文档内容
专题 02 三角形全等的性质与判定、角平分线之八大题型
全等图形的识别
例题：（2023下·陕西榆林·七年级统考期末）下列各项中，两个图形属于全等图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用全等图形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．
【详解】解：A、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
B、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
C、两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意；
D、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是全等形的识别、全等图形的基本性质，属于较容易的基础题．
【变式训练】
1．（2022上·河南驻马店·八年级统考期中）下列各组中的两个图形属于全等图形的是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据全等图形的定义，逐一判断选项，即可．
【详解】解：A、两个图形不能完全重合，不属于全等图形，故此选项不符合题意；
B、两个图形能完全重合，属于全等图形，故此选项符合题意；
C、两个图形不能完全重合，不属于全等图形，故此选项不符合题意；
D、两个图形不能完全重合，不属于全等图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查全等图形的定义，熟练掌握“能完全重合的两个图形，是全等图形”是解题
的关键．
2．（2023上·河北邢台·八年级统考期末）与下图全等的图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据全等形的定义逐个判定即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
A选项图形与题干图形形状不一样，故不符合题意；
B选项图形与题干图形形状一样，故符合题意；
C选项图形与题干图形形状不一样，故不符合题意；
D选项图形与题干图形形状不一样，故不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查全等形的定义：完全重合的两个图形叫全等形，即形状及大小都相同．全等三角形的性质
例题：（2023下·浙江宁波·七年级校考期末）如图，已知 ， 与 交于点C，
与 交于点D，则下列说法中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由 可得选项A、C是正确的，再利用外角的性质可得D是正确的，选项
B是错误的．
【详解】解：∵ ，
∴ ，故A、C正确；
∵ ．
∴ ，故D正确；
∵ 与 不平行，
∴ ，
∴ ，故B错误．
故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．
【变式训练】
1．（2023下·河南平顶山·七年级统考期末）如图 ，点B在线段 上，若 ，则 的度数是 ．
【答案】 /65度
【分析】根据 得到 ， ，结合 ，
得到 ，代入计算即可．
【详解】∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ,
故答案为：65．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平角的意义，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握性质
和直角三角形的性质是解题的关键．
2．（2023下·四川宜宾·七年级统考期末）如图： ， 与 相交于点F，
.
(1)若 平分 ，求 的度数;
(2)若 ，求 的度数.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由全等可得 ，根据三角形的内角和定理可求 ，由角平分线的定义
即可求 的度数；
（2）由（1）可得 ，根据 可求 ，进一步即可求 的度数．【详解】（1）解：∵
∴
∵
∴
∵ 平分
∴
（2）解：由（1）可得：
∵
∴
∴
【点睛】本题考查了全等三角形的性质：对应角相等，三角形的内角和定理，角平分线的定义等．
熟记相关结论是解题关键．
几何动点中找全等三角形
例题：（2022上·河北张家口·八年级统考期末）如图所示，在正方形 中， ， 是
上的一点且 ，连接 ，动点 从点 以每秒2个单位长度的速度沿 向
终点 运动，设点 的运动时间为 秒，当 和 全等时， 的值是 ．
【答案】 或
【分析】分两种情况进行讨论，根据“全等三角形的对应边相等”并结合题意得出
和 ，即可求得答案．
【详解】解：如下图，①当点 在 上时，
∵ 和 全等，
∴ ，
由题意可得 ，
所以 （秒）；
②当点 在 上时，
∵ 和 全等，
∴ ，
由题意得： ，解得 （秒）．
所以，当 的值为3.5秒或6.5秒时． 和 全等．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质、一元一次方程的应用等知识，解题的关键是掌握全等
三角形的性质．
【变式训练】
1．（2023下·江苏苏州·七年级统考期末）如图，在正方形 中， ，
，动点 以 的速度从点 出发沿边 匀速移动，同时，动点 以
的速度从点 出发沿边 匀速移动，当点 与点 相遇时停止移动．设移动
的时间为 ，连接 ，当 时，以 、 、 为顶点的三角形与 全等．
【答案】 或 / 或
【分析】先求出 的取值范围，分点 在正方形的边 ， ， 上，分别建立方程求解，即可
得出结论．
【详解】解：由题意可知相遇相间为： ，
，
∴点Q的最大路程是 ，
∴相遇点是点C，即点Q运动到点C时停止．当点 在边 上时，如图1， ，
， ，要使 和 全等，只能是 ，
，
， ，
，
，
当点 在边 时，不能构成 ，
当点 在边 上时，如图2， ， ，
∴ ．
要使 和 全等，只能是 ，
，
，
，
故答案为： 或 ．
【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质解本题的关键是分类讨论，用方程的思
想解决问题．
2．（2022上·浙江·八年级期末）如图，已知正方形 边长为 ，动点M从点C出发，沿着
射线 的方向运动，动点P从点B出发，沿着射线 的方向运动，连结 ，（1）若动点M和P都以每秒 的速度运动，问t为何值时 和 全等？
（2）若动点P的速度是每秒 ，动点M的速度是每秒 问t为何值时 和 全等？
【答案】（1）t=1；（2）t= 或t=
【分析】（1）根据△DCP与△BCM全等，列出关于t的方程，解之即可；
（2）分当点P在点C左侧和当点P在点C右侧，两种情况，根据PC=CM，列方程求解即可．
【详解】解：（1）要使△DCP与△BCM全等，
则PC=CM，
由题意得：2t=4-2t，
解得：t=1；
（2）当点P在点C左侧时，
则△DCP≌△BCM，
∴PC=CM，
∴4-3t=1.5t，
解得：t= ；
当点P在点C右侧时，
则△DCP≌△BCM，
∴CP=CM，
∴3t-4=1.5t，
解得：t= ，
综上：当t= 或t= 时，△DCP与△BCM全等．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是抓住全等三角形的条件，得到相等线
段，列出方程，注意分类讨论．添加条件使三角形全等
例题：（2023上·湖南张家界·八年级统考期末）如图，点D，E在 的 边上， ，
要推理得出 ，可以补充的一个条件是 ．（不添加辅助线，写出一个
即可）
【答案】 （答案不唯一）
【分析】本题要判定 ，已知 ，可得 ，添加 可判
定其全等．
【详解】解：补充 ．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
在 和 中，
∴
故答案为： ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，掌握判定定理是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023下·山东青岛·七年级统考期末）如图， ，现要添加一个条件使 ，
可以添加 ．（只添一个即可）．【答案】 （答案不唯一）
【分析】根据三角形全等的判定方法进行解答即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴添加条件 ，根据 证明 ；
添加条件 ，根据 证明 ；
添加条件 ，根据 证明 ．
故答案为： （答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，
， ， ， ， ．
2．（2023下·山东青岛·七年级统考期末）如图，点E，F在 上， ， ，
请你添加一个条件（不添加字母和辅助线），使得 ≌ ，你添加的条件是 ．
【答案】 或 或
【分析】本题要判定 ≌ ，已知 ，由 可得 ，那么只需
添加一个条件即可．添边可以是 或添角可以是 或 ．
【详解】解：所添加条件为： 或 或 ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
添加： ，
在 和 中，，
∴ ≌ ；
添加： ，
在 和 中，
，
∴ ≌
添加： ，
在 和 中，
，
∴ ≌ ．
故答案为： 或 或 ．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，解题的关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：
、 、 、 、 ．注意： 、 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形
全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
三角形全等的性质与判定综合
例题：（2023上·福建厦门·八年级校考期末）如图，在 和 中，点 在 上，
， ， ， ，求 的度数．【答案】
【分析】根据平行线的性质可得 ，再利用 可得 ，进而可得
，再利用三角形的外角性质及等量代换即可求解．
【详解】解： ，
，
在 和 中，
，
，
，
又 ，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定及性质和三角形的外角性质，熟练掌握全等
三角形判定及性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·吉林松原·八年级统考期末）如图①， ，垂
足分别为D、E．
(1)求证： ；
(2)在图①中的边 上取一点F，使 ，连接 交 于点G，连接 （如图②）．
①求证： ；
②若 ，请直接写出 的面积．
【答案】(1)证明过程见解析(2)①证明过程见解析；②
【分析】（1）根据“ ”证明 ，即可得出结论；
（2）①由 ， 可得 ，再根据“ ”证明 即可；
②由 可得 ， ，从而可得 ，由
可得 ， ，从而可得 ，再利用三
角形面积公式计算即可．
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）①证明：∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
②解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质及三角形的面积公式，熟练掌握全等三角形的判定是解
题的关键．
2．（2023上·广东汕头·八年级统考期末）（1）阅读理解：如图1，在 中，若 ，
．求 边上的中线 的取值范围，小聪同学是这样思考的：延长 至 ，使 ，
连接 ．利用全等将边 转化到 ，在 中利用三角形三边关系即可求出中线 的取值
范围，在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是___________，中线 的取值范围
是___________；
（2）问题解决：如图2，在 中，点 是 的中点， ． 交 于点 ，
交 于点 ．求证： ；
（3）问题拓展：如图3，在 中，点 是 的中点，分别以 为直角边向 外作
和 ，其中 ， ， ，连接 ，请你探索
与 的数量与位置关系．
【答案】（1） ， ；（2）见解析；（3）
【分析】（1）通过证明 ，得到 ，在 中，根据三角形三边关系可
得： ，即 ，从而可得到中线 的取值范围；
（2）延长 至点 ，使 ，连接 ，通过证明 ，得到
，由 ， ，得到 ，在 中，由三角形的三边关系得：
；
（3）延长 于 ，使得 ，连接 ，延长 交 于 ，证明
得到 ，证明 得到 ，
，在通过三角形内角和进行角度的转化即可得到 ．
【详解】解（1）：如图1，延长 至 ，使 ，连接 ，
为 边上的中线，，
在 和 中，
，
，
，
在 中，根据三角形三边关系可得： ，
即 ，
，
，
，
故答案为： ， ；
（2）如图2中，延长 至点 ，使 ，连接 ，
点 是 的中点，
，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 中，由三角形的三边关系得： ，∴ ；
（3）结论： ， ，
如图3，延长 于 ，使得 ，连接 ，延长 交 于 ，
，
点 是 的中点，
，
在 和 中，
，
，
，
， ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
，，
即 ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，三角形的内角和定理，熟练掌
握全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系以及三角形内角和定理，作出恰当的辅助线是解题
的关键．
角平分线的性质定理
例题：（2023下·河南开封·七年级统考期末）如图，在 中， ， 平分 ，
于E，有下列结论：① ；② ；③ ；④ 平分
；其中正确的是（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得 ，再利用“ ”证明
和 全等，根据全等三角形对应边相等可得 ，然后对各小题分析
判断即可得解．
【详解】解：∵ ， 平分 ， ，
∴ ，故①正确；
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
平分 ，故④正确；
∵ ， ，∴ ，故③正确；
综上所述，结论正确的是①②③④共4个．
故选：D．
【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边
的距离相等，是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023下·新疆乌鲁木齐·七年级校考期末）如图， 中， ， ， 是
的平分线， 于 ，若 ，则 的周长等于 ．
【答案】
【分析】根据角平分线的性质得到 ， ，根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】解： 平分 ， ， ，
，
∵
∴
∴
，
，
的周长 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关
键．
2．（2023上·云南红河·八年级统考期末）如图， 平分 ， 于点M， 于
点N，D，E分别是边 和 上的点，且 ．求证：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】（1）利用角平分线的性质得出 ，再利用 证明 即可；
（2）利用 求得 ，推出 ，再利用四边形的内角和
定理即可证明结论成立．
【详解】（1）证明：∵ 平分 ， 于M， 于N，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ；
（2）证明：由（1）得 ，
∴ ，
∴ ，
在四边形 中，
∵ ，
，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查角平分线性质，三角形全等判定与性质，四边形内角和，掌握角平分线性质，三
角形全等判定与性质，四边形内角和是解题关键．角平分线性质的实际应用
例题：（2023下·湖南株洲·八年级统考期末） 的位置如图所示，到 两边距离相等的
点应是（ ）
A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点
【答案】A
【分析】根据角平分线性质得出当点在 的角平分线上时符合，根据图形得出即可．
【详解】解：∵当点在 的角平分线上时，到角的两边的距离相等，
∴根据网格特点可知M点符合．
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
【变式训练】
1．（2022上·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图是一块三角形草坪，现要在草坪上建一个凉亭
供大家休息.若要使凉亭到草坪三条边的距离都相等，则凉亭应建在三角形草坪 （ ）
A．三条角平分线的交点处 B．三条中线的交点处
C．三条高的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处
【答案】A
【分析】首先理解凉亭到草坪三条边的距离相等的意义，而角平分线上的点到角两边的距离相等，
从而得出 的角平分线交于三角形内一点，判断它到三角形各边的距离是否相等，问题即可解
答．
【详解】解：因为角平分线上的点到角两边的距离相等，
所以凉亭的位置应为 三条角平分线的交点．
故选：A．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的
关键．
2．（2022上·辽宁大连·八年级校联考阶段练习）如图，某个居民小区 附近有三条两两相交的道
路 、 、 ，拟在 上建造一个大型超市，使得它到 、 的距离相等，请确定该超
市的位置 ．
【答案】见解析
【分析】作 的角平分线 ， 与 的交点到 的两边 ， 的距离相等．
【详解】如图所示：作 的平分线交 于点 ，点 即为该超市的位置．
【点睛】此题主要考查了角平分线的作法，关键是掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到角的
两边的距离相等．
角平分线的判定定理
例题：（2023上·湖北襄阳·八年级统考期末）如图，在 中，D是 的中点，
，垂足分别是点E、F， ．求证： 平分 ．【答案】见解析
【分析】证明 ，得到 ，即可得证．
【详解】证明：∵D是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ 和 都是直角三角形，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的角平分线，
即 平分 ．
【点睛】本题考查角平分线的判定，熟练掌握角平分线的判定定理，证明三角形全等是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·河南周口·八年级校联考期末）如图所示， 于点F， 于点E， 和
相交于点D，若 ，求证： 平分 ．
【答案】见解析【分析】先根据 定理得出 ，故可得出 ，由此可得出结论．
【详解】证明： 于 ， 于 ，
．
在 与 中，
，
∴ ，
，
平分 ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的性
质与判定是解题关键．
2．（2023下·黑龙江绥化·八年级统考期末）如图， 于点E， 于点F，若
， ．
(1)求证：AD平分 ；
(2)求证： ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据 证明 ，得到 ，再根据角平分线的判定定理，
求证即可；
（2）通过 证明 ，得到 ，利用线段之间的关系，求解即可．
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
∴AD平分 ．
（2）证明：由（1）： ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线的判定定理，解题的关键是灵活利用
相关性质进行求解．
一、单选题
1．（2023下·四川·七年级统考期末）如图， ，且
，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据全等三角形的性质可得 ，根据三角形的内角和定理可得 ，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质、三角形的内角和定理．熟记相关结论是解题关键．
2．（2023下·河南南阳·七年级统考期末）已知原图形如图，则下面四个图形中与原图形不是全等
图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．
【详解】解：A、B、C图形与原图形能够完全重合，
D图形不能与原图形完全重合，故不是全等图形，
故选D．
【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等图形的概念．
3．（2023上·云南红河·八年级统考期末）如图，在 的两边上截取 ，点C、D在
和 上，下列条件中不能判定 的是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据全等三角形的判定逐个判断即可．
【详解】解：A、根据 ， ， ，由 可判定 ，
故此选项不符合题意；
B、根据 ， ， ，不能判定 ，故此选项符合题意；
C、根据 ， ， 由 可判定 ，故此选项不符合题
意；
D、根据 、 可以得出 ，再根据 ， ， 由
可判定 ，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，全等三角形的判定定理有 ， ， ， ，
两直角三角形全等还有 ．注意：两个三角形只有两边及一边的对角相等不能判定两个三角形全
等．
4．（2023下·河南平顶山·八年级统考期末）如图，已知点P到 ， ， 的距离相等，下列
说法：①点P在 的平分线上；②点P在 的平分线上；③点P在 的平分线上；
④点P在 ， ， 的平分线的交点上，其中正确的是（ ）
A．① B．②③ C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【分析】根据角平分线的判定定理判断即可．【详解】解：∵点P到 ， 的距离相等，
∴点P在 的平分线上，①正确．
∵点P到 ， 的距离相等，
∴点P在 的平分线上，②正确．
∵点P到 ， 的距离相等，
∴点P在 的平分线上，③正确．
∴点P在 ， ， 的平分线的交点上，④正确．
故选：D
【点睛】本题考查了角平分线的判定定理，掌握到角的两边的距离相等的点在角的平分线上时解题
的关键．
5．（2023下·江苏泰州·七年级统考期末）已知，如图1， ．画一个 ，使得
．在已有 的条件下，图2、图3分别是甲、乙两同学的画图过
程．下列说法错误的是（ ）
A．甲同学作图判定 的依据是
B．甲同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段 的长
C．乙同学作图判定 的依据是
D．乙同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段 的长
【答案】D
【分析】根据两人作图的过程即可作出判断．
【详解】解：甲同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段 的长，第二步作图时，用圆规截
取的长度是线段 的长，则判定 的依据是 ，则选项A、B正确；
乙同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段 的长，第二步作图时，用圆规截取的长度是线
段 的长，则判定 的依据是 ，则选项C正确，选项D错误；
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，用尺规作图：作一个三角形，读懂两人作图的步骤及作图原理是解题的关键．
二、填空题
6．（2023下·山西晋中·七年级统考期末）如图，已知 ，请你添加一个合适的条件，使
．你添加的条件是________．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】要使 ，已知 ， ，具备了两组边相等，还缺少边或角对
应相等的条件，结合判定方法及图形进行选择即可，答案不唯一．
【详解】解：添加条件是 ，
在 和 中，
∵ ，
∴ ，
故答案为： （答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定方法，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解
答本题的关键．
7．（2023下·山东济南·七年级统考期末）如图，公园里有一座假山，要测量假山两端A、B的距离，
先在平地上取一个可以直接到达A、B的点C，分别延长 、 到D、E，使 ，
，连接 ，这样就可以利用三角形全等，通过测量 的长得到假山两端A、B的距离，
则这两个三角形全等的依据是 ．
【答案】
【分析】图形中隐含对顶角的条件，利用两边且夹角相等可得两个三角形全等．【详解】解：根据题意可得：
在 和 中，
，
，
，
依据是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了全等三角形的应用，解答本题的关键是设计三角形全等解决实际问题．
8．（2023上·山东临沂·八年级校考期末）如图，在 中， ， 的平分线交 于 ，
，则点 到斜边 的距离为________ ．
【答案】4
【分析】由角平分线的性质可知D到 的距离等于 ，可得出答案．
【详解】解：过D作 的垂线交 于点E，如图所示：
∵ 平分 ，且 ， ，
∴ ，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
9．（2023下·陕西渭南·七年级统考期末）如图， ， ， 是 的平分线，
且 交 的延长线于点E，延长 与 的延长线相交于点F．若 ，则线段 的长为 ．
【答案】4
【分析】先证明 ，即可得 ，进而有 ，再证明 ，即可
作答．
【详解】∵ ，
∴ ，
∵ 是 的平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义等知识，掌握全等三角形的判
定与性质，是解答本题的关键．
10．（2023下·四川成都·七年级成都实外校考期末）如图，在 中，已知
是 的高， ，直线 ，动点 从点
开始沿射线 方向以每秒3厘米的速度运动，动点 也同时从点 开始在直线 上以每秒1
厘米的速度向远离 点的方向运动，连接 ，设运动时间为 秒；（1）当 为秒时， 的面积为 ；（2）当 为 秒时， ．
【答案】 或 ； 2或4
【分析】（1）根据面积公式列出方程，求出 的值，分两种情况分别求出t的值即可；
（2）假设 ，根据全等三角形的对应边相等得出 ，分别用含t的代数式表
示 和 ，得到关于t的方程，从而求出t的值．
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ，
∴ ．
若D在B点右侧，则 ，
∴ ；
若D在B点左侧，则 ，
∴ ；
综上所述：当t为 秒或 秒时， 的面积为 ；
故答案为： 或 ；
（2）动点E从点C沿射线 方向运动2秒或当动点E从点C沿射线 的反向延长线方向运动
4秒时， ．
理由如下：
①当E在射线 上时，D必在 上，则需 ．如图所示，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵在 和 中， ，
∴ ；
②当E在 的反向延长线上时，D必在 延长线上，则需 ．如图，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵在 和 中， ，
∴ ．
综上可知，当 或 时 ．
故答案为：2或4．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质及面积的计算；本题综合性
强，有一定难度，熟练掌握等腰直角三角形的性质，注意分类讨论．三、解答题
11．（2023上·湖南衡阳·八年级校考期末）如图，在 和 中，已知 ， 是
的平分线．求证： ．
【答案】见解析
【分析】利用 证明 ，即可推出 ．
【详解】证明： 是 的平分线，
，
在 和 中，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握判定方法是解题的关键．
12．（2023上·河南周口·八年级校联考期末）如图，在五边形 中， ， ．
(1)请你添加一个与角有关的条件，使得 ，并说明理由：
(2)在（1）的条件下，若 ， ，求 的度数．
【答案】(1) ，理由见解析
(2)
【分析】（1）根据已知条件，选择SAS原理，可确定添加的角；
（2）利用三角形全等， 的度数，可求 ，问题可解．
【详解】（1）添加一个角方面的条件为 ，使得 ．在 和 中
∵ ， ， ，
∴ ；
（2）在（1）的条件下∵ ，
∴ ，
若 ， ，
则 ，
∴ ，
∴ ，
即 的度数为 ．
【点睛】本题考查了三角形全等，熟练掌握全等三角形判定原理和性质是解题的关键．
13．（2023下·甘肃张掖·七年级校考期末）如图，四边形 中，E是 中点， 交 延长
线于点F，此时E也是 中点．
(1)判断 与 的位置关系并说明理由．
(2)若 ，试说明： ．
【答案】(1) ，见详解
(2)见解析
【分析】（1）根据题干条件证 进而可证明；
（2）根据题干条件证 进而可证明；
【详解】（1）解：∵E是AD中点，E也是CF中点，
∴ ，
在 和 中，
∵ ，∴ ，
∴
∴ ．
（2）∵ ，
∴ ，
在 和 中，
∵ ，
∴ ，
∴
∴ ．
【点睛】本题主要考查三角形的全等证明，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
14．（2023下·甘肃兰州·七年级校考期末）已知：在 中， 平分 ， 平分 ．
(1)如图 ，若 ， ，求 的度数．
(2)如图 ，连接 ，作 ， ， ，求 的面积．
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）先根据角平分线的定义得到 ， ，然后根据三角形内角和计
算 的度数；
（2）作 于 ， 于 ，如图 ，根据角平分线的性质得到 ，
然后根据三角形面积公式计算 的面积．
【详解】（1）解： 平分 ，
，
平分 ，，
；
（2）解：作 于 ， 于 ，如图 ，
平分 ， ， ，
，
平分 ， ， ，
，
的面积 ．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，根据性质定理作
出垂线是解题的关键．还考查了角平分线的有关计算．
15．（2023下·山东青岛·七年级统考期末）已知 是 的平分线，点P是射线 上一点，
点C，D分别在射线 ， 上，连接 ， ．
【发现问题】
如图①，当 ， 时，则 与 的数量关系是_________．
【探究问题】
如图②，点C，D在射线 ， 上滑动，且 ，当 时， 与 在【发现
问题】中的数量关系还成立吗？说明理由．
【答案】[发现问题] ；[探究问题]成立，理由见解析【分析】[发现问题]利用“ ”证明 ，根据全等的性质即可得出 ；
[探究问题]过点P点作 于E， 于F，根据垂直的定义得到 ，
由（1）可得 ，利用四边形内角和定理可得到 ，而
，则 ，然后根据“ ”可证明 ，根据全等
的性质即可得到 ．
【详解】解：[发现问题]
∵ ， ，
∴ ，
∵ 是 的平分线，
∴ ，
在 和 中
，
∴ ，
∴ ；
[探究问题]
点P点作 于E， 于F，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
由（1）知： ，在 和 中
，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，四边形内角和，能够在图中构造适合的辅助线是解决
本题的关键．
16．（2023下·四川达州·七年级校考期末）已知 是经过 顶点 的一条直线， ，
、 分别是直线 上的两点，且
(1)若直线 经过 的内部，且 、 在射线 上，请解决下面两个问题．
如图 若 ， ，则 ______ ， ______ 填“ ”、“ ”、
“ ” ；
如图 ，若 ，则 与 的关系还成立吗？请说明理由．
(2)如图 ，若直线 经过 的外部， ，请写出 、 、 三条线段数量关系
（不要求说明理由）．
【答案】(1)① ；②成立，见解析
(2)
【分析】 求出 ， ，根据 证 ，推出
， 即可； 求出 ， ，根据 证 ，
推出 ， 即可；
求出 ， ，根据 证 ，推出 ，即可．
【详解】（1）解： 如图 中，
点在 点的左侧， ， ， ，
，
， ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
当 在 的右侧时，同理可证 ，
；
故答案为： ， ；
②当 时， 中两个结论仍然成立；
证明：如图 中，
， ，，
在 和 中，
，
，
， ，
，
当 在 的右侧时，同理可证 ，
；
（2）解： ．
理由是：如图 中，
， ，
又 ， ，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
．【点睛】本题综合考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全
等三角形的判定和性质，注意这类题目图形发生变化，结论基本不变，证明方法完全类似，属于中
考常考题型．
