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期末押题预测卷 02
考试范围：第21-27章；考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人 得分
一、单选题
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据轴对称图形的定义及中心对称图形的定义直接判断即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
A选项图形是轴对称图形但不是中心对称图形，不符合题意；
B选项图形是轴对称图形但不是中心对称图形，不符合题意；
C选项图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
D选项图形即不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查轴对称图形的定义：将一个图形沿一条直线对折两边完全重合的图形叫轴对称图形，中
心对称图形定义：将图形绕一个点旋转180°得到的图形与原图形重合叫中心对称图形．
2．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．任意买一张电影票，座位号是偶数
B．在平面内，平行四边形的两条对角线相交
C．掷两次硬币，必有一次正面朝上
D．小明参加2023年体育中考测试，“坐位体前屈”项目获得满分
【答案】B
【分析】根据必然事件的意义，结合各个选项中的具体事件发表进行判断即可．
【详解】解：A. 任意买一张电影票，座位号是偶数，是随机事件，故该选项不符合题意；B. 在平面内，平行四边形的两条对角线相交，是必然事件，故该选项符合题意；
C. 掷两次硬币，必有一次正面朝上，是随机事件，故该选项不符合题意；
D. 小明参加2023年体育中考测试，“坐位体前屈”项目获得满分，是随机事件，故该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的
事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可
能发生也可能不发生的事件，掌握以上定义是解题的关键．
1
3．将抛物线y=− (x−3) 2−5先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线的函数关系表达
2
式是（ ）
1 1
A．y=− (x−5) 2−8 B．y=− (x−5) 2−2
2 2
1 1
C．y=− (x−1) 2−8 D．y=− (x−1) 2−2
2 2
【答案】C
【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
1
【详解】将抛物线y=− (x−3) 2−5先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线的函数关系
2
1
表达式是y=− (x−1) 2−8，
2
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键．
4．若m、n是一元二次方程x2+2x−2021=0的两个实数根，则3m+3n−mn的值为（ ）
A．2021 B．2019 C．2017 D．2015
【答案】D
【分析】利用根与系数关系定理变形计算即可．
【详解】因为m、n是一元二次方程x2+2x−2021=0的两个实数根，
所以m+n=-2，mn=-2021，
所以3m+3n−mn
=3（m+n）-mn
=3×(−2)−(−2021)=2021−6=2015，
故选D．【点睛】本题考查了根与系数关系定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键．
5．如图，在同一直角坐标系中，k≠0，函数y=kx2和y=kx−2的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据一次函数、二次函数的图象与性质逐项判断即可求解．
【详解】解： A.∵抛物线开口向上，∴k>0，∵直线从左至右下降，∴k<0，∴k的取值矛盾，故原选项
不符合题意；
B. 由直线解析式y=kx−2得直线与y轴交点为(0,−2)，与直线图象矛盾，故原选项不符合题意；
C.∵抛物线开口向下，∴k<0，∵直线从左至右下降，∴k<0，k的取值一致且直线与y轴交于负半轴，故
原选项有可能正确，符合题意；
D. ∵抛物线开口向下，∴k<0，∵直线从左至右上升，∴k>0，∴k的取值矛盾，故原选项不符合题意．
故选：C
【点睛】本题考查了一次函数、二次函数的图象与性质，熟知两种函数的图象与性质是解题关键．
6．在平面直角坐标系中，点(−3，5)关于原点对称的点的坐标为( )
A．(3，−5) B．(−3，−5) C．(3，5) D．(5，−3)
【答案】A
【分析】根据关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数,即可求解．
【详解】解：点(−3，5)关于原点对称的点的坐标是(3，−5)，
故选：A．
【点睛】本题考查的是关于原点的对称的点的坐标，平面直角坐标系中任意一点关于原点的对称点，横、
纵坐标都变成相反数．
7．如图，AC是⊙O的直径，B，D是⊙O上的两点，连接AB，BC，CD，BD，若∠A+∠D=80°，
则∠ACB的度数为（ ）A．40° B．50° C．60° D．80°
【答案】B
【分析】根据题中条件和同弧所对圆周角相等和直径所对圆周角是直角即可求出答案．
【详解】解：∵∠A+∠D=80°且∠A=∠D，
∴∠A=40°，
∵AC是⊙O直径，
∴∠ABC=90°，
∴∠ACB=50°，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论，掌握直径所对圆周角是直角是解题关键．
8．我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则
与圆合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，每次边数成倍增加，依次可得
圆内接正十二边形，内接正二十四边形，…．边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．再
根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为R，图1中圆内接正六边形的周
l
长l =6R，则π≈ 6 =3．再利用图2圆的内接正十二边形计算圆周率，首先要计算它的周长，下列结果
6 2R
正确的是（ ）A．l =24Rsin15° B．l =24Rcos15°
12 12
C．l =24Rsin30° D．l =24Rcos30°
12 12
【答案】A
【分析】求出正多边形的中心角，利用三角形周长公式求解即可．
【详解】解：∵十二边形A A ⋯A 是正十二边形，
1 2 12
∴∠A OA =30°，
6 7
∵OM⊥A A 于M，又OA =OA ，
1 2 6 7
∴∠A OM=15°，
6
180°
∵正n边形的周长=n⋅2Rsin ，
n
∴圆内接正十二边形的周长l =24Rsin15°，
12
故选：A．
【点睛】本题考查的是正多边形和圆、等腰三角形的性质，求出正十二边形的周长是解题的关键．
k+2
9．若反比例函数y＝ 的图象在每一个象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ）
x
A．k＜－2 B．k＞－2 C．k＞－2且k≠0 D．k＞2
【答案】B
【分析】先根据反比例函数的性质得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
k+2
【详解】解：∵反比例比例函数y= 的图象在其每一象限内，y随x的增大而减小，
x
∴k+2>0，解得k>−2．
故选：B．
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．
10．如图，在正方形ABCD中，E为边AD上的中点，点F在边CD上，且∠BEF=90°，若AB=4，延长
EF交BC的延长线于点G，则CG的长为（ ）
A．4.5 B．5 C．5.5 D．6
【答案】D【分析】由正方形的性质和勾股定理结合题意可求出AB=AD=BC=4，BE=2❑√5，又可证
AE BE
△ABE∽△EGB，即得出 = ，代入数据，即可求出BG=10，从而可求出CG=6．
BE BG
【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，E为边AD上的中点，
∴AB=AD=BC=4，AE=2，∠BAD=∠ABC=90°，
∴BE=❑√AB2+AE2=2❑√5．
∵∠BEF=90°，
∴∠EBG+∠EGB=90°，∠BAE=∠BEG=90°，
∵∠EBG+∠ABE=90°，
∴∠ABE=∠EGB，
∴△ABE∽△EGB，
AE BE 2 2❑√5
∴ = ，即 = ，
BE BG 2❑√5 BG
∴BG=10，
∴CG=BG−BC=6．
故选D．
【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识．掌握似三角形的判定定理
和性质定理是解题关键．
第II卷（非选择题）
评卷人 得分
二、填空题
11．若关于x的一元二次方程(x−2) 2=m没有实数根，则实数m的值可以是 ．（写出一个符合题意
的值即可）
【答案】−1（答案不唯一）
【分析】根据非负数的性质可得当m<0时，一元二次方程(x−2) 2=m没有实数根，于是只要使m的值为负
数即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程(x−2) 2=m没有实数根，
∴m<0，∴m的值可以是−1（答案不唯一）．
故答案为：−1（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，正确理解题意、掌握非负数的性质是解题的关键．
12．如图，已经二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象如图所示，直线l∥x轴，则当ax2+bx+c≥1时x的
取值范围
【答案】−0.5≤x≤2.5
【分析】先根据抛物线的对称性求出直线l与抛物线的另一个交点坐标为(−0.5，1)，再根据图象法求解
即可．
【详解】解：由函数图象可知抛物线对称轴为直线x=1，直线l与抛物线交于点(2.5，1)，
∴直线l与抛物线的另一个交点坐标为(−0.5，1)，
∴当−0.5≤x≤2.5时，ax2+bx+c≥1
故答案为：−0.5≤x≤2.5．
【点睛】本题主要考查了抛物线的对称性，图象法求不等式的解集，正确求出直线l与抛物线的另一个交
点坐标是解题的关键．
13．有3张除数字外无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，随机抽取一张记作a，放回并混合在一起，再
随机抽一张记作b，组成有序实数对(a,b)，点(a,b)在直线y=x+2上的概率为 ．
1
【答案】
9
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中点(a,b)在直线y=x+2上的结果有1种，再由概率公式求
解即可．
【详解】解：画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中点(a,b)在直线y=x+2上的结果有1种，即(1,3)，
1
∴点(a,b)在直线y=x+2上的概率为= ，
9
1
故答案为： ．
9
【点睛】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步
或两步以上完成的事件；能够用树状图工具完整的列示出可能的结果是解题的关键．
14．如图，四边形ABCD为正方形，AB=1，把△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AEF，连接DF，则DF的
长为 ．
❑√6−❑√2
【答案】 ．
2
【分析】连接BE，CE，过E作EG⊥BC于G，判定△ADF≌△AEC（SAS），即可得出DF=CE，再根据勾股定理
求得CE的长，即可得到DF的长．
【详解】解：如图，连接BE，CE，过E作EG⊥BC于G，
由旋转可得，AB=AE=1=AD，AC=AF，∠BAC=∠EAF=45°=∠DAC，
∴∠CAE=∠FAD，
∴△ADF≌△AEC（SAS），
∴DF=CE，
由旋转可得，AB=AE=1，∠BAE=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴BE=1，∠ABE=60°，
∴∠EBG=30°，
1 1 ❑√3
∴EG= BE= ，BG=
2 2 2
❑√3
∴CG=1−
2√ 1 2 ❑√3 2 √8−4❑√3
∴Rt△CEG中，CE=❑√EG2+CG2=❑ ( ) +(1− ) =❑ =
2 2 4
√6−2❑√6·❑√2+2 √ (❑√6−❑√2) 2 ❑√6−❑√2
❑ =❑ = ，
4 4 2
❑√6−❑√2
∴DF= ．
2
❑√6−❑√2
故答案为： ．
2
【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及旋转的性质，解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角
等于旋转角，旋转前、后的图形全等．
15．如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，点M是弦AB上的动点，则OM的取值范围是
【答案】3≤OM≤5
【分析】如图所示，过点O作OP⊥AB于点P，连接OA，利用垂径定理和勾股定理求出OP的长，再根
据点到直线的距离垂线段最短可知OP≤OM≤OA，据此求解即可．
【详解】解：如图所示，过点O作OP⊥AB于点P，连接OA，
1 1
∴AP= AB= ×8=4，
2 2
∴OP=❑√OA2−AP2=❑√52−42=3，
∴OP≤OM≤OA，即3≤OM≤5，故答案为：3≤OM≤5．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，垂线段最短，正确作出辅助线求出OP的长是解题的关键．
k
16．如图，直线AB与双曲线y= 交于点A，B，与y轴交于点C，与x轴交于点D，过A，B分别作x轴的
x
4
垂线AF，BE，垂足分别为点F，E，连接AE，BF，若S +S = k−2，则k的值为 ．
△ADE △BDF 3
【答案】6
( k ) ( k) k (m+n)k
【分析】设A m, ,B n, ，确定直线AB的解析式y=− x+ ，计算DE=m,FD=−n，
m n mn mn
表示三角形的面积，建立等式计算即可．
( k ) ( k)
【详解】设A m, ,B n, ，直线AB的解析式y=px+q，
m n
k
{ =mp+q)
m
∴ ，
k
=np+q
n
k
{ p=− )
mn
解得 ，
(m+n)k
q=
mn
k (m+n)k
∴直线AB的解析式y=− x+ ，
mn mn
∴E(n,0),D(m+n,0),F(m,0)，∴DE=m,FD=−n，
1 k 1 ( k) 4
∴S +S = ×m× + ×(−n)× − =k= k−2
△ADE △BDF 2 m 2 n 3
解得k=6
故答案为：6．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形，一次函数的综合，熟练掌握待定系数法，三角形面积的表示
法是解题的关键．
评卷人 得分
三、解答题
17．解方程：
(1)x(x−1)+3(x−1)=0．
(2)x2+10x+24=3
【答案】(1)x =−3，x =1
1 2
(2)x =−7，x =−3
1 2
【分析】（1）根据提公因式因式分解法解一元二次方程即可求解；
（2）根据配方法解一元二次方程即可求解．
【详解】（1）解：x(x−1)+3(x−1)=0
(x+3)(x−1)=0
x+3=0或x−1=0，
解得：x =−3，x =1．
1 2
（2）解：x2+10x+24=3
x2+10x+24+1=3+1
(x+5) 2=4
x+5=±2
解得：x =−7，x =−3．
1 2
【点睛】本题考查一元二次方程的解法，灵活掌握一元二次方程的各种解法与步骤是解题关键．
18．已知抛物线 y＝x2+bx+c经过点（4，1）和（0，1）．求 b的值及此抛物线的顶点坐标、对称轴．
【答案】b=-4；顶点坐标为（2，﹣3）、对称轴为 x＝2．
【分析】把两点代入解答可求得函数的解析式，然后配方即可得出结论．【详解】把点（4，1）和（0，1）代入y＝x2+bx+c，可得：¿，解得：¿，所以抛物线为y＝x2﹣4x+1＝（x
﹣2）2﹣3，所以此抛物线的顶点坐标为（2，﹣3）、对称轴为x＝2．
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据
题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常
选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为
顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
19．如图，已知点E，F在线段BD上，AE∥FC，AE=2FC，BE=2DF，求证：AB=2CD．
【答案】见解析
【分析】根据AE∥FC，∠AEB+∠AEF=180°，∠CFD+∠EFC=180°，可证得∠AEB=∠CFD，
进而可证得△ABE∽△CDF．
【详解】∵AE∥FC，
∴∠AEF=∠EFC．
又∠AEB+∠AEF=180°，∠CFD+∠EFC=180°，
∴∠AEB=∠CFD．
∵AE=2FC，BE=2DF，
AE BE
∴ = =2．
FC DF
∴△ABE∽△CDF．
AB AE BE
∴ = = =2．
CD FC DF
∴AB=2CD．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质、平行线的性质，牢记相似三角形的判定定理及性质是解
题的关键．
m
20．如图，已知A(−4,n)，B(2,−4)是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y= 的图象的两个交点．
x(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求直线AB与x轴的交点C的坐标及三角形AOB的面积；
(3)当x为何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？
8
【答案】(1)y=− ； y=−x−2
x
(2)点C(−2,0)，6
(3)−42
m
【分析】(1)由A(−4,n)，B(2,−4)是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y= 的图象的两个交点，
x
利用待定系数法即可求得反比例函数和一次函数的解析式；
(2)首先令y=0，即可求得x的值，则可得直线AB与x轴的交点C的坐标，然后由S =S +S ，
△AOB △AOC △BOC
求得三角形AOB的面积；
(3)观察图象，根据图象即可求得当x为何值时，一次函数的值小于反比例函数的值．
m
【详解】（1）∵A(−4,n)，B(2,−4)是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y= 的图象的两个交点，
x
m
∴−4= ，
2
解得：m=−8，
8
∴反比例函数的解析式为：y=− ；
x
8
∴n=− =2，
−4
∴点A(−4,2)，
{−4k+b=2)
∴ ，
2k+b=−4{k=−1)
解得： ，
b=−2
∴一次函数为：y=−x−2；
（2）当y=0时，−x−2=0，
解得：x=−2，
∴点C(−2,0)，
1 1
∴S =S +S = ×2×2+ ×2×4=6；
△AOB △AOC △BOC 2 2
（3）如图，当−42，一次函数的值小于反比例函数的值．
【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思
想的应用．
21．如图是抛物线形的拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．
(1)建立平面直角坐标系，求此抛物线的解析式；
(2)当水面下降3米时，求水面宽增加了多少米？
1
【答案】(1)y=− x2
2
(2)(2❑√10−4)m
【分析】（1）首先建立直角坐标系，设抛物线为y=ax2，把点(2,−2)代入求出解析式可解获得答案．
（2）将y=−5代入（1）中解析式，解方程即可求解．
【详解】（1）解：如图，以拱顶为原点建立直角坐标系，可设这条抛物线为y=ax2，
结合题意，将点(2,−2)代入，得−2=22×a，
1
解得a=− ，
2
1
∴y=− x2 ，
2
1
（2）若水面下降3米，即当y=−5时，可有−5=− x2 ，解得x=±❑√10，
2
此时水面宽度为❑√10−(−❑√10)=2❑√10米，
∴水面下降3米，水面宽度增加(2❑√10−4)米．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式及二次函数的实际应用，解题关键是正确建立坐标系，
熟练运用二次函数解决实际问题．
22．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，△ABC绕点C顺时针旋转60°，得到△DCE，
（1）求证：DE垂直平分BC；
（2）F是DE中点，连接BF，CF，若AC=2，求四边形ACFB的面积．
【答案】（1）见解析；（2）3❑√3
【分析】（1）由∠ACB=90°，∠A=60°，得∠ABC=30°，根据旋转角的定义，得∠ACD=60°，故
∠BCD=30°，∠BCE=60°，因此∠ABC=∠BCD，DB=DC，问题得证；
（2）四边形ACFB的面积是三角形ACD面积的3倍，计算三角形ADC的面积即可．【详解】（1）∵∠ACB=90°，∠A=60°，
∴∠ABC=30°，
根据旋转角的定义，得∠ACD=60°，
∴∠BCD=30°，∠BCE=60°，
∴∠ABC=∠BCD，
∴DB=DC，
∵∠ACD=∠A=∠CDE=60°
∴∠BDE=60°
∴DE平分∠BDC
∴点D在线段BC的垂直平分线上，
∴DE垂直平分BC；
（2）如图，过点D作DG⊥AC，垂足为G，
∵CA=CD，∠A=60°，
∴ ACD是等边三角形，AD=CD=AC，
∵△DE垂直平分BC，
∴DB=DC，FB=FC，1
∴DB=DC=DA=CA= AB，
2
∵F是DE中点，
1
∴CF=DF=EF= DE，
2
∴DB=DC=DA=CA= CF=DF=BF，
∴四边形ACFD是菱形，四边形DCFB是菱形；
∴四边形ACFB的面积是三角形ACD面积的3倍，
∵AC=AD=2，
∴AG=1，DG=❑√3，
1 1
∴四边形ACFB的面积：3× ×AC×DG=3× ×2×❑√3=3❑√3．
2 2
【点睛】本题考查了旋转的性质，线段的垂直平分线，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，菱
形的判定和性质，熟记旋转的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键．
23．某电视台一档综艺节目中，要求嘉宾参加知识竞答，竞答题共10道．每一题有三个选项，且只有一个
选项正确，规定每题答对得2分，答错扣1分，不答得0分，若10道题全部答对则另外再奖励2分．某位
嘉宾已经答对了8道题，剩下2道题他都不确定哪个选项．
(1)若这位嘉宾随机选择一个选项，求他剩下的2道题一对一错的概率；
(2)这位嘉宾对剩下2题可以都不答，或只随机答1题，或随机答2题，请你从统计与概率的角度分析，采
用哪种做法解答剩下2道题才能总得分更高？
4
【答案】(1)
9
(2)这位嘉宾采用随机答2题的解答方式才能总得分更高
【分析】（1）根据题意可利用“对，错，错”来表示选择某选项的正误．由此可列出表格，找出符合题
意的情况数，再根据概率公式计算即可；
（2）根据题意可知有3种情况：①2题都不答，此时这两题得分为0；②只随机答1题，根据概率计算出
得分概率和不得分概率，即得出其预期的得分；③随机答2题，可分类讨论：全答对得6分、一对一错得
1分，全答错得-2分，分别计算出其概率，再计算出其预期得分即可．最后比较3种情况预期得分的大小
即可．
【详解】（1）因为每小题有三个选项，且只有一个选项就正确的，
所以有两个选项是错误的，不妨用“对，错，错”来表示．因此可列表如下：
对 错 错
对 （对，对） （错，对） （错，对）
错 （对，错） （错，错） （错，错）
错 （对，错） （错，错） （错，错）
共有9种等可能的结果，其中一对一错的有4种结果
4
∴P（两小题一对一错）= ；
9
（2）有3种可能的解答方式，分别为①2题都不答；②只随机答1题；③随机答2题．
①当2题都不答时，这两题得分为0分；
1 2
②当只随机答1题时，∵P（对）= ，P（错）=
3 3
1 2
∴预期得分为：2× −1× +0=0；
3 3
③当随机答2题时，有2题都对，1对1错，2题都错三种可能，
所得的分数分别为6分，1分，-2分，相应的概率分别为：
得分
6分 1分 -2分
值
P（2题都错）
1 4
概率 P（答对2题）= P（1对1错）= 4
9 9 =
9
1 4 4 2
∴预期得分为：6× +1× −2× = （分）
9 9 9 9
∴这位嘉宾采用随机答2题的解答方式才能总得分更高．
【点睛】本题考查列表或树状图法求概率，加权平均数．正确的列出表格或画出树状图，掌握求概率的公
式是解答本题的关键．
24．如图，⊙O的直径AB长为6，弦AC长为2，∠ACB的平分线交⊙O于点D．
（1）求BD的长；
（2）将△ADC绕D点顺时针方向旋转90°，请补充旋转后图形，并计算CD的长．【答案】（1）3❑√2；（2）4+❑√2.
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=∠ADB=90°，再根据角平分线的定义可得
∠DAC=∠BCD，然后求出AD=BD，再根据等腰直角三角形的性质其解即可；
（2）延长CB到C′，使C′B=AC，连接C′D，根据勾股定理列式求出BC的长，再根据圆内接四边形的对角互
补求出∠CAD+∠DBC=180°，从而得到旋转后AD与BD重合，C点的对应点C′与B、C在同一直线上，然后判
❑√2
断出△C′DC为等腰直角三角形，再求出CC′，然后根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的 倍计算即可
2
得解．
【详解】解：（1）∵AB是直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，
∴∠DCA=∠BCD，
∴A´D=D´B
∴AD=BD，
❑√2 ❑√2
∴在Rt△ABD中，AD=BD= AB= ×6=3❑√2；
2 2
（2）延长CB到C′，使C′B=AC，连接C′D
在Rt△ABC中，AB=6，AC=2，
∴BC=❑√AB2−AC2=❑√62−22=4❑√2，
∵四边形ACBD是圆内接四边形，∴∠CAD+∠DBC=180°，
∴△ADC绕D点顺时针方向旋转90°后，AD与BD重合，C点的对应点C′与B、C在同一直线上，且△C′DC为
等腰直角三角形，
∵C′C=AC+BC=2+4❑√2，
❑√2
∴在Rt△C′DC中，CD=C′D= C′C=4+❑√2．
2
【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，直径所对的圆周角等于直角，等腰直角三角形的判定与性质，圆
内接四边形的性质，勾股定理的应用，综合题，但难度不大．
25．如图，平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过点C(0,−4)，交x轴于A，B两点（点
A在点B的左侧），OC=2OB．
(1)请求出a，b满足的关系式；
1
(2)已知a= b，过点B的直线PB:y=kx+t交y轴于点E，交抛物线另一点P．
2
①若∠PBC=∠ACB，试求点P的坐标；
②当k=1，−4
