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专项 20 平方差公式的几何背景（三大类型）
【典例1】（2022秋•永春县期中）如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正
方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个长方形，通过计算两个图形阴影部分的面积，
验证了一个等式，则这个等式是（ ）
A．a2﹣ab＝a（a﹣b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
【变式1-1】（2022春•市中区校级月考）如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸片中剪去
一个边长为（a+2）cm的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠
无缝隙），则矩形的面积为（ ）
A．（2a2+5a）cm2 B．（3a+15）cm2
C．（4a+12）cm2 D．（6a+15）cm2
【变式1-2】（2022春•新泰市期末）将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能
根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（ ）A．（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（2a﹣b）2＝4a2﹣4ab+b2
【典例2】（2022春•天桥区校级期中）从边长为 a的正方形剪掉一个边长为b的正方形
（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是 ；
（2）若x2﹣9y2＝12，x+3y＝4，求x﹣3y的值；
（3）计算：（1﹣ ）（1﹣ ）（1﹣ ）…（1﹣ ）（1﹣ ）．
【变式2】（2022春•咸阳月考）如图，图1为边长为a的大正方形中有一个边长为b的小
正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．
（1）设图1中阴影部分面积为S ，图2中阴影部分面积为S ，请用含a、b的代数式表
1 2
示：S ＝ ，S ＝ ；
1 2
（2）以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式 ；
（3）运用（2）中得到的公式，计算：20222﹣2021×2023．【典例3】（2022春•宝安区期末）初中数学的一些代数公式可以通过几何图形的面积来推
导和验证．如图①，从边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形后，将其沿虚
线裁剪，然后拼成一个矩形（如图②）．
（1）通过计算图①和图②中阴影部分的面积，可以验证的公式是： ＝
．
（2）小明在计算（2+1）（22+1）（24+1）时利用了（1）中的公式：
（2+1）（22﹣1）（24+1）
＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）
＝ ．
（请你将以上过程补充完整．）
（3）利用以上的结论和方法、计算： +（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）
（316+1）．
【变式3】（2021春•高明区期末）如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小
正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为S ，图
1
2中阴影部分面积为S ．
2
（1）请直接用含a和b的代数式表示S ＝ ，S ＝ ；写出利
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用图形的面积关系所得到的公式： （用式子表达）．
（2）应用公式计算： ．
（3）应用公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1．1．（2022春•普陀区期末）某厂原来生产一种边长为a厘米的正方形地砖，现将地砖的一
边扩大2厘米，另一边缩短2厘米，改成生产长方形地砖，若材料的成本价为每平方厘
米b元，则这种长方形地砖每块的材料成本价与正方形地砖相比（ ）
A．增加了4b元 B．增加了2ab元
C．减少了4b元 D．减少了2ab元
2．（2022秋•闵行区期中）如图，正方形 ABCD与正方形CEFG的面积之差是6，求阴影
部分的面积．
故阴影部分的面积为3．
3．（2022春•西安期末）探究活动：
（1）将图1中阴影部分裁剪下来，重新拼成图②一个长方形，则长表示为 ，宽
为 ．
（2）则图2中阴影部分周长表示为 ．
知识应用：运用你得到的公式解决以下问题
（3）计算：已知a＝5m﹣3n，b＝3m+5n，则图2中阴影部分周长是多少？4．（2022春•天桥区期末）如图，边长为a的正方形中有一个边长为b（b＜a）的小正方
形，如图2是由图1中的阴影部分拼成的一个长方形．
（1）设图1阴影部分的面积为S ，图2中阴影部分的面积为S ，请直接用含a，b的式
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子表示S ＝ ，S ＝ ，写出上述过程中所揭示的乘法公式
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；
（2）直接应用，利用这个公式计算：
①（﹣ x﹣y）（y﹣ x）；
②102×98．
（3）拓展应用，试利用这个公式求下面代数式的结果．
（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）×…×（31024+1）+1．
5．（2021秋•大连期末）乘法公式的探究及应用．
（1）如图1，是将图2阴影部分裁剪下来，重新拼成的一个长方形，面积是 ；
如图2，阴影部分的面积是 ；比较图1，图2阴影部分的面积，可以得到乘法
公式 ；
（2）运用你所得到的公式，计算下列各题：
①103×97；
②（2x+y﹣3）（2x﹣y+3）．
6．（2021秋•黔西南州期末）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．
（1）写出根据上述操作利用阴影部分的面积关系得到的等式： ．
（2）请应用（1）中的等式，解答下列问题：
①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝ ；
②计算：2002﹣1992+1982﹣1972+…+42﹣32+22﹣12．
7．（2022春•章丘区期末）“平方差公式”和“完全平方公式”应用非常广泛，灵活利用
公式往往能化繁为简，巧妙解题．请阅读并解决下列问题：
问题一：（x+y﹣z）（x﹣y+z）＝（A+B）（A﹣B），
（1）则A＝ ，B＝ ；
（2）计算：（2a﹣b+3）（2a﹣3+b）；
问题二：已知x2+y2＝（x+y）2﹣P＝（x﹣y）2+Q，
（1）则P＝ ，Q＝ ；
（2）已知长和宽分别为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，如图所示，求
a2+b2+ab的值．
8．（2021秋•科左中旗期末）探究下面的问题：
（1）如图甲，在边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下
的部分剪拼成如图乙的一个长方形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，这个等式是 （用式子表示），即乘法公式中的 公式．
（2）运用你所得到的公式计算：
①10.3×9.7；
②（x+2y﹣3z）（x﹣2y﹣3z）．
9．（2021春•南海区月考）如图1是一个长为2x，宽2n的长方形，沿图中虚线用剪刀将
其均分为4块小正方形，然后按照图2的形状拼成1块正方形．
（1）用两种不同的方法列代数式表示图2中的阴影部分面积：方法一： ；
方法二： ；
（2）观察图2，请你直接写出代数式（x+n）2，（x﹣n）2，xn之间的等量关系式．
（3）根据（2）中的结论，若p﹣q＝﹣3，p•q＝ ，则（p+q）2＝ ．
（4）根据（2）中的结论，如果（a﹣2020）（a﹣2022）＝16，计算（2a﹣4042）2．
10．（2021•芜湖模拟）很多代数公式都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和
解释．例如：平方差公式、完全平方公式等．
【提出问题】如何用表示几何图形面积的方法计算：13+23+33+…+n3＝？
【规律探究】观察如图表示几何图形面积的方法；【解决问题】请用图中表示几何图形面积的方法写出 13+23+33+…+n3＝ ＝
（用含n的代数式表示）；
【拓展应用】根据以上结论，计算：23+43+63+…+（2n）3的结果为 ．
11．（2021春•昌平区期末）用纸片拼图时，我们发现利用图 1中的三种纸片（边长分别
为a，b的正方形和长为b宽为a的长方形）各若干，可以拼出一些长方形来解释某些等式，
比如图2可以解释为：
（ a+2b ） （ a+b ） ＝ a2+3ab+2b2
（1）图3可以解释为等式： ；
（2）要拼出一个两边长为a+b，3a+b的长方形，先回答需要以下三种纸片各多少块，
再用画图或整式乘法验证你的结论．
（3）如图4，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x，y（x＞y）表示四个相
同小长方形的两边长，以下关系式正确的是 ．（填序号）
①x+y＝m；
②2xy＝m2﹣n2；③x2﹣y2＝mn；
④x2+y2＝m2+n2．
12．（2021春•奉化区校级期末）某同学利用若干张正方形纸片进行以下操作：
（1）从边长为a的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形，如图1，再沿线段AB
把纸片剪开，最后把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形，这一过程所揭示的公式是
．
（2）先剪出一个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出两张边
长分别为a和b的长方形纸片，如图3，最后把剪成的四张纸片拼成如图4的正方形．
这 一 过 程 你 能 发 现 什 么 代 数 公 式 ？
（3）先剪出两个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出三张边
长分，别为a和b的长方形纸片，如图5，你能否把图5中所有纸片拼成一个长方形？
如果可以，请画出草图，并写出相应的等式，如果不能，请说明理由．
