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§7.7 向量法求空间角
课标要求 1.能用向量法解决异面直线所成角、直线与平面所成角、平面与平面的夹角问
题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量法在研究空间角问题中的作用.2.弄清折叠问
题中的变量与不变量，掌握折叠问题中线面位置关系的判断和空间角的计算问题．
知识梳理
1．异面直线所成的角
若异面直线 l ，l 所成的角为 θ，其方向向量分别是 u，v，则 cos θ＝|cos〈u，v〉|＝
1 2
________________________________________________________________________.
2．直线与平面所成的角
如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向
量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝＝____________.
3．平面与平面的夹角
如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角
称为平面α与平面β的夹角．
若平面α，β的法向量分别是n 和n ，则平面α与平面β的夹角即为向量n 和n 的夹角或其
1 2 1 2
补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈n，n〉|＝____________.
1 2
常用结论
1．异面直线所成角的范围是；直线与平面所成角的范围是；二面角的范围是[0，π]，两个
平面夹角的范围是.
2．若平面α与平面β的夹角为θ ，平面α内的直线l与平面β所成角为θ ，则θ≥θ ，当l
1 2 1 2
与α和β的交线垂直时，取等号．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．( )
(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．( )
(3)二面角的平面角为θ，则两个平面的法向量的夹角也是θ.( )
(4)二面角α－l－β的平面角与平面α，β的夹角相等．( )
2．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－，则直
线l与平面α所成的角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
3．已知直线l 的方向向量s ＝(1,0,1)与直线l 的方向向量s ＝(－1,2，－2)，则直线l 和l 所
1 1 2 2 1 2
成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
4．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为( )
A. B. C.或 D.或
题型一 异面直线所成的角
例1 (1)(2023·武汉模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方
形，PA＝BC，E为CD的中点，F为PC的中点，则异面直线BF与PE所成角的余弦值为(
)
A．－ B. C．－ D.
(2)(2023·开封模拟)在如图所示的圆台中，四边形ABCD为其轴截面，AB＝2CD＝4，母线长
为，P为下底面圆周上一点，异面直线AD与 OP(O为下底面圆心)所成的角为，则CP2的大
小为( )
A．7－2 B．7－2或7＋2
C．19－4 D．19－4或19＋4
思维升华 用向量法求异面直线所成的角的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系．
(2)用坐标表示异面直线的方向向量．
(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值．
(4)注意异面直线所成角的范围是，即异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的
绝对值．跟踪训练1 (1)(2023·台州统考)如图，已知菱形ABCD的边长为3，对角线BD长为5，将
△ABD沿着对角线BD翻折至△A′BD，使得线段A′C长为3，则异面直线A′B与CD所
成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
(2)如图所示，在棱长为 2 的正方体 ABCD－ABC D 中，E 是棱 CC 的中点，AF＝
1 1 1 1 1
λAD(0<λ<1)，若异面直线DE和AF所成角的余弦值为，则λ的值为______________．
1 1
题型二 直线与平面所成的角
例2 (2022·全国甲卷)在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝
1，AB＝2，DP＝.
(1)证明：BD⊥PA；
(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值．
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跟踪训练2 (2023·开封模拟)如图，四边形ABCD是圆柱OQ的轴截面，圆柱OQ的侧面积为
6π，点P在圆柱OQ的下底面圆周上，且△OPB是边长为的等边三角形．(1)若G是DP的中点，求证：AG⊥BD；
(2)若DG＝2GP，求GB与平面ABCD所成角的正弦值．
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题型三 平面与平面的夹角
例3 (12分)(2023·全国乙卷)如图，三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝2，BC＝2，PB＝PC
＝，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，AD＝DO，点F在AC上，BF⊥AO.
(1)证明：EF∥平面ADO；[切入点：由BF⊥AO找F位置]
(2)证明：平面ADO⊥平面BEF；[切入点：证明AO⊥平面BEF]
(3)求二面角D－AO－C的正弦值．[关键点：由AO⊥BE及PB长求点P坐标]
[思路分析]
(1)利用向量及BF⊥AO→F为AC中点→EF∥OD
(2)利用勾股定理→AO⊥OD→AO⊥平面BEF
(3)建系设点P坐标→由AO⊥BE及PB长求点P坐标→求法向量→求角
思维升华 利用空间向量计算平面与平面夹角大小的常用方法
(1)找法向量：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到平面与
平面夹角的大小．
(2)找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的
两个向量，然后通过这两个向量的夹角可得到平面与平面夹角的大小．
(1)证明 设AF＝tAC，(1分)
①处用BA，BC表示BF，AO
因为BF⊥AO，
(3分)
②处利用⊥找点F位置BF⊥AO找点F位置
又D，E，O分别为PB，PA，BC的中点，于是EF∥PC，DO∥PC，所以EF∥DO，
又EF⊄平面ADO，DO⊂平面ADO，所以EF∥平面ADO.(4分)
(2)证明 由(1)可知EF∥DO，
(6分)
③处利用勾股定理证明AO⊥OD
所以EF⊥AO，
又AO⊥BF，BF∩EF＝F，BF，EF⊂平面BEF，则有AO⊥平面BEF，(7分)
又AO⊂平面ADO，所以平面ADO⊥平面BEF.(8分)
(3)解 如图，以B为坐标原点，BA，BC所在直线分别为x，y轴，建立空间直角坐标系，
则B(0,0,0)，A(2,0,0)，O(0，，0)，
AO＝(－2，，0)．
因为PB＝PC，BC＝2，
所以设P(x，，z)，z>0，(9分)
则BE＝BA＋AE＝BA＋AP＝(2,0,0)＋(x－2，，z)
＝，
④处求BE坐标
由(2)得AO⊥BE，
(10分)
⑤处利用AO⊥BE及PB长求点P坐标
由D为PB的中点，得D，则AD＝.
设平面DAO的法向量为n＝(a，b，c)，
1
则即
得b＝a，c＝a，取a＝1，则n＝(1，，)．
1易知平面CAO的一个法向量为n＝(0,0,1)，(11分)
2
设二面角D－AO－C的大小为θ，
则|cos θ|＝|cos〈n，n〉|＝＝＝，
1 2
所以sin θ＝＝，
⑥处利用向量法求两法向量夹角
故二面角D－AO－C的正弦值为.(12分)
利用法向量的方向判断二面角
二面角的大小可以通过这两个面的法向量的夹角求得，它等于两法向量的夹角或其补角，法
向量的方向指向内部的称为“进”入半平面；法向量的方向指向外部的称为穿“出”半平面；
当法向量m，n“一进一出”时，m，n的夹角就是二面角的大小；当法向量m，n“同进同
出”时，m，n的夹角就是二面角的补角．
典例 在长方体ABCD－ABC D 中，AD＝AA ＝1，AB＝2，点E为棱AB的中点，则二面
1 1 1 1 1
角D－EC－D的余弦值为________．
1
跟踪训练3 (2023·新高考全国Ⅱ改编)如图，三棱锥A－BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，
∠ADB＝∠ADC＝60°，E为BC的中点．
(1)证明：BC⊥DA；
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(2)点F满足EF＝DA，求平面DAB与平面ABF夹角的正弦值．
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