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期末易错题（22 个考点 60 题）
一．平方根（共1小题）
1．若2m﹣4与3m﹣1是同一个正数的平方根，则m为（ ）
A．﹣3 B．1 C．﹣1 D．﹣3或1
【答案】D
【解答】解：∵2m﹣4与3m﹣1是同一个正数的平方根，
∴2m﹣4+3m﹣1＝0，或2m﹣4＝3m﹣1，
解得：m＝1或﹣3．
故选：D．
二．算术平方根（共4小题）
2．❑√4的算术平方根是（ ）
A．±❑√2 B．❑√2 C．±2 D．2
【答案】B
【解答】解：❑√4=2，2的算术平方根是❑√2．
故选：B．
3．按如图所示的程序计算，若开始输入的 x 的值是 64，则输出的 y 的值是（ ）
A．❑√2 B．❑√3 C．2 D．3
【答案】A
【解答】解：由所给的程序可知，当输入64时，❑√64=8，
∵8是有理数，
∴取其立方根可得到，√3 8=2，
∵2是有理数，
∴取其算术平方根可得到❑√2，
∵❑√2是无理数，∴y=❑√2．
故选：A．
√ 1 √1 √ 1 √1 √ 1 √1
4．观察下列各式：❑1+ =2❑ ，❑2+ =3❑ ，❑3+ =4❑ ，…请你找出其中规律，并将第 n
3 3 4 4 5 5
√ 1 √ 1
（n≥1）个等式写出来 ❑n+ =(n+1)❑ ．
n+2 n+2
【答案】见试题解答内容
√ 1 √ 1 √1
【解答】解：❑1+ =（1+1）❑ =2❑ ，
3 1+2 3
√ 1 √ 1 √1
❑2+ =（2+1）❑ =3❑ ，
4 2+2 4
√ 1 √ 1 √1
❑3+ =（3+1）❑ =4❑ ，
5 3+2 5
…
√ 1 √ 1
❑n+ =(n+1)❑ ，
n+2 n+2
√ 1 √ 1
故答案为：❑n+ =(n+1)❑ ．
n+2 n+2
5．已知一个正数的两个平方根是m+3和2m﹣15．
（1）求这个正数是多少？
（2）❑√m+5的平方根又是多少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵m+3和2m﹣15是同一个正数的平方根，则这两个数互为相反数．
即：（m+3）+（2m﹣15）＝0
解得m＝4．
则这个正数是（m+3）2＝49．
（2）❑√m+5=3，则它的平方根是±❑√3．
三．立方根（共4小题）
6．若﹣2xm﹣ny2与3x4y2m+n是同类项，则m﹣3n的立方根是 2 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：若﹣2xm﹣ny2与3x4y2m+n是同类项，{m−n=4
)
∴ ，
2m+n=2
{m=2
)
解方程得： ．
n=−2
∴m﹣3n＝2﹣3×（﹣2）＝8．
8的立方根是2．
故答案为：2．
7．一个正数a的两个平方根是2b﹣1和b+4，则a+b的立方根为 2 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵一个正数a的两个平方根是2b﹣1和b+4，
∴2b﹣1+b+4＝0，
∴b＝﹣1．
∴b+4＝﹣1+4＝3，
∴a＝9．
∴a+b＝9+（﹣1）＝8，
∵8的立方根为2，
∴a+b的立方根为2．
故答案为：2．
8．求下列各式中的x．
（1）4x2﹣16＝0
（2）27（x﹣3）3＝﹣64．
【答案】见试题解答内容
【解答】解（1）4x2＝16，
x2＝4
x＝±2；
64
（2）（x﹣3）3=− ，
27
4
x﹣3=−
3
5
x= ．
3
9．已知某正数的两个不同的平方根是3a﹣14和a﹣2；b﹣15的立方根为﹣3．（1）求a、b的值；
（2）求4a+b的平方根．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵正数的两个不同的平方根是3a﹣14和a﹣2，
∴3a﹣14+a﹣2＝0，
解得a＝4，
∵b﹣15的立方根为﹣3，
∴b﹣15＝﹣27，
解得b＝﹣12
∴a＝4、b＝﹣12；
（2）a＝4、b＝﹣12代入4a+b
得4×4+（﹣12）＝4，
∴4a+b的平方根是±2．
四．估算无理数的大小（共1小题）
10．对于实数a，我们规定：用符号[❑√a]表示不大于❑√a的最大整数，称[❑√a]为a的根整数，例如：
[❑√9]=3，[❑√10]=3．
（1）仿照以上方法计算：[❑√4]= 2 ；[❑√26]= 5 ．
（2）若[❑√x]=1，写出满足题意的x的整数值 1 ， 2 ， 3 ．
如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次[❑√10]=3→[❑√3]=1，
这时候结果为1．
（3）对100连续求根整数， 3 次之后结果为1．
（4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 25 5 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵22＝4，52＝25，62＝36，
∴5＜❑√26＜6，
∴[❑√4]=[2]＝2，[❑√26]＝5，
故答案为：2，5；
（2）∵12＝1，22＝4，且[❑√x]=1，
∴x＝1，2，3，
故答案为：1，2，3；（3）第一次：[❑√100]＝10，
第二次：[❑√10]＝3，
第三次：[❑√3]＝1，
故答案为：3；
（4）最大的正整数是255，
理由是：∵[❑√225]＝15，[❑√15]＝3，[❑√3]＝1，
∴对255只需进行3次操作后变为1，
∵[❑√256]＝16，[❑√16]＝4，[❑√4]＝2，[❑√2]＝1，
∴对256只需进行4次操作后变为1，
∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255；
故答案为：255．
五．二元一次方程的解（共1小题）
{x=a)
11．若 是方程2x+y＝0的解，则6a+3b+2＝ 2 ．
y=b
【答案】见试题解答内容
{x=a)
【解答】解：把 代入方程2x+y＝0，得2a+b＝0，
y=b
∴6a+3b+2＝3（2a+b）+2＝2．
故答案为：2．
六．二元一次方程组的解（共3小题）
{ x+ y=1−a )
12．已知关于x、y的二元一次方程组 ，给出下列结论：
x−y=3a+5
①当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝2的解；
5
②当x＝y时，a=− ；
3
3
③当y＝0时，a= ；
2
④不论a取什么有理数，2x+y的值始终不变；
⑤当a＝﹣1时，x2﹣y2＝4．
其中正确的结论有（ ）
A．①②③④ B．②③④⑤ C．①③⑤ D．②④⑤
【答案】D{x+ y=0)
【解答】解：当a＝1时，方程组化为 ，
x−y=8
∵x+y＝0，
∴方程组的解不是方程x+y＝2的解，
∴①不正确，不符合题意；
当x＝y时，得3a+5＝0，
5
解得a=− ，
3
∴②正确，符合题意；
当y＝0时，得1﹣a＝3a+5，
解得a＝﹣1，
∴③不正确，不符合题意；
{ x+ y=1−a ) { x=a+3 )
解方程组 ，得 ，
x−y=3a+5 y=−2a−2
则2x+y＝2（a+3）+（﹣2a﹣2）＝4，
∴不论a取什么有理数，2x+y的值始终不变，
∴④正确，符合题意；
{x+ y=2)
当a＝﹣1时，方程组化为 ，
x−y=2
则（x+y）（x﹣y）＝4，即x2﹣y2＝4，
∴⑤正确，符合题意．
综上，②④⑤正确．
故选：D．
{2a−3b=13 ) {a=8.3) {2(x+2)−3(y−1)=13 )
13．已知方程组： 的解是： ，则方程组： 的解是（
3a+5b=30.9 b=1.2 3(x+2)+5(y−1)=30.9
）
{x=8.3) {x=10.3)
A． B．
y=1.2 y=2.2
{x=6.3) {x=10.3)
C． D．
y=2.2 y=0.2
【答案】C{2(x+2)−3(y−1)=13
)
【解答】解：在方程组 中，设x+2＝a，y﹣1＝b，
3(x+2)+5(y−1)=30.9
{2a−3b=13
)
则变形为方程组 ，
3a+5b=30.9
{a=8.3)
由题知 ，
b=1.2
{x=6.3)
所以x+2＝8.3，y﹣1＝1.2，即 ．
y=2.2
故选：C．
{ax+5 y=15①) {x=−3)
14．已知方程组 由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为 ，乙看错了方
4x−by=−2② y=−1
{x=5)
程②中的b，得到方程组的解为 ，试求出a，b的值．
y=2
【答案】见试题解答内容
{x=−3)
【解答】解：甲看错了①式中x的系数a，解得 ，但满足②式的解，所以﹣12+b＝﹣2，解得：
y=−1
b＝10；
{x=5)
同理乙看错了②式中y的系数b，解得 ，满足①式的解，所以5a+10＝15，解得：a＝1．
y=2
七．由实际问题抽象出二元一次方程组（共2小题）
15．现用190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或做22个盒底，而一个盒身与两个盒底配成一个盒子，
设用x张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底，则可列方程组为（ ）
{ x+ y=190 ) { x+ y=190 )
A． B．
2×8x=22y 2×22y=8x
{2y+x=190) {2y+x=190)
C． D．
8x=22y 2×8x=22y
【答案】A
【解答】解：根据共有190张铁皮，得方程x+y＝190；
根据做的盒底数等于盒身数的2倍时才能正好配套，得方程2×8x＝22y．
{ x+ y=190 )
列方程组为 ．
2×8x=22y
故选：A．
16．中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在《孙子算经》中记载了这样一个问题，大意为：
有若干人乘车，若每车乘坐3人，则2辆车无人乘坐；若每车乘坐2人，则9人无车可乘，问共有多少辆车，多少人，设共有x辆车，y人，则可列方程组为（ ）
{3(x−2)= y) {3(x+2)= y)
A． B．
2x+9= y 2x+9= y
{ 3x= y ) {3(x+2)= y)
C． D．
2x+9= y 2x−9= y
【答案】A
【解答】解：根据题意可得：
{3(x−2)= y)
，
2x+9= y
故选：A．
八．不等式的性质（共1小题）
17．已知x＞y，下列不等式一定成立的是（ ）
x y
A．x+1＜y+1 B． ＞ C．﹣3x＞﹣3y D．x﹣c＜y﹣c
3 3
【答案】B
【解答】解：A．∵x＞y，
∴x+1＞y+1，故本选项不符合题意；
B．∵x＞y，
x y
∴ ＞ ，故本选项符合题意；
3 3
C．∵x＞y，
∴3x＞3y，
∴﹣3x＜﹣3y，故本选项不符合题意；
D．∵x＞y，
∴x﹣c＞y﹣c，故本选项不符合题意；
故选：B．
九．不等式的解集（共2小题）
{x+9＜5x+1)
18．不等式组 的解集是x＞2，则m的取值范围是（ ）
x＞m+1
A．m≤2 B．m≥2 C．m≤1 D．m＞1
【答案】C{x+9＜5x+1)
【解答】解：∵不等式组 的解集是x＞2，
x＞m+1
解不等式①得x＞2，
解不等式②得x＞m+1，
不等式组的解集是x＞2，
∴不等式，①解集是不等式组的解集，
∴m+1≤2，
m≤1，
故选：C．
19．如果关于x的不等式ax＜﹣a的解集为x＞﹣1，那么a的取值范围是（ ）
A．a＜0 B．a＞0 C．a＜1 D．a＞1
【答案】A
【解答】解：∵不等式ax＜﹣a的解集为x＞﹣1，
∴a＜0，
故选：A．
一十．一元一次不等式的整数解（共1小题）
20．如果关于x的不等式3x﹣a≤0只有3个正整数解，则a的取值范围 9 ≤ a ＜ 1 2 ．
【答案】见试题解答内容
a
【解答】解：3x﹣a≤0的解集为x≤ ；
3
其正整数解为1，2，3，
a
则3≤ ＜4，
3
所以a的取值范围9≤a＜12．
一十一．一元一次不等式组的整数解（共3小题）
{3
y+1＞
y−2
)
21．关于y的一元一次不等式组 2 2 有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
y−a＜0
A．a≤2 B．1＜a≤2 C．a≥1 D．1≤a＜2
【答案】B{3
y+1＞
y−2
①)
【解答】解： 2 2 ，
y−a＜0②
由①得：y＞﹣2，
由②得：y＜a，
∴原不等式组的解集为﹣2＜y＜a，
{3
y+1＞
y−2
)
∵关于y的一元一次不等式组 2 2 有3个整数解，
y−a＜0
∴1＜a≤2，
故选：B．
{2a+3x＞0)
22．已知关于x的不等式组 恰有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
3a−2x≥0
2 3 4 3 4 3 4 3
A． ≤a≤ B． ≤a≤ C． ＜a≤ D． ≤a＜
3 2 3 2 3 2 3 2
【答案】B
2a 3a
【解答】解：由于不等式组有解，则− ＜x≤ ，必定有整数解0，
3 2
3a 2a
∵| |＞|− |，
2 3
∴三个整数解不可能是﹣2，﹣1，0．
2a
{−2≤− ＜−1)
3
若三个整数解为﹣1，0，1，则不等式组 无解；
3a
1≤ ＜2
2
3
{ 2≤ a＜3 )
2
若三个整数解为0，1，2，则 ；
2
−1≤− a＜0
3
4 3
解得 ≤a≤ ．
3 2
故选：B．{3x+2y=−a−1 ) { s＞ a−7 )
23．已知关于x、y的二元一次方程组 2 13 的解满足x≥y，且关于s的不等式组 3
x− y=a+
9 9 s≤1
恰好有4个整数解，那么所有符合条件的整数a的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
2
{3x+2y=−a−1
)
{ x= a+1 )
3
【解答】解：解方程组 2 13 得： ，
x− y=a+ 3
9 9 y=− a−2
2
∵x≥y，
2 3
∴ a+1≥− a﹣2，
3 2
18
解得：a≥− ，
13
{ s＞ a−7 ) a−7
解不等式组 3 得 ＜s≤1，
3
s≤1
{ s＞ a−7 )
∵关于s的不等式组 3 恰好有4个整数解（﹣2，﹣1，0，1），
s≤1
a−7
∴﹣3≤ ＜−2，
3
解得：﹣2≤a＜1，
18
∵a≥− ，
13
18
∴− ≤a＜1，
13
∴所有符合条件的整数a有﹣1，0，共有2个，
故选：C．
一十二．由实际问题抽象出一元一次不等式组（共1小题）
24．八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树 7棵，还剩9棵，若每人平均植树9棵，则有1名同
学植树的棵数不到8棵．若设同学人数为x人，下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是（ ）
A．7x+9﹣9（x﹣1）＞0 B．7x+9﹣9（x﹣1）＜8
{7x+9−9(x−1)≥0) {7x+9−9(x−1)≥0)
C． D．
7x+9−9(x−1)＜8 7x+9−9(x−1)≤8
【答案】C
【解答】解：（x﹣1）位同学植树棵数为9×（x﹣1），
∵有1位同学植树的棵数不到8棵．植树的棵数为（7x+9）棵，
{ 7x+9≥9(x−1) )
∴可列不等式组为： ，
7x+9＜8+9(x−1)
{7x+9−9(x−1)≥0)
即 ．
7x+9−9(x−1)＜8
故选：C．
一十三．点的坐标（共4小题）
25．在平面直角坐标系中，点M在第四象限，到x轴，y轴的距离分别为6，4，则点M的坐标为（ ）
A．（4，﹣6） B．（﹣4，6） C．（﹣6，4） D．（﹣6，﹣4）
【答案】A
【解答】解：因为点M在第四象限，所以其横、纵坐标分别为正数、负数，
又因为点M到x轴的距离为6，到y轴的距离为4，
所以点M的坐标为（4，﹣6）．
故选：A．
26．已知点Q的坐标为（﹣2+a，2a﹣7），且点Q到两坐标轴的距离相等，则点Q的坐标是（ ）
A．（3，3） B．（3，﹣3）
C．（1，﹣1） D．（3，3）或（1，﹣1）
【答案】D
【解答】解：∵点Q（﹣2+a，2a﹣7）到两坐标轴的距离相等，
∴|﹣2+a|＝|2a﹣7|，
∴﹣2+a＝2a﹣7或﹣2+a＝﹣（2a﹣7），
解得a＝5或a＝3，
所以，点Q的坐标为（3，3）或（1，﹣1）．
故选：D．27．一个质点在第一象限及x轴、y轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到（0，1），然后接着按图中
箭头所示方向运动，即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→…，且每秒移动一个单位，那么第
35秒时质点所在位置的坐标是 （ 5 ， 0 ） ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：质点运动的速度是每秒运动一个单位长度，（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）用
的秒数分别是1秒，2秒，3秒，到（2，0）用4秒，到（2，2）用6秒，到（0，2）用8秒，到（0，
3）用9秒，到（3，3）用12秒，到（4，0）用16秒，依此类推，到（5，0）用35秒．
故第35秒时质点所在位置的坐标是（5，0）．
28．在平面直角坐标系xOy中，点A（x ，y ），B（x ，y ），若x ﹣x ＝y ﹣y ≠0，则称点A与点B互为
1 1 2 2 2 1 2 1
“对角点”，例如：点A（﹣1，3），点B（2，6），因为2﹣（﹣1）＝6﹣3≠0，所以点A与点B互
为“对角点”．
（1）若点A的坐标是（4，﹣2），则在点B （2，0），B （﹣1，﹣7），B （0，﹣6）中，点A的
1 2 3
“对角点”为点 B （﹣ 1 ，﹣ 7 ）， B （ 0 ，﹣ 6 ） ；
2 3
（2）若点A的坐标是（﹣2，4）的“对角点”B在坐标轴上，求点B的坐标；
（3）若点A的坐标是（3，﹣1）与点B（m，n）互为“对角点”，且点B在第四象限，求m，n的取
值范围．【答案】（1）B （﹣1，﹣7），B （0，﹣6）；
2 3
（2）点B的坐标为（﹣6，0）或（0，6）．
（3）0＜m＜4且m≠3，﹣4＜n＜0且n≠﹣1．
【解答】解：（1）根据新定义可以得B 、B 与A点互为“对角点”；
2 3
故答案为：B （﹣1，﹣7），B （0，﹣6）；
2 3
（2）①当点B在x轴上时，
设B（t，0），由题意得t﹣（﹣2）＝0﹣4，
解得t＝﹣6，
∴B（﹣6，0）．
②当点B在y轴上时，
设B（0，b），
由题意得0﹣（﹣2）＝b﹣4，
解得b＝6，
∴B（0，6）．
综上所述：A的“对角点”点B的坐标为（﹣6，0）或（0，6）．
（3）由题意得m﹣3＝n﹣（﹣1），
∴m＝n+4．
∵点B在第四象限，
{m＞0)
∴ ，
n＜0{n+4＞0)
∴ ，
n＜0
解得﹣4＜n＜0，
此时0＜n+4＜4，
∴0＜m＜4．
由定义可知：m≠3，n≠﹣1，
∴0＜m＜4且m≠3，﹣4＜n＜0且n≠﹣1．
故答案为：0＜m＜4且m≠3，﹣4＜n＜0且n≠﹣1．
一十四．坐标确定位置（共1小题）
29．将正整数按如图所示的规律排列下去．若用有序实数对（n，m）表示第n排，从左到右第m个数，如
（4，3）表示实数9，则（7，2）表示的实数是 2 3 ．
【答案】见试题解答内容
1
【解答】解：从图中可以发观，第n排的最后的数为： n（n+1）
2
1
∵第6排最后的数为： ×6（6+1）＝21，
2
∴（7，2）表示第7排第2个数，则第7排第二个数为21+2＝23．
故答案填：23．
一十五．坐标与图形性质（共1小题）
30．已知点M（3，﹣2）与点M′（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，且M′到y轴的距离等于4，那
么点M′的坐标是（ ）
A．（4，2）或（﹣4，2） B．（4，﹣2）或（﹣4，﹣2）
C．（4，﹣2）或（﹣5，﹣2） D．（4，﹣2）或（﹣1，﹣2）
【答案】B
【解答】解：∵M（3，﹣2）与点M′（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，
∴M′的纵坐标y＝﹣2，
∵“M′到y轴的距离等于4”，
∴M′的横坐标为4或﹣4．
所以点M′的坐标为（4，﹣2）或（﹣4，﹣2），故选：B．一十六．同位角、内错角、同旁内角（共1小题）
31．下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（ ）
A．②③ B．①②③ C．①②④ D．①④
【答案】C
【解答】解：图①、②、④中，∠1与∠2在截线的同侧，并且在被截线的同一方，是同位角；
图③中，∠1与∠2的两条边都不在同一条直线上，不是同位角．
故选：C．
一十七．平行线的判定（共4小题）
32．如图，下列条件：①∠1＝∠2，②∠3+∠4＝180°，③∠5+∠6＝180°，④∠2＝∠3，⑤∠7＝
∠2+∠3，⑥∠7+∠4﹣∠1＝180°中能判断直线a∥b的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】C
【解答】解：①由∠1＝∠2，可得a∥b；
②由∠3+∠4＝180°，可得a∥b；
③由∠5+∠6＝180°，∠3+∠6＝180°，可得∠5＝∠3，即可得到a∥b；
④由∠2＝∠3，不能得到a∥b；
⑤由∠7＝∠2+∠3，∠7＝∠1+∠3可得∠1＝∠2，即可得到a∥b；
⑥由∠7+∠4﹣∠1＝180°，∠7﹣∠1＝∠3，可得∠3+∠4＝180°，即可得到a∥b；
故选：C．
33．如图，下列说法中，正确的是（ ）A．若∠3＝∠8，则AB∥CD
B．若∠1＝∠5，则AB∥CD
C．若∠DAB+∠ABC＝180°，则AB∥CD
D．若∠2＝∠6，则AB∥CD
【答案】D
【解答】解：A．由∠3＝∠8，不能得到AB∥CD，故本选项错误；
B．若∠1＝∠5，则AD∥CB，故本选项错误；
C．若∠DAB+∠ABC＝180°，则AD∥CB，故本选项错误；
D．若∠2＝∠6，则AB∥CD，故本选项正确；
故选：D．
34．一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变三角板ACD的位置
（其中A点位置始终不变），当∠BAD＝ 30 ° 或 150 ° 时，CD∥AB．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图所示：当CD∥AB时，∠BAD＝∠D＝30°；
如图所示，当AB∥CD时，∠C＝∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝60°+90°＝150°；故答案为：150°或30°．
35．如图所示，一条公路修到湖边时，需要拐弯绕湖而过，第一次拐的角∠A＝110°，第二次拐的角∠B＝
145°，则第三次拐的角∠C＝ 145 ° 时，道路CE才能恰好与AD平行．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，延长AB，EC，交于点F，
当AD∥EF时，∠F＝∠A＝110°，
∵∠FBC＝180°﹣∠ABC＝35°，
∴∠BCE＝∠F+∠FBC＝110°+35°＝145°，
即第三次拐的角为145°时，道路CE才能恰好与AD平行．
故答案为：145°．
一十八．平行线的性质（共18小题）
36．如图，AB∥CD，有图中 ， ， 三角之间的关系是（ ）
α β γA． + + ＝180° B． ﹣ + ＝180°
C．α+β﹣γ ＝180° D．α+ β+ γ＝360°
【答案】αCβ γ α β γ
【解答】解：如图，延长AE交直线CD于F，
∵AB∥CD，
∴∠ +∠AFD＝180°，
∵∠αAFD＝∠ ﹣∠ ，
∴∠ +∠ ﹣∠β ＝1γ80°，
故选α：C．β γ
37．如图，已知直线AB、CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB、CD、
AC上），设∠BAE＝ ，∠DCE＝ ．下列各式：① + ，② ﹣ ，③ ﹣ ，④360°﹣ ﹣ ，
∠AEC的度数可能是（α ） β α β α β β α α β
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【解答】解：（1）如图，由AB∥CD，可得∠AOC＝∠DCE ＝ ，
1
∵∠AOC＝∠BAE 1 +∠AE 1 C， β
∴∠AE C＝ ﹣ ．
1
（2）如图，β过Eα2 作AB平行线，则由AB∥CD，可得∠1＝∠BAE
2
＝ ，∠2＝∠DCE
2
＝ ，
∴∠AE 2 C＝ + ． α β
（3）如图，α由βAB∥CD，可得∠BOE
3
＝∠DCE
3
＝ ，
∵∠BAE 3 ＝∠BOE 3 +∠AE 3 C， β
∴∠AE C＝ ﹣ ．
3
（4）如图，α由AβB∥CD，可得∠BAE
4
+∠AE
4
C+∠DCE
4
＝360°，
∴∠AE C＝360°﹣ ﹣ ．
4
α β∴∠AEC的度数可能为 ﹣ ， + ， ﹣ ，360°﹣ ﹣ ．
（5）当点E在CD的下β方时α，同α 理β可α得，β∠AEC＝α﹣β或 ﹣ ．
故选：D． α β β α
38．如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB＝90°，若∠1+∠B＝65°，则∠2的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【答案】B
【解答】解：由三角形的外角性质可得，∠3＝∠1+∠B＝65°，
∵a∥b，∠DCB＝90°，
∴∠2＝180°﹣∠3﹣90°＝180°﹣65°﹣90°＝25°．
故选：B．
39．如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若∠AGE＝32°，则∠GHC等于（ ）
A．112° B．110° C．108° D．106°
【答案】D
【解答】解：∵∠AGE＝32°，∠AGD＝180°，
∴∠DGE＝148°，
1
由折叠可得，∠DGH= ∠DGE＝74°，
2
∵AD∥BC，
∴∠GHC＝180°﹣∠DGH＝106°，
故选：D．
40．将一把直尺和一块含30°角的直角三角板按如图所示方式摆放，其中∠CBD＝90°，∠BDC＝30°，若
∠1＝78°，则∠2的度数为（ ）
A．19° B．18° C．17° D．16°
【答案】B
【解答】解：∵∠CBD＝90°，∠1＝78°，
∴∠DBE＝180°﹣∠CBD﹣∠1＝180°﹣90°﹣78°＝12°，
∵直尺的两边平行，即EA∥GH，
∴∠BDF＝∠DBE＝12°，
∵∠BDC＝30°，
∴∠2＝∠BDC﹣∠BDF＝30°﹣12°＝18°，
故选：B．
41．一个人驱车前进时，两次拐弯后，按原来的相反方向前进，这两次拐弯的角度可能是（ ）
A．向右拐85°，再向右拐95°B．向右拐85°，再向左拐85°
C．向右拐85°，再向右拐85°
D．向右拐85°，再向左拐95°
【答案】A
【解答】解：因为两次拐弯后，按原来的相反方向前进，
所以两次拐弯的方向相同，形成的角是同旁内角，且互补，
故选：A．
42．如图1的长方形纸带中∠DEF＝25°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中∠CFE
度数是（ ）
A．105° B．120° C．130° D．145°
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD为长方形，
∴AD∥BC，
∴∠BFE＝∠DEF＝25°．
由翻折的性质可知：
图2中，∠EFC＝180°﹣∠BFE＝155°，∠BFC＝∠EFC﹣∠BFE＝130°，
图3中，∠CFE＝∠BFC﹣∠BFE＝105°．
故选：A．
43．如图，AB∥CD，则∠A、∠C、∠E、∠F满足的数量关系是（ ）
A．∠A＝∠C+∠E+∠F B．∠A+∠E﹣∠C﹣∠F＝180°
C．∠A﹣∠E+∠C+∠F＝90° D．∠A+∠E+∠C+∠F＝360°
【答案】B【解答】解：如图，过E作EG∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EG，
∴∠GEF＝∠DHF＝∠C+∠F，
∠A+∠AEG＝180°，
∴∠A+∠AEF﹣∠GEF＝180°，
即∠A+∠AEF﹣∠C﹣∠F＝180°，
故选：B．
44．如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠BAD＝70°，∠BCD＝40°，则∠BED的度
数为 55 ° ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
1 1
∴∠ABE＝∠CBE= ∠ABC，∠ADE＝∠CDE= ∠ADC，
2 2
∵∠ABE+∠BAD＝∠E+∠ADE，∠BCD+∠CDE＝∠E+∠CBE，
∴∠ABE+∠BAD+∠BCD+∠CDE＝∠E+∠ADE+∠E+∠CBE，
∴∠BAD+∠BCD＝2∠E，
∵∠BAD＝70°，∠BCD＝40°，
1 1
∴∠E= （∠BAD+∠BCD）= （70°+40°）＝55°．
2 2
故答案为：55°．45．如图，AB∥CD，P E 平分∠P EB，P F 平分∠P FD，若设∠P EB＝x°，∠P FD＝y°则∠P ＝
2 1 2 1 1 1 1
（ x + y ） 度（用x，y的代数式表示），若P E平分∠P EB，P F平分∠P FD，可得∠P ，P E平分
3 2 3 2 3 4
1
∠P EB，P F平分∠P FD，可得∠P …，依次平分下去，则∠P ＝ （ ） n ﹣ 1 （ x + y ） 度．
3 4 3 4 n 2
1
【答案】（1）（x+y）；（2）（ ）n﹣1（x+y）．
2
【解答】解：（1）如图，分别过点P 、P 作直线MN∥AB，GH∥AB，
1 2
∴∠P EB＝∠MP E＝x°．
1 1
又∵AB∥CD，
∴MN∥CD．
∴∠P FD＝∠FP M＝y°．
1 1
∴∠EP F＝∠EP M+∠FP M＝x°+y°．
1 1 1
（2）∵P E平分∠BEP ，P F平分∠DFP ，
2 1 2 1
1 1 1 1
∴∠BEP = ∠BEP = x°，∠DFP = ∠DFP = y°．
2 2 1 2 2 2 1 2
1 1 1
同理可证：∠EP F=∠BEP +DFP = x°+ y°= (x°+ y°)．
2 2 2 2 2 2
1 1 1
以此类推：P =( ) 2 (x°+ y°)，P =( ) 3 (x°+ y°)，...，P =( ) n−1 (x°+ y°)．
3 2 4 2 n 2
1
故答案为：（x+y），（ ）n﹣1（x+y）．
246．如图，AB∥CD，BF、DF分别平分∠ABE和∠CDE，BF∥DE，∠F与∠ABE互补，则∠F的度数为
36 °．
【答案】36．
【解答】解：延长FB交CD于点G，如图：
∵BF，DF分别平分∠ABE和∠CDE，
∴∠1＝∠2，∠FBA＝∠FBE，
∵AB∥CD，
∴∠FBA＝∠3，
∵BF∥DE，∠F与∠ABE互补，
∴∠3＝∠EDC＝2∠2，∠F＝∠1，∠F+∠ABE＝180°，
设∠F＝x°，则∠1＝∠2＝x°，∠3＝2x°，∠ABE＝4x°，
∴x+4x＝180，
解得，x＝36，
即∠F的度数为36°．
故答案为：36．
47．一大门栏杆的平面示意图如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，若∠BCD＝150°，
则∠ABC＝ 12 0 度．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，连接BF，BF∥CD，∵CD∥AE，
∴CD∥BF∥AE，
∴∠1+∠BCD＝180°，∠2+∠BAE＝180°，
∵∠BCD＝150°，∠BAE＝90°，
∴∠1＝30°，∠2＝90°，
∴∠ABC＝∠1+∠2＝120°．
故答案为：120．
48．已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．
（1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数；
（2）如图 2，若点 P是CD下方一点，MG 平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝30°，求
∠MGN+∠MPN的度数；
（3）如图 3，若点E是AB上方一点，连接 EM、EN，且GM的延长线 MF平分∠AME，NE平分
∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝105°，求∠AME的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图1，过G作GH∥AB，
∵AB∥CD，
∴GH∥AB∥CD，
∴∠AMG＝∠HGM，∠CNG＝∠HGN，
∵MG⊥NG，
∴∠MGN＝∠MGH+∠NGH＝∠AMG+∠CNG＝90°；（2）如图2，过G作GK∥AB，过点P作PQ∥AB，设∠GND＝ ，
∵GK∥AB，AB∥CD， α
∴GK∥CD，
∴∠KGN＝∠GND＝ ，
∵GK∥AB，∠BMG＝α30°，
∴∠MGK＝∠BMG＝30°，
∵MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，
∴∠GMP＝∠BMG＝30°，
∴∠BMP＝60°，
∵PQ∥AB，
∴∠MPQ＝∠BMP＝60°，
∵ND平分∠GNP，
∴∠DNP＝∠GND＝ ，
∵AB∥CD， α
∴PQ∥CD，
∴∠QPN＝∠DNP＝ ，
∴∠MGN＝30°+ ，∠αMPN＝60°﹣ ，
∴∠MGN+∠MPαN＝30°+ +60°﹣ ＝α90°；
α α
（3）如图3，过G作GK∥AB，过E作ET∥AB，设∠AMF＝x，∠GND＝y，
∵AB，FG交于M，MF平分∠AME，
∴∠FME＝∠FMA＝∠BMG＝x，
∴∠AME＝2x，
∵GK∥AB，
∴∠MGK＝∠BMG＝x，
∵ET∥AB，
∴∠TEM＝∠EMA＝2x，
∵CD∥AB∥KG，
∴GK∥CD，
∴∠KGN＝∠GND＝y，
∴∠MGN＝x+y，∵∠CND＝180°，NE平分∠CNG，
1 1
∴∠CNG＝180°﹣y，∠CNE= ∠CNG＝90°− y，
2 2
∵ET∥AB∥CD，
∴ET∥CD，
1
∴∠TEN＝∠CNE＝90°− y，
2
1
∴∠MEN＝∠TEN﹣∠TEM＝90°− y﹣2x，∠MGN＝x+y，
2
∵2∠MEN+∠G＝105°，
1
∴2（90°− y﹣2x）+x+y＝105°，
2
∴x＝25°，
∴∠AME＝2x＝50°．
49．已知直线AB∥CD．
（1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为 ∠ E ＝∠ END ﹣∠ BME ；
（2）如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系，并证明你的结论；
1 1 ∠F 1
（3）如图3，∠ABM= ∠MBE，∠CDN= ∠NDE，直线MB、ND交于点F，则 = ．
n n ∠E n+1
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图1，∵AB∥CD，
∴∠END＝∠EFB，
∵∠EFB是△MEF的外角，
∴∠E＝∠EFB﹣∠BME＝∠END﹣∠BME，
故答案为：∠E＝∠END﹣∠BME；
（2）如图2，∵AB∥CD，
∴∠CNP＝∠NGB，
∵∠NPM是△GPM的外角，
∴∠NPM＝∠NGB+∠PMA＝∠CNP+∠PMA，
∵MQ平分∠BME，PN平分∠CNE，
∴∠CNE＝2∠CNP，∠FME＝2∠BMQ＝2∠PMA，∵AB∥CD，
∴∠MFE＝∠CNE＝2∠CNP，
∵△EFM中，∠E+∠FME+∠MFE＝180°，
∴∠E+2∠PMA+2∠CNP＝180°，
即∠E+2（∠PMA+∠CNP）＝180°，
∴∠E+2∠NPM＝180°；
（3）如图3，延长AB交DE于G，延长CD交BF于H，
∵AB∥CD，
∴∠CDG＝∠AGE，
∵∠ABE是△BEG的外角，
∴∠E＝∠ABE﹣∠AGE＝∠ABE﹣∠CDE，①
1 1
∵∠ABM= ∠MBE，∠CDN= ∠NDE，
n n
1 1
∴∠ABM= ∠ABE＝∠CHB，∠CDN= ∠CDE＝∠FDH，
1+n n+1
∵∠CHB是△DFH的外角，
1 1 1
∴∠F＝∠CHB﹣∠FDH= ∠ABE− ∠CDE= （∠ABE﹣∠CDE），②
1+n n+1 n+1
1
由①代入②，可得∠F= ∠E，
n+1
∠F 1
即 = ．
∠E n+1
1
故答案为： ．
n+1
50．如图①，直线l ∥l ，直线EF和直线l 、l 分别交于C、D两点，点A、B分别在直线l 、l 上，点P
1 2 1 2 1 2
在直线EF上，连接PA、PB．猜想：如图①，若点P在线段CD上，∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，则∠APB的大小为 5 5 度．
探究：如图①，若点P在线段CD上，直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系．
拓展：如图②，若点P在射线CE上或在射线DF上时，直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量
关系．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：猜想：如图①，过点P作PG∥l ，
1
∵l ∥l ，
1 2
∴l ∥l ∥PG，
1 2
∴∠APG＝∠PAC＝15°，∠BPG＝∠PBD＝40°，
∴∠APB＝∠APG+∠BPG＝∠PAC+∠PBD＝15°+40°＝55°，
∴∠APB的大小为55度，
故答案为：55；
探究：如图①，∠PAC＝∠APB﹣∠PBD，理由如下：
∵l ∥l ∥PG，
1 2
∴∠APG＝∠PAC，∠BPG＝∠PBD，
∴∠APB＝∠APG+∠BPG＝∠PAC+∠PBD，
∴∠PAC＝∠APB﹣∠PBD；
拓展：∠PAC＝∠PBD﹣∠APB或∠PAC＝∠APB+∠PBD，理由如下：
如图，当点P在射线CE上时，过点P作PG∥l ，
1
∴l ∥l ∥PG，
1 2
∴∠APG＝∠PAC，∠BPG＝∠PBD，
∴∠PAC＝∠APG＝∠BPG﹣∠APB，
∴∠PAC＝∠PBD﹣∠APB；
当点P在射线DF上时，
过点P作PG∥l ，
1
∴l ∥l ∥PG，
1 2
∴∠APG＝∠PAC，∠BPG＝∠PBD，
∴∠PAC＝∠APG＝∠APB+∠BPG，
∴∠PAC＝∠APB+∠PBD，
综上所述：当点 P 在射线 CE 上或在射线 DF 上时，∠PAC＝∠PBD﹣∠APB 或∠PAC＝
∠APB+∠PBD．
51．如图，已知AM∥BN，∠A＝80°，点P是射线AM上动点（与A不重合），BC、BD分别平分∠ABP
和∠PBN，交射线AM于C、D．
（1）求∠CBD的度数；
（2）当点P运动时，那么∠APB：∠ADB的度数比值是否随之发生变化？若不变，请求出这个比值；
若变化，请找出变化规律；
（3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，求∠ABC的度数．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵AM∥BN，
∴∠ABN+∠A＝180°，
∴∠ABN＝180°﹣80°＝100°，
∴∠ABP+∠PBN＝100°，
∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，
∴2∠CBP+2∠DBP＝100°，
∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝50°；
（2）不变，∠APB：∠ADB＝2：1．
∵AM∥BN，
∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，
∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN＝2∠DBN，
∴∠APB：∠ADB＝2：1；
（3）∵AM∥BN，
∴∠ACB＝∠CBN，
当∠ACB＝∠ABD时，则有∠CBN＝∠ABD，
∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN，
∴∠ABC＝∠DBN，
由（1）可知∠ABN＝100°，∠CBD＝50°，
∴∠ABC+∠DBN＝50°，
∴∠ABC＝25°．52．如图，直线PQ∥MN，点C是PQ、MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点，
（1）若∠1与∠2都是锐角，如图甲，请直接写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系；
（2）若把一块三角尺（∠A＝30°，∠C＝90°）按如图乙方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线
的交点，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的度数；
（3）将图乙中的三角尺进行适当转动，如图丙，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD
∠GEN
上，连接EG，且有∠CEG＝∠CEM，求 的值．
∠BDF
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∠C＝∠1+∠2．
理由：如图，过C作CD∥PQ，
∵PQ∥MN，
∴PQ∥CD∥MN，
∴∠1＝∠ACD，∠2＝∠BCD，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝∠1+∠2．
（2）∵∠AEN＝∠A＝30°，
∴∠MEC＝30°，
由（1）可得，∠C＝∠MEC+∠PDC＝90°，
∴∠PDC＝90°﹣∠MEC＝60°，
∴∠BDF＝∠PDC＝60°；
（3）设∠CEG＝∠CEM＝x，则∠GEN＝180°﹣2x，
由（1）可得，∠C＝∠CEM+∠CDP，∴∠CDP＝90°﹣∠CEM＝90°﹣x，
∴∠BDF＝90°﹣x，
∠GEN 180°−2x
∴ = = 2．
∠BDF 90°−x
53．综合与探究，问题情境：综合实践课上，王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动．
（1）如图1，EF∥MN，点A，B分别为直线EF，MN上的一点，点 P为平行线间一点且∠PAF＝
130°，∠PBN＝120°，求∠APB度数；
问题迁移
（2）如图2，射线OM与射线ON交于点O，直线m∥n，直线m分别交OM，ON于点A，D，直线n
分别交OM，ON于点B，C，点P在射线OM上运动．
①当点P在A，B（不与A，B重合）两点之间运动时，设∠ADP＝∠ ，∠BCP＝∠ ．则∠CPD，
∠ ，∠ 之间有何数量关系？请说明理由； α β
②α若点βP不在线段AB上运动时（点P与点A，B，O三点都不重合），请你直接写出∠CPD，∠ ，
∠ 间的数量关系． α
【β答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∠PAF+∠PBN+∠APB＝360°，理由如下：
过P作PT∥EF，如图：
∵EF∥MN，
∴PT∥EF∥MN，
∴∠PAF+∠APT＝180°，∠TPB+∠PBN＝180°，
∴∠PAF+∠APT+∠TPB+∠PBN＝360°，
即∠PAF+∠PBN+∠APB＝360°，
∵∠PAF＝130°，∠PBN＝120°，∴∠APB＝360°﹣∠PAF﹣∠PBN＝360°﹣130°﹣120°＝110°；
（2）①∠CPD＝∠ +∠ ，理由如下：
过P作PE∥AD交CDα 于Eβ，如图：
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠ ＝∠DPE，∠ ＝∠CPE，
∴∠αCPD＝∠DPE+∠β CPE＝∠ +∠ ；
②当P在BA延长线时，如图：α β
此时∠CPD＝∠ ﹣∠ ；
当P在BO之间时β，如α图：
此时∠CPD＝∠ ﹣∠ ．
一十九．平行线的判α定与β性质（共4小题）
54．将一副三角板按如图放置，则下列结论：①如果∠2＝30°，则有AC∥DE；②∠BAE+∠CAD＝
180°；③如果BC∥AD，则有∠2＝30°；④如果∠CAD＝150°，必有∠4＝∠C；正确的有（ ）A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
【答案】A
【解答】解：∵∠2＝30°，
∴∠1＝60°，
又∵∠E＝60°，
∴∠1＝∠E，
∴AC∥DE，故①正确；
∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，
即∠BAE+∠CAD＝∠1+∠2+∠2+∠3＝90°+90°＝180°，故②正确；
∵BC∥AD，
∴∠1+∠2+∠3+∠C＝180°，
又∵∠C＝45°，∠1+∠2＝90°，
∴∠3＝45°，
∴∠2＝90°﹣45°＝45°，故③错误；
∵∠D＝30°，∠CAD＝150°，
∴∠CAD+∠D＝180°，
∴AC∥DE，
∴∠4＝∠C，故④正确．
故选：A．
55．如图，AF∥CD，CB平分∠ACD，BD平分∠EBF，且BC⊥BD，下列结论：
①BC平分∠ABE；②AC∥BE；
③∠CBE+∠EDB＝90°；
④∠DEB＝2∠ABC，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解答】解：∵AF∥CD，
∴∠ABC＝∠ECB，∠EDB＝∠DBF，∠DEB＝∠EBA，
∵CB平分∠ACD，BD平分∠EBF，
∴∠ECB＝∠BCA，∠EBD＝∠DBF，
∴∠EDB＝∠DBE，
∵BC⊥BD，
∴∠EDB+∠ECB＝90°，∠DBE+∠EBC＝90°，
∴∠ECB＝∠EBC，
∴∠ECB＝∠EBC＝∠ABC＝∠BCA，
∴BC平分∠ABE，①正确；
∵∠EBC＝∠BCA，
∴AC∥BE，②正确；
∴∠CBE+∠EDB＝90°，③正确；
∵∠DEB＝∠EBA＝2∠ABC，故④正确；
故选：D．
56．如图1，E点在BC上，∠A＝∠D，∠ACB+∠BED＝180°．
（1）求证：AB∥CD；（2）如图2，AB∥CD，BG平分∠ABE，与∠EDF的平分线交于H点，若∠DEB比∠DHB大60°，求
∠DEB的度数．
（3）在（1）的结论下，保持（2）中所求的∠DEB的度数不变，如图3，BM平分∠EBK，DN平分
∠CDE，作BP∥DN，则∠PBM的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由．
【答案】（1）证明过程请看解答；
（2）100°；
（3）40°．
【解答】（1）证明：如图1，延长DE交AB于点F，
∵∠ACB+∠BED＝180°，∠CED+∠BED＝180°，
∴∠ACB＝∠CED，
∴AC∥DF，
∴∠A＝∠DFB，
∵∠A＝∠D，
∴∠DFB＝∠D，
∴AB∥CD；
（2）如图2，作EM∥CD，HN∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥EM∥HN∥CD，
∴∠1+∠EDF＝180°，∠MEB＝∠ABE，
∵BG平分∠ABE，
1
∴∠ABG= ∠ABE，
2
∵AB∥HN，∴∠2＝∠ABG，
∵CF∥HN，
∴∠2+∠ ＝∠3，
1 β
∴ ∠ABE+∠ ＝∠3，
2
β
∵DH平分∠EDF，
1
∴∠3= ∠EDF，
2
1 1
∴ ∠ABE+∠ = ∠EDF，
2 2
β
1
∴∠ = （∠EDF﹣∠ABE），
2
β
∴∠EDF﹣∠ABE＝2∠ ，
设∠DEB＝∠ ， β
∵∠ ＝∠1+∠αMEB＝180°﹣∠EDF+∠ABE＝180°﹣（∠EDF﹣∠ABE）＝180°﹣2∠ ，
∵∠αDEB比∠DHB大60°， β
∴∠ ﹣60°＝∠ ，
∴∠α＝180°﹣2β（∠ ﹣60°）
解得α∠ ＝100° α
∴∠DEαB的度数为100°；
（3）∠PBM的度数不变，理由如下：
如图3，过点E作ES∥CD，设直线DF和直线BP相交于点G，
∵BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，
1
∴∠EBM＝∠MBK= ∠EBK，
2
1
∠CDN＝∠EDN= ∠CDE，
2
∵ES∥CD，AB∥CD，
∴ES∥AB∥CD，∴∠DES＝∠CDE，
∠BES＝∠ABE＝180°﹣∠EBK，
∠G＝∠PBK，
由（2）可知：∠DEB＝100°，
∴∠CDE+180°﹣∠EBK＝100°，
∴∠EBK﹣∠CDE＝80°，
∵BP∥DN，
∴∠CDN＝∠G，
1
∴∠PBK＝∠G＝∠CDN= ∠CDE，
2
∴∠PBM＝∠MBK﹣∠PBK
1 1
= ∠EBK− ∠CDE
2 2
1
= （∠EBK﹣∠CDE）
2
1
= ×80°
2
＝40°．
57．如图①，已知AD∥BC，∠B＝∠D＝120°．
（1）请问：AB与CD平行吗？为什么？
（2）若点E、F在线段CD上，且满足AC平分∠BAE，AF平分∠DAE，如图②，求∠FAC的度数．
1
（3）若点E在直线CD上，且满足∠EAC= ∠BAC，求∠ACD：∠AED的值（请自己画出正确图形，
2
并解答）．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）平行．
如图①，∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
又∵∠B＝∠D＝120°，
∴∠D+∠A＝180°，
∴AB∥CD；
（2）如图②，∵AD∥BC，∠B＝∠D＝120°，
∴∠DAB＝60°，
∵AC平分∠BAE，AF平分∠DAE，
1 1
∴∠EAC= ∠BAE，∠EAF= ∠DAE，
2 2
1 1
∴∠FAC＝∠EAC+∠EAF= （∠BAE+∠DAE）= ∠DAB＝30°；
2 2
（3）①如图3，当点E在C点左侧时，
由（1）可得AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC，∠AED＝∠BAE，
1
又∵∠EAC= ∠BAC，
2
∴∠ACD：∠AED＝2：3；
②如图4，当点E在C点右侧时，
由（1）可得AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC，∠AED＝∠BAE，
1
又∵∠EAC= ∠BAC，
2
∴∠ACD：∠AED＝2：1．二十．平移的性质（共1小题）
58．如图：直角△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，则内部五个小直角三角形的周长为 3 0 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由图形可以看出：内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的，
故内部五个小直角三角形的周长为AC+BC+AB＝30．
故答案为：30．
二十一．总体、个体、样本、样本容量（共1小题）
59．要想了解九年级1500名学生的心理健康评估报告，从中抽取了300名学生的心理健康评估报告进行统
计分析，以下说法：①1500名学生是总体；②每名学生的心理健康评估报告是个体；③被抽取的300
名学生是总体的一个样本；④300是样本容量．其中正确的是 ②④ ．
【答案】②④．
【解答】解：①1500名学生的心理健康评估报告是总体，故①不符合题意；
②每名学生的心理健康评估报告是个体，故②符合题意；
③被抽取的300名学生的心理健康评估报告是总体的一个样本，故③不符合题意；
④300是样本容量，故④符合题意；
故答案为：②④．
二十二．扇形统计图（共1小题）
60．某校对学生上学方式进行了一次抽样调查，并根据此次调查结果绘制了一个不完整的扇形统计图，其
中“其他”部分所对应的圆心角是36°，则“步行”部分所占百分比是 40% ．【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵“其他”部分所对应的圆心角是36°，
36
∴“其他”部分所对应的百分比为： ×100%= 10%，
360
∴“步行”部分所占百分比为：100%﹣10%﹣15%﹣35%＝40%，
故答案为：40%．
