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专题03运算方法之因式分解综合压轴题专练（原卷版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．△ABC的三边a，b，c为互不相同的整数，且abc+ab+ac+bc+a+b+c＝119，则
△ABC的周长为__．
2．多项式 的最小值为________．
3．若实数a，b满足 ，则代数式 的值为_______________．
4．如果一个两位数a的个位数字与十位数字都不是零，且互不相同，我们称这个两位
数为“跟斗数”，定义新运算：将一个“跟斗数”的个位数字与十位数字对调，把这
个新两位数与原两位数的和与11的商记 ，例如：a=13，对调个位数字与十位数
字得到新两位数31，新两位数与原两位数的和，31+13=44，和与11的商44÷11=4，所
以 ．根据以上定义，回答下列问题：
（1）计算： ____________．
（2）若一个“跟斗数”b的十位数字是k，个位数字是2(k+1)，且 ，则“跟斗
数”b=____________．
（3）若m，n都是“跟斗数”，且m+n=100，则 ____________．
5．如图是 A 型卡片（边长a的正方形）、B 型卡片（长为 a、宽为 b的长方形）、
C 型卡片（边长为 b的正方形）．现有 4张 A卡片，11张 B卡片，7张 C卡片，选
用它们无缝隙、无重叠地拼正方形或长方形，下列说法正确的是__________．（只填
序号）
①可拼成边长为 的正方形；
②可拼成边长为 的正方形；
1③可拼成长、宽分别为 、 的长方形；
④用所有卡片可拼成一个大长方形．
二、解答题
6．代数中的很多等式可以用几何图形直观表示，这种思想叫“数形结合”思想．如：
现有正方形卡片A类、B类和长方形C类卡片若干张，如果要拼成一个长为 ，
宽为 的大长方形，可以先计算 ，所以需要A、
B、C类卡片2张、2张、5张，如图2所示
（1）如果要拼成一个长为 ，宽为 的大长方形，那么需要A、B、C类卡片
各多少张？并画出示意图．
（2）由图3可得等式：____________；
（3）利用（2）中所得结论，解决下面问题，已知 ， ，
的值；
（4）小明利用2张A类卡片、3张B类卡片和5张长方形C类卡片去拼成一个更大的
长方形，那么该长方形的较长的一边长为________（用含a、b的代数式表示）
7．若将自然数中能被3整除的数，在数轴上的对应点称为“3倍点”，取任意的一个
“3倍点”P，到点P距离为1的点所对应的数分别记为a，b．定义：若数K＝a2＋b2
－ab，则称数K为“尼尔数”．例如：若P所表示的数为3，则a＝2，b＝4，那么K
＝22＋42－2×4＝12；若P所表示的数为12，则a＝11，b＝13，那么K＝132＋112－
13×11＝147，所以12，147是“尼尔数”．
（1）请直接判断6和39是不是“尼尔数”，并且证明所有“尼尔数”一定被9除余
3；
（2）已知两个“尼尔数”的差是189，求这两个“尼尔数”．
8．若一个四位自然数满足个位数字与百位数字相同，十位数字与千位数字相同，我们
称这个四位自然数为“双子数”．将“双子数” 的百位、千位上的数字交换位置，
2个位、十位上的数字也交换位置，得到一个新的双子数 ，记 为
“双子数” 的“双11数”．
例， ， ，则
（1）计算3636的“双11数” __________．
（2）已知两个“双子数” 、 ，其中 ， （其中 ，
， ， 且 、 、 、 都为整数），若 的“双11数” 能
被17整除，且 、 的“双11数”满足 ，令
，求 的值．
9．对于一个四位数n，将这个四位数n千位上的数字与十位上的数字对调，百位上的
数字与个位上的数字对调后可以得到一个新的四位数 ，将交换后的数与原数求和后
再除以101，所得的商称为原数的“一心一意数”，记作F（n）＝ ，如n＝
5678，对调数字后得 ＝7856，所以F（n）＝ ＝134．
（1）直接写出F（2021）＝ ；
（2）求证：对于任意一个四位数n，F（n）均为整数；
（3）若s＝3800＋10a＋b，t＝1000b＋100a＋13（1≤a≤5，5≤b≤9，a、b均为整数），
当3F（t）－F（s）的值能被8整除时，求满足条件的s的所有值．
10．已知若干张正方形和长方形硬纸片如图1所示．
（1）若用1张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，3张边长分别为a和b的长
方形拼成一个新的长方形（如图2）．请用两种不同的方法计算图2长方形的面积并根
3据你的计算结果可以得到怎样的等式；
（2）请通过拼图的方式画出一个面积为 的长方形示意图，并写出其因
式分解的结果；
（3）在（2）的条件下，若拼成的长方形周长为66，图1中小长方形的面积为24，则
拼成的长方形面积是多少？
11．材料一：一个整数的各个数位上的数字之和能被9整除，则这个整数能被9整除；
材料二：已知一个各位数字都不为零的四位数 ，百位
和十位上的数字之和是千位和个位上的数字之和的两倍，则称这个四位数为“双倍
数”．将这个“双倍数” 的各位数字颠倒过来就变成新的“双倍数” ，记
．
例如 ， ，所以2461不是“双倍数”： ，
，所以2685是“双倍数”， ，
（1）判断2997，6483是否为“双倍数”，并说明理由；
（2）若 ， 均为“双倍数”， 的千位数字是5，个位数字大于2， 的百位数字是
7，且 能被9整除， 是完全平方数，求 的最大值．
12．对于一个三位正整数（各位数字均不为0），若满足十位数字是个位数字与百位
数字之和，则称该三位正整数为“夹心数”．将“夹心数” 的百位、个位数字交换
位置，得到另一个“夹心数” ，记 ， ．
例如： ， ．
， ．
（1）计算 __________； __________．
（2）对“夹心数” ，令 ，当 时，求 的值．
（3）若“夹心数” 满足 与 均为完全平方数，求 的值．
413．对任意一个三位数 ，如果 满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，则
称这个数为“特异数”，将 的百位数字调到个位可以得到一个新的三位数，不断重
复此操作共可得到两个不同的新三位数，把这两个新数与原数 的和与 的商记为
．例如， 是“特异数”，不断将 的百位数字调到个位可得 ， ，
．
（1）求 ， ；
（2）已知 ， （ ， ， 为整数），若 、 均为
“特异数”，且 可被 整除，求 的最大值．
14．阅读理解：
在教材中，我们有学习到 ，又因为任何实数的平方都是非负数，
所以 ，即 ．例如，比较整式 和 的大小关系，因为
，所以 请类比以上的解题过程，解决下列问题：
（初步尝试）比较大小： ______ ； _____
（知识应用）比较整式 和 的大小关系，并请说明理由．
（拓展提升）比较整式 和 的大小关系，并请说明理由．
15．教科书中这样写道：“我们把多项式 及 叫做完全平方
式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，
使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方
法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项
式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题．
例如：分解因式
求代数式 的最小值， ．
当 时， 有最小值，最小值是 ，
5根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式： __________．
（2）当x为何值时，多项式 有最大值？并求出这个最大值．
（3）若 ，求出a，b的值．
16．下面是某同学对多项式 因式分解的过程．
解：设 ，
则原式 （第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
解答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是（ ）
A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差
的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？（填“彻底”或“不彻底”）．若不彻底，请
直接写出因式分解的最后结果．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式 进行因式分解．
17．定义：若一个整数能表示成a2＋b2（a，b是正整数）的形式，则称这个数为“完
美数”．
例如：因为13＝32＋22，所以13是“完美数”；
再如：因为a2＋2ab＋2b2＝（a＋b）2＋b2，所以a2＋2ab＋2b2也是“完美数”．
（1）请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”是 ；
（2）判断53 （请填写“是”或“否”）为“完美数”；
（3）已知M＝x2＋4x＋k（x是整数，k是常数），要使M为“完美数”，试求出符合
条件的一个k值，并说明理由；
（4）如果数m，n都是“完美数”，试说明mn也是“完美数”．
18．一个三位或者三位以上的整数，从左到右依次分割成三个数，记最左边的数为
a，最右边的数为b，中间的数记为m，若满足m＝a2+b2，我们就称该整数为“空谷”
6数．例如：对于整数282．∵22+22＝8，∴282是一个“空谷”数，又例如：对于整数
121451，∵122+12＝145∴121451也是一个“空谷”数．满足m＝2ab，我们就称该整数
为“幽兰”数；例如：对于整数481，∵2×4×1＝8，∴481是一个“幽兰”数，又例如：
对于整数13417，∵2×1×17＝34，∴13417是一个“幽兰”数．
（1）若一个三位整数十位数字为9，且为“空谷”数，则该三位数为 ；若一个
四位整数为“幽兰”数，且中间的数为40，则该四位数为 ；
（2）若 是一个“空谷”数， 是一个“幽兰”数，求a2﹣b2的值．
（3）若一个整数既是“空谷”数，又是“幽兰”数，我们就称该整数为“空谷幽兰”
数．请写出所有的四位“空谷幽兰”数．
19．材料一：一个正整数x能写成 （a，b均为正整数，且 ），则称x为
“雪松数”，a，b为x的一个平方差分解，在x的所有平方差分解中，若 最大，
则称a，b为x的最佳平方差分解，此时 ．例如： ，24为雪松
数，7和5为24的一个平方差分解， ，因为 ，所以9
和7为32的最佳平方差分解， ．
材料二：若一个四位正整数，它的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相
同，但四个数字不全相同，则称这个四位数为“南麓数”，例如4334，5665均为“南
麓数”．
根据材料回答：
（1）请直接写出两个雪松数，并分别写出它们的一对平方差分解；
（2）试说明10不是雪松数；
（3）若一个数t既是“雪松数”又是“南麓数”，并且另一个“南麓数”的前两位数
字组成的两位数与后两位数字组成的两位数恰好是t的一个平方差分解，请求出所有满
足条件的数t．
20．若一个四位正整数 满足： ，我们就称该数是“交替数”，如对于
四位数3674，∵ ，∴3674是“交替数”，对于四位数2353，
，∴2353不是“交替数”．
（1）最小的“交替数”是________，最大的“交替数”是__________．
（2）判断2376是否是“交替数”，并说明理由；
7（3）若一个“交替数”满足千位数字与百位数字的平方差是12，且十位数字与个位
数的和能被6整除．请求出所有满足条件的“交替数”．
21．很久以前，有一位老人临终前，准备将自己所养的7头牛全部分给两个儿子饲养，
大儿先得一半，小儿再得剩余的四分之三，两儿正踌躇不决时，热心的邻居从自家牵
了一头牛参与分配，给大儿分了四头牛，小儿分了三头牛，余下的一头牛邻居又牵回
家了，皆大欢喜，聪明的邻居合理地解决了这个问题．初中数学里也有这种“转化”
的思考方法．例如：先阅读下列多项式的因式分解：
按照这种方法分别把多项式分解因式：
（1） ；
（2） ．
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