8下-人教版数学课本（新版）_初中数学人教版_八年级数学下册_保存转存之后查看(1)_2026春季新版-持续更新中_第二套-知_原文PDF（赠送）

义 义 务 教 育 教 科 书 八年级 下册 务 教 育 教 科 ® 书 义 务 教 育 教 科 书 八年级 下册 YIWU JIAOYU JIAOKESHU SHUXUE 八 年 级 绿色印刷产品 数 下 册 学 定价：11.85元 初初中中数数学学六六三三制制八八下下封封面面..iinndddd 11 22002255//1122//99 1133::3366义 务 教 育 教 科 书 八年级 下册 人民教育出版社 课程教材研究所 编著 ·北 京· 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用顾 问：林 群 田 刚 主 编：王长平 执行主编：李海东 分册主编：张唯一 编写人员（以姓氏笔画为序）： 王红权 刘金英 刘春艳 李 庆 李海东 张艳娇 张唯一 秦德生 责任编辑：张飞玲 责任设计：王俊宏 责任校对： 褚 君 责任印制： 义务教育教科书 数学 八年级 下册 人民教育出版社 课程教材研究所 编著 出 版 （北京市海淀区中关村南大街17号院1号楼 邮编：100081） 网 址 http://www.pep.com.cn 版权所有·侵权必究 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用致同学 亲爱的同学，新的学期开始了．在本学期的数学学习中，我们将要学习哪 些内容？快来了解一下吧． 我们学习过整式和分式这两种代数式，很多实际问题中的数量关系可以用 它们表示．二次根式也是代数式．在 “二次根式”中，你将学习用二次根式表 示数量关系，学习它的概念、性质和运算，提升运算能力． 对于特殊的三角形———直角三角形，我们知道它的角之间的关系，它的边 之间有什么关系呢？请你到 “勾股定理”中去探索．在探索的过程中，你会由 衷地感叹数学的美妙与和谐．与三角形、等腰三角形等内容的学习类似，你还 将在 “四边形”中探索并证明一般四边形，以及平行四边形、矩形、菱形、正 方形等特殊四边形的性质．通过学习这些内容，增强几何直观，提升推理能力． 我们生活在变化的世界中，函数将给你提供描述变化的一种数学工具．在 “函数”中，通过分析实际问题中的变量关系，你将初步形成函数的概念，学 会用式子、图象、表格表示函数，并利用它解决非常广泛的问题．在各种各样 的函数中，一次函数是最基本的．在 “一次函数”中，你将学习它的概念、图 象和性质，并用它解决实际问题，提升抽象能力，增强模型观念． 数据是信息的载体，有效地提取数据中蕴含的信息有助于我们更好地了解 周围的世界．在 “数据的分析”中，你将学习用数值描述数据特征的方法分析 数据，进一步体会用样本估计总体的思想，从而对数据的作用有更深刻的认 识，增强数据观念． 此外，在综合与实践中， “音乐与数学”将带你了解音乐中的数学知识， 认识音乐与数学的关系；“学生体质健康调查与分析”将请你调查并分析体质 健康检测的数据，体会数学的应用价值． 数学伴着我们成长，数学伴着我们进步，数学伴着我们成功．让我们扬帆 起航，开启一段新的数学之旅吧！ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用目 录 第十九章 二次根式 １ １９．１ 二次根式及其性质 ２ １９．２ 二次根式的乘法与除法 ６ １９．３ 二次根式的加法与减法 １３ 阅读与思考 海伦秦九韶公式 １７ 数学活动 １８ 小结 １９ 第二十章 勾股定理 ２２ ２０．１ 勾股定理及其应用 ２３ 阅读与思考 勾股定理的证明 ３２ ２０．２ 勾股定理的逆定理及其应用 ３４ 图说数学史 数学瑰宝———勾股定理 ３９ 数学活动 ４１ 小结 ４２ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用第二十一章 四边形 ４５ ２１．１ 四边形及多边形 ４６ 探究与发现 用多边形镶嵌平面 ５４ ２１．２ 平行四边形 ５５ ２１．３ 特殊的平行四边形 ６８ 探究与发现 利用菱形的性质和判定尺规作图 ８２ 数学活动 ８３ 小结 ８５ 第二十二章 函数 ８９ ２２．１ 函数的概念 ９０ 图说数学史 函数概念的探索之路 ９８ ２２．２ 函数的表示 １００ 数学活动 １１０ 小结 １１１ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用第二十三章 一次函数 １１３ ２３．１ 一次函数的概念 １１４ ２３．２ 一次函数的图象和性质 １１７ 信息技术应用 探究函数的图象和性质 １２５ ２３．３ 一次函数与方程 （组）、不等式 １２７ ２３．４ 实际问题与一次函数 １３１ 数学活动 １３８ 小结 １３９ 综合与实践 音乐与数学 １４３ 第二十四章 数据的分析 １４８ ２４．１ 数据的集中趋势 １４９ 信息技术应用 利用统计软件求统计量 １６６ ２４．２ 数据的离散程度 １６８ ２４．３ 数据的四分位数 １７６ ２４．４ 数据的分组 １８２ 阅读与思考 大数据及其应用 １８６ 数学活动 １８８ 小结 １８９ 综合与实践 学生体质健康调查与分析 １９３ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用第十九章 二次根式 广播电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波就传播得越远，从而能收听、收看 到广播电视节目的区域就越广．那么，广播电视塔高犺（单位：ｋｍ）增加到一定 的倍数，广播电视节目信号的传播半径狉（单位：ｋｍ）是否也会增加到相应的倍 数呢？ 实际上，广播电视塔高犺与广播电视节目信号的传播半径狉之间存在近似关 系狉＝槡２犚犺，其中犚是地球半径，犚≈６４００ｋｍ．如果两个广播电视塔的高分 槡２犚犺 别是犺ｋｍ，犺ｋｍ，那么它们的传播半径之比是 １．与以往学过的整式和 １ ２ 槡２犚犺 ２ 分式不同，这个式子中含有根号，如何化简这个式子呢？ 解决上面的问题需要二次根式的有关知识．本章我们将在已学的算术平方 根的基础上，类比整式、分式，学习二次根式的概念、性质和运算法则．本章 的学习将为后面的勾股定理、一元二次方程等内容的学习打下基础． 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用 书书书１９．１ 二次根式及其性质 整式和分式都可以表示一些问题中的数量和数量关系． 在学习了算术平方根的概念后，我们还可以用含有根号的式 子表示数量和数量关系．例如，本章引言中广播电视节目信 号的传播半径狉可以表示为槡２犚犺． 再来看一些例子． 5 用含有根号的式子填空，看一看写出的结果有什么共同特征： （１）一个长方形的围栏，长是宽的２倍，面积为１３０ｍ２ ，则它的宽为 ｍ． （２）一个大正方形的面积是一个边长为犪的正方形与另一个边长为１ 的正方形的面积之和，则大正方形的边长为 ． （３）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间狋（单位：ｓ）与 开始落下时离地面的高度犺（单位：ｍ）的关系近似为犺＝５狋２．如果用含 有犺的式子表示狋，那么狋为 ． 槡犺 上面问题的结果分别是槡６５，槡犪２＋１， ， ５ 它们表示一些正数的算术平方根．一般地，我们把 在二次根式槡犪中， 为什么犪不能是负数？ 形如槡犪（犪≥０）的式子叫作二次根式 （ｑｕａｄｒａｔｉｃ ｒａｄｉｃａｌ）．二次根式是代数式． 例１ 当狓满足什么条件时，槡狓－２在实数范围内有意义？ 解：由狓－２≥０，得 狓≥２． 当狓≥２时，槡狓－２在实数范围内有意义． ２ 第十九章 二次根式 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用5 当狓满足什么条件时，槡狓２ 在实数范围内有意义？槡狓３ 呢？  １．要画一个面积为１８ｃｍ２ 的长方形，使它的长与宽之比为３∶２，它的 长、宽各应取多少？ ２．当犪满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？ （１）槡犪－１； （２）槡５－犪； （３）槡２犪２＋１． 槡犪－１ ３．当犪＝５时， 的值是 ． ２ 下面研究二次根式的性质． 我们知道，当犪＞０时，槡犪表示犪的算术平方根，因此槡犪＞０；当犪＝０ 时，槡犪表示０的算术平方根，因此槡犪＝０．这就是说， 槡犪≥０（犪≥０）． / 根据算术平方根的意义填空： （ ） １ ２ （ 槡３ ） ２＝ ；（ 槡０．５ ） ２＝ ； 槡 ＝ ；（ 槡０ ） ２＝ ． ３ 槡３是３的算术平方根，根据算术平方根的意义，槡３是一个平方等于３的非 负数．因此，（ 槡３ ） ２＝３． 同理，槡０．５， 槡１ ，槡０分别是０．５， １ ，０的算术平方根．因此，（ 槡０．５ ） ２＝ ３ ３ （ ） ０．５， 槡１ ２ ＝ １ ，（ 槡０ ） ２＝０． ３ ３ 一般地， （ 槡犪 ） ２＝犪（犪≥０）． 第十九章 二次根式 ３ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用例２ 计算： （１）（ 槡１．５ ） ２； （２）（ ２槡５ ） ２． 例２（２）中２槡５表 解：（１）（ 槡１．５ ） ２＝１．５； 示２×槡５，本题用到了 （犪犫）２＝犪２犫２ 这个性质． （２）（ ２槡５ ） ２＝２２×（ 槡５ ） ２＝４×５＝２０． / 填空： （ ） 槡 ２ ２ 槡２２＝ ；槡０．１２＝ ； ＝ ；槡０２＝ ． ３ 根据算术平方根的意义，可以得到 （ ） 槡２ ２ ２ 槡２２＝２；槡０．１２＝０．１； ＝ ；槡０２＝０． ３ ３ 一般地， 槡犪２＝犪（犪≥０）． 5 当犪为任意实数时，槡犪２ 都有意义．如果上式中的犪为负实数，那么 上式还成立吗？为什么？ 例３ 化简： （１）槡１６； （２）槡（ －５ ） ２． 解：（１）槡１６＝槡４２＝４； （２）槡（ －５ ） ２＝槡５２＝５．  １．计算： （１）（ 槡３ ） ２； （２） （ ３槡２ ） ２． ２．化简： （ ） （１）槡０．３２ ； （２） 槡 － １ ２ ； （３）－槡（ －π ） ２； （４）槡１０－２． ７ ４ 第十九章 二次根式 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用  １．当犪满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？ （１）槡犪＋２； （２）槡３－犪； （３）槡５犪２ ； （４）槡２犪＋１． ２．计算： （ ） 槡３ ２ （１）（ 槡５ ） ２； （２）（ －槡０．２ ） ２； （３） ； （４）（ ５槡５ ） ２； ５ （ ） （ ） （ ） 槡２ ２ 槡（ ） 槡 ２ ２ 槡 ２ ２ （５） －７ ； （６） －１０２； （７） － ； （８）－ － ． ７ ３ ５ ３．用代数式表示： （１）面积为犛的圆的半径； （２）面积为犛且两条邻边的比为１∶２的长方形的两邻边长． ４．利用犪＝ （ 槡犪 ） ２ （犪≥０），把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式： １ （１）５； （２）２．５； （３） ； （４）０． ２  ５．已知一个大圆的面积是两个小圆的面积之和．如果大圆的半径为狉，两个小圆 的半径分别为２和３，求狉的值． ６．△犃犅犆的面积为１２，犃犅边上的高是犃犅边长的４倍．求犃犅的长． ７．当狓满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？ （１）槡狓２＋１； （２） 槡（ 狓－１ ） ２； （３） 槡１ ； （４） １ ． 狓 槡狓＋１ ８．小球从离地面为犺（单位：ｍ）的高处自由下落，落到地面所用的时间为狋（单 位：ｓ）．经过实验，发现犺与狋２ 成正比例关系，而且当犺＝２０时，狋＝２．试用含 犺的代数式表示狋，并分别求当犺＝１０和犺＝２５时，小球落地所用的时间．   ９． （１）已知槡１８－狀是整数，求自然数狀所有可能的值； （２）已知槡２４狀是整数，求正整数狀的最小值． １０．一个圆柱的高为１０，体积为犞．求它的底面半径狉（用含犞的代数式表示）， 并分别求当犞＝１０π和２０π时，底面半径狉的大小． 第十九章 二次根式 ５ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用１９．２ 二次根式的乘法与除法 类比整式、分式，我们学习了二次根式的概念，接下来 也要学习二次根式的运算．根据算术平方根的意义，当犪取 某个非负实数时，槡犪也是一个实数，我们从这类实数的运算 出发学习二次根式的运算． 先来研究二次根式的乘法． / 计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？ （１）槡４×槡９＝ ，槡４×９＝ ； （２）槡１６×槡２５＝ ，槡１６×２５＝ ； （３）槡３６×槡４９＝ ，槡３６×４９＝ ． 一般地，二次根式的乘法法则是 槡犪·槡犫＝槡犪犫（犪≥０，犫≥０）． 例１ 计算： 槡１ 槡２ 槡５ （１）槡３×槡５； （２） ×槡２７； （３） × ． ３ ５ ８ 解：（１）槡３×槡５＝槡３×５＝槡１５； 槡１ 槡１ （２） ×槡２７＝ ×２７＝槡９＝３； ３ ３ 槡２ 槡５ 槡２ ５ 槡１ １ （３） × ＝ × ＝ ＝ ． ５ ８ ５ ８ ４ ２ 把槡犪·槡犫＝槡犪犫（犪≥０，犫≥０）反过来，就得到 槡犪犫＝槡犪·槡犫（犪≥０，犫≥０）， 利用它可以进行二次根式的化简． ６ 第十九章 二次根式 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用例２ 化简： （１）槡１６×８１； （２）槡４犪２犫３ ?． 解：（１）槡１６×８１＝槡１６×槡８１＝４×９＝３６； 被开方数４犪２犫３ 含 有偶数次因数４ （４＝ （２）槡４犪２犫３＝槡４·槡犪２ ·槡犫３ ２２）和因式犪２，犫２，它 ＝２·犪·槡犫２ ·犫 们是开得尽平方的因数 ＝２犪槡犫２ ·槡犫 和因式，被开方后可以 移到根号外． ＝２犪犫槡犫． 例３ 计算： 槡１ （１）槡１４×槡７； （２）３槡５×２槡１０； （３）槡３狓· 狓狔． ３ 解：（１）槡１４×槡７＝槡１４×７＝槡７２×２＝槡７２×槡２＝７槡２； （２）３槡５×２槡１０＝３×２×槡５×１０＝６槡５２×２ ＝６槡５２×槡２＝６×５槡２ ＝３０槡２； 槡１ 槡 １ （３）槡３狓· 狓狔＝ ３狓· 狓狔＝槡狓２狔 ３ ３ ＝槡狓２ ·槡狔 ＝狓槡狔．  １．计算： 槡１ 槡１ （１）槡２×槡５； （２）槡３×槡１２； （３）２槡６× ； （４）槡２８８× ． ２ ７２ ２．化简： （１）槡４９×８１； （２）槡４狔； （３）槡１６犪犫２犮３． ３．一个长方形的长和宽分别是槡１０和２槡２，求这个长方形的面积． 在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示正数；根号下含有字母的二次根 ? 式的运算都是选学内容． 第十九章 二次根式 ７ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用再来研究二次根式的除法． / 计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？ 槡４ 槡 ４ 槡１６ 槡 １６ （１） ＝ ， ＝ ； （２） ＝ ， ＝ ； ９ ２５ 槡９ 槡２５ 槡３６ 槡 ３６ （３） ＝ ， ＝ ． ４９ 槡４９ 一般地，二次根式的除法法则是 槡犪 槡犪 ＝ （犪≥０，犫＞０）． 槡犫 犫 例４ 计算： 槡２４ 槡３ 槡１ （１） ； （２） ÷ ． 槡３ ２ １８ 槡２４ 槡２４ 解：（１） ＝ ＝槡８＝槡４×２＝２槡２； 槡３ ３ 槡３ 槡１ 槡３ １ 槡３ （２） ÷ ＝ ÷ ＝ ×１８＝槡３×９＝３槡３． ２ １８ ２ １８ ２ 槡犪 槡犪 把 ＝ （犪≥０，犫＞０）反过来，就得到 槡犫 犫 槡犪 槡犪 ＝ （犪≥０，犫＞０）， 犫 槡犫 利用它可以进行二次根式的化简． 例５ 化简： 槡３ 槡 狔３ （１） ； （２） ． １００ 狓２ 槡３ 槡３ 槡３ 槡 狔３ 槡狔３ 槡狔２ ·槡狔 狔槡狔 解：（１） ＝ ＝ ； （２） ＝ ＝ ＝ ． １００ 槡１００ １０ 狓２ 槡狓２ 狓 狓 ８ 第十九章 二次根式 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用例６ 设长方形的面积为犛，相邻两边长分别 为犪，犫．已知犛＝槡１０，犫＝槡３，求犪． 二次根式化简的结 果中被开方数不含分母． 解：因为犛＝犪犫，所以 犛 槡１０ 槡１０ 槡１０×３ 槡 ３０ 槡３０ 槡３０ 犪＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ． 犫 槡３ ３ ３×３ ３２ 槡３２ ３  １．计算： 槡７２ ４槡１５ 槡犫 槡 犫 （１）槡１８÷槡２； （２） ； （３） ； （４） ÷ ． 槡６ 槡２０ ５ ２０犪２ ２．化简： 槡７ 槡６４ 槡 １６犫 （１） ； （２） ； （３） ． ３６ ９ ２５犪２ ３．计算： 槡５ （１） ； （２）槡２犪÷槡６犪． 槡２ 槡３ 狔槡狔 槡３０ 例４、例５、例６中各小题的最后结果是２槡２，３槡３， ， ， ，观 １０ 狓 ３ 察这些式子中的二次根式，可以发现它们有如下两个特点： （１）被开方数不含分母； （２）被开方数中不含能开得尽平方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式． 在二次根式的运算中，一般要把最后结果化简，使其中的二次根式为最简 二次根式，并且分母中不含二次根式． 例７ 计算： 槡３ ３槡２ 槡８ （１） ； （２） ； （３） ． 槡５ 槡２７ 槡２犪 槡３ 槡３ 槡３×５ 槡 １５ 槡１５ 槡１５ 解：（１）解法１： ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ． 槡５ ５ ５×５ ５２ 槡５２ ５ 第十九章 二次根式 ９ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用槡３ 槡３×槡５ 槡１５ 槡１５ 解法２： ＝ ＝ ＝ ． 槡５ 槡５×槡５ （ 槡５ ） ２ ５ 槡３ 在解法２中， ＝ ３槡２ ３槡２ ３槡２ 槡２ 槡５ （２） ＝ ＝ ＝ 槡２７ 槡３２×３ 槡３２×槡３ 槡３ 槡３×槡５ ，这样变形是为 槡５×槡５ 槡２×槡３ ＝ 了使分母中不含二次 槡３×槡３ 根式． 槡６ ＝ ． ３ 槡８ 槡８·槡２犪 ４槡犪 ２槡犪 （３） ＝ ＝ ＝ ． 槡２犪 槡２犪·槡２犪 ２犪 犪 现在来看本章引言中的问题． 如果两个广播电视塔的高分别是犺ｋｍ，犺ｋｍ，那么它们的传播半径之 １ ２ 槡２犚犺 比是 １．这个式子还可以化简： 槡２犚犺 ２ 槡２犚犺 槡２犚·槡犺 槡犺 槡犺·槡犺 槡犺犺 １＝ １＝ １＝ １ ２＝ １ ２． 槡２犚犺 槡２犚·槡犺 槡犺 槡犺·槡犺 犺 ２ ２ ２ ２ ２ ２ 可以看出，这个比与地球半径无关．这样，只要知道犺，犺，就可以求出比值． １ ２ 由此你能回答本章引言中开始提出的问题吗？  １．化简，使结果中的二次根式为最简二次根式： （１）槡３２； （２）槡４０； （３）槡２４×７５； 槡４ 槡 １６犫２犮 （４）槡１．５； （５） ； （６） ． ３ 犪２ ２．计算： １ ２槡３ ５狀 ２狓狔 （１） ； （２） ； （３） ； （４） ． 槡２ 槡１０ ３槡狀 槡２狓 ３．一个长方体的体积犞＝４槡３，高犺＝３槡２，求它的底面积犛． １０ 第十九章 二次根式 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用  １．计算： （１）槡２４×槡２７； （２）槡６× （ －槡１５ ）； 槡３ （３）槡１８×槡２０×槡７５； （４）槡４２× ． ７ ２．计算： 槡１５ 槡１ 槡２ 槡４狓２狔 （１）槡１８÷槡８； （２） ； （３） ÷ ； （４） ． 槡５ ２ ５ 槡９狓狔 ３．化简： 槡２５ 槡犪２犫 （１）槡４×４９； （２）槡３００； （３） ； （４） ． ３６ ４犮２ ４．计算： 槡１２ ３ 槡２ －槡４５狔２ （１） ； （２） ； （３） ； （４） ． ２ 槡６ ３槡４０ ３槡５狔 －犫＋槡犫２－４犪犮 ５．根据下列条件求代数式 的值： ２犪 （１）犪＝１，犫＝１０，犮＝－１５； （２）犪＝２，犫＝－８，犮＝５．  ６．设正方形的面积为犛，边长为犪． （１）已知犛＝７５，求犪； （２）已知犛＝１６２，求犪． ７．计算： 槡２ 槡２７ （１）槡０．４×槡３．６； （２） × ； ３ ８ 槡８ （３）槡２７×槡５０÷槡６； （４） ×槡５． ３槡４０ 槡１ ８．已知槡２≈１．４１４，求 与槡８的近似值 （结果保留小数点后两位）． ２ ９．设长方形的面积为犛，相邻两边长分别为犪，犫．已知犛＝４槡３，犪＝槡１５，求犫． １０．一个三角形的面积犛＝２槡６，底边犪上的高犺＝槡２，求它的底边犪的长． 第十九章 二次根式 １１ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用槡 狋 １１．声音在空气中传播的速度狏（单位：ｍ／ｓ）可以根据公式狏＝３３１ １＋ 计 ２７３ 算，其中狋（单位：℃）表示空气温度．当狋为２７℃时，求声音的传播速度 （结果取整数）．   １２．如图，从一个大正方形纸片中裁去面积分别为１５ｃｍ２ 和 ２４ｃｍ２ 的两个小正方形，求剩下部分的面积． 15cm2 １３．用计算器计算： （１）槡９×９＋１９； 24 cm2 （２）槡９９×９９＋１９９； （第１２题） （３）槡９９９×９９９＋１９９９； （４）槡９９９９×９９９９＋１９９９９． 观察上面几题的结果，你能发现什么规律？用你发现的规律直接写出下题的 结果： 槡９９…９×９９…９＋１９９…９＝ ． 烏烐烑 烏烐烑 烏烐烑 １００个９ １００个９ １００个９ １２ 第十九章 二次根式 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用１９．３ 二次根式的加法与减法 前面我们学习了二次根式的乘法与除法运算，接下来研 究怎样进行二次根式的加法与减法运算． 5 如何计算槡２７＋槡１２？ 槡２７与槡１２的被开方数不同，无法直接相加．如果槡２７与槡１２能化成被开方 数相同的形式，那么就可以类比整式运算中的合并同类项进行运算．因此，先 把槡２７，槡１２分别化简成３槡３，２槡３，然后利用分配律将３槡３和２槡３合并，即 槡２７＋槡１２＝３槡３＋２槡３ （化简） ＝（３＋２）槡３ （利用分配律合并） ＝５槡３． 一般地，二次根式加减时，先将二次根式化简，再将被开方数相同的二次 根式合并． 例１ 计算： 槡１ （１）槡８０－槡４５； （２）槡９犪＋槡２５犪； （３）２槡１２－６ ＋３槡４８． ３ 解：（１）槡８０－槡４５＝４槡５－３槡５＝槡５； （２）槡９犪＋槡２５犪＝３槡犪＋５槡犪＝８槡犪； 比较二次根式的加 槡１ 减与整式的加减，你能 （３）２槡１２－６ ＋３槡４８＝４槡３－２槡３＋１２槡３ ３ 得出什么结论？ ＝１４槡３． 例２ 计算： １ ３ （１）槡１２＋槡２０＋２（槡３－槡５）； （２） （槡３－槡２）－ （槡２－槡２７）． ２ ４ 解：（１）槡１２＋槡２０＋２（槡３－槡５）＝２槡３＋２槡５＋２槡３－２槡５＝４槡３； 第十九章 二次根式 １３ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用１ ３ １ １ ３ ９ （２） （槡３－槡２）－ （槡２－槡２７）＝ 槡３－ 槡２－ 槡２＋ 槡３ ２ ４ ２ ２ ４ ４ １１ ５ ＝ 槡３－ 槡２． ４ ４ 7.5 dm 第十九章 二次根式 md 5 例３ 有一块长为７．５ｄｍ、宽为５ｄｍ的木板，能 否采用如图１９．３１的方式，在这块木板上截出两个面 积分别是８ｄｍ２ 和１８ｄｍ２ 的正方形木板？ 分析：由图１９．３１可以看出，只要木板的宽大于 大正方形木板的边长，木板的长大于两个正方形木板 图１９．３１ 的边长的和，就能截出所要求的两个正方形木板． 解：大正方形木板的边长为槡１８ｄｍ．因为槡１８＜５，所以这块木板够宽． 两个正方形木板的边长的和为（槡８＋槡１８）ｄｍ，而 槡８＋槡１８＝２槡２＋３槡２＝（２＋３）槡２＝５槡２． 由槡２＜１．５可知５槡２＜７．５，即两个正方形木板的边长的和小于这块木板的长， 所以这块木板够长． 因此，可以用这块木板按要求截出两个面积分别是８ｄｍ２ 和１８ｄｍ２ 的正方 形木板．  １．下列计算是否正确？为什么？ （１）槡４＋槡９＝槡４＋９； （２）槡８－槡３＝槡８－３； （３）３槡２－槡２＝２槡２． ２．计算： 槡１ （１）２槡７－６槡７； （２）槡１２＋槡２７－３ ； ３ （ 槡１ ） （３）槡１８＋（槡９８－槡２７）；（４）（槡２４＋槡０．５）－ －槡６ ． ８ ３．如图，两个圆的圆心相同，它们的面积分别是６２．８和 d １４１．３．求圆环的宽度犱（π取３．１４）． （第３题） １４ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用在二次根式的混合运算中，整式的乘法法则和乘法公式仍然适用． 例４ 计算： （１）（槡８＋槡３）×槡６； （２）（４槡２－３槡６）÷２槡２． 解：（１）（槡８＋槡３）×槡６＝槡８×槡６＋槡３×槡６ ＝槡８×６＋槡３×６ ＝４槡３＋３槡２； １ （２）（４槡２－３槡６）÷２槡２＝（４槡２－３槡６）× ２槡２ 例４运用了分 １ １ 配律． ＝４槡２× －３槡６× ２槡２ ２槡２ ３ ＝２－ 槡３． ２ 例５ 计算： （１）（槡２＋３）（槡２－５）； （２）（槡５＋槡３）（槡５－槡３）． 解：（１）（槡２＋３）（槡２－５）＝（槡２） ２－５槡２＋３槡２－１５ ＝２－２槡２－１５ ＝－１３－２槡２； 例５（１）运用了 （２）（槡５＋槡３）（槡５－槡３）＝（槡５） ２－（槡３） ２ 多项式乘多项式的法 ＝５－３ 则， （２）运用了平方 ＝２． 差公式．  １．计算： （１）槡２（槡３＋槡５）； （２）（槡８０＋槡４０）÷槡５； （３）（槡５＋３）（槡５＋２）； （４）（槡６＋槡２）（槡６－槡２）． ２．计算： （１）（４＋槡７）（４－槡７）； （２）（槡犪＋槡犫）（槡犪－槡犫）； （３）（槡３＋２） ２ ； （４）（２槡５－槡２） ２． 第十九章 二次根式 １５ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用  １．计算： 槡９ （１）２槡１２＋槡２７； （２）槡１８－ ； ２ ２ 槡狓 （３） 槡９狓＋６ ； （４）犪２槡８犪＋３犪槡５０犪３． ３ ４ ２．计算： （１）槡１８－槡３２＋槡２； （２）槡７５－槡５４＋槡９６－槡１０８； １ ３ （３）（槡４５＋槡１８）－（槡８－槡１２５）； （４） （槡２＋槡３）－ （槡２＋槡２７）． ２ ４ ３．计算： （１）（槡１２＋５槡８）×槡３； （２）（２槡３＋３槡２）（２槡３－３槡２）； （ ） １ （３）（５槡３＋２槡５） ２ ； （４） 槡４８＋ 槡６ ÷槡２７． ４  槡１ ５槡４ ４．已知槡５≈２．２３６，求５ － ＋槡４５的近似值 （结果保留小数点后两位）． ５ ４ ５ ５．已知狓＝槡３＋１，狔＝槡３－１，求下列各式的值： （１）狓２＋２狓狔＋狔２ ； （２）狓２－狔２． ６．已知边长分别为（槡５＋槡２）ｍ，（槡５－槡２）ｍ 的两个正方形的面积分别为 犛，犛． １ ２ （１）求犛＋犛 的值； １ ２ （２）用一根长为２０ｍ的铁丝，能否围成这两个正方形？   （ ） （ ） １ １ １ ２ １ ２ ７．已知犪＋ ＝槡１０，求犪－ 的值．（提示：利用犪－ 与犪＋ 之间的关系．） 犪 犪 犪 犪 ８．在下列各方程后面的括号内分别给出了一组数，从中找出方程的解： （１）２狓２－６＝０，（槡３，槡６，－槡３，－槡６）； （２）２（狓＋５） ２＝２４，（５＋２槡３，５－２槡３，－５＋２槡３，－５－２槡３）． １６ 第十九章 二次根式 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用  海伦秦九韶公式 １ 利用公式犛＝ 犪犺求三角形的面积，需要先知道一条边及这条边上的高， ２ 再利用公式计算．能否直接通过三角形的边求面积呢？由三角形全等的判定方 法 “边边边”可知，一个三角形只要三边确定，这个三角形的形状和大小就完 全确定了．这意味着，通过三角形的三边是可以确定三角形的面积的．那么， 如何由三角形的三边求三角形的面积呢？ 古希腊的几何学家海伦 （Ｈｅｒｏｎ，约１世纪），在他的著作 《度量论》中， 给出了利用三角形的三边求面积的公式 犛＝槡狆（狆－犪）（狆－犫）（狆－犮）， ① 犪＋犫＋犮 其中狆＝ ．我们把公式①称为海伦公式． ２ 我国南宋时期的数学家秦九韶，在他的著作 《数书九章》中，也曾提出利用三角形的三边求面积 的公式 ［ ］ （ ） 槡１ 犪２＋犫２－犮２ ２ 犛＝ 犪２犫２－ ． ② ４ ２ 我们把公式②称为秦九韶公式． 秦九韶 （约１２０２—约１２６１） 下面我们对公式②进行变形： ［ ］ （ ） （ ） （ ） 槡１ 犪２＋犫２－犮２ ２ 槡１ ２ 犪２＋犫２－犮２ ２ 犪２犫２－ ＝ 犪犫 － ４ ２ ２ ４ （ ）（ ） 槡１ 犪２＋犫２－犮２ １ 犪２＋犫２－犮２ ＝ 犪犫＋ 犪犫－ ２ ４ ２ ４ 槡（犪＋犫） ２－犮２ 犮２－（犪－犫） ２ ＝ · ４ ４ 槡犪＋犫＋犮 犪＋犫－犮 犪＋犮－犫犫＋犮－犪 ＝ · · · ２ ２ ２ ２ ＝槡狆（狆－犪）（狆－犫）（狆－犮）． 这说明海伦公式与秦九韶公式实质上是同一个公式，因此我们也称公式① 为海伦秦九韶公式． 第十九章 二次根式 １７ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用 "3> +/ 书籍和纸张的长与宽都有固定的规格，表１和表２给出了两种常用纸 张的规格 （单位：ｍｍ×ｍｍ）： 表１ 表２ Ａ型 宽×长 Ｂ型 宽×长 Ａ５ １４８×２１０ Ｂ５ １８２×２５７ Ａ４ ２１０×２９７ Ｂ４ ２５７×３６４ Ａ３ ２９７×４２０ Ｂ３ ３６４×５１５ Ａ２ ４２０×５９４ Ｂ２ ５１５×７２８ Ａ１ ５９４×８４１ Ｂ１ ７２８×１０３０ （１）使用计算器求出各规格纸张长与宽的比值，你有什么发现？各 规格纸张的长与宽的比有什么关系？测量教科书与课外读物的长与宽， 看一看它们的长与宽的比是否也有类似确定的关系． （２）如图１，长方形纸片犃犅犆犇的长与宽的比值为槡２． ① 如图２，若犈，犉分别是长边犃犇，犅犆的中点，将纸片犃犅犆犇沿 直线犈犉对折，得到的长方形犃犅犉犈是否仍为 “长与宽的比值为槡２的长 方形”？为什么？ ② 若按图３所示的方式折叠纸片犃犅犆犇，长方形犌犎犐犇是否仍为 “长与宽的比值为槡２的长方形”？为什么？ A D A E D A G D H I B C B F C B C 图１ 图２ 图３ １８ 第十九章 二次根式 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
             槡犪≥０ （犪≥０） （ 槡犪 ） ２＝犪（犪≥０） 槡犪２＝犪（犪≥０） 
  本章我们类比整式、分式，在算术平方根的基础上，学习了二次根 式的概念、性质和运算．当犪取某个非负数时，二次根式槡犪就是这个非 负数的算术平方根．由算术平方根的意义可以得出二次根式的性质，进而 研究二次根式的运算． 在二次根式的运算中，每个二次根式就像一个指数幂一样参与运算， 因此整式的运算法则对于二次根式也适用．二次根式的乘除就是把被开方 数乘除，再开平方；利用二次根式的乘除法法则，还可以化简二次根式． 二次根式的加减与整式的加减类似，只要将二次根式化简后，合并被开 方数相同的二次根式就可以了．二次根式的混合运算，就像整式的混合运 算那样进行，运算中可以用整式的乘除法法则，也可以运用乘法公式．通 过二次根式的学习，我们的运算能力和推理能力得到了进一步提升． 至此，我们已经学习了整式、分式、二次根式等代数式的概念、性 质和运算．代数式中的字母表示数，代数式的运算也就是含有字母的算式 的运算，实际上就是用有理数的运算法则和运算律对这些符号进行运算． 请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧． １．当狓满足什么条件时，槡狓在实数范围内有意义？ ２．什么叫最简二次根式？你能举出一些最简二次根式的例子吗？ 第十九章 二次根式 １９ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用３．请你分别举例说明二次根式的加、减、乘、除运算法则． ４．回顾整式、分式、二次根式等代数式的学习内容和学习方法，你 有什么体会？    １．当狓满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？ １ 槡１ 槡 １ （１）槡３＋狓； （２） ； （３） ； （４） ． 槡２狓－１ ２－３狓 （狓－１） ２ ２．化简： 槡１４ （１）槡５００； （２）槡１２狓； （３） ； ３ 槡２ 槡５犪５ （４） ； （５）槡２狓２狔 ３ ； （６） ． ３犪２ ６ ３．计算： （ ） （ ） 槡１ 槡１ 槡３ （１） 槡２４－ － 槡５４＋ ； （２）２槡１２× ÷５槡２； ２ ８ ４ （３）（２槡３＋槡６）（２槡３－槡６）； （４）（２槡４８－３槡２７）÷槡６； （ ） ３槡５ 槡５ ２ （５）（２槡２＋３槡３） ２ ； （６） － ． ２ ３ ４ ４．正方形的边长为犪，它的面积与一个长为９６、宽为１２的长方形的面积相等． 求犪．  ５．已知狓＝槡５－１，求代数式狓２＋５狓－６的值． ６．已知狓＝２－槡３，求代数式 （７＋４槡３）狓２＋（２＋槡３）狓＋槡３的值． ７．一列按如下顺序排列的数： １，１，２，３，５，８，１３，２１，…， 从第３个数开始，后一个数是其前两个数的和，这列数称为斐波那契数列．斐波 ２０ 第十九章 二次根式 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用（ ） （ ） 槡５熿１＋槡５ 狀 １－槡５ 狀燄 那契数列的第狀个数可以表示为 － ，请你用这个式子 ５燀 ２ ２ 燅 验算斐波那契数列的第１个数和第２个数是否都是１． ８．电流通过导线时会产生热量，电流犐（单位：Ａ）、导线电阻犚（单位：Ω）、通 电时间狋（单位：ｓ）与产生的热量犙（单位：Ｊ）满足犙＝犐２犚狋．已知导线的电阻 为５Ω，１ｓ时间导线产生３０Ｊ的热量，求电流犐的值 （结果保留小数点后两位）．   ９．已知狀是正整数，槡１８９狀是整数，求狀的最小值． １０． （１）把一个圆的面积四等分．你能想出几种分割 D C 方法？ B A （２）如图，以点犗为圆心的三个同心圆把以犗犃为 O 半径的大圆犗的面积四等分．若犗犃＝狉，求这 三个圆的半径犗犅，犗犆，犗犇的长． （第１０（２）题） １１．判断下列各式是否成立： 槡２ 槡２ 槡３ 槡３ 槡４ 槡４ ２ ＝２ ； ３ ＝３ ； ４ ＝４ ． ３ ３ ８ ８ １５ １５ 如果成立，你能看出其中的规律吗？用字母表示这一规律，并给出证明． 第十九章 二次根式 ２１ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用第二十章 勾股定理 直角三角形是一种特殊的三角形，具有广泛的应用价值，人们对其研究也 由来已久．在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫作勾，长的直角边 叫作股，斜边叫作弦．根据我国数学典籍 《周髀算经》记载，在约公元前１１世 纪，人们就知道，如果勾为三、股为四，那么弦为五．后来人们进一步发现并 证明了直角三角形三边之间的数量关系———两条直角边长的平方和等于斜边长 的平方，这就是勾股定理． 本章我们将探索并证明勾股定理及其逆定理，并运用这两个定理解决有关 问题，由此可以加深对直角三角形的认识． 第二十章 勾股定理 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用２０．１ 勾股定理及其应用 直角三角形作为一种特殊的三角形，它的三个角满足其 中一个角是直角、其余两个角互余．对于直角三角形的三条 边，它们之间有什么特殊关系呢？ 在 《周髀算经》的开篇，商高 （约公元前１１世纪）构造了一个勾、股、 弦分别为三、四、五的直角三角形，并指出 “两矩共长二十有五”，意指分别 以勾、股为边的正方形的面积之和，恰好等于以弦为边的正方形的面积． 商高所指的面积关系可以用图形表示．如图２０．１１， 红色直角三角形的三边长分别为３，４，５，分别以这三边为 边向外作正方形，所得正方形的面积分别为９，１６，２５，且 ９＋１６＝２５．从边的角度看，这个直角三角形的三边满足： 两条直角边长的平方和等于斜边长的平方． 图２０．１１ 其他直角三角形的三边是否也满足上述数量关系？ / 如图２０．１２，每个小方格的面积均为１，图中正方形Ａ ，Ｂ，Ｃ 的 １ １ １ 面积之间有什么关系？Ａ ，Ｂ，Ｃ 呢？Ａ ，Ｂ，Ｃ 呢？ ２ ２ ２ ３ ３ ３ 以格点为顶点，在方格纸中任意画一个直角三角形，类似地作出三 个正方形，这三个正方形的面积有什么关系？由此，你能得出关于直角 三角形三边关系的猜想吗？ 以直角三角形斜边 C 3 为边的正方形的面积， C 2 A A 3 等于某个正方形的面积 C 2 1 A 1 减去４个直角三角形的 B 1 B 2 B 3 面积． 图２０．１２ 第二十章 勾股定理 ２３ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用可以发现，以直角三角形两条直角边为边的正方形的面积之和，等于以斜 边为边的正方形的面积．由此我们猜想 （图２０．１３）： 如果直角三角形的两条直角边长分别为犪，犫，斜边长为犮，那么犪２＋犫２＝犮２． B c B a  C A c  b a    C b A 图２０．１３ 图２０．１４ 证明这个猜想的方法有很多，下面介绍我国古 代数学家赵爽 （约３世纪）的证法． 赵爽指出：按弦图， 如图２０．１４，这个图案是赵爽在注解 《周髀算 又可以勾股相乘为朱实 经》时给出的，人们称它为 “赵爽弦图”．赵爽根据 二，倍之为朱实四．以勾 股之差自相乘为中黄实． 此图指出，四个全等的直角三角形 （红色）可以围 加差实，亦成弦实． 成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形 （黄色）． 赵爽利用弦图证明这个猜想的基本思路如下：如图２０．１５（１），把边长分 别为犪，犫的两个正方形连在一起，它的面积是犪２＋犫２．这两个正方形还可以 分割成四个全等的直角三角形 （红色）和一个正方形 （黄色），把图２０．１５（１） 中左、右两个三角形移到图２０．１５（２）中所示的位置，就会形成一个以犮为边 长的正方形 （图２０．１５（３）），它的面积是犮２．因为图２０．１５（１）与图２０．１５（３） 都由四个全等的直角三角形 （红色）和一个正方形 （黄色）组成，所以它们的 面积相等，即犪２＋犫２＝犮２． c c a a b b c b a a （１） （２） （３） 图２０．１５ ２４ 第二十章 勾股定理 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用这样就证明了前面的猜想．它表明了直角三 角形三边之间的关系，我国把它称为勾股定理． 在西方，人们称勾股 赵爽通过对图形的分割、拼接，巧妙地利用 定理为毕达哥拉斯定理． 面积关系证明了勾股定理，这种方法是我国古代 数学家常用的 “出入相补法”．“赵爽弦图”体现 了我国古人的聪明才智和对数学的钻研精神，是 我国古代数学的骄傲．２００２年在北京召开的国际 数学家大会的会标，就是以此图为原型设计的 （图２０．１６）． 图２０．１６ / 根据 “赵爽弦图” （图２０．１４），你能通过计算弦图的面积推导出勾 股定理吗？ 例１ 如图２０．１７，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长． B F 17 6 D 15 C 8 A E （１） （２） 图２０．１７ 解：（１）在Ｒｔ△犃犅犆中，根据勾股定理，犃犅２＝犃犆２＋犅犆２＝８２＋６２＝ １００，所以犃犅＝１０． （２）在Ｒｔ△犇犈犉中，根据勾股定理，犇犈２＋犈犉２＝犇犉２ ，从而犇犈２＝ 犇犉２－犈犉２＝１７２－１５２＝６４，所以犇犈＝８．  １．设直角三角形的两条直角边长分别为犪和犫，斜边长为犮． （１）已知犪＝６，犮＝１０，求犫； （２）已知犪＝５，犫＝１２，求犮； （３）已知犫＝１５，犮＝２５，求犪． 第二十章 勾股定理 ２５ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用２．如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．已知正 方形Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ的边长分别是１２，１６，９，１２，求最大正方形Ｅ的 面积． B y C 5 A 4 B D 3 2 1 E A O 1 2 3 4 5 6 x （第２题） （第３题） ３．如图，在平面直角坐标系中有两点犃（５，０）和犅（０，４）．求这两点间 的距离． 勾股定理有广泛的应用，下面我们用它解决两个问题． 例２ 一个门框的尺寸如图２０．１８所示，一块长３ｍ， D C 宽２．２ｍ的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？ 分析：可以看出，木板横着或竖着都不能从门框内通 m 2 过，只能试试斜着能否通过．门框对角线犃犆的长度是木 板斜着能通过的最大长度．求出犃犆，再与木板的宽比较， A B 1m 就能知道木板能否通过． 图２０．１８ 解：连接犃犆，在Ｒｔ△犃犅犆中，根据勾股定理， 犃犆２＝犃犅２＋犅犆２＝１２＋２２＝５， 犃犆＝槡５≈２．２４． 因为犃犆大于木板的宽２．２ｍ，所以木板能从门框内 通过． A C 例３ 如图２０．１９，一架长为２．５ｍ的梯子斜靠在竖 直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点犃处，底端 位于地面的点犅处，点犅到墙面的距离犅犗为０．７ｍ．如 O B D 果将梯子底端沿犗犅向外移动０．８ｍ，那么梯子顶端也沿 图２０．１９ ２６ 第二十章 勾股定理 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用墙犃犗下滑０．８ｍ吗？ 解：当梯子底端沿犗犅向外移动０．８ｍ时，设梯子的底端由点犅移动到点 犇，顶端由点犃下滑到点犆．可以看出，犃犆＝犗犃－犗犆． 在Ｒｔ△犃犗犅中，根据勾股定理， 犗犃２＝犃犅２－犗犅２＝２．５２－０．７２＝５．７６， 犗犃＝２．４． 在Ｒｔ△犆犗犇中，根据勾股定理， 犗犆２＝犆犇２－犗犇２＝２．５２－（０．７＋０．８） ２＝４， 犗犆＝２． 所以，犃犆＝犗犃－犗犆＝２．４－２＝０．４． 因此，当梯子底端向外移动０．８ｍ时，梯子顶端并不是下滑０．８ｍ，而是 下滑０．４ｍ．  １．如图，犃，犅是池塘边上的两点，犆是与犅犃方向成直角的方向上一 点，测得犅犆＝６０ｍ，犃犆＝２０ｍ．求犃，犅两点间的距离 （结果取 整数）． C A B C A B （第１题） （第２题） ２．如图，用激光测距仪测量一栋楼的高度．位于地面上点犃处的激光测 距仪先将激光射向楼底端的点犅，仪器显示犃犅＝２３．１ｍ；再将激光射 向楼顶端的点犆，仪器显示犃犆＝３１．９ｍ；最后仪器自动显示出楼高 犅犆＝２２ｍ．你能说出其中的数学道理吗？ ３．电视机的屏幕尺寸是指其屏幕对角线的长度，通常以英寸 （１英寸＝ ２．５４ｃｍ）为单位．王芳测得自家电视机的屏幕宽为７１ｃｍ，高为 ４０ｃｍ，这台电视机的屏幕尺寸是多少英寸 （结果取整数）？ 第二十章 勾股定理 ２７ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用5 在八年级上册中，我们曾经通过探究得出结论：斜边和一条直角边分 别相等的两个直角三角形全等．学习了勾股定理后，你能证明这一结 论吗？ 先画出图形，再写出已知、求证如下： 已知：如图２０．１１０，在Ｒｔ△犃犅犆和Ｒｔ△犃′犅′犆′ A A
中，∠犆＝∠犆′＝９０°，犃犅＝犃′犅′，犃犆＝犃′犆′． 求证：△犃犅犆≌△犃′犅′犆′． 证明：在Ｒｔ△犃犅犆和Ｒｔ△犃′犅′犆′中，∠犆＝ ∠犆′＝９０°，根据勾股定理， B C B
C
槡 图２０．１１０ 犅犆＝槡犃犅２－犃犆２ ，犅′犆′＝ 犃′犅′２－犃′犆′２ ． 又 犃犅＝犃′犅′，犃犆＝犃′犆′， ∴ 犅犆＝犅′犆′． ∴ △犃犅犆≌△犃′犅′犆′（ＳＳＳ）． / 我们知道，任何一个实数都可以用数轴上的一个点表示，你能在数 轴上画出表示槡１３的点吗？ 如果能画出长为槡１３的线段，就能在数轴上画出表示槡１３的点．我们知道， 长为槡２的线段是两条直角边的长都为１的直角三角形的斜边．长为槡１３的线段 能是两条直角边的长都为正整数的直角三角形的斜边吗？ 由勾股定理可知，两条直角边的长分别为２，３的直角三角形，其斜边长 为槡１３．由此，可以依照如下方法在数轴上画出表示槡１３的点． 如图２０．１１１，犗为数轴原点，首先在数轴上找 l 出表示３的点犃，则犗犃＝３．然后过点犃作直线犾 B 垂直于犗犃，在犾上取点犅，使犃犅＝２．最后以原点 犗为圆心，犗犅长为半径作弧，弧与数轴正半轴的交 O A C 点犆即为表示槡１３的点． 0 1 2 3 图２０．１１１ ２８ 第二十章 勾股定理 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用类似地，利用勾股定理，可以画出长为槡２，槡３，槡５，…的线段 （图２０．１１２）． 按照相同的方法，还可以在数轴上画出表示槡１，槡２，槡３，槡４，槡５，…的点 （图２０．１１３）． 1 1 1 1 1 14 13 12 11 1 15 1 10 16 1 9 1 17 8 1 1 18 2 1 7 1 1 19 1 3 6 1 1 2 3 4 5 1 4 5 1 1 0 1 2 3 图２０．１１２ 图２０．１１３  １．在数轴上画出表示槡１７的点． ２．如图，等边三角形犃犅犆的边长为６，求： （１）高犃犇； （２）等边三角形犃犅犆的面积． A A S 2 S 1 B C S D 3 S 4 B D C （第２题） （第３题） ３．如图，犃犇是△犃犅犆的边犅犆上的高．分别以线段犃犅，犃犆，犅犇， 犆犇为边向外作正方形，正方形的面积分别为犛，犛，犛，犛．请写出 １ ２ ３ ４ 关于犛，犛，犛，犛的等式． １ ２ ３ ４ 第二十章 勾股定理 ２９ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用  １．设直角三角形的两条直角边长分别为犪和犫，斜边长为犮． （１）已知犪＝１２，犫＝５，求犮； （２）已知犪＝３，犮＝４，求犫； （３）已知犮＝１０，犫＝９，求犪． ２．如图，一根直立于地面的木杆在离地面３ｍ处折断，木杆顶端落在离木杆底 端４ｍ处．木杆折断之前有多高？ A O B （第２题） （第３题） ３．如图，一个圆锥的高犃犗＝２．４，底面半径犗犅＝０．７．犃犅的长是多少？ ４．一个含两小圆孔的长方形零件尺寸 （单位：ｍｍ）如图所示，求两孔中心的距 离 （结果保留小数点后一位）． 21 A B 0 C 4 1 2 l 60 B A （第４题） （第５题） ５．如图，要从电线杆离地面５ｍ处向地面拉一条长为７ｍ的钢缆．求地面上钢 缆的固定点犃到电线杆底部点犅的距离 （结果保留小数点后一位）． ６．在数轴上画出表示槡２０的点．  ７．在Ｒｔ△犃犅犆中，∠犆＝９０°，犃犅＝犮． （１）如果∠犃＝３０°，求犅犆，犃犆； （２）如果∠犃＝４５°，求犅犆，犃犆． ３０ 第二十章 勾股定理 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用８．在Ｒｔ△犃犅犆中，∠犆＝９０°，犃犆＝２．１，犅犆＝２．８．求： （１）△犃犅犆的面积； （２）斜边犃犅； （３）高犆犇． ９．如图，一处台阶的高犺＝１５ｃｍ，为了行走方 便，准备在台阶处修建一个水泥坡道．如果 h l 犺 １ d 所修坡道的坡度 为 ，那么所修坡道的长 犱 １２ （第９题） 度犾为多少 （结果保留小数点后两位）？ １０．如图，有一个水池，水面是一个边长为１０尺的正方形，在水池正中央有一 根芦苇，它高出水面１尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端 恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？ 此题源自 《九章算术》，原文是：今有池 方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸， 适与岸齐．问水深、葭长各几何．（丈、尺是 长度单位，１丈＝１０尺．） （第１０题） １１．如图，一张三角形纸片犃犅犆，∠犆＝９０°，犃犆＝８ｃｍ，犅犆＝６ｃｍ．将纸片沿 直线犇犈折叠，使点犃与犅重合，求犆犇的长． A D A 13 26 F h 2 h 0 1 C 1 2 2 0 D E 2 26 C B E B *  （第１１题） （第１２题） １２．甲、乙两个三角形工件的尺寸 （单位：ｍｍ）如图所示，分别求它们的高 犺，犺． １ ２   １３．如图，分别以等腰直角三角形犃犅犆的边犃犅，犃犆，犅犆为直径画半圆．求证： 第二十章 勾股定理 ３１ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用所得两个月牙形图案犃犌犆犈和犅犎犆犉的面积之和 （图中阴影部分）等于 Ｒｔ△犃犅犆的面积． E C F A E G H D A B C B （第１３题） （第１４题） １４．如图，△犃犆犅和△犈犆犇都是等腰直角三角形，犆犃＝犆犅，犆犈＝犆犇， △犃犆犅的顶点犃在△犈犆犇的斜边犇犈上．求证：犃犈２＋犃犇２＝２犃犆２． （提 示：连接犅犇．）   勾股定理的证明 三千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣．不仅因为这个定理重要、 基本，还因为其贴近人们的实际生活，以至古往今来，一直有大量的数学工作 者与爱好者在研究勾股定理的证明方法，证明的方法越来越多．下面介绍几种 证明勾股定理的方法，你能根据这些图形及提示证明勾股定理吗？ １．利用弦图的另一种证法 （图１） 提示：以斜边为边的正方形的面积＋４个三角形的面积＝外正方形的面积． B b a a b a c a a b c c a C A b b b a c c b b a b a （１） （２） 图１ 图２ ２．传说中毕达哥拉斯的证法 （图２） 提示：（１）中拼成的正方形与 （２）中拼成的正方形面积相等． ３２ 第二十章 勾股定理 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用３． “折矩积矩”法 （图３） 注：依据 《周髀算经》中的商高之语，得此证法． 5 4 3 故折矩，以为勾广三， 既方之 外半其一矩 股修四，径隅五 环而共盘 第一次割补 第二次割补 图３ ４． 《原本》中的证法 （图４） 提示：正方形犇犌犎犐的面积等于△犆犇犐的面积的２倍，长方形犃犓犑犇的 面积等于△犃犇犌的面积的２倍，又△犆犇犐≌△犃犇犌，从而得正方形犇犌犎犐的 面积等于长方形犃犓犑犇的面积．同理，正方形犆犈犉犌的面积等于长方形犅犆犑犓 的面积． F E H G G E F I A D I M D J C H K L J A K B B C 图４ 图５ ５．梅文鼎的证法 （图５） 提示：正方形犃犌犈犉的面积＋正方形犎犑犇犌的面积＝正方形犃犅犆犇的面积． 关于勾股定理，刘徽、达·芬奇等人都给出过巧妙的证法，请查阅资料了 解．你能给出其他证明方法吗？ 第二十章 勾股定理 ３３ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用２０．２ 勾股定理的逆定理及其应用 由勾股定理可以知道，直角三角形的两条直角边长的平 方和等于斜边长的平方．反过来，如果三角形的三条边满足 两条边长的平方和等于第三条边长的平方，那么这个三角形 是不是直角三角形呢？ 图２０．２１给出了确定直角的一种方法：把 一根长绳打上等距离的１３个结，然后以３个结 (13) 间距、４个结间距、５个结间距的长度为边长， (1) (12) 用木桩将长绳钉成一个三角形，其中一个角便是 (2) (11) (10) 直角． (3) (9) 上述方法意味着，如果围成三角形的三边长 (4) (5) (6) (7) (8) 分别为３，４，５，它们满足关系 “３２＋４２＝５２ ”， 图２０．２１ 那么围成的三角形是直角三角形．一般地，满足 两条边长的平方和等于第三条边长的平方的三角 形是不是直角三角形呢？ 画一画，如果三角形的三边长分别为２．５ｃｍ，６ｃｍ，６．５ｃｍ，它们 满足关系 “２．５２＋６２＝６．５２ ”，画出的三角形是直角三角形吗？换成三边长 分别为４ｃｍ，７．５ｃｍ，８．５ｃｍ，再试一试． 由上面的尝试，我们猜想： 如果三角形的三边长犪，犫，犮满足犪２＋犫２＝犮２ ，那么这个三角形是直角三角形． 这个猜想就是勾股定理的逆命题，下面证明这个猜想． 如图２０．２２（１），已知△犃犅犆的三边长分别为犪，犫，犮，满足犪２＋犫２＝犮２． 求证△犃犅犆是直角三角形． 直接证明△犃犅犆是直角三角形比较困难．回顾已经学过的知识，可以作 一个两条直角边长分别为犪，犫的直角三角形，如果能证明△犃犅犆与所作的直 ３４ 第二十章 勾股定理 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用角三角形全等，那么就能证明△犃犅犆是直角三角形． A A
c b b B C B
C
a a （１） （２） 图２０．２２ 如图２０．２２（２），作一个Ｒｔ△犃′犅′犆′，使犅′犆′＝犪，犃′犆′＝犫，∠犆′＝９０°．根 据勾股定理，犃′犅′２＝犅′犆′２＋犃′犆′２＝犪２＋犫２．因为犪２＋犫２＝犮２ ，所以犃′犅′＝犮．在 △犃犅犆和△犃′犅′犆′中，犅犆＝犪＝犅′犆′，犃犆＝犫＝犃′犆′，犃犅＝犮＝犃′犅′，所以 △犃犅犆≌△犃′犅′犆′（ＳＳＳ）．因此∠犆＝∠犆′＝９０°，即△犃犅犆是直角三角形． 这样，我们证明了勾股定理的逆命题是正确的，它也是一个定理．这个定 理叫作勾股定理的逆定理．它是判定直角三角形的一个依据． 例１ 判断由线段犪，犫，犮组成的三角形是不 是直角三角形： 像８，１５，１７这样， 能够成为直角三角形三 （１）犪＝８，犫＝１５，犮＝１７； 条边长的三个正整数， （２）犪＝１４，犫＝１３，犮＝１５． 称为勾股数． 分析：根据勾股定理及其逆定理，判断一个三 角形是不是直角三角形，只要判断两条较小边长的 平方和是否等于最大边长的平方． 解：（１）因为８２＋１５２＝６４＋２２５＝２８９， １７２＝２８９， 所以８２＋１５２＝１７２． 根据勾股定理的逆定理，由线段犪，犫，犮组成 对于例１ （２），如 的三角形是直角三角形． 果这个三角形是直角三 角形，那么根据勾股定 （２）因为１４２＋１３２＝１９６＋１６９＝３６５， 理应有犪２＋犫２＝犮２．事 １５２＝２２５， 实上，上式不成立．因 所以１４２＋１３２≠１５２． 此，这个三角形不是直 根据勾股定理，由线段犪，犫，犮组成的三角形 角三角形． 不是直角三角形． 第二十章 勾股定理 ３５ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用 １．判断由线段犪，犫，犮组成的三角形是不是直角三角形： （１）犪＝４，犫＝５，犮＝６； （２）犪＝２．５，犫＝０．７，犮＝２．４； １ １ １ （３）犪＝ ，犫＝ ，犮＝ ； ５ ４ ３ A （４）犪＝１，犫＝槡２，犮＝槡３． S 1 S 3 ２．如图，以△犃犅犆的三边为直径，分别画三个半圆， 三个半圆的面积分别为犛，犛，犛．若犛＋犛＝犛， B S C １ ２ ３ １ ２ ３ 2 判断△犃犅犆是不是直角三角形，并说明理由． （第２题） 利用勾股定理的逆定理，可以解决一些实际问题． 例２ 如图２０．２３，港口犘位于东西方向的 N 海岸线上．“远航”号、 “海天”号轮船同时离开 港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时 1 R 航行１６ｎｍｉｌｅ，“海天”号每小时航行１２ｎｍｉｌｅ． 2 1 它们离开港口１．５ｈ后分别位于点犙，犚处，且相 P E 距３０ｎｍｉｌｅ．如果 “远航”号沿东北方向航行， 图２０．２３ 那么 “海天”号沿什么方向航行？ 分析：在图２０．２３中可以看到，由于 “远航”号的航向已知，如果能求 出两艘轮船的航向所成的角，就能知道 “海天”号的航向了． 解：根据题意， 犘犙＝１６×１．５＝２４， 犘犚＝１２×１．５＝１８， 犙犚＝３０． 因为２４２＋１８２＝３０２ ，即犘犙２＋犘犚２＝犙犚２ ，所以∠犙犘犚＝９０°． 由 “远航”号沿东北方向航行可知，∠１＝４５°．因此∠２＝４５°，即 “海天” 号沿西北方向航行． ３６ 第二十章 勾股定理 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用可以综合运用勾股定理及其逆定理解决问题． 例３ 如图２０．２４，在四边形犃犅犆犇中， C ５ １３ 犃犅＝５，犅犆＝３，犃犇＝ ，犇犆＝ ．如果犃犆⊥犅犆， D ３ ３ A B 判断犃犆与犃犇是否也垂直，并说明理由． 图２０．２４ 分析：若能求出犃犆的长，就可以根据勾股定理或其逆定理判断△犃犆犇 是不是直角三角形，从而判断犃犆是否垂直于犃犇． 解：因为犃犆⊥犅犆，所以∠犃犆犅＝９０°． 在Ｒｔ△犃犅犆中， 犃犆２＝犃犅２－犅犆２＝５２－３２＝１６． 所以犃犆＝４． 在△犃犆犇中， （５） １６９ （１３） ２ １６９ 犃犆２＋犃犇２＝４２＋ ２＝ ，犆犇２＝ ＝ ， ３ ９ ３ ９ 所以犃犆２＋犃犇２＝犆犇２． 因此△犃犆犇是直角三角形，即犃犆⊥犃犇．  １．Ａ，Ｂ，Ｃ三地的两两距离如图所示，Ａ地在Ｂ地的正东方向，Ｃ地在Ｂ 地的什么方向？ D C 13 5km km A B A 12km B C （第１题） （第３题） ２．高师傅有５根长度 （单位：ｄｍ）分别为犪＝６，犫＝８，犮＝１０，犱＝２４， 犲＝２６的钢条，准备选３根焊接一个直角三角形钢架．请你帮高师傅找 出所有可能的钢条组合． ３．如图，在四边形犃犅犆犇中，犃犅＝３，犅犆＝４，犆犇＝１２，犃犇＝１３， ∠犅＝９０°．求四边形犃犅犆犇的面积． 第二十章 勾股定理 ３７ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用  １．判断由线段犪，犫，犮组成的三角形是不是直角三角形： （１）犪＝９，犫＝４０，犮＝４１； （２）犪＝槡４１，犫＝４，犮＝５； ５ ３ （３）犪＝ ，犫＝１，犮＝ ； （４）犪＝４０，犫＝５０，犮＝６０． ４ ４ ２．已知三条线段的长分别为６，１０，狓，以这三条线段为边，恰好可以构成一个 直角三角形，求狓． ３．刘伟先向东走了８０ｍ，然后换了一个方向走了６０ｍ，再换第三个方向走了 １００ｍ，此时恰好回到原地．刘伟向哪个方向走了６０ｍ？请说明理由．  ４．在△犃犅犆中，犃犅＝１３，犅犆＝１０，犅犆边上的中 A D 线犃犇＝１２．求犃犆的长． ５．如图，在正方形犃犅犆犇中，犈是犅犆的中点，犉 １ F 是犆犇上一点，且犆犉＝ 犆犇．求证∠犃犈犉＝９０°． ４ B E C （第５题）   ６．我们知道３，４，５是一组勾股数，那么３犽，４犽，５犽（犽是正整数）也是一组 勾股数吗？一般地，如果犪，犫，犮是一组勾股数，那么犪犽，犫犽，犮犽（犽是正 整数）也是一组勾股数吗？ ３８ 第二十章 勾股定理 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用  ?? 勾股定理作为数学历史长河中古老的定理之一，堪称人类数学文明中的一枚璀璨瑰宝． 那么，这枚瑰宝从何而来？在众多古代数学文明中都可觅得其踪迹． 《周髀算经》中记载了勾股定理，商高指出了 “勾三股四弦 五”这一勾股定理的特殊形式，陈子测日的方法 “若求邪至日 者，以日下为勾，日高为股．勾股各自乘，并而开方除之，得邪 至日”是对勾股定理一般形式的明确表述． 约公元前１７００ 年的古巴比伦泥版 上，记载了多组由 楔形文字表示的勾 股数． 商高 （约公元前１１世纪） c b a 《原本》第一卷的 a 命题４７即勾股定理： 在古印度的 《测绳的法 在直角三角形中，直角 规》中，记载着勾股定理与 所对边上的正方形面积 几组勾股数，这些知识用于 等于两直角边上的正方 建造施工时确定直角，勾股 形面积之和．命题４８是 定理在其中的表述为：以矩 勾股定理的逆定理，欧 形对角线为边的正方形面积， 几里得对这两个定理都 等于分别以矩形两邻边为边 进行了严格的证明． 的正方形面积之和． 《原本》阿拉伯文译本 第二十章 勾股定理 ３９ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用在各大古代数学文明中熠熠生辉的勾股定理，因其巧妙地将 “数”与 “形”关联在一起， 从而为数学的发展提供了动力． 在我国古代数学发展的历程 古希腊时期，数学家证 中，勾股定理具有很强的应用性． 1 明了边长为１的正方形的对 如用于计算圆周率的割圆术，其理 角线不能表示为两个整数的 论基础就包括勾股定理． 比，证明过程中就用到了勾 1 ? 股定理，这为人类更好地认 识数学，促进数学的发展提  供了机遇．  5 O 勾股定理是中国 第一次使用勾股定理 古代数学发展的一个 出发点．  5  O 第二次使用勾股定理 吴文俊 （１９１９—２０１７） y B(x B y B ) 在平面解析几何中，通过勾股定理得到任意两点犃， 犅之间的距离犱＝槡（狓－狓） ２＋（狔－狔） ２ ，勾股定理 d y -y 犅 犃 犅 犃 B A 成为解析几何发展中必不可少的基础性工具．而在定义 一些更高维度空间中两点间的距离时，也常使用勾股定 x -x B A A(x y ) 理或其变形作为一种重要的刻画距离的方式． A A O x 勾股定理的发现离不开人的思考，更离不开人们对数学真理的追求．勾股定理这一数学瑰 宝，既是存在于客观世界中的数学真理，也是在人类智慧 “浇灌”下，数学领域中绽放出的一 朵思维之花． ４０ 第二十章 勾股定理 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用 "*5)4 利用勾股定理，可以绘制出各种不同的图案．图１中的图案均与勾股 定理有关，不仅体现出勾股定理在图案设计中的应用，还彰显出数学的 “无限”之美．这些图案是如何利用勾股定理绘制的呢？ （１） （２） （３） 图１ 图１ （１）形如一棵树，有人称之为 “勾股树”．绘制这个图案，需要 先画一个如图２所示的图形，再以图形中的两个较小的正方形为基础， 在两个小正方形的上方，分别作出两个形状与图２相同的图形，如图３所 示．如此重复下去，最后填充颜色，就可以得到类似于图１ （１）的 “勾 股树”． 图２ 图３ 像上面这样，按照相同的方法画图，并在新生成的图形上多次重复 这个过程，就形成一幅无限生长的树形图案． 你知道图１ （２）和图１ （３）是如何利用勾股定理绘制的吗？ 请你尝试创作一幅与勾股定理有关的图案，并向同学分享你的作品 及其蕴含的数学秘密． 第二十章 勾股定理 ４１ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
           
  本章我们通过对以直角三角形三边为边长的正方形面积之间的关系 的探究，发现并证明了勾股定理．勾股定理是数学中重要的定理之一，它 反映了直角三角形三边之间的数量关系，在解决与直角三角形相关的问 题或一些其他数学问题时都起着重要作用．在我国古代数学研究中，经常 借助于图形的面积研究相关的数量关系，充分利用了几何直观，体现了 古人的卓越智慧． 得到一个数学结论后，经常要研究其逆命题是否成立．经证明勾股定 理的逆命题成立，它是一个定理．勾股定理揭示了直角三角形的一条性 质，而勾股定理的逆定理提供了直角三角形的一种判定方法． 请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧． １．直角三角形三边的长有什么特殊的关系？ ２．赵爽证明勾股定理运用了什么思想方法？ ３．已知一个三角形的三边长，怎样判断它是不是直角三角形？ ４．勾股定理的逆定理是如何证明的？ ４２ 第二十章 勾股定理 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用   １．如图，点犇在Ｒｔ△犃犅犆的边犃犅上，犃犇＝８，犇犅＝２， C 犆犇＝１７．求犃犆和犅犆的长． ２．两人从同一地点同时出发，一人以２０ｍ／ｍｉｎ的速度向北直 行，另一人以３０ｍ／ｍｉｎ的速度向东直行．１０ｍｉｎ后他们相距 多远 （结果取整数）？ ３．如图，过圆锥的顶点犘和底面圆的圆心犗的平面截圆锥得 A D B （第１题） 截面△犘犃犅，其中犘犃＝犘犅，犃犅是圆锥底面圆犗的直径． 已知犘犃＝７，犃犅＝４，求截面△犘犃犅的面积． P A B O （第３题） 第二十章 勾股定理 h l a （第４题） ４．如图，帐篷的长犾＝２．６ｍ，其横截面是一个底边长犪＝ ２ｍ，高犺＝１．８ｍ的等腰三角形．制作此帐篷 （不包含底 A 面）至少需要用多少平方米布料 （结果保留小数点后一位）？ B ５．如图，每个小正方形的边长都为１． D （１）求四边形犃犅犆犇的面积和周长． C （２）∠犅犆犇是直角吗？请说明理由． （第５题）  ６．如图，在三角形支架中，犃犇⊥犅犆，垂足为犇， A 犃犅＝２ｍ，犃犆＝１．５ｍ，犇犆＝０．９ｍ． （１）求犅犇的长； （２）判断支架外框△犃犅犆的形状，并说明理由． B D C （第６题） ４３ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用７．如图，一根竹子高１丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端３ 尺处．折断处离地面的高度是多少？（此题出自 《九章算术》， 其中的丈、尺是长度单位，１丈＝１０尺．） ８．古希腊哲学家柏拉图曾指出，如果犿表示大于１的整数， 犪＝２犿，犫＝犿２－１，犮＝犿２＋１，那么犪，犫，犮为勾股数．你 认为这种说法正确吗？如果正确，请给出证明，并利用这个 3 （第７题） 结论写出一些勾股数． ９．如图，一个长方形由５个边长为１的正方形组成，请把它分割后拼接成一个大正 方形． （第９题）   １０．一根７０ｃｍ长的木棒，要放在长、宽、高分 30 cm 别是５０ｃｍ，４０ｃｍ，３０ｃｍ的长方体木箱 m N 0 c 3 m 中，能放进去吗？ （提示：长方体的高垂直 c 0 4 于底面的任何一条直线．） １１．公园中一长方体石凳如图所示，若一只蚂蚁 以３ｃｍ／ｓ的速度从点犕爬到点犖，最快需 M 要多长时间 （结果保留小数点后一位）？ （第１１题） １２．△犃犅犆的三边长分别为犪，犫，犮，面积为 ［ ］ （ ） 犛．利用勾股定理证明秦九韶公式犛＝ 槡１ 犪２犫２－ 犪２＋犫２－犮２ ２ ．（提示：设 ４ ２ △犃犅犆的边犃犆上的高为犅犇，利用勾股定理先将犆犇用三边长表示，再将犅犇 用三边长表示．） ４４ 第二十章 勾股定理 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用第二十一章 四边形 现实世界的很多物体中都有四边形的形象，例如，宏伟的建筑、一望无际 的农田、开关自如的伸缩门、别具一格的窗棂…… 在小学，我们知道什么是四边形，还学习过长方形、正方形、平行四边形 和梯形等特殊的四边形的有关知识．本章我们将进一步学习四边形，特别是一 些特殊的四边形———平行四边形、矩形、菱形、正方形．在掌握它们的概念， 理解它们之间关系的基础上，利用已有的几何知识，探索并证明它们的性质和 判定方法；进一步体会研究图形性质的一般思路和方法，即通过观察、实验、 类比、推广、特殊化等途径和方法，对构成图形的边、角等元素的数量关系和 位置关系进行讨论，利用几何直观发现图形的性质，再通过逻辑推理证明 它们． 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用 书书书２１．１ 四边形及多边形 与三角形一样，四边形也是一种基本的几何图形．本节 我们类比三角形，学习四边形的一些概念和性质，并把它们 推广到多边形． ２１１１ 四边形及其内角和 与三角形类似，如图２１．１１，在平面内，由不在同一 A 直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形 D （ｑｕａｄｒｉｌａｔｅｒａｌ），组成四边形的各条线段叫作四边形的边， 每相邻两条线段的公共端点叫作四边形的顶点．四边形用 B C 图２１．１１ 表示它的各个顶点的字母表示，例如，图２１．１１中的四 边形，可以按照顶点的顺序，记作 “四边形犃犅犆犇”． 如图２１．１２（１），画出四边形犃犅犆犇的任何一条边 （例如犆犇）所在直线， 整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫作凸四边形．而图 ２１．１２（２）中的四边形犃犅犆犇就不是凸四边形，因为画出边犆犇 （或犅犆）所在 直线，整个四边形不都在这条直线的同一侧．今后，如无特殊说明，所讨论的 四边形都是凸四边形． A A A B C D B D C D B C （１） （２） 图２１．１２ 图２１．１３ 连接四边形不相邻的两个顶点的线段，叫作四边形的对角线 （ｄｉａｇｏｎａｌ）． 在图２１．１３中，犃犆，犅犇是四边形犃犅犆犇的两条对角线，它们分别将四边形 犃犅犆犇分为两个三角形． ４６ 第二十一章 四边形 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用与三角形类似，四边形相邻两边组成的角叫作 四边形的内角，简称四边形的角；四边形的角的一 请在图 ２１．１１ 中 边与另一边的延长线组成的角叫作四边形的外角． 分别画出四边形犃犅犆犇 下面研究四边形的内角与外角的性质． 顶点犃，犆处的外角． 5 我们知道，三角形的内角和是１８０°，长方形的内角和是３６０°．那么， 任意一个四边形的内角和是多少度？你能证明你的结论吗？ 由于四边形的一条对角线将这个四边形分为两个三角形，所以四边形的有 关问题就可以利用三角形的相关知识加以解决．下面按照上述思路解决这个 问题． 如图２１．１４，在四边形犃犅犆犇中，连接对角线犃犆，则四边形犃犅犆犇被 分为△犃犅犆和△犃犆犇两个三角形．在△犃犅犆中，由三角形内角和定理，得 ∠１＋∠犅＋∠３＝１８０°． D 同理 ∠２＋∠４＋∠犇＝１８０°． 由此可得 4 C 3 ∠犇犃犅＋∠犅＋∠犅犆犇＋∠犇 2 1 A B ＝∠１＋∠２＋∠犅＋∠３＋∠４＋∠犇 图２１．１４ ＝（∠１＋∠犅＋∠３）＋（∠２＋∠４＋∠犇） ＝１８０°＋１８０°＝３６０°． 即四边形的内角和等于３６０°． 例１ 如图２１．１５，在四边形的每个顶点处各取一 A 个外角，这些外角的和叫作四边形的外角和．四边形的 1 4 D 外角和等于多少？ 3 分析：因为四边形的每一个内角与和它相邻的外角是 B C 2 邻补角，所以四边形的外角和与内角和的总和为４×１８０°． 图２１．１５ 根据这个关系，可以利用四边形的内角和求出其外角和． 解：如图２１．１５． ∵ ∠犇犃犅与∠１是邻补角， ∴ ∠犇犃犅＋∠１＝１８０°． 第二十一章 四边形 ４７ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用同理 ∠犃犅犆＋∠２＝１８０°， ∠犅犆犇＋∠３＝１８０°， ∠犆犇犃＋∠４＝１８０°． ∴ ∠犇犃犅＋∠１＋∠犃犅犆＋∠２＋∠犅犆犇＋∠３＋∠犆犇犃＋∠４＝７２０°． 而 ∠犇犃犅＋∠犃犅犆＋∠犅犆犇＋∠犆犇犃＝３６０°， ∴ ∠１＋∠２＋∠３＋∠４＝３６０°． 这样，我们就证明了： 四边形的外角和等于３６０°． 在 “三角形”一章中，我们通过实验发现三角形具有稳定性，并在学习全 等三角形时明白了其中的道理，那么四边形是否也具有稳定性呢？ / 如图２１．１６（１），在每个角上钉一枚钉子，将四根木条钉成一个四边 形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？如图２１．１６（２），在四边形木 架上再钉一根木条，将它的一对不相邻的顶点连接起来，然后再扭动它， 这时木架的形状还会改变吗？为什么？ （１） （２） 图２１．１６ 可以发现，四边形木架的形状会改变．因为四边形的四条边确定后，四个 角并不确定，这说明四边形不具有稳定性．而再钉一根木条后，四边形木架变 成两个三角形木架，由于三角形具有稳定性，这时四边形木架的形状不会 改变． 在日常生活中，有时需要利用四边形的不稳定性，如图２１．１７中的伸缩 门、升降机等；有时又需要克服四边形的不稳定性，如图２１．１８中在窗框安 装好之前，木工师傅常常先在窗框上钉一根木条，以防窗框变形等． ４８ 第二十一章 四边形 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用图２１．１７ 图２１．１８  １．求出下列图形中狓的值： U3xUe U4xUe 80e 120e 140e xe xe U3xUe U2xUe 75e xe （１） （２） （３） （第１题） ２．一个四边形的一组对角互补，它的另一组对角有什么关系？ ３．下列图形中哪些具有稳定性？ （１） （２） （３） （４） （５） （第３题） ２１１２ 多边形及其内角和 多边形在生活中也很常见，观察图２１．１９中的图片，你能从中找出一些 多边形的形象吗？ 图２１．１９ 第二十一章 四边形 ４９ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用与三角形、四边形类似，如图２１．１１０，在平 面内，由狀（狀≥３）条线段犃犃，犃犃，…， 请类比四边形，说 １ ２ ２ ３ 犃 犃，犃犃 首尾顺次相接，组成的图形叫作多 出多边形的边、顶点、内 狀１ 狀 狀 １ 边形 （ｐｏｌｙｇｏｎ）．多边形的边、顶点、内角、外角、 角、外角、对角线的定 义．指出图２１．１１１中六 对角线的概念与四边形相应的概念类似．多边形有 边形的边、顶点、内角和 几条边就叫作几边形．多边形同样用表示它的各个 外角，画出它的全部对 顶点的字母表示，例如，图２１．１１１中的六边形， 角线． 记作 “六边形犃犅犆犇犈犉”． A A 1 A 2 A F n A B 3 A E n-1 A 4 A 5 C D 图２１．１１０ 图２１．１１１ 与四边形类似，在多边形中，有的是凸多边形，有的不是凸多边形．今 后，如无特殊说明，所讨论的多边形都是凸多边形． 我们知道，正方形的各个角都相等，各条边都相等．像正方形这样，各个角 都相等、各条边都相等的多边形叫作正多边形 （ｒｅｇｕｌａｒｐｏｌｙｇｏｎ）．图２１．１１２ 是正多边形的一些例子．    图２１．１１２ / 类比四边形的内角和的推导过程，你能推导出五边形和六边形的内 角和各是多少度吗？由上述推导过程，你能得出多边形的内角和与边数 的关系吗？ 观察图２１．１１３，可以发现： ５０ 第二十一章 四边形 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用从五边形的一个顶点出发，可以作 条对角线，它们将五边形分为 个三角形，五边形的内角和等于 ×１８０°； 从六边形的一个顶点出发，可以作 条对角线，它们将六边形分为 个三角形，六边形的内角和等于 ×１８０°． A 1 A 2 A n A 3 A n-1 A A 4 5 图２１．１１３ 一般地，从狀边形的一个顶点出发，可以作 把一个多边形分成 （狀－３）条对角线，它们将狀边形分为 （狀－２）个 若干个三角形，还有其 三角形，狀边形的内角和等于 （狀－２）×１８０°． 他分法吗？由新的分 这样就得出了多边形的内角和公式： 法，能得出多边形的内 狀边形的内角和等于 （狀－２）×１８０°． 角和公式吗？ / 与四边形的外角和类似，在多边形的每个顶点处各取一个外角，它 们的和叫作多边形的外角和．多边形的外角和等于多少度？请你说明 理由． 与四边形类似，多边形的每一个内角与和它相邻的外角是邻补角，因此 狀边形的内角和与外角和的总和等于狀×１８０°，外角和等于 狀×１８０°－（狀－２）×１８０°＝３６０°． 于是得到： 多边形的外角和等于３６０°． 也可以这样理解为什么多边形的外角和等于３６０°：如 图２１．１１４，从多边形的一个顶点犃出发，沿多边形的各 边依次走过各顶点，再回到点犃，然后转向出发时的方 向．在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和． A 由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多 图２１．１１４ 边形的外角和等于３６０°． 第二十一章 四边形 ５１ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用例２ 一个多边形的内角和等于外角和的２倍，这个多边形是几边形？ 解：设这个多边形的边数为狀．因为它的内角和等于 （狀－２）×１８０°，外角 和等于３６０°，所以 （狀－２）×１８０°＝２×３６０°． 解得 狀＝６． 因此这个多边形是六边形．  １．求出下列图形中狓的值： D E 150eU2xUe xe xe xe 150e C 120e xe xe 135e A AB//CD xe B （１） （２） （３） （第１题） ２． （１）一个多边形的内角和等于１０８０°，这个多边形是几边形？ （２）一个多边形的每一个内角都等于１２０°，这个多边形是几边形？ （３）一个多边形的每一个外角都等于７２°，这个多边形是几边形？   １．四边形的四个角可以都是锐角吗？可以都是钝角吗？可以都是直角吗？为 什么？ ２．填表： 多边形的边数 ３ ４ ５ ６ ８ １２ ２０ 内角和 外角和 ５２ 第二十一章 四边形 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用３．求正五边形和正十边形的每个内角的度数． ４． （１）一个多边形的内角和与外角和相等，求它的边数； （２）一个多边形的内角和是外角和的一半，求它的边数．  ５．如图，在四边形犃犅犆犇中，∠犃＝∠犆，∠犅＝∠犇，犃犅与犇犆有怎样的位 置关系？为什么？犅犆与犃犇呢？ D A n A n-1 1 xe 3 D C E C A 4 A 1 O 2 4 A B A 2 A 3 A B （第５题） （第６题） （第７题） ６．如图，在狀边形内任取一点犗，连接点犗与狀边形的各个顶点，狀边形被分 成多少个三角形？请你利用这种方法推导狀边形的内角和公式． ７．如图，五边形犃犅犆犇犈的内角都相等，且∠１＝∠２，∠３＝∠４，求狓的值．   ８．如图，在四边形犃犅犆犇中，犃犆，犅犇是它的两条对角线． A 比较犃犆＋犅犇与四边形周长的大小． D ９．如图，要使四边形木架 （用４根木条钉成）不变形，至少 要再钉上几根木条？五边形木架和六边形木架呢？ B C （第８题）    （第９题） 第二十一章 四边形 ５３ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用 用多边形镶嵌平面 在生活中，很多地面和墙面都是用正方形的瓷砖 铺成的 （图１）．无论用瓷砖铺地还是贴墙，都要求砖 与砖严丝合缝，把地面或墙面全部覆盖．从数学的角 度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平 面完全覆盖，通常把这类问题叫作平面镶嵌 （或用多 边形镶嵌平面）问题．平面镶嵌在设计建筑中的各种 图案，计算如何利用空间节省成本、优化晶体结构等 图１ 工作中发挥着重要作用． 下面，我们来探究一些多边形能否镶嵌平面，并思考为什么会出现这种 结果． １．分别剪一些边长相同的正三角形、正方形、正五边形、正六边形纸板，如果 用其中一种正多边形镶嵌平面，哪几种正多边形能镶嵌平面？ ２．用两种正多边形也可以镶嵌平面，图２是用正三角形和正方形镶嵌平面 的例子，你能发现用其他两种正多边形镶嵌平面的例子吗？ ３．任意剪出一些形状、大小相同的三角形纸板 （图３（１）），试着拼一拼， 它们能镶嵌平面吗？用一些形状、大小相同的四边形纸板 （图３（２））呢？ （１） （２） 图２ 图３ 通过以上实验，你能发现用多边形镶嵌平面需要满足的条件吗？ 你还可以搜集一些用其他多边形镶嵌平面的图案，或者设计一些地面的平 面镶嵌图，并与同学互相交流． 平面镶嵌问题也是数学研究的一个经典问题，吸引了许多数学家和数学爱 好者的关注．你可以查阅相关资料，了解平面镶嵌问题的研究进展． ５４ 第二十一章 四边形 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用２１．２ 平行四边形 对于三角形，我们学习了一般三角形后，又学习了等腰 三角形和直角三角形．这是在一般图形的基础上研究特殊图 形，我们在研究几何图形时常用这种思路．对于四边形，从 组成它的四条边的位置关系来看，如果它的两组对边分别平 行，这个四边形就是平行四边形；如果它只有一组对边平 行，这个四边形就是梯形 （图２１．２１）．本节我们重点学习 平行四边形，研究它的性质和判定．  =    D  3   3D= 图２１．２１ ２１２１ 平行四边形及其性质 平行四边形是常见的几何图形．学校的伸缩门、庭院的竹篱笆等 （图 ２１．２２），都有平行四边形的形象．你还能举出一些例子吗？ A D B C 图２１．２２ 图２１．２３ 我们知道，两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形 （ｐａｒａｌｌｅｌｏｇｒａｍ）．平 行四边形用 “”表示，如图２１．２３，平行四边形犃犅犆犇记作 “犃犅犆犇”． 下面，我们从平行四边形的边、角、对角线出发，从数量关系和位置关系 的角度研究平行四边形的性质．先来研究平行四边形的边和角． 第二十一章 四边形 ５５ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用/ 根据定义画一个平行四边形并进行观察，除了 “两组对边分别平 行”，它的边之间还有什么关系？它的角之间呢？度量一下，和你的猜想 一致吗？你能证明你的猜想吗？把你的结论和同学比较一下． 通过观察和度量，我们猜想：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角 相等．下面证明这些猜想． 上述猜想涉及线段相等、角相等．而利用三角形全等得出全等三角形的对 应边相等、对应角相等，是证明线段相等、角相等的一种重要方法．为此，可 以通过添加辅助线，构造两个三角形，利用三角形全等进行证明． 证明：如图２１．２４，连接犃犅犆犇的对角线犃犆． A D 1 ∵ 犃犇∥犅犆，犃犅∥犆犇， 4 3 ∴ ∠１＝∠２，∠３＝∠４． 2 B C 又 犃犆是△犃犅犆和△犆犇犃的公共边， 图２１．２４ ∴ △犃犅犆≌△犆犇犃． ∴ 犃犅＝犆犇，犅犆＝犇犃，∠犅＝∠犇． 请你自己证明∠犅犃犇＝∠犇犆犅． 不添加辅助线， 这样，就得到平行四边形的性质： 你能否直接运用平行 四边形的定义，证明 平行四边形的对边相等； 其对角相等呢？ 平行四边形的对角相等． 接下来研究平行四边形的对角线． / 如图２１．２５，在犃犅犆犇中，连接 犃犆，犅犇，并设它们相交于点犗．点犗把 A D 每条对角线都分成两部分，这两部分有什 么关系？ O 利用信息技术工具，改变犃犅犆犇的 B C 图２１．２５ 形状，你发现的结论还成立吗？证明你发 现的结论． ５６ 第二十一章 四边形 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用容易发现，在犃犅犆犇中，犗犃＝犗犆，犗犅＝犗犇． D C 1 3 这个结论也可以通过三角形全等证明 （请你结合图 ２１．２６完成证明）． O 4 2 A B 由此又得到平行四边形的一个性质： 图２１．２６ 平行四边形的对角线互相平分． 例１ 如图２１．２７，犃犅犆犇的对角线犃犆，犅犇相交于点犗，犃犅＝１０， 犃犇＝８，犃犆⊥犅犆．求犅犆，犆犇，犃犆，犗犃的长，以及犃犅犆犇的面积． 解：∵ 四边形犃犅犆犇是平行四边形， A D ∴ 犅犆＝犃犇＝８，犆犇＝犃犅＝１０． O ∵ 犃犆⊥犅犆， B C ∴ △犃犅犆是直角三角形． 图２１．２７ ∴ 犃犆＝ 槡犃犅２－犅犆２＝ 槡１０２－８２＝６． １ ∴ 犗犃＝犗犆＝ 犃犆＝３， ２ 犛 ＝犅犆·犃犆＝８×６＝４８． 犃犅犆犇  １．在犃犅犆犇中， （１）已知犃犅＝５，犅犆＝３，求另外两边的长； （２）已知∠犃＝３８°，求其余各内角的度数． ２．如图，犃犅犆犇的对角线犃犆，犅犇相交于点 A D 犗，犅犆＝１０，犃犆＝８，犅犇＝１４．△犃犗犇的 O 周长是多少？△犃犅犆与△犇犅犆的周长哪个 B C 长？长多少？ （第２题） ３．如图，将两张对边平行的纸条交叉叠放在一起， 重合的部分构成了一个四边形．转动其中一张纸 D C 条，线段犃犇和犅犆的长度有什么关系？为 什么？ A B （第３题） 第二十一章 四边形 ５７ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用例２ 如图２１．２８，犃犅犆犇的对角线犃犆，犅犇相交于点犗，犈犉过点犗 且与犃犅，犆犇分别相交于点犈，犉．求证犗犈＝犗犉． 证明：在犃犅犆犇中，犃犅∥犆犇， A D ∴ ∠犈犃犗＝∠犉犆犗，∠犃犈犗＝∠犆犉犗． E 又 犗犃＝犗犆， O F B C ∴ △犃犗犈≌△犆犗犉． 图２１．２８ ∴ 犗犈＝犗犉． 距离是几何中的重要度量之一．我们已经学习了点与点之间的距离、点到 直线的距离，在此基础上，我们结合平行四边形的概念和性质，学习两条平行 线之间的距离． 如图２１．２９，犪∥犫，犮∥犱，犮，犱与犪，犫分别相交于犃，犅，犆，犇四点． 由平行四边形的概念和性质可知，四边形犃犅犇犆是平行四边形，犃犅＝犆犇．也 就是说，夹在两条平行线之间的任何两条平行线段都相等． c d A a A C 两条平行线之间 a 的距离和点与点之间 的距离、点到直线的 b b B D B 距离有何联系与区别？ 图２１．２９ 图２１．２１０ 从上面的结论可以知道，如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到 另一条直线的距离都相等．两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线 的距离，叫作这两条平行线之间的距离．如图２１．２１０，犪∥犫，犃是犪上的任 意一点，犃犅⊥犫，垂足为犅，线段犃犅的长就是平行线犪，犫之间的距离． 例３ 如图２１．２１１，在梯形犃犅犆犇中，犃犇∥犅犆，犃犅＝犇犆．求证∠犅＝ ∠犆． 分析：由于犃犇∥犅犆，可以考虑运用平行线之间的 A D 距离，通过三角形全等进行证明． 证明：如图２１．２１１，在梯形犃犅犆犇中，犃犇∥犅犆，过 点犃，犇分别作犃犈⊥犅犆，犇犉⊥犅犆，垂足分别为犈，犉． B E F C 图２１．２１１ ∵ 犃犈，犇犉的长都是平行线犃犇，犅犆之间的距离， ５８ 第二十一章 四边形 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用∴ 犃犈＝犇犉． 又 犃犅＝犇犆， 你还有其他证明方 ∴ Ｒｔ△犃犅犈≌Ｒｔ△犇犆犉． 法吗？ ∴ ∠犅＝∠犆．  １．如图，四边形犃犅犆犇是平行四边形，∠犃犅犆＝７０°，犅犈平分∠犃犅犆 且与犃犇相交于点犈，犇犉∥犈犅且与犅犆相交于点犉．求∠１的大小． A E D A E D A D 1 O B F C B C B E C （第１题） （第２题） （第３题） ２．如图，犃犅犆犇的周长为１６，对角线犃犆，犅犇相交于点犗，点犈在 犃犇上，犗犈⊥犃犆．求△犆犇犈的周长． ３．如图，在梯形犃犅犆犇中，犃犇∥犅犆，∠犆＝９０°，犃犇＝３，犃犅＝４， 犅犆＝５，犈为边犅犆上一点，犃犅∥犇犈．求犃犇，犅犆之间的距离． ２１２２ 平行四边形的判定 讨论平行四边形的判定，就是确定当四边形的边、角、对角线满足怎样的 位置关系和数量关系时，它是平行四边形．根据平行四边形的定义，可以从边 的位置关系的角度来判定．还有其他判定平行四边形的方法吗？ 5 我们知道，平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分．反 过来，对边相等，或对角相等，或对角线互相平分的四边形是平行四边形 吗？也就是说，平行四边形的性质定理的逆命题成立吗？ 可以证明，这些逆命题都成立． 下面以 “对角线互相平分的四边形是平行四边形”为例，根据平行四边形 的定义进行证明． 第二十一章 四边形 ５９ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用如图２１．２１２，在四边形犃犅犆犇中，犃犆，犅犇相交于点犗，且犗犃＝犗犆， 犗犅＝犗犇．求证：四边形犃犅犆犇是平行四边形． 证明：∵ 犗犃＝犗犆，犗犅＝犗犇，∠犃犗犅＝∠犆犗犇， ∴ △犃犗犅≌△犆犗犇． A D ∴ ∠犗犃犅＝∠犗犆犇． ∴ 犃犅∥犆犇． O B C 同理 犃犇∥犅犆． 图２１．２１２ ∴ 四边形犃犅犆犇是平行四边形． 于是得到平行四边形如下的判定定理： 平行四边形的判定 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 定理与相应的性质定理 两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 的条件和结论正好互 换，它们互为逆定理． 对角线互相平分的四边形是平行四边形． 例４ 如图２１．２１３，犃犅犆犇的对角线犃犆， A D 犅犇相交于点犗，点犈，犉在犃犆上，并且犃犈＝ E 犆犉．求证：四边形犅犉犇犈是平行四边形． O F 证明：∵ 四边形犃犅犆犇是平行四边形， B C ∴ 犃犗＝犆犗，犅犗＝犇犗． 图２１．２１３ ∵ 犃犈＝犆犉， ∴ 犃犗－犃犈＝犆犗－犆犉，即犈犗＝犉犗． 你还有其他证明方 又 犅犗＝犇犗， 法吗？ ∴ 四边形犅犉犇犈是平行四边形．  １．如图，在四边形犃犅犆犇中，∠犃犇犅＝∠犆犅犇，∠犆＋∠犃犅犆＝１８０°， 四边形犃犅犆犇是平行四边形吗？请说明理由． A D A D E B C B C F （第１题） （第２题） ６０ 第二十一章 四边形 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用２．如图，犃犅＝犇犆＝犈犉，犃犇＝犅犆，犇犈＝犆犉． 图中有哪些互相平行的线段？ D C ３．如图，犃犅犆犇的对角线犃犆，犅犇相交于点 F E O 犗，且犈，犉分别是犗犃，犗犆的中点，连接 A B 犇犈，犇犉，犅犈，犅犉．求证：四边形犇犈犅犉 （第３题） 是平行四边形． 根据平行四边形的定义和它的判定定理可知，两组对边分别平行或相等的 四边形是平行四边形．如果只考虑四边形的一组对边，那么它们满足什么条件 时这个四边形是平行四边形呢？ 5 对于平行四边形的一组对边，从它们的位置关系和数量关系考虑，你 能得到什么结论？类似于前面利用平行四边形的性质发现平行四边形的判 定，你能得到利用一组对边判定一个四边形是平行四边形的方法吗？ 如果一个四边形是平行四边形，那么它的任意一组对边平行且相等．进而 猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 这个猜想是正确的，可以通过证明四边形的另一组对边平行或相等来完 成．下面证明这个四边形的另外一组对边相等，从而证明这个四边形是平行四 边形． 如图 ２１．２１４，在四边形 犃犅犆犇 中，犃犅瓚犆犇． A D 求证：四边形犃犅犆犇是平行四边形． 1 证明：连接犃犆． 2 B C ∵ 犃犅∥犆犇， 图２１．２１４ ∴ ∠１＝∠２． 又 犃犅＝犆犇，犃犆＝犆犃， ∴ △犃犅犆≌△犆犇犃． “瓚”表示平行且 相等． ∴ 犅犆＝犇犃． 又 犃犅＝犆犇， 第二十一章 四边形 ６１ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用∴ 四边形犃犅犆犇是平行四边形． 于是又得到平行四边形的一个判定定理： 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 例５ 如图２１．２１５，在犃犅犆犇中，犈，犉分别是 D F C 犃犅，犆犇的中点．求证犇犈瓚犅犉． 证明：∵ 四边形犃犅犆犇是平行四边形， ∴ 犃犅瓚犆犇． A E B 图２１．２１５ １ １ 又 犈犅＝ 犃犅，犇犉＝ 犆犇， ２ ２ ∴ 犈犅瓚犇犉． ∴ 四边形犈犅犉犇是平行四边形． ∴ 犇犈瓚犅犉．  １．如图，为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的 夹在铁轨之间的枕木长相等就可以了．你能说出其中的道理吗？ D C E F A B （第１题） （第２题） ２．如图，在犃犅犆犇中，犅犇是它的一条对角线，过犃，犆两点分别作 犃犈⊥犅犇，犆犉⊥犅犇，垂足分别为犈，犉．求证：四边形犃犉犆犈是平行 四边形． ３．如图，由六个全等的正三角形拼成的图形中，有多少个 平行四边形？为什么？ （第３题） ６２ 第二十一章 四边形 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用２１２３ 三角形的中位线 前面我们研究平行四边形时，常常把它分成几个三角形，利用三角形全等 研究平行四边形的有关问题．下面利用平行四边形研究三角形的有关问题． 如图２１．２１６，在△犃犅犆中，犇，犈分别是边犃犅，犃犆的中点，连接 犇犈．像犇犈这样，连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线． A 一个三角形有几条中 位线？三角形的中位线和 D E 中线一样吗？ B C 图２１．２１６ / 观察图２１．２１６，你能发现△犃犅犆的中位线犇犈与边犅犆的位置关系 吗？度量一下，犇犈与犅犆之间有什么数量关系？你能证明你发现的结 论吗？ １ 我们猜想：犇犈∥犅犆，犇犈＝ 犅犆．下面对它们进行证明． ２ 如图２１．２１６，犇，犈分别是△犃犅犆的边犃犅，犃犆的中点．求证：犇犈∥犅犆， １ 且犇犈＝ 犅犆． ２ 分析：我们既要证明两条线段所在的直线平行，又要证明其中一条线段的 长等于另一条线段长的一半． 如图２１．２１７，将犇犈延长一倍 （得到点犉）后，可 １ 以将证明犇犈∥犅犆，且犇犈＝ 犅犆转化为证明犇犉瓚 A ２ 犅犆，而这只要证明以犅，犆，犉，犇为顶点的四边形是平 E D F 行四边形，进而只要证明四边形犃犇犆犉是平行四边形． B C 由于犇犈＝犈犉，犈是犃犆的中点，所以四边形犃犇犆犉是 图２１．２１７ 平行四边形可以利用 “对角线互相平分的四边形是平行 四边形”证明． 第二十一章 四边形 ６３ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用证明：如图２１．２１７，延长犇犈到点犉，使犈犉＝犇犈，连接犉犆，犇犆，犃犉． ∵ 犃犈＝犈犆，犇犈＝犈犉， ∴ 四边形犃犇犆犉是平行四边形． ∴ 犆犉瓚犇犃． 又 犇是犃犅的中点， ∴ 犆犉瓚犅犇． ∴ 四边形犇犅犆犉是平行四边形． ∴ 犇犉瓚犅犆． １ 又 犇犈＝ 犇犉， ２ １ ∴ 犇犈∥犅犆，且犇犈＝ 犅犆． ２ 通过上述证明，得到三角形的中位线定理： 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 例６ 求证：顺次连接四边形各边的中点，所得的四边形是平行四边形． 已知：如图２１．２１８，在四边形犃犅犆犇中，犈， A H 犉，犌，犎分别是边犃犅，犅犆，犆犇，犇犃的中点． D E 求证：四边形犈犉犌犎是平行四边形． G 分析：题目中给出了四边形各边中点，可以连接 B F C 四边形的一条对角线，利用三角形中位线定理证明要 图２１．２１８ 证的四边形一组对边平行且相等，从而证明它是平行 四边形． 证明：连接犃犆． ∵ 犃犎＝犎犇，犆犌＝犌犇， １ ∴ 犎犌∥犃犆，且犎犌＝ 犃犆． ２ １ 同理 犈犉∥犃犆，且犈犉＝ 犃犆． ２ ∴ 犎犌瓚犈犉． ∴ 四边形犈犉犌犎是平行四边形． ６４ 第二十一章 四边形 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用 １．如图，在△犃犅犆中，犇，犈，犉分别是犃犅，犅犆，犆犃的中点．以这些点为 顶点，在图中，你能画出多少个平行四边形？为什么它们是平行四边形？ A A A D F E D O F G B E C B C C B （第１题） （第２题） （第３题） ２．如图，△犃犅犆的中线犅犇，犆犈相交于点犗，且犉，犌分别是犗犅，犗犆 的中点．求证：四边形犇犈犉犌是平行四边形． ３．如图，犃，犅两点被池塘隔开，在犃犅外选一点犆，连接犃犆和犅犆．怎 样利用三角形的中位线定理测出犃，犅两点间的距离？   １．如果四边形犃犅犆犇是平行四边形，犃犅＝６，且犃犅的长是犃犅犆犇周长的 ３ ，那么犅犆的长是多少？ １６ ２．如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板．如果光线与纸板右下方所 成的∠１是７２°１５′，那么光线与纸板左上方所成的∠２是多少度？为什么？ D C 2 1 O A B （第２题） （第３题） ３．如图，犃犅犆犇的对角线犃犆，犅犇相交于点犗，且犃犆＋犅犇＝３６，犃犅＝１１． 求△犗犆犇的周长． ４．在犃犅犆犇中，∠犃＝４５°，犃犅＝４，犃犇＝２．求犃犅犆犇的面积． 第二十一章 四边形 ６５ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用５．如图，在犃犅犆犇中，点犈，犉分别在犅犆，犃犇上，且犃犉＝犆犈．求证：四 边形犃犈犆犉是平行四边形． A D A F D H E F O G B E C B C （第５题） （第６题） ６．如图，犃犅犆犇的对角线犃犆，犅犇相交于点犗，且犈，犉，犌，犎分别是 犃犗，犅犗，犆犗，犇犗的中点．求证：四边形犈犉犌犎是平行四边形． ７．如图，在长方形台球桌面上击球，得到球的运动轨迹恰好为四边形犈犉犌犎．当 台球每次撞击一条桌边时，入射方向与这条桌边的夹角等于反弹方向与这条桌 边的夹角，如∠犇犈犎＝∠犃犈犉，则四边形犈犉犌犎是平行四边形吗？为什么？ D C H A D G A D l E F 1 E A F B l 2 B C B C （第７题） （第８题） （第９题） ８．如图，四边形犃犈犉犇和四边形犈犅犆犉都是平行四边形．求证：四边形犃犅犆犇 是平行四边形． ９．如图，直线犾∥犾，△犃犅犆与△犇犅犆的面积相等吗？为什么？你还能画出一 １ ２ 些与△犃犅犆面积相等的三角形吗？  １０．如图，在犃犅犆犇中，点犈在犅犆上，∠犃犇犈＝３０°，犈犃平分∠犅犈犇，犇犈＝８． 求△犃犇犈的面积． D C A D B E C A B （第１０题） （第１１题） １１．如图，在梯形犃犅犆犇中，犃犅∥犇犆，∠犃＝∠犅．求证犃犇＝犅犆． ６６ 第二十一章 四边形 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用１２．如图，犗犃犅犆的顶点犗，犃，犆的坐标分别是 （０，０），（犪，０），（犫，犮）． 求顶点犅的坐标． y C
A B
C(b!  c) B D C B C O O A(a!0) x A
A B （第１２题） （第１３题） （第１４题） １３．如图，已知△犃犅犆，过点犃，犅，犆分别作犅′犆′∥犆犅，犆′犃′∥犃犆，犃′犅′∥犅犃， 那么∠犃犅犆与∠犅′有什么关系？线段犃犅′与线段犃犆′呢？为什么？ １４．如图，四边形犃犅犆犇的对角线犃犆，犅犇相交于点犗，犃犇＝１２，犇犗＝犗犅＝５， 犃犆＝２６，∠犃犇犅＝９０°．求犅犆的长和四边形犃犅犆犇的面积．   １５．如图，在犃犅犆犇中，过对角线犅犇上一点犘作犈犉∥犅犆，犌犎∥犃犅．图中 哪两个平行四边形面积相等？为什么？ A H D A D O E P F B C B G C （第１５题） （第１６题） １６．如图，用硬纸板剪一个平行四边形，找出它的对角线的交点犗，把一根细直 木条平放在硬纸板上，用大头针固定在点犗处，并使细木条可以绕点犗随 意转动．拨动细木条，让它转动后停止．观察若干次拨动的结果，你能发现 什么结论？证明你的发现． １７．求证：平行四边形两条对角线长的平方和等于四条边长的平方和． 第二十一章 四边形 ６７ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用２１．３ 特殊的平行四边形 上一节我们研究了平行四边形，当平行四边形的角、边 满足某些特殊条件时，就得到特殊的平行四边形．本节就来 研究这些特殊的平行四边形． ２１３１ 矩形 先来看角满足特殊条件的平行四边形．如图２１．３１，当平行四边形的一个 角为直角时，这时的平行四边形是特殊的平行四边形．有一个角是直角的平行 四边形叫作矩形 （ｒｅｃｔａｎｇｌｅ），矩形也就是长方形． >,>   图２１．３１ 矩形也是常见的几何图形．门窗框、书桌面、地砖等 （图２１．３２）都有矩 形的形象．你还能举出一些例子吗？ 图２１．３２ 与研究平行四边形一样，对于矩形，仍重点研究它的性质和判定． 5 因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质．但由于 它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性 质呢？ 与研究平行四边形的性质类似，对于矩形，我们仍然从它的边、角、对角 线出发进行研究．可以发现并证明 （请你自己完成证明），矩形还有以下性质： ６８ 第二十一章 四边形 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用矩形的四个角都是直角； 矩形的对角线相等． 另外，容易发现，矩形是轴对称图形，它每组对边中点连线所在的直线就 是它的对称轴． 例１ 如图２１．３３，矩形犃犅犆犇的对角线犃犆，犅犇相交于点犗，∠犃犗犅＝ ６０°，犃犅＝４．求矩形犃犅犆犇的对角线的长． 解：∵ 四边形犃犅犆犇是矩形， A D ∴ 犃犆与犅犇相等且互相平分． O ∴ 犗犃＝犗犅． B C 又 ∠犃犗犅＝６０°， 图２１．３３ ∴ △犗犃犅是等边三角形． ∴ 犗犃＝犃犅＝４． ∴ 犃犆＝犅犇＝２犗犃＝８． 上一节我们运用平行四边形的判定和性质研究了三角形的中位线，下面利 用矩形的性质研究直角三角形的一个性质． A 5 O 如图２１．３４，犅犗是Ｒｔ△犃犅犆斜边犃犆上的中线， 犅犗与犃犆有什么关系？你能证明你发现的结论吗？ B C 图２１．３４ １ 可以发现犅犗＝ 犃犆．下面对它进行证明． ２ A D 类似于证明三角形中位线定理的过程，如图２１．３５， 延长犅犗到点犇，使犗犇＝犗犅，连接犃犇，犆犇，则四边 O 形犃犅犆犇是矩形 （想一想为什么）． B C 图２１．３５ １ 根据矩形的性质，犅犇＝犃犆．所以犅犗＝ 犅犇＝ ２ １ 犃犆．由此得到直角三角形的一个性质： ２ 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 第二十一章 四边形 ６９ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用 １．一个矩形的一条对角线长为８，两条对角线相交所成的角中有一个为 １２０°．求这个矩形相邻两边的长． ２．如图，四边形犃犅犆犇是矩形，点犈在犅犆的 A D 延长线上，犇犈∥犃犆．△犇犅犈是等腰三角形 吗？试说明理由． B C E （第２题） 接下来研究矩形的判定．由矩形的定义可知，有一个角是直角的平行四边 形是矩形．除了此方法，还有没有其他判定方法呢？ 与研究平行四边形的判定类似，我们研究矩形的性质定理的逆命题，看一 看它们是否成立． 5 我们知道，矩形是对角线相等的平行四边形．反过来，对角线相等的 平行四边形是矩形吗？ 如图２１．３６，由犃犅犆犇的对角线犃犆，犅犇相等， A D 再根据犃犅＝犇犆，犅犆＝犆犅，可以证明△犃犅犆≌△犇犆犅， 从而∠犃犅犆＝∠犇犆犅，又∠犃犅犆与∠犇犆犅互补，所以它 O B C 们都是直角．这样，就证明了犃犅犆犇是矩形．由此得到 图２１．３６ 矩形的一个判定定理： 对角线相等的平行四边形是矩形． 工人师傅在做矩形门窗或零件时，为了确保它们的形状是矩形，不仅要测 量它们的两组对边是否分别相等，还要测量它们的两条对角线是否相等．你知 道其中的道理吗？ 5 我们知道，矩形是四个角都是直角的四边形，它的逆命题成立吗？即 四个角都是直角的四边形是矩形吗？进一步，至少有几个角是直角的四边 形是矩形？ ７０ 第二十一章 四边形 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用可以发现并证明 （请你自己完成证明）矩形的另一个判定定理： 有三个角是直角的四边形是矩形． 例２ 如图２１．３７，犃犅犆犇的四个内角的平分线分别相交于点犈，犉， 犌，犎．求证：四边形犈犉犌犎是矩形． 分析：根据已知条件，容易证明四边形犈犉犌犎的一 A D 个内角∠犉为直角，同理可证∠犎，∠犃犈犅也为直角， H E G 从而证明四边形犈犉犌犎是矩形． F 证明：∵ 四边形犃犅犆犇是平行四边形， B C 图２１．３７ ∴ 犃犅∥犆犇． ∴ ∠犅犃犇＋∠犃犇犆＝１８０°． 又 犃犉，犇犉分别平分∠犅犃犇，∠犃犇犆， １ １ １ ∴ ∠犇犃犉＋∠犃犇犉＝ ∠犅犃犇＋ ∠犃犇犆＝ （∠犅犃犇＋∠犃犇犆） ２ ２ ２ ＝９０°． ∴ ∠犉＝９０°． 同理 ∠犎＝∠犃犈犅＝９０°． ∴ ∠犉犈犎＝∠犃犈犅＝９０°． ∴ 四边形犈犉犌犎是矩形．  １．求证：四个角都相等的四边形是矩形． A D ２．如图，犃犅犆犇的对角线犃犆，犅犇相交于点犗， △犗犃犅是等边三角形，且犃犅＝２．求犃犅犆犇的 O B C 面积． （第２题） ３．如图，在△犃犅犆中，犃犅＝犃犆，犇，犈分别是线 A F 段犅犆，犃犇的中点，过点犃作犃犉∥犅犆交犅犈的 延长线于点犉，连接犆犉．求证：四边形犃犇犆犉是 E 矩形． B D C （第３题） 第二十一章 四边形 ７１ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用２１３２ 菱形 前面研究了角满足特殊条件的平行四边形———矩形，再来看边满足特殊条 件的平行四边形． 如图２１．３８，当平行四边形的一组邻边相等时，这时的平行四边形也是特 殊的平行四边形．有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形 （ｒｈｏｍｂｕｓ）． 3ED,0   图２１．３８ 菱形也是常见的几何图形．有些门窗的窗格、美丽的中国结、活动挂架 （图２１．３９）等都有菱形的形象．你还能举出一些例子吗？ 图２１．３９ 类似于对矩形的研究，我们重点研究菱形的性质和判定． 5 因为菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质．但由于 它的一组邻边相等，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性 质呢？ 我们仍从菱形的边、角、对角线出发进行研究．可以发现并证明 （请你自 己完成证明），菱形还具有以下性质： 菱形的四条边都相等； 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． 另外，容易发现，菱形是轴对称图形，它的每条对角线所在的直线就是它 的对称轴． 如图２１．３１０，比较菱形的对角线和平行四边形的对角线，可以发现，菱 ７２ 第二十一章 四边形 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，而平行四边形一般只被分 成两对全等的三角形． A 由菱形两条对角线 A D 的长，你能求出它的面 B O D O 积吗？ B C C 图２１．３１０ 例３ 如图２１．３１１，菱形花坛犃犅犆犇的边长为２０ｍ，∠犃犅犆＝６０°，沿 着菱形的对角线修建了两条小路犃犆和犅犇．求两条小路的长 （结果保留小数 点后两位）和花坛的面积 （结果保留小数点后一位）． 解：设犃犆，犅犇相交于点犗． A ∵ 花坛犃犅犆犇的形状是菱形， １ １ B D ∴ 犃犆⊥犅犇，∠犃犅犗＝ ∠犃犅犆＝ ×６０°＝３０°． O ２ ２ 在Ｒｔ△犃犅犗中， C 图２１．３１１ １ １ 犃犗＝ 犃犅＝ ×２０＝１０， ２ ２ 犅犗＝ 槡犃犅２－犃犗２＝ 槡２０２－１０２＝１０槡３． ∴ 花坛的两条小路长 犃犆＝２犃犗＝２０ （ｍ），犅犇＝２犅犗＝２０槡３≈３４．６４ （ｍ）． 花坛的面积 １ 犛 ＝４×犛 ＝４× 犃犗·犅犗＝２００槡３≈３４６．４ （ｍ２ ）． 菱形犃犅犆犇 △犃犅犗 ２  １．四边形犃犅犆犇是菱形，对角线犃犆，犅犇相交于点犗， 且犃犅＝５，犃犗＝４．求犃犆，犅犇的长以及菱形犃犅犆犇 A D 的面积． ２．如图，在菱形犃犅犆犇中，犅犇＝４，∠犃∶∠犃犅犆＝ B C １∶２．求△犃犅犇的周长． （第２题） 第二十一章 四边形 ７３ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用３．如图，在菱形犃犅犆犇中，∠犃＝６０°，连接对 D 角线犅犇，犈，犉分别是边犃犅，犅犆的中点， A C 分别连接犇犈，犇犉，犈犉．求证：△犇犈犉是等 E F 边三角形． B （第３题） 接下来研究菱形的判定．由菱形的定义可知，有一组邻边相等的平行四边 形是菱形．除了此方法，还有没有其他判定方法呢？ 与研究平行四边形、矩形的判定类似，我们研究菱形的性质定理的逆命 题，看一看它们是否成立． 5 我们知道，菱形是对角线互相垂直的平行四边形．反过来，对角线互 相垂直的平行四边形是菱形吗？ 同样地，菱形是四条边相等的四边形．反过来，四条边相等的四边形 是菱形吗？ 可以发现并证明 （请你自己完成证明）菱形的判定定理： 对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 四条边相等的四边形是菱形． 例４ 如图２１．３１２，在犃犅犆犇中，对角线犃犆 A E D 的垂直平分线与边犃犇，犅犆分别相交于点犈，犉． 1 求证：四边形犃犉犆犈是菱形． O 2 分析：已知犃犆⊥犈犉，由 “对角线互相垂直的平 B F C 图２１．３１２ 行四边形是菱形”，只需证明四边形犃犉犆犈是平行四 边形．由题意可知犃犗＝犆犗，还需证明犈犗＝犉犗． 证明：∵ 四边形犃犅犆犇是平行四边形， ∴ 犃犈∥犆犉． ∴ ∠１＝∠２． 又 ∠犃犗犈＝∠犆犗犉，犃犗＝犆犗， ７４ 第二十一章 四边形 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用∴ △犃犗犈≌△犆犗犉． ∴ 犈犗＝犉犗． 你能利用 “四条边相 ∴ 四边形犃犉犆犈是平行四边形． 等的四边形是菱形”证明 又 犃犆⊥犈犉， 这个例题吗？ ∴ 四边形犃犉犆犈是菱形．  １．如图，在四边形犃犅犆犇中，对角线犃犆，犅犇相交于点犗且互相垂直平 分．求证：四边形犃犅犆犇是菱形． D A A D A C O B C B B C （第１题） （第２题） （第３题） ２．如图，两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的 四边形犃犅犆犇是一个菱形吗？为什么？ ３．一张三角形纸片如图所示，请你用纸片折出一个菱形，使∠犃是菱形 的一个内角，和点犃相对的顶点在边犅犆上，并说明所折图形是菱形 的理由． ２１３３ 正方形 对于一个平行四边形，如果它不仅有一组邻边相等，而且有一个角是直 角，那么它就是正方形 （ｓｑｕａｒｅ）．正方形既是有一组邻边相等的矩形，也是有 一个角是直角的菱形 （图２１．３１３）． 3ED >   ,0 ,> 图２１．３１３ 正方形既是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形、菱形，因此它具有平行 四边形、矩形、菱形的所有性质． 第二十一章 四边形 ７５ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用/ 从正方形的边、角、对角线和它的轴对称性出发，写出正方形的性 质，并证明其中的一些结论． 例５ 求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四 A D 个全等的等腰直角三角形． 已知：如图２１．３１４，四边形犃犅犆犇是正方形，对角线 O 犃犆，犅犇相交于点犗． B C 求证：△犃犅犗，△犅犆犗，△犆犇犗，△犇犃犗是全等的等 图２１．３１４ 腰直角三角形． 证明：∵ 四边形犃犅犆犇是正方形， ∴ 犃犆＝犅犇，犃犆⊥犅犇． ∴ ∠犃犗犅＝∠犅犗犆＝∠犆犗犇＝∠犃犗犇＝９０°， 犃犗＝犅犗＝犆犗＝犇犗． ∴ △犃犅犗，△犅犆犗，△犆犇犗，△犇犃犗都是等腰直角三角形，并且 △犃犅犗≌△犅犆犗≌△犆犇犗≌△犇犃犗． 5 正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系？与同学讨论一 下，并列表或画框图表示这些关系．  １． （１）把一张矩形纸片按如图方式折一下，就可以 裁出正方形纸片．为什么？ （２）如何从一块矩形木板中裁出一块面积最大的 （第１题） 正方形木板呢？ A D ２．如图，一块正方形场地的四个顶点分别是犃，犅， 犆，犇．李明和张华在边犃犅上取了一点犈，犈犆＝ E ３０ｍ，犈犅＝１０ｍ．这块场地的面积和对角线长分 别是多少？ B C （第２题） ７６ 第二十一章 四边形 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用３．如图，一个正方形草坪的四个顶点分别是犃，犅， A E D 犆，犇．要修建犅犈和犃犉两条路，使点犈，犉分 别在边犃犇，犆犇上，且犇犈＝犆犉．这两条路等长 F 吗？它们有什么位置关系？为什么？ B C （第３题） 要判定一个四边形是正方形，可以先判定它是矩形，再判定这个矩形也是 菱形；或者先判定它是菱形，再判定这个菱形也是矩形． / 分别从矩形、菱形、平行四边形、四边形出发，写出正方形的判定 方法，并与同学交流你的结论． 例６ 如图２１．３１５，犈，犉，犌，犎分别是正方形犃犅犆犇四条边上的点， 且犃犈＝犅犉＝犆犌＝犇犎．求证：四边形犈犉犌犎是正方形． 分析：要证明四边形犈犉犌犎是正方形，需证明它既是菱形，也是矩形， 也就是要先证明它的四条边相等，再证明它的一个角是直角，而这可以由 △犃犈犎，△犅犉犈，△犆犌犉，△犇犎犌全等得出． 证明：∵ 四边形犃犅犆犇是正方形， A H D ∴ 犃犅＝犅犆＝犆犇＝犇犃． 1 2 E 又 犃犈＝犅犉＝犆犌＝犇犎， 3 G ∴ 犈犅＝犉犆＝犌犇＝犎犃． B F C ∵ ∠犃＝∠犅＝∠犆＝∠犇＝９０°， 图２１．３１５ ∴ △犃犈犎≌△犅犉犈≌△犆犌犉≌△犇犎犌． ∴ 犎犈＝犈犉＝犉犌＝犌犎． ∴ 四边形犈犉犌犎是菱形． ∵ △犃犈犎≌△犅犉犈， ∴ ∠２＝∠３． 又 ∠１＋∠２＝９０°， ∴ ∠１＋∠３＝９０°． 第二十一章 四边形 ７７ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用∴ ∠犎犈犉＝１８０°－（∠１＋∠３）＝９０°． ∴ 四边形犈犉犌犎是正方形．  １．满足下列条件的四边形是不是正方形？为什么？ （１）对角线互相垂直且相等的平行四边形； （２）对角线互相垂直的矩形； （３）对角线相等的菱形； （４）对角线互相垂直平分且相等的四边形． ２．如图，在Ｒｔ△犃犅犆中，∠犃犆犅＝９０°，犆犇平分∠犃犆犅，犇犈⊥犅犆， 犇犉⊥犃犆，垂足分别为犈，犉．求证：四边形犆犈犇犉是正方形． A F D C E B （第２题） （第３题） ３．王芳在商场看中一条丝巾，她不确定其是不是正方形样式，于是售货 员拿起丝巾拉起一组对角把丝巾对折 （如图所示），让王芳看丝巾是否 完全重合；见她还有些犹豫，售货员又拉起另一组对角把丝巾对折， 让她看丝巾是否也完全重合．王芳发现这两次都重合，就买下了这条丝 巾．你认为王芳买的这条丝巾是正方形样式吗？为什么？   １．如图，四边形犃犅犆犇是平行四边形，对角线犃犆，犅犇 A D 相交于点犗，且∠１＝∠２．四边形犃犅犆犇是矩形吗？为 什么？ O B 1 2 C （第１题） ７８ 第二十一章 四边形 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用２．如图，一个木匠要制作一块矩形的木板．他在 一块对边平行的长木板上分别沿与长边垂直 的方向锯了两次，就能得到矩形木板．为 什么？ ３．在Ｒｔ△犃犅犆中，∠犆＝９０°，犃犅＝２犃犆．利 用本节所学的直角三角形的性质，求∠犃， （第２题） ∠犅的度数． ４．如图，四边形犃犅犆犇是菱形，∠犃犆犇＝３０°，犅犇＝６．求： （１）∠犅犃犇，∠犃犅犆的度数； （２）犃犅，犃犆的长． A D D A D E E A C F O B B C F B C （第４题） （第５题） （第６题） ５．如图，犃犈∥犅犉，犃犆平分∠犅犃犈，且交犅犉于点犆，犅犇平分∠犃犅犉，且交 犃犈于点犇，连接犆犇．求证：四边形犃犅犆犇是菱形． ６．如图，犈是正方形犃犅犆犇的对角线犅犇上一点，且犅犈＝犅犆，过点犈且与 犅犇垂直的直线交犆犇于点犉，连接犅犉．犇犈与犆犉相等吗？说一说你的理由．  ７．如图，把一张矩形的纸片对折两次，然后剪下一个角．要得到一个正方形，裁 剪线与折痕应成多少度的角？ C
A E D B C （第７题） （第８题） ８．如图，将矩形纸片犃犅犆犇沿直线犅犇折叠，使点犆落在犆′处，犅犆′，犃犇相 交于点犈，犃犇＝８ｃｍ，犃犅＝４ｃｍ．犇犈的长是多少？△犅犇犈的面积呢？ 第二十一章 四边形 ７９ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用９．如图，在 Ｒｔ△犃犅犆中，∠犃犆犅＝９０°，犆犇⊥犃犅，垂足为犇，∠犃犆犇＝ ３∠犅犆犇，犈是边犃犅的中点．∠犈犆犇是多少度？为什么？ A B D M N E B D E F G C A C （第９题） （第１０题） １０．如图，四边形犃犅犆犇是菱形，点犕，犖分别在犃犅，犃犇上，且犅犕＝犇犖， 犕犌∥犃犇，犖犉∥犃犅；点犉，犌分别在犅犆，犆犇上，犕犌与犖犉相交于点 犈．求证：四边形犃犕犈犖，犈犉犆犌都是菱形． １１．如图，四边形犃犅犆犇是菱形，对角线犃犆，犅犇相 D 交于点犗，犃犆＝８，犅犇＝６，犇犎⊥犃犅，垂足为 A C 犎．求犇犎的长． O H １２． （１）如图 （１），四边形犗犅犆犇是矩形，犗，犅，犇 B 三点的坐标分别是 （０，０）， （犫，０），（０，犱）． （第１１题） 求点犆的坐标． （２）如图 （２），四边形犃犅犆犇是菱形，犆，犇两点的坐标分别是 （犮，０）， （０，犱），点犃，犅在坐标轴上．求犃，犅两点的坐标． （３）如图 （３），四边形犗犅犆犇是正方形，犗，犇两点的坐标分别是（０，０）， （０，犱）．求犅，犆两点的坐标． y y y D D C D C A O C x O B x B O B x （１） （２） （３） （第１２题） １３．如图，将等腰三角形纸片犃犅犆沿底边犅犆上的高 A 犃犇剪成两个三角形．用这两个三角形你能拼成多 少种平行四边形？试一试，分别求出它们的对角线 m m h 的长． B n D n C （第１３题） ８０ 第二十一章 四边形 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用１４．如图，矩形犃犅犆犇的四个内角的平分线分别相交于点犈，犉，犌，犎．试判 断四边形犈犉犌犎的形状，并证明你的结论． A D H E G F B C （第１４题） （第１５题） １５．如图，一块正方形草地，要在上面修建两条交叉的笔直小路，使这两条小路 将草地分成面积相等的四部分，你有多少种方法？与同学交流一下．   １６．如图，四边形犃犅犆犇是正方形．犌是边犅犆上任意一点，犇犈⊥犃犌，垂足为 犈；犅犉∥犇犈，交犃犌于点犉．求证：犃犉－犅犉＝犈犉． A A D E D E F O M N B G C B C （第１６题） （第１７题） １７．如图，在△犃犅犆中，犅犇，犆犈分别是边犃犆，犃犅上的中线，犅犇与犆犈相交 于点犗．犅犗与犗犇的长度有什么关系？犅犆边上的中线是否一定过点犗？为什 么？（提示：分别作犅犗，犆犗的中点犕，犖，连接犈犇，犈犕，犕犖，犖犇．） １８．如图，在四边形犃犅犆犇中，犃犇∥犅犆，∠犅＝９０°， 犃犇＝２４ｃｍ，犅犆＝２６ｃｍ．点犘从点犃出发，以 A P D １ｃｍ／ｓ的速度向点犇运动；同时点犙从点犆出发， 以３ｃｍ／ｓ的速度向点犅运动．规定其中一个动点到 B 1 C 达端点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开 （第１８题） 始，需经过多长时间，才能使犘犙＝犆犇？为什么？ 第二十一章 四边形 ８１ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用 利用菱形的性质和判定尺规作图 前面学习了菱形的性质和判定，利用菱形的性质和判定，可以帮助我们完 成一些尺规作图． 例如，作一个给定角∠犕犗犖的平分线．我们假设犗是菱形的一个顶点， 菱形的一组邻边在角的两边上，那么这个菱形的过点犗的对角线就是∠犕犗犖 的平分线的一部分．由此可以得到利用菱形的性质和判定作给定角的平分线的 作法． 作法：如图１． （１）以∠犕犗犖的顶点犗为圆心，任意长为半径作 M 弧，分别交∠犕犗犖两边于点犃，犅； （２）分别以点犃，犅为圆心，犗犃（或犗犅）长为半 A P 径作弧，两弧相交于点犘（非点犗），则四边形犗犅犘犃 为菱形 （想一想为什么）； O B N （３）作射线犗犘，则犗犘就是∠犕犗犖的平分线 （想 图１ 一想为什么）． 类似地，请你利用菱形的性质和判定作以下图形，并说明这样作图的道理． （１）作一条线段的垂直平分线； （２）过直线外一点作已知直线的垂线． ８２ 第二十一章 四边形 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用 =#obH/ 槡５－１ 宽与长的比是 （约为０．６１８）的矩形叫作黄金矩形．黄金矩形 ２ 给我们以协调、匀称的美感．世界上有些著名的建筑，它们中有的建筑立 面的矩形轮廓就非常接近黄金矩形． 下面我们折纸做一个黄金矩形： 第一步，在一张矩形纸片的一端，利用图１的方法折出一个正方形 犕犖犃犅，然后把纸片展平． M B M C B N A N D A 图１ 图２ 第二步，如图２，把这个正方形折成两个相同的矩形，再把纸片 展平． 第三步，折出矩形犆犇犃犅的对角线犅犇，并把犅犇折到图３中所示 的犈犇处． M C B M B F N D A E N A E 图３ 图４ 第四步，展平纸片，如图４，按照所得的点犈折出犈犉，矩形犅犃犈犉 就是黄金矩形． 你能说明为什么矩形犅犃犈犉是黄金矩形吗？（提示：设犕犖的长 为２．） 第二十一章 四边形 ８３ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用=#"3;6/ 如图５，有两个大小不等的正方形纸片，你能通过剪拼，把它们拼接 成一个大正方形吗？试试看！ 图５ 图６ 图６给出了一种方法，请你说出这种方法剪拼的过程．你还有其他方 法吗？ 事实上，图６就是刘徽证明勾股定理的 “青朱出  c 入图”（图７），利用了将图形分割后再拼接，面积不 a L  变的性质，这也是我国古代 “出入相补法”的基本思 L b L 想．请你查阅相关资料，了解出入相补法及其在我国  L L 古代数学研究中的作用． 图７ ８４ 第二十一章 四边形 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
                   
  在本章中，我们从一般到特殊地学习了四边形．对于一般的四边形， 主要学习了四边形的内角和与外角和，并把它们推广到多边形．对于特殊 的四边形，首先学习了平行四边形的性质和判定，探索并证明了三角形的 中位线定理，理解了平行线之间距离的概念；进而通过平行四边形的角、 边的特殊化，得到了矩形、菱形和正方形等特殊的平行四边形，并根据它 们的角、边的特殊性，得到了这些特殊的平行四边形的性质和判定． 与三角形类似，无论是对一般的四边形，还是对特殊的四边形——— 平行四边形，以及对特殊的平行四边形———矩形、菱形、正方形，我们 都是从它们的边、角、对角线出发，从位置关系和数量关系的角度研究 它们的性质．在此基础上，利用图形的性质和判定之间的互逆关系，通过 证明性质定理的逆命题，得到图形的判定定理．在对各种四边形性质的学 习中，我们往往是先利用图形直观发现图形的性质，再利用逻辑推理证 明得到的结论．这些方法是研究几何图形的常用方法，有利于增强几何直 观，提升推理能力． 请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧． １．四边形、多边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形是本章主要 研究的几何图形，画出表示它们的图形，并用框图表示它们之间的关系． 第二十一章 四边形 ８５ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用２．四边形的内角和与外角和分别是多少？狀边形呢？在得出这些结 论的过程中，采用了怎样的方法？ ３．平行四边形有哪些性质？如何判定一个四边形是平行四边形？你 能概述一下研究平行四边形的思路和方法吗？ ４．矩形、菱形、正方形除了具有平行四边形的性质，分别还具有哪 些性质？如何判定一个四边形是矩形、菱形、正方形？你能总结一下研 究这些图形的性质和判定的方法吗？ ５．本章我们利用平行四边形的性质，得出了三角形的中位线定理． 你能仿照这一过程，再得出一些其他几何结论吗？    １．选择题． （１）若四边形的四个内角的度数比为１∶２∶３∶４，则其中最大的内角是 （ ）． （Ａ）１２０° （Ｂ）１３５° （Ｃ）１４４° （Ｄ）１５０° （２）若平行四边形中两个内角的度数比为１∶２，则其中较小的内角是 （ ）． （Ａ）４５° （Ｂ）６０° （Ｃ）９０° （Ｄ）１２０° （３）若菱形的周长为８，高为１，则菱形两个相邻的内角的度数比为 （ ）． （Ａ）３∶１ （Ｂ）４∶１ （Ｃ）５∶１ （Ｄ）６∶１ （４）如图，在正方形犃犅犆犇的外侧，作等边三角形犃犇犈，则∠犃犈犅为 （ ）． （Ａ）１０° （Ｂ）１５° （Ｃ）２０° （Ｄ）３０° B A F C D E B C D A E （第１（４）题） （第３题） ２．一个多边形的每个内角都相等，且每个内角与和它相邻外角的度数比为３∶１． 这个多边形的内角和是多少？ ８６ 第二十一章 四边形 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用３．如图，将犃犅犆犇的对角线犅犇向两个方向延长，分别至点犈，犉，且使犅犈＝ 犇犉．求证：四边形犃犈犆犉是平行四边形． ４．矩形对角线组成的对顶角中，有一组是两个５０°的角．对角线与各边组成的角是 多少度？ ５．如图，你能用一根绳子检查一个书架的侧边是否和上、下底边都垂直吗？为什么？ A D E O B C （第５题） （第６题） ６．如图，矩形犃犅犆犇的对角线犃犆，犅犇相交于点犗，且 A D E H 犇犈∥犃犆，犆犈∥犅犇．求证：四边形犗犆犈犇是菱形． ７．如图，正方形犃犅犆犇的对角线犃犆，犅犇相交于点犗，且 O 犈，犉，犌，犎分别是犃犗，犅犗，犆犗，犇犗的中点．求 F G 证：四边形犈犉犌犎是正方形． B C （第７题）  ８．如图，六边形犃犅犆犇犈犉的内角都相等，∠犇犃犅＝６０°．犃犅与犇犈有怎样的位置 关系？犅犆与犈犉有这种关系吗？证明你的结论． E A D D F E 1 C 2 F A 60e B B C （第８题） （第９题） ９．如图，四边形犃犅犆犇是平行四边形，犅犈∥犇犉，且分别交对角线犃犆于点犈， 犉，连接犈犇，犅犉．求证∠１＝∠２． １０．顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫作四边形的中点四边形，在 第６４页 “例６”中已经证明了四边形的中点四边形是平行四边形． （１）平行四边形的中点四边形是什么形状？为什么？ （２）矩形、菱形和正方形的中点四边形分别是什么形状？为什么？ １１．如果一个四边形是轴对称图形，并且有两条互相垂直的对称轴，它一定是菱形 吗？一定是正方形吗？ 第二十一章 四边形 ８７ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用１２．两个全等的三角形纸片，用它们能够拼成什么四边形？要想拼成一个矩形，需要两 个什么样的全等三角形？要想拼成菱形或正方形呢？动手剪拼一下，并说明理由． １３．如果你身旁没有量角器和三角尺，又需要作３０°的角，可以采用下面的方法 （如图所示）： （１）对折矩形纸片犃犅犆犇，使犃犇与犅犆重合，得到折痕犈犉，把纸片展平． （２）再一次折叠纸片，使点犃落在犈犉上，并使折痕经过点犅，得到折痕犅犕． 同时得到线段犅犖，把纸片展平． 由此得到∠犃犅犕，∠犕犅犖和∠犖犅犆都是３０°，请你写出证明过程． D G C A M D H E F O F N A E B B C （第１３题） （第１４题） １４．如图，过犃犅犆犇的对角线犃犆的中点犗作两条互相垂直的直线，分别交犃犅， 犅犆，犆犇，犇犃于犈，犉，犌，犎四点，连接犈犉，犉犌，犌犎，犎犈．判断四边 形犈犉犌犎的形状，并说明理由．   １５．如图，四边形犃犅犆犇是正方形，犈是边犅犆的中点，∠犃犈犉＝９０°，且犈犉交 正方形外角的平分线犆犉于点犉．求证犃犈＝犈犉．（提示：取犃犅的中点犌，连 接犈犌．） A D A A D 1 O E F B 1 B F C B E C C 1 （第１５题） （第１６题） １６．如图，正方形犃犅犆犇的对角线相交于点犗，犗又是正方形犃犅犆犗的一个顶 １ １ １ 点，而且这两个正方形的边长相等．无论正方形犃犅犆犗绕点犗怎样转动， １ １ １ １ 两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的 ．想一想这是为什么， ４ 并说明理由． ８８ 第二十一章 四边形 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用第二十二章 函数 “万物皆变”———行星在宇宙中的位置随时间的变化而变化，我国 “天宫” 空间站与北京航天飞行控制中心的距离随时间的变化而变化，气温随海拔的变 化而变化，树高随树龄的变化而变化……．在现实世界中，这种一个量随另一 个量的变化而变化的现象大量存在． 为了研究运动变化现象中变量之间的关系，数学中逐渐形成了函数概念． 人们通过研究函数及其性质，可以更深入地认识现实世界中事物变化的规律． 在本章中，我们将通过具体例子，认识常量和变量，学习函数的概念和表 示方法．在此基础上，用函数描述一些简单问题中变量之间的关系，感受函数 在刻画变量关系和变化规律中的作用． 第二十一章 四边形 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用２２．１ 函数的概念 在研究运动变化现象时，为了描述事物的状态，人们经 常会引进一些量，通过研究不同量之间的关系，来认识事物 变化的规律． 先思考几个具体问题． 5 （１）汽车以６０ｋｍ／ｈ的速度匀速行驶，当行驶时间狋分别为１ｈ，２ｈ， ５ｈ时，行驶路程狊分别为多少？狊的值随狋的值的变化而变化吗？ （２）电影票的售价为４０元／张．第一场售出８０张票，第二场售出１０５ 张票，第三场售出１８０张票，三场电影的票房收入各是多少元？设一场电 影售出狓张票，票房收入为狔元，狔的值随狓的值的变化而变化吗？ （３）你见过水中的涟漪吗？如图２２．１１， 圆形水波慢慢地扩大．在这一过程中，当圆 的半径狉分别为１０ｃｍ，２０ｃｍ，３０ｃｍ时， 圆的面积犛分别为多少？犛的值随狉的值的 变化而变化吗？ （４）长方体的体积为１０００ｃｍ３ ，当长 方体的底面积犛分别为５０ｃｍ２ ，１００ｃｍ２ ， 图２２．１１ １２５ｃｍ２ 时，高犺分别为多少？犺的值随犛 的值的变化而变化吗？ 上述问题反映了不同事物的变化过程．问题 （１）反映了汽车行驶的路程狊 随行驶时间狋的变化而变化的过程．在这个过程中，行驶速度的值是始终不变 的，行驶时间狋和行驶路程狊的值是变化的．问题 （２）反映了电影票房收入狔 随售出票数狓的变化而变化的过程．在这个过程中，电影票的售价是始终不变 的，售出票数狓和票房收入狔的值是变化的． ９０ 第二十二章 函数 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用一般地，在一个变化过程中，我们称数值始终 不变的量为常量，数值发生变化的量为变量．例如， 问题 （３）和问题 在问题 （１）和 （２）中，汽车行驶的速度、电影票 （４）反映了什么变化 过程？其中的常量和 的售价是常量；汽车行驶的时间狋、路程狊，售出的 变量分别是什么？ 电影票数狓、票房收入狔是变量． 例１ 指出下列问题中的常量和变量： （１）某市居民生活用水的价格为５元／ｔ．记某户的月用水量为狓ｔ，月应缴 水费为狔元． （２）在某地乘坐公交车，刷公交卡每次收费１元．李明在公交卡中存入３０ 元，记此后他乘坐公交车狀次，公交卡中的余额为狑元． （３）用２０ｍ长的绳子围一个矩形，记矩形的一边长为狓ｍ，矩形的面积 为犛ｍ２． 解：（１）生活用水的价格是常量，某户的月用水量狓和月应缴水费狔是 变量． （２）刷公交卡每次收费和存入的钱数是常量，乘坐公交车的次数狀和公交 卡中的余额狑是变量． （３）绳的长度是常量，矩形的一边长狓和面积犛是变量．  １．指出下列问题中的常量和变量： （１）向一个水池注水，注水速度为０．１ｍ３ ／ｍｉｎ．记注水时间为狓ｍｉｎ， 注水量为狔ｍ３． （２）我国 “十三五”期间每年的国内生产总值如下表所示． 年份狓 ２０１６ ２０１７ ２０１８ ２０１９ ２０２０ 国内生产总值 ７４６３９５．１ ８３２０３５．９ ９１９２８１．１ ９８６５１５．２１０１３５６７．０ 狔／亿元 （３）一个平行四边形的底边长为５，高犺可以任意改变，面积为犛． ２．举两个运动变化的例子，并分别指出其中的常量和变量． 第二十二章 函数 ９１ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用5 第９０页 “思考”的问题 （１）～（４）中各有两个变量，每个问题中的 两个变量之间有什么关系？如何表示这种关系？ 在问题 （１）中，两个变量是狋和狊，狊随狋的变化而变化．每当狋取定一个 值时，狊就有唯一确定的值与其对应．其中，当狋＝１时，狊＝６０；当狋＝２时， 狊＝１２０；当狋＝５时，狊＝３００……．它们之间的关系可以用狊＝６０狋表示． 在问题 （２）中，两个变量是狓和狔，狔随狓的 变化而变化．每当狓取定一个值时，狔就有唯一确 类似地，请你分别 定的值与其对应．其中，当狓＝８０时，狔＝３２００； 指出问题 （３）（４）中 当狓＝１０５时，狔＝４２００；当狓＝１８０时，狔＝７２００． 两个变量之间的关系， 并写出关系式． 它们之间的关系可以用狔＝４０狓表示． 3 上面每个问题中的两个变量，当其中一个变量取定一个值时，另一个 变量就有唯一确定的值与其对应． 一些用图或表格表达的问题中，也能看到两个变量之间有上面那样的关系． 5 （１）潮汐是指海水在月球和太阳引力作用下发生的周期性涨落现象．我国 某港口潮水的高度 （简称潮高）在某时段的变化如图２２．１２所示，时间与潮 高分别记作变量狋与犺．这两个变量之间有什么关系？ h/cm 350 300 250 200 150 100 50 0 0U00 2U00 4U00 6U00 8U00 10U00 12U00 14U00 16U00 18U00 20U00 22U00 24U00 t 图２２．１２ ９２ 第二十二章 函数 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用（２）某年某银行整存整取的存款期限与对应的年利率如表２２．１１所 示，存款期限与年利率分别记作变量狓和狔．这两个变量之间有什么关系？ 表２２１１ 存款期限狓／月 ３ ６ １２ ２４ ３６ ６０ 年利率狔／％ １．１５ １．３５ １．４５ １．６５ １．９５ ２．００ 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量狓与狔，并且对于狓的每一 个确定的值，狔都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说狓是自变量，狔是 狓的函数 （ｆｕｎｃｔｉｏｎ）．如果当狓＝犪时狔＝犫，那么犫叫作当自变量的值为犪时 的函数值． 可以认为：在第９０页 “思考”的问题 （１）中，时间狋是自变量，路程狊 是狋的函数，当狋＝１时，函数值狊＝６０，当狋＝２时，函数值狊＝１２０；在图 ２２．１２中，时间狋是自变量，潮高犺是狋的函数，当狋＝１８时，函数值犺＝ １５８；在表２２．１１中，存款期限狓是自变量，年利率狔是狓的函数，当狓＝１２ 时，函数值狔＝１．４５％．  １．判断下列问题中的两个变量之间是不是函数关系．如果是，指出其中的 自变量与函数． （１）改变正方形的边长狓，正方形的面积犛随狓的变化而变化； （２）乘坐摩天轮时，游客离地面的高度犺随时间狋的变化而变化； （３）某天不同时刻的气温如图所示，气温犜随时间狋的变化而变化； T
30 27 24 21 18 15 12 0U00 2U00 4U00 6U00 8U0010U0012U0014U0016U0018U0020U0022U0024U00 t （第１（３）题） （４）某地一年不同月份的降水量如下表所示，降水量狔随月份狓的变 化而变化． 第二十二章 函数 ９３ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用月份狓 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ 降水量狔／ｍｍ ２０ ２３ ４３ ９５ １４６１９３１８６１３８１０６ ８６ ４８ ２４ ２．举出一个函数例子，说明其中的函数关系，并指出其中的自变量与 函数． 从上面的内容可知，函数是刻画变量之间对应关系的数学模型，许多问题 中变量之间的关系都可以用函数来表示． 例２ 汽车油箱中有汽油５０Ｌ．如果不再加油，那么油箱中剩余的油量狔 （单位：Ｌ）随行驶路程狓（单位：ｋｍ）的增加而减少．已知该汽车平均每千米 耗油０．１Ｌ． （１）写出表示狔与狓的函数关系的式子； （２）指出自变量狓的取值范围； （３）汽车行驶２００ｋｍ时，油箱中还有多少汽油？ 解：（１）行驶路程狓是自变量，油箱中剩余的 ０．１狓表示的实际 油量狔是狓的函数，它们的关系为 意义是什么？ 狔＝５０－０．１狓． （２）仅从式子狔＝５０－０．１狓看，狓可以取任意 实数．但是考虑到狓代表的实际意义为行驶路程， 确定自变量的取值 因此狓不能取负数．行驶中的耗油量为０．１狓Ｌ，它 范围时，不仅要考虑使 不能超过油箱中现有汽油量５０Ｌ，即 函数关系式有意义，而 且要注意问题的实际 ０．１狓≤５０． 意义． 因此，自变量狓的取值范围是 ０≤狓≤５００． （３）汽车行驶２００ｋｍ时，油箱中剩余的汽油量是函数狔＝５０－０．１狓在 狓＝２００时的函数值．将狓＝２００代入狔＝５０－０．１狓，得 狔＝５０－０．１×２００＝３０． 因此，汽车行驶２００ｋｍ时，油箱中还有３０Ｌ汽油． 像狔＝５０－０．１狓这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间 的关系是表示函数的常用方法，这种式子叫作函数的解析式． ９４ 第二十二章 函数 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用 １．判断下列问题中的两个变量之间是不是函数关系．如果是，指出其中的 自变量与函数，并写出函数解析式． （１）水箱中原有水１０Ｌ，漏水速度为０．０５Ｌ／ｈ，水箱中剩余的水量犞 （单位：Ｌ）随时间狋（单位：ｈ）的变化而变化； （２）绿水村的耕地面积是１０６ｍ２ ，这个村的人均耕地面积狔（单位：ｍ２ ） 随人数狀的变化而变化． ２．梯形的上底长为２ｃｍ，高为３ｃｍ，下底长狓（单位：ｃｍ）大于上底长 但不超过５ｃｍ，写出梯形面积犛（单位：ｃｍ２ ）关于狓的函数解析式， 并指出自变量狓的取值范围． ３．举出一个函数例子，要求其中的函数关系能用解析式表示，并指出自 变量的取值范围．   １．指出下列问题中的常量和变量： （１）把１０本书随意放入两个抽屉 （每个抽屉内都放），第一个抽屉放入狓本， 第二个抽屉放入狔本． （２）水中涟漪不断扩大，记圆形水波的半径为狉，周长为犆，圆周率为π． （３）张华在操场跑步．已知操场一圈为４００ｍ，记她跑的圈数为狀，跑的路程 为狊ｍ． ２．判断下列问题中的两个变量之间是不是函数关系．如果是，指出其中的自变量 与函数． （１）记小于自然数狀的质数的个数为犿，犿随狀的变化而变化． （２）北京天安门广场的国旗每天随日出升起．某年国庆七天假期每天的升旗时 刻如下表所示，升旗时刻随日期的变化而变化． 日期狓 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ 升旗时刻狔 ６：１０ ６：１１ ６：１２ ６：１３ ６：１４ ６：１５ ６：１６ 第二十二章 函数 ９５ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用３．购买一些铅笔，单价为０．４元／支，总价狔（单位：元）随铅笔支数狓的变化 而变化．指出其中的常量与变量，自变量与函数，并写出函数解析式． ４．一个三角形的底边长为５，面积犛随底边上的高犺的变化而变化．指出其中的 常量与变量，自变量与函数，并写出函数解析式，以及自变量的取值范围．  ５．在计算器上按下面的程序操作： 狓 D


UU J (cid:215) 2 5 狔 .
U@04 U 填表： 狓 １ ３ －４ ０ １０１ －５．２ 狔 显示的计算结果狔是输入数值狓的函数吗？为什么？ ６．下列式子中的狔是狓的函数吗？为什么？ 狓－２ （１）狔＝３狓－５； （２）狔＝ ； （３）狔＝槡狓－１． 狓－１ ７．分别对第６题中的各函数解析式进行讨论： （１）当自变量狓在什么范围内取值时，函数解析式有意义？ （２）当狓＝５时，对应的函数值是多少？ ８．风寒效应是一种因风所引起的使体感温度较实际气温低的现象．实验表明，当 气温在１０℃时，风力级别狏和人的体感温度犜的关系如下表所示．犜是狏的 函数吗？为什么？ 风力级别狏／级 ０ ３ ５ ７ 人的体感温度犜／℃ １０ ５ ０ －３   ９．人们对于学过的知识会遗忘，遗忘曲线 （如图）描述了人类大脑对新事物记 忆保存量减少的规律． ９６ 第二十二章 函数 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用 / 100 80 60 40 20 0 1 2 3 4 5 6 31  （第９题） （１）图中横轴表示初次记忆后经过的时间狋，纵轴表示记忆保存量狔，狔是狋 的函数吗？为什么？ （２）观察遗忘曲线，对于新学习的知识，你能否给出复习的建议？ 第二十二章 函数 ９７ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用不知是否有一瞬，你曾好奇过，一个数学概 念是如何来的？ 正如一棵大树从发芽到繁盛一样，数学概念 的发展也不是一蹴而就的，有些数学概念甚至跨 将函数界定在曲线 越数百年、数千年，才以如今的面貌呈现在我们 上的量，不能精确地描 眼前．函数概念从产生到完善跨越了３个世纪， 述运动中的变量关系， 对于数学家而言，那是一条曲折的探索之路． 一个变量的函数应该是 由该变量和一些常量以 任何方式组成的！ 可以用函数 动点做曲 表示随着曲线上 线运动时，它 世界是一本以数 的点变动的量， 的横坐标和纵 学语言写成的书，用 比如点的横、纵 坐标相互依赖 数学可以探秘自由落 坐标，切线的长 并 同 时 发 生 体运动、抛物体描绘 度等． 变化． 出的路径…… 约翰·伯努利 （ＪｏｈａｎｎＢｅｒｎｏｕｌｌｉ， １６６７—１７４８） 莱布尼茨 笛卡儿 （Ｌｅｉｂｎｉｚ，１６４６—１７１６） 伽利略 （Ｄｅｓｃａｒｔｅｓ， （Ｇａｌｉｌｅｏ，１５６４—１６４２） １５９６—１６５０） 对于数学家来说，一个概念必须是明确的， 不过这种明确很多时候也是从直观开始的．从直 由运动的研究引出一个基本的数 观的曲线开始，用函数表示几何量，就是 “函数 学概念———函数，那么函数是什么？ 概念的几何起源”． ９８ 第二十二章 函数 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用假定狕是一个变 量，它可以逐次取所有 有的函数很难 可能的实数值．若对它 用图象或解析式表 的每一个值，都有不定 示，比如下面的函 量狑的唯一值与之相 数：当狓为有理数 即使一个简单 对应，则称狑为狕的 函数，也可能有不 时，狔＝１；当狓为 函数． 再 精 确 一 同的解析式．如果 无理数时，狔＝０． 怎么办？ 些，可以 “解析 某些变量间存在一 表示”的，就称 定关系，当给定其 为函数．解析表 中某一变量的值， 示，包括以各种 其他变量也随之确 运算连接变量和 定，那么其他变量 常量． 就可称为函数． 黎曼 狄利克雷 （Ｒｉｅｍａｎｎ，１８２６—１８６６） （Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ，１８０５—１８５９） 欧拉 柯西 （Ｅｕｌｅｒ，１７０７—１７８３） （Ｃａｕｃｈｙ，１７８９—１８５７） 函数究竟是什么？是一条曲线， 还是一个解析式？１９世纪，数学飞 速发展，出现了各种各样的函数， 于是，原有解释已经捉襟见肘了， 对于一个概念发展中产生的局限性和模 利用 “对应”解释函数的方法出现 糊用语，数学家是不能忍受的，如 “曲线上 了，即现有教科书中的函数定义． 运动的量”“任何方式”，于是有了 “运算连 接”．认同这种解析式解释的数学家很多，于 是 “函数是由一个解析表达式所给出的”成 为了１８世纪占据主位的函数概念． 第二十二章 函数 ９９ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用２２．２ 函数的表示 由上一节我们知道，用解析式可以表示函数与自变量之间的 关系，例如路程与时间的关系；用图和表格也可以表示函数与自 变量之间的关系，例如潮水高度与时间的关系、年利率与存款期 限的关系．表示函数时，要根据具体情况选择合适的方法． 有些问题中的函数关系很难用解析式表示，但是可以用图来直观地反映． 对于能用解析式表示的函数关系，如果也能画图表示，那么会使函数关系更直 观．例如，正方形的面积犛与边长狓的函数解析式为犛＝狓２．根据问题的实际 意义，可知自变量狓的取值范围是狓＞０．我们还可以通过在平面直角坐标系中 画图的方法来表示犛与狓的关系． 计算并填写表２２．２１． 表２２２１ 狓 … ０．５ １ １．５ ２ ２．５ ３ ３．５ ４ … 犛 … ０．２５ １ … 如图２２．２１，在平面直角坐标系中，画出表 自变量狓的一个确 ２２．２１中各对数值所对应的点，然后用平滑曲线依次 定的值与它所对应的唯 连接这些点．所得曲线上每一个点都代表狓的值与犛的 一的函数值犛，是否确 值的一种对应，例如，点 （２，４）表示当狓＝２时，犛＝４． 定了一个点 （狓，犛）呢？ S 16    表示狓与犛的对应 关系的点有无数个．但 9 是实际上我们只能描出 其中有限个点，同时想 4   象出其他点的位置．   1 O 1 2 3 4 x 图２２．２１ １００第二十二章 函数 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的 横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．图 ２２．２１的曲线即函数犛＝狓２ （狓＞０）的图象． 例１ 在下列式子中，狔是狓的函数．画出这些函数的图象，通过图象观 察函数与自变量的关系． ３ （１）狔＝狓＋０．５； （２）狔＝ （狓＞０）． 狓 解：（１）从式子狔＝狓＋０．５可以看出，狓取任意实数时这个式子都有意 义，所以狓的取值范围是全体实数． 从狓的取值范围中选取一些数值，算出狔的对应值，列表 （计算并填写表 ２２．２２中空格）． 表２２２２ 狓 … －２ －１ ０ １ ２ … 狔 … －０．５ ０．５ … 根据表２２．２２中的数值在平面直角坐标系中描点 （狓，狔），并用平滑曲线 连接这些点 （图２２．２２）． y 3 2 y=x+0.5 1 -2 -1 O 1 2 x -1 -2 图２２．２２ 从函数狔＝狓＋０．５的图象可以看出，直线从左向右上升，即当狓由小变 大时，狔随之增大． ３ （２）狔＝ （狓＞０）中狓的取值范围是全体正实数，从狓的取值范围中选 狓 取一些数值，算出狔的对应值，列表 （计算并填写表２２．２３中空格）． 表２２２３ 狓 … ０．５ １ ２ ３ ４ ５ ６ … 狔 … ３ １．５ １ ０．７５ … 第二十二章 函数１０１ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用根据表２２．２３中的数值在平面直角坐标系中描点 （狓，狔），并用平滑曲线 连接这些点 （图２２．２３）． y 6 3 y= 5 x 4 3 2 1 O 1 2 3 4 5 6 x 图２２．２３ ３ 从函数狔＝ （狓＞０）的图象可以看出，曲线从左向右下降，即当狓由小 狓 变大时，狔随之减小． 3 用描点法画函数图象的一般步骤如下： 第一步，列表———表中给出一些自变量的值及其对应的函数值； 第二步，描点———在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相 应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点； 第三步，连线———按照横坐标从小到大的顺序，把所描出的各点用平 滑曲线连接起来．  １． （１）画出函数狔＝２狓－１的图象； （２）判断点犃（－２．５，－４），犅（１，３），犆（２．５，４）是否在函数狔＝ ２狓－１的图象上． ２． （１）画出函数狔＝狓２＋１的图象． （２）观察函数狔＝狓２＋１的图象，当狓＜０时，狔随狓的增大而增大还 是狔随狓的增大而减小？当狓＞０时呢？ 下面我们利用函数图象解决一些实际问题． １０２第二十二章 函数 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用5 图２２．２４是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天气温 犜如何随时间狋的变化而变化．你从图象中得到了哪些信息？ T/
8 如有条件，你可以 用带有温度探头的信息 技术工具测量、记录温 O 4U00 14U00 24U00 t 度，并绘制温度随时间 -3 变化的图象． 图２２．２４ 由图２２．２４可以看出，气温犜随时间狋的变化而变化，对于时间狋的每 一个确定的值，气温犜都有唯一确定的值与其对应．因此，气温犜是时间狋的 函数，图２２．２４是这个函数的图象． 由图象可知： （１）这一天中凌晨４时气温最低 （－３℃），１４时气温最高 （８℃）； （２）从０时至４时气温呈下降状态 （即温度随时间的增长而下降），从４ 时到１４时气温呈上升状态，从１４时至２４时气温又呈下降状态； （３）我们可以从图象看出这一天中任一时刻的气温大约是多少． 例２ 如图２２．２５，李明家、食 堂、图书馆在同一条直线上．李明从 家去食堂吃早餐，接着去图书馆查资 料，然后回家．图２２．２６反映了这个 过程中，李明离家的距离狔与时间狓    之间的对应关系． 图２２．２５ y/km 0.8 0.6 O 8 2528 58 68 x/min 图２２．２６ 第二十二章 函数１０３ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用根据图象回答下列问题： （１）食堂离李明家多远？李明从家到食堂用了多长时间？ （２）李明吃早餐用了多长时间？ （３）食堂离图书馆多远？李明从食堂到图书馆用了多长时间？ （４）李明查资料用了多长时间？ （５）图书馆离李明家多远？李明从图书馆回家的平均速度是多少？ 分析：李明离家的距离狔是时间狓的函数．由图象中有两段平行于狓轴的 线段可知，李明离家后有两段时间先后停留在食堂与图书馆里． 解：（１）由纵坐标看出，食堂离李明家０．６ｋｍ；由横坐标看出，李明从 家到食堂用了８ｍｉｎ． （２）由横坐标看出，２５－８＝１７，李明吃早餐用了１７ｍｉｎ． （３）由纵坐标看出，０．８－０．６＝０．２，食堂离图书馆０．２ｋｍ；由横坐标看 出，２８－２５＝３，李明从食堂到图书馆用了３ｍｉｎ． （４）由横坐标看出，５８－２８＝３０，李明查资料用了３０ｍｉｎ． （５）由纵坐标看出，图书馆离李明家０．８ｋｍ；由横坐标看出，６８－５８＝ １０，李明从图书馆回家用了１０ｍｉｎ，由此算出李明从图书馆回家的平均速度是 ０．０８ｋｍ／ｍｉｎ． / 构建合适的问题情境，使其中的变量之间的函数关系可以分别用图 ２２．２７和图２２．２８中的图象来表示． s/m s/m 900 900 O 10 20 30 40 t/min O 10 20 30 4045 t/min 图２２．２７ 图２２．２８ １０４第二十二章 函数 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用 １．园林队在某公园进行绿化，中间休息了一段时间．已知绿化面积犛与工 作时间狋的函数关系如图所示． （１）休息前，园林队工作了多长时间？绿化面积为多少？ （２）园林队中间休息了多长时间？ （３）休息后，园林队每小时完成的绿化面积为多少？ S/m2 T/
160 8 " 60  O 4U007U00 12U0014U00 24U00 t O 1 2 4 t/h -3 （第１题） （第２题） ２．如图，这是某一天北京与上海的气温随时间变化的图象． （１）这一天内，北京与上海何时气温相同？ （２）这一天内，上海在哪段时间比北京气温 y/m 1 000 高？在哪段时间比北京气温低？ （３）你还能从函数图象中得到哪些信息？ ３．如图，构建问题情境，使其中变量之间的函 O 6 18 t/min 数关系可以用图中的图象来表示． （第３题） 由上面的内容可知，写出函数解析式，或者列表格，或者画函数图象，都 可以表示具体的函数．这三种表示函数的方法，分别称为解析法、列表法和图 象法． 5 从前面的例子看，你认为三种表示函数的方法各有什么优点？ 对于一个具体的函数问题，应当选择适当的方法表示其中的函数关系．有 时为全面地认识问题，需要同时使用多种表示法． 第二十二章 函数１０５ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用例３ 一个水库的水位在最近５ｈ内持续上涨．表２２．２４记录了这５ｈ内６ 个时间点的水位高度，其中狋表示时间，狔表示水位高度． 表２２２４ 狋／ｈ ０ １ ２ ３ ４ ５ 狔／ｍ ３ ３．３ ３．６ ３．９ ４．２ ４．５ （１）在平面直角坐标系中描出表２２．２４中数据对应的点，这些点是否在 一条直线上？由此你能发现水位变化有什么规律吗？ （２）水位高度狔是不是时间狋的函数？如果是，写出一个符合表２２．２４ 中数据的函数解析式，并画出这个函数的图象．这个函数能表示水位的变化规 律吗？ （３）如果这种上涨规律还会持续２ｈ，那么２ｈ后水位高度将为多少米？ 解：（１）如图２２．２９，描出表２２．２４中数据 y/m 对应的点．可以看出，这６个点在一条直线上．再 4.5 B 结合表２２．２４中的数据，可以发现每小时水位上 3 A 升０．３ｍ．由此猜想，如果画出这５ｈ内其他时刻 （如狋＝２．５ｈ等）及其水位高度所对应的点，它们 可能也在这条直线上，即在这个时间段中水位可 O 5 t/h 图２２．２９ 能是始终以同一速度均匀上升的． （２）由于水位在最近５ｈ内持续上涨，对于时间狋的每一个确定的值，水 位高度狔都有唯一的值与其对应，所以狔是狋的函数．开始时水位高度为３ｍ， 以后每小时水位上升０．３ｍ．函数 狔＝０．３狋＋３ （０≤狋≤５） 是符合表２２．２４中数据的一个函数，它表示经过狋ｈ水位高度狔为 （０．３狋＋３）ｍ． 其图象是图２２．２１０中点犃（０，３）和点犅（５，４．５）之间的线段犃犅． 如果在这５ｈ内，水位一直匀速上升，即升速 y/m 为０．３ｍ／ｈ，那么函数狔＝０．３狋＋３ （０≤狋≤５）就 5.1 4.5 B 精确地表示了这种变化规律．即使在这５ｈ内，水 y=0.3t+3 3 A 位的升速有些变化，而由于每小时水位上升０．３ｍ 是确定的，所以这个函数也可以近似地表示水位 O 5 7 t/h 图２２．２１０ １０６第二十二章 函数 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用的变化规律． （３）如果水位的变化规律不变，则可利用上述函数预测，再过２ｈ，即狋＝ ５＋２＝７ （ｈ）时，水位高度 狔＝０．３×７＋３＝５．１ （ｍ）． 把图２２．２９中的函数图象 （线段犃犅）向右延 由例３可以看出， 伸到狋＝７所对应的位置，得图２２．２１０，从它也能 有些函数的不同表示法 看出这时的水位高度约为５．１ｍ． 之间可以转化．  １．用列表法与解析法表示狀边形的内角和犿（单位：度）关于边数狀的 函数． ２．用解析法与图象法表示等边三角形的周长犆关于边长犪的函数． ３．一条小船沿直线向码头匀速前进．在０ｍｉｎ，２ｍｉｎ，４ｍｉｎ，６ｍｉｎ时， 测得小船与码头的距离分别为２００ｍ，１５０ｍ，１００ｍ，５０ｍ．小船与码 头的距离狊（单位：ｍ）是时间狋（单位：ｍｉｎ）的函数吗？如果是，写 出函数解析式，画出函数图象，并计算小船到达码头用了多长时间．   １．画出下列函数的图象： ３ （１）狔＝０．５狓； （２）狔＝－ （狓＞０）． 狓 ２．下列各曲线中哪些表示狔是狓的函数？ y y y y O x O x O x O x （１） （２） （３） （４） （第２题） 第二十二章 函数１０７ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用３． “漏壶”是一种古代计时器，壶内壁有刻度，在它内部盛一 定量的水，水从壶下的小孔漏出，人们根据壶中水面的位 置计算时间．用狓表示漏水时间，狔表示壶底到水面的高 度，下列图象中哪个适合表示狔与狓的对应关系？（不考 漏壶 虑水量变化对压力的影响．） y y y O x O x O x （１） （２） （３） （第３题） ４．已知刘伟家、体育场、文具店在同一条直线上．下面的图象反映的过程是：刘 伟从家跑步去体育场，在那里锻炼了一段时间后又走到文具店去买笔，然后 散步走回家．图中狓表示时间，狔表示刘伟离家的距离． y/km 2.5 1.5 O 15 30 45 65 100 x/min （第４题） 根据图象回答下列问题： （１）体育场离刘伟家多远？刘伟从家到体育场用了多长时间？ （２）体育场离文具店多远？ （３）刘伟在文具店停留了多长时间？ （４）刘伟从文具店回家的平均速度是多少？  ５．某铅球运动员在出手高度、出手速度等条件相同的情况下，出手角度 （在一 定范围内）与掷出铅球的最远距离的数据如下表所示． 出手角度 ３８° ３９° ４０° ４１° ４２° 最远距离／ｍ ２１．７０ ２１．７８ ２１．８５ ２１．８９ ２１．９１ １０８第二十二章 函数 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用（１）记出手角度为狓°，掷出的最远距离为狔ｍ，狔是狓的函数吗？为什么？ （２）从表格中的数据看，随着出手角度的增大，最远距离如何变化？ ６．某种银行存款的年利率为２％，投入１００００元本金．如果存款期间每年产生的 利息不计入本金重复计算利息，求本息和狔（本金与利息的和，单位：元）关 于所存年数狓的函数解析式，并计算存期为４年时的本息和． ７．正方形边长为３，若边长增加狓，则面积增加狔．求狔关于狓的函数解析式， 并以表格形式表示当狓等于１，２，３，４时狔的值． ８．甲、乙两车沿直路同向行驶，车速分别为２０ｍ／ｓ和２５ｍ／ｓ．现甲车在乙车前 ５００ｍ处，设狓ｓ（０≤狓≤１００）后两车相距狔ｍ．用函数解析式和图象表示狔 与狓的对应关系．   ９．甲、乙两辆汽车从Ａ城出发前往Ｂ城．在整个行程中，两车离开Ａ城行驶的 路程狔与时刻狋的对应关系如图所示． y/km 300   O 5U00 6U00 7U30 9U0010U00 t （第９题） （１）从Ａ城到Ｂ城，甲、乙两车各行驶了多少千米？ （２）哪辆车先出发？哪辆车先到Ｂ城？ （３）甲、乙两车的平均速度分别为多少？ （４）你还能从图中得到哪些信息？ 第二十二章 函数１０９ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用 =# QDG\L "8 体脂率是指人体内脂肪量在体重中所占的比例，又称体脂百分数．普 通人的理想体脂率，男性为１４％～２０％，女性为１７％～２４％．试估计一 下你的体脂率在理想范围内吗？ 测定体脂率的方法有多种，下面的计算方法便于自我检测． 在不同时间，人的腰围 （记为犾，单位：ｃｍ）和体重 （记为狑，单 位：ｋｇ）会有变化，由这些变量，可以计算出不同时间的体脂率．具体计 算过程如下： （１）计算犪，犪是腰围犾的函数，犪＝０．７４犾； （２）计算犫，犫是体重狑的函数，对于男性犫＝０．０８２狑＋４４．７４，对 于女性犫＝０．０８２狑＋３４．８９； （３）计算脂肪总量犱，犱＝犪－犫； 犱 （４）计算体脂率狆，狆＝ ×１００％． 狑 请以小组为单位，完成下列任务： （１）测量并记录每位同学的腰围犾和体重狑． （２）填写表１． 表１ 体脂率测定表 项目 同学１ 同学２ 同学３ 同学４ …… 腰围犾／ｃｍ 体重狑／ｋｇ 犪＝０．７４犾 犫＝０．０８２狑＋４４．７４（男） 犫＝０．０８２狑＋３４．８９（女） 脂肪总量犱＝犪－犫 犱 体脂率狆＝ ×１００％ 狑 （３）对表１的结果进行分析． １１０第二十二章 函数 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
              
  现实世界中存在着大量的运动变化现象．本章结合一些实际问题，分 析了一个运动变化过程中两个变量之间的一种对应关系，即每当其中某 个变量取一个确定的值时，另一个变量有唯一确定的值与其对应，由此 初步认识了函数及其表示法． 两个变量之间的函数关系可以用解析式表示，也可以用表格或图象 表示，这三种函数的表示法各有优点．例如，解析法比较精确，列表法比 较直接，而图象法比较直观等．在研究函数的过程中，有时为了更好地分 析函数关系，会同时使用两种甚至三种表示法，其中结合使用解析式和 图象研究函数的方法体现了数形结合的思想． 在利用函数解决问题时，关键在于分析问题中变量之间的对应关系， 并选择适当的方法表示这种关系，从而将实际问题转化为函数问题．这一 过程有助于提升我们的抽象能力，增强模型观念． 请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧． １．举例说明什么是常量和变量． ２．举例说明两个变量狓和狔满足什么条件时，狔是狓的函数． ３．函数有哪些表示法？它们各有什么优点？请举例说明． ４．举例说明如何利用函数解决实际问题． 第二十二章 函数１１１ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用   １．Ａ，Ｂ两地相距１０ｋｍ，李明从Ａ地出发骑自行车以２０ｋｍ／ｈ的速度前往Ｂ地． 用狓（单位：ｈ）表示骑行时间，狔（单位：ｋｍ）表示李明与Ｂ地的距离，指出 其中的常量与变量，自变量与函数，并写出函数解析式和自变量的取值范围． ２．某水库的水位高度与相应的蓄水量如下表所示． 水位高度／ｍ ９５ １０４ １２１ １２５ １２８ 蓄水量／ｍ３ １．０５×１０７ ２．４１×１０７ ７．１２×１０７ ９．５３×１０７ １．０３×１０８ （１）设水库的水位高度为狓ｍ，蓄水量为狔ｍ３ ，狔是狓的函数吗？为什么？ （２）观察表格中的数据，随着水位高度的变化，蓄水量是如何变化的？ １ ３．判断下列各点是否在函数狔＝ 的图象上． 狓＋１ （－２，－１），（－１，０），（０，１），（１，２）．  ４．某水果批发市场每次批发苹果不少于１００ｋｇ时，批发价为４．５元／ｋｇ．小王携带 ９０００元到这家市场批发苹果，并以批发价买进．设购买的苹果为狓ｋｇ，小王付 款后还剩余狔元．写出狔关于狓的函数解析式，并指出自变量狓的取值范围． ５．已知等腰三角形周长为２０．写出底边长狔关于腰长狓的函数解析式，以及函数 解析式中自变量的取值范围，并在平面直角坐标系中画出它的图象． ６． （１）画出函数狔＝｜狓－１｜的图象； （２）设犘（狓，０）是狓轴上的一个动点，它与狓轴上表示－３的点的距离为狔． 求狔关于狓的函数解析式，并画出这个函数的图象．   １ ７．在同一平面直角坐标系中分别画出函数狔＝狓与狔＝ 的图象．利用这两个图象回答： 狓 １ １ （１）狓取什么值时，狓比 大？ （２）狓取什么值时，狓比 小？ 狓 狓 ８．四边形有两条对角线，五边形、六边形分别有多少条对角线？狀边形呢？多边形对 角线的条数狔是边数狀的函数吗？如果是，写出函数解析式，并画出函数图象． １１２第二十二章 函数 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用第二十三章 一次函数 现实世界中的运动变化现象各种各样，有的简单，有的复杂．例如，在匀 速直线运动中，任意相同时间的变化都会引起相同路程的变化，即路程随时间 均匀变化．像这样，一个变量随另一个变量均匀变化的现象在现实世界中大量 存在．例如，高铁列车在匀速行驶的过程中，行驶的路程狊随时间狋的变化； 一年期存款到期时在计算本息和的过程中，本息和狔随本金狓的变化；登山队 员在攀登高峰的过程中，所在位置的气温狔随海拔狓的变化；等等． 在本章中，我们将学习刻画一个变量随另一个变量均匀变化这类现象的函 数———一次函数．通过具体问题体会一次函数的意义，结合其图象讨论它的性 质，体会其在解决运动变化问题中的作用．在此基础上，还将从一次函数的角 度再次认识一次方程和不等式，并用一次函数解决一些实际问题． 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用 书书书２３．１ 一次函数的概念 函数是刻画运动变化现象中变量之间关系的数学模型． 运动变化各种各样，函数也有不同的类型．一次函数是一类 刻画简单的运动变化的函数，也是一类最基本的函数． 问题 某登山队大本营所在地的气温为５℃， 海拔每升高１ｋｍ气温下降６℃．登山队员由大本营 向上登高狓ｋｍ时，他们所在位置的气温是狔℃． 用函数解析式表示狔与狓的关系，并求当登山队员 向上登高２ｋｍ时，他们所在位置的气温． 分析：狔随狓变化的规律是：从大本营向上， 当海拔增加狓ｋｍ时，气温从５℃减少６狓℃．因此，狔关于狓的函数解析式为 狔＝５－６狓． 这个函数也可以写为 狔＝－６狓＋５． 当登山队员由大本营向上登高２ｋｍ时，他们所在位置的气温就是当狓＝２ 时函数狔＝－６狓＋５的值，即狔＝－６×２＋５＝－７ （℃）． 5 在下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，写出函 数解析式．这些函数解析式有哪些共同特征？ （１）铁的密度约为７．９ｇ／ｃｍ３ ，铁块的质量犿 （单位：ｇ）随它的体积 犞（单位：ｃｍ３ ）的变化而变化． （２）每个练习本的厚度为０．５ｃｍ，一些练习本摞在一起的总厚度犺 （单位：ｃｍ）随练习本的个数狀的变化而变化． （３）一种计算成年人标准体重犿 （单位：ｋｇ）的方法是：以厘米为单 位量出身高犺，再减去常数１０５，所得差是犿的值，犿随犺的变化而变化． （４）把一个长１０ｃｍ、宽５ｃｍ的矩形的长减少狓ｃｍ，宽不变，矩形 的面积狔（单位：ｃｍ２ ）随狓的变化而变化． １１４第二十三章 一次函数 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用在上面的问题中，变量之间对应的关系都是函数关系，表示变量之间关系 的函数解析式分别为： （１）犿＝７．９犞； （２）犺＝０．５狀； （３）犿＝犺－１０５； （４）狔＝－５狓＋５０． 上面这些函数解析式都是常数犽与自变量的积与常数犫的和的形式． 一般地，形如狔＝犽狓＋犫（犽，犫是常数，犽≠０）的函数，叫作一次函数 （ｌｉｎｅａｒｆｕｎｃｔｉｏｎ），其中狓是自变量．特别地，当犫＝０时，狔＝犽狓＋犫即狔＝犽狓． 形如狔＝犽狓（犽是常数，犽≠０）的函数，叫作正比例函数，其中犽叫作比例系数． 例 一个弹簧不挂物体时长１２ｃｍ，在弹簧的弹性限度内，每挂１ｋｇ的物 体，弹簧伸长２ｃｍ． （１）求弹簧的长度狔（单位：ｃｍ）关于所挂物体质量狓（单位：ｋｇ）的函 数解析式； （２）当挂５ｋｇ的物体时，弹簧的长度是多少？ 解：（１）由每挂１ｋｇ的物体，弹簧伸长２ｃｍ可知，挂狓ｋｇ的物体时，弹 簧伸长２狓ｃｍ．因此，狔关于狓的函数解析式为 狔＝２狓＋１２． （２）把狓＝５代入狔＝２狓＋１２，得狔＝２×５＋１２＝２２． 因此，当挂５ｋｇ的物体时，弹簧的长度是２２ｃｍ．  １．下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？ ５ （１）狔＝－８狓； （２）狔＝－ ； （３）犆＝２π狉； 狓 （４）狔＝５狓２＋６； （５）狔＝２（狓－４）． ２．用函数解析式表示下列问题中狔与狓的关系： （１）某人一年内的月平均收入为狓元，他这一年 （１２个月）的总收入 为狔元； （２）某水池有水２０ｍ３ ，现在打开进水管开始进水，进水速度为 ３ｍ３ ／ｈ，则狓ｈ后水池有水狔ｍ３． 第二十三章 一次函数１１５ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用  １．下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？ （１）狔＝－０．２狓； （２）狔＝－３（狓＋１）； 狓 （３）犛＝π狉２ ； （４）狔＝ ． ２ ２．用函数解析式表示下列问题中狔与狓的关系： （１）一个长方体的长为２ｃｍ，宽为１．５ｃｍ，高为狓ｃｍ，体积为狔ｃｍ３ ； （２）某水箱有水１０Ｌ，以０．５Ｌ／ｍｉｎ的速度开始往外放水，放水时间为 狓ｍｉｎ，剩余水量为狔Ｌ． ３．若狔与狓成正比例关系，且狓＝２时，狔＝８，写出狔关于狓的函数解析式， 并求狓为何值时狔＝－４．  ４．某银行一年期存款利率为１．５％，记存入的本金为狓元，一年到期时的本息和 为狔元． （１）写出狔关于狓的函数解析式； （２）存入１００００元，一年到期时的本息和是多少元？   ５．学校发起为福利院儿童捐书包的活动，每个书包６０元．张华现有积攒的零花 钱４８０元，记她用零花钱捐献的书包数为狓个，剩余的钱数为狔元． （１）求狔关于狓的函数解析式，以及自变量狓的取值范围； （２）若她至少要留下１８０元购买课外书，则她最多能捐献几个书包？ １１６第二十三章 一次函数 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用２３．２ 一次函数的图象和性质 为了更好地借助函数认识运动变化现象，需要研究函数 的性质，函数的性质能更好地刻画运动变化现象的变化规律． 在函数性质的研究中，函数图象由于其直观性，经常扮演着 重要的角色． 我们从特殊的一次函数———正比例函数开始，利用图象研究其性质． 例１ 分别画出下列正比例函数的图象： １ （１）狔＝２狓，狔＝ 狓； （２）狔＝－１．５狓，狔＝－４狓． ３ 解：（１）函数狔＝２狓中的自变量狓可为任意实数．表２３．２１是狔与狓的 几组对应值． 表２３２１ 狓 … －２ －１ ０ １ ２ … 狔 … －４ －２ ０ ２ ４ … 如图２３．２１，在平面直角坐标系中描出以表２３．２１中的值为坐标的点． 将这些点连接起来，得到一条经过原点和第三、第一象限的直线．它就是函数 狔＝２狓的图象． １ 用同样的方法，可以得到函数狔＝ 狓的图象 （图２３．２１）．它也是一条经 ３ 过原点和第三、第一象限的直线． y 4 y=2x 3 2 y= 1 x 3 1 O -3 -2-1 1 2 3 x -1 -2 -3 -4 图２３．２１ 第二十三章 一次函数１１７ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用（２）函数狔＝－１．５狓中的自变量狓可为任意实数．表２３．２２是狔与狓的 几组对应值． 表２３２２ 狓 … －２ －１ ０ １ ２ … 狔 … ３ １．５ ０ －１．５ －３ … 如图２３．２２，在平面直角坐标系中描出以表２３．２２中的值为坐标的点． 将这些点连接起来，得到一条经过原点和第二、第四象限的直线．它就是函数 狔＝－１．５狓的图象． 用同样的方法，可以得到函数狔＝－４狓的图象 （图２３．２２）．它也是一条 经过原点和第二、第四象限的直线． y y=-4x 4 3 2 y=-1.5x 1 -2 -1 O 1 2 x -1 -2 -3 图２３．２２ １ 以上４个函数的图象都是经过原点的直线，其中函数狔＝２狓和狔＝ 狓的 ３ 图象经过第三、第一象限，从左向右上升；函数狔＝－１．５狓和狔＝－４狓的图 象经过第二、第四象限，从左向右下降． 一般地，正比例函数狔＝犽狓（犽是常数， 由正比例函数的解 犽≠０）的图象是一条经过原点的直线，我们 析式，你能说明它的函 称它为直线狔＝犽狓．当犽＞０时，直线狔＝犽狓 数值狔随自变量狓的增 经过第三、第一象限，从左向右上升，即狔随 大而增大 （或减小）的 道理吗？ 狓的增大而增大；当犽＜０时，直线狔＝犽狓经 过第二、第四象限，从左向右下降，即狔随 狓的增大而减小． １１８第二十三章 一次函数 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用5 由正比例函数的图象是一条直线，你能想到画正比例函数图象的简单 方法吗？ 因为两点确定一条直线，而正比例函数狔＝犽狓（犽≠０）的图象又是经过原 点的直线，所以只要再确定正比例函数图象上一点，就可以画出正比例函数的 图象．一般地，这一点可以取点 （１，犽）这个特殊点．  １．用你认为最简单的方法画出下列函数的图象： ３ （１）狔＝ 狓； （２）狔＝－６狓． ２ ２．若点 （２，犿）和点 （－３，狀）都在函数狔＝犽狓（犽＜０）的图象上，试 比较犿，狀的大小． 下面，我们研究一般的一次函数的图象和性质． 例２ 画出函数狔＝－３狓与狔＝－３狓＋１的图象． 解：函数狔＝－３狓与狔＝－３狓＋１中的自变量狓可为任意实数．列表表示 几组对应值 （计算并填写表２３．２３中空格）． 表２３２３ 狓 … －１ －０．５ ０ ０．５ １ … 狔＝－３狓 … ０ －３ … 狔＝－３狓＋１ … １ －２ … 描点、连线，画出函数狔＝－３狓与狔＝－３狓＋１的图象 （图２３．２３）． y 4 y=-3x 3 2 1 -3 -2-1O 1 2 3 x -1 -2 y=-3x+1 -3 图２３．２３ 第二十三章 一次函数１１９ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用/ 比较上面两个函数的图象的相同点与不同点，填写你的观察结果： 这两个函数的图象形状都是 ，并且倾斜程度 ．函数 狔＝－３狓的图象经过原点，函数狔＝－３狓＋１的图象与狔轴交于点 ， 即它可以看作由直线狔＝－３狓向 平移 个单位长度而得到． 比较两个函数解析式，你能说出两个函数的图象有上述关系的道 理吗？ 联系上面结果，考虑一次函数狔＝犽狓＋犫（犽≠０）的图象是什么形 状，它与直线狔＝犽狓（犽≠０）有什么关系． 比较一次函数狔＝犽狓＋犫（犽≠０）与正比例函数狔＝犽狓（犽≠０）的解析式， 容易得出： 一次函数狔＝犽狓＋犫（犽≠０）的图象可以由直线狔＝犽狓平移犫个单位长 度得到 （当犫＞０时，向上平移；当犫＜０时，向下平移）．一次函数狔＝犽狓＋犫 （犽≠０）的图象也是一条直线，我们称它为直线狔＝犽狓＋犫． 例３ 画出函数狔＝２狓－１与狔＝－０．５狓＋１的图象． 分析：由于一次函数的图象是直线，所以只要确定两个点就能画出它． 解：列表表示当狓＝０，狓＝１时两个函数的对应值 （表２３．２４）． 表２３２４ 狓 ０ １ 狔＝２狓－１ －１ １ 狔＝－０．５狓＋１ １ ０．５ 过点 （０，－１）与 （１，１）画出直线狔＝２狓－１；过点 （０，１）与 （１，０．５） 画出直线狔＝－０．５狓＋１ （图２３．２４）． y y=2x-1 先画直线狔＝２狓与 狔＝－０．５狓，再分别平移 y=-0.5x+1 1 (1 1) (1 0.5) 它们，也能得到直线狔＝ -1 O 1 x ２狓－１与狔＝－０．５狓＋１． -1 图２３．２４ １２０第二十三章 一次函数 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用/ 画出函数狔＝狓＋１，狔＝－狓＋１，狔＝２狓＋１，狔＝－２狓＋１的图象， 观察这些直线，总结它们从左向右上升或下降的规律． 由此联想：一次函数的解析式狔＝犽狓＋犫（犽，犫是常数，犽≠０）中， 犽的正负对函数图象有什么影响？你能进而归纳一次函数的性质吗？ 观察前面一次函数的图象，可以发现规律： 当犽＞０时，直线狔＝犽狓＋犫从左向右上升；当 我们先通过观察发 犽＜０时，直线狔＝犽狓＋犫从左向右下降． 现图象 （形）的规律，再 一般地，一次函数狔＝犽狓＋犫（犽，犫是常数， 根据这些规律得出关于 变量数值大小的性质，这 犽≠０）具有如下性质： 种数形结合的研究方法在 当犽＞０时，狔随狓的增大而增大； 数学学习中很重要． 当犽＜０时，狔随狓的增大而减小．  １．直线狔＝２狓－３与狓轴交点坐标为 ，与狔轴交点坐标为 ， 经过 象限，狔随狓的增大而 ． ２．分别在同一平面直角坐标系中画出（１）（２）中各函数的图象，并指出每 小题中三个函数的图象有什么关系． （１）狔＝狓－１，狔＝狓，狔＝狓＋１； １ （２）狔＝－ 狓－１，狔＝－狓－１，狔＝－２狓－１． ２ ３．已知一次函数狔＝４狓＋７，当狓＞２时，利用函数的性质，求函数值狔 的取值范围． 例４ 已知一次函数的图象过点 （２，－４）与 （－３，１１），求这个一次函数的解析式． 因为图象过 （２，－４） 分析：求一次函数狔＝犽狓＋犫的解析式，关键 与 （－３，１１）两点，所 以这两点的坐标必满足 是求出犽，犫的值．从已知条件可以列出关于犽，犫 解析式． 的二元一次方程组，进而求出犽，犫． 第二十三章 一次函数１２１ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用解：设这个一次函数的解析式为狔＝犽狓＋犫（犽≠０）． 因为狔＝犽狓＋犫的图象过点 （２，－４）与 （－３，１１），所以 烄２犽＋犫＝－４， 烅 烆－３犽＋犫＝１１． 解这个方程组，得 烄犽＝－３， 烅 烆犫＝２． 因此，这个一次函数的解析式为狔＝－３狓＋２． 像例４这样先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从 而得出函数解析式的方法，叫作待定系数法． 由于一次函数狔＝犽狓＋犫中有犽和犫两个待定系数，所以用待定系数法时 需要根据两个条件列二元一次方程组 （以犽和犫为未知数）．解方程组后就能具 体写出一次函数的解析式． 例３与例４从两方面说明： 函数解析式  满足条件的两定点  一次函数的图象 狔＝犽狓＋犫 （狓，狔）与 （狓，狔） 直线犾 １ １ ２ ２   例５ 一位记者乘坐汽车赴３６０ｋｍ外的乡村采访，全程的前一部分为高 速公路，后一部分为普通公路．汽车在高速公路和普通公路上分别以某一速度 匀速行驶，汽车行驶的路程狔（单位：ｋｍ）与时间狓（单位：ｈ）之间的关系 如图２３．２５所示． （１）求汽车行驶的路程狔关于时间狓的函数解 y/km 析式； 360 B （２）记者出发后多长时间到达采访地？ 270 A 180 分析：问题中汽车行驶的速度不是固定不变 的，它与行驶的时间范围有关．当０≤狓≤２时，汽 O 2 3.5 x/h 车行驶的速度较快；当狓＞２时，汽车行驶的速度较 图２３．２５ 慢．因此，求函数解析式时应对０≤狓≤２和狓＞２两 个时段分别讨论． １２２第二十三章 一次函数 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用解：（１）当０≤狓≤２时，函数图象是经过原点和点犃的直线的一部分， 设函数的解析式为狔＝犽狓．因为它的图象过点犃（２，１８０），所以１８０＝２犽， １ １ 解得犽＝９０． １ 因此，当０≤狓≤２时，函数的解析式为狔＝９０狓． 当狓＞２时，函数图象是经过犃，犅两点的直线的一部分．我们求出直线 犃犅所对应的一次函数的解析式．设这个一次函数的解析式为狔＝犽狓＋犫，把 ２ ２ 点犃，犅的坐标分别代入狔＝犽狓＋犫，得 ２ ２ 烄２犽＋犫＝１８０， ２ ２ 烅 烆３．５犽＋犫＝２７０． ２ ２ 解这个方程组，得 烄犽＝６０， ２ 烅 烆犫＝６０． ２ 因此，当狓＞２时，函数的解析式为狔＝６０狓＋６０． 综上，当０≤狓≤２时，狔＝９０狓；当狓＞２时， 由 （２）的解答，你 狔＝６０狓＋６０． 能进一步确定 （１）中函 （２）由图象可知，当狔＝３６０时，狓＞２． 数的自变量的取值范 由３６０＝６０狓＋６０，解得狓＝５． 围吗？ 因此，记者在出发５ｈ后到达采访地．  １．一个一次函数，当自变量狓＝１时，函数值狔＝５；当狓＝－１时，函数 值狔＝１．求这个一次函数的解析式． ２．一个一次函数的图象经过点 （９，０）和 （２４，２０），求这个一次函数的 解析式． ３．一位旅客乘坐某航空公司飞机时，购买了经 y 济舱机票．他所托运的行李的费用狔（单位： 180 元）与行李的质量狓（单位：ｋｇ）的关系如 90 图所示．这位旅客可免费托运的行李的最大 质量是多少千克？ O 2530 x/kg （第３题） 第二十三章 一次函数１２３ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用  １．一列货车以９０ｋｍ／ｈ的速度匀速前进．求它的行驶路程狊（单位：ｋｍ）关于 行驶时间狋（单位：ｈ）的函数解析式，并画出函数图象． ２．函数狔＝－５狓的图象经过第 象限，经过点 （０， ）与点 （１， ）， 狔随狓的增大而 ． ３．分别画出下列函数的图象： y （１）狔＝４狓； （２）狔＝４狓＋１； 6 （３）狔＝－４狓＋１； （４）狔＝－４狓－１． ４．如图，求图中直线所对应的函数解析式． ５．一个一次函数的图象经过点 （－４，９）和 （６，４）． -3 O x （１）求这个一次函数的解析式； （第４题） （２）画出这个一次函数的图象； （３）判断点 （２，５）是否在这个一次函数的图象上，并说明理由．  ６．将一次函数狔＝－２狓＋１的图象向上平移２个单位长度，能得到哪个函数的图 象？向下平移３个单位长度呢？ ７．已知 （－１．３，狔），（－３，狔），（２，狔）是直线狔＝－１３狓＋犫（犫为常数） １ ２ ３ 上的三个点，试比较狔，狔，狔 的大小． １ ２ ３ ８． （１）当犫＞０时，函数狔＝狓＋犫的图象经过哪几个象限？ （２）当犫＜０时，函数狔＝－狓＋犫的图象经过哪几个象限？ （３）当犽＞０时，函数狔＝犽狓＋１的图象经过哪几个象限？ （４）当犽＜０时，函数狔＝犽狓＋１的图象经过哪几个象限？ ９．某自来水公司为了鼓励市民节约用水，采取分段收费 标准．居民每月应缴水费狔（单位：元）是用水量狓 y/ （单位：ｔ）的函数，其图象如图所示． 90 （１）分别求出当０≤狓≤１５和狓＞１５时，狔关于狓的 60 函数解析式． （２）若某用户某月用水９ｔ，应缴水费多少元？若某月 O 15 20 x/t 缴水费１０２元，则这个月用水多少吨？ （第９题） １２４第二十三章 一次函数 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用  １０．已知狔与狓＋犫成正比例关系，且当狓＝－３时，狔＝０；当狓＝２时，狔＝－１０． （１）求狔关于狓的函数解析式； （２）若－４＜狔＜２，求狓的取值范围．   探究函数的图象和性质 在学习函数时，我们经常利用函数图象研究函数的性质．由解析式画函数 图象时，一般采用描点连线法．描出的点越多，画出的函数图象越准确．但是， 仅靠手工操作有时很难画出准确的图象，而信息技术工具 （如ＧｅｏＧｅｂｒａ、几何 画板、网络画板等计算机软件，图形计算器等）可以帮助我们又快又准地画出 函数图象，进而探究函数的性质．下面介绍一些例子． 例如，在绘制函数狔＝３狓－２的图象时，可以利用一些信息技术工具的 “设定参数”及 “制表”功能快速列出表格，并使用 “绘制表中数据”的功能完 成描点，通过点的分布就可以大致看出图象的变化趋势 （图１）． A=(A1, B1) y y y C D B = = = ( ( ( A A A 2 3 4 , , , B B B 2 3 4 ) ) ) 1 8 0 y=3x-2 C(-2.9, 8 8 .41) 6 E=(A5, B5) 6 4 F=(A6, B6) 4 6 G=(A7, B7) H=(A8, B8) 2 2   4 B(2, 4) A B -4-2O 2 4 6 x O -2 1 -3 -11 -4 -2 2 4 x 2 -2 -8 -4 2 3 -1 -5 -6 -2 4 0 -2 5 1 1 -8 -4 -2 O 2 4x 6 2 4 -10 -4 y=x2(x-3) 7 8 3 4 1 7 0 -12 m=-2.9 -2 图１ 图２ 图３ 一些信息技术工具还具有对点进行 “追踪”的功能．利用这一功能绘制函 数图象时，可以先设定参数狓，狔及它们之间的关系，然后绘制点 （狓，狔）并 追踪它的轨迹，就能得到函数的大致图象．图２是利用这一功能绘制的函数 狔＝狓２ 的图象． 第二十三章 一次函数１２５ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用多数信息技术工具都具有直接根据函数解析式绘制图象的功能，只要在 “绘制新函数”中输入函数解析式，就可以直接得到函数的图象．图３是利用这 一功能绘制的函数狔＝狓２ （狓－３）的图象． 通过观察函数图象，可以发现函数图象与函数性质之间的联系．例如： 函数的图象特征 函数的性质 从左向右曲线呈上升状态 狔随狓的增大而增大 ! 从左向右曲线呈下降状态 狔随狓的增大而减小 ! 曲线上的最高点是 （犪，犫） 当狓＝犪时，狔有最大值犫 ! 曲线上的最低点是 （犪，犫） 当狓＝犪时，狔有最小值犫 ! 此外，我们还可以在动态变化中探究函数 y 的性质．例如，为研究正比例函数狔＝犽狓中犽 6 k =7.26 的变化与图象的关系，我们可以利用信息技 5 1 4 术工具绘制一条过原点的直线，并利用其 3 k 2 =1.74 “度量斜率”功能度量并显示这条直线的斜率 2 （即犽值）．用鼠标拖动这条直线，使其绕原 k =0.69 1 3 k =0.22 点旋转，可以发现犽的值也会随着直线的旋 4 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6 x 转而改变． -1 k 5 =-0.3 在旋转的过程中 （图４），可以发现： -2 k 6 =-0.8 -3 k =-3.34 （１）直线经过第三、第一象限时，犽＞０； 7 -4 （２）直线经过第二、第四象限时，犽＜０； k =-8.28 -5 8 （３）直线由经过第二、第四象限逆时针 图４ 旋转到经过第三、第一象限的过程中，犽的 值随直线的旋转而不断增大． 你还能利用信息技术工具画出一些一次函数的图象，进而探究它的其他性 质吗？ １２６第二十三章 一次函数 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用２３．３ 一次函数与方程 （组）、不等式 方程 （组）、不等式与函数之间有着密切的联系，从函 数的角度认识方程 （组）和不等式，能更好地建立它们之间 的联系，从而更好地解决相关问题． 先来研究一次函数与一元一次方程的关系． y 5 y=2x-1 如图２３．３１，一次函数狔＝２狓－１的图象与 0.5 狓轴交点的横坐标是０．５．当自变量狓的值为０．５ O 0.5 x -0.5 时，函数值是多少？由此可以得出一元一次方程 -1 ２狓－１＝０的解吗？ 图２３．３１ 一次函数狔＝２狓－１的图象与狓轴交点的横坐标为０．５，纵坐标为０．这表 明当自变量狓的值为０．５时，函数值为０．由此可以得出一元一次方程２狓－１＝０ 的解是狓＝０．５． 因为任何一个以狓为未知数的一元一次方程都可以变形为犪狓＋犫＝０ （犪≠ ０）的形式，所以解一元一次方程，从函数值考虑，相当于在某个一次函数 狔＝犪狓＋犫的函数值为０时，求自变量狓的值；从函数的图象考虑，相当于已 知直线狔＝犪狓＋犫，求它与狓轴的交点的横坐标． 再来研究一次函数与一元一次不等式的关系． 5 如图２３．３１，利用一次函数狔＝２狓－１的图象，你能得出函数值大于 ０时狓的取值范围吗？函数值小于０时呢？由此，你能分别得出一元一次 不等式２狓－１＞０与２狓－１＜０的解集吗？ 如图２３．３１，当图象上点的纵坐标大于０时，点在狓轴上方，其横坐标大 于０．５，即函数值大于０时狓的取值范围是狓＞０．５；当图象上点的纵坐标小于 ０时，点在狓轴下方，其横坐标小于０．５，即函数值小于０时狓的取值范围是 第二十三章 一次函数１２７ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用狓＜０．５．由此得出不等式２狓－１＞０的解集是狓＞０．５，２狓－１＜０的解集是 狓＜０．５． 对于可化为犪狓＋犫＞０或犪狓＋犫＜０ （犪≠０）的一元一次不等式，在求它的 解集时，从函数值考虑，相当于在某个一次函数狔＝犪狓＋犫的值大于０或小于 ０时，求自变量狓的取值范围；从函数的图象考虑，相当于已知直线狔＝犪狓＋犫， 确定这条直线上的点的纵坐标大于０或小于０时横坐标的取值范围． 最后研究一次函数与二元一次方程、二元一次方程组的关系． 先来看一个具体例子．我们知道，方程２狓－狔＝１可以转化为狔＝２狓－１， 它们有相同的解．狔＝２狓－１对应一次函数狔＝２狓－１，它的图象是一条直线． 这条直线上每个点的坐标 （狓，狔）都是方程２狓－狔＝１的解，以方程２狓－狔＝１ 的解 （狓，狔）为坐标的点都在这条直线上． 由于每个含未知数狓和狔的二元一次方程都可以转化为狔＝犽狓＋犫（犽，犫 是常数，犽≠０）的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对 应一条直线．这条直线上每个点的坐标 （狓，狔）都是这个二元一次方程的解， 以这个二元一次方程的解 （狓，狔）为坐标的点都在这条直线上． 5 烄２狓－狔＝１， 对于二元一次方程组 你能从函数的角度对解这个方程组 烅 烆３狓＋５狔＝８， 进行解释吗？ 方程组中两个二元一次方程分别对应一 y ３ ８ 次函数狔＝２狓－１与狔＝－ 狓＋ ，解这个 3 y=2x-1 ５ ５ 2 方程组，可以看作求这两个一次函数的图象 3 8 y= x + 5 5 P(1 1) 的交点坐标．因此，可以用画图象的方法得到 1 这个二元一次方程组的解．如图２３．３２，在 -2 -1 O 1 2 3 x 同一平面直角坐标系中，画出一次函数狔＝ -1 ２狓－１与狔＝－ ３ 狓＋ ８ 的图象．这两条直线 图２３．３２ ５ ５ 烄２狓－狔＝１， 烄狓＝１， 的交点坐标为 （１，１），由此得出方程组 烅 的解是 烅 烆３狓＋５狔＝８ 烆狔＝１． １２８第二十三章 一次函数 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用一般地，由含有未知数狓和狔的两个二元一次方程组成的每个二元一次方 程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线．从 “数”的角度看，解这 样的方程组相当于求当自变量为何值时相应的两个函数的值相等，以及这个函 数值是何值；从 “形”的角度看，解这样的方程组相当于确定两条直线交点的 坐标． 例 同时释放两个探测气球，１号气球从距离地面５ｍ高处出发，以１ｍ／ｓ 的速度上升；２号气球从距离地面１５ｍ高处出发，以０．５ｍ／ｓ的速度上升．两 个气球都上升了１ｍｉｎ． （１）分别写出表示两个气球所在位置的高度狔（单位：ｍ）关于上升时间 狓（单位：ｓ）的函数解析式； （２）两个气球在某时刻能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长 时间？位于什么高度？ 解：（１）气球上升时间狓满足０≤狓≤６０． 对于１号气球，狔关于狓的函数解析式为狔＝狓＋５． 对于２号气球，狔关于狓的函数解析式为狔＝０．５狓＋１５． （２）两个气球在某时刻位于同一高度，就是对于狓的某个值 （０≤狓≤６０）， 函数狔＝狓＋５和狔＝０．５狓＋１５有相同的值狔．由此可以列二元一次方程组 烄狔＝狓＋５， 烅 烆狔＝０．５狓＋１５． 解这个方程组，得 烄狓＝２０， 烅 烆狔＝２５． 这就是说，当气球上升２０ｓ时，两个气球都距 y/m 离地面２５ｍ． y=x+5 也可以画一次函数的图象解答此问题．如 y=0.5x+15 25 P(20 25) 图２３．３３，在同一平面直角坐标系中，画出一 20 15 次函数狔＝狓＋５与狔＝０．５狓＋１５的图象．这两条 10 直线的交点坐标为 （２０，２５），这说明当气球上 5 O 20 x/s 升２０ｓ时，两个气球都距离地面２５ｍ． 图２３．３３ 第二十三章 一次函数１２９ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用 １．画出一次函数狔＝－２狓＋８的图象，利用图象解方程－２狓＋８＝０及不 等式－２狓＋８＞０与－２狓＋８＜０． ２．一次函数狔＝２狓－３与狔＝犪狓＋２的图象的交点坐标为 （２，１），请确 烄狔＝２狓－３， 定方程组 烅 的解和犪的值． 烆狔＝犪狓＋２ ３．刘伟一家计划星期日租用新能源汽车自驾出游．在甲公司租车，需收取 固定租金８０元，在此基础上再按１４元／ｈ计费；在乙公司租车，无固 定租金，按３０元／ｈ计费．当他家租车多长时间时，租用甲、乙两个公 司汽车的费用相同？   ３ １．利用函数的图象解方程 狓－６＝０． ２ ２．利用函数的图象解不等式５狓－１０＞０与－２狓－４＜０． 烄３狓＋２狔＝５， ３．利用函数的图象解方程组烅 烆２狓－狔＝８．  ４．甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖 y/m 河渠的长度狔（单位：ｍ）与挖掘时间狓（单位： 60  50  ｈ）之间的关系如图所示． （１）分别求出甲队在０≤狓≤６的时段内、乙队在 30 ２≤狓≤６的时段内，狔关于狓的函数解析式； （２）当狓为何值时，甲、乙两队在施工过程中所 O 2 6 x/h （第４题） 挖河渠的长度相等？   １ ５．在同一平面直角坐标系中，画出函数狔＝－ 狓＋２与狔＝３狓＋９的图象，并 １ ２ ２ 结合图象比较这两个函数的函数值的大小关系． １３０第二十三章 一次函数 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用２３．４ 实际问题与一次函数 在日常生活中，很多问题中变量之间的对应关系可以用 一次函数来刻画．在运用一次函数解决实际问题时，一般先 将实际问题抽象为一次函数问题，然后根据条件求得一次函 数的解析式，再结合一次函数的图象和性质分析并解决问题． 例 某玉米种子的价格为４０元／ｋｇ．若一次购买不超过２ｋｇ的种子，其价 格不变；若一次购买超过２ｋｇ的种子，超过部分的种子价格打六折． （１）写出付款金额关于购买量的函数解析式，并画出函数图象； （２）一次购买４ｋｇ玉米种子，需付款多少元？ 分析：付款金额与种子价格有关．而种子价格 y 不是固定不变的，它与购买量有关．因此，写函数解 100 y=24x+32 析式与画函数图象时，应分０≤狓≤２和狓＞２讨论． 80 解：（１）设购买量为狓ｋｇ，付款金额为狔元． 60 当０≤狓≤２时，种子价格为４０元／ｋｇ，函数解 40 析式为狔＝４０狓； 20 y=40x 当狓＞２时，购买的种子中有２ｋｇ按４０元／ｋｇ O 1 2 3 x/kg 图２３．４１ 计价，其余的 （狓－２）ｋｇ（即超过２ｋｇ部分）按２４ 元／ｋｇ（即六折）计价，函数解析式为狔＝４０×２＋ ２４（狓－２）＝２４狓＋３２． 函数解析式也可以 函数图象如图２３．４１所示． 合起来表示为 （２）因为４＞２，所以狔＝２４×４＋３２＝１２８． 烄４０狓，０≤狓≤２， 狔＝烅 烆２４狓＋３２，狓＞２． 因此，一次购买４ｋｇ种子，需付款１２８元．  １．一个实验室在０：００—２：００保持２０℃的恒温，在２：００—４：００匀速升温， 每小时升高５℃．写出实验室温度犜（单位：℃）关于时间狋（单位：ｈ） 的函数解析式，并画出函数图象． 第二十三章 一次函数１３１ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用２．某市出租车的收费方式为：路程不超过３ｋｍ时收费９元，超过３ｋｍ部分 每千米收费２元．记乘客乘坐出租车的路程为狓（狓＞３）ｋｍ，乘车费为狔元． （１）求狔关于狓的函数解析式； （２）若有一位乘客付了２３元乘车费，则他的乘车路程是多少？ 做一件事情，有时有不同的实施方案，从中选择最佳方案是十分必要的． 在选择方案时，往往需要从数学角度进行分析，涉及变量的问题常用到函数． / 表２３．４１给出了某游泳馆Ａ，Ｂ，Ｃ三种年卡套餐的收费标准． 表２３４１ 套餐 年卡费用／元 套餐内游泳次数／次 套餐外单次收费／元 Ａ ６００ ２０ ４０ Ｂ １２００ ５０ ４０ Ｃ １８００ 不限次 选取哪种年卡套餐能节省游泳费用？ 分析：设年游泳狓次，则套餐Ａ，Ｂ，Ｃ的游泳费用狔，狔，狔 都是狓的 １ ２ ３ 函数．在套餐Ｃ中，无论年游泳次数是多少，游泳费用都是１８００元，因此， 狔＝１８００ （狓≥０）．若能得到狔，狔 关于狓的函数解析式，则利用函数解析 ３ １ ２ 式，通过方程、不等式或函数图象就能比较狔，狔，狔 的大小，从而对年卡 １ ２ ３ 套餐作出选择． 在套餐Ａ中，考虑游泳费用狔 时，要把年游泳次数狓分为不超过２０次和 １ 超过２０次两种情况，得到刻画套餐Ａ的游泳费用的函数解析式 烄６００，０≤狓≤２０， y 狔＝烅 1 800 y １ 烆６００＋４０（狓－２０），狓＞２０． 1 500 1 化简，得 1 200 900 烄６００，０≤狓≤２０， 600 狔＝烅 １ 烆４０狓－２００，狓＞２０． 300 这个函数的图象如图２３．４２所示． O 20 40 60 80 x 图２３．４２ １３２第二十三章 一次函数 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用类似地，可以得到刻画套餐Ｂ的游泳费用狔 关于年游泳次数狓的函数解 ２ 析式 狔＝ ． ２ 在图２３．４２中画出狔，狔 的图象，结合函数图象与解析式，可知： ２ ３ 当年游泳次数 时，选择套餐Ａ能节省游泳费用； 当年游泳次数 时，选择套餐Ｂ能节省游泳费用； 当年游泳次数 时，选择套餐Ｃ能节省游泳费用．  某公司要印制产品宣传材料．甲印刷厂的收费方案是：收１５００元制版费， 每份材料再收１元印制费；乙印刷厂的收费方案是：不收制版费，每份材 料收２．５元印制费． （１）分别写出两家印刷厂的收费狔（单位：元）关于印制宣传材料数量狓 （单位：份）的函数解析式； （２）选择哪家印刷厂比较合算？ / 某学校计划在总费用不超过２３００元的情况下，租用客车送２３４名学 生和６名教师集体外出活动，每辆客车上至少要有１名教师．现有甲、乙 两种大客车，它们的载客量和租金如表２３．４２所示． 表２３４２ 客车种类 载客量／人 租金／元 甲 ４５ ４００ 乙 ３０ ２８０ （１）共需租多少辆客车？ （２）给出最节省费用的租车方案． 分析： （１）可以从乘车人数的角度考虑租多少辆客车，要注意到以下 要求： ①要保证２４０名师生乘车都有座位； 第二十三章 一次函数１３３ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用②要使每辆客车上至少有１名教师． 根据①可知，客车总数不能小于 ；根据②可知，客车总数不能大 于 ．综合起来可知客车总数为 ． （２）租车费用与所租车的种类有关．可以看出，当客车总数犪确定后，在 满足各项要求的前提下，尽可能少地租用甲种客车可以节省费用． 设租用狓辆甲种客车，则租车费用狔（单位：元）是狓的函数，即 狔＝４００狓＋２８０（犪－狓）． 将 （１）中确定的犪的值代入上式，化简这个函数，得 狔＝ ． 为使２４０名师生乘车都有座位，狓不能小于 ；为使租车费用不超 过２３００元，狓不能超过 ．综合起来可知狓的取值为 ． 在考虑上述问题的基础上，你能得出几种不同的租车方案？为节省费用应 选择其中哪种方案？试说明理由． 3 解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量之间的关系，从中选 取一个取值能影响其他变量的值的变量作为自变量．然后根据问题的条件 寻求可以反映实际问题的函数，以此作为解决问题的数学模型．  某文具店购进Ａ，Ｂ两种型号的计算器进行销售，其进价与售价如下表 所示． 型号 进价／元 售价／元 Ａ ２２ ３２ Ｂ １９ ２５ 为了满足市场需求，第二季度文具店计划用不超过２０００元的资金采购这 两种计算器共１００台．若所采购的计算器能全部售出，给出利润最大的进 货方案，并求出最大利润是多少． １３４第二十三章 一次函数 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用  １．某公司销售人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，当其售出 １００件货品时月收入为２８００元，售出２００件货品时月收入为３４００元，则当 其月收入为４６００元时，售出的货品为 件． ２．某品牌服装开展促销活动，原价每件８０元的服装，如果购买超过３件，则超 过部分可享受八折优惠，求顾客所付款狔（单位：元）与所购服装数狓（狓＞３， 单位：件）之间的函数解析式． ３．某网店销售一款护眼台灯，在销售过程中发现，这款护眼台灯销售单价为６０ 元时，每星期卖出１００个．如果调整销售单价，每降价１元，每星期就可多卖 出２个．现网店决定降价销售，设销售单价为狓元，每星期的销售量为狔个． （１）求狔关于狓的函数解析式； （２）当销售单价为５２元时，求每星期的销售总额． ４．为了鼓励居民节约用电，某市实行居民生活用电阶梯电价方案．当每月用电量 不超过２４０ｋＷ·ｈ时，按０．４５元／（ｋＷ·ｈ）收费；当用电量超过２４０ｋＷ·ｈ 时，超过部分按０．５５元／（ｋＷ·ｈ）收费．设一个家庭某月用电量为狓ｋＷ·ｈ，应 缴电费为狔元． （１）求狔关于狓的函数解析式； （２）如果这个家庭某月的电费为１４１元，那么此家庭这个月的用电量是多少？  ５．某剧院的观众席座位数从前向后依次增加，部分数据如下表所示． 排数狓 １ ２ ３ ４ … 座位数狔 ５０ ５２ ５４ ５６ … （１）按照上表所示的规律，当狓每增加１时，狔如何变化？ （２）狔是狓的函数吗？如果是，写出座位数狔与排数狓之间的函数解析式． （３）按照上表所示的规律，第２０排有多少个座位？ ６．甲、乙两家商场平时以同样的价格出售相同的商品．春节期间两家商场都开展 促销活动，其中甲商场所有商品按八折出售，乙商场对一次购物中实付金额 超过２００元的部分打七折． （１）以狓（单位：元）表示商品原价，狔（单位：元）表示购物实付金额，分 第二十三章 一次函数１３５ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用别就两家商场的促销方式写出狔关于狓的函数解析式； （２）在同一平面直角坐标系中画出 （１）中函数的图象； （３）春节期间选择去哪家商场购物更省钱？ ７．某外卖平台招聘外卖骑手，并提供了如下两种月工资方案： 方案一：每月底薪２０００元，每完成一单外卖业务再提成２元． 方案二：每月无底薪，每完成一单外卖业务提成６元． 设骑手每月完成的外卖业务量为狓单 （狓为正整数），方案一、方案二中骑手 的月工资分别为狔 元、狔 元． １ ２ （１）分别写出狔，狔 关于狓的函数解析式． １ ２ （２）若李明是此外卖平台的一名骑手，从月工资收入的角度考虑，他应该选 择哪种月工资方案？试说明理由．   ８．图中的折线表示刘伟骑车离家的距离狔与时间狓的关系．他９：００离开家， １５：３０回到家．请你根据这个折线图回答下列问题： （１）何时刘伟离家最远？这时刘伟离家多远？ （２）何时刘伟开始第一次休息？休息多长时间？这时刘伟离家多远？ （３）１１：００—１２：３０刘伟骑了多少千米？ （４）刘伟在９：００—１０：３０和１０：３０—１２：３０的平均速度各是多少？ （５）刘伟返家时的平均速度是多少？ （６）１４：３０时刘伟离家多远？回家路上，何时刘伟距家６ｋｍ？ y/km 45 30 18 O 9U00 10U3011U00 12U30 13U30 14U30 15U30 x （第８题） １３６第二十三章 一次函数 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用９．快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣，两种型 号的机器人的工作效率和价格如下表所示． 机器人型号 每台机器人每小时分拣快递量／件 每台机器人价格／万元 甲 １０００ ５ 乙 ８００ ３ 这个公司计划购买这两种型号的机器人共１０台，并且使这１０台机器人每小 时分拣快递量的总和不少于８５００件． （１）设购买甲种型号的机器人狓台，购买这１０台机器人所花的总费用为狔万 元，求狔关于狓的函数解析式． （２）在购买的１０台机器人中，购买几台甲种型号的机器人能使所花的总费用 最少？最少费用是多少？ 第二十三章 一次函数１３７ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用 "
!T+$!F 水龙头关闭不严会造成滴水，为了调查漏水量与漏水时间的关系， 可进行以下的实验与研究． （１）在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每５ｍｉｎ记录一 次容器中的水量，并填写下表． 时间狋／ｍｉｎ ０ ５ １０ １５ ２０ ２５ ３０ 水量犞／ｍＬ （２）建立平面直角坐标系，以横轴表示时间狋，纵轴表示水量犞，描 出以上述实验所得数据为坐标的各点，并观察它们的分布规律． （３）试写出犞关于狋的函数解析式，并据此估算这种漏水状态下一天 的漏水量． "
3 +P 图１是１个纸杯和６个叠放在一起的纸杯的 示意图．请你自行定义变量和常量来建立一个函 数模型，探究叠放在一起的杯子的总高度与杯子 数量之间的关系． 当一定数量的纸杯叠放在一起时，你能根据 探究得到的数量关系预估纸杯的高度吗？ 图１ １３８第二十三章 一次函数 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
     




   狔＝犽狓＋犫（犽≠０）          
  在本章中，我们从具体问题出发，分析其反映的运动变化规律的特 征，抽象得到一次函数的概念，并给出其表示方法；进而利用图象数形 结合地研究了一次函数的性质；接着研究了一次函数与方程 （组）、不等 式之间的关系；最后运用一次函数分析和解决了一些实际问题．这一过程 体现了研究一类函数的基本内容、思路和方法，能进一步提升抽象能力， 增强模型观念． 一次函数狔＝犽狓＋犫（犽≠０）是一类最基本的函数，它刻画了一个变 量随另一个变量均匀变化的变化规律，正比例函数狔＝犽狓（犽≠０）是一 次函数的特例．一次函数的图象是一条直线，利用图象可以直观地分析函 数狔＝犽狓＋犫（犽≠０）的增减性．观察发现，当犽＞０ （或犽＜０）时，图 象从左向右上升 （或下降），这表明函数狔的值随自变量狓的增大而增大 （或减小）．利用图象研究函数的方法体现了数形结合的思想． 利用一次函数解决问题时，关键在于分析问题中变量之间的对应关 系，并考虑如何表示这种关系，从而将实际问题转化为一次函数问题．通 常我们可以根据已知条件用待定系数法求出函数解析式，再利用解析式 第二十三章 一次函数１３９ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用探究解决某些问题． 请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧． １．什么样的函数是一次函数？什么样的函数是正比例函数？ ２．正比例函数的图象有什么特点？一次函数狔＝犽狓＋犫（犽≠０）的图 象是什么形状？怎样画一次函数的图象？ ３．常数犽对一次函数狔＝犽狓＋犫（犽≠０）的图象有什么影响？由此能 说明狔与狓之间的什么变化规律？ ４．由一条不平行于坐标轴的已知直线，能求出它对应的一次函数的 解析式吗？如果能，应怎样求？由此体会由形到数的转化． ５．一次函数与一元一次方程有什么关系？一次函数与一元一次不等 式有什么关系？一次函数与二元一次方程 （组）有什么关系？请举例 说明． ６．请举例说明利用一次函数解决实际问题的过程．    １．王芳现有存款１５００元．她计划今后三年每月存５０元．存款总金额狔（单位： 元）将随时间狓（单位：月）的变化而变化．写出狔关于狓的函数解析式． ２．判断下列各点是否在直线狔＝２狓＋６上，并求这条直线与坐标轴的交点坐标． （ ） （ ） ７ ２ １ （－５，－４），（－７，２０）， － ，１ ， ，７ ． ２ ３ ３ ３．填空： ２ １ （１）直线狔＝－ 狓＋ 经过第 象限，狔随狓的增大而 ； ３ ２ （２）直线狔＝３狓－２经过第 象限，狔随狓的增大而 ． ４．根据下列条件分别确定函数狔＝犽狓＋犫的解析式： （１）狔与狓成正比例，当狓＝５时，狔＝６； （ ） １ １ （２）直线狔＝犽狓＋犫经过点 （３，６）与 ，－ ． ２ ２ １４０第二十三章 一次函数 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用５．根据函数狔＝３狓－１５的性质或图象，确定狓取何值时： （１）狔＞０； （２）狔＜０．  ６．某快递公司省内寄件的收费标准为：不超过１ｋｇ的物品需付１３元，超过１ｋｇ后 每增加１ｋｇ（不足１ｋｇ按１ｋｇ计）需增加快递费２元．设寄出狓ｋｇ（狓为大于 １的整数）物品的快递费为狔元，写出狔关于狓的函数解析式． ７．甲骑自行车，乙骑摩托车，沿相同路线由Ａ地到Ｂ地，行驶路程狔（单位：ｋｍ） 与行驶时间狋（单位：ｈ）之间的关系如图所示．根据图象回答下列问题： （１）Ａ，Ｂ两地的路程是 ｋｍ． y/km   （２）出发较早的是 ，早 ｈ． 80 （３）到达较早的是 ，早 ｈ． 60 40 （４）甲的速度为 ，乙的速度为 ． 20 （５）乙在距Ａ地多少千米处追上甲？此时甲行驶 O 3 5 8 t/h 了多少小时？ （第７题） ８．一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始 ４ｍｉｎ内只进水不出水，在随后的８ｍｉｎ内既进水 y/L 又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数．容 30 器内的水量狔（单位：Ｌ）与时间狓（单位：ｍｉｎ） 20 之间的关系如图所示． 10 （１）当０≤狓≤４时，求狔关于狓的函数解析式； O 4 8 12 x/min （２）当４＜狓≤１２时，求狔关于狓的函数解析式； （第８题） （３）每分钟进水、出水各多少升？ ９．甲、乙两家体育用品商店以同样的价格出售相同的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球 拍每副定价３０元，乒乓球每盒定价５元．现两家商店开展促销活动，在甲店每 购买一副球拍赠一盒乒乓球；在乙店每购买一副球拍或一盒乒乓球都按定价的 九折优惠．某班需购买球拍４副，乒乓球若干盒 （不少于４盒）． （１）设这个班购买乒乓球狓盒，在甲店的付款金额为狔 元，在乙店的付款金额 甲 为狔 元，分别写出在两家商店的付款金额狔 ，狔 与乒乓球盒数狓之间的 乙 甲 乙 函数解析式． （２）购买几盒乒乓球时在两家商店的付款金额一样？ （３）如何根据购买乒乓球的数量选择在哪家商店购买？ 第二十三章 一次函数１４１ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用  １０．Ａ城有肥料２００ｔ，Ｂ城有肥料３００ｔ．现要把这些肥料全部运往Ｃ，Ｄ两乡．从 Ａ城往Ｃ，Ｄ两乡运肥料的费用分别为２０元／ｔ和２５元／ｔ；从Ｂ城往Ｃ，Ｄ两 乡运肥料的费用分别为１５元／ｔ和２４元／ｔ．现Ｃ乡需要肥料２４０ｔ，Ｄ乡需要肥 料２６０ｔ，怎样调运可使总运费最少？ A 

U C

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U （第１０题） １４２第二十三章 一次函数 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用综合与实践 音乐与数学 我们常说，丝竹之声，天籁之音，是指音乐 能给人听觉上的享受．唐代诗人白居易在千古名 篇 《琵琶行》中，对琵琶女弹奏琵琶有过精彩的 描述： 大弦嘈嘈如急雨，小弦切切如私语． 嘈嘈切切错杂弹，大珠小珠落玉盘． 间关莺语花底滑，幽咽泉流冰下难． 冰泉冷涩弦凝绝，凝绝不通声暂歇． 别有幽愁暗恨生，此时无声胜有声． 银瓶乍破水浆迸，铁骑突出刀枪鸣． 曲终收拨当心画，四弦一声如裂帛． 如何用数学描述音乐呢？ 音乐是声音的艺术．生活中，有些声音十分 悦耳，也有些声音非常刺耳．乐器之间的合奏， 也存在上述现象．你知道这是为什么吗？ 人们经过漫长的研究，制定了多种音律规 则，即音乐律制，如三分损益法、五度相生律以 及目前普遍采用的十二平均律．这些音乐律制的 原理是什么？背后有哪些数学知识？让我们从这 些问题开始，探究音乐与数学的关系，用数学描 述音乐吧． 琵琶行 ［清］改琦 作  认识音乐与数学的关系：数学在音乐律制发展中的作用，从函数角度分析 五线谱，分析乐器结构中蕴含的数学知识等． 综合与实践 音乐与数学１４３ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用 １．查阅资料，了解乐音的四个基本要素———音强、音高、音值、音色． ２．乐音的音高与声波的振动频率有关．查阅资料，了解这两者之间的关系． ３．了解弦的振动频率与弦长的关系．  探究音乐律制中蕴含的数学原理  任务１ 我们知道，有些声音混合在一起，听上去十分悦耳，也有些声音 混合在一起听着非常刺耳．查阅资料回答什么样的声音合奏起来比较和谐，你 能从数学角度解释吗？ 任务２ 古代音律学家很早就知道声音悦耳的秘密．由此，音乐家发明了 各种制定音乐律制的方法，著名的有中国古代的三分损益法，利用这种方法可 以生成 “宫、商、角、徵、羽”五声音阶．而西方的五度相生律可以生成被命 名为 “毕达哥拉斯音阶”的七声音阶．查阅资料了解这两种音乐律制的制谱方 法，它们有什么共通之处吗？ 任务３ 三分损益法、五度相生律这一类制谱方法，有个共同的问题：它 们所生成的音阶都不能回归本律，即所得到的音和最初的音不能形成八度关 系．这给音乐作品的转调带来了困难．以三分损益法为例，你能从数学角度解 释为什么存在上述不足吗？ 任务４ 为了弥补上述不足，中国历代音律学家不断探索，直到明代律学 家朱载癱 （１５３６—１６１１）创立了十二平均律，上述问 题才得以彻底、完整的解决． （１）查阅资料，了解十二平均律的制谱方法． （２）由前面的研究可知，十二平均律中相邻两个 音的频率之比相等，朱载癱称之为 “密率” （见 《律 吕精义》）．事实上， “密率”是一个无理数．朱载癱 通过他自制的一个８１档双排位大算盘 （图１）成功地 算出了 “密率”的估计值，将其精确到了２５位有效数 字，这在当时条件下是难以想象的．他是世界历史上 图１ １４４综合与实践 音乐与数学 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用将数学与音乐完美结合的杰出律学家．试列式计算十二平均律中相邻两个音的 频率之比的值． 从函数角度分析乐谱  音乐律制建立之后，人们发明了多种记录乐谱的方式，目前最常用的方法 是简谱和五线谱两种． 简谱中音符、节拍的记法都采用了数学元素；而五线谱则是一种接近于数 学图形的语言，这是因为在五线谱中，我们能清楚地看到音的高低位置．以歌 曲 《保卫黄河》（光未然词，冼星海曲）的片段为例 （图２），如果将音符的符 头顺次连接，就能得到一条反映乐曲的音高及音值 （时长）变化的旋律线．这 条旋律线与刚刚学过的函数图象是不是有异曲同工之妙？能不能用函数的眼光 分析五线谱呢？尝试一下吧！ 图２ 任务１ 图象由点组成，在画函数图象时，需要在平面直角坐标系中描出 点的位置，这就需要先确定点的横、纵坐标．类似地，人们在记谱时，也是通 过记录乐音的音高和音值这两个基本要素来记录乐音．查阅资料，分析五线谱 是如何记录乐音的上述两个要素的？五线谱中记谱的方式和在平面直角坐标系 中刻画点的位置有什么相似性？ 任务２ 能否用函数刻画乐曲的旋律？以图２中的乐曲片段为例，思考上 述五线谱中，在乐谱刻画的时间段内，音符的音高和时长有什么关系？你能在 平面直角坐标系中将图２中的乐曲片段刻画出来吗？和你的同伴一起尝试一 下吧！ 提示：可以通过下面几步来完成上述任务． （１）结合乐音的记谱方法，在平面直角坐标系中刻画乐曲的旋律时，确定 横轴和纵轴各自表示的意义； （２）根据五线谱中记录的音符的位置和时长，在平面直角坐标系中找到音 符对应点的位置； 综合与实践 音乐与数学１４５ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用（３）用线段表示音符对应的时长． 任务３ 通过上述步骤，可以在平面直角坐标系中作出一条刻画音乐旋律 的曲线．和你的同伴交流以下问题： （１）看看画出的曲线是否一致？如果不一致，分析其中的原因． （２）任务２中在平面直角坐标系中刻画的音乐旋律是否可以视为函数图 象？为什么？ 任务４ 把五线谱看作平面直角坐标系，为我们用数学的眼光欣赏音乐旋 律提供了工具．自选一首歌 （乐）曲，把其中一段旋律的五线谱表现在你建立 的平面直角坐标系中，分析所画的曲线是否可以视为函数图象． 乐器的分析与制作 （选做）  各种乐器的制作离不开数学知识，例如，笛子等管乐器的开孔位置、三角 钢琴的外形轮廓线等都有数学依据作支撑，体现了数学与音乐的密切联系． 任务１ 选择一种乐器，借助活动一中学过的音乐律制的知识，分析乐器 结构中蕴含的数学知识． 任务２ 尝试自制一个小乐器，和同学比较一下看谁制作的乐器音准更好．  １组建合作团队 本次综合与实践活动需要团队协作．在班级中组成５～８人一组的研究小 组，每位同学参加其中一个小组，每个小组确定一名负责人． ２方案构思 小组成员进行充分的讨论与交流，集思广益，形成解决上述任务的方案． ３方案实施 按照小组设计的方案进行任务分工，使每位成员都有明确的任务．根据规 划的研究步骤实施，完成活动任务，形成研究报告． ４展示交流 制作向全班汇报的演示文稿，选出代表向全班同学展示本组的研究成果， 分享实践过程中的活动经验、遇到的困难及其解决方法，反思活动中的不足． 注意：展示交流活动要邀请音乐老师参加点评． １４６综合与实践 音乐与数学 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用 通过成果展示与交流，基于各组完成的研究报告，根据情况选择任务完成 表、作品评分表、表现评分表、自我反思表等进行评价．与老师 （包括音乐老 师）和全班同学一起，通过质疑、辩论、评价，总结成果，分享体会，分析不 足，开展自我评价、同学评价和教师评价，完成本次综合与实践活动． 综合与实践 音乐与数学１４７ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用第二十四章 数据的分析 数据是信息的载体，从数据中获取信息是统计研究的目的．利用统计图表 直观描述数据，可以帮助我们大致了解数据的特征或规律．但要准确把握数据 的特征，还需要用数值进行刻画．在社会生活中，人们经常用一个或几个数值 刻画一组数据的特征．例如，用人均可支配收入刻画一个地区居民的收入水 平，用近视率刻画全国青少年群体的近视情况，用老龄化率刻画一个国家或地 区人口的老龄化情况等．这里的人均可支配收入、近视率、老龄化率都是对相 关数据某种特征的刻画． 在本章中，我们将在用统计图表直观描述数据的基础上，研究用数值刻画 数据特征的方法，学习平均数、中位数、众数、离差平方和、方差、四分位数 等一些常用的刻画数据特征的统计量，并用它们解决一些实际问题．对于通过 简单随机抽样获取的数据，还将根据样本与总体的关系，用样本的特征估计总 体的特征． 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用２４．１ 数据的集中趋势 在生活、学习中，我们经常会说某班同学身高较高或成 绩较好，这往往比较的是身高或成绩数据的 “中心”所在位 置，统计中把它称为数据的集中趋势，以前学过的平均数就 是刻画数据集中趋势的常见统计量．本节我们将进一步学习 平均数，再学习两个刻画数据集中趋势的统计量———中位数 和众数． ２４１１ 平均数 问题１ 甲、乙两组同学的跳绳成绩 （单位：次／ｍｉｎ）如下： 甲组 １８２ １９４ １４３ １８５ １５６ 乙组 １９９ １４８ ２４２ １７０ １４１ 你认为哪组的跳绳成绩更好？ 为了便于比较，需要分别把每组数据汇总到一个数值．对于问题１，可以 用每组跳绳成绩的平均数进行比较． 甲组跳绳成绩的平均数为 是否可以用每组跳 １８２＋１９４＋１４３＋１８５＋１５６ ＝１７２； 绳成绩的总数比较两组 ５ 跳绳成绩？如果两组人 乙组跳绳成绩的平均数为 数不同呢？ １９９＋１４８＋２４２＋１７０＋１４１ ＝１８０． ５ 由于乙组的跳绳成绩的平均数大于甲组的，所 以乙组的跳绳成绩更好． 一般地，有狀个数据狓，狓，…，狓，我们把 １ ２ 狀 根据样本数据计算 狓＋狓＋…＋狓 １ ２ 狀 得到的平均数，叫作样 狀 本平均数；根据总体数 叫作这狀个数据的平均数 （ａｖｅｒａｇｅ），记作 “狓珚”． 据计算得到的平均数， 平均数反映了一组数据取值的平均水平，是刻画数 叫作总体平均数． 据集中趋势最常用的统计量． 第二十四章 数据的分析１４９ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用问题２ 一家公司打算招聘一名英文翻译．对甲、乙两名应试者进行了听、 说、读、写的英语水平测试，他们的各项成绩 （百分制）如表２４．１１所示． 表２４１１ 应试者 听 说 读 写 甲 ８５ ７８ ８５ ７３ 乙 ７３ ８０ ８２ ８３ （１）如果这家公司想招一名综合能力较强的英文翻译，计算两名应试者的 平均成绩．从他们的成绩看，应该录取谁？ （２）如果这家公司想招一名笔译能力较强的英文翻译，听、说、读、写成 绩按照２∶１∶３∶４的比确定，计算两名应试者的平均成绩．从他们的成绩看， 应该录取谁？ 对于问题 （１），根据平均数公式，甲的平均成绩为 ８５＋７８＋８５＋７３ ＝８０．２５， ４ 乙的平均成绩为 ７３＋８０＋８２＋８３ ＝７９．５． ４ 因为甲的平均成绩比乙的高，所以应该录取甲． 对于问题 （２），听、说、读、写成绩按照２∶１∶３∶４的比确定，这说明 各项成绩的 “重要程度”有所不同，读、写的成绩比听、说的成绩更加 “重 要”．因此，甲的平均成绩为 ８５×２＋７８×１＋８５×３＋７３×４ ＝７９．５， ２＋１＋３＋４ 乙的平均成绩为 ７３×２＋８０×１＋８２×３＋８３×４ ＝８０．４． ２＋１＋３＋４ 因为乙的平均成绩比甲的高，所以应该录取乙． 上述问题 （１）是利用平均数的公式计算平均成绩，其中每个数据被认为 同等重要．而问题 （２）是根据实际需要对不同的数据赋予与其重要程度相应 的权重，其中的２，１，３，４分别称为听、说、读、写四项成绩的权，相应的 １５０第二十四章 数据的分析 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用平均数７９．５，８０．４分别称为甲和乙的听、说、读、 写四项成绩的加权平均数 （ｗｅｉｇｈｔｅｄａｖｅｒａｇｅ）． 权原指秤锤，用于 一般地，若狀个数狓，狓，…，狓 的权分别 称物体，这里有表示数 １ ２ 狀 为狑，狑，…，狑，则 据重要程度的意思． １ ２ 狀 狓狑＋狓狑＋…＋狓狑 狓珚＝ １ １ ２ ２ 狀 狀 狑＋狑＋…＋狑 １ ２ 狀 叫作这狀个数的加权平均数． 5 如果这家公司想招一名口语能力较强的英文翻译，听、说、读、写成 绩按照３∶３∶２∶２的比确定，那么甲、乙两人谁将被录取？与上述问题 中的 （１）（２）比较，你能体会到权的作用吗？ 例１ 一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、语言表达、形象风度三个方 面为选手打分．各项成绩均按百分制计，然后再按演讲内容占５０％、语言表达 占４０％、形象风度占１０％，计算选手的综合成绩．进入决赛的前两名选手的单 项成绩如表２４．１２所示，请确定两人的名次． 表２４１２ 选手 演讲内容 语言表达 形象风度 Ａ ８５ ９５ ９５ Ｂ ９５ ８５ ９５ 分析：这个问题可以看成求两名选手三项成绩的加权平均数，５０％， ４０％，１０％表示演讲内容、语言表达、形象风度三项成绩在总成绩中的重要程 度，是三项成绩的权． 解：选手Ａ的综合成绩是 例１中两名选手的 ８５×５０％＋９５×４０％＋９５×１０％ ＝９０， 单项成绩都是两个９５分 ５０％＋４０％＋１０％ 与一个８５分，为什么他 选手Ｂ的综合成绩是 们的综合成绩不同呢？ ９５×５０％＋８５×４０％＋９５×１０％ 你能说一说权是如何影 ＝９１． ５０％＋４０％＋１０％ 响加权平均数大小的吗？ 由上可知，选手Ｂ获得第一名，选手Ａ获得第 二名． 第二十四章 数据的分析１５１ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用 １．某公司欲招聘一名公关人员．对甲、乙两位应试者进行了面试和笔试， 他们的成绩 （百分制）如下表所示． 应试者 面试 笔试 甲 ８６ ９０ 乙 ９２ ８３ （１）如果公司认为面试和笔试成绩同等重要，从他们的成绩看，谁将 被录取？ （２）如果公司认为，作为公关人员面试成绩应该比笔试成绩更重要， 并分别赋予它们６和４的权，计算甲、乙两人各自的平均成绩，谁 将被录取？ ２．某中学规定学生的学期体育成绩满分为１００，其中早锻炼及体育课外活 动占２０％，期中考试成绩占３０％，期末考试成绩占５０％．刘伟的三项 成绩 （百分制）依次是９５，９０，８５，他这学期的体育成绩是多少？ 例２ 某天访问Ａ，Ｂ两个新闻类网站的用户数分别为３×１０７ 和１×１０７ ， 表２４．１３是用户在每个网站的停留时间和关于军事话题调查的统计结果． 表２４１３ 网站 停留时间的平均数／ｈ 对军事话题感兴趣的百分比／％ Ａ ０．５ ２４ Ｂ ０．７ ３２ 这天两个网站所有用户停留时间的平均数和对军事话题感兴趣的百分比分 别是多少？ 分析：由于访问两个网站的用户数不同，两个网站所有用户停留时间的平 ０．５＋０．７ 均数不能是两个网站各自用户平均停留时间的平均数 ，还应考虑访问 ２ 网站用户数的影响．两个网站所有用户对军事话题感兴趣的百分比的计算也 类似． １５２第二十四章 数据的分析 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用解：（１）根据平均数和总数的关系，可以计算 出两个网站所有用户停留时间的平均数为 ０．５５是０．５和０．７ ０．５×３×１０７＋０．７×１×１０７ ３ １ 分别以３×１０７ 和１×１０７ ＝０．５× ＋０．７× ３×１０７＋１×１０７ ４ ４ 为权的加权平均数，或 ＝０．５５． ３ １ 分别以 和 为权的加 ４ ４ （２）两个网站所有用户对军事话题感兴趣的百 权平均数． 分比为 ２４％×３×１０７＋３２％×１×１０７ ３ １ ＝２４％× ＋３２％× ＝２６％． ３×１０７＋１×１０７ ４ ４ 可以发现，计算分组 （两组或更多组）数据的平均数或百分数，只需知道 两类信息：一是每组数据的平均数或百分数，二是每组数据的个数 （频数）， 或每组数据个数所占的比值 （频率）．根据这两类信息，以频数或频率为权， 通过计算加权平均数就可以得到结果． 上述计算分组数据的平均数或百分数的方法在实际中有着重要应用．例如，要 计算全国的居民人均可支配收入，可先按省份各自计算其人均可支配收入和人数， 再利用加权平均数进行计算．这样不仅减少了把各省份所有调查的数据集中在一起 的工作，而且分散了计算量．像这样先按数据分组分别计算，再通过一定算法由各 组结果计算出最后结果的方法属于分布式计算．在大数据时代，数据规模非常巨大， 在应用中往往对计算的时效性又有很高要求，利用分布式计算不仅可以节约整体计 算时间，提高计算效率，还可以减少大量数据传输和存储带来的时间、经济成本． / 为了解５路公共汽车的运营情况，公交部门统计了某天５路公共汽车 每个运行班次的载客量，得到表２４．１４． 表２４１４ 载客量狓／人 班次 （频数） 载客量狓／人 班次 （频数） １≤狓＜２１ ３ ６１≤狓＜８１ ２２ ２１≤狓＜４１ ５ ８１≤狓＜１０１ １７ ４１≤狓＜６１ ２０ １０１≤狓＜１２１ １５ 这天５路公共汽车平均每班的载客量是多少 （结果取整数）？ 第二十四章 数据的分析１５３ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用从表２４．１４中，我们无法知道每个班次确切的载客量．为了计算５路公共 汽车平均每班的载客量，可以用各组的组中值 （这个小组两个端点的数的平均 数）代表各组的实际数据，把各组的频数看作相应组中值的权，通过计算加权 平均数得到平均每班载客量的近似值． 经计算，得到各组的组中值分别为１１，３１，５１，７１，９１，１１１，用它们代 表各组每个班次的载客量，各组的班次 （频数）分别是这些组中值的权．因 此，这天５路公共汽车平均每班的载客量约为 １１×３＋３１×５＋５１×２０＋７１×２２＋９１×１７＋１１１×１５ 狓珚＝ ３＋５＋２０＋２２＋１７＋１５ ≈７３ （人）． 一般的计算器都有统计功能，利用统计功能可以求平均数．使用计算器的 统计功能求平均数时，不同品牌计算器的操作步骤有所不同，操作时需要参阅 计算器的使用说明书．通常先按某一功能键，使计算器进入统计状态；然后依 次输入数据狓，狓，…，狓以及它们的权狑，狑，…，狑；最后按求平均数 １ ２ 狀 １ ２ 狀 狓狑＋狓狑＋…＋狓狑 的功能键，计算器便会求出 １ １ ２ ２ 狀 狀的值． 狑＋狑＋…＋狑 １ ２ 狀  １．某跳水队为了解运动员的年龄情况，  作了一次年龄调查，结果如图所示． 30 25 24 求这个跳水队运动员的平均年龄 20 16 15 （结果取整数）． 10 8 5 2 ２．某超市有５家分店，其中一天的营 0 13 14 15 16 T 业情况统计结果如下表所示． （第１题） 分店 结账人次 每人次平均消费金额／元 非现金结账百分比／％ Ａ ４０００ ４６ ７０ Ｂ ２０００ ３２ ７６ Ｃ ３０００ ６８ ７３ Ｄ ７０００ ９５ ８５ Ｅ ４０００ ８０ ８２ 这家超市的每人次平均消费金额和非现金结账百分比分别是多少？ １５４第二十四章 数据的分析 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用３．对一个班级学生上学路上所需的时间进行了调查，统计结果如下表 所示． 所需时间狓／ｍｉｎ 人数 百分比／％ １≤狓＜１１ １８ ３６ １１≤狓＜２１ ４６ ２１≤狓＜３１ ７ ３１≤狓＜４１ ２ ４ （１）将统计表补充完整； （２）这个班级学生上学路上平均所需时间为多少 （结果取整数）？ 对于通过简单随机抽样获取的数据，可以用样本的平均数估计总体的平 均数． 例３ 从校医务室的体检数据中，随机抽查了２０名八年级学生，他们的身 高 （单位：ｃｍ）如下： １６２ １５２ １６６ １８５ １６７ １７５ １６９ １６３ １６８ １８４ １７７ １６２ １５７ １５４ １７１ １６９ １７１ １６９ １７５ １６４ 估计这所学校八年级学生的平均身高． 分析：随机抽出的２０名八年级学生组成一个样本．可以利用样本的平均 身高估计这所学校八年级学生的平均身高． 解：２０名学生的身高的平均数为 １６２＋１５２＋…＋１６４ 狓珚＝ ２０ ＝１６８． 可以估计这所学校八年级学生的平均身高大约为１６８ｃｍ． 5 这所学校八年级学生的平均身高是否一定为１６８ｃｍ？你认为怎样可 以提高估计的精确性？ 例４ 为测量一批节能灯的使用寿命，从中随机抽查了５０盏节能灯，它们 的使用寿命如表２４．１５所示． 第二十四章 数据的分析１５５ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用表２４１５ 使用寿命狓／ｈ 灯泡数／盏 ７０００≤狓＜８０００ ４ ８０００≤狓＜９０００ ９ ９０００≤狓＜１００００ １２ １００００≤狓＜１１０００ １８ １１０００≤狓＜１２０００ ７ 这批节能灯的平均使用寿命是多少？ 分析：随机抽查的５０盏节能灯组成一个样本． 用全面调查的方法考 可以先通过组中值计算出样本的平均使用寿命，再 察这批节能灯的平均使用 利用样本的平均使用寿命估计这批节能灯的平均使 寿命合适吗？ 用寿命． 解：根据表２４．１５，可以得出各组的组中值，于是样本使用寿命的平均 数为 ７５００×４＋８５００×９＋９５００×１２＋１０５００×１８＋１１５００×７ 狓珚＝ ５０ ＝９８００． 可以估计这批节能灯的平均使用寿命大约是９８００ｈ．  １．种菜能手李大叔种植了一批新品种黄瓜．为了解这种黄瓜的生长情况， 他随机抽查了部分黄瓜藤上结出的黄瓜根数，得到如图所示的条形图． 估计这批新品种黄瓜平均每株结多少根黄瓜 （结果取整数）．   14 20 12 10 15 8 10 6 4 5 2 0 0 10 13 14 15 S*  303540455055 J cm （第１题） （第２题） １５６第二十四章 数据的分析 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用２．为了绿化环境，某街道种植一批槐树，五年后一些树干的周长情况如 图所示．估计这批槐树树干的平均周长 （结果取整数）． ３．学校为了解学生课外阅读的情况，随机调查了５０名学生一星期课外阅 读的时间，用了两个不同的表进行统计． 表１ 表２ 课外阅读时间狓／ｈ 人数 课外阅读时间狓／ｈ 人数 ０≤狓＜２ ２ ０≤狓＜４ ８ ２≤狓＜４ ６ ４≤狓＜８ ３４ ４≤狓＜６ ２３ ８≤狓＜１２ ８ ６≤狓＜８ １１ ８≤狓＜１０ ５ １０≤狓＜１２ ３ （１）根据表１和表２分别估计这所学校所有学生的平均课外阅读时间． （２）用这两个表估计的结果相同吗？如果不同，用哪个表估计更合 适？为什么？ ２４１２ 中位数和众数 问题３ 在第１４９页 “问题１”中，计算得到甲和乙两组跳绳成绩的平均 数分别为１７２次／ｍｉｎ和１８０次／ｍｉｎ．张华个人的跳绳成绩为１７５次／ｍｉｎ，她认 为自己的成绩在甲组中属于中上水平，在乙组中属于中下水平．你认可张华的 说法吗？ 张华的跳绳成绩要处于一个组的中上 （或中下）水平，意味着她的成绩超 过 （或低于）这个组至少一半人数的成绩，即超过 （或低于）这个组中成绩排 名居中的人的成绩． 按从小到大的顺序分别排列两组跳绳成绩，甲组为 １４３ １５６ １８２ １８５ １９４ 处在中间位置的数是１８２，它的左侧和右侧各有２个数．乙组为 １４１ １４８ １７０ １９９ ２４２ 处在中间位置的数是１７０，它的左侧和右侧各有２个数． 张华的个人跳绳成绩１７５小于甲组中间位置的数１８２，而大于乙组中间位 第二十四章 数据的分析１５７ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用置的数１７０，因此她的成绩在甲组中处于中下水平，在乙组中处于中上水平， 这与她自己作出的判断正好相反． 上述中间位置的数１８２和１７０，分别是甲组数据和乙组数据集中趋势的一 种刻画．一般地，一组数据按从小到大 （或从大到小）的顺序排列，处于中间 位置的数叫作这组数据的中位数 （ｍｅｄｉａｎ）．当数据的个数为奇数时，处于中 间位置的数就是中位数；当数据的个数为偶数时，居中的数据有两个，取这两 个数据的平均数为这组数据的中位数．一组数据按大小排序后，位于中位数 左、右两侧的数据个数相同，因此中位数反映了一组数据取值的中间水平． 5 为什么甲组同学跳绳成绩的平均数比乙组的小，而中位数反而大呢？ 例５ 在一次男子马拉松长跑比赛中，随机抽取１２名选手所用的时间 （单 位：ｍｉｎ）如下： １３６ １４０ １２９ １８０ １２４ １５４ １４６ １４５ １５８ １７５ １６５ １４８ （１）这组样本数据的中位数是多少？ （２）一名选手所用的时间是１４２ｍｉｎ，推测他的成绩是否超过这次比赛中 一半以上选手的成绩？ 解：（１）先将样本数据按照从小到大的顺序排列： １２４ １２９ １３６ １４０ １４５ １４６ １４８ １５４ １５８ １６５ １７５ １８０ 这组数据的中位数为处于居中两个数据１４６，１４８的平均数，即中位数为 １４６＋１４８ ＝１４７． ２ 因此样本数据的中位数是１４７． （２）根据 （１）中得到的样本数据的中位数，可以估计，在这次马拉松比 赛中，大约有一半选手的所用时间小于１４７ｍｉｎ，有一半选手的所用时间大于 １４７ｍｉｎ．这名选手的所用时间是１４２ｍｉｎ，小于中位数，可以推测他的成绩比 一半以上选手的成绩好． 问题４ 班级春游有三个备选地点，经全班一人一票投票，每个地点的得 票数如表２４．１６所示． １５８第二十四章 数据的分析 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用表２４１６ 地点 北京故宫 颐和园 香山公园 票数 １０ ２６ ４ 你认为班级的春游地点应该选择哪里？ 全班一人一票投票，相当于对全班同学作了一次全面调查，收集到的是每位 同学的投票结果 （北京故宫、颐和园或香山公园），在统计中这也属于数据．与 前面见到的数据都是数值不同，这里的数据无法进行计算或排序，因此无法通过 求它们的平均数或中位数去刻画班级的集体意见．对于这种情况，一般我们会 采取少数服从多数的原则，把得票数最多的地点作为班级的集体意见．由表 ２４．１６可知，颐和园得票数最多，可以把颐和园作为全班同学意见的代表． 一组数据中出现次数最多的数据叫作这组数据的众数 （ｍｏｄｅ）．例如，在 问题４中，颐和园就是全班同学意见的众数．如果一组数据中有两个或两个以 上的数据出现的次数并列最多，那么把这几个数据都作为这组数据的众数；如 果一组数据中没有出现相同的数据，那么就认为这组数据没有众数．众数也是 刻画数据集中趋势的一种统计量，当一组数据有较多的重复数据时，众数往往 能较好地反映其集中趋势． 例６ 一家鞋店在一段时间内销售某种女鞋３０双，各种尺码鞋的销售量如 表２４．１７所示． 表２４１７ 尺码／ｃｍ ２２ ２２．５ ２３ ２３．５ ２４ ２４．５ ２５ 销售量／双 １ ２ ５ １１ ７ ３ １ 你能根据表中的数据为这家鞋店提供进货建议吗？ 分析：一般来讲，鞋店比较关心哪种尺码的鞋销 售量最大，也就是关心卖出的鞋的尺码组成的一组数 分析表２４．１７中的 据的众数．一段时间内卖出的３０双女鞋的尺码组成一 数据，你还能为鞋店进 个样本数据，通过分析样本数据可以找出样本数据的 货提出哪些建议？ 众数，进而可以估计这家鞋店销售哪种尺码的鞋最多． 解：由表２４．１７可以看出，在不同的尺码中，尺码为２３．５ｃｍ的鞋销售 量最大，即众数为２３．５，因此可以建议鞋店多进２３．５ｃｍ的鞋． 第二十四章 数据的分析１５９ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用 １．某车间工人每天加工零件数的情况如图所示，求这些工人每天加工零 件数的中位数．   10 15 8 10 5 6 0 4        2       0 30 40 50 60 70 80    （第１题） （第２题） ２．为研究不同类型软饮料的市场销售情况，市场调查员在一家超市随机 观察并记录了５０名顾客购买的软饮料类型，如图所示．顾客购买的软 饮料类型的众数是什么？ 虽然平均数、中位数和众数都可以用于刻画一组数据的集中趋势，但它们 刻画的角度并不相同．在实际应用中，需要分析具体问题的情况，选择适当的 统计量刻画数据的集中趋势． 例７ 表２４．１８是某公司员工月收入的资料． 表２４１８ 月收入／元 ４５０００ １８０００ １００００ ５０００ ３６００ ３０００ 人数 １ １ １ ７ ６ ４ （１）分别计算这家公司员工月收入的平均数和中位数． （２）若要反映这家公司员工月收入水平，你认为用平均数还是中位数？为 什么？ 解：（１）这家公司员工月收入的平均数为 ４５０００＋１８０００＋１００００＋５０００×７＋３６００×６＋３０００×４ 狓珚＝ ＝７０８０． １＋１＋１＋７＋６＋４ 将公司２０名员工的月收入按从小到大排列，可以得到第１０个和第１１个 数据分别为３６００和５０００，可得中位数为 １６０第二十四章 数据的分析 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用３６００＋５０００ ＝４３００． 为什么平均数比中 ２ 位数高这么多？ （２）在２０名员工中，仅有３名员工的月收入在 ７０８０元以上，而另外１７名员工的月收入都在７０８０元以下．因此，用月收入 的平均数代表所有员工的月收入水平不太合适．而中位数４３００说明一半员工 的月收入高于４３００元，另一半员工的月收入低于４３００元．相对平均数而言， 中位数更能代表这家公司所有员工的月收入水平． 5 求出这家公司员工月收入的众数，用众数刻画这家公司员工月收入水 平是否合适？为什么？ 例８ 某商场服装部为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据 目标完成的情况对营业员进行适当的奖励．为了确定一个适当的月销售目标， 商场服装部统计了每位营业员在某月的销售额 （单位：万元），数据如下： １７ １８ １６ １３ ２４ １５ ２８ ２６ １８ １９ ２２ １７ １６ １９ ３２ ３０ １６ １４ １５ ２６ １５ ３２ ２３ １７ １５ １５ ２８ ２８ １６ １９ 确定一个适当的月 （１）月销售额在哪个值的人数最多？中间位置 销售目标是一个关键问 的月销售额是多少？平均月销售额是多少？ 题．如果目标定得太高， 多数营业员完不成任务， （２）如果想确定一个较高的销售目标，你认为 会使营业员失去信心； 在 （１）的三个销售额中选哪一个作为销售目标合 如果目标定得太低，不 适？请说明理由． 能发挥营业员的潜力． （３）如果想让一半左右的营业员都能达到销售 目标，你认为月销售额定为多少合适？请说明理由． 分析：商场服装部统计的每位营业员在某月的销售额组成一个样本，通过 分析样本数据的平均数、中位数、众数来估计总体的情况，从而解决问题． 解：整理上面的数据得到表２４．１９和图２４．１１． 表２４１９ 月销售额／万元 １３ １４ １５ １６ １７ １８ １９ ２２ ２３ ２４ ２６ ２８ ３０ ３２ 人数 １ １ ５ ４ ３ ２ ３ １ １ １ ２ ３ １ ２ 第二十四章 数据的分析１６１ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用 6 4 2 0 13 14 15 16 17 18 19 22 23 24 26 28 30 32   图２４．１１ （１）从表２４．１９或图２４．１１可以看出，样本 数据的众数是１５，中位数是１８，利用计算器求得 用表格整理数据和 这组数据的平均数约是２０．可以推测，这个服装部 用图形表示数据，有助 营业员的月销售额为１５万元的人数最多，中间位 于我们发现数据的特点 或规律． 置的月销售额是１８万元，平均月销售额大约是２０ 万元． （２）如果想确定一个较高的销售目标，这个目标可以定为每月２０万元 （平 均数）．因为从样本数据看，在平均数、中位数和众数中，平均数最大．可以估 １ 计，月销售额定为每月２０万元是一个较高目标，大约会有 的营业员获得奖励． ３ （３）如果想让一半左右的营业员能够达到销售目标，月销售额可以定为每 月１８万元 （中位数）．因为从样本情况看，月销售额在１８万元以上 （含１８万 元）的有１６人，占总人数的一半左右．可以估计，如果月销售额定为１８万元， 将有一半左右的营业员获得奖励． 3 平均数、中位数和众数都可以刻画一组数据的集中趋势，但它们各有 特点． 平均数是一组数据的平均值，计算时要 你知道在体操比赛评 用到所有的数据，它能够充分利用数据提供 分时，为什么要去掉一个 的信息，在现实生活中较为常用．但平均数受 最高分和一个最低分吗？ 极端值 （一组数据中与其余数据差异很大的 数据）的影响较大，对于存在极端值的数据，一般平均数的代表性较差． 中位数是一组数据按大小排序后处于中间位置的数，计算简单，不易 受极端值影响．但中位数不能充分利用数据提供的信息． １６２第二十四章 数据的分析 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用众数是一组数据中出现次数最多的数据，不易受极端值影响．但当各 个数据的重复次数差别不大时，众数往往不具有代表性．  １．王芳在记录第１４９页 “问题１”中乙组同学的跳绳成绩时，把２４２错记 成了２２４，此时乙组跳绳成绩的平均数和中位数是否都受影响？请你解 释其中的原因． ２．有两组学生的体重数据 （单位：ｋｇ）： 第１组 ３８ ４０ ４４ ５０ ５２ ５２ ７４ 第２组 ３８ ４０ ４４ ５０ ５２ ５２ ６０ （１）分别求这两组数据的平均数、中位数、众数； （２）比较这两组数据的平均数、中位数、众数，结合数据谈一谈它们刻 画数据集中趋势的特点．   １．某公司有１５名员工，他们所在部门及相应每人所创年利润如下表所示． 部门 人数 年利润／万元 Ａ １ １００ Ｂ ３ ８０ Ｃ ７ ５０ Ｄ ４ ３０ 这个公司平均每人所创年利润是多少？ ２．某校八年级 （１）班男生投掷实心球成绩如下表所示． 成绩狓／ｍ 人数 成绩狓／ｍ 人数 ６≤狓＜７ ２ ９≤狓＜１０ ７ ７≤狓＜８ ４ １０≤狓＜１１ ３ ８≤狓＜９ ８ １１≤狓＜１２ １ 这个班男生投掷实心球的平均成绩是多少？ 第二十四章 数据的分析１６３ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用３．为了检查一批零件的质量，从中随机抽取１０件，测得它们的长度 （单位： ｍｍ）如下： ２２．３６ ２２．３５ ２２．３３ ２２．３５ ２２．３７ ２２．３４ ２２．３８ ２２．３６ ２２．３２ ２２．３５ 根据以上数据，估计这批零件的平均长度． ４．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的１５名运动员的成绩如下表所示． 成绩／ｍ １．４５ １．５０ １．６０ １．６５ １．７０ １．７５ 人数 １ ４ ５ ２ ２ １ 分别求这些运动员成绩的平均数 （结果保留小数点后两位）、中位数、众数．  ５．在一次青年歌手演唱比赛中，５位评委给两位歌手的打分分别为 甲 ９．５ ９．５ ９．４ ９．６ ９．５ 乙 ９．６ ９．６ ９．６ ９．６ ９．０ （１）求两位歌手的平均得分． （２）如果去掉一个最高分和一个最低分，求两位歌手的平均得分． （３）你认为哪种计算平均得分的方法更合理？为什么？ ６．某县三个镇的人数及人均耕地面积如下表所示． 镇 人数／万人 人均耕地面积／ｈｍ２ Ａ １５ ０．１５ Ｂ ７ ０．２１ Ｃ １０ ０．１８ 求这三个镇的人均耕地面积 （结果保留小数点后两位）． ７．某学校各年级的人数及某天早操的出勤率如下表所示． 年级 人数 出勤率／％ 七年级 ４００ ９８ 八年级 ３５０ ９６ 九年级 ３８０ ９５ 求这所学校早操的出勤率 （结果写成犪％的形式，其中犪取整数）． １６４第二十四章 数据的分析 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用８．某商场招聘一名员工，现有甲、乙、丙三人竞聘．通过计算机、语言和商品知 识三项测试，他们各自的成绩 （百分制）如下表所示． 应试者 计算机 语言 商品知识 甲 ７０ ５０ ８０ 乙 ９０ ７５ ４５ 丙 ５０ ６０ ８５ （１）若商场需要招聘负责将商品拆装上架的人员，对计算机、语言和商品知 识分别赋权２，３，５，计算三名应试者的平均成绩．从成绩看，应该录 取谁？ （２）若商场需要招聘电脑收银员，计算机、语言、商品知识成绩分别占５０％， ３０％，２０％，计算三名应试者的平均成绩．从成绩看，应该录取谁？ ９．某地某个月中午１２时的气温 （单位：℃）如下： ２２ ３１ ２５ １３ １８ ２３ １３ ２８ ３０ ２２ ２０ ２０ ２７ １７ ２８ ２１ １４ １４ ２２ １２ １８ ２１ ２９ １５ １６ １４ ３１ ２４ ２６ ２９ （１）求这个月中午１２时的平均气温 （结果取整数）； （２）请以４为组距对数据分组，作出频数分布表，根据频数分布表计算这个 月中午１２时的平均气温，与 （１）中的结果比较，你有什么发现，谈一 谈你的看法． １０．下表是某养鸡场的一批鸡出售时质量的统计数据． 质量／ｋｇ １．３ １．６ １．９ ２．１ ２．３ 频数 ５３ １０８ ３４８ ２７５ ２１６ 分别求这批鸡质量的平均数 （结果保留小数点后一位）、中位数和众数． １１．下图是一个路口某个时段来往车辆的车速情况．  10 8 6 4 2 0 50 51 52 53 54 55 /(km·h-1) （第１１题） 第二十四章 数据的分析１６５ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用应用你所学的统计知识，写一份简短的报告，向交警描述这个时段路口来往 车辆的车速情况．   １２．学校举办为儿童福利院捐书的活动，三个班的捐书情况如图所示．    16 16 16 14 14 14 12 12 12 10 10 10 8 8 8 6 6 6 4 4 4 2 2 2 0 0 0 1 2 3 4 5  1 2 3 4 5  1 2 3 4 5  １班 ２班 ３班 （第１２题） １班捐书册数的平均数、中位数哪个大？２班和３班呢？请你解释其中的 原因． １３．调查你所在小组同学最近一周体育锻炼的时间，应用所学的统计知识分析数 据，并对自己所在小组的体育锻炼情况作出评价．   利用统计软件求统计量 统计中经常会涉及数据的计算．当数据量不大时，可以通过纸笔进行计算． 当数据量很大时，用纸笔计算不仅工作量大、效率低，而且容易出错．为了从 烦琐、机械的计算中解放出来，提高计算的效率和准确性，现在人们经常借助 计算器或计算机等信息技术工具进行统计计算．下面以借助某软件计算第１４９ 页 “问题１”中的平均数和第１５２页 “例２”中的加权平均数为例 （不同软件或 软件的不同版本，具体操作可能不同），介绍用信息技术工具求统计量的值． 一、平均数 １．将问题１中甲组的数据输入表格 （如Ａ２Ａ６）． ２．点击一个空白单元格 （如Ａ８），用于放置计算结果． ３．在工具列中点击指令栏图标 “犳”，在调出的指令栏中输入指令 “平均 狓 数（Ａ２Ａ６）”或 “ｍｅａｎ（Ａ２Ａ６）”，回车键确认即可计算得到甲组同学跳绳数据 １６６第二十四章 数据的分析 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用的平均数，如图１所示．注意：指令表达式中括号和 冒号要在半角状态下输入． 类似地，也可以得到乙组数据的平均数． 二、加权平均数 １．将例２中的数据输入表格 （如Ａ２Ｃ３）． ２．点击一个空白单元格 （如Ａ５），用于放置计算 结果． ３．在工具列中点击指令栏图标犳，在调出的指 狓 图１ 令栏中输入指令 “平均数（Ａ２Ａ３，Ｃ２Ｃ３）”或 “ｍｅａｎ （Ａ２Ａ３，Ｃ２Ｃ３）”，回车键确认即可计算得到所有用户 停留时间的加权平均数，如图２所示． 类似地，用指令 “平均数（Ｂ２Ｂ３，Ｃ２Ｃ３）”或 “ｍｅａｎ（Ｂ２Ｂ３，Ｃ２Ｃ３）”，也可以得到所有用户对军事 话题感兴趣的加权平均数． 在一些软件中，点击指令帮助图标 ，可以打开数 学函数列表，进而查看用于求各种统计量值的指令及 其调用格式．本章学习的所有统计量，都可以在其中找 图２ 到相应的计算指令． 第二十四章 数据的分析１６７ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用２４．２ 数据的离散程度 在数据分析中，除了集中趋势，数据的波动情况也是人 们经常关注的特征，统计中把它称为数据的离散程度．本节 我们将学习刻画一组数据离散程度的两个常见统计量———离 差平方和、方差． 问题 某农业科学院专家为某地选择合适的甜玉米种子．选择种子时，甜 玉米的产量和产量的稳定性是专家所关心的问题．为了解甲、乙两种甜玉米种 子的相关情况，专家各用１０块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验 田每公顷的产量 （单位：ｔ）如表２４．２１所示． 表２４２１ 甲 ７．６５ ７．５０ ７．６２ ７．５９ ７．６５ ７．６４ ７．５０ ７．４０ ７．４１ ７．４１ 乙 ７．５５ ７．５６ ７．５３ ７．４４ ７．４９ ７．５２ ７．５８ ７．４６ ７．５３ ７．４９ 根据这些数据估计，专家应该选择哪种甜玉米种子呢？ 上面两组数据的平均数分别是 狓珚 ＝７．５３７，狓珚 ＝７．５１５． 甲 乙 说明在试验田中，甲、乙两种甜玉米的平均产量相 由样本平均数估计 差不大．由此可以估计出这个地区种植这两种甜玉 总体平均数． 米，它们的平均产量相差不大． 为了直观地观察甲、乙两种甜玉米在各试验田产量的分布情况，我们把表 ２４．２１中的两组数据分别用图形进行描述，如图２４．２１和图２４．２２所示． / t / t 8.0 8.0 7.9 7.9 7.8 7.8 7.7 7.7 7.6 7.6 7.5  7.5  7.4 7.4 7.3 7.3 7.2 7.2 7.1 7.1 7.0 7.0 0 2 4 6 8 10 12  0 2 4 6 8 10 12  图２４．２１ 甲种甜玉米的产量 图２４．２２ 乙种甜玉米的产量 １６８第二十四章 数据的分析 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用比较两幅图可以看出，甲种甜玉米在各试验田的产量波动较大，多个产量 离平均产量较远；而乙种甜玉米在各试验田的产量波动较小，较集中地分布在 平均产量附近．因此，从直观上判断乙种甜玉米的产量稳定性更好．如何用一 个值刻画一组数据的波动程度或离散程度呢？ 正如图２４．２１和图２４．２２所呈现的，当数据分布比较分散时，数据与平 均数的差异相对较大；当数据分布比较集中时，数据与平均数的差异相对较 小．反过来也成立．这样，为了全面反映一组数据的离散程度，可以通过数据 与平均数的差异来刻画． 一般地，有狀个数据狓，狓，…，狓，用狓珚表示它们的平均数，我们把 １ ２ 狀 狓－狓珚 （犻＝１，２，…，狀）叫作狓关于平均数狓珚的离差 （ｄｅｖｉａｔｉｏｎ）． 犻 犻 5 可以用平均离差刻画一组数据的离散程度吗？ 用离差可以刻画每个数据与平均数的差异，但由 （狓－狓珚）＋（狓－狓珚）＋…＋（狓－狓珚）＝狓＋狓＋…＋狓－狀狓珚＝０ １ ２ 狀 １ ２ 狀 可知，一组数据的离差和总是０，因此平均离差无法刻画一组数据与平均数的 差异． 为了避免离差求和时正负抵消的问题，统计中通常先对离差进行平方，然 后求和．我们把 （狓－狓珚） ２＋（狓－狓珚） ２＋…＋（狓－狓珚） ２ １ ２ 狀 叫作这狀个数据关于平均数的离差平方和 （ｓｕｍｏｆｓｑｕａｒｅｓｏｆｄｅｖｉａｔｉｏｎｓ），记 作 “犱２ ”．把离差的平方的平均数 （狓－狓珚） ２＋（狓－狓珚） ２＋…＋（狓－狓珚） ２ １ ２ 狀 狀 叫作这组数据的方差 （ｖａｒｉａｎｃｅ），记作 “狊２ ”．方差 根据样本数据计算 反映了每个数据与平均数的平均差异程度，能较好 得到的方差，叫作样本 地反映出数据的离散程度，是刻画数据离散程度最 方差；根据总体数据计 常用的统计量．方差越大，数据的离散程度越大； 算得到的方差，叫作总 方差越小，数据的离散程度越小． 体方差． 回到本节 “问题”，根据表２４．２１，可以得到 第二十四章 数据的分析１６９ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用（７．６５－７．５３７） ２＋（７．５０－７．５３７） ２＋…＋（７．４１－７．５３７） ２ 狊２ ＝ ≈０．０１０， 甲 １０ （７．５５－７．５１５） ２＋（７．５６－７．５１５） ２＋…＋（７．４９－７．５１５） ２ 狊２ ＝ ≈０．００２． 乙 １０ 由狊２ ＞狊２ ，可得乙种甜玉米产量的离散程度较小，即乙种甜玉米产量波动较 甲 乙 小，稳定性较好． 由此可知，在试验田中，乙种甜玉米的产量比较稳定．正如用样本的平均 数估计总体的平均数一样，也可以用样本的方差来估计总体的方差．因此可以 推测，在这个地区种植乙种甜玉米的产量比种植甲种的稳定．综合考虑甲、乙 两个品种的平均产量和产量的稳定性，可以推测这个地区比较适合种植乙种甜 玉米． 5 用离差平方和是否可以刻画数据的离散程度？和方差比较，有什么 不足？ 离差平方和可以刻画一组数据的离散程度．在比较两组数据的离散程度 时，离差平方和只适用于数据个数相同的情况，而方差则不受这个限制． 例１ 甲、乙两名气手枪运动员进行射击训练，１０次射击成绩 （单位： 环）如表２４．２２所示． 表２４２２ 甲 ９ ７ ９ １０ １０ ８ ９ １０ ５ １０ 乙 ９ １０ ７ ８ １０ ９ ９ ８ ７ ９ 哪名射击运动员的发挥更稳定？ 解：两名运动员射击成绩的平均数分别为 ９＋７＋…＋１０ 狓珚 ＝ ＝８．７， 甲 １０ ９＋１０＋…＋９ 狓珚 ＝ ＝８．６． 乙 １０ 两名运动员射击成绩的方差分别为 （９－８．７） ２＋（７－８．７） ２＋…＋（１０－８．７） ２ 狊２ ＝ ＝２．４１， 甲 １０ １７０第二十四章 数据的分析 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用（９－８．６） ２＋（１０－８．６） ２＋…＋（９－８．６） ２ 狊２ ＝ ＝１．０４． 乙 １０ 由狊２ ＞狊２ 可知，乙射击运动员的发挥更稳定． 甲 乙 利用计算器的统计功能可以求方差．使用计算器的统计功能求方差，操 作时需要参阅计算器的使用说明书．通常先按某一功能键，使计算器进入统 计状态；然后依次输入数据狓，狓，…，狓；最后按求方差的功能键，计算 １ ２ 狀 （狓－狓珚） ２＋ （狓－狓珚） ２＋…＋（狓－狓珚） ２ 器便会求出方差狊２＝ １ ２ 狀 的值． 狀  １．如图，有４组数据，将这４组数据按离散程度从小到大排序．先通过直 观判断排序，再根据方差排序．这两种排序的结果是否一致？ 10 10 9 9 8 8 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5   （１） （２） 10 10 9 9 8 8 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5   （３） （４） （第１题） ２．根据方差比较第１４９页 “问题１”中两组跳绳成绩的离散程度． 第二十四章 数据的分析１７１ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用例２ 自动灌装线灌装饮料时，由于各种不可控的因素，每瓶饮料的实际 含量与标准含量会存在一些误差 （实际含量－标准含量）．甲、乙两条灌装线 同时灌装标准含量为５００ｍＬ的饮料，为了检验两条灌装线的灌装质量，从每 条灌装线上各随机抽取１０瓶饮料进行测量，结果 （单位：ｍＬ）如表２４．２３ 所示． 表２４２３ 甲 ５０１ ４９６ ４９８ ４９９ ５０３ ４９８ ５０５ ４９８ ５０１ ５０１ 乙 ４９６ ４９３ ５０４ ４９５ ５００ ５０６ ５０４ ５０５ ４９８ ４９９ （１）如果有一瓶饮料含量的误差的绝对值超过１０ｍＬ，此条灌装线的灌装 质量为不合格，那么两条灌装线的灌装质量是否合格？ （２）哪条灌装线的灌装质量更好？ 分析：在饮料含量的误差的绝对值符合要求前提下，灌装饮料的实际含量 与标准含量的差异越小，说明灌装线的质量越好． 解： （１）甲、乙灌装线饮料的实际含量与标准含量５００ｍＬ的误差如表 ２４．２４所示． 表２４２４ 甲组误差／ｍＬ １ －４ －２ －１ ３ －２ ５ －２ １ １ 乙组误差／ｍＬ －４ －７ ４ －５ ０ ６ ４ ５ －２ －１ 从表２４．２４中的数据可以看出，甲、乙灌装线灌装的误差绝对值最大分别 为５ｍＬ、７ｍＬ，两者都小于１０ｍＬ，因此两条灌装线灌装的质量都是合格的． （２）甲、乙灌装线饮料实际含量的平均数分别为 ５０１＋４９６＋…＋５０１ 狓珚 ＝ ＝５００， 甲 １０ ４９６＋４９３＋…＋４９９ 狓珚 ＝ ＝５００． 乙 １０ 两条灌装线饮料实际含量的平均数都等于标准含量． 可以类比方差，计算甲、乙灌装线饮料的实际含量与标准含量的平均差异 程度，分别为 （５０１－５００） ２＋（４９６－５００） ２＋…＋（５０１－５００） ２ ＝６．６， １０ １７２第二十四章 数据的分析 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用（４９６－５００） ２＋（４９３－５００） ２＋…＋（４９９－５００） ２ ＝１８．８． １０ 可以发现，甲灌装线饮料实际含量与标准含量的平均差异更小． 根据样本估计总体，综合来看，甲灌装线的灌装质量更好． 例３ 甲、乙两地同一天的气温记录如表２４．２５所示． 表２４２５ 时刻 ０：００２：００４：００６：００８：００１０：００１２：００１４：００１６：００１８：００２０：００２２：００２４：００ 甲／℃ １１ ９ １０ １２ １６ ２１ ２３ ２４ ２１ １８ １６ １４ １３ 乙／℃ １３ １１ １２ １４ １５ １７ １９ ２１ ２０ １８ １７ １６ １５ 两地的气温有什么差异？ 解：为了直观地观察两地气温的特点，以时刻为横坐标，气温为纵坐标， 把表２４．２５中的数据用折线图进行表示，得到图２４．２３．  
 30 25 20 15 10 5 0 000 200 400 600 80010001200140016001800200022002400 




图２４．
２３





从图２４．２３可以看出，甲、乙两地气温在不同的时刻互有高低，但甲地 的最高气温高于乙地，而最低气温低于乙地．为进一步了解两地气温的差异， 可以从数据的集中趋势和离散程度两个方面分别进行比较． 两地气温的平均数分别为 １１＋９＋…＋１３ １３＋１１＋…＋１５ 狓珚 ＝ ＝１６，狓珚 ＝ ＝１６． 甲 １３ 乙 １３ 将两地气温按从小到大排列，可得 甲地 ９ １０ １１ １２ １３ １４ １６ １６ １８ ２１ ２１ ２３ ２４ 乙地 １１ １２ １３ １４ １５ １５ １６ １７ １７ １８ １９ ２０ ２１ 可以发现两地气温的中位数都是１６，众数各有两个 （甲地是１６和２１，乙地是 １５和１７）且都出现两次，因为重复次数太少，所以不具有代表性．因此，从数 据的集中趋势看，两地的气温差异不明显． 第二十四章 数据的分析１７３ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用两地气温的方差分别为 （１１－１６） ２＋（９－１６） ２＋…＋（１３－１６） ２ ３０６ 狊２ ＝ ＝ ≈２３．５， 甲 １３ １３ （１３－１６） ２＋（１１－１６） ２＋…＋（１５－１６） ２ １１２ 狊２ ＝ ＝ ≈８．６． 乙 １３ １３ 由狊２ ＞狊２ 可知，乙地气温的波动程度比甲地的小，气温更稳定． 甲 乙  １．甲、乙两名运动员进行罚球线上投篮测试．每人投篮１０组，每组投篮 １０次，两名运动员投篮１０组命中的次数如下表所示． 甲 ８ ６ ９ ６ ８ １０ ７ ７ １０ ９ 乙 ７ ８ ９ ８ ９ ８ ８ １０ ６ ７ 哪名运动员的投篮更稳定？ ２．甲、乙两台机床同时生产一种零件．在１０天中，两台机床每天出次品 的数量 （单位：件）如下表所示． 甲 ０ １ ０ ２ ２ ０ ３ １ ２ ４ 乙 ２ ３ １ １ ０ ２ １ １ ０ １ （１）分别计算两组数据的平均数和方差； （２）哪台机床的性能比较好？   １．甲、乙、丙三组数据的折线图如图 10 所示，根据图形比较各组数据方差 8 的大小． 6 4 ２．甲、乙两台包装机同时包装食盐，分 2 别从中随机抽出１０袋，测得它们的 0 1 2 3 4 5 6 实际质量 （单位：ｇ）如下表所示．    （第１题） １７４第二十四章 数据的分析 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用甲 ５０１ ５０６ ５０８ ５０８ ４９７ ５０８ ５０６ ５０８ ５０７ ４９９ 乙 ５０５ ５０７ ５０５ ４９８ ５０５ ５０６ ５０５ ５０５ ５０６ ５０６ （１）分别计算两组数据的平均数和方差； （２）哪台包装机包装食盐的质量比较稳定？  ３．为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中随机抽取１０株麦苗，测得苗高 （单位：ｃｍ）如下表所示． 甲 １２ １３ １４ １５ １０ １６ １３ １１ １５ １１ 乙 １１ １６ １７ １４ １３ １９ ６ ８ １０ １６ （１）分别计算两种小麦的平均苗高； （２）哪种小麦的长势比较整齐？ ４．在体操比赛中，往往在所有裁判员给出的分数中，去掉一个最高分和一个最 低分，然后计算余下分数的平均分．６名裁判员对某一运动员的打分数据 （动 作完成分）如下： ９．４ ８．９ ８．８ ８．９ ８．６ ８．７． （１）如果不去掉最高分和最低分，分别求这组数据的平均数 （结果保留小数 点后一位）和方差 （结果保留小数点后两位）； （２）如果去掉一个最高分和一个最低分，分别求这组数据的平均数 （结果保 留小数点后一位）和方差 （结果保留小数点后两位）； （３）你能从方差的角度解释哪种计算平均分的方法更合理吗？   ５．先任意写一组数据 （如２，３，５，６，９），计算其离差平方和；然后往数据中 任意添加一个数据 （如４或５），再计算其离差平方和．添加数据前后这组数 据的离差平方和有什么变化？当添加什么数时，离差平方和不会变大？ 第二十四章 数据的分析１７５ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用２４．３ 数据的四分位数 集中趋势和离散程度都是数据分布某一方面的特征．为 了获取数据更多的信息，人们还关心数据整体的分布情况． 本节我们将学习用四分位数大致刻画一组数据的分布情况． 问题 某银行有Ａ和Ｂ两个理财产品经营团队．近三年，这两个团队分别 负责经营１２项理财产品，收益率 （单位：％）如下： Ａ ４．７７ ３．９８ ６．４４ ４．８９ ２．１５ ３．８５ ３．６４ ３．２１ ３．１８ ２．０２ ４．１１ ４．１０ Ｂ ３．１８ ３．８４ ３．９９ ３．６７ ３．４０ ３．６０ ４．１０ ４．２１ ４．１５ ４．４４ ３．８７ ３．９１ 如果你是一位购买理财产品的投资者，会选择哪个团队的产品？ 我们可以用产品收益率的平均数和方差来刻画这两个团队的经营水平．通 过计算，可以得到Ａ和Ｂ两个团队产品收益率的平均数和方差分别为 狓珚 ≈３．８６２，狊２≈１．３２７； Ａ Ａ 狓珚 ≈３．８６３，狊２≈０．１１７． Ｂ Ｂ 可以看出，团队Ｂ的产品收益率的平均数稍大于团队Ａ，但差别不大；团队Ａ 的产品收益率的方差明显大于团队Ｂ，即团队Ｂ的产品收益率的稳定性要好于 团队Ａ．因此，如果你是稳健型投资者，那么应该选择团队Ｂ经营的理财产 品；如果你是激进型投资者，那么应该选择团队Ａ经营的理财产品． 5 如果投资者还想进一步了解两个团队理财产品收益率的具体情况，例 如收益率大部分在什么范围，哪些范围比较集中等信息，那么产品收益率 的平均数和方差能反映出这些信息吗？ 平均数和方差虽然可以反映产品收益率的集中趋势和离散程度，但无法反 映出投资客户关心的这些信息．因此，我们需要能反映产品收益率更多分布信 息的统计量． １７６第二十四章 数据的分析 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用一组数据按从小到大的顺序排列，中位数是从中间点把数据分成２等份， 将数据分成１００等份的每一分点处的值叫作这组数据的百分位数．相比中位 数，百分位数可以较全面地反映出数据的分布信息． 由于每个团队的产品收益率的数据个数不多，我们可以用三个特殊的百分 位数来刻画．如图２４．３１所示，把团队Ａ的产品收益率按从小到大的顺序排 列，容易得到这组数据的中位数为３．９１５，这个值把所有数据分成２等份，所 有数据中小于这个值的占５０％，称３．９１５为这组数据的５０％分位数．在３．９１５ 左侧和右侧的数据中，还可以分别得到它们各自的中位数３．１９５和４．４４，所有 数据中小于这两个值的分别占２５％和７５％，称３．１９５和４．４４分别为这组数据的 ２５％分位数和７５％分位数．由于３．１９５，３．９１５，４．４４ 这三个值把这组按由小到大顺序排列的数据分成四 等份，所 以 称 它 们 为 这 组 数 据 的 四 分 位 数 第一四分位数又称 下四分位数，第三四分 （ｑｕａｒｔｉｌｅ），从小到大分别称为这组数据的第一四分 位数又称上四分位数． 位数、第二四分位数 （中位数）、第三四分位数， 分别记为犙，犙，犙． １ ２ ３ ｜ ｜ ｜ ２．０２ ２．１５ ３．１８ ３．２１ ３．６４ ３．８５ ３．９８ ４．１０ ４．１１ ４．７７ ４．８９ ６．４４ ３．１９５ ３．９１５ ４．４４ 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 图２４．３１ 由团队Ａ产品收益率的三个四分位数，可以大致看出其产品收益率的分布 情况．其产品收益率小于３．１９５％的项目数占总数的２５％，产品收益率小于 ３．９１５％的项目数占总数的一半，产品收益率大于４．４４％的项目数占总数的 ２５％．产品收益率在３．１９５％至４．４４％之间的项目数占总数的５０％． 类似地，如图２４．３２，可以得到团队Ｂ产品收益率的三个四分位数分别为 ３．６３５，３．８９，４．１２５． ｜ ｜ ｜ ３．１８ ３．４０ ３．６０ ３．６７ ３．８４ ３．８７ ３．９１ ３．９９ ４．１０ ４．１５ ４．２１ ４．４４ ３．６３５ ３．８９ ４．１２５ 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 图２４．３２ 由团队Ｂ产品收益率的三个四分位数可以知道，其产品收益率小于 第二十四章 数据的分析１７７ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用３．６３５％的项目数占总数的２５％，产品收益率小于３．８９％的项目数占总数的一 半，产品收益率大于４．１２５％的项目数占总数的２５％．产品收益率在３．６３５％ 至４．１２５％之间的项目数占总数的５０％． 为了更加直观地观察产品收益率的分布特征，我们可以用产品收益率的三 个四分位数及最小值、最大值这五个数值画出箱线图 （ｂｏｘｐｌｏｔ）．团队Ａ产品 收益率的箱线图如图２４．３３所示，它主要由矩形箱体和从箱体延伸出的两条 水平线段 （称为须线）构成．箱线图中最左侧和最右侧的竖直线段分别表示这 组数据的最小值和最大值，中间箱体的左端竖线表示第一四分位数，箱体中部 的竖线表示第二四分位数 （中位数），箱体的右端竖线表示第三四分位数，整 个箱体的长度为第三四分位数减去第一四分位数的 从图２４．３３中你还 差，称为四分位距．由箱线图，容易看出产品收益 能看出哪些分布信息？ 率分布的大致情况，如分布的范围、中位数的大 小、集中的范围、分布是否对称等．      2 3 4 5 6 7  图２４．３３ 类似地，可以画出团队Ｂ产品收益率的箱线图，如图２４．３４所示． 2 3 4 5 6 7  图２４．３４ 箱线图也可以按竖直方向画．为了便 于比较两个团队产品收益率的分布特征， & 7 把两个箱线图按竖直方向并列画在同一幅 6 5 图中，如图２４．３５所示． 4 3 2 从图２４．３５中可以发现，两个团队 1 0 产品收益率的中位数几乎相等 （表示中位 A B 图２４．３５ 数的水平线段差不多高），但团队Ａ的产 １７８第二十四章 数据的分析 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用品收益率波动明显比团队Ｂ的大 （团队Ａ的箱体和须线比团队Ｂ的长），这与 用平均数、方差比较的结果是一致的．从箱线图中，还可以看出分布的一些其 他特征，例如，团队Ｂ的产品收益率分布比团队Ａ的更对称 （中位数对应的水平 线段在箱子的中间位置），团队Ａ有约２５％的产品 与直方图、条形图 收益率高于团队Ｂ的最高产品收益率，也有约２５％ 比较，箱线图在表示数 的产品收益率低于团队Ｂ的最低产品收益率，等等． 据方面有什么特点？ 3 按从小到大的顺序排列的一组数据，可以按以下步骤确定其四分位 数：先找出这组数据的中位数，作为这组数据的第二四分位数；然后找出 中位数左侧和右侧的数据各自的中位数，分别作为这组数据的第一四分位 数和第三四分位数．利用一组数据的三个四分位数，以及最小值、最大值 可以刻画这组数据的大致分布情况． 例 根据第１７３页表２４．２５中的数据，分别计算甲、乙两地气温的四分位 数，在同一幅图中画出箱线图，据此比较甲、乙两地的气温特点． 解：将表中两地的气温 （单位：℃）分别按从小到大的顺序排列，可得 甲地 ９ １０ １１ １２ １３ １４ １６ １６ １８ ２１ ２１ ２３ ２４ 乙地 １１ １２ １３ １４ １５ １５ １６ １７ １７ １８ １９ ２０ ２１ 甲、乙两地气温各有１３个数据．甲地气温的最小值为９，最大值为２４，三 个四分位数分别为 １１＋１２ ２１＋２１ 犙＝１６，犙＝ ＝１１．５，犙＝ ＝２１． ２ １ ２ ３ ２ 乙地气温的最小值为１１，最大值为２１，三个四分位数分别为 １３＋１４ １８＋１９ 犙＝１６，犙＝ ＝１３．５，犙＝ ＝１８．５． ２ １ ２ ３ ２ 在同一幅图中画出两地气温的箱线图， 
如图２４．３６所示． 30 25 可以看出，甲、乙两地气温的中位数相 20 15 同，但甲地气温的波动明显比乙地的大，甲地 10 5 约有２５％时刻的气温高于乙地的最高温度， 0   约有２５％时刻的气温低于乙地的最低温度． 图２４．３６ 第二十四章 数据的分析１７９ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用 １．某城市９月份空气质量指数的箱线图如图所示． 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100110120   （第１题） （１）这个月空气质量指数的最大值、最小值及四分位数分别是多少？ （２）请分析这个月空气质量的特点． ２．计算第１４９页 “问题１”中每组数据的四分位数，在同一幅图中画出箱 线图，据此比较两个小组的跳绳成绩特点． ３．任何一组数据的四分位数，是否都恰好能把这组数据分成四等份？举 例说明．   １．以下是三组数据的直方图和箱线图的示意图，把表示同一组数据的两个图形 进行连线，并说明理由． （Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （１） （２） （３） （第１题） ２．一家汽车零售店的９名销售人员１０月份销售的汽车数量 （单位：辆）如下： １２ １０ ３ ９ １０ １２ ２ ６ １４ （１）计算汽车销售数量的四分位数； （２）画箱线图并分析汽车销售数量的特点． １８０第二十四章 数据的分析 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用 ３．某班有４０名同学，一次测试的成绩 （百分制）如下： ３２ ４４ ５４ ５５ ５８ ６２ ６５ ６５ ６８ ６９ ６９ ６９ ７０ ７１ ７１ ７２ ７３ ７４ ７５ ７５ ７５ ７６ ７７ ７７ ７８ ７９ ８０ ８０ ８１ ８３ ８５ ８５ ８７ ８７ ８９ ９０ ９２ ９４ ９９ ９９ 请结合测试成绩的四分位数和箱线图分析这个班这次测试成绩的特点． ４．八年级两个班男生的身高 （单位：ｃｍ）分别如下： 甲班 １６４ １７１ １６３ １５８ １６７ １７５ １６９ １８１ １６８ １７６ １７５ １６２ １６６ １６５ １７２ １６９ １７１ １６８ １７４ １７０ 乙班 １７２ １７０ １６３ １６１ １７９ １６０ １７６ １７４ １７０ １７８ １８３ １６６ １６８ １６７ １８０ １７１ １６８ １７２ 请结合男生身高的四分位数和箱线图比较这两个班级男生的身高差异． 第二十四章 数据的分析１８１ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用２４．４ 数据的分组 在社会生活中，分类现象普遍存在．例如，超市里各种 商品按用途不同分类摆放，宾馆根据硬件设施、服务水平等 分成不同的星级，等等．在实际问题中，当面临的对象复杂 多样时，分类往往可以为我们处理问题带来方便．对于一组 取值多样的数据，对其进行合理分组，也会有助于我们解决 问题． 问题 一家公司向社会招聘一名员工，所有应聘者先统一参加笔试，然后 根据笔试成绩确定一部分应聘者进入面试．将１０名应聘者的笔试成绩 （百分 制）按从小到大的顺序排列如下： ５８ ６４ ６８ ７５ ７６ ８３ ８５ ８９ ９０ ９２ 你认为哪一部分应聘者应当进入面试？ 自然，应当选择笔试成绩好的应聘者进入面试．那么笔试成绩怎样才算好 呢？可以有不同的标准．例如，前三名或８５分及以上等．不管哪种标准，目的 都是把笔试成绩分成好和差两组． 对笔试成绩进行分组，上面提到的标准各有其合理性，在实际中也经常被 采用．但这些标准都没有考虑数据自身的特点，这可能导致两个很接近的笔试 成绩被分到不同的组．例如，８３分与８５分的差距很小，若以 “８５分及以上” 为好成绩的标准，则８５分属于好成绩，而８３分属于差成绩．而从公司确定面 试应聘者的角度看，把笔试成绩相对接近的分到同一组，是一种较合理的做 法．因此，笔试成绩可以根据组内差异最小的原则进行分组． 将笔试成绩按从小到大的顺序排列，使相互最接近的笔试成绩都挨在了一 起．因此，要使分组后的组内差异最小，只需在已排序数据的基础上寻找分组 方法．可以发现，１０个笔试成绩按顺序排列形成９个间隔，如图２４．４１所示． ５８｜６４｜６８｜７５｜７６｜８３｜８５｜８９｜９０｜９２ 图２４．４１ 每个间隔都可以把笔试成绩分成好和差两组，共有９种分法． １８２第二十四章 数据的分析 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用5 怎么刻画组内笔试成绩差异的大小呢？哪种分法能使笔试成绩好和差 两组的组内差异最小？ 在前面的学习中，我们知道，离差平方和可以刻画一组数据的离散程度． 下面我们利用离差平方和刻画组内数据的离散程度，进而对数据进行分组． 一般地，设有狀个数据狓，狓，…，狓，其平均数记为狓珚，则离差平方 １ ２ 狀 和为 犱２＝（狓－狓珚） ２＋（狓－狓珚） ２＋…＋（狓－狓珚） ２． １ ２ 狀 如果把这组数据分为两组，前犿（犿＜狀）个数据为一组，后 （狀－犿）个数据 为一组，它们的平均数分别记为狓珚 和狓珚，离差平方和分别为 １ ２ 犱２＝（狓－狓珚） ２＋（狓－狓珚） ２＋…＋（狓－狓珚） ２ ， １ １ １ ２ １ 犿 １ 犱２＝（狓 －狓珚） ２＋（狓 －狓珚） ２＋…＋（狓－狓珚） ２ ， ２ 犿＋１ ２ 犿＋２ ２ 狀 ２ 那么 犱２＝（狓－狓珚） ２＋（狓－狓珚） ２＋…＋（狓－狓珚） ２ １ ２ 狀 ＝（狓－狓珚＋狓珚－狓珚） ２＋（狓－狓珚＋狓珚－狓珚） ２＋…＋（狓－狓珚＋狓珚－狓珚） ２＋ １ １ １ ２ １ １ 犿 １ １ （狓 －狓珚＋狓珚－狓珚） ２＋（狓 －狓珚＋狓珚－狓珚） ２＋…＋（狓－狓珚＋狓珚－狓珚） ２ 犿＋１ ２ ２ 犿＋２ ２ ２ 狀 ２ ２ ＝（狓－狓珚） ２＋（狓－狓珚） ２＋…＋（狓－狓珚） ２＋（狓 －狓珚） ２＋ １ １ ２ １ 犿 １ 犿＋１ ２ （狓 －狓珚） ２＋…＋（狓－狓珚） ２＋犿（狓珚－狓珚） ２＋（狀－犿）（狓珚－狓珚） ２ 犿＋２ ２ 狀 ２ １ ２ ＝犱２＋犱２＋犿（狓珚－狓珚） ２＋（狀－犿）（狓珚－狓珚） ２． １ ２ １ ２ 其中犱２＋犱２ 称为组内离差平方和，表示两个组内数据的离散程度；记 １ ２ 犱２ ＝犿（狓珚－狓珚） ２＋（狀－犿）（狓珚－狓珚） ２ ， １２ １ ２ 犱２ 是犿个第一组数据平均数、（狀－犿）个第二组数据平均数关于总体数据平 １２ 均数的离差平方和，称为组间离差平方和，表示两个组间的差异．根据组内离 差平方和最小的原则进行分组时，由于犱２ 不变，既可以按犱２＋犱２ 最小来分组， １ ２ 也可以按犱２ 最大来分组． １２ 这样，根据组内离差平方和最小的原则，能使笔试成绩相差较小的应聘者 分在同一组．利用计算器或信息技术工具，可以计算出图２４．４１中的９种分法 的组内离差平方和 （结果保留小数点后一位），如表２４．４１所示． 第二十四章 数据的分析１８３ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用表２４４１ 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第１个间隔 ０ ７９９．６ ７９９．６ 第２个间隔 １８ ５０３．５ ５２１．５ 第３个间隔 ５０．７ ２７１．４ ３２２．１ 第４个间隔 １５２．８ １７０．８ ３２３．６ 第５个间隔 ２２８．８ ５４．８ ２８３．６ 第６个间隔 ４１１．３ ２６ ４３７．３ 第７个间隔 ５８７．４ ４．７ ５９２．１ 第８个间隔 ８１９．５ ２ ８２１．５ 第９个间隔 １０２６．２ ０ １０２６．２ 观察最后一列组内离差平方和可以发现，当按第５个间隔分组时，组内离 差平方和最小．因此，按组内离差平方和最小的分法为 ｛５８，６４，６８，７５，７６｝ 和 ｛８３，８５，８９，９０，９２｝． 例 １０个城市某月的每日最高温度的平均数 （简称平均高温）如表２４．４２ 所示． 表２４４２ 呼和 城市 北京 石家庄 哈尔滨 上海 广州 海口 成都 贵阳 昆明 浩特 平均高 ３ ３ －３ －１１ １０ ２１ ２２ １２ ９ １７ 温／℃ 根据平均高温的组内离差平方和最小的原则，把这１０个城市分为两组． 解：将表中的数据按从小到大排列，可得 －１１ －３ ３ ３ ９ １０ １２ １７ ２１ ２２ 将它们分成两组共有９种情况，利用计算器或信息技术工具，分别计算组内离 差平方和 （结果保留小数点后一位），如表２４．４３所示． １８４第二十四章 数据的分析 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用表２４４３ 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第１个间隔 ０ ５８４．２ ５８４．２ 第２个间隔 ３２ ３８０．９ ４１２．９ 第３个间隔 ９８．７ ２８５．７ ３８４．４ 第４个间隔 １３２ １５８．８ ２９０．８ 第５个间隔 ２２８．８ １１３．２ ３４２ 第６个间隔 ３０８．８ ６２ ３７０．８ 第７个间隔 ３９７．４ １４ ４１１．４ 第８个间隔 ５６２ ０．５ ５６２．５ 第９个间隔 ７８９．６ ０ ７８９．６ 观察最后一列组内离差平方和可以发现，当按 第４个间隔分组时，组内离差平方和最小．因此， 按组内离差平方和最小的分法为 结合地理课所学知 ｛北京，石家庄，呼和浩特，哈尔滨｝ 识，说一说这样分组合 和 理吗？ ｛上海，广州，海口，成都，贵阳，昆明｝．  １．把表２４．４２中１０个城市的平均高温按组间离差平方和最大进行分组， 应该如何分？结果和按组内离差平方和最小分组一致吗？ ２．某年５个城市的人均生活用电量如下表所示． 城市 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ 人均生活用电量／（ｋＷ·ｈ） ９１０ ８８６ ８４７ ８１２ ７８８ 根据人均生活用电量的组内离差平方和最小的原则，把这５个城市分为 两组． 第二十四章 数据的分析１８５ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用  １．在引体向上测试中，５名同学完成的个数分别为１３，１５，７，９，１２．根据组内 离差平方和最小原则，把这５名同学引体向上的个数分为两组．  ２．某镇６家企业去年的产值如下表所示． 企业 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ Ｆ 产值／亿元 ３ １２ ４ ８ ９ １５ 根据年产值的组内离差平方和最小的原则，把这６家企业分为两组．   ３．如果把数据９，６，３，５，１２分成三组，根据组内离差平方和最小的原则，应 该如何分？   大数据及其应用 传统意义上的数据，是指进行各种统计、计算、科学研究或技术设计等所 依据的数值．随着社会高速数字化发展，数据的含义早已远超数值的范围，一 行文字、一张图片、一段视频、一个网络链接，以及各种类型与格式的文件等， 都是数据． 近年来，随着互联网、物联网、云计算， １个汉字所占存储 以及智能手机等移动设备的快速发展，人们创 空间为２Ｂ （字节）．一 造的数据量也呈现爆炸性增长．２０００年前后， 本 《汉字源流精解字典》 一般认为ＴＢ （１ＴＢ＝２４０Ｂ）级别的数据量就 共有约２０７．７万字，则 很大了，而目前已经可以在ＥＢ（１ＥＢ＝２６０Ｂ）、 １ＴＢ的空间大约可以存 ＺＢ （１ＺＢ＝２７０Ｂ），甚至更大的数量级讨论数 储２６．４７万本这种字典． 据了．我们一般称这种海量数据为 “大数据”， 将利用大数据获取有效信息的相关技术称为大数据技术． １８６第二十四章 数据的分析 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用随着数据量的增长，能否快速地处理大数据，成为影响大数据广泛应用的 重要因素．例如，面对瞬息万变的气象信息数据、实时变化的股市行情数据等， 都需要快速地处理数据．对于应该多快地处理大数据，有人提出 “１ｓ定律”， 只有当数据处理速度在秒级，才能保证使用者对实时生成的大数据进行有效处 理，从而获取有效信息，并科学决策． 大数据广泛地应用于各行各业和日常 生活中．例如，目前网上购物已经成为我     们日常生活的一部分，许多购物平台具有 针对顾客进行产品精准推送的功能，这就     是在应用大数据．以对某顾客的精准推送 为例，运营商可以根据他在购物平台上的  基本信息 （如注册信息、手机型号等）与   用户行为数据 （如搜索、浏览、购物等信    息），了解他感兴趣的商品与购买力；与 此同时，运营商会根据所有顾客的基本信息与用户行为数据，找到和此顾客具 有相似兴趣与购买力的同类顾客；然后，根据同类顾客的常见搜索、浏览、购 物等信息，找出符合这类顾客兴趣与购买力的商品推送给此顾客．这样做既可 以使顾客快速购买到满意的产品，提升用户体验，又能够提高商品交易量，使 商家获利． 我们现在的统计学习也与大数据联系紧密．例如，我们学习的加权平均， 正是大数据时代热门算法 “分布式计算”的简单形式．“分布式计算”的原理是 将一个庞大的计算任务拆分成多个子任务，然后分派给多台计算机共同完成， 这能够极大地提高效率、降低成本．此外，我们学习的绘制统计图、数据的分 组等内容，也与大数据时代广泛涉及的可视化分析、聚类分析等密切关联． 你还想了解哪些大数据的信息？请查阅资料，并分享给大家吧！ 第二十四章 数据的分析１８７ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用 "
@6+C  把全班同学分成若干组，合作完成下面的活动： １．各组分别测量本组同学在静息状态下每分钟的脉搏次数，并计算 本组数据的平均数、中位数、众数等． ２．与其他组进行交流，估计心脏在静息状态下每分钟的跳动次数． ３．查找资料，了解心脏在静息状态下每分钟的跳动次数，并与你们 的调查结果进行对比．根据调查结果谈一谈你对平均数、中位数、众数作 为数据代表的认识，以及对用样本估计总体的体会． "
*!F+  把全班同学分成若干组，合作完成下面的活动： １．各组收集本组每位同学所在家庭上个月的用水量，并计算本组数 据的平均数与方差． ２．将各组数据汇总，计算全班数据的平均数与方差． ３．用横轴表示组编号，纵轴表示平均数，描出各组平均数所对应的 点，并画一条纵坐标为全班平均数的水平直线．观察点与直线的关系，你 有什么发现？ ４．与平均数的表示类似，用统计图表示各组与全班数据的方差．观 察点与直线的关系，你有什么发现？ ５．如果把每组数据作为样本，全班数据作为总体，请就用水量数据， 谈一谈样本的平均数和方差与总体的平均数和方差的关系，以及抽样调 查时应该注意的问题． ６．全班数据的平均数和方差，能否作为全班同学所在家庭全年月平 均用水量的平均数和方差的估计？为什么？ １８８第二十四章 数据的分析 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
                        
  从杂乱无章的数据中提取信息，需要对数据进行有效的处理和分析． 用表格整理数据和用图形表示数据，有助于我们直观了解数据的特征和 规律，并为进一步分析数据提供方向．但要准确把握数据的特征，需要根 据特征的不同，用不同的统计量进行刻画．例如，数据的集中趋势可以用 平均数、中位数、众数等刻画，数据的离散程度可以用离差平方和、方 差等刻画，数据分布的概貌可以用四分位数刻画，等等．即使是刻画数据 同一方面特征的统计量，它们也存在不同的特点，在应用中需要根据具 体的问题选择合适的统计量进行刻画．按接近程度对数据分组可以有不同 的原则，分组原则不同结果可能不同，组内离差平方和最小是常用的分 组原则．通过这些内容的学习，有助于我们增强数据观念． 用样本估计总体是统计的基本思想，也是统计的主要目的之一．利用 样本的统计量可以估计总体相应的统计量．例如，用样本的平均数和方差可 以分别估计总体的平均数和方差，进而了解总体取值的平均水平和离散程度． 第二十四章 数据的分析１８９ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧． １．平均数、中位数、众数在刻画数据的集中趋势上各有什么特点？ ２．平均数与加权平均数有什么联系和区别？举例说明加权平均数中 “权”的作用． ３．离差平方和、方差在刻画数据离散程度上各有什么特点？ ４．为什么四分位数和箱线图可以帮助我们了解数据分布的概貌？ ５．对数据进行分组，除了按组内离差平方和最小分组，你还能想出 其他分组的原则吗？ ６．搜集关于 “统计学”方面的资料 （如学科发展史、思想方法、人 物等），自选一个角度谈谈你对统计的认识．    １．判断下列说法是否正确，若不正确，请举例说明． （１）一组数据的平均数、中位数、众数一定存在，且都是这组数据中的数； （２）一组数据的平均数、中位数、众数没有确定的大小关系； （３）一组数据中，大于平均数和小于平均数的数据各占５０％； （４）计算加权平均数时，权越大的数据对加权平均数的影响也越大； （５）比较两组数据的离散程度，离差平方和较大的组，其方差也一定较大． ２．为了解某一路口的汽车流量，随机调查了１０天中同一时段通过这个路口的汽车 数量 （单位：辆），结果如下： １８３ ２０９ １９５ １７８ ２０４ ２１５ １９１ ２０８ １６７ １９７ 在此时段中，平均约有多少辆汽车通过这个路口？ ３．某年Ａ，Ｂ两座城市四季的平均气温 （单位：℃）如下表所示． 城市 春 夏 秋 冬 Ａ －４ １９ ９ －１０ Ｂ １６ ３０ ２４ １１ （１）分别计算Ａ，Ｂ两座城市四季的平均气温 （结果取整数）； １９０第二十四章 数据的分析 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用（２）哪座城市四季的平均气温变化比较小？ ４．一家公司员工的月收入如下表所示． 月收入／元 ２００００ １８０００ １２０００ ８０００ ６０００ ５０００ 人数 １ ２ ４ ５ ７ ６ （１）计算这家公司员工月收入的平均数、中位数和众数； （２）计算这家公司员工月收入的四分位数，并画出箱线图． ５．某水库管理人员为了解某种鱼的生长情况，从水库中随机捕捞了２０条这种鱼， 称得它们的质量 （单位：ｋｇ）如下： １．１５ １．０４ １．１１ １．０７ １．１０ １．３２ １．２５ １．１９ １．１５ １．２１ １．１８ １．１４ １．０９ １．２５ １．２１ １．２９ １．１６ １．２４ １．１２ １．１６ 估计水库中这种鱼质量的平均数和方差 （结果保留小数点后两位）．  ６．某天电影院有三个影厅放映电影，上午各厅只放映一场电影，信息如下表所示． 影厅 每张电影票价格／元 座位／个 上座率／％ Ａ ３０ ６０ ７５ Ｂ ４０ ６０ ６０ Ｃ ５０ ４０ ４７．５ 计算电影院的上座率及所售电影票的平均价格． ７．下表是两种股票一周内的交易日收盘价格 （单位：元／股）． 股票 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 Ａ １１．６２ １１．５１ １１．３９ １１．９４ １１．１７ Ｂ １３．５３ １４．０７ １３．４９ １３．８４ １４．８０ 计算它们的平均数和方差 （结果保留小数点后两位），比较这两种股票在这段时 间内的涨、跌变化情况． ８．甲、乙两门大炮在相同条件下向同一目标各发射５０发炮弹，炮弹落点情况如下 表所示． 炮弹落点与目标的距离／ｍ ４０ ３０ ２０ １０ ０ 甲炮发射的炮弹数量／发 ０ １ ３ ７ ３９ 乙炮发射的炮弹数量／发 １ ３ ２ ３ ４１ 第二十四章 数据的分析１９１ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用（１）分别计算两门大炮所发射的炮弹落点与目标的距离的平均数； （２）哪门大炮射击的准确性较好？ ９．下面是某地区监测的近两年７月的空气质量指数． 前年７月 ７１ ４２ ４５ ５８ ６７ ４８ ５１ ６３ ５１ ７３ ５５ ７９ ５２ ５２ ７７ ５４ ８７ ５４ ６２ ５５ ５６ ５８ ６０ ６１ ６２ ６５ ６９ ４２ ７２ ６９ ７３ 去年７月 ３８ ５０ １９ ３７ ２２ ４７ ３１ ３８ ２２ ２６ ２８ １９ ３０ ３１ ３２ ３４ ３５ ３３ １８ ４９ ４７ ３７ ２２ ３８ ３８ １８ ３９ ２５ ２２ ４２ ４４ （１）分别计算两组监测数据的平均数、方差和四分位数 （结果保留小数点后 一位）； （２）画出两组数据的箱线图； （３）通过上面的结果，比较说明这个地区的空气质量情况． １０．已知８个地区居民人均可支配收入狓（单位：万元）如下表所示． 地区 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 居民人均可支配 ２．２ ３．７ ４．３ ２．７ ４．１ ２．９ ３．３ ２．４ 收入狓／万元 根据居民人均可支配收入的组内离差平方和最小的原则，把这８个地区分为 两组．   １１．学校八年级４０名男生的５０米跑成绩 （单位：ｓ）如下： ７．１ ７．６ ７．７ ７．６ ７．７ ７．８ ７．７ ８．６ ８．０ ８．９ ７．４ ８．３ ７．３ ７．５ ７．８ ７．９ ８．２ ７．５ ７．２ ７．６ ７．７ ７．９ ７．６ ７．９ ７．２ ８．１ ８．７ ８．０ ８．０ ８．３ ７．４ ７．５ ７．８ ７．９ ７．８ ７．７ ８．１ ７．４ ７．７ ７．９ 结合 《国家学生体质健康标准 （２０１４年修订）》，用你所学的统计知识分析数 据，为体育老师写一份数据分析报告． １９２第二十四章 数据的分析 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用综合与实践 学生体质健康调查与分析 青少年的体质健康，既与其学习和生活息 息相关，又与国家和民族的未来密不可分．为 了提升学生的体质健康，进行学生体质健康调 查与分析就必不可少．  经历收集、整理、描述、分析数据的全过程，提升数据观念；尝试制订一 些体质健康测试项目的评价标准；在活动中加强自身体质健康意识．  为建立健全国家学生体质健康监测评价机制，激励学生积极参加体育锻 炼，２０１４年教育部印发了 《国家学生体质健康标准 （２０１４年修订）》（以下简 称 《标准》），为我国学生的体质健康监测提出了各种评价标准，初中生体质健 康测试项目如表１所示．请查阅资料，了解体质健康测试的有关信息，并根据 自身情况填写表１的相关数据． 表１ 体质健康测试登记表 姓名 性别 身高／ｍ 体重／ｋｇ 指标 成绩 指标 成绩 体重 体重指数 （ＢＭＩ）＝ 身高 ／（ｋｇ·ｍ－２） 男生 引体向上／次 ２ 肺活量／ｍＬ 专项 １０００米跑／ｓ ５０米跑／ｓ 女生 １分钟仰卧起坐／次 坐位体前屈／ｃｍ 专项 立定跳远／ｃｍ ８００米跑／ｓ  立定跳远成绩的调查与分析  立定跳远是一项集弹跳、爆发力、身体协调性和技术等于一体的体育运 综合与实践 学生体质健康调查与分析１９３ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用动．请对你所在学校八年级男生 （或女生）的立定跳远成绩进行调查与分析． 任务１ 收集数据 （１）确定样本量 根据你所在学校八年级学生的人数情况，确定一个合适的样本量． （２）确定抽取样本的方法 用简单随机抽样方法抽取样本，确定具体操作步骤． （３）制订方案，进行调查 根据确定的收集数据的方法，进行调查，得到样本数据． 任务２ 整理数据 表２是根据 《标准》得到的立定跳远等级评价表．参照表２，整理样本数 据，得到不同立定跳远等级的频数与百分比． 表２ 立定跳远等级评价表 立定跳远等级 男生成绩狓／ｃｍ 女生成绩狔／ｃｍ 优秀 狓≥２２６ 狔≥１８８ 良好 ２１０≤狓＜２２６ １７４≤狔＜１８８ 及格 １７０≤狓＜２１０ １４４≤狔＜１７４ 不及格 狓＜１７０ 狔＜１４４ 任务３ 描述数据 根据整理的数据，选择合适的统计图描述样本数据，使数据分布的信息更 直观、清楚地显现出来． 任务４ 分析数据 （１）估计整体情况 根据样本数据以及所作统计图表，计算样本数据的平均数、中位数、众 数、方差、四分位数等，对全年级男生 （或女生）的立定跳远成绩进行估计． 例如，由调查数据知，男生样本的立定跳远水平为良好及其以上者４８人， 占统计人数的６０％，则可估计全校八年级男生的立定跳远水平有类似结果． （２）数据分组 观察调查得到的样本数据，能否按大小将其分组，以便对不同立定跳远水 平的学生提供针对性帮助？如果样本数据适合分组，分几组合适？如何分组？ 犅犕犐的合理性及其评价标准  人的胖瘦程度与身体健康关系密切，过胖或过瘦都会对人的健康造成不良 １９４综合与实践 学生体质健康调查与分析 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用影响，《标准》中用体重指数 （ＢＭＩ）衡量人的胖瘦程度．你对ＢＭＩ了解吗？ 用它可以说明人的胖瘦程度吗？ 任务１ 探究用ＢＭＩ衡量人体胖瘦程度的合理性 请查阅资料，探究将ＢＭＩ作为衡量普通人胖瘦程度的常用指标的合理性． 任务２ 制订你所在班级的ＢＭＩ等级评价标准 基于我国学生的整体情况，《标准》给出了八年级学生的ＢＭＩ等级评价标 准，如表３所示．根据你所在班级同学的ＢＭＩ数据，尝试制订一个专属于你所 在班级的ＢＭＩ等级评价标准． 表３ 《标准》中的八年级学生犅犕犐等级评价标准 等级 性别 低体重 正常 超重 肥胖 男 ≤１５．６ １５．７～２２．５ ２２．６～２５．２ ≥２５．３ 女 ≤１５．２ １５．３～２２．２ ２２．３～２４．８ ≥２４．９ 任务３ 分析标准的差异性 对比你所制订的标准与表３中的标准，两者是否有差异？如果有，分析可 能造成这种差异的原因． 肺活量与长跑成绩的关系  在对中学生的体质健康测试中，男生１０００米跑和女生８００米跑是衡量学 生能量代谢系统与运动能力的综合性运动．有人说 “肺活量大的人长跑能力 强”，你在现实生活中有类似感受吗？如何用数学的眼光看待这个现象？ 任务１ 问题提出 “肺活量大的人长跑能力强”这句话对八年级学生适用吗？提出可以通过 数据分析解答的研究问题． 任务２ 问题解决 通过小组合作的方式，设计整个研究过程，经历收集、整理、描述、分析 数据的过程，得出研究结论． 开展其他活动 （选做）  在完成上述活动的基础上，你还可以继续利用体质健康测试的数据进行其 他研究．研究问题可以从下列三个方面选择，也可以根据自身兴趣，小组协商 综合与实践 学生体质健康调查与分析１９５ 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用确定． （１）男生１０００米跑成绩的调查； （２）女生的ＢＭＩ与其仰卧起坐成绩的关系； （３）制订你所在班级学生坐位体前屈成绩的评价标准．  １组建合作团队 本次综合与实践活动需要团队协作．在班级中组成５～８人一组的研究小 组，每位同学参加其中一个小组，每个小组确定一名负责人． ２方案构思 小组成员进行充分的讨论与交流，集思广益，形成解决上述任务的方案． ３方案实施 按照小组设计的方案进行任务分工，使每位成员都有明确的任务．根据规 划的研究步骤实施，完成活动任务，形成研究报告． ４展示交流 制作向全班汇报的演示文稿，选出代表向全班同学展示本组的研究成果， 分享实践过程中的活动经验、遇到的困难及其解决方法，反思活动中的不足．  通过成果展示与交流，基于完成的研究报告，根据情况选择任务完成表、 表现评分表、自我反思表等进行评价．与老师和全班同学一起，通过质疑、辩 论、评价，总结成果，分享体会，分析不足，开展自我评价、同学评价和教师 评价，完成本次综合与实践活动． １９６综合与实践 学生体质健康调查与分析 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用!"# 本套教科书 （七～九年级）由人民教育出版社课程教材研究所中学数学课程教材 研究开发中心依据教育部 《义务教育数学课程标准 （２０２２年版）》编写． 本套教科书集中反映了基础教育课程改革的最新成果，总结了上一版 《义务教育 教科书 数学》的编写经验，凝聚了教育专家、学科专家、教材编写人员、教研人员 及一线教师的集体智慧．参加本套教科书统稿的还有薛彬、王光明，参加本册教科书 统稿的还有秦德生，参加本册教科书编写讨论的还有李健、张飞玲、王嵘．本套教科 书封面设计由中央美术学院设计团队完成，人民教育出版社设计部制作．本册教科书 版式设计为王俊宏，内文插图绘制为王俊宏、张婷婷、康鲁雷．我们感谢所有对教科 书的编写、审读、试教、出版等提供过帮助与支持的同仁和社会各界朋友． 本册教科书出版之前，我们通过多种渠道与教科书选用作品的作者进行了联系， 得到了他们的大力支持．中国载人航天工程办公室、视觉中国、ＩＣｐｈｏｔｏ、雅昌文化 （集团）有限公司和李文林等为本册教科书提供了图片素材．对此，我们表示衷心的 感谢！ 我们真诚地希望广大教师、学生及家长在使用本册教科书的过程中提出宝贵的意 见和建议．我们将本着精益求精的态度，集思广益，不断修订，努力使教科书日趋 完善． 联系方式 电 话：０１０５８７５８３３５，５８７５８８６６ 电子邮箱：ｊｃｆｋ＠ｐｅｐ．ｃｏｍ．ｃｎ 意见反馈平台：ｊｃｙｊｆｋ．ｐｅｐ．ｃｏｍ．ｃｎ 人民教育出版社 课程教材研究所 仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用义 义 务 教 育 教 科 书 八年级 下册 务 教 育 教 科 ® 书 义 务 教 育 教 科 书 八年级 下册 YIWU JIAOYU JIAOKESHU SHUXUE 八 年 级 绿色印刷产品 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