利用含30度的直角三角形的
性质求出 即可．
【详解】
解：（1）∵ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ；
（2）连接 ，
∵ 是 直径，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 的半径为5．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质等知识点，注意：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角
相等，直径所对的圆周角是直角．39．已知如图， 的直径 垂直于弦 ，垂足为E， ，半径为2，则弦 的长为多少？
【答案】2
【分析】
根据垂径定理得到CE=DE，∠CEO=90°，根据圆周角定理得到∠COE=30°，根据直角三角形的性质得到
CE= OC=1，最后由垂径定理得出结论．
【详解】
解：∵ 的直径 垂直于弦 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，（直角三角形中，30度角所对的直角边是斜边的一半）
∴ ．
【点睛】
本题是圆的计算题，考查了垂径定理和勾股定理的运用，是常考题型；熟练掌握垂直弦的直径平分这条弦，
并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
40．如图①，在 中，弦 垂直直径 于点 ．已知 ， ．
（1）求直径 的长．
（2）小慧说“若将题目条件中的‘直径 ’改为‘弦 ’，其余条件均不变（如图②）， 的直
径仍不变”，你觉得小慧的说法正确吗？请说明理由．【答案】（1） ；（2）小慧的说法正确，见解析
【分析】
（1）连接AD，根据圆周角定理即可求出AB的长；
（2）根据垂径定理的条件即可作出判断．
【详解】
解：（1）连接AD，如图所示：
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∵弦CD垂直直径AB于点E，
∴由垂径定理可知：AD=AC=4，
在Rt△ADB中，AB= ；
（2）小慧的说法正确；
理由如下：连接AO，并延长AO交⊙O于点F，连接CF，如图所示：∵AF为直径，
∴∠ACF=90°，即∠ACD+∠FCD=90°，
又∵AB⊥CD，
∴∠EBD+∠BDE=90°，
而∠DBE=∠ACD，
∴∠FCD=∠BDE，
∴ ，
∴ ，
∴CF=BD=2，
在Rt△ACF中，AF= ；，
∴⊙O的直径仍不变．
【点睛】
本题考查了圆周角定理以及垂径定理，熟练掌握基本性质结合图形认真思考，仔细推敲，细心运算是解题
关键．
41．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，BD为⊙O的直径，过点C作CE⊥BD，垂足为E．
（1）求证：∠BAC＝∠BCE；
（2）若∠BAC＝60°，CE＝3，求BD的长．
【答案】（1）见解析；（2） ．
【分析】
（1）连接CD，根据圆周角定理的推论得到∠BCD＝90°，根据同角的余角相等证明结论；
（2）根据正弦的定义求出CD，根据直角三角形的性质解答即可．
【详解】（1）证明：连接CD，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∴∠DCE+∠BCE＝90°，
∵CE⊥BD，
∴∠DCE+∠D＝90°，
∴∠D＝∠BCE，
由圆周角定理得，∠D＝∠BAC，
∴∠BAC＝∠BCE；
（2）解：∵∠BAC＝60°，
∴∠D＝60°，
∴∠DBC＝30°，
在Rt△CDE中， ，
∴CD＝ ，
在Rt△CBD中，∠DBC＝30°，
∴BD＝2CD＝ ．
【点睛】
本题考查直径所对的圆周角是90°、圆周角定理、含30°角的直角三角形、正弦等知识，是重要考点，难度
较易，掌握相关知识是解题关键．42．如图，在梯形ABCD中，CD AB，AB＝10，以AB为直径的⊙O经过点C、D，且点C、D三等分弧
AB．
（1）求CD的长；
（2）已知点E是劣弧DC的中点，联结OE交边CD于点F，求EF的长．
【答案】（1）5；（2）
【分析】
（1）通过点C、D三等分弧AB，可得∠AOD＝∠COD＝∠BOC＝60°，所以， COD为等边三角形，CD
可求； △
（2）由点E是劣弧DC的中点，根据垂径定理的推论可得OF⊥CD，CF＝ CD；解直角三角形 ODF，
△
得出OF长度，通过OE﹣OF＝EF得出答案．
【详解】
解：（1）连接OC,OD,
∵AB为直径，点C、D三等分弧AB,
∴ .
∴∠AOD＝∠COD＝∠BOC＝60°．
∵OC＝OD,
∴△OCD为等边三角形．
∴CD＝OD＝ AB＝5．
（2）连接OE,交DC于点F,
∵点E是劣弧DC的中点，
∴OF⊥CD,DF=FC= CD.∵OC＝OD，
∴∠DOF＝ ∠DOC＝30°．
在Rt△ODF中，cos∠FOD＝ ．
∴OF＝OD•cos∠FOD＝5× ＝ ．
∵OE＝OD＝5,
∴EF＝OE﹣OF＝5﹣ ．
【点睛】
本题考查圆的相关定理，熟练掌握在同圆中，等弧所对的弦相等，圆心角相等，以及垂径定理的应用，在
题目中看到弧或者弦的中点，要连接圆心的中点，得出垂直.
43．如图，在Rt ABO中， ，以点 为圆心， 为半径的圆交 于点 ，交 于点 ．
（1）若 ，则弧 的度数为 ．
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1） ；（2） ．【分析】
（1）连接 ，利用余角的定义解得 ，再由圆的半径相等结合三角形内角和180°，解得
，继而得到弧 的度数；
（2）作 于 ，在 中，利用勾股定理解得 ，由等积法解得 ，再由勾
股定理解得 ，最后由等腰三角形三线合一性质解题．
【详解】
解：（1）连接 ，
， ，
，
，
，
，
弧 的度数为 ，
故答案为： ；
（2）如图，作 于 ，
在 中， ， ， ，
，
，
，，
，
，
．
【点睛】
本题考查圆心角、弧、弦、弦心距的关系、勾股定理、等腰三角形三线合一等知识，是重要考点，难度较
易，掌握相关知识是解题关键．
44．如图， 是⊙O的直径，弦 与 交于点 ，过点 作 交⊙O于点 ，若 为
的中点．
（1）求证： ；
（2）连接 ， ，若 ，求 的度数．
【答案】（1）见解析；（2）60°
【分析】
（1）利用同位角相等两直线平行，证明即可．
（2）证明△AOD是等边三角形即可解决问题．
【详解】
（1）证明： 是直径， ，
，
，
，
．（2）解： ， ，
四边形 是平行四边形，
，
，
是等边三角形，
．
【点睛】
本题考查垂径定理，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，
灵活运用所学知识解决问题．
45．如图，四边形 是 的内接四边形， 平分 ，连结 ， ．
（1）求证： ；
（2）若 等于 ，求 的度数．
【答案】（1）见解析；（2）33°
【分析】
（1）根据圆周角定理得到 ，根据垂径定理得到 ，根据圆周角定理证明结论；
（2）根据圆内接四边形的性质得到 ，根据等腰三角形的性质求出 ，根据角平分线的定义解答．
【详解】
解：（1）证明： 平分 ，则∠ABD=∠CBD
，
，
，
，
；
（2） 四边形 是 的内接四边形，
，
，
，
，
平分 ，
．
【点睛】
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质，掌握圆内接四边形的对
角互补是解题的关键．
46．如图，AB是圆O的直径，点C、D为圆O上的点，满足： ，AD交OC于点E．已知OE＝
3，EC＝2
（1）求弦AD的长；
（2）请过点C作AB的平行线交弦AD于点F，求线段EF的长．【答案】（1）8；（2）
【分析】
（1）根据圆心角、弧、弦的关系得到CO⊥AD，AE＝DE，然后根据勾股定理即可求得AE，进而求得
AD；
（2）根据平行线分线段成比例定理即可求得结论．
【详解】
解：（1） ，得CO⊥AD，AE＝DE．
在△AOE中，∠AEO＝90°，OE＝3，OA＝OC＝OE＋CE＝5，
得AE＝ ，
所以AD＝AE＋DE＝8；
（2）由CF AB，得 ，
则 ．
【点睛】
此题考查圆心角、弧、弦的关系，勾股定理的应用，平行线分线段成比例定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．
47．如图， 是半圆O的直径，C，D是半圆O上的两点，且 ， 与 交于点E．若
，求 的度数．
【答案】
【分析】
由题意易得∠CAB=20°，∠DOA=∠B=70°，则有∠DAO=55°，进而问题可求解．
【详解】
解：∵ 是半圆O的直径，
∴ ，
∵ ，
∴∠CAB=20°，
∵ ，
∴∠DOA=∠B=70°，
∵OD=OA，
∴∠DAO=∠ADO，
∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题主要考查圆周角的性质，熟练掌握圆周角的性质是解题的关键．
48．如图，一宽为2cm的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切于点C时，另一边与圆两个交点A
和B的读数恰好为“2”和“8”（单位：cm）求该圆的半径．【答案】圆的半径为 cm
【分析】
设OB=rcm，由于刻度尺的宽为2cm，所以OE=r-2，再根据另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”
可求出BE的长，在Rt△OBE中利用勾股定理即可得出r的值．
【详解】
解 ：连接OC，交AB于E，
由切线性质可得OC垂直于直尺两边，且CE=2，
∵AB=8﹣2=6cm，OE⊥AB，
∴BE= AB= ×6=3cm，
设OB=r，
∴（r﹣2）2+9=r2
解得r= ，
∴该圆的半径为 cm．
【点睛】
本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意得出BE=3是解答此题的关键．
49．已知如图，AB是⊙O的直径，C、D是圆上的两点，且 ，若 ，求的度数．
【答案】
【分析】
由题意易得 ，则由圆内接四边形的性质可得 ，进而可得
，然后可得 ，则 ，然后问题可求解．
【详解】
解：∵AB是⊙O的直径，
∴ ，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴ ，即 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题主要考查圆内接四边形的性质及圆周角，熟练掌握圆内接四边形的性质及圆周角是解题的关键．
50．如图1是校园内的一种铁制乒乓球桌，其侧面简化结构如图2所示，直线型支架的上端A，B与台面下
方相连，与圆弧形底座支架EF在C，D处相连接，支架AC与BD所在的直线过 的圆心，若AB＝200
cm，∠CAB＝∠DBA＝60°， ，AB平行于地面EF， 最顶端与AB的距离为2 cm．
（1）求 的半径；
（2）若台面AB与地面EF之间的距离为72 cm，求E，F两点之间的距离．（精确到1 cm，参考数据：≈1.7， ≈137）
【答案】（1）168 cm；（2）274 cm．
【分析】
（1）延长AC，BD交于点O，作OM⊥AB于点M，交 于N，利用等边三角形的定义、结合勾股定理进
行求解即可；
（2）连接OF．利用平行线的性质，结合勾股定理进行求解即可.
【详解】
解：（1）延长AC，BD交于点O，作OM⊥AB于点M，交 于N，
连接EF交OM于点K．
∵∠CAB＝∠DBA＝60°，∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝200 cm，
∵OM⊥AB，
∴ cm，
∵MN＝2，
∴ON＝100 －2≈168 cm，
∴ 的半径为168 cm．
（2）连接OF．
∵EF∥AB，OM⊥AB，
∴OK⊥EF，
在Rt△OFK中，
OK＝OM－KM≈170－72≈98，
∴FK＝ ＝ ≈137 cm，
又∵OK⊥EF，
∴EK＝KF，
∴EF＝2KF＝274 cm．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定、平行线的性质应用，考查了圆的垂径定理的应用、勾股定理的应用．
51．如图，在 中， 为 的弦， 是直线 上两点，且 ，求证： 为等腰
三角形．
【答案】见解析
【分析】
过O作AB垂线，设垂足为M，由垂径定理可得AM=BM，已知AC=BD，那么CM=DM，即OM垂直平分线段CD，由此证得OC=OD，即△OCD为等腰三角形．
【详解】
解：证明：过点O点作OM⊥AB，垂足为M；
∵OM⊥AB，
∴AM=BM，
∵AC=BD，
∴CM=DM，
又∵OM⊥AB，
∴OC=OD，
∴△OCD为等腰三角形．
【点睛】
此题主要考查了垂径定理和等腰三角形的判定等知识，解题的关键是合理作出辅助线．
52．如图，点A，B，C在⊙O上，AC OB，若∠BOC＝56°，求∠OBA的度数．
【答案】∠OBA＝28°
【分析】
首先根据圆周角定理得出∠BAC＝ BOC，然后利用两直线平行内错角相等即可得出答案．
【详解】
解：∵∠BOC＝56°，
∴根据圆周角定理得：∠BAC＝ BOC＝28°，∵AC OB，
∴∠OBA＝∠BAC＝28°．
【点睛】
本题主要考查圆周角定理及平行线的性质，掌握圆周角定理是关键．
53．如图，MB，MD是⊙O的两条弦，点A，C分别在弧MB，弧MD上，且AB＝CD，点M是弧AC的中
点．
（1）求证：MB＝MD；
（2）过O作OE⊥MB于E，OE＝1，⊙O的半径是2，求MD的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据圆心角、弦、弧、弦心距之间的关系得出 即可；
（2）根据垂径定理，勾股定理求出ME，进而求出MB即可．
【详解】
证明：（1）∵AB＝CD，
∴ ，
又∵点M是弧AC的中点，
∴ ，
∴ ，
即： ，
∴MB＝MD；
（2）过O作OE⊥MB于E，则ME＝BE，连接OM，在Rt△MOE中，OE＝1，⊙O的半径OM＝2，
∴ME＝ ＝ ＝ ，
∴MD＝MB＝2ME＝2 ．
【点睛】
本题考查圆心角、弦、弧之间的关系，垂径定理、勾股定理等知识，掌握垂径定理、勾股定理是正确计算
的前提．
54．我们定义：如果圆的两条弦互相垂直且相交，那么这两条弦互为“十字弦”，也把其中的一条弦叫做
另一条弦的“十字弦”．如图1，已知⊙O的两条弦AB⊥CD，则AB、CD互为“十字弦”，AB是CD的
“十字弦”，CD也是AB的“十字弦”．
（概念理解）
（1）若⊙O的半径为5，一条弦AB =8，则弦AB的“十字弦”CD的最大值为 ，最小值为 ．
（2）如图2，若⊙O的弦CD恰好是⊙O的直径，弦AB与CD相交于H，连接AC，若AC= 12，DH =7，
CH =9，求证︰AB、CD互为“十字弦”；（问题解决）
（3）如图3，在⊙O中，半径为 ，弦AB与CD相交于H，AB、CD互为“十字弦”且AB=CD，
，则CD的长度 ．
【答案】（1）10，6；（2）证明见解析；（3）6．
【分析】
（1）根据“十字弦”定义可得弦AB的“十字弦”CD为直径时最大，当CD过A点或B点时最小；
（2）根据线段长度得出对应边成比例且有夹角相等，证明△ACH∽△DCA，由其性质得出对应角相等，结
合90°的圆周角证出AH⊥CD，根据“十字弦”定义可得；
（3）过O作OE⊥AB于点E，作OF⊥CD于点F，设DH=x，由题意可得其它线段的长，在Rt△OEA中，
根据勾股定理列方程得出x的值，从而可求CD的长．
【详解】
解：（1）当CD为直径时，CD最大，此时CD=10，
∴弦AB的“十字弦”CD的最大值为10；
当CD过A点时，CD长最小，即AM的长度，过O点作ON⊥AM，垂足为N，作OG⊥AB，垂足为G，则四边形AGON为矩形，
∴AN=OG，
∵OG⊥AB，AB=8，
∴AG=4，
∵OA=5，
∴由勾股定理得OG=3，
∴AN=3，
∵ON⊥AM，
∴AM=6，
即弦AB的“十字弦”CD的最小值是6．
（2）证明：如图，连接AD，
∵AC=12， DH=7， CH=9，
∴CD=CH+DH=16
∴ ，
∴
∵∠C=∠C，
∴△ACH∽△DCA，∴∠AHC=∠CAD
∵CD是直径，
∴∠CAD=90°，
∴∠AHC=90°，
∴AH⊥CD，
∴AB、CD互为“十字弦”．
（3）如图，过O作OE⊥AB于点E，作OF⊥CD于点F，连接OA，OD，则四边形OEHF是矩形，
∴OE=FH，OF=EH，
设DH=x，
∵ ，AB=CD，
则CH=5x，CD=AB=6x，
∴FD=AE=3x，
∴OE=FH=3x-x=2x，
∵半径为 ，
在Rt△OEA中，由勾股定理得， ，
∴ ，
解得，x=1，∴CD=6×1=6
【点睛】
本题考查圆的相关性质，垂径定理，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识，准确做出辅助线是解答此题
的关键．
55．如图， 是 的直径，弦 于 ，连接 ，过点 作 于 ，若 ，
，
（1）求 的半径；
（2）求 到弦 的距离．
【答案】（1） 的半径为5cm；（2） 到 的距离为 cm
【分析】
（1）连接 ，设半径为 ，则 ，构建方程即可解决问题．
（2）根据 ，求解即可．
【详解】解：（1）连接 ，设半径为 ，则 ，
是 的直径，弦 于 ， ，
，
在 中， ，
．
（2） ，
， ， ，
，
，
．
【点睛】
本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
56．如图，在圆 中，若 ，且 ，求 的长度．【答案】
【分析】
由弦与弧的关系，得到 ，然后得到 ，即可得到 ．
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
∴
即
∴ ．
【点睛】
本题考查了弦与弧的关系，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确得到 ．
57．已知， 中， ， 是 上的点， ．
（1）如图①，求证 ；
（2）如图②，连接 ， ， ， ，若 ，求 ， 的大小．
【答案】（1）见解析；（2） ；【分析】
（1）利用垂径定理证明 ，再根据 即可证明 ；
（2）先利用圆的内接四边形的性质求出 的大小，再根据垂径定理和同弧所对的圆周角相等即可求
出 和 的大小．
【详解】
解：（1） 中， ，
．
，
．
（2） 四边形 是圆内接四边形，
．
．
中， ，
．
．
，
．
【点睛】
本题主要考查垂径定理和圆的内接四边形的性质，以及圆周角和弧长的关系，属于简单题型．
58．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，连接OD，AC，若 ．
（1）求证： ．
（2）求 的度数．【答案】（1）见解析；（2）68°
【分析】
（1）由垂径定理直接证得结论；
（2）运用圆周角定理可求得结论．
【详解】
解：（1）∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，
∴ ；
（2）∵
∴∠
∴∠
∴∠ ．
【点睛】
此题主要考查了垂径定理和圆周角定理，熟练掌握相关性质是解答此题的关键．
59．已知AB是⊙O的直径．
（1）如图①， ，∠MON＝35°，求∠AON的大小；
（2）如图②，E，F是⊙O上的两个点，AD⊥EF于点D，若∠DAE＝20°，求∠BAF的大小．【答案】（1）75°；（2）20°
【分析】
（1）根据圆心角、弧、弦之间的关系求出∠MON＝∠MOC＝∠BOC＝35°，再求出答案即可；
（2）根据三角形外角性质求出∠AEF，根据圆内接四边形的性质得出∠AEF＋∠ABF＝180°，求出
∠ABF，根据圆周角定理求出∠AFB＝90°，再根据三角形内角和定理求出即可．
【详解】
解：（1）∵ ，∠MON＝35°，
∴∠MON＝∠MOC＝∠BOC＝35°，
∴∠AON＝180°﹣∠MON﹣∠MOC﹣∠BOC＝180°﹣35°﹣35°﹣35°＝75°；
（2）连接BF，
∵AD⊥直线 ，
∴∠ADE＝90°，
∵∠DAE＝20°，
∴∠AEF＝∠ADE＋∠DAE＝110°，
∵四边形 为圆内接四边形，
∴∠ABF＋∠AEF＝180°，
∴∠ABF＝70°，
∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，
∴∠BAF＝180°﹣∠AFB﹣∠ABF＝20°．
【点睛】
本题考查的是圆心角与弧之间的关系，圆的内接四边形的性质，圆周角定理，掌握以上知识是解题的关键．
60．如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB，垂足为C，点E在⊙O上，连接OA、DE、BE．
（1）若∠DEB＝30°，求∠AOD的度数；
（2）若CD＝2，弦AB＝8，求⊙O的半径长．
【答案】（1）60°；（2）5．
【分析】
（1）根据圆周角定理得到∠BOD的度数，再利用垂径定理得到 ＝ ，利用圆心角、弧、弦的关系
得到∠AOD＝∠BOD＝60°；
（2）设⊙O的半径为r，则OC＝r−2，根据垂径定理得到AC＝BC＝4，然后利用勾股定理得到（r−2）2＋
42＝r2，再解方程即可得出结果．
【详解】
解：（1）∵∠BOD＝2∠DEB，∠DEB＝30°，
∴∠BOD＝60°，
∵OD⊥AB，
∴ ＝ ，，
∴∠AOD＝∠BOD＝60°；
（2）设⊙O的半径为r，则OC＝r−2，
∵OD⊥AB，
∴AC＝BC＝ AB＝ ×8＝4，
在Rt△OAC中，由勾股定理得：（r−2）2＋42＝r2，
解得：r＝5，即⊙O的半径长为5．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、垂径定理以及勾股定理等知识，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．
