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专题03 含根号的新定义运算
【例题讲解】
对于任意两个正数m、n，定义运算※为： 计算 的结果为
_____．
【详解】由题意得： ，
∴
故答案为： ．
【综合解答】
1．对于任意的实数m，n，定义一种运算“*”， ，则 （ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．对于任意两个实数 定义两种运算： ， ，并且定义运算顺
序仍然是先做括号内的，例如 ，那么 等于
( )
A． B．3 C．6 D．
3．定义新运算：对任意实数 、 ，都有 ，例如： ，那么
_________．
4．现定义一个新运算“※”，规定对于任意实数x，y，都有 ，则 的值
为________．5．对于任意两个不相等的数a，b，定义一种运算※如下： ，例如
．那么 ____________．
6．对于任意两个不相等的正实数a、b，定义运算“ ”： ，如
，那么 ________．
7．对于两个数a、b，且 ，定义一种运算如下： ，如
，那么 ___________．
8．对于两个不相等的实数a，b，定义一种新的运算如下： ，如
，则 ___________．
9．符号“ ”表示一种新的运算，规定 ，则 的值为 __．
10．平面直角坐标系中，点 的横坐标 的绝对值表示为 ，纵坐标 的绝对值表示为 ，
我们把点 的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点 的勾股值，记为 ，即
（其中“ ”是四则运算中的加法）．
（1）已知点 ， ， ，则勾股值 的值为__．
（2）满足条件 的所有点 围成的图形的面积是__．
11．规定 = + ， ，则 ＝___．12．规定新运算“⊗”的运算法则为：a⊗b＝ ，试求（2⊗6）⊗8的值是______．
13．定义一种新运算：对于任意实数a，b，都有 ，
____________．
14．对于任意不相等的两个数 ， ，定义一种运算*如下： ．如 ，
那么 ______．
15．定义一种新运算：对于任意实数 ， ，都有 ，则
______．
16．对任意一个三位正整数n，如果n满足百位上的数字小于十位上的数字，且百位上的数字与十
位上的数字之和等于个位上的数字，那么称这个数n为“望岳数”．“望岳数”n的各个数位上的
数字之和的算术平方根的结果记为 ．例如： ，满足 ，且 ，所以134是
“望岳数”， ；例如： ，满足 ，但是 ，所以237不是
“望岳数”；再如： ，满足 ，但是 ，所以415不是“望岳数”．
(1)判断347和157是不是“望岳数”，并说明理由；
(2)若t是“望岳数”，且t的3倍与t中十位数字的4倍的和能被11整除，求满足条件的“望岳
数”t以及 的最大值．
17．定义：如果两个无理数的乘积等于一个有理数，即 ，则称a和b是关于c的共轭数例：
，则称 和 是关于4的共轭数．
(1)已知 和b是关于6的共轭数，则b=______．
(2)若 和 是关于3的共轭数，求m的值．
18．定义运算“@”的法则为： ，求 的值．
19．定义：若两个二次根式a，b满足 ，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．
(1)若a与 是关于4的共轭二次根式，求a的值；
(2)若 与 是关于2的共轭二次根式，求m的值．
20．对于实数a，我们规定，用符号 表示不大于 的最大整数，称 为a的根整数，例如：
， ，
(1)仿照以上方法计算： _____； =_____；
(2)计算： ；
(3)如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止，例如，对10连续求根整数2次，即
，这时候结果为1，那么只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正
整数中，最大的是______．
21．我们用 表示不大于 的最大整数， 的值称为数 的小数部分，如 ， 的
小数部分为 ．
(1) ______， ______， 的小数部分 ______．
(2)已知： ，其中 是整数；且 ，求 的相反数．
22．对实数a，b，定义： ，如： ．
(1)求 的值；
(2)若 ，试化简： ．
23．对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“◎”如下：
，如 ．(1)填空： ___________．(2)若 ，求x的值．
