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专题 05 平行四边形的四种几何综合问题
类型一、折叠问题
例．如图，在平行四边形 中， ．点M是 边的中点，点N是 边
上的一个动点．将 沿 所在的直线翻折到 ，连接 ．则线段 长度的最小值为
（ ）
A．5 B．7 C． D．
【答案】A
【详解】解：如图：连接 ，作 ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ 且 ，∴ ，
∴ ；
∵M是 中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∵折叠，
∴ ，
∴当 三点共线时， 的长度最小，
∴此时，
故选：A．
例2．如图，在 中， ， ，点E、F分别在 上，将四边形 沿
折叠得四边形 ， 恰好垂直于 ，若 ，则 的值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【详解】解：延长 交 于点H，
∵ 恰好垂直于 ，且四边形 是平行四边形，
∴ 也垂直于 ，
由折叠的性质得 ， ， ， ，∴ ，
∴ ， ，
在 中， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
由折叠的性质得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【变式训练1】如图，平行四边形 中， ＝ ， °，将 沿 边折叠得到 ，
交 于 ， ，则点 到 的距离为______．【答案】
【详解】解：由折叠知： ， ， ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴∠ ，
∴ ，
∴ ，
过点 作 ，垂足为F，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ,
∴ ，
∴ ，
∴ ，故答案为： ．
【变式训练2】如图，平行四边形 中，点E在 上，以 为折痕，把 向上翻折，点A正好
落在 边的点F处，若 的周长为6， 的周长为 ，那么 的长为_________．
【答案】7
【详解】∵ 向上翻折，点A正好落在 边上，∴ ， ，
∵ 的周长为6， 的周长为20，
∴ ， ，∴ ，
∴
∵ ， ，∴ ，
∵四边形 是平行四边形，∴ ，即 ，
∴ ．
故答案为：7．
【变式训练3】如图，在 中， ， ，将 沿射线 平移，得到 ，再将
沿射线 翻折，得到 ，连接 、 ，则 的最小值为 ____________【答案】45
【详解】解：如图，连接 、 ，作点D关于直线 的对成点T，连接 、 、 ．
∵ ， ，将 沿射线 平移，得到 ，再将 沿射线 翻折，得到
，
∴ ， ， ，
∵ ，∴ ，
∵D、T关于 对称，∴ ， ，∴ ，
∵ ，∴B、A、T共线，
∴ ，
∵ ， ，
∴四边形EGCD是平行四边形，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，则 的最小值为45．
故答案为：45．
【变式训练4】如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AB、AD上，将 AEF沿EF折叠，点A恰好落在
△
BC边上的点G处．若∠A=45°，AB=6 ，5BE=AE．则AF长度为_____．
【答案】
【详解】解：如图，过点B作BM⊥AD于点M，过点F作FH⊥BC于点H，过点E作EN⊥CB延长线于点
N，
得矩形BHFM，
∴∠MBC=90°，MB=FH，FM=BH，
∵AB=6 ，5BE=AE，
∴AE=5 ，BE= ，
由折叠的性质可知：GE=AE=5 ，GF=AF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABN=∠A=45°，
∴△BEN和△ABM是等腰直角三角形，∴EN=BN= BE=1，AM=BM= AB=6，
∴FH=BM=6，
在Rt△GEN中，根据勾股定理，得
，
∴ ，
解得GN=±7（负值舍去），
∴GN=7，
设MF=BH=x,则GH=GN-BN-BH=7-1-x=6-x，GF=AF=AM+FM=6+x，
在Rt△GFH中，根据勾股定理，得
，
∴ ，
解得x= ，
∴AF=AM+FM=6+ = ．
∴AF长度为 ．
故答案为： ．
类型二、平行四边形中的最值问题
例．（将军饮马模型）如图，在 中， ， ， ，点E在 上， ，
点P是 边上的一动点，连接 ，则 的最小值是________．
【答案】【详解】解：过点A作直线 的对称点F，连接 ，连接 交 于点P，此时 有最小值，
最小值为 的长，
∵点A与点F关于直线 对称，
∴ ， ，则 ，
∴ 是等边三角形，
∵在 中， ，
∴ ，
过点E作直线 的垂线，垂足为点G，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值是 ．
故答案为： ．
【变式训练1】如图，在 中， ， ，D是BC边上任意一点，连接AD，以AD，
CD为邻边作平行四边形ADCE，连接DE，则DE长的最小值为___________．【答案】9.6
【详解】设 交于点 ，过点 作 于点 ，如图所示，
在四边形 中， ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ,
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
当点 与点 ，重合时， 最小，
∴ 的最小值为 ．
故答案为： ．
【变式训练2】如图，在平行四边形 中， ，E为边 上的一动点，那么
的最小值等于______．【答案】3
【详解】解：如图，过 作 交 的延长线于点 ，
∵四边形 为平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴当 三点共线时，线段的和最小，
∵ ， ，
∴ ，
即： 的最小值等于3；
故答案为：3．
【变式训练3】如图， ， ， ， ， ，射线 交边 于点 ，
点 为射线 上一点，以 ， 为边作平行四边形 ，连接 ，则 最小值为______．【答案】
【详解】解：如图，延长 到 ，使得 ，连接 ，过点 作 于点 ．
四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
， ， ，
， ，
，
，
，
，
，
点 在射线 上运动，当点 与 重合时， 的值最小，
在 中， ， ， ，
，
．的最小值为 ．故答案为： ．
【变式训练4】如图，在 中， ， ， ，点 为 上任意一点，连接 ，
以 、 为邻边作 ，连接 ，则 的最小值为______．
【答案】
【详解】解：∵∠BAC=90°，∠B=60°，AB=1，∴BC=2AB=2，AC= ，
∵四边形APCQ是平行四边形，∴PO=QO，CO=AO= ，
∵PQ最短也就是PO最短，∴过O作BC的垂线OP′，
当P与P'重合时，OP的值才是最小，∴则PQ的最小值为2OP′=2× OC= ，
故答案为： ．
类型三、动点问题
例．在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，BC＝10cm，M是BC上一点，且BM=4cm，点E从A出发以
1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也
随之停止，设运动时间为t，当t的值为_____时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．【答案】4s或 s
【详解】解：①当点F在线段BM上，即0≤t＜2，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝4﹣2t，解得t＝ ，
②当F在线段CM上，即2≤t≤5，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝2t﹣4，解得t＝4，
综上所述，t＝4或 ，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，故答案为：4s或 s．
【变式训练1】如图，在四边形 中， ，且 ，点P，Q分别从A，C两点同
时出发，点P以 的速度由A向D运动，点Q以 的速度由向C运动B，则_____秒后四边形
成为一个平行四边形．
【答案】2
【详解】解：如图，设t秒后，四边形APQB为平行四边形，则AP=t，QC=2t，BQ=6-2t，
∵AD∥BC，∴AP∥BQ，
当AP=BQ时，四边形ABQP是平行四边形，∴t=6-2t，∴t=2，
当t=2时，AP=BQ=2＜BC＜AD，符合．
综上所述，2秒后四边形ABQP是平行四边形．故答案为：2．
【变式训练2】如图，在四边形 中， ．点P从
点A出发，以 的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以 的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，使 和 ，分别需经过多少
时间？为什么？
【答案】分别需经过 ； 或 ．理由见解析．
【详解】解：①设经过 ， ，
此时四边形 成为平行四边形，
∵ ，∴ ，解得 ，∴当 s时， 且PQ=CD
②设经过 ， ，
如图所示，分别过点P，D作BC边的垂线PE，DF，垂足分别为E，F，当CF=EQ时，四边形PQCD为梯
形（腰相等）或平行四边形，
∵ ，∴四边形ABFD是矩形，∴AD=BF，
∵AD=24cm，BC=26cm，∴ （cm），
当四边形PQCD为梯形（腰相等）时， ，
∴ ，解得 ，∴当 s时，PQ=CD，
当四边形 为平行四边形或梯形（腰相等），为平行四边形时有 s，PQ=CD，
综上所述，当 s时， ；当 s或 s时，PQ=CD．
类型四、旋转问题
例．如图1，在 中， ， ，点D，E分别在边 ， 上， ，连接 ，
，点M，P，N分别为 ， ， 的中点．(1)观察猜想：
图1中，线段 与 的数量关系是___________，位置关系是___________；
(2)探究证明：
把 绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接 ， ， ，判断 的形状，并说明理由；
(3)拓展延伸：
若 ， ， 绕点A在平面内旋转过程中，请求出 的面积取得最大值时 的长．
【答案】(1) ，
(2) 是等腰直角三角形，理由见解析
(3)
【详解】（1） 点N， 分别是 ， 的中点，
， ，
点 ， 是 ， 的中点，
， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
故答案为： ， ；
（2） 是等腰直角三角形．理由如下：
由旋转知， ，
， ， ， ， ，
利用三角形的中位线得， ， ， ， 是等腰三角形，
同（1）的方法得， ， ，
同（1）的方法得， ， ，
，
，
， ，
， 是等腰直角三角形；
（3）由（2）知 是等腰直角三角形，
∴ ．∴当 最大时， 最大．
∵ ，∴ 最大时 最大．
∴当点D在 的延长线上时 最大，如图，
此时 中， ， ， ．
∴ ．【变式训练1】在 中， ， ．在 中， ， ．连接
，M为线段 的中点，连接 ． 绕点A旋转，若 ， ， 的最大值为（ ）
A．5 B． C．7 D．
【答案】B
【详解】解：如图，取 的中点 ，连接 ， ，
， ，点 是 的中点，
，
， ，
，
点 是 的中点，点 是 的中点，
，
在 中， ，
当点 在 的延长线上时， 有最大值为 ，
故选：B．【变式训练2】如图 ， 是等腰直角三角形， ， ，线段 可绕点 在平面内旋
转， ．
(1)若 ，在线段 旋转过程中，当点 ， ， 三点在同一直线上时，直接写出 的长．
(2)如图 ，若将线段 绕点 按顺时针方向旋转 ，得到线段 ，连接 ， ．
①当点 的位置由 外的点 转到其内的点 处，且 ， 时，求 的长；
②如图 ，若 ，连接 ，将 绕点 在平面内旋转，分别取 ， ， 的中点 ， ，
，连接 ， ， ，请直接写出 面积 的取值范围．
【答案】(1) 或
(2)① ；②
【详解】（1）当点 在 的延长线上时， ，
当点 在线段 上时， ，
故CD的长为 或12．
（2）①如图2中，连接 ， ．
， ，
， ，
，
，，
，
，
， ，
，
．
②如图3中，连接 ，延长 交 于 ，交 于 ．
，
，
， ，
，
， ，
， ，
，
，
，
， ，
， ，
同法可得， ， ，
， ，，
是等腰直角三角形，
，
．
【变式训练3】在 中，点P为 边中点，直线a绕顶点A旋转， 于点M．
于点N，连接．
(1)如图1，若点B，P在直线a的异侧，延长 交 于点 E．求证： ；
(2)若直线a绕点A旋转到图2的位置时，点 在直线a的同侧，其它条件不变，此时 ，
，求MN的长度．
(3)若过P点作 于点G，试探究线段 和 的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)7
(3) 或
【详解】（1）证明：∵ 于点M． 于点N
∴ ，
∴ ，
∴又∵P为 边中点，
∴ ，
又 ，
，
∴ ．
（2）解：如图：延长 与 的延长线相交于点E
∵ 于点M． 于点N
∴
∴ ，
∴
∴ ，
又∵P为 中点，
∴
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴ ．
（3）解：①如图1当点B，P在直线a的异侧时，∵ ,
∴ ，
∵ ，
∴MG=GN，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
①如图2：当点B，P在直线a的同侧时，
∵ ,
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
综上所述， 或 ．
