文档内容
26.1 反比例函数
26.1.1反比例函数
一、核心素养目标
【数学思维】
1.理解并掌握反比例函数的概念和意义；
2.会判断一个给定的函数是否为反比例函数，并能根据实际问题
和已知条件用待定系数法求出反比例函数的解析式.
【数学眼光】
通过对反比例函数的研究，感悟反比例函数的概念，体会函数思
想的应用。
【数学语言】
从现实情境和已有知识经验出发，研究两个变量之间的相互关系，
进一步理解常量和变量之间的辩证关系，体验数学来源于生活，激
发学生学习数学的热情和兴趣．
二、课型
新授课
三、课时1课时
四、教学重难点
【教学重点】
理解反比例函数的概念，会求反比例函数关系式.
【教学难点】
反比例函数解析式的确定.
五、课前准备
教师：课件.
六、教学过程
（一）导入新课（出示课件2）
教师问：什么是函数？
学生答：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y ，
并且对于x的每个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我
们就说x是自变量，y是x的函数.
教师问：什么是一次函数？什么是正比例函数？
学生答：一般地，形如y=kx+b(k、b是常数，k≠0）的函数，叫
作一次函数.一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，
其中k叫作比例系数.
当杂技演员表演滚钉板的节目时，观众们看到密密麻麻的钉子，
都为他们捏一把汗，但有人却说钉子越多，演员越安全，钉子越少
反而越危险，你认同吗？为什么？
（二）探索新知
知识点1：反比例函数的定义
下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，请写出它们的解
析式. （出示课件4-5）
(1)京沪线铁路全程为1463km，某次列车的平均速度v(单位：
km/h)随此次列车的全程运行时间t(单位：h)的变化而变化；
(2)某住宅小区要种植一块面积为1000m2的矩形草坪，草坪的长
y(单位：m)随宽x(单位：m)的变化而变化；
(3)已知北京市的总面积为1.68×104km2，人均占有面积S(单位：
km2/人)随全市总人口n(单位：人)的变化而变化.
小组合作交流,再进行全班性的问答.1.68×104
⑴ ；⑵ ；⑶. S = n
教师问：这三个函数解析式有什么共同点？你能否根据这一类函
数的共同特点，类比正比例函数写出这种函数的一般形式？（出示
课件6）
学生答：都是 的形式，其中k是非零常数.
教师问：这种函数叫反比例函数，那么什么是反比例函数？
归纳：一般地,形如 (k为常数，k≠0)的函数，叫做反比例
函数，其中x是自变量，y是函数．
教师问：自变量x的取值范围是什么？（出示课件7）
学生答：因为x作为分母，不能等于零，因此自变量x的取值范
围是所有非零实数.
教师问:在实际问题中自变量x的取值范围是什么？
学生思考后教师总结：要根据具体情况来确定.例如，在前面得
到的第二个解析式 ，x的取值范围是x＞0，且当x取每一个确定的值时，y都有唯一确定的值与其对应.
y=kx−1 xy=k
教师问:形如 （k≠0)的式子是反比例函数吗？式子
（k≠0)呢？（出示课件8）
学生独立思考后，全班交流.然后教师强调：
反比例函数的三种表达方式：(注意k≠0)
k
y=
x y=kx−1 xy=k
； ； .
出示课件9-10，学生独立思考后口答，教师订正.
考点1 利用反比例函数的定义求字母的值.
例 已知函数y=(2m2+m-1)x2m2+3m-3是反比例函数，求m的值.（出示
课件11）
学生独立思考后，教师板演：
解：因为y=(2m2+m-1)x2m2+3m-3是反比例函数，
所以
解得m=－2.
归纳总结：已知某个函数为反比例函数，只需要根据反比例函数
的定义列出方程(组)求解即可，如本题中x的次数为－1，且系数不等于0.
出示课件12，学生独立解决，教师巡视，查看学生完成的情况，
并给予及时引导.
考点2 利用待定系数法求反比例函数的解析式.
例 已知y是x的反比例函数，并且当x=2时，y=6.
(1)写出y关于x的函数解析式；
(2)当x=4时，求y的值.（出示课件13）
师生分析：
因为y是x的反比例函数，所以设 .把x=2和y=6代入上式，
就可求出常数k的值.
学生板演:
解：(1)设 .因为当 x=2时，y=6，所以有 ，
解得k=12.
因此
(2)把x=4代入 ，得
归纳总结：用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤是：（出示课件14）
（1）设，即设所求的反比例函数解析式为 (k≠0)；
（2）代，即将已知条件中对应的x、y值代入 中得到关于k
的方程．
（3）解，即解方程，求出k的值．
（4）定，即将k值代入 中，确定函数解析式．
出示课件15，学生独立解决，一生板演.
知识点2：建立反比例函数的模型解答问题
人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观
察前方物体是动态的，车速增加，视野变窄.当车速为50km/h时，
视野为80度，如果视野f(度) 是车速v(km/h)的反比例函数，求f
关于v的函数解析式，并计算当车速为100km/h时视野的度数.（出
示课件16）
学生理解题意，尝试解决，教师板演并强调书写步骤：
解：设 .由题意知，当v=50时，f=80，
所以
，
解得k=4000.
因此
当v=100时，f=40.
所以当车速为100km/h时，视野为40度.
出示课件17，学生独立解决，教师加以订正.
（三）课堂练习（出示课件18-25）
练习课件第18-25页题目，约用时20分钟
（四）课堂小结（出示课件26）
本节课你有哪些收获？你还有什么困惑吗？（引导学生思考答
复）
师生一起提炼本节课的重要知识和必须掌握的技能：
1.一般地,形如 (k是常数，k≠0)的函数，叫做反比例函数，
其中x是自变量，y是函数.2.反比例函数的三种表达方式：(注意k≠0)
k
y=
x y=kx−1 xy=k
； ； .
3.用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤是：
（1）设，即设所求的反比例函数解析式为 (k≠0)；
（2）代，即将已知条件中对应的x、y值代入 中得到关于k
的方程．
（3）解，即解方程，求出k的值．
（4）定，即将k值代入 中，确定函数解析式．
（五）课前预习
预习下节课（26.1.2第1课时）的相关内容.
了解反比例函数的图象及性质.
七、课后作业
1、教材第3页练习第2,3题.
2、练习试卷册第5～6页第1，2，6，8题.
八、板书设计
26.1.1反比例函数1．反比例函数的定义：
一般地,形如 (k是常数，k≠0)的函数，叫做反比例函数，
其中x是自变量，y是函数．自变量x的取值范围是不等于0的一切
实数．
2．反比例函数的形式：
(1)y＝(k≠0)；(2)y＝kx－1(k≠0)；(3)xy＝k(k≠0)．
3．确定反比例函数的解析式：待定系数法．
九、教学反思
让学生从生活实际中发现数学问题，从而引入学习内容，这不仅
激发了学生学习数学的兴趣，还激起了学生自主参与的积极性和主
动性，为自主探究新知创造了现实背景．因为反比例函数这一部分
内容与正比例函数相似，在教学过程中，以学生学习的正比例函数
为基础，在学生之间创设相互交流、相互合作、相互帮助的关系，
让学生通过充分讨论交流后得出它们的相同点，在此基础上来揭示
反比例函数的意义.
在处理课堂练习时，让学生选择自己喜欢的问题来回答，照顾了学生的个体差异，关注了学生的个性发展，真正成为学生学习
的组织者、参与者、合作者、促进者.
26.1 反比例函数
26.1.2反比例函数的图象和性质（第1课时）
一、核心素养目标
【数学思维】
1.会用描点法画出反比例函数的图象；
2.结合图象分析并掌握反比例函数的性质.
【数学眼光】
经历画图、观察、猜想、思考等数学活动,向学生渗透数形结合
的思想方法,让学生初步认识具体的反比例函数图象的特征．
【数学语言】
由图象的画法和分析,体验数学活动中的探索和创造性,感受数学
美,并通过图象的直观教学激发学习兴趣．
二、课型
新授课三、课时
第1课时 共2课时
四、教学重难点
【教学重点】
正确地进行描点、画出图象,理解并掌握反比例函数的图象和性
质.
【教学难点】
归纳反比例函数的性质.
五、课前准备
教师：课件、直尺、三角板等.
学生：直尺、三角板、铅笔.
六、教学过程
（一）导入新课（出示课件2）
刘翔在2004年雅典奥运会110m栏比赛中以12.91s的成绩夺得
金牌，被称为中国“飞人”.如果刘翔在比赛中跑完全程所用的时间
为ts，平均速度为vm/s.
（1）你能写出用t表示v的函数表达式吗?学生回答：
（2）试一试，你能在坐标系中画出这个函数的图象吗？
（二）探索新知
画出反比例函数 与 的图象.（出示课件4）
教师问：用“描点法”画函数图象都有哪几步？
学生答：列表，描点，连线.
教师问：自变量x的取值范围是什么呢？
学生答：x≠0的一切实数.
解：列表如下：（出示课件5）
注意：此过程，让学生理解自变量的取值范围，并且为了方便计
算，我们常取一些整数，为了更客观的反应反比例函数的图像，正
数和负数都取一些，习惯对称取点.
描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出各点．（出示课件6）
连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可得 的图象．
（此过程，要求学生用平滑的曲线将这些点连接起来，并且曲线
两端要无限延伸，最后将解析式标注在旁边）
教师问：观察这两个函数图象，回答问题：（出示课件7、8）
(1)每个函数图象分别位于哪些象限？
(2)在每一个象限内，随着x的增大，y如何变化？你能由它们的
解析式说明理由吗？
(3)对于反比例函数 (k＞0)，考虑问题(1)(2)，你能得出同
样的结论吗？小组讨论并回答.教师订正后归纳：（出示课件9）
反比例函数 (k＞0)的图象和性质：
（1）由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限，它们与x轴、
y轴都不相交；
（2）在每个象限内，y随x的增大而减小.
出示课件10，学生独立思考后口答，教师订正.
出示课件11：观察当k=－2，－4，－6时，反比例函数 的
图象，有哪些共同特征？
学生积极思考,大胆回答,理解问题.教师加以点评并纠正问题.
出示课件12：回顾上面我们利用函数图象，从特殊到一般研究
反比例函数 (k＞0)的性质的过程，你能用类似的方法研究反比
例函数 (k＜0)的图象和性质吗？教师帮助学生分析问题,倾听学生的回答，订正后归纳：（出示
课件13、14）
反比例函数 (k＜0)的图象和性质：
（1）由两条曲线组成，且分别位于第二、四象限，它们与x轴、
y轴都不相交；
（2）在每个象限内，y随x的增大而增大.
反比例函数的图象和性质
形状 由两支曲线组成的.因此称它的图象为双曲线
位置 当k>0时,两支双曲线分别位于第一、三象限内;
当k<0时,两支双曲线分别位于第二、四象限内
增减性 当k>0时,在每一象限内,y随x的增大而减小;
当k<0时,在每一象限内,y随x的增大而增大
图象的发 反比例函数的图象无限接近于x、y轴,但永远不能到达
展趋势 x、y轴
对称性 （1）反比例函数的图象是轴对称图形，也是中心对称图
形.直线y=x和y=-x都是它的对称轴；（2）反比例函数
与 的图象关于x轴对称,也关于y轴对称.
考点1 利用反比例函数的性质比较大小.
例 反比例函数 的图象上有两点A(x ，y )，B(x ，y )，且点
1 1 2 2
A，B均在该函数图象的第一象限部分，若x ＞x ，则y 与y 的大小
1 2 1 2关系为（ ）（出示课件15）
A.y ＞y B y =y C.y ＜y D.无法确定
1 2 . 1 2 1 2
师生共同分析：因为8＞0，且A，B 两点均在该函数图象的第一
象限部分，根据x ＞x ，可知y ，y 的大小关系，即y ＜y .故选C.
1 2 1 2 1 2
出示课件16，学生独立思考后口答，教师订正.
考点2 利用反比例函数的图象和性质求字母的值.（出示课件
17）
例 已知反比例函数 ，在每一象限内，y随x的增大
而增大，求a的值.
学生独立思考后教师板演：
解：由题意得a2+a－7=－1，且a－1<0．
解得a=－3.
出示课件18，学生独立思考后解答，一生板演.
（三）课堂练习（出示课件19-25）
引导学生练习课件19-25题目，约用时20分钟。
（四）课堂小结（出示课件26）
本节课你有哪些收获？你还有什么困惑吗？（引导学生思考答复）
师生一起提炼本节课的重要知识和必须掌握的技能：
反比例函数的图象和性质
形状 由两支曲线组成的.因此称它的图象为双曲线
位置 当k>0时,两支双曲线分别位于第一、三象限内;
当k<0时,两支双曲线分别位于第二、四象限内
增减性 当k>0时,在每一象限内,y随x的增大而减小;
当k<0时,在每一象限内,y随x的增大而增大
图象的发 反比例函数的图象无限接近于x、y轴,但永远不能到达
展趋势 x、y轴
对称性 （1）反比例函数的图象是轴对称图形，也是中心对称图
形.直线y=x和y=-x都是它的对称轴；（2）反比例函数
与 的图象关于x轴对称,也关于y轴对称.
（五）课前预习
预习下节课（26.1.2第2课时）的相关内容.
能应用反比例函数的图象及性质解决简单的问题.
七、课后作业
1、教材第6页练习第1,2题.
2、练习试卷册第13～14页第1,2，5，8题.
八、板书设计
26.1.2 反比例函数的图象和性质（第1课时）
1.反比例函数的图象和性质：2.例题
九、教学反思
本节课学生通过熟悉的描点法做出反比例函数的图像，自主通过
观察，探究，合作交流，总结反比例函数的图象和性质，从而更好
的理解反比例函数，并且会应用函数图像解决一些问题，渗透数形
结合的思想.注意时间的分配.
26.1 反比例函数
26.1.2反比例函数的图象与性质（第2课时）
一、核心素养目标
【数学思维】
1.理解反比例函数的系数k的几何意义，并将其灵活运用于坐标
系中图形的面积计算中；
2.能解决反比例函数与一次函数的综合问题．
【数学眼光】
深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转
化的思想方法．【数学语言】
在参与数学活动的过程中，体会探索创新的乐趣，养成乐于探索
的习惯．
二、课型
新授课
三、课时
第2课时 共2课时
四、教学重难点
【教学重点】
用反比例函数的图象和性质解决数学中的简单问题.
【教学难点】
数形结合思想在解题中的应用.
五、课前准备
教师：课件、直尺、三角板等.
学生：直尺、三角板、铅笔.
六、教学过程
（一）导入新课（出示课件2）教师问：正比例函数和反比例函数的区别是什么？
学生口答后教师整理：
函数 正比例函数 反比例函数
解析式 y=kx(k≠0)
图形形状 直线 双曲线
位置 一、三象限 一、三象限
k＞0
在每个象限，y 随 x 的增
增减性 y随x的增大而增大
大而减小
位置 二、四象限 二、四象限
k＜0
在每个象限内，y 随 x 的
增减性 y随x的增大而减小
增大而增大
（二）探索新知
知识点1 利用待定系数法确定反比例函数解析式
已知反比例函数的图象经过点A(2，6).
(1)这个函数的图象分布在哪些象限?y随x的增大如何变化?
(2)点B(3，4)、C( ）和D（2，5）是否在这个函数的
图象上？（出示课件4、5）
k
y=
x
师生共同分析：反比例函数 的图象位置及y随x的变化情况
取决于常数k的符号，因此要先求常数k，而题中已知图象经过点A
（2，6），即表明把A点坐标代入解析式成立，所以用待定系数法能求出k，这样解析式也就确定了.
解：（1）因为点A（2,6）在第一象限，所以这个函数的图象在
第一、第三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小.
⑵设这个反比例函数为y= ，
因为点A(2，6)在其图象上，所以有6= .
解得k=12.
所以反比例函数的解析式为y= .
因为点B，C的坐标都满足该解析式，而点D的坐标不满足，所
以点B，C在这个函数的图象上，点D不在这个函数的图象上.
教师问：已知反比例函数图象上的一点,如何确定其图象的性质?
以及所给的点是否在该图象上?（出示课件6）
学生讨论后，教师总结：
已知反比例函数图象上一点，可以根据坐标确定点所在的象限，
然后确定反比例函数的性质.或用待定系数法求出反比例函数的解析
式，再判断图象性质；要判断所给的点是否在该图象上，可以将其坐标代入求得的反比例函数解析式中，若满足左边＝右边，则在；
若不满足左边＝右边，则不在.
出示课件7～9，学生独立思考后自主解答，一生板演后，教师
订正.
知识点2 反比例函数的综合性题目
出示课件10、11：如图是反比例函数 的图象一支，根据
图象回答下列问题：
（1）图象的另一支在哪个象限？常数m的取值范围是什么？
（2）在这个函数图象的某一支上任取点A（a，b）和B（a′，
b′），如果a>a′，那么b和b′有怎样的大小关系？
学生自主思考后，教师板演：
解：（１）反比例函数图象的分布只有两种可能，分布在第一、
第三象限，或者分布在第二、第四象限.这个函数的图象的一支在第一象限，则另一支必在第三象限．
∵函数的图象在第一、第三象限，
∴m－5＞0，
解得m＞5．
（２）∵m－5＞０，在这个函数图象的任一支上，y随x的增大
而减小，
∴当a＞a′时，b＜b′．
教师问：根据反比例函数的部分图象，如何确定其完整图象的位
置以及比例系数的取值范围?
学生思考后，教师强调：
由于双曲线的两个分支在两个不同的象限内，因此函数y随x的
增减性就不能连续的看，一定要强调“在每一象限内”，否则，笼
统说k＜0时，y随x的增大而增大，从而出现错误.
出示课件12，学生独立思考后口答，教师订正.
知识点3 反比例函数中k的几何意义
出示课件13、14：在反比例函数 的图象上分别取点P，Q向x轴、y轴作垂线，围成面积分别为S ，S 的矩形，填写表格：
1 2
P(2，2)，Q(4，1)
S的值
1
S的值
2
S与S的关系
1 2
猜想S，S与k的关系
1 2
学生观察图象，计算并填表.
出示课件15：若在反比例函数 中也用同样的方法分别取
P，Q两点，填写表格：P(-1，4)，Q(-2，2)
S的值
1
S的值
2
S与S的关系
1 2
猜想S，S与k的关系
1 2
教师总结：（出示课件16）
由前面的探究过程，可以猜想：
k
y=
x
若点P是 图象上的任意一点，作PA垂直于x轴，作PB垂直
于y轴，矩形AOBP的面积与k的关系是S =|k|.
矩形 AOBP
出示课件17：教师引导给出证明：
我们就k＜0的情况给出证明：
设点P的坐标为(a，b)，
k
y=
x
∵点P(a，b)在函数 的图象上，k
b=
a
∴ ，即ab=k.
若点P在第二象限，则a＜0，b＞0，
∴S =PB·PA=－a·b=－ab=－k；
矩形 AOBP
若点P在第四象限，则a＞0，b＜0，
∴S =PB·PA=a·(－b)=－ab=－k.
矩形 AOBP
综上，S =|k|.
矩形 AOBP
出示课件18：师生共同归纳：
k
y=
x
对于反比例函数 ，
点Q是其图象上的任意一点，作QA垂直于y轴，作QB垂直于x
轴，矩形AOBQ的面积与k的关系是S =|k|.
矩形 AOBP
推理：△QAO与△QBO的面积和k的关系是：
.
出示课件19，学生独立思考后口答，教师订正.考点1 通过图形面积确定k的值（出示课件20）
k
y=
x
例 如图，点A在反比例函数 的图象上，AC垂直x轴于点
C，且△AOC的面积为2，求该反比例函数的表达式．
师生共同分析后教师板演：
解：设点A的坐标为(x ，y )，
A A
k
y=
x
∵点A在反比例函数 的图象上，
·y ＝k，
A A
∴x ，
∴k＝4，
4
y=
x
∴反比例函数的表达式为
.
出示课件21，学生独立思考后口答，教师订正.
考点2 利用k的性质判断图形面积的关系（出示课件22）4
y=
x
例 如图，P，C是函数 (x＞0)图象上的任意两点，PA，CD
垂直于x轴.设△POA的面积为S ，则S =________；梯形CEAD的面
1 1
积为S ，则S 与S 的大小关系是S ________S ；△POE的面积S 和
2 1 2 1 2 3
S 的大小关系是S ________ S .
2 2 3
师生共同分析后解答.
出示课件23，学生独立思考后口答，教师订正.
考点3 根据k的几何意义求图形的面积（出示课件24）
例 如图，点A是反比例函数 (x＞0)的图象上任意一点，
AB//x轴交反比例函数 (x＜0)的图象于点B，以AB为边作平
行四边形ABCD，其中点C，D在x轴上，则S =___.
四边形ABCD师生共同分析后解答.
出示课件25，学生独立思考后口答，教师订正.
知识点4 一次函数与反比例函数的组合图形（出示课件26～
27）
教师问：在同一坐标系中，函数 和y=k x+b的图象大致如下，
2
则k 、k 、b各应满足什么条件？
1 2
学生小组讨论后，教师订正.
考点1 根据k的值识别函数的图形（出示课件28）
例 函数y=kx－k与 （k≠0）的图象大致是( )师生共同分析后解答.
出示课件29，学生独立思考后口答，教师订正.
考点2通过函数图形确定字母的取值范围（出示课件30）
例 如图是一次函数y =kx+b和反比例函数 的图象，观察图
1
象，当y ＞y 时，x的取值范围为_______.
1 2
y
－2
0 3 x
师生共同分析：y ＞y 即一次函数图象处于反比例函数图象的上
1 2
方时.观察图形，可知－2＜x＜0或x＞3.
教师强调：对于一些题目，借助函数图象比较大小更加简洁明了.出示课件31，学生独立思考后口答，教师订正.
考点3 利用函数的交点解答问题（出示课件32～33）
例 已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点P(－
3，4).试求出它们的解析式，并画出图象.
师生共同分析后一生板演，教师订正.
解：设y=k x和 .
1
由于这两个函数的图象交于点P(－3，4)，则点P的坐标分别满
足这两个解析式.
所以 ， .
解得 .
，
则这两个函数的解析式分别为 和 ，
它们的图象如图所示.教师问：这两个图象有何共同特点？你能求出另外一个交点的坐
标吗？说说你发现了什么？
学生小组讨论后口答.
出示课件34，学生独立思考后一生板演，教师订正.
（三）课堂练习（出示课件35-44）
引导学生练习35-44页题目，约用时20分钟。
（四）课堂小结（出示课件45）
本节课你有哪些收获？你还有什么困惑吗？（引导学生思考答
复）
师生一起提炼本节课的重要知识和必须掌握的技能：
k
y=
x
若点P是 图象上的任意一点，作PA垂直于x轴，作PB垂直于y轴，矩形AOBP的面积与k的关系是S =|k|.
矩形 AOBP
（五）课前预习
预习下节课（26.2第1课时）的相关内容.
能应用反比例函数的图象及性质解决简单的实际问题.
七、课后作业
1.教材第8页练习第1,2题.
2.练习试卷册第14页第3,4，6，8,10题.
八、板书设计
26.1.2 反比例函数的图象和性质（第2课时）
1.面积不变性
2.反比例函数与一次函数的综合问题
九、教学反思
本节课结合面积、函数等相关知识点去拓展应用，从而更好的理
解反比例函数，并且会应用函数图像解决一些问题，渗透数形结合
的思想.课堂上充分留给学生动脑、动手、动口的机会，让每个学生
都有进步的机会和展示自己的舞台.26.2 实际问题与反比例函数（第1课时）
一、核心素养目标
【数学思维】
1.灵活运用反比例函数的意义和性质解决实际问题；
2.能够根据实际问题确定自变量的取值范围.
【数学眼光】
通过分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，再
利用反比例函数解决实际问题，在具体问题中探索反比例函数的应
用.．
【数学语言】
体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数
方法解决问题的能力．
二、课型
新授课
三、课时
第1课时 共2课时
四、教学重难点【教学重点】
利用反比例函数的知识分析、解决实际问题.
【教学难点】
分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式.
五、课前准备
教师：课件、直尺、三角板等.
学生：直尺、三角板.
六、教学过程
（一）导入新课（出示课件2）
你吃过拉面吗？你知道在做拉面的过程中渗透着数学知识吗？⑴
体积为20cm3的面团做成拉面，面条的总长度y（单位：cm）与面条
粗细（横截面积）s（单位：cm2）有怎样的函数关系？
生口答： （S＞0）
（2）某家面馆的师傅手艺精湛，他拉的面条粗 1mm2，面条总长
是多少？
（二）探索新知知识点 利用反比例函数解决实际问题
考点1 利用反比例函数解答几何图形问题
出示课件4～6：例 市煤气公司要在地下修建一个容积为104m3的
圆柱形煤气储存室.
(1)储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）有怎
样的函数关系?
(2)公司决定把储存室的底面积S定为500m2，施工队施工时应该
向地下掘进多深?
(3)当施工队按(2)中的计划掘进到地下15m时，公司临时改变计
划，把储存室的深度改为15m.相应地，储存室的底面积应改为多少
(结果保留小数点后两位)?
学生分组思考后，师生共同解答：
解：⑴根据圆柱体的体积公式，得Sd=104，
∴S关于d的函数解析式为
.
（2）把S=500代入 中，得∴d=20（m）
如果把储存室的底面积定为500m2，施工时应向地下掘进20m深.
（3）根据题意，把d=15代入 ，得 .
∴当储存室的深度为15m时，底面积应改为666.67m².
教师问：第（1）问的解题思路是什么？第（2）问和第（3）问
与过去所学的解分式方程和求代数式的值的问题有何联系？（出示
课件7）
师生一起解答：第（1）问首先要弄清此题中各数量间的关系，
然后根据圆柱的体积公式：圆柱的体积＝底面积×高，由题意知S
是函数，d是自变量，改写后所得的函数关系式是反比例函数的形
式.第（2）问实际上是已知函数S的值，求自变量d的取值，第
（3）问则是与第（2）问相反．
出示课件8～10，学生独立思考后自主解答，教师订正.
考点2 利用反比例函数解答运输问题
出示课件11～12：例 码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，
装载完毕恰好用了8天时间.(1)轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v(单位：吨/天)
与卸货天数t之间有怎样的函数关系?
(2)由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸载完毕，
那么平均每天至少要卸载多少吨?
师生共同分析：根据“平均装货速度×装货天数=货物的总量”，
可以求出轮船装载货物的总量；再根据“平均卸货速度=货物的总量
÷卸货天数”，得到v关于t的函数解析式.
解 ： （ 1 ） 设 轮 船 上 的 货 物 总 量 为 k 吨 ， 根 据 题 意 得
k=30×8=240，
；
所以v关于t的函数解析式为
（2）把t=5代入中， 得：
（吨/天）.
从结果可以看出，如果全部货物恰好用 5天卸载完，则平均每天
卸载48吨.而观察求得的反比例函数的解析式可知，t越小，v越大.这样若货物不超过5天卸载完，则平均每天至少要卸载48吨.
教师问：题目中蕴含的等量关系是什么？我们知道“至少”对应
于不等号“≥”，那么需要用不等式来解决第（2）问吗？
学生讨论后教师总结：此题类似应用题中的“工程问题”，关系
式为工作总量＝工作速度×工作时间，题目中货物总量是不变的，
两个变量分别是速度v和时间t，因此具有反比关系．第（2）问涉
及了反比例函数的增减性，即当自变量t取最大值时，函数值v取
最小值．
出示课件14～15，学生独立思考后一生板演，教师订正.
考点3 利用反比例函数解答行程问题
出示课件16：例 一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千
米/时的平均速度用6小时到达乙地.
（1）甲、乙两地相距多少千米？
（2）当他按原路匀速返回时，汽车的速度v与时间t有怎样的
函数关系？
师生共同分析后，一生板演：解：⑴80×6=480（千米）
答：甲、乙两地相距480千米.
⑵由题意得vt=480，
480
v=
t
整理得 （t＞0）.
出示课件17，学生独立思考后口答，教师订正.
（三）课堂练习（出示课件18-27）
引导学生练习课件18-27题目，约用时15分钟
（四）课堂小结（出示课件28）
本节课你有哪些收获？你还有什么困惑吗？（引导学生思考答
复）
师生一起提炼本节课的重要知识和必须掌握的技能：
用反比例函数解决实际问题的一般步骤:
一审题:弄清题意分清条件和结论理顺数量关系.
二建模:将文字语言转化为数学语言，利用反比例函数等知识，
建立函数模型.
三解模:求解数学模型，得出数学结论.
四还原:将用数学知识和教学数学方法求得的解得出结论还原为
实际问题的结果.（五）课前预习
预习下节课（26.2第2课时）的相关内容.
能应用反比例函数解决其他实际问题.
七、课后作业
1.教材第15页练习第3题.
2.练习试卷册第24～25页第1,2，8题.
八、板书设计
26.2 实际问题与反比例函数（第1课时）
考点1 考点2
考点3
九、教学反思
教学时注意到学生的实际生活，从切实发生在学生身边的实际情
景导入新课，创设了轻松和谐的学习气氛，引起学生的兴趣，让学
生自己利用已经具备的知识分析实例，通过合作讨论将其转化为数
学模型（反比例函数），再用函数的观点处理实际问题，经历数学
知识的应用过程.堂上鼓励性语言较少，基础薄弱的学生课堂反馈仍
然很少.26.2 实际问题与反比例函数（第2课时）
一、核心素养目标
【数学思维】
1.体验现实生活与反比例函数的关系，通过“杠杆定律”解决实
际问题，探究实际问题与反比例函数的关系；
2.掌握反比例函数在其他学科中的运用，体验学科的整合思想.
【数学眼光】
在解决问题的过程中，对实际问题中的变量关系进行分析，建立
反比例函数模型解决问题．
【数学语言】
在运用反比例函数解决实际问题的过程中，培养学生应用数学的
意识．
二、课型
新授课
三、课时
第2课时 共2课时四、教学重难点
【教学重点】
掌握从实际问题中建构反比例函数模型.
【教学难点】
实际问题中寻找变量间的关系.
五、课前准备
教师：课件、直尺、三角板等.
学生：直尺、三角板.
六、教学过程
（一）导入新课（出示课件2）
给我一个支点，我可以撬动地球！──阿基米德
⑴你认为可能吗？
⑵大家都知道开啤酒的开瓶器，它蕴含什么科学道理？
⑶同样的一块大石头，力量不同的人都可以撬起来，是真的吗？
（二）探索新知
出示课件4：公元前3世纪,古希腊科学家阿基米德发现了著名的
“杠杆定律”:若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比,则杠杆平衡.通俗一点可以描述为:
阻力×阻力臂=动力×动力臂.
请利用杠杆定律解决以下问题：
知识点1 反比例函数与力学（出示课件5）
小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1200N
和0.5m.
（1）动力F与动力臂l有怎样的函数关系?当动力臂为1.5m时，
撬动石头至少需要多大的力?
学生先独立思考，教师关注学生能否主动用“杠杆原理”中杠杆
平衡的条件理解实际问题，从而发现其与反比例函数的关系．引导
学生观察思考，逐步分析，最后通过建立反比例函数模型解决问题．
解：根据“杠杆原理”，得Fl=1200×0.5，
∴F关于l的函数解析式为
当l=1.5m时， （N）.
对于函数 ，当l=1.5m时，F=400N，此时杠杆平衡.
因此撬动石头至少需要400N的力.出示课件:6：（2）若想使动力F不超过题（1）中所用力的一半，
则动力臂l至少要加长多少?
师生共同分析：对于函数 ，F随l的增大而减小.因此，
只要求出F=200N时对应的l的值，就能确定动力臂l至少应加长的
量.
解：当 时，由 ，得
300－1.5=1.5（m）.
对于函数 ，当l＞0时，l越大，F越小.因此，若想用力
不超过400N的一半，则动力臂至少要加长1.5m.
出示课件7：学生分组讨论，教师加以指正：
1.什么是“杠杆定律”？已知阻力与阻力臂不变，设动力为F，
动力臂为L，当F变大时，L怎么变？当F变小时，L又怎么变？
2.在第（2）问中，根据第（1）问的答案，可得F≤200，要求
出动力臂至少要加长多少，就是要求L的什么值？由此判断我们在
使用撬棍时，为什么动力臂越长就越省力？出示课件8，学生独立思考后口答，教师订正.
出示课件9～12：某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的
方式通过一片烂泥湿地.当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板
面积S(m2)的变化，人和木板对地面的压强p(Pa)也随之变化.如果
人和木板对湿地地面的压力合计为600N，那么
(1)用含S的代数式表示p，p是S的反比例函数吗？为什么？
(2)当木板面积为0.2m2时，压强是多少？
(3)如果要求压强不超过6000Pa，木板面积至少要多大？
(4)在直角坐标系中，作出相应的函数图象．
由学生独立完成，一生板演，教师根据学生完成情况及时给予评
价，规范解题书写过程.
解：⑴由 ，得
p是S的反比例函数，因为给定一个S的值，对应的就有唯一的
一个p值和它对应，根据函数定义，则p是S的反比例函数．
⑵当S＝0.2m2 时，故当木板面积为0.2m2时，压强是3000Pa．
⑶当p=6000时，由 得
对于函数 ，当S＞0时，S越大，p越小.因此，若要求压
强不超过6000Pa，则木板面积至少要0.1m2.
⑷如图所示.
出示课件13，学生独立思考后口答，教师订正.
知识点2 反比例函数与电学（出示课件14～15）
一个用电器的电阻是可调节的，其范围为110～220Ω.已知电压
为220V，这个用电器的电路图如图所示.(1)功率P与电阻R有怎样的函数关系?
(2)这个用电器功率的范围是多少?
学生自主思考后独立解答，一生板演，教师加以订正，规范解题
书写过程.
解：⑴根据电学知识，当U=220时，得
⑵根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率越小.
把电阻的最小值R=110代入求得的解析式，得到功率的最大值
把电阻的最大值R=220代入求得的解析式，得到功率的最小值
因此用电器功率的范围为220~440W.
教师问：根据物理知识可以判断：当用电器两端的电压一定时，用电器的输出功率与它的电阻之间呈什么关系？这一特征说明用电
器的输出功率与它的电阻之间满足什么函数关系？（出示课件16）
学生分组讨论，教师指点后总结：（出示课件17）
解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用
待定系数法求出它们的关系式，进一步根据题意求解答案．其中往
往要用到电学中的公式PR＝U2，P指用电器的输出功率（瓦），U指
用电器两端的电压（伏），R指用电器的电阻（欧姆）．
出示课件18～19，学生独立思考后口述解题过程，教师订正.
（三）课堂练习（出示课件20-28）
教师引导学生练习课件20-28题目，约用时15分钟。
（四）课堂小结（出示课件29）
本节课你有哪些收获？你还有什么困惑吗？（引导学生思考答
复）
师生一起提炼本节课的重要知识和必须掌握的技能：
解答本节问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用
待定系数法求出它们的关系式，进一步根据题意求解答案．其中往往要用到力学、电学中的公式.
（五）课前预习
预习下节课（27.1）的相关内容.
知道什么是相似图形.
七、课后作业
1、教材第16、17页练习第6，8题.
2、练习试卷册第24～25页第3,4，6,10题.
八、板书设计
26.2 实际问题与反比例函数（第2课时）
知识点1 反比例函数与力学
知识点2 反比例函数与电学
九、教学反思
本节课是用函数的观点处理实际问题，关键在于分析实际情境，
建立函数模型，并进一步明确数学问题．将实际问题置于已有的知
识背景之中，用数学知识重新解释“这是什么”，使学生逐步形成
考察实际问题的能力．在解决问题时，应充分利用函数的图象，渗
透数形结合的思想.平时多与学生交流，了解学生，课堂上合理的设计一些简单的题，
多鼓励基础薄弱的学生，让他们积极参与课堂活动.
27.1 图形的相似
一、核心素养目标
【数学思维】
1.了解相似图形和相似比的概念；
2.理解相似多边形的定义；
3.能根据多边形相似进行相关的计算.
【数学眼光】
通过观察、归纳等数学活动，与他人交流思维的过程和结果，能
用所学的知识去解决问题．
【数学语言】
在获得知识的过程中培养学习的自信心．
二、课型
新授课
三、课时1课时
四、教学重难点
【教学重点】
让学生理解图形的相似概念，会判两个图形是否相似.
【教学难点】
会判两个图形是否相似.
五、课前准备
教师：课件、图片、大小不同的同底照片.
六、教学过程
（一）导入新课（出示课件2～5）
教师问：我们刚才所见到的图形有什么联系？
学生答：其中一个图形可以看作是另一个图形放大或者缩小得到
的.
（二）探索新知
知识点1 相似图形的定义（出示课件7）
教师问：观察这两组图形，指出全等图形的特征？学生答：指能够完全重合的两个图形，即它们的形状和大小完全
相同.
出示课件8：观察两张黄山松的照片有什么特点?
学生自由回答问题。
教师问：我们刚才所见到的图形有什么相同和不同的地方?（出
示课件10）
学生答：相同点：形状相同；不同点：大小不同.
师生共同归纳：两个图形的形状完全相同，但图形的大小位置
不一定相同，这样的图形叫做相似图形.（出示课件11）
出示课件12～15：教师强调：两个图形相似，其中一个图形可
以看作由另一个图形放大或缩小得到.
出示课件16：你见过哈哈镜吗？哈哈镜与平面镜中的形象哪一
个与你本人相似？学生思考后口答，教师指正.
出示课件17，学生观察后口答，教师订正.
知识点2 相似多边形的定义和相似比的概念（出示课件18）
教师问：图是两个等边三角形，它们相似吗?它们的对应角、对
应边分别有什么关系?
学生答：∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，
教师归纳：两个等边三角形相似,它们的对应角相等,对应边成比
例.
教师问:下图是两个正六边形，它们相似吗?它们的对应角、对应边分别有什么关系?（出示课件19）
学生答：两个正六边形相似,它们的对应角相等,对应边成比例.
教师问:从上述两个问题的探索中你能得到什么结论?
学生讨论回答:两个边数相等的正多边形相似,且对应角相等、对
应边成比例.
教师问：任意两个相似三角形,它们的对应角相等吗?对应边成比
例吗?（出示课件20）
学生思考后口答：任意两个相似三角形,它们的对应角相等!对应
边成比例!
教师问：图中两个四边形是相似形，仔细观察这两个图形，它们
的对应边之间是否有以上的关系呢？对应角之间又有什么关系？
（出示课件21）学生答：任意两个相似多边形,它们的对应角相等!对应边成比例!
出示课件22：教师归纳：相似多边形的定义：各角分别相等、
各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.
相似多边形的特征：相似多边形的对应角相等，对应边成比例.
相似比：相似多边形的对应边的比叫做相似比.
教师问：任意的两个菱形（或矩形）是否相似？为什么？（出示
课件23）
学生尝试解答，教师加以指正.
考点1 利用相似多边形的定义求线段、角的值
例 如图，四边形ABCD和EFGH相似，求角α，β的大小和EH的
长度x.（出示课件24～26）学生独立思考，先尝试作答，再跟着老师一起解答.
解：∵ 四边形ABCD和EFGH相似，
∴ 它们的对应角相等．由此可得
∠α＝∠C＝83°，∠A＝∠E＝118°.
在四边形ABCD中，∠β＝360°－(78°＋83°＋118°)＝81°.
∵ 四边形ABCD和EFGH相似，
∴它们的对应边成比例，由此可得 ，即
解得x＝28.
出示课件27，学生思考后独立解答，一生板演，教师订正.
（三）课堂练习（出示课件28-35）
引导学生练习课件28-35题目，约用时10分钟。
（四）课堂小结（出示课件36）
本节课你有哪些收获？你还有什么困惑吗？（引导学生思考答
复）师生一起提炼本节课的重要知识和必须掌握的技能：
1.相似图形的概念：形状相同的图形叫做相似图形.
注意：相似图形的大小不一定相同.
2.相似多边形：对应角相等，对应边成比例（对应边的比相等）.
3.相似比：相似多边形对应边的比（相似比大于零）.
（五）课前预习
预习下节课（27.2.1第1课时）的相关内容.
知道相似三角形的定义及平行线分线段成比例的基本事实及推论.
七、课后作业
1、教材第27页练习第1,2,3题.
2、练习试卷册第42页第2,3,4，10题.
八、板书设计
27.1图形的相似
判定：对应角相等，对应边成比例的多边形是相似多边形.
性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例.
相似比：相似多边形对应边的比.
考点：
九、教学反思本节课用几组图片以及相应的问题导入进行内容探究，让学生自
己动手、动脑、动口，学习关于相似多边形性质及判定内容.培养学
生的基本技能，引导学生进行展示交流，让每个学生都有进步的机
会和展示自己的舞台.
27.2 相似三角形
27.2.1相似三角形的判定（第1课时）
一、核心素养目标
【数学思维】
1.理解相似三角形的概念，并会用以证明和计算；
2.体会用相似符号“∽”表示的相似三角形之间的边，角对应关
系；
3.掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论的应用，会用平
行线判定两个三角形相似并进行证明和计算.
【数学眼光】
经历平行线分线段成比例的基本事实及其推论的发现过程，增强学生发现问题，解决问题的能力.
【数学语言】
学生在充分经历自学、探究、交流、当堂练习等活动中，获得成
功的体验，调动主动学习的积极性，感受数学学习的乐趣.
二、课型
新授课
三、课时
第1课时 共4课时
四、教学重难点
【教学重点】
平行线分线段成比例基本事实及判定两个三角形相似的定理.
【教学难点】
判定三角形相似的定理的证明.
五、课前准备
教师：课件、刻度尺、三角板.
学生：刻度尺、三角板.
六、教学过程（一）导入新课（出示课件2）
教师问：1.相似多边形的特征是什么？
2.怎样判定两个多边形相似？
3.什么叫相似比？
4.相似多边形中，最简单的就是相似三角形．如果∠A＝∠A ，
1
AB AC BC
AB AC BC
∠B＝∠B ，∠C＝∠C ， ，那么△ABC 与△A B C
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
相似吗？我们还有其他方法判定两个三角形相似吗？
学生集体口答，教师订正.
（二）探索新知
知识点1 平行线分线段成比例定理
请分别度量 l ,l ,l .在 l 上截得的两条线段 AB,BC 和在 l 上截
3 4 5 1 2
得的两条线段DE,EF的长度,AB：BC与DE：EF相等吗？任意平移l ,
5
再量度AB,BC,DE,EF的长度,它们的比值还相等吗？除此之外，还有
其他对应线段成比例吗？（出示课件4、5）学生动手操作后可发现：
教师归纳：（出示课件6）
一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
符号语言：若a∥b∥c，则 ， ，
教师问：1.如何理解“对应线段”？
2.“对应线段”成比例都有哪些表达形式？（出示课件7）小组合作交流,再进行全班性的问答.
出示课件8，学生独立思考后口答，教师订正.
知识点2 平行线分线段成比例定理的推论
出示课件9～11：如图，直线l ∥l ∥l ，由平行线分线段成比
3 4 5
例的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段，把直线l 向
1
左或向右任意平移，这些线段依然成比例.
如果把图1中l ,l 两条直线相交，交点A刚好落到l 上，如图2
1 2 3
（1），所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？
如果把图1中l ,l 两条直线相交，交点A刚好落到l 上，如图2
1 2 4（2）所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？
学生分组讨论后，选代表口答，教师加以订正后归纳.（出示课
件12）
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对
应线段成比例.
出示课件13，学生独立解答，一生板演，教师订正.
考点 利用平行线分线段成比例定理及推论求线段长度
出示课件14，例 如图，在△ABC中，DE∥BC，AC=4，AB=3，
EC=1.求AD和BD.学生思考后，师生共同解答如下：
解：∵AC=4，EC=1，
∴AE=3.
∵ DE∥BC，
∴
∴AD=2.25，
∴BD=0.75.
出示课件15，学生独立解答，教师订正.
知识点3 相似三角形的判定定理
如图，在△ABC 中，D 为 AB 上任意一点，过点 D 作 BC 的平行线
DE，交AC于点E.（出示课件16～17）教师问：1.△ADE与△ABC的三个角分别相等吗？
2.分别度量△ADE与△ABC的边长，它们的边长是否对应成比例？
3.你认为△ADE与△ABC之间有什么关系？平行移动 DE的位置，
你的结论还成立吗？
学生分组讨论，动手操作后达成共识：通过度量，我们发现
△ADE∽△ABC，且只要DE∥BC，这个结论恒成立.
教师问：1.我们通过度量三角形的边长，知道△ADE∽△ABC，但
要用相似的定义去证明它，我们需要证明什么？（出示课件18）
2.由前面的结论，我们可以得到什么？还需证明什么？
学生讨论后，带着疑问解决证明△ADE∽△ABC问题.（出示课件
19）
已知：如图，在△ABC中，DE//BC，且DE分别交AB，AC于点
D、E．
求证：△ADE∽△ABC.师生共同分析：直观告诉我们：△ADE∽△ABC，根据三角形相似
的概念，要想证明两个三角形相似，必须证明三个角对应相等，三
条边对应边对应成比例.由平行线分线段成比例定理，可知：
，还需证明 所以要将 DE 平移到 BC 上，
使得BF=DE(如图),再证明： 即可.
证明：在△ADE与△ABC中，∠A=∠A.
∵DE//BC,
AD AE
，
AB AC
∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C，
AE BF
AC BC
过E作EF//AB交BC于F,则 ，
∵四边形DBFE是平行四边形,
∴DE=BF，
AE DE
AC BC
∴ ，
AD AE DE
AB AC BC
∴ ，
∴△ADE∽△ABC.归纳：定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成
的三角形与原三角形相似.（出示课件20）
符号语言：∵DE//BC,∴△ADE∽△ABC．
教师问：过点D作与AC平行的直线与BC相交，可否证明
△ADE∽△ABC？如果在三角形中出现一边的平行线，那么你应该联
想到什么？（出示课件21）
学生分组讨论后，教师归纳：过点D作与AC平行的直线与BC相
交，仍可证明△ADE∽△ABC，这与教材第31页证法雷同．题目中有
平行线，可得相似三角形，然后利用相似三角形的性质，可列出比
例式．
出示课件22，学生独立思考后口答，教师订正.
（三）课堂练习（出示课件23-29）
引导学生练习课件 23-29 题目，巩固本课知识点，约用时 20 分钟。
（四）课堂小结（出示课件30）
本节课你有哪些收获？你还有什么困惑吗？（引导学生思考答
复）
师生一起提炼本节课的重要知识和必须掌握的技能：
1.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
2.平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得
的对应线段成比例.
3.平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与
原三角形相似.
（五）课前预习
预习下节课（27.2.1第2课时）的相关内容.
知道利用三边判定两个三角形相似的方法.
七、课后作业
1、教材第31页练习第1,2题.
2、练习试卷册第53～54页第2,6题.
八、板书设计27.2.1相似三角形的判定（第1课时）
1.定义 5.例题
2.基本事实
3.推论
4.判定定理
九、教学反思
关于平行线分线段成比例定理，学生没有足够体验，很难达到对
定理的理解，进而影响了后续知识的掌握.所有的新知识，都要通过
自身“再创造”，纳入到自己的认知结构中，成为有效而能发展的
知识，优化和发展了数学认知结构.因此在教学过程中，要让学生经
历“观察——猜想——归纳——验证”等一系列的数学活动，不断
体会数形结合和从特殊到一般的数学思想方法.要给学生充足的研讨
时间，化未知为已知，从而不断完善学生的认知体系.
27.2 相似三角形
27.2.1相似三角形的判定（第2课时）
一、核心素养目标【数学思维】
掌握“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法；能够运用三
角形相似的条件解决简单的问题.
【数学眼光】
经历两个三角形相似的探索过程，进一步发展学生的探究、交流
能力.
【数学语言】
培养学生敢于实践、勇于发现、大胆探索、合作创新的精神.
二、课型
新授课
三、课时
第2课时 共4课时
四、教学重难点
【教学重点】
三边成比例的两个三角形相似.
【教学难点】
三角形相似的判定方法的证明及运用.五、课前准备
教师：课件、刻度尺、量角器、三角板.
学生：刻度尺、量角器、三角板.
六、教学过程
（一）导入新课（出示课件2）
教师提出问题：学习三角形全等时，我们知道，除了可以通过证
明对应角相等．对应边相等来判定两个三角形全等外，还有判定的
简便方法（SSS、SAS、ASA、AAS）．类似地，判定两个三角形相似
时，是不是也存在简便的判定方法呢？
类似于判定三角形全等的 SSS方法，我们能不能通过三边来判断
两个三角形相似呢？
（二）探索新知
知识点1 三边对应成比例的两三角形相似
教师问：如何判断两个三角形是否相似?（出示课件4）
学生答：1.定义法:对应角相等，对应边的比相等的两个三角形
相似.
2.平行法:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.
教师问：还有没有其他简单的判断方法呢？如图，在△ABC 与△
，如果满足 ，那么能否判定这两个三角
形相似？（出示课件5）
学生在教师引导下通过测量得到∠A=∠A′，∠B=∠B′，
∠C=∠C′，又因为两个三角形的边对应成比例，所以
△ABC∽△A′B′C′.
教师问：怎样证明这个命题是正确的呢？
出示课件7：已知:如图，在△ABC和△A′B′C′中，
A′B′:AB=A′C′:AC=B′C′:BC.
求证:△ABC∽△A′B′C′.学生独立思考后，师生共同写出证明过程：
证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A′B′,过点D作
DE∥BC交AC于点E.
∴AD:AB=AE:AC=DE:BC,△ADE∽△ABC.
∵AD=A′B′,
∴AD:AB=A′B′:AB.
又∵A′B′:AB=B′C′:BC=C′A′:CA,
∴DE:BC=B′C′:BC,EA:CA=C′A′:CA.
因此DE=B′C′,EA=C′A′.
∴△ADE≌△A′B′C′.
∴△A′B′C′∽△ABC.
师生共同归纳：由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理：
三边成比例的两个三角形相似．（出示课件8）符号语言：在△ABC 与△A'B'C'中，
AB BC AC
∵ A'B' B'C' A'C'
△ABC ∽△A'B'C'
∴
教师问：在用三边的比判定两个三角形相似时，如何寻找对应边？
（出示课件9）
学生讨论后教师总结：利用三边的比判定两个三角形相似时，应
先将两个三角形的三边按大小顺序排列，然后分别计算它们对应边
的比，最后由比值是否相等来确定两个三角形是否相似．
考点1 利用三边成比例判断三角形相似
例 已知AB=4cm，BC=6cm，AC=8 cm，A′B′=12cm，B′C′=18
（出示课件10）
cm，A′C′=24cm，试说明△ABC∽△A′B′C′.
学生独立思考后，一生板演，教师订正并强调解题书写格式.解：∵
AB BC AC
A'B' B'C' A'C'
∴
∴△ABC∽△A′B′C′.
教师强调：判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三
角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等，计算
时最大边与最大边对应，最短边与最短边对应.（出示课件11）
出示课件12，学生独立思考后口答，教师订正.
考点2 判断三角形相似
例 如图，在Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，
且
求证：△A′B′C′∽△ABC.（出示课件13）师生共同完成证明过程：
证明：由已知条件得AB=2A′B′，AC=2A′C′，
∴BC2=AB2－AC2=(2A′B′)2－(2A′C′)2=4A′B′2－4A′C′2
=4(A′B′2－A′C′2)=4B′C′2=(2B′C′)2.
∴ BC=2B′C′，
∴△A′B′C′∽△ABC.
出示课件14，学生独立思考后一生板演，教师订正.
考点3 利用三角形相似说明角相等
例 如图已知： 试说明：∠BAD=∠CAE.（出示课件
15）
学生独立思考后，师生共同解答：
解：∵
∴ΔABC∽ΔADE.
∴∠BAC=∠DAE.∴∠BAC－∠DAC=∠DAE－∠DAC，
即∠BAD=∠CAE.
出示课件16，学生独立思考后一生板演，教师订正.
（三）课堂练习（出示课件17-23）
引导学生练习课件17-23相关题目，约用时15分钟
（四）课堂小结（出示课件24）
本节课你有哪些收获？你还有什么困惑吗？（引导学生思考答
复）
师生一起提炼本节课的重要知识和必须掌握的技能：
1.三两个三角形相似．
2.利用三边的比判定两个三角形相似时，应先将两个三角形的三
边按大小顺序排列，然后分别计算它们对应边的比，最后由比值是
否相等来确定两个三角形是否相似．
（五）课前预习
预习下节课（27.2.1第3课时）的相关内容.
知道利用两边及夹角判定两个三角形相似的方法.
七、课后作业教材第34页练习第1⑵,2⑴，3题.
八、板书设计
27.2.1相似三角形的判定（第2课时）
1.三边对应成比例的两个三角形相似
2.例题
九、教学反思
因为本课时教学过程中主要是让学生采用类比的方法先猜想出命
题，然后证明猜想的命题是否正确．课堂上教师主要还是以提问的
形式，逐步引导学生去证明命题．在本节课中要放手给学生动脑、
动手的机会，要注意面向全体学生.
27.2 相似三角形
27.2.1相似三角形的判定（第3课时）
一、核心素养目标
【数学思维】
掌握“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定方法；
能够运用三角形相似的条件解决简单的问题.
【数学眼光】经历两个三角形相似的探索过程，进一步发展学生的探究、交流
能力.
【数学语言】
通过画图、观察猜想、度量验证等实践活动，培养学生获得数学
猜想的经验，激发学生探索知识的兴趣，从认识上培养学生从特殊
到一般的方法认识事物，从思维上培养学生用类比的方法展开思维.
二、课型
新授课
三、课时
第3课时 共4课时
四、教学重难点
【教学重点】
“两组对应边的比相等且它们夹角相等的两个三角形相似”的判
定方法.
【教学难点】
运用“两组对应边的比相等且它们夹角相等的两个三角形相似”
的判定方法解决简单问题.五、课前准备
教师：课件、刻度尺、量角器、三角板.
学生：刻度尺、量角器、三角板.
六、教学过程
（一）导入新课（出示课件2、3）
教师问：两个三角形全等有哪些判定方法？
学生答：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.
教师问：我们学习过哪些判定三角形相似的方法？
学生答：(1)通过定义（三边对应成比例，三角分别相等）;
(2)平行于三角形一边的直线;
(3)三边对应成比例.
教师提出问题，引出本课内容：类似于判定三角形全等的 SAS方
法，我们能不能通过两边和夹角来判断两个三角形相似呢？
（二）探索新知
知识点 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
利用刻度尺和量角器画△ABC 和△A'B'C'，使∠A＝∠A'，量出它们第三组对应边 BC 和 B'C'的长，它们的比等
于 k 吗？另外两组对应角∠B 与∠B'，∠C 与∠C'是否相等？改变
∠A或k值的大小，再试一试，是否有同样的结论？（出示课件5）
学生按要求动手操作，尝试，得出结论：等于 k；∠B=∠B'；
∠C =∠C'；改变k的值具有相同的结论.
教师提出：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的
夹角相等，那么这两个三角形相似．（出示课件6）
教师提示：类似于证明通过三边判定三角形相似的方法，我们试
证明这个结论．
教师巡视指导，然后多媒体展示验证.（出示课件7）
已 知 ： 如 图 ， △ A'B'C' 和 △ ABC 中 ， ∠ A'=∠ A ， A'B' ：
AB=A'C'：AC，求证：△A'B'C'∽△ABC.证明：在△ABC的边AB、AC（或它们的延长线）上分别截取 AD＝
A'B'，AE＝A'C'，连结DE，因∠A'=∠A，这样△A'B'C'≌△ADE.
，
，
∴ DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴△A'B'C'∽△ABC.
教师归纳：由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．（出示课件8）
A'B'C'
符号语言：在△ABC与△ 中，AB BC
A'B' B'C'
∵ ，∠A=∠A’，
A'B'C'
∴△ABC∽△ .
教师问：对于△ABC和△A′B′C′，如果
A′B′:AB=A′C′:AC.∠C=∠C′，这两个三角形一定会相似吗？
（出示课件9）
学生讨论后，抽代表回答解决问题的办法和结论，然后展示反例：
不一定，如下图，因为能构造符合条件的三角形有两个，其中一
个和原三角形相似，另一个不相似.
师生共同总结：如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不
是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角.（出示课件10）
考点1 利用两边成比例且夹角相等识别三角形相似
例 已知∠A＝120°，AB＝7cm，AC＝14cm，∠A′＝120°，
A′B′＝3cm，A′C′＝6cm，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，
并说明理由.（出示课件11）
学生独立思考后，师生共同解决：
解：△ABC∽△A'B'C'.理由如下：
∵
∴
又∠A＝∠A′，
∴△ABC∽△A′B′C′.
出示课件12，学生独立思考后一生板演，教师订正.
考点2 利用三角形相似求线段的长度
例 如图，D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，AE=1.5，
AC=2，BC=3，且 ，求DE的长.（出示课件13）教师提示：解题时要找准对应边.
解：∵AE=1.5，AC=2，
∴
又∵∠EAD=∠CAB，
∴△ADE∽△ABC，
∴
∴
出示课件14，学生独立思考后一生板演，教师订正.
考点3 利用三角形相似求角度
例 如图，在△ABC中，CD 是边AB上的高，且 ，求证：
∠ACB=90°．（出示课件15）学生独立思考后，师生共同解答：
证明：∵CD是边AB上的高，
∴∠ADC=∠CDB=90°.
又∵ ，
∴△ADC∽△CDB，
∴∠ACD=∠B，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠B+∠BCD=90°.
教师强调：解题时需注意隐含条件，如垂直关系，三角形的高等.
出示课件16，学生独立思考后一生板演，教师订正.
（三）课堂练习（出示课件17-23）
师生一起练习课件17—23题目，约用时15分钟。
（四）课堂小结（出示课件24）
本节课你有哪些收获？你还有什么困惑吗？（引导学生思考答
复）
师生一起提炼本节课的重要知识和必须掌握的技能：
1.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
2.如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应
边的夹角.
（五）课前预习
预习下节课（27.2.1第4课时）的相关内容.
知道利用两角判定两个三角形相似的方法.
七、课后作业
1.教材第34页练习第1⑴,2⑵题.
2.《练习试卷册》第54页第10,11题
八、板书设计
27.2.1相似三角形的判定（第3课时）
1.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
2.例题
九、教学反思
本节课利用多煤体引导学生始终参与到学习活动的全过程中，处
于主动学习的状态．采用动手实践，自主探索与合作交流的学习方
法，使学生积极参与教学过程．在教学过程中展开思维，培养学生
提出问题、分析问题、解决问题的能力，进一步理解观察、类比、分析等数学思想.
27.2 相似三角形
27.2.1相似三角形的判定（第4课时）
一、核心素养目标
【数学思维】
1.掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法.
2.能够运用三角形相似的条件解决简单的问题.
3.掌握判定两个直角三角形相似的方法，并能进行相关计算与推
理.
【数学眼光】
经历两个三角形相似的探索过程，进一步发展学生的探究、交流
能力.
【数学语言】
通在探索三角形相似的判定方法过程中，培养学生与他人交流、
合作的意识，激发学生探索知识的兴趣，从认识上培养学生从特殊
到一般的方法认识事物，从思维上培养学生用类比的方法展开思维.二、课型
新授课
三、课时
第4课时 共4课时
四、教学重难点
【教学重点】
1.“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法.
2.判定两个直角三角形相似的方法.
【教学难点】
运用两个三角形相似的判定方法解决简单问题.
五、课前准备
教师：课件、刻度尺、量角器、三角板.
学生：刻度尺、量角器、三角板.
六、教学过程
（一）导入新课（出示课件2）
观察两副三角尺如图，其中同样角度（30°与 60°，或 45°与
45°）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的．一般地，如果两个三角形有两组对应角相等，它们一定相似吗？
（二）探索新知
知识点1 两角分别相等的两个三角形相似
作△ABC 和△A'B'C'，使得∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，这时它们的
第三个角满足∠C＝∠C'吗？分别度量这两个三角形的边长，计算
AB BC CA
、 、
A'B' B'C' C'A' ，你有什么发现？（出示课件4）
学 生 按 要 求 动 手 操 作 ， 尝 试 ， 得 出 结 论 ： ∠ C=∠ C' ，
，这两个三角形是相似的.
教师问：把你的结果与邻座的同学比较，你们的结论一样吗？
△ABC和△A'B'C'相似吗？（出示课件5）
学生答：一样，△ABC和△A'B'C'相似．教师问：你能试着证明△A′B′C′∽△ABC吗？
学生尝试证明△A′B′C′∽△ABC，教师巡视指导，然后多媒体
展示验证.（出示课件6）
如图，已知△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A',∠B=∠B'，
求证:△ABC∽△A'B'C'.
证明：在△ABC的边AB（或延长线）上，截取AD=A'B'，
过点D作DE//BC，交AC于点E，则有△ADE∽△ABC.
∵∠ADE=∠B,∠B=∠B',
∴∠ADE=∠B'.
又∵∠A=∠A'，AD=A'B',
∴△ADE≌△A'B'C'.
∴△A'B'C'∽△ABC.教师归纳：由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理：
两角分别相等的两个三角形相似.（出示课件7）
符号语言：在△ABC与△A'B'C'中，
∵ ∠A=∠A'，∠B=∠B'，
∴ △ABC∽△A'B'C'.
考点1 利用两角相等判断三角形相似
例 如图所示，在△ABC和△A′B′C′中，∠B＝∠B′＝90°，
∠A＝∠A′，判断这两个三角形是否相似．（出示课件8）
学生独立思考后，师生共同解决：
解：∵∠B＝∠B′＝90°，∠A＝∠A′，∴△ABC∽△A′B′C′.
出示课件9，学生独立思考后口答，教师订正.
考点2 利用三角形相似求等积式
例 弦AB和CD相交于⊙O内一点P,求证:PA·PB=PC·PD.（出示
课件10）
师生共同解决：
证明:连接AC、BD.
∵∠A、∠D都是弧CB所对的圆周角,
∴∠A=∠D.
同理:∠C=∠B.
∴△PAC∽△PDB.
∴ .
即PA·PB=PC·PD.
出示课件11，学生独立思考后口答，教师订正.知识点2 两直角三角形相似的判定
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8.E是AC上一点，
AE=5，ED⊥AB，垂足为D.求AD的长.（出示课件12）
学生独立思考后，师生共同解答：
解：∵ED⊥AB，∴∠EDA=90°.
又∠C=90°，∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC.
∴
∴
归纳总结：由此得到一个判定直角三角形相似的方法：
有一个锐角相等的两个直角三角形相似.（出示课件13）
教师问：对于两个直角三角形，我们还可以用“HL”判定它们全
等.那么，满足斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似吗？（出示课件14）
已知：如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′中，∠C=90°，
AB AC
∠C′=90°， = .
A'B' A'C'
求证：Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.（出示课件15）
师生共同分析：要证明Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，可设法证
BC AB AC AB AC BC
= = .若设 = =k，则只需证 =k.
B'C' A'B' A'C' A'B' A'C' B'C'
教师展示证明过程：（出示课件16）
AB AC
证明：设 = =k，则AB=kA′B′，AC=kA′C′
A'B' A'C'
由勾股定理，得
BC=√AB2-AC²， B′C′=√A'B'2-A'C'²
BC √AB2-AC² √k²∙A'B'2-k²∙A'C'² k∙B'C'
∴ = = = =k.
B'C' B'C' B'C' B'C'
BC AB AC
∴ = = .
B'C' A'B' A'C'
∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.
归纳总结：（出示课件17）判定两直角三角形相似的定理：如果一个直角三角形的斜边和一
条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那
么这两个直角三角形相似.
简称“斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似.”（HL）
即在Rt△ABC和Rt△A B C 中，
1 1 1
如果
那么△ABC∽△A B C .
1 1 1
考点 直角三角形相似的判定
例 如图，已知：∠ACB=∠ADC=90°，AD=2， ，当AB的
长为 时，△ACB与△ADC相似．（出示课件18）
师生共同分析：（出示课件19～20）
∵∠ADC=90°，AD=2，
，
∴要使这两个直角三角形相似，有两种情况：
（1）当Rt△ABC∽Rt△ACD时，有AC:AD＝AB:AC，即
6:2 AB: 6
，解得AB=3；
2）当Rt△ACB∽Rt△CDA时，有AC:CD＝AB:AC，即
6: 2 AB: 6 AB 3 2
，解得 ．
∴当AB的长为3或 时，这两个直角三角形相似．
出示课件21，学生独立思考后口述解题过程，教师订正.
（三）课堂练习（出示课件22-30）
师生一起练习课件22-30相关题目，约用时15分钟。
（四）课堂小结（出示课件31）
本节课你有哪些收获？你还有什么困惑吗？（引导学生思考答
复）
师生一起提炼本节课的重要知识和必须掌握的技能：
1.两角分别相等的两个三角形相似.
2.有一个锐角相等的两个直角三角形相似.
3.如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形
的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.（五）课前预习
预习下节课（27.2.2）的相关内容.知道相似三角形的性质.
七、课后作业
1.教材第36页练习第1,2，3题.
2.《练习试卷册》第53～54页第3,9,12题
八、板书设计
27.2.1相似三角形的判定（第4课时）
1.两角相等的两个三角形相似 3.例题
2.直角三角形相似的判定
九、教学反思
本节课注重学生的探究活动，把科学探究的学习和科学内容的学
习放到同等地位.要有效地组织学生进行科学探究，以达到教学目的.
而这个教学环节对能否真正达到新课程的核心素养目标是极为重要
的.所以在引导和提问时，要注意问题的目的性和语言的技巧性；对
于学生的看法和观点，要多使用鼓励性的语言，增强学生的自信心.
27.2 相似三角形
27.2.2相似三角形的性质一、核心素养目标
【数学思维】
1.相似三角形的一切对应线段的比都等于相似比；
2.理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等
于相似比的平方；
3.能用三角形的性质解决简单的问题．
【数学眼光】
通过操作、观察、猜想、类比等活动，进一步提高学生的思维能
力和推理论证能力.
【数学语言】
通过对性质的发现和论证，可以提高学生学习数学的热情，增强
学生的探究意识，引发学生学习数学的兴趣.
二、课型
新授课
三、课时
1课时
四、教学重难点【教学重点】
相似三角形性质定理的理解与运用.
【教学难点】
探究相似三角形面积的性质，并运用相似三角形的性质定理解决
问题.
五、课前准备
教师：课件、直尺、三角板.
学生：直尺、三角板.
六、教学过程
（一）导入新课（出示课件2、3）
教师问：相似三角形的判定方法有哪几种？
学生答：1.对应边成比例，对应角相等的两个三角形相似.
2.平行于三角形一边，与另外两边相交所构成的三角形与原三角
形相似.
3.三边对应成比例的两三角形相似.
4.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
5.两角分别相等的两个三角形相似.6.两边对应成比例的两直角三角形相似.
教师问：三角形除了三个角,三条边外,还有哪些几何量?
学生答：角平分线、高线、中线、周长、面积.
教师问：如果两个三角形相似，那么它们的这些几何量有一些怎
样的性质呢?
（二）探索新知
知识点1 相似三角形对应线段的比
教师问：△ABC∽△A′B′C′，相似比为 ，它们对应高线、对
应中线、对应角平分线的比各是多少？（出示课件5～8）
师生共同探究：
对应高的比 ;对应中线的比 ;
对应角平分线的比 .
教师问：△ABC∽△A′B′C′，若相似比为 k，它们对应高、对
应中线、对应角平分线的比又各是多少？（出示课件9）
师生共同探究：
探究：相似三角形对应高的比等于相似比.（出示课件10）如图，△A′B′C′∽△ABC，相似比为k，分别作BC，B′C′上
的高AD，A′D′．
求证：
证明：∵△A′B′C′∽△ABC，
∴∠B′=∠B．
又∵∠A'D′B'=∠ADB=90°,
∴△A′B′D′∽△ABD.
从而
探究：相似三角形对应中线的比等于相似比.（出示课件11）
已知：△ABC∽△DEF.AM、DN分别为中线.求证：
证明：∵△ABC∽△DEF,
∴∠B=∠E,
又∵AM、DN分别是△ABC和△DEF的中线,
∴BC=2BM,EF=2EN,
∴
∴△ABM∽△DEN.
∴
探究：相似三角形对应角平分线的比等于相似比.（出示课件12）
已知：△ABC∽△DEF，AM、DN分别为角平分线.
求证：
证明：∵△ABC∽△DEF，
∴∠B=∠E,∠BAC=∠EDF.
又∵AM、DN分别是∠BAC和∠EDF的角平分线，
∴∠BAM= ∠BAC，∠EDN= ∠EDF，
∴∠BAM=∠EDN.
∴△AMB∽△DNE.
∴归纳总结：相似三角形对应高的比等于相似比.（出示课件13）
相似三角形对应中线、角平分线的比也等于相似比.
一般地，我们有：相似三角形对应线段的比等于相似比.
考点 利用相似三角形对应线段的比求线段的长度（出示课件
14）
例 已知:△ABC∽△DEF，BG、EH 分别是△ABC 和△DEF 的角平分
线，BC=6cm，EF=4cm，BG=4.8cm.求EH的长.
学生独立思考后一生板演，教师指导学生注意书写步骤.
解：∵△ABC∽△DEF，
∴
∴解得EH=3.2.
故EH的长为3.2cm.
出示课件15，学生独立思考后口答，教师订正.
知识点2 相似三角形周长的比
教师问：相似三角形的周长比也等于相似比吗？为什么？（出示
课件16）
学生小组讨论后，师生共同探究：相似三角形周长的比等于相似
比.（出示课件17～18）
已知：△ABC∽△A′B′C′.
求证：
证明1：∵△ABC∽△A′B′C′,
∴∴
证明2：∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，
∴
∴AB=kA′B′，BC=kB′C′，AC=kA′C′，
.
出示课件19，学生独立思考后口答，教师订正.
知识点3 相似三角形面积的比
教师问：△ABC∽△A′B′C′，相似比为 k，它们的面积比是多
少？（出示课件20）
学生讨论后，师生共同探究如下：（出示课件21）
由前面的结论，我们有
1
BC·AD 2
S △ABC = 2 =BC ·AD =k· k= k
S 1 B'C' A'D'
△A'B'C' B'C'·A'D'
2教师归纳：（出示课件22）
相似三角形性质定理:相似三角形面积的比等于相似比的平方.
几何表述:∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，
S
ABC k2
S
ABC
∴ .
出示课件23，学生独立思考后填表，教师订正.
考点1 利用相似三角形面积的比求面积或线段
例 如图，在△ABC 和△DEF 中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D.若
△ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ，求△DEF 的边 EF 上的高和
面积.（出示课件24～25）学生独立思考后，师生共同解答：
解：在△ABC和△DEF中，
∵AB=2DE，AC=2DF，
∴
又∵∠D=∠A，
∴△DEF∽△ABC，相似比为1:2.
∵△ABC的边BC上的高为6，面积为 ，
1
63
2
∴△DEF的边EF上的高为 ，
面积为
出示课件26，学生独立思考后口答，教师订正.
考点2 利用相似三角形面积的比求多边形的面积(比）
例 如图，D，E 分别是 AC，AB 上的点，已知△ABC 的面积为100cm2，且 ，求四边形BCDE的面积.（出示课件27）
学生小组讨论后，一生板演，教师指正.
解：∵∠BAC=∠DAE，且 ，
∴△ADE∽△ABC.
∵它们的相似比为3:5，
∴面积比为9:25.
又∵△ABC的面积为100cm2，
∴△ADE的面积为36cm2.
∴四边形BCDE的面积为100－36=64(cm2).
出示课件 28～29，学生自主解决，一生板演，教师巡视指导，
然后多媒体展示验证.（三）课堂练习（出示课件30-37）
引导学生练习课件30-37题目，约用时20分钟。
（四）课堂小结（出示课件38）
本节课你有哪些收获？你还有什么困惑吗？（引导学生思考答
复）
师生一起提炼本节课的重要知识和必须掌握的技能：
1.相似三角形对应中线、角平分线、对应高的比等于相似比.
一般地，我们有：相似三角形对应线段的比等于相似比.
2.相似三角形的周长比等于相似比.
3.相似三角形面积的比等于相似比的平方.
（五）课前预习
预习下节课（27.2.3）的相关内容.
能利用相似三角形解决一些简单问题.
七、课后作业
1.教材第39页练习第1,3题.
2.《练习试卷册》第61～62页第1,4,5,8,10,12题
八、板书设计27.2.2相似三角形的性质
1.相似三角形的对应线段的比也等于相似比 4.例题
2.相似三角形的周长的比等于相似比
3.相似三角形的面积的比等于相似比的平方
九、教学反思
本节课让学生在学习探究中，体会、理解、掌握相似三角形的对
应中线、对应高、对应角平分线及周长比等于相似比，面积比等于
相似比的平方.并通过类比的方法得出上述结论.此外，教师的肯定、
表扬与鼓励，会使学生始终保持高昂的学习热情，感受在探究性学
习、创造性劳动中获得成功的乐趣这样的时常诱导学生积极探索、
思考，既能达到掌握知识，又能提高能力，才能使学生学会学习.
27.2 相似三角形
27.2.3相似三角形应用举例
一、核心素养目标
【数学思维】1.应用相似三角形的有关知识去解决简单的实际问题；
2.应用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度.
【数学眼光】
经历应用相似三角形的有关知识去解决简单的实际问题的全过程，
培养学生的应用意识和把实际问题转化为数学问题并用数学方法去
分析、解决实际问题的能力.
【数学语言】
1.通过著名的科学家如何测量神秘的金字塔的高度来激发学生学
数学的兴趣，使全体学生积极参与探索，体验成功的喜悦；
2.力求培养学生科学，正确的数学观，体现探索精神.
二、课型
新授课
三、课时
1课时
四、教学重难点
【教学重点】
运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度.【教学难点】
通过审题、思考后，如何在实际问题中抽象出相似三角形的模型.
五、课前准备
教师：课件、直尺、三角板.
学生：直尺、三角板.
六、教学过程
（一）导入新课（出示课件2）
教师问：在前面，我们学过哪些判定三角形相似的方法？相似三
角形的性质是什么？
学生答：1.相似三角形的判定：
(1) 通过平行线；(2) 三边成比例；(3) 两边成比例且夹角相等；
(4) 两角分别相等.
2.相似三角形的性质：
(1)对应边成比例，对应角相等；
(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比
都等于相似比；
(3)相似三角形周长的比等于相似比；(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方.
教师问：观察下列图片，你会利用相似三角形知识解决一些不能
直接测量的物体（如塔高、河宽等）的长度或高度的问题吗？
出示课件3～7，学生思考解决方法.
教师提示：利用相似三角形可以解决一些不能直接测量的物体的
高度及两物之间的距离问题.（出示课件7）
（二）探索新知
知识点1 利用相似三角形测物体
古希腊数学家、天文学家泰勒斯利用相似三角形的原理，测量金
字塔的高度.（出示课件9）
考点1 利用相似三角形测物体的高（出示课件10）
例 据史料记者，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三
角形的原理，在金字塔影子顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两
个相似三角形，来测量金字塔的高度．如图，如果木杆 EF长2m，它的影长 FD为3m，测得OA为201m，
求金字塔的高度BO．
师生共同分析：由于太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近
似的看成平行光线.
解：太阳光是平行光线，因此∠BAO=∠EDF，
又∠AOB=∠DFE=90°，
∴△ABO∽△DEF，
BO OA
=
∴EF FD，
OA⋅EF 201×2
BO= = =134
∴ FD 3 （m）.
因此金字塔的高度为134m.
教师问：利用太阳光测量物体的高度一般需要注意哪些问题？
（出示课件11）
学生分组讨论后教师总结：在同一时刻，太阳光下不同物体的高度之比与其影长之比相等．利用太阳光测量物体的高度需要注意：
（1）由于太阳相对于地面的位置在不停地改变，影长也随着太
阳位置的变化而发生变化，因此要在同一时刻测量影长．
（2）被测物体的底部必须在可以到达的地方，否则，测不到被
测物体的影长，从而计算不出物体的高．
（3）表达式：物1高：物2高=影1长：影2长.
出示课件12，学生独立思考后一生板演，教师订正.
教师问:还有其他测量方法吗？（出示课件13）
OA·EF
OB=
AF
师生共同分析：由△ABO∽△AEF得出 故
教师强调：测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用镜
子的反射测量高度”的原理解决.（出示课件14）出示课件15，学生独立思考后口答，教师订正.
考点2 利用相似三角形测物体的宽（出示课件16）
例 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标
点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接
着在过点 S且与 PS垂直的直线 a上选择适当的点 T，确定 PT与过点
Q 且垂直 PS 的直线 b 的交点 R．如果测得 QS＝45m，ST＝90m，QR＝
60m，求河的宽度PQ．
学生独立思考后师生共同解决：
解：∵∠PQR=∠PST=90°，∠P=∠P，
∴△PQR∽△PST，
PQ QR
=
∴PS ST，PQ QR PQ 60
= =
即PQ+QS ST，PQ+45 90 ，PQ×90=(PQ+45)×60，
解得PQ=90(m).
因此，河宽大约为90m.
教师问：测量前面例题中的河宽，你还有哪些方法？（出示课件
17）
学生分组讨论后教师强调：利用相似测量不能直接到达的两点间
的距离，关键是构造相似三角形，构造的相似三角形可以为“A”字
型，也可以为“X”字型，并测量出必要的数据，然后根据相似三角
形的性质求出所要求的两点间的距离．该例题还可参照课本 P41 页
练习2设计测量方案．
出示课件18，学生独立思考后一生板演，教师订正.
教师强调：测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相
似三角形求解.（出示课件19）考点3 利用相似三角形测量有遮挡的物体
例 已知左、右并排的两棵大树的高分别是 AB＝8m 和 CD＝12m，
两树底部的距离 BD＝5m．一个人估计自己眼睛距地面 1.6m.她沿着
正对这两棵树的一条水平直路 l 从左向右前进，当她与左边较低的
树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点 C 了？
（出示课件20～21）
师生共同分析：如图（1），设观察者眼睛的位置为点 F，画出
观察者的水平视线 FG，分别交 AB、CD于点 H、K．视线 FA、FG的夹
角∠AFH 是观察点 A 时的仰角.类似地，∠CFK 是观察点 C 时的仰角．由于树的遮挡，区域Ⅰ和Ⅱ都在观察者看不到的区域（盲区）之内．
解：如图（2），假设观察者从左向右走到点 E 时，她的眼睛的
位置点E与两棵树顶端点A、C恰在一条直线上．
∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD，
∴△AEH∽△CEK，
EH AH
=
∴EK CK，
EH 8−1.6 6.4
= =
即EH+5 12−1.6 10.4 ，解得EH=8(m).
由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树的距离小于
8m时，由于这棵树的遮挡，她看不到右边树的顶端C.
教师问：利用相似来解决测量物体高度的问题的一般思路是怎样
的?（出示课件22）
师生共同总结：一般情况下，可以从人眼所在的部位向物体作垂
线，根据人、物体都与地面垂直构造相似三角形数学模型，利用相
似三角形对应边的比相等解决问题．
出示课件23，学生独立思考后口答，教师订正.
（三）课堂练习（出示课件24-33）教师引导学生练习24-33相应题目，巩固本课所学知识，约用时
20分钟。
（四）课堂小结（出示课件34）
本节课你有哪些收获？你还有什么困惑吗？（引导学生思考答
复）
师生一起提炼本节课的重要知识和必须掌握的技能：
1.在同一时刻，太阳光下不同物体的高度之比与其影长之比相等．
利用太阳光测量物体的高度需要注意：
（1）由于太阳相对于地面的位置在不停地改变，影长也随着太
阳位置的变化而发生变化，因此要在同一时刻测量影长．
（2）被测物体的底部必须在可以到达的地方，否则，测不到被
测物体的影长，从而计算不出物体的高．
（3）表达式：物 高：物 高=影 长：影 长.
1 2 1 2
2.测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用镜子的反射
测量高度”的原理解决.
3.利用相似测量不能直接到达的两点间的距离，关键是构造相似三角形，构造的相似三角形可以为“A”字型，也可以为“X”字型，
并测量出必要的数据，然后根据相似三角形的性质求出所要求的两
点间的距离．
4.利用相似来解决测量物体高度的问题的一般思路：一般情况下，
可以从人眼所在的部位向物体作垂线，根据人、物体都与地面垂直
构造相似三角形数学模型，利用相似三角形对应边的比相等解决问
题．
（五）课前预习
预习下节课（27.3第1课时）的相关内容.
知道位似图形的定义、性质及画法.
七、课后作业
1.教材第41页练习第1题.
2.《练习试卷册》第67～68页第1,2,3,5,7题
八、板书设计
27.2.3相似三角形应用举例
1.利用阳光下的影长解决实际问题
2.利用镜子的反射解决实际问题3.利用标杆解决实际问题
九、教学反思
通过本节知识的学习，可以使学生综合运用三角形相似的判定和
性质解决问题，发展学生的应用意识，加深学生对相似三角形的理
解和认识．基本达到了预期的核心素养目标，大部分学生都学会了
建立数学模型，利用相似的判定和性质来解决实际问题.
27.3位似（第1课时）
一、核心素养目标
【数学思维】
1.了解位似图形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，
掌握位似图形的性质；
2.掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形
放大或缩小.
【数学眼光】
1.先通讨观察具有位似位置的图形，了解位似图形的定义和掌握
位似图形的性质；2.画位以图形发展学生的应用意识和动手操作能力.
【数学语言】
1.养成独立观察思考的习惯，感受平面几何图形的美；
2.通过学习培养学生的合作意识，激发学生学习数学的兴趣.
二、课型
新授课
三、课时
第1课时 共2课时
四、教学重难点
【教学重点】
了解并掌握位似图形的定义和性质.
【教学难点】
掌握位似变化的方法，运用定义和性质进行简单的位似图形的证
明和计算.
五、课前准备
教师：课件、直尺、三角板、圆规.
学生：直尺、三角板、圆规.六、教学过程
（一）导入新课
出示课件2,3,4，教师问：这种相似有什么特征？
出示课件5：学生观察图片后思考以下问题：
⑴在幻灯机放映图片的过程中，这些图片有什么关系？
⑵幻灯机在哪儿呢？
⑶我们能给这种有特殊位置的相似图形一个名称吗？
（二）探索新知
知识点1 位似的定义
下列图形中有相似多边形吗？如果有，那么这种相似有什么特征？
（出示课件7）教师问;什么样的图形叫做位似图形？什么叫做位似中心？ 如何
判断两个图形是否位似图形？（出示课件8）
学生讨论后教师总结：两个相似多边形，如果它们对应顶点的连
线相交于一点，我们就把这样的两个图形叫做位似图形，这个交点
叫做位似中心．
判断两个图形是不是位似图形，需要从两方面去考察：（1）这
两个图形是否相似；（2）是否有特殊的位置关系，即每组对应顶点
的连线是否都经过同一点．
出示课件9，教师重点加以强调：⑴位似是一种具有位置关系的
相似.
⑵位似图形是相似图形的特殊情形.
⑶位似图形必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形.⑷两个位似图形的位似中心只有一个.
⑸两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心
的一侧.
出示课件10～11，学生自主解决，教师订正.
知识点2 位似图形的性质
教师问：从左图中我们可以看到，△OAB∽△OA′B′，则
，AB∥A′B′.右图呢？你得到了什么？（出示课件
12）
学生答：△OAB∽△OA′B′， ，AB∥A′B′.
教师问：位似图形和相似图形有什么联系和区别？位似图形有何
性质？（出示课件13）
学生分组讨论后，教师总结：位似图形的所有对应点的连线交于一点．位似图形是一种特殊的
相似图形，它具有相似图形的所有性质，即对应角相等，对应边的
比相等．位似图形的相似比也叫做位似比，位似图形上任意一对对
应点到位似中心的距离之比等于位似比．
出示课件14，学生独立思考后口答，教师订正.
知识点3 位似图形的画法
利用位似可以把一个图形放大或缩小.例如，要把四边形ABCD缩
小到原来的 （出示课件15）
1.在四边形外任选一点O（如图），
2.分别在线段OA、OB、OC、OD上取点A'、B'、C'、D'，使得
OA' OB' OC' OD' 1
OA OB OC OD 2
，
3.顺次连接点A'、B'、C'、D'，所得四边形A'B'C'D'就是所要
求的图形．教师问：对于上面的问题，还有其他方法吗？如果在四边形外任
选一个点 O，分别在OA、OB、OC、OD 的反向延长线上取A′、
OA' OB' OC' OD' 1
OA OB OC OD 2
B′、C′、D′，使得 呢？如果点O取在四边
形ABCD内部呢？分别画出这时得到的图形．（出示课件16）
学生分组独立完成作图，教师巡视后用多媒体展示：（出示课件
17）
师生共同总结：画位似图形的一般步骤：（出示课件18）
①确定位似中心；
②分别连接位似中心和能代表原图的关键点并延长；
③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；
④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形.
教师强调：画位似图形时，需要注意的事项：（出示课件19）（1）要弄清位似比，即分清是已知图形与新图形的相似比，还
是新图形与原图形的相似比．
（2）若问题没有指定位似中心的位置，则画图时位似中心的取
法有多种，对画图而言，以多边形的一个顶点为位似中心画图最简
捷．
出示课件20，学生自主完成，教师订正.
（三）课堂练习（出示课件21-28）
引导学生练习课件21-28相关题目，约用时20分钟。
（四）课堂小结（出示课件29）
本节课你有哪些收获？你还有什么困惑吗？（引导学生思考答
复）
师生一起提炼本节课的重要知识和必须掌握的技能：
（1）如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，
那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．这时两
个相似图形的相似比又叫做它们的位似比.
（2）位似图形的性质：①位似图形一定是相似图形,而相似图形不一定是位似图形．
②位似图形的对应点的连线相交于一点．
③位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上．
④位似图形上任意一对对应点,到位似中心的距离之比等于相似
比．
⑶位似图形的画法：
①选点:确定位似中心(可以在图形外部、内部或边上)．
②作射线:以位似中心为端点向各关键点作射线．
③定对应点:根据已知的相似比分别在射线上取各关键点的对应
点,满足放缩比例．
④连线:顺次连接各关键点的对应点,即可得到要求的新图形.
（五）课前预习
预习下节课（27.3第2课时）的相关内容.
知道位似图形上的点的坐标变化的规律，能在坐标系中画一个图
形以原点为位似中心的位似图形.
七、课后作业
1、教材第48页练习第2题.2、练习试卷册第75～76页第1，3，6,7,8题.
八、板书设计
27.3位似（第1课时）
1.位似图形的概念
2.位似图形的性质
3.位似图形的画法
九、教学反思
在教学过程中，为了便于学生理解位似图形的特征，应注意让学
生通过动手操作、猜想、试验等方式获得感性认识，然后通过归纳
总结上升到理性认识，将形象与抽象有机结合，形成对位似图形的
认识．教师应把学习的主动权充分放给学生，在每一环节及时归纳
总结，使学生学有所收获.
27.3 位似
第2课时
一、核心素养目标
【数学思维】
1．巩固位似图形及其有关概念．2．会用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换，掌握把一个
图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律．
【数学眼光】
通过学生动手操作，探究坐标的变化，类比平移，轴对称，旋转
（中心对称）等变换，提高学生的动手能力和归纳问题的能力.
【数学语言】
1.让学生经历探究过程，体会数与形的联系，激发学生探究用坐
标的变化规律来表示位似的兴趣.
2.渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯。
二、课型
新授课
三、课时
第1课时 共2课时
四、教学重难点
【教学重点】
用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换.
【教学难点】把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律．
五、课前准备
教师：课件、三角尺、直尺等.
学生：三角尺、直尺、铅笔.
六、教学过程
（一）导入新课（出示课件2）
我们知道，在直角坐标系中，可以利用变化前后两个多边形对应
顶点的坐标之间的关系表示某些平移、轴对称和旋转(中心对称).那
么，位似是否也可以用两个图形坐标之间的关系来表示呢？
（二）探索新知
知识点1 平面直角坐标系中的位似变换
在平面直角坐标系中，有两点A(6，3)，B(6，0)．以原点O为位
似中心，相似比为 ，把线段AB缩小，观察对应点之间坐标的变化.
（出示课件4）学生自主作图后作答：把AB缩小后A，B的对应点为：（出示课
件5）
A′(2，1)，B'(2，0)；A"(-2，-1)，B"(-2，0).
如图，△ABC三个顶点坐标分别为A（2，3），B（2，1），C
（6，2），以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？（出示课件6）
学生自主作图后作答：位似变换后A，B，C的对应点为：
A'（4，6），B'（4，2），C'（12，4）；A"（-4，-6），
B"（-4，-2），C"（-12，-4）．
教师问：1.在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作几个？（出示课件7）
2.所作位似图形与原图形在原点的同侧，那么对应顶点的坐标的
比与其相似比是何关系？如果所作位似图形与原图形在原点的异侧
呢？
学生分组讨论后，师生共同总结：（出示课件8）
1.在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图
形可以作两个．
2.在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相
似比为k，那么位似图形对应点坐标的比等于k或－k．
3.在平面直角坐标系中,以原点O为位似中心,位似比为k,若原图
形上点A的坐标为（x，y），那么位似图形对应点A'的坐标为
（kx，ky）或（-kx，-ky）.
教师强调：当k＞1时，图形扩大为原来的k倍；当0＜k＜1时，
图形缩小为原来的 ．
出示课件9，学生独立思考后口答，教师订正.
考点 利用平面直角坐标系中的位似变换作图例 如图，在平面直角坐标系中，△ABO三个顶点的坐标分别为
A(－2，4)，B(－2，0)，O(0，0).以原点O为位似中心，画出一个
三角形使它与△ABO的相似比为3:2.（出示课件10）
教师提示：画三角形关键是确定它各顶点的坐标.根据前面的归
纳可知，点A的对应点A′的坐标为 ，即(－3，6)，类
似地，可以确定其他顶点的坐标.（出示课件11）
师生一起解答：
解：利用位似中对应点的坐标的变化规律，分别取点A′(－3，
6)，B′(－3，0)，O(0，0).
顺次连接点A′，B′，O，所得的△A′B′O就是要画的一个图
形.教师问：还有其他画法吗？自己试一试.
学生尝试其他作法，教师加以指导.
出示课件12，学生独立解答，教师订正.
知识点2 平面直角坐标系中的图形变换
出示课件13，将图中的△ABC做下列运动，画出相应的图形，指
出三个顶点的坐标所发生的变化．
（1）沿y轴正向平移3个单位长度；
（2）关于x轴对称；
（3）以C为位似中心，将△ABC放大2倍；
（4）以C为中心，将△ABC顺时针旋转180°．学生按要求作图后，教师用多媒体加以展示.
教师问：截止现在，你总共学了哪些图形变换？它们有何异同点？
学生分组讨论后，师生共同总结：（出示课件14）
名称 规律 变换方式
对应点的横坐标或纵坐标加上（或减去）平移的单位
平移
长度.
以x轴为对称轴，则对应点的横坐标相等，纵坐标互
为相反数；
轴对
全等变换
称
以y轴为对称轴，则对应点的纵坐标相等，横坐标互
为相反数.
若一个图形绕原点旋转 180°，则旋转前后两个图形
旋转
对应点的横坐标与纵坐标都互为相反数.
当以原点为位似中心时，变换前后两个图形对应点的
位似 相似变换
同名坐标之比的绝对值等于相似比.
出示课件15、16，学生独立解答，教师订正.
（三）课堂练习（出示课件17-26）练习课件17-26相应题目，巩固本课知识点，约用时15分钟。
（四）课堂小结（出示课件27）
本节课你有哪些收获？你还有什么困惑吗？（引导学生思考答
复）
师生一起提炼本节课的重要知识和必须掌握的技能：
1.在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图
形可以作两个．
2.在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相
似比为k，那么位似图形对应点坐标的比等于k或－k．
3.在平面直角坐标系中,以原点O为位似中心,位似比为k,若原图
形上点A的坐标为（x，y），那么位似图形对应点A'的坐标为
（kx，ky）或（-kx，-ky）.
（五）课前预习
预习下节课（28.1第1课时）的相关内容.
知道正弦的意义，能用正弦的定义解决简单的问题.
八、课后作业1、教材第50页练习第2题.
2、练习试卷册第75～76页第2,4,5,9，11题.
九、板书设计
27.3位似（第2课时）
1.平面直角坐标系中的位似变换
2.平面直角坐标系中的图形变换
3.例题：
九、教学反思
这节课主要是让学生感受在平面直角坐标系中的位似图形根据坐
标的变化而变化，教学过程中要提高学生学习积极性，使心情愉悦、
思维活跃，这样才能真正激发学生学习数学的兴趣，提高课堂学习
效率.
28.1 锐角三角函数
第1课时
一、核心素养目标
【数学思维】1.理解锐角正弦的概念，掌握正弦的表示方法；
2.会根据直角三角形的边长求一个锐角的正弦值，并且能利用正
弦求直角三角形的边长。
【数学眼光】
1.经历探索直角三角形中的边与角的关系，培养学生由特殊到一
般的演绎推理能力。
2.通过学生自我发现培养学生的自我反思能力，通过提出困惑提
升学生发现问题的能力。
【数学语言】
1.在主动参与探索概念的过程中，开展学生的合情推理能力和合
作交流、探究发现的意识。
2.培养学生独立思考的习惯以及使学生获得成功的体验，建立自
信心。
二、课型
新授课
三、课时
第1课时 共4课时四、教学重难点
【教学重点】
理解正弦函数意义，并会求直角三角形中一个锐角的正弦值。
【教学难点】
理解当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定
这一事实.
五、课前准备
教师：课件、三角尺、直尺等.
学生：三角尺、铅笔.
六、教学过程
(一) 导入新课（出示课件2）
美国人体工程研究学人员调查发现，当高跟鞋的鞋底与地面的夹
角为11°左右时，人脚的感觉最舒适，假设某成年人前脚掌到脚后
跟长为15厘米，请问鞋跟在几厘米高度为最佳？(二) 探索新知
为了绿化荒山,某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水
管,在山坡上修建一座扬水站,对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡与
水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35ｍ,那么需要
准备多长的水管？（出示课件4）
教师问：如右图所示，本题可看作是在三角形ABC中探求某些问
题，你可以把已知条件用数学语言描述出来吗？（学生思考后，找
同学回答）
学生答：这个问题可以归结为，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A
＝30°，BC＝35m，求AB.
教师问：可以用学过的什么数学知识来解决这个问题？
学生答：根据“直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一
半”来解决.师生一起解答：根据“直角三角形中，30°角所对的直角边是斜
∠A的对边 BC 1
边的一半”，即 = = ,可得AB＝2BC＝70m，也就是说，需
斜边 AB 2
要准备70m长的水管．
教师问:类比上面的问题，如果使出水口的高度为50 m，如图所
示，那么需要准备多长的水管？（出示课件5）
∠A的对边 B'C' 1
，
学生讨论后作答： = =
斜边 AB' 2
AB′＝2B′C′＝2×50＝100m
所以需要准备100m长的水管.
教师问:对于有一个锐角为30°的任意直角三角形，30°角的对
边与斜边有怎样的数量关系？可以用一个怎样的式子表示呢？
∠A的对边 1
。
学生回答:30°角的对边是斜边的2倍， =
斜边 2
归纳总结：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那
1
.
么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于
2
教师问：在直角三角形中，如果锐角的大小发生了改变，其对边与斜边的比值还是 吗？
例如：如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，
BC
，
计算∠A的对边与斜边的比 你能得出什么结论？（出示课件
AB
6）
学生独立解决问题，利用勾股定理，得出 AB=√2BC，体会数学结
合思想.教师加以指导。
师生共同总结：在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，不
√2.
管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于
2
教师归纳总结：（出示课件7）
在Rt△ABC中，∠C＝90°，当∠A＝30°时，∠A的对边与斜边
1
的比都等于 ，它是一个固定值；当∠A＝45°时，∠A的对边与斜
2
√2
边的比都等于 ，它也是一个固定值.
2
教师问：类比前面的结论进行猜想，一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？（出示
课件8）
思考下面问题：任意画Rt△ABC和Rt△A′B′C ′，使得∠C＝
∠C ＝90°，∠A＝∠A′＝α，那么 与 有什么关系？你能
′
解释一下吗？（出示课件9）
师生共同探究,合作交流寻找规律:由已知条件得出 Rt△ABC
AB BC BC B'C'
∽Rt△A′B′C′，可以得到 = , 推出 = .（出示课件
A'B' B'C' AB A'B'
10）
教师讲解：在Rt△ABC中，当锐角A的度数一定时，无论这个直
角三角形大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值.
这个固定值随锐角A的度数的变化而变化，由此我们给这个“固
定值”以专门的名称.（出示课件11）
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边
的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即
sinA=
∠A的对边
=
a
,
斜边 c教师问：当∠A＝30°时，∠A的正弦为多少？当∠A＝45°时呢？
1
；
师生一起总结：当∠A＝30°时，sinA=sin30°=
2
√2.
当∠A＝45°时sinA= sin45°=
2
教师强调：（出示课件12）
1.sinA是一个完整的符号，它表示∠A的正弦，记号里习惯省去
角 的 符 号 “ ∠ ” . 正 弦 的 三 种 表 示 方 式 ： sinA 、 sin56° 、
sin∠DEF；
2.sinA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边
与斜边的比；
3.sinA不表示“sin”乘“A”.
考点1：利用正弦的定义求有关角的正弦值.
例 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．
（出示课件13）师生共同讨论解答如下：
解：（1）在Rt△ABC中，
AB=√AC2+BC2= √42+32=
5,
BC 3 AC 4
因此sinA= = , sinB= = 。
AB 5 AB 5
BC 5
（2）在Rt△ABC中,sinA= =
AB 13
AC=√AB2-BC2= √132-52=
12,
AC 12
因此sinB= = 。
AB 13
出示课件14-15，学生独立思考后口答，教师订正.
考点2：在平面直角坐标系内求锐角的正弦值.
例 如图，在平面直角坐标系内有一点P(3，4)，连接OP，求OP
与x轴正方向所夹锐角α的正弦值.（出示课件16）学生独立思考后，师生共同解答.
解：如图，过P点向x轴作垂线交于点A，坐标为A(3，0).
在Rt△APO中，由勾股定理得
OP=√OA2+AP2=√32+42=5,
AP 4。
因此sin = =
OP 5
𝛼
总结点拨：（出示课件17）
结合平面直角坐标系求某角的正弦函数值，一般过已知点向x轴
或y轴作垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解.
出示课件18，学生自主练习后口答，教师订正.
考点3：利用正弦求直角三角形的边长.1
，
例 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= BC=3，求sinB
3
及Rt△ABC的面积.（出示课件19）
师生共同分析：已知sinA及∠A的对边BC的长度，可以求出斜
边AB的长.然后再利用勾股定理，求出AC的长度，进而求出sinB
及Rt△ABC的面积.
一生板演，教师巡视并加以指导.（出示课件20）
师生共同归纳：（出示课件21）
1.在 Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=k，sinB=h，AB=c，
则BC=ck，AC=ch.
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=k，sinB=h，BC=a，
a ah
， .
则AB= AC=
k k
出示课件22，学生自主练习，教师给出答案。考点4：利用方程和正弦求直角三角形中线段的长度
7
，
例 在△ABC中，∠C=90°，AC=24cm，sinA= 求这个三角形
25
的周长．（出示课件23）
师生共同讨论解答如下：
解：设BC=7x，则AB=25x，在Rt△ABC中，由勾股定理得
AC=√AB2-BC2=√(25x)2-(7x)2=24x
即24x=24cm，解得x=1cm.
故BC=7x=7cm，AB=25x=25cm.
所以△ABC的周长为AB+BC+AC=7+24+25=56(cm).
出示课件24，学生自主练习，教师给出答案.
(三) 课堂练习（出示课件25-32）
教师引导学生练习课件 25-32 相应题目，巩固本课知识点，约
用时20分钟。
(四) 课堂小结（出示课件33）
本节课你有哪些收获？你还有什么困惑吗？（引导学生思考答
复）
师生一起提炼本节课的重要知识和必须掌握的技能：（1）在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，无论这个直角
三角形大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值.
（2）在 Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的
比叫做∠A的正弦，记作sinA，即
sin A =
∠A的对边
=
a
。
斜边 c
(五) 课前预习
预习下节课（28.1第2课时）的相关内容.
知道余弦、正切、锐角三角函数的定义
九、课后作业
1、教材第64页练习第1,2题.
2、练习试卷册第98页第2、11题.
十、板书设计：
锐角三角函数（第1课时）
概念：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即
∠A的对边 a
sin A = =
斜边 c
例题：
九、教学反思：
本节课的教学内容以实际生活中的问题情境呈现出来，给予学生
亲切感，提高了学生的学习兴趣，让学生感受到了数学来源于生活。
学生通过合作交流发现规律，能够深刻体会到学习的价值.
在讲解正弦概念的时候，对正弦的写法给了特殊强调，并通过做
练习题巩固对知识的理解.
从教学过程看，和学生的交流做的不够，讲与练时间控制的不太
好，学生计算能力有待加强.要学会换位思考，学会真正把课堂还给
学生，让学生来做课堂的主角。
28.1 锐角三角函数
第2课时
一、核心素养目标
【数学思维】1.通过类比正弦函数，理解余弦函数、正切函数的定义，进而得到
锐角三角函数的概念；
2.能灵活运用锐角三角函数进行相关运算.
【数学眼光】
通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与
对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维
能力.
【数学语言】
经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定
值这一事实，发展学生的形象思维，培养学生由特殊到一般的演绎
推理能力.
二、课型
新授课
三、课时
第2课时 共4课时
四、教学重难点
【教学重点】理解余弦、正切概念，知道当直角三角形的锐角固定时，它的邻
边与斜边的比值、直角边之比是固定值.
【教学难点】
熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算.
五、课前准备
教师：课件、三角尺、直尺等.
学生：三角尺、铅笔.
六、教学过程
(六) 导入新课（出示课件2）
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.当∠A确定时，∠A的对边与斜
边的比就确定，此时，其他边之间的比是否也确定呢？
(七) 探索新知
知识点一 余弦的定义
如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D，∠C=∠F=90°，则 成立吗？为什么？（出示课件4）
学生思考后，师生共同解答：（出示课件5）
∵∠A=∠D，∠C=∠F=90°，
∴∠B=∠E.
从而sinB=sinE，
因此 .
教师归纳：（出示课件6）
在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的邻边与斜边
的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关．
如下图所示，在直角三角形中，我们把锐角A的邻边与斜边的比
叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA=教师强调：从上述探究和证明过程，可以得到互余两角的三角函
数之间的关系：
对于任意锐角α，有cosα=sin(90°－α),或sinα=cos(90°
－α).（出示课件7）
出示课件8，教师对照正弦、余弦的定义，对两个概念注意事项
加以强调：
1.sinA、cosA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形
结合，构造直角三角形).
2.sinA、cosA是一个比值（数值）.
3.sinA、cosA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边
长无关.
出示课件9，学生独立思考后口答，教师订正.
知识点二 正切的定义
如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D，∠C=∠F=90°，则 成立吗？为什么？（出示课件10）
学生自主证明，一生板演，教师巡视，并用多媒体展示.
证明：∵∠C=∠F=90°，∠A=∠D，
∴Rt△ABC∽Rt△DEF.
∴ ，
即 .
教师问：当直角三角形的一个锐角的大小确定时，其对边与邻边
比值也是唯一确定的吗？（出示课件11）
学生独立思考后，师生共同总结：在直角三角形中，当锐角A的
度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与邻边的比是一
个固定值.（出示课件12）
如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA.即tanA=
出示课件14，教师问：如果两个角互余，那么这两个角的正切
值有什么关系？
学生答：互为倒数.
教师问：锐角A的正切值可以等于1吗？为什么？可以大于1吗？
学生答：锐角A的正切值可以等于1；当a=b时；可以大于1，
当a＞b时.
出示课件15，学生独立思考后口答，教师订正.
知识点三 锐角三角函数的定义
出示课件16：锐角A的正弦、余弦、和正切统称∠A的锐角三角
函数.
考点1 已知直角三角形两边求锐角三角函数的值.
例 如图，△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，求sinA，cosA，
tanA的值.（出示课件17）学生思考后，师生共同解答.
解：由勾股定理,得
因此，
师生共同总结：已知直角三角形中的两条边求锐角三角函数值的
一般思路是：当所涉及的边是已知时，直接利用定义求锐角三角函
数值；当所涉及的边是未知时，可考虑运用勾股定理的知识求得边
的长度，然后根据定义求锐角三角函数值．（出示课件18）
出示课件19，学生独立思考后口答，教师订正.
考点2 已知一边及一锐角三角函数值求函数值.
例 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6， ，
求cosA,tanB的值．学生独立思考后，师生共同解答.
解：∵在Rt△ABC中，
∴
又
∴
教师强调：在直角三角形中，如果已知一边长及一个锐角的某个
三角函数值，即可求出其它的所有锐角三角函数值.
出示课件21，学生独立思考后一生板演，教师订正.
(八) 课堂练习（出示课件22-28）
练习课件22-28相应题目，约用时15分钟。
(九) 课堂小结（出示课件29）
本节课你有哪些收获？你还有什么困惑吗？（引导学生思考答
复）师生一起提炼本节课的重要知识和必须掌握的技能：
（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的邻边与斜边的
比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA=
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与邻边的
比叫做∠A的正切，记作tanA.即tanA=
⑶锐角A的正弦、余弦、和正切统称∠A的锐角三角函数.
(十) 课前预习
预习下节课（28.1第3课时）的相关内容.
知道特殊角的三角函数值.
十、课后作业
1、教材第65页练习第2题.
2、练习试卷册第98～99页第1,4,6,8，10,12题.
十一、板书设计
锐角三角函数（第2课时）余弦：
正切：
三角函数：
九、教学反思
本节课是从边的长度、角的度数等相关方面进行探究.教学中，
关注学生的情感态度，对那些积极动脑，热情参与的同学，都给予
了鼓励和表扬，促使学生的情感和兴趣始终保持最佳状态，从而保
证施教活动的有效性.本节课中学生忙于解决问题，而缺乏对知识的
思考.要多花点时间来研究如何调控课堂气氛，学生的注意力是比较
容易分散的，兴趣也比较容易转移，因此，越是生动形象的语言，
越是宽松活泼的气氛，越容易被他们接受.
28.1 锐角三角函数
第3课时一、核心素养目标
【数学思维】
1.理解特殊角的三角函数值的由来；
2.运用三角函数的知识，自主探索，推导出30°，45°，60°
角的三角函数值；
3.熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加以运用，根据
一个特殊角的三角函数值说出这个角.
【数学眼光】
1.让学生经历 30°、45°、60°角的三角函数值推导过程，从
而掌握特殊角的三角函数的运用方法；
2.过对特殊角三角函数的学习，培养学生提出问题、理解问题解、
解决问题的能力.
【数学语言】
1.创设学生主动参与的情境，激起学生强烈的好奇心和求知欲，
使之在积极参与过程中获得成功的体验.体验到数学充满探索与创造，
尽可能使每个学生都能得到发展.2.通过本节课的学习让学生体会锐角三角函数的数学美，从而培
养学生的数学应用意识.
二、课型
新授课
三、课时
第3课时 共4课时
四、教学重难点
【教学重点】
熟记30°、45°、60°角的三角函数值.
【教学难点】
根据函数值说出对应的锐角度数.
五、课前准备
教师：课件、三角尺、直尺等.
学生：三角尺.
六、教学过程
（一）导入新课（出示课件2）
1
sin30
还记得我们推导正弦关系的时候所得到的结论吗？即 2，2
sin45
2 ，你还能推导出 sin60°的值及30°，45°，60°角的其
他三角函数值吗？
（二）探索新知
两块三角尺中有几个不同的锐角？分别求出这几个锐角的正弦值、
余弦值和正切值？（出示课件4、5）
学生思考后，师生共同解答：
解：设30°所对的直角边长为a，那么斜边长为2a，
另一条直角边长＝
∴
∴
设两条直角边长为a，则斜边长＝
∴师生共同总结如下：
30°,45°,60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：（出示课
件6） 30° 45° 60°
sinA
cosA
tanA
考点1 特殊角的三角函数值的运算.（出示课件7）
例1 求下列各式的值：
（1）cos260°＋sin260°；（2）
教师提示：sin260°表示（sin60°）2.
师生共同解决：
(1)cos260°+sin260°
1 √3
2 2
¿( ) +( )
2 2
¿1；
cos45°
(2) −tan45°
sin45°
√2 √2
= ÷ −1
2 2
=0.教师问：这道例题的两个式子中包含几种运算？运算顺序是怎样
的？
学生答：乘方，除法，加减法.运算顺序与实数运算顺序一致，
先算乘方，再算乘除，最后算加减.
教师强调：（出示课件8）
含特殊角三角函数值的计算注意事项：
（1）熟记特殊角的锐角三角函数值是关键；
（2）注意运算顺序和法则；
（3）注意特殊角三角函数值的准确代入．
出示课件9，学生独立思考后一生板演，教师订正.
考点2 利用三角函数值求特殊角.（出示课件10、11）
AB 6 BC 3
例2 (1)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， ， ，
求∠A的度数；
(2)如图，AO是圆锥的高，OB 是底面半径， ，求α的度数.
由学生独立解决问题，教师巡视指导．
BC √3 √2
∵sinA= = = ，
AB √6 2
∴∠A=45°.
解：(1)在Rt△ABC中,
AO √3OB
∵tanα= = =√3，
OB OB
2)在Rt△ABO中，∴α=60°.
出示课件12，学生独立思考后一生板演，教师订正.
考点3 特殊角的三角函数值的应用.
例3 已知△ABC中的∠A与∠B满足(1－tanA)2＋|sinB－ |＝
0，试判断△ABC的形状．（出示课件13）
学生独立思考后，师生共同解决：
解：∵(1－tanA)2＋|sinB－ |＝0，
∴tanA＝1，sinB= ，
∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝180°－45°－60°＝75°，∴△ABC是锐角三角形．
出示课件14，学生独立思考后一生板演，教师订正.
（三）课堂练习（出示课件15-21）
引导学生练习课件15-21相关题目，学生自己解答，教师给予订
正，约用时20分钟。
（四）课堂小结（出示课件22）
本节课你有哪些收获？你还有什么困惑吗？（引导学生思考答
复）
师生一起提炼本节课的重要知识和必须掌握的技能：
特殊角的三角函数值：
30° 45° 60°
sinA
cosA
tanA 1
（五）课前预习
预习下节课（28.1第4课时）的相关内容.
会用计算器求锐角三角函数值，或已知锐角三角函数值求相应锐
角的度数.十一、课后作业
1、教材第67页练习第1,2题.
2、练习试卷册第98～99页第3、7、9、13题.
十二、板书设计
锐角三角函数（第3课时）
1.特殊角的三角函数值：
30° 45° 60°
sinA
cosA
tanA 1
2.例题
九、教学反思
授人以鱼不如授人以渔，所以在教学过程中让学生成为学习的主
导，重视教学方法，让学生从学会向会学转变，成为学习的主人.创
设学生熟悉的情境引导学生小组合作探究，并主动参与教学活动，
从而使学生熟记30°、45°、60°角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数的运用，从而提高学生用已学知识去主动获取知识的能力.
在探索新的过程中，培养他们掌握好的学习方法生解题方法，并通
过动手操作、动脑思考、动口表述，培养学生观察、猜想、概括、
表述的能力.
28.1 锐角三角函数
第4课时
一、核心素养目标
【数学思维】
1.会使用科学计算器求锐角的三角函数值；
2.会根据锐角的三角函数值，借助科学计算器求锐角的大小；
3.熟练运用计算器解决锐角三角函数中的问题.
【数学眼光】
让学生自己熟悉计算器,在老师的指导下计算一般锐角三角函数
值.
【数学语言】让学生通过独立思考,自主探究和合作交流进一步体会函数的数
学内涵,获得知识,体验成功,享受学习乐趣.
二、课型
新授课
三、课时
第4课时 共4课时
四、教学重难点
【教学重点】
运用计算器处理三角函数中的值或角的问题.
【教学难点】
体会锐角与三角函数值之间的关系.
五、课前准备
教师：课件、计算器等.
学生：计算器.
六、教学过程
（一）导入新课（出示课件2、3）
填写下表：
30° 45° 60°sinα
cosα
tanα
生填表，一生口答填表内容.
师：前面我们学习了特殊角 30°，45°，60°的三角函数值,一
些非特殊角(如17°，56°，89°等)的三角函数值又怎么求呢?
这一节课我们就学习借助计算器来完成这个任务.
（二）探索新知
知识点1 利用计算器求三角函数值、角的度数
(1)用计算器求sin18°的值；（出示课件5～7）
(2)用计算器求tan30°36′的值；
(3)已知sinA=0.5018，用计算器求锐角∠A的度数.
师生共同操作完成：
解：⑴第一步：按计算器 sin 键；
第二步：输入角度值18；
屏幕显示结果sin18°=0.309 016 994.
教师强调：不同计算器操作的步骤可能不同！
⑵方法①：第一步：按计算器 tan 键；
第二步：输入角度值30.6(因为30°36′=30.6°)；
屏幕显示答案：0.591398351.
方法②：
第一步：按计算器 tan 键；
第二步：输入角度值30，分值36(使用° ’ ” 键)；
屏幕显示答案：0.591398351.
⑶第一步：依次按计算器 2ndf sin 键；
第二步：输入函数值0.5018；
屏幕显示答案：30.11915867°(按实际需要进行精确).
还可以利用 2ndf ° ’ ” 键，进一步得到
∠A=30°07′08.97″(这说明锐角A精确到1′的结果为30°7′，
精确到1″的结果为0°7′9″).
出示课件8～9，学生独立用计算器操作口答，教师订正.
知识点2 利用计算器探索三角函数的性质（出示课件10）
（1）通过计算(可用计算器)，比较下列各组数的大小，并提出
你的猜想：①sin30°____2sin15°cos15°；
②sin38°____2sin19°cos19°；
③sin45°____2sin22.5°cos22.5°；
④sin60°____2sin30°cos30°；
⑤sin84°____2sin42°cos42°.
猜想：已知0°＜α＜45°，则sin2α___2sinαcosα.
生独立操作后口答，教师订正.
①=；②=；③=；④=；⑤=，猜想：=.
(2)如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝2α，请利用面积方
法验证(1)中的结论．（出示课件11）
生独立思考后，师生共同解决如下：
证明：∵S = AB·sin2α·AC= sin2α，
△ABC
S = ×2ABsinα·ACcosα=sinα·cosα，
△ABC
∴sin2α＝2sinαcosα.出示课件12～13，学生独立用计算器操作口答，教师订正.
（三）课堂练习（出示课件14-19）
引导学生用计算器操作计算课件14-19相关题目，约用时15分
钟。
（四）课堂小结（出示课件20）
本节课你有哪些收获？你还有什么困惑吗？（引导学生思考答
复）
师生一起提炼本节课的重要知识和必须掌握的技能：
已知角度求正弦值用 sin 键；已知正弦值求小于90°的锐角用
键,对于余弦与正切也有相类似的求法.
㈤课前预习
预习下节课（28.2.1）的相关内容.
知道什么是解直角三角形，会解简单的直角三角形.
十二、课后作业
1、教材第68页练习第1,2题.
2、练习试卷册第98页第5题.
十三、板书设计锐角三角函数（第4课时）
1.利用计算器求锐角的三角函数或角的度数.
2.利用计算器探索锐角三角函数的性质.
3.例题
九、教学反思
本节课尽可能站在学生的角度思考问题，设计好教学的每一个细
节，让学生更多地参与到课堂的教学过程中，让学生体验思考的过
程，体验成功的喜悦和失败的挫折．舍得把课堂让给学生，尽最大
可能在课堂上投入更多的情感因素，丰富课堂语言，使课堂更加鲜
活，充满人性魅力，真正提高课堂教学效率，提高成绩.
28.2 解直角三角形及其应用
28.2.1 解直角三角形
一、核心素养目标
【数学思维】
1.了解解直角三角形的意义和条件；
2.理解直角三角形中的五个元素之间的联系；3.能根据直角三角形中除直角以外的两个元素（至少有一个是
边），解直角三角形.
【数学眼光】
通过探索讨论发现解直角三角形所需的最简条件，了解体会用化
归的思想方法将未知问题转化为已知问题去解决，在解决问题的过
程中渗透“数学建模”和“转化”思想.
【数学语言】
通过学习解直角三角形的应用，认识到数与形相结合的意义和作
用，体验到学好知识能应用于社会实践。并让学生体验到学习是需
要付出努力和劳动的.
二、课型
新授课
三、课时
1课时
四、教学重难点
【教学重点】
正确运用直角三角形中的边角关系解直角三角形.【教学难点】
选择适当的关系式解直角三角形.
五、课前准备
教师：课件、直尺、三角板等.
学生：直尺、三角板.
六、教学过程
（一）导入新课（出示课件2）
要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所
成的角α一般要满足50°≤α≤75°.现有一个长6m的梯子，问：
（1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（精确到
0.1m）？
（2）当梯子底端距离墙面 2.4m 时，梯子与地面所成的角 α 等
于多少（精确到1°）？这时人能够安全使用这个梯子吗？
（二）探索新知
知识点1 解直角三角形的概念（出示课件4）
如图，设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为
∠A，过B点向垂直中心线引垂线，垂足为点C，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2m，AB＝54.5m.
根据以上条件可以求出塔身中心线与垂直中心线的夹角．
学生尝试解决：
BC 5.2
sin A= = ≈0.0954
AB 54.5
，
利用计算器可得 .
教师强调：将上述问题推广到一般情形，就是：已知直角三角形
的斜边和一条直角边，求它的锐角的度数.
教师问：在直角三角形中知道几个条件可以求解呢？
学生思考后，师生共同探究：（出示课件5）
在Rt△ABC中,
教师问：根据∠A=60°，你能求出这个三角形的其他元素吗?学生答：不能.
教师问：根据∠A=60°,∠B=30°,你能求出这个三角形的其他元
素吗?
学生答：不能.
教师问：根据∠A=60°,斜边AB=4,你能求出这个三角形的其他
元素吗?
学生答：∠B；AC；BC.
BC 2 3
教师问：根据 ，AC=2，你能求出这个三角形的其他元素
吗？
学生答：∠A；∠B；AB.
教师问：你发现了什么？（出示课件6）
学生答：我发现了，在Rt△ABC中,已知一角或两角，不能求其
它元素；已知一角一边或两边，能求其他元素.
教师强调：在直角三角形的六个元素中,除直角外,如果知道两个
元素,(其中至少有一个是边),就可以求出其余三个元素.
师生共同总结：（出示课件7）
由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫作解直角三角形.
解直角三角形的依据：
(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2.
(2)锐角之间的关系:∠A＋∠B＝90°.
(3)边角之间的关系:sinA＝，cosA＝，tanA＝.
教师强调：解直角三角形的原则：（出示课件8）
(1)有斜（斜边）用弦（正弦、余弦），无斜（斜边）用切（正
切）；
(2)宁乘勿除：选取便于计算的关系式，若能用乘法计算就不用
除法计算；
(3)取原避中：若能用原始数据计算，应避免使用中间数据求解.
知识点2 知道两边解直角三角形
如图，在Rt△ABC中，根据AC＝2.4，斜边AB＝6，你能求出这
个直角三角形的其他元素吗？（出示课件9）师生共同解答：
考点 已知两边解直角三角形（出示课件10）
例 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， ， ，解这
个直角三角形.
该题属于已知两边求第三边和两个锐角的情况，有多种解题方法，
学生尝试独立解题，之后进行比较，选出最简便的方法，并小结
“已知两边如何解直角三角形”.解：
BC 6
tanA 3，
AC 2
A 60，
B90－A 90－6030，
AB2AC2 2.
出示课件11，学生独立解决一生板演，教师订正.
知识点3 已知一边和一锐角解直角三角形
如图，在Rt△ABC中，根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这
个直角三角形的其他元素吗？（出示课件12）
师生共同解答：
考点 已知一边和一锐角解直角三角形（出示课件13）
例 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，b=20，解这个直角三角形(结果保留小数点后一位).
该题属于已知一条边和一个锐角，求另外两条边和另一个锐角的
情况，学生可以独立完成，之后比较各种方法中哪些较好，选一种
板演．并引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形”
解：A 90－B90－3555.
b
∵tanB ，
a
b b
a 28.6，
tanB tan35
b
∵sinB ，
c
b 20
c 34.9.
sinB sin35
出示课件14～15，学生独立完成，找两生板演，教师订正.
知识点4 已知一边和三角函数值解直角三角形
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， ，BC=5，试求AB的长.
（出示课件16）学生独立思考后，师生共同解决：
解：∵
∴
设
∵
∴
∴
∴AB的长为
出示课件17，学生独立完成并口答，教师订正.
（三）课堂练习（出示课件18-24）
引导学生练习相关题目，巩固本科所学知识点，约用时20分钟。
（四）课堂小结（出示课件25）
本节课你有哪些收获？你还有什么困惑吗？（引导学生思考答
复）
师生一起提炼本节课的重要知识和必须掌握的技能：1.直角三角形的五个元素关系：
(1)三边之间的关系: (勾股定理)
(2)两锐角之间的关系:∠A+∠B=90°
(3)边角之间的关系:
∠A的对边 a
sinA= = ，
斜边 c
∠A的邻边 b
cosA= = ，
斜边 c
∠A的对边 a
tanA= = .
∠A的邻边 b
2.已知两边,解直角三角形
已知类型 已知条件 解法步骤
斜边和一直角
①
两边 边(如c,a)
②
③∠B=90°－∠A
两直角边(如
①
a,b)
②
③∠B=90°-∠A
3.已知一边和一锐角,解直角三角形
已知类型 已知条件 解法步骤
斜边和一锐角 ①∠B=90°－∠A
（如c，∠A）
②
一边和一 ③
锐角 一 直 角 边 ①∠B=90°－∠A
和一锐角（如a，∠A）
②
③
（五）课前预习
预习下节课（28.2.2（第1课时））的相关内容.
会解简单的直角三角形应用题.
十三、课后作业
1、教材第74页练习.
2、练习试卷册第104～105页第1,2,3,4,5,9题.
十四、板书设计
28.2.1 解直角三角形
1.解直角三角形：在直角三角形中除直角外，由直角三角形中的
已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．
2.两种情况：
（1）已知两条边
（2）已知一边和一锐角
九、教学反思在创设情境中，由一个实际问题引入，自然过渡到直角三角形．
在探究新知中，采用启发法、讨论法等教学方法，学生通过讨论、
实践形成理论体系，对知识掌握较为牢固.
解直角三角形是重点，而选择恰当的边角关系则是难点，为了突
破此难点，本节课通过例题让学生探究、讨论、总结出选择边角关
系的策略：有斜（斜边）用弦（正弦、余弦），无斜（斜边）用切
（正切），宁乘勿除，取原避中”.因为有这些例题的引导，所以学
生对于解直角三角形的两个类型的掌握，应该没有问题.
28.2 解直角三角形及其应用
28.2.2 应用举例（第1课时）
一、核心素养目标
【数学思维】
1.巩固解直角三角形相关知识；
2.能从实际问题中构造直角三角形，会把实际问题转化为解直角
三角形的问题，并能灵活选择三角函数解决问题.
【数学眼光】经历解直角三角形的实际应用，运用转化思想，学会把实际问题
转化为数学问题来解决，培养学生分析问题、解决问题的能力.
【数学语言】
渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数
学的意识.
二、课型
新授课
三、课时
第1课时 共3课时
四、教学重难点
【教学重点】
能利用直角三角形元素之间的关系，解决实际问题.
【教学难点】
实际问题转化为数学模型.
五、课前准备
教师：课件、直尺、三角板等.
学生：直尺、三角板.六、教学过程
（一）导入新课（出示课件2）
高跟鞋深受很多女性的喜爱，但有时候，如果鞋跟太高，也有可
能“喜剧”变“悲剧”.
你知道高跟鞋的鞋底与地面的夹角为多少度时，人脚的感觉最舒
适吗？
（二）探索新知
知识点 利用解直角三角形解答简单的问题（出示课件4）
解直角三角形主要用到以下知识：
⑴三边之间的关系；
（2）两锐角之间的关系；
（3）边角之间的关系.
∠A的对边 a ∠B的对边 b
sin A= = sinB= =
斜边 c 斜边 c
； ；∠A的邻边 b ∠B的邻边 a
cos A= = cosB= =
斜边 c 斜边 c
； ；
∠A的对边 a ∠B的对边 b
tan A= = tanB= =
∠A的邻边 b ∠B的邻边 a
； .
小明去景点游玩，搭乘观光索道缆车的吊箱经过点A到达点B时，
它走过了300m.在这段路程中缆车行驶的路线与水平面的夹角为
30°，你知道缆车垂直上升的距离是多少吗?（出示课件5）
师生共同解决：
解：BD=ABsin30°=150m.
小明乘坐索道缆车继续从点B到达比点B高 200m的点C， 如果
这段路程缆车的行驶路线与水平面的夹角为60°，缆车行进速度为
2m/s，小明需要多长时间才能到达目的地？（出示课件6）师生共同解决：
解：
231÷2=115.5（s），
小明需要115.5s才能到达目的地.
考点1 建立直角三角形模型解答简单的问题.
例 2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”
一号目标飞行器成功实现交会对接.“神舟”九号与“天宫”一号的
组合体在离地球表面343km的圆形轨道上运行.如图，当组合体运行
到地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点
在什么位置？最远点与P点的距离是多少（地球半径约为6400km，
π取3.142，结果取整数）？（出示课件7～8）
教师分析：从组合体中能直接看到的地球表面最远点，是视线与
地球相切的切点.求最远点与 P点的距离就是求弧 PQ的长.为计算弧PQ的长,必须要求出∠POQ的度数.
解:设∠FOQ =α，FQ是⊙O切线，△FOQ是直角三角形．
∵ ，
∴a≈18.36°
.
当组合体在 P点的正上方时，从中观测地球表面时的最远点距离
P点约2051km.
教师问：从前面的例题解答中，你能体会到解直角三角形的应用
前提条件是什么吗？如何进行？（出示课件9）
学生分组讨论后，教师强调：一般情况下，直角三角形是求解或
运用三角函数值的前提条件，故当题目中提供的并非直角三角形时，
需添加辅助线构造直角三角形，然后运用三角函数解决问题．
师生共同总结：（出示课件10）
解直角三角形的应用：
(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)；
(2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等知识去解直角三
角形；
(3)得到数学问题答案；
(4)得到实际问题答案.
教师强调：数学问题的解符合实际意义才可以成为实际问题的解.
出示课件11，学生独立解决，一生板演，教师订正.
考点2 建立直角三角形模型解答生活问题.
例 如图，秋千链子的长度为3m，静止时的秋千踏板（大小忽
略不计）距地面0.5m．秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋
千链子与铅垂线的夹角）约为60°，则秋千踏板与地面的最大距离
为多少？（出示课件12～13）
师生共同分析：根据题意，可知秋千踏板与地面的最大距离为CE的长度.因此，本题可抽象为：已知DE=0.5m，AD=AB=3m，
∠DAB=60°，△ACB为直角三角形，求CE的长度.
师生共同解决:（出示课件14）
解：∵∠CAB=60°，AD=AB=3m，
∴AC=ABcos∠CAB=1.5m.
∴CD=AD－AC=1.5m.
∴CE=CD+DE=2.0m.
即秋千踏板与地面的最大距离为2.0m.
出示课件15～16，学生独立解决，一生板演，教师订正.
（三）课堂练习（出示课件17-25）
引导学生练习课件17-25页题目，解决相应问题，约用时20分
钟
（四）课堂小结（出示课件26）
本节课你有哪些收获？你还有什么困惑吗？（引导学生思考答复）
师生一起提炼本节课的重要知识和必须掌握的技能：
解直角三角形的应用：
(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三
角形的问题)；
(2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等知识去解直角三
角形；
(3)得到数学问题答案；
(4)得到实际问题答案.
（五）课前预习
预习下节课（28.2.2（第2课时））的相关内容.
会解简单的仰角、俯角问题.
十四、课后作业
1.教材第76页练习第2题.
2.练习试卷册第112页第1,3题.
十五、板书设计
28.2.2 应用举例（第1课时）1.简单应用
2.例题
九、教学反思
本节课为了充分发挥学生的主观能动性，可引导学生通过小组讨
论，大胆地发表意见，提高学生学习数学的兴趣．能够使学生自己
构造实际问题中的直角三角形模型，并通过解直角三角形解决实际
问题.
28.2 解直角三角形及其应用
28.2.2 应用举例（第2课时）
一、核心素养目标
【数学思维】
1.使学生了解仰角、俯角的概念，并能够根据直角三角形的知识解
决实际问题；
2.进一步掌握用解直角三角形的知识解决实际问题的方法.
【数学眼光】
注重由已知到未知的探索发现过程，通过温故知新部分进行承前启后，让学生感悟知识的形成与发展过程，由简单到复杂，由已知
到未知，由具体到抽象，渗透分类讨论、数形结合、用字母表示数、
化归等数学思想和方法.
【数学语言】
体现数学与现实的联系，激发学生学习数学的主动性，通过小组
交流合作，提高学生的交往能力，提高团队合作精神.
二、课型
新授课
三、课时
第2课时 共3课时
四、教学重难点
【教学重点】
用仰角、俯角等概念解决实际问题.
【教学难点】
实际问题转化为数学模型.
五、课前准备
教师：课件、直尺、三角板等.学生：直尺、三角板.
六、教学过程
㈠导入新课（出示课件2）
如图所示,一只猫在窝顶A处测得老鼠所在地B处的俯角为 60°,
然后下到猫窝的C处,测得B处的俯角为 30°.已知AC =40 m,若这
只猫以 5 m/s的速度从猫窝底部D处出发,几秒钟后能抓到老鼠?(结
果精确到个位)(假设老鼠不动)
㈡探索新知
知识点 仰角、俯角问题（出示课件4）
在测量中，我们把在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上
方的叫做仰角，视线在水平线下方的叫做俯角.教师强调：巧记“上仰下俯”.
考点1 一个观测点构造两个直角三角形解答实际问题.
例 热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为
30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为
120m，这栋楼有多高（结果取整数）？（出示课件5）
师生共同分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水
平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，
α=30°,β=60°.
在Rt△ABD中，α=30°，AD＝120，所以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．
师生共同解决：（出示课件6）
解：如图，α=30°,β=60°，AD＝120m．
（m）.
答：这栋楼高约为277m.
师生共同总结：（出示课件7）
解决与仰角、俯角有关的实际问题的方法：
根据仰角、俯角的定义画出水平线、视线，找准仰角、俯角，结
合题意，从实际问题情境中抽象出含仰角或俯角的直角三角形，然
后利用解直角三角形使问题获解.
出示课件8，学生独立解决并口答，教师订正.
考点2 两个观测点构造两个直角三角形解答实际问题.
例2 如图，直升飞机在长400米的跨江大桥AB的上方P点处，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为37°和45°，求飞机的高度 .
（结果取整数.参考数据：sin37°≈0.6，cos37 °≈0.8，
tan37°≈0.75）（出示课件9）
生独立思考后师生共同解决：（出示课件10）
解：作PO⊥AB交AB的延长线于O.
设PO=x米，
在Rt△POB中，∠PBO=45°，OB=PO= x米.
在Rt△POA中，∠PAB=37°，
解得x=1200.
即故飞机的高度为1200米.
出示课件11～12，学生独立解决，一生板演，教师订正.
（三）课堂练习（出示课件13-20）
引导学生练习课件13-20对应题目，约用时20分钟。
（四）课堂小结（出示课件21）
本节课你有哪些收获？你还有什么困惑吗？（引导学生思考答
复）
师生一起提炼本节课的重要知识和必须掌握的技能：
解决有关仰角，俯角的实际问题的方法：
⑴仰角和俯角是指视线与水平线的夹角，上仰下俯.
⑵解答有关仰角俯角的问题关键是弄清仰角和俯角的定义，根
据题意画出几何图形，将实际问题中的数量关系归结到直角三角形
中来求解.
⑶若有两个或两个以上的三角形，不能直接解出的，可以考虑分
别由两个三角形找出含有相同未知元素的关系式，运用方程知识求
解.
（五）课前预习预习下节课（28.2.2（第3课时））的相关内容.
会解简单的方向角、坡度问题.
十五、课后作业
1.教材第79页练习第8题.
2.练习试卷册第112～113页第2,5,6,8题.
十六、板书设计
28.2.2 应用举例（第2课时）
1.仰角、俯角
2.例题
九、教学反思
本节课尽可能站在学生的角度上思考问题，设计好教学过程中的
每一个细节．让学生更多地参与到课堂的教学过程中，让学生体验
思考的过程，体验成功的喜悦和失败的挫折，舍得把课堂让给学生，
让学生做课堂这个小小舞台的主角．使课堂更加鲜活，充满人性魅力，课堂教学效率较高.
28.2 解直角三角形及其应用
28.2.2 应用举例（第3课时）
一、核心素养目标
【数学思维】
1.正确理解方向角、坡度、坡角的概念；
2.能运用解直角三角形知识解决方向角、坡度的问题；
3.能够解决与解直角三角形有关的实际问题,如航海航空、建桥
修路、测量技术、图案设计等.
【数学眼光】
通过实际问题的求解，总结出用解直角三角形的知识解决问题的
一般过程，增强分析问题和解决问题的能力。
【数学语言】
渗透数形结合的思想方法，增强学生的数学应用意识和能力.
二、课型
新授课
三、课时第3课时 共3课时
四、教学重难点
【教学重点】
用三角函数有关知识解决方位角问题.
【教学难点】
学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型.
五、课前准备
教师：课件、直尺、三角板等.
学生：直尺、三角板.
六、教学过程
（一）导入新课（出示课件2）
宜宾是国家级历史文化名城,大观楼是其标志性建筑之一
(如图①).喜爱数学的小伟决定用所学的知识测量大观楼的高度,
如图②所示,他站在点 B处利用测角仪测得大观楼最高点 P的仰角为
45°,又前进了 12 m 到达点 A 处,测得点 P 的仰角为 60°.请你帮助
小伟算一算大观楼的高度(测角仪的高度忽略不计,结果保留整数).（二）探索新知
知识点1 方向角的有关问题（出示课件4）
方向角的定义：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于
90°的角.
教师强调：（出示课件5）
（1）因为方向角是指北或指南方向线与目标方向线所成的角，
所以方向角通常都写成“北偏……”,“南偏……”,的形式.
（2）解决实际问题时，可利用正南、正北、正西、正东方向线
构造直角三角形来求解.
（3）观测点不同，所得的方向角也不同，但各个观测点的南北方向线是互相平行的，通常借助于此性质进行角度转换.
考点1 有关方向角的实际问题——距离.（出示课件6）
例 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔
80 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P
的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有
多远（结果取整数）？
学生独立思考后师生共同解决：（出示课件7）
解：如图，在Rt△APC中，PC=PA·cos（90°－65°）
=80×cos25°
≈80×0.91
=72.505.
在Rt△BPC中，∠B=34°，因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔
P大约130n mile．
教师强调：利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（出示课件8）
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直
角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角
形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
出示课件9，学生独立解决，一生板演，教师订正.
考点2 有关方向角的实际问题——预测路线.（出示课件10）
例 海中有一个小岛A，它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由
西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达C点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变
航线继续向东航行，有没有触礁的危险？
学生独立思考后，师生共同解决：（出示课件13～14）
解：过A作AF⊥BC于点F，则AF的长是A到BC的最短距离.
∵BD∥CE∥AF，
∴∠DBA=∠BAF=60°，∠ACE=∠CAF=30°，
∴∠BAC=∠BAF－∠CAF=60°－30°=30°.
又∵∠ABC=∠DBF－∠DBA=90°－60°=30°=∠BAC，
∴BC=AC=12海里，
∴ (海里)，
6 3 10.3928
，故渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险．
出示课件13～14，学生独立解决，一生板演，教师订正.
知识点2 坡度、坡角有关的问题
解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活
运用相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝或山的高度h时，
我们无法直接测量，我们又该如何呢？（出示课件15）
教师问：如图，从山脚到山顶有两条路AB与BC，问哪条路比较
陡？如何用数量来刻画哪条路陡呢？（出示课件16）
学生思考后，师生共同总结：（出示课件17）
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示.
坡度（坡比）：坡面的铅直高度h和水平距离l的比叫做坡度，
用字母i表示，如图，坡度通常写成 的形式.教师强调：坡度越大，坡角越大，坡面越陡.
出示课件18，学生独立解决并口答，教师订正.
考点1 利用坡度、坡角解答大坝问题
例 如图，防洪大堤的横截面是梯形 ABCD，其中AD∥BC，
α=60°，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角
β=45°．若原坡长AB=20m，求改造后的坡长AE．(结果保留根号)
（出示课件19）
学生独立思考后，师生共同解答：（出示课件20）
解：过点A作AF⊥BC于点F，在Rt△ABF中，∠ABF=∠α=60°，
则AF=AB·sin60°= (m)，
在Rt△AEF中，∠E=∠β=45°，则 (m).
故改造后的坡长AE为 m.
出示课件21～22，学生独立解决，一生板演，教师订正.
考点2 利用坡度、坡角解答山坡问题
例 如图，一山坡的坡度为i=1:2.小刚从山脚A出发，沿山坡向
上走了240m到达点C.这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米
（角度精确到0.01°，长度精确到0.1m）？（出示课件23）
学生独立思考后，师生共同解答：（出示课件24）解：用α表示坡角的大小，由题意可得
因此α≈26.57°.
在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=26.57°，AC=240m，
因此
从而BC=240×sin26.57°≈107.3（m）．
答：这座山坡的坡角约为26.57°，小刚上升了约107.3m．
出示课件25，学生独立解决，教师订正.
（三）课堂练习（出示课件26-36）
练习课件26-36页题目，巩固所学知识点，约用时20分钟。
（四）课堂小结（出示课件21）
本节课你有哪些收获？你还有什么困惑吗？（引导学生思考答
复）
师生一起提炼本节课的重要知识和必须掌握的技能：
1.方向角的定义：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于
90°的角.
2.坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示.3.坡度（坡比）：坡面的铅直高度h和水平距离l的比叫做坡度，
用字母i表示.
4.坡度越大，坡角越大，坡面越陡.
（五）课前预习
预习下节课（29.1（第1课时））的相关内容.
知道什么是投影、平行投影及中心投影.
十六、课后作业
1.教材第77页练习第2题.
2.练习试卷册第113页第4,7,9,10题.
十七、板书设计
28.2.2 应用举例（第3课时）
1.方向角的意义；
2.坡度、坡角的意义；3.例题
九、教学反思
将解直角三角形应用到实际生活中，有利于培养学生的空间想象
能力，即要求学生通过对实物的观察或根据文字语言中的某些条件，
画出适合他们的图形．这一方面在教学过程应由学生展开，并留给
学生思考的时间，给学生充分的自主思考空间和时间，让学生积极
主动地学习.
29.1 投影（第1课时）
一、核心素养目标
【数学思维】
1.能结合具体例子说明什么是投影，什么是投影线和投影面等概念
2.理解平行投影和中心投影的概念、特征、区别与联系；
3.能通过例子来解释说明投影的分类,会利用平行投影和中心投影的相关知识解决实际问题.
【数学眼光】
通过经历观察实践、动手操作等小组合作探究活动，提高发现问
题、解决问题的能力和发展抽象概括的思维能力.
【数学语言】
感受日常生活中的一些投影现象，体会数学与生活实际密不可分，
激发学生学习数学的兴趣．引导学生观察发现、动手操作、自主探
究、合作交流.
二、课型
新授课
三、课时
第1课时 共2课时
四、教学重难点
【教学重点】
理解投影,投影面,平行投影和中心投影.
【教学难点】
掌握平行投影和中心投影的区别.五、课前准备
教师：课件、直尺、三角板等.
学生：直尺、三角板、铅笔.
六、教学过程
（一）导入新课（出示课件2～4）
日晷是我国古代测定时间的仪器，看看它是怎样工作的呢？太阳
起了什么作用？
如图，物体在日光或灯光的照射下，在地面、墙壁等处会出现什
么现象？
皮影戏又名“灯影子”，是我国民间一种古老而奇特的戏曲艺术。
（二）探索新知知识点1 投影的定义
教师问：你知道物体与影子有什么关系吗？（出示课件6）
学生答：影子既与物体的形状有关，也与光线的照射方式有关.
（出示课件7）
出示课件8,一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙
壁等）上得到的影子叫做物体的投影.照射光线叫做投影线.投影所
在的平面叫做投影面.
教师归纳：（出示课件9）
(1)形成投影需要满足三个条件：①要有光源；②要有一个呈现
投影的平面，即投影面；③要有物体存在，且物体处于光源和投影
面之间.
(2)因为光线沿直线传播，所以可以由投影与物体确定光线的方
向.(3)一般情况下，光线移动时，物体的影子的大小、方向也随着
变化.
出示课件10，学生独立解决并口答，教师订正.
知识点2 平行投影的概念
教师问：观察下列图片,你认为太阳光线有什么特征？（出示课
件11）
学生答：太阳离我们非常遥远，太阳光线可以看成平行光线.
教师归纳：由平行光线形成的投影叫做平行投影.（出示课件
12）
出示课件13，例如，物体在太阳光的照射下形成的影子(简称日影),就是平行投影．日影的方向可以反映当地时间.
我国古代的计时器日晷，就是根据日影来观测时间的．
考点 利用平行投影解答实际问题
例 某校墙边有甲、乙两根木杆.已知乙杆的高度为1.5m.（出
示课件14）
(1)某一时刻甲木杆在阳光下的影子如下图所示，你能画出此时
乙木杆的影子吗？
解：如图所示：(2)当乙木杆移动到什么位置时，其影子刚好不落在墙上？（出
示课件15）
解：如图所示：(3)在(2)的情况下，如果测得甲、乙木杆的影子长分别为1.24m
和1m，那么你能求出甲木杆的高度吗?（出示课件16）
解：∵△ADD'∽△BEE'，
∴AD:BE=AD′:BE′，
即AD:1.5=1.24:1，解得AD=1.86.
故甲木杆的高度为1.86m.
出示课件17，学生独立画图，教师订正.
知识点3 中心投影的概念
教师问：你知道皮影戏中的影像是如何形成的吗？（出示课件
18）学生答：皮影戏是利用灯光的照射，把影子的影态反映在银幕
（投影面）上的表演艺术．
出示课件19，手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点发
出的，像这样的光线所形成的投影称为中心投影.像皮影戏与手影戏
就是中心投影.
教师归纳：（出示课件20～21）
由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影．例如,
物体在灯泡发出的光照射下形成影子就是中心投影．
中心投影——投射线交于一点的投影.教师问：平行投影和中心投影有什么区别和联系呢?（出示课件
22）
师生共同总结：（出示课件23）
平行投影与中心投影的区别与联系
区别
联系
物体与投影面
光线
平行时的投影
平行的投射 都是物体在光线的
平行投影 全等
线 照射下，在某个平从一点发出放大(位似变面内形成的影子.
中心投影
的投射线 换) (即都是投影)
出示课件24，学生口答，教师订正.
考点 利用中心投影解答问题
例 确定图中路灯灯泡所在的位置.（出示课件25）
师生共同解决：
解：过一根木杆的顶端及其影子的顶端画一条直线，再过另一根
木杆的顶端及其影子的顶端画一条直线，两线相交于点O，点O就是
灯泡的位置.
出示课件26，学生独立画图，教师订正.
（三）课堂练习（出示课件27-33）
教师引导学生练习课件27-33也题目，约用时15分钟
（四）课堂小结（出示课件34）本节课你有哪些收获？你还有什么困惑吗？（引导学生思考答
复）
师生一起提炼本节课的重要知识和必须掌握的技能：
1.一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得
到的影子叫做物体的投影.照射光线叫做投影线.投影所在的平面叫
做投影面.
2.由平行光线形成的投影叫做平行投影.
3.由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影．
4.平行投影与中心投影的区别与联系;
区别
联系
物体与投影面
光线
平行时的投影
平行的投射 都是物体在光线
平行投影 全等
线 的照射下，在某
个平面内形成的
从一点发出放大(位似变
影子.(即都是投
中心投影
的投射线 换)
影)
（五）课前预习
预习下节课（29.1（第2课时））的相关内容.
了解正投影及其性质.
十七、课后作业1.教材第92页习题29.1第2题.
2.练习试卷册第130～131页第3,5,6,7,8,9题.
十八、板书设计
29.1投影（第1课时）
1.投影概念
⑴投影
⑵投影线
⑶投影面
2.平行投影
3.中心投影
4.区别与联系
九、教学反思
本节以自主探索、合作交流为设计主线，从皮影戏、手影、日晷
等学生熟悉的生活实际出发，引入物体投影的相关概念，通过观察
图片等活动，使学生认识中心投影和平行投影的区别与联系，加强
主动学习数学的兴趣，体现数学的应用价值.
29.1 投影（第2课时）一、核心素养目标
【数学思维】
1.掌握线段、平面图形的正投影规律；
2.以正方体为例，掌握其与投影面的两种不同位置下形成的正投
影的形状和大小；
3.掌握几种基本几何体的正投影，能根据正投影的性质画出简单
平面图形的正投影，并进行相关计算.
【数学眼光】
通过学生自己动手实验，教师同学们归纳、概括，形成正投影的
概念及性质，并把所学知识应用于生活实际之中.
【数学语言】
在实验、探索中获取新知，可激发学生的学习兴趣，体会到教学
与生活融为一体，使学生爱学习、爱生活，敢于探索创新，在学习
中产生对数学的兴趣，在探索中投入更大的热情.
二、课型
新授课
三、课时第2课时 共2课时
四、教学重难点
【教学重点】
能根据正投影的性质画出简单的平面图形的正投影.
【教学难点】
归纳正投影的性质,正确画出简单平面图形的正投影.
五、课前准备
教师：课件、刻度尺、三角板等.
学生：刻度尺、三角板、铅笔.
六、教学过程
（一）导入新课（出示课件2）
教师问：下图表示一块三角尺在光线照射下的投影，其中图 1、
图2、图3的投影线有什么区别？
（二）探索新知知识点1 正投影的概念（出示课件4）
学生答：图（1）中的投影线集中于一点，形成中心投影；图
（2）（3）中，投影线互相平行，形成平行投影；
教师问：图（2）（3）的投影线与投影面的位置关系有什么区别？
学生答：图（2）中，投影线斜着照射投影面；图（3）中投影线
垂直照射投影面（即投影线正对着投影面）.
教师强调：我们也称这种情形为投影线垂直于投影面．像图
（3）这样，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影．
教师问：每一种投影有何特点？（出示课件5）
学生答：中心投影的投影线集中于一点；斜投影的投影线互相平
行，且斜着照射投影面；正投影的投影线垂直于投影面.
出示课件6～7，如图，把一根直的细铁丝 (记为线段AB) 放在
三个不同位置.(1)铁丝平行于投影面；
(2)铁丝倾斜于投影面；
(3)铁丝垂直于投影面 (铁丝不一定要与投影面有交点).
三种情形下铁丝的正投影各是什么形状？
通过观察，我们可以发现：
(1)当线段AB平行于投影面α时，它的正投影是线段A B ，线段
1 1
与它的投影的大小关系为AB_____A B ；
1 1
(2)当线段AB倾斜于投影面α时，它的正投影是线段A B ，线段
2 2
与它的投影的大小关系为AB______A B ；
2 2
(3)当线段AB垂直于投影面α时，它的正投影是一个_____．
学生观察后口答：⑴=⑵＞⑶点A (B )
3 3
出示课件8～9，如图，把一块正方形硬纸板P (记为正方形
ABCD) 放在三个不同位置：
(1)纸板平行于投影面；(2)纸板倾斜于投影面；
(3)纸板垂直于投影面．
三种情形下纸板的正投影各是什么形状？
通过观察、测量可知：
(1)当纸板P平行于投影面β时，P的正投影与P的__________；
(2)当纸板P倾斜于投影面β时，P的正投影与P的__________；
(3)当纸板P垂直于投影面β时，P的正投影成为_____________．
学生观察、测量后口答：⑴形状、大小一样⑵形状、大小发生变
化⑶一条线段
师生共同归纳：当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投
影与这个面的形状、大小完全相同．（出示课件10）
考点 作出已知几何体的正投影.（出示课件11）
例 画出如图摆放的正方体在投影面P上的正投影．(1)正方体的一个面ABCD平行于投影面P；
(2)正方体的一个面ABCD倾斜于投影面P，底面ADEF垂直于投影
面P，并且其对角线AE垂直于投影面P．
教师强调：物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有
关.
出示课件12，学生画图后，教师订正.
（三）课堂练习（出示课件13-18）
引导学生练习课件第13-18页相关题目，教师及时订正并进行讲
解，约用时15分钟
（四）课堂小结（出示课件19）
本节课你有哪些收获？你还有什么困惑吗？（引导学生思考答
复）
师生一起提炼本节课的重要知识和必须掌握的技能：1.投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影.
2.当物体的某个面平行于投影面时,这个面的正投影与这个面的
形状,大小完全相同.
（五）课前预习
预习下节课（29.2（第1课时））的相关内容.
了解视图与投影的关系及简单三视图的画法.
十八、课后作业
1.教材第92～93页习题29.1第3,5题.
2.练习试卷册第130页第1,2,4题.
十九、板书设计
29.1投影（第2课时）
1.正投影概念
2.正投影的性质
3.例题
九、教学反思
本节课注重创设教学环境，激活学生的思维，逐步设疑，引导学
生逐步探究物体的正投影，借助多媒体动画演示、实物操作的方式既激发学生的学习兴趣，又帮助学生理解掌握新知识，归纳正投影
的基本性质，使学生对投影的认识从感性上升为理性.即在教学过程
中注意随时观察学生的学习态度，提问和练习时注意评价学生对学
习内容的认知程度，如课堂练习、回答问题的正确程度等.本节课每
个学生都参与到活动中去，投入到学习中来，使学生在学习过程中
学充满快乐和成功的体验，促使学生自主学习，勤于思考，用于探
究，形成良好的学习品质.
29.2 三视图（第1课时）
一、核心素养目标
【数学思维】
1.能从投影的角度理解视图的概念，明确视图与投影的关系；
2.能识别物体的三视图，会画简单几何体的三视图.
【数学眼光】
感受从不同方向观察同一物体可能看到不一样的结果，培养学生全面观察的能力.
【数学语言】
培养学生自主学习与合作的学习方式，使学生体会从生活中发现
数学.
二、课型
新授课
三、课时
第1课时 共3课时
四、教学重难点
【教学重点】
从投影的角度加深对三视图的理解和会画简单的三视图.
【教学难点】
对三视图概念理解的升华及正确画出物体的三视图.
五、课前准备
教师：课件、直尺、三角板、圆规等.
学生：直尺、三角板、圆规、铅笔.
六、教学过程（一）导入新课（出示课件2～4）
“横看成岭侧成峰,远近高低各不同．不识庐山真面目,只缘身在
此山中”你能说明是什么原因吗？
学生观察课件中几组图片。
教师提出问题：能说出词典的三个平面图形分别是从哪三个方向
观察得到的吗？
（二）探索新知
知识点1 三视图的定义及关系
教师问：下图为某飞机的设计图，你能指出这些设计图是从哪几
个方向来描绘物体的吗？（出示课件6）
学生答：分别是从前面看；从左面看和从上面看.
教师问：请你从前、后、左、右、上、下六个方向观察同一本字典，画出得到的正投影，你有什么发现？（出示课件7）
学生观察后口答：
1.前面和后面正投影的形状、大小一致；
2.上面和下面正投影的形状、大小一致；
3.左面和右面正投影的形状、大小一致.
教师归纳：当我们从某一方向观察一个物体时，所看到的平面图
形叫做物体的一个视图．视图也可以看作物体在某一方向光线下的
正投影，对于同一个物体，如果从不同方向观察，所得到的视图可
能不同．（出示课件8）
师生共同探究：
1.三个投影面（出示课件9）
我们用三个互相垂直的平面（例如：墙角处的三面墙面壁）作为
投影面，其中正对着我们的平面叫正面，下方的平面叫水平面，右
边的平面叫做侧面.教师问：你能说出这三个视图分别是从哪三个方向观察这本书得
到的吗？（出示课件10）
学生答：从上面看；从左面看；从正面看.
这些图形的投影面分别在什么位置？（出示课件11～12）
2.三视图
将三个投影面展开在一个平面内，得到这个物体的一张三视图.三视图是主视图、俯视图、左视图的统称.它是从三个方向分别
表示物体形状的一种常用视图.
教师归纳：（出示课件13）
对一个物体在三个投影面内进行正投影，
在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；
在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；
在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图.
知识点2 画物体的三视图
考点1 已知简单几何体画三视图.（出示课件14）
例1 画出图中基本几何体的三视图：
生独立解决，教师巡视后用多媒体展示：（出示课件15～16）
解：如图所示：教师归纳：（出示课件17）
三视图的具体画法为：
1.确定主视图的位置，画出主视图；
2.在主视图正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；
3.在主视图正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯
视图“宽相等”；
4.为表示圆柱、圆锥等的对称轴，规定在视图中加画点划线（
）表示对称轴.
教师强调：可见的轮廓线画成实线；不可见的轮廓线，画成虚线.
出示课件18，学生独立解决，教师订正.考点2 已知较复杂几何体画三视图.
例 画出如图所示的支架（一种小零件）的三视图，其中支架的
两个台阶的高度和宽度相等．（出示课件19）
教师提示：长对正，高平齐，宽相等，不可见的轮廓线，用虚线
画出.
师生共同解决：
解：下图是支架的三视图．
出示课件20，学生独立解决并口答，教师订正.
考点3 作几何组合体的三视图.
例 画出该几何体的三视图.（出示课件21）教师分析：这是一个圆柱体的组合体，从不同角度看它时，会呈
现不同的视图，为全面地反映立体图形的现状，画图时规定：看得
见部分的轮廓线画成实线，因被其他部分遮挡而看不见部分的轮廓
线画成虚线．
师生共同解决：（出示课件22）
解：下图是组合体的三视图．
出示课件23，学生独立解决，教师订正.
（三）课堂练习（出示课件24-31）
引导学生练习课件24-31相关题目，教师及时订正并进行讲解，
约用时15分钟。（四）课堂小结（出示课件32）
本节课你有哪些收获？你还有什么困惑吗？（引导学生思考答
复）
师生一起提炼本节课的重要知识和必须掌握的技能：
1.我们用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对着我们的平
面叫正面，下方的平面叫水平面，右边的平面叫做侧面.
2.对一个物体在三个投影面内进行正投影，
在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；
在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；
在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图.
3.三视图的具体画法为：
⑴确定主视图的位置，画出主视图；
⑵在主视图正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；
⑶在主视图正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯
视图“宽相等”；
⑷为表示圆柱、圆锥等的对称轴，规定在视图中加画点划线（
）表示对称轴.（五）课前预习
预习下节课（29.2（第2课时））的相关内容.
能由三视图得到简单的几何体.
十九、课后作业
1.教材第102～103页习题29.2第6,7题.
2.练习试卷册第140～141页第1,2,3,4,7题.
二十、板书设计
29.2三视图（第1课时）
1.投影面 4.例题
2.三视图
3.三视图的画法
九、教学反思
本节课的教学设计，力求突出具体、生动、直观，学生在教师的
指导下由动手、观察、发现并归纳三视图的基本要点，从而让学生
形成解题、研究问题的基本素质.
29.2 三视图（第2课时）一、核心素养目标
【数学思维】
1.会根据物体的三视图描述出基本几何体的形状，并且会做出原实
物的几何图形；
2.会根据复杂的三视图判断实物原型，能做出原事物的几何图形.
【数学眼光】
通过由三视图确定物体原型的过程，培养学生的空间想象能力.
【数学语言】
了解将三视图转换成立体图开在生产中的作用，使学生体会到所
学的知识有重要的实用.
二、课型
新授课
三、课时
第2课时 共3课时
四、教学重难点
【教学重点】
根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型.【教学难点】
根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型.
五、课前准备
教师：课件、直尺、三角板、圆规等.
学生：直尺、三角板、圆规、铅笔.
六、教学过程
（一）导入新课（出示课件2～3）
前面我们讨论了由立体图形（实物）画出三视图，下面我们讨论
怎样由三视图想象出立体图形（实物）？
下面是哪个几何体的三视图？
（二）探索新知
知识点1 由三视图确定几何体
考点1 根据三视图描述较简单物体的形状.例 如图，分别根据三视图(1)(2)说出立体图形的名称.（出示课
件5）
教师分析：由三视图想象立体图形时，要先分别根据主视图、俯
视图和左视图想象立体图形的前面、上面和左侧面，然后再综合起
来考虑整体图形.
师生共同解决：（出示课件6）
解：（1）从三个方向看立体图形，视图都是矩形，可以想象出：
整体是长方体，如图1所示.
（2）从正面、侧面看立体图形，视图都是等腰三角形；从上面
看，视图是圆；可以想象出：整体是圆锥，如图2所示.
出示课件7，学生独立解决并口答，教师订正.考点2 根据三视图描述较复杂物体的形状.
例 根据物体的三视图描述物体的形状.（出示课件8）
师生共同分析：由主视图可知，物体的正面是正五边形；由俯视
图可知，由上向下看到物体有两个面的视图是矩形，它们的交线是
一条棱(中间的实线表示)，可见到，另有两条棱(虚线表示)被遮挡；
由左视图可知，物体左侧有两个面的视图是矩形，它们的交线是一
条棱(中间的实线表示)，可见到.综合各视图可知，物体的形状是正
五棱柱.
师生共同解决：（出示课件9）
解：物体是正五棱柱形状的，如图所示.
教师强调：由三视图想象立体图形时，先分别根据主视图、俯视图和左视图想象立体图形的前面、上面和左侧面的局部形状，然后
再综合起来考虑整体图形．
出示课件10，学生独立解决并口答，教师订正.
考点3 根据三视图画出几何体的图形.
例 请根据下面提供的三视图，画出几何图形.（出示课件11）
学生独立思考后画图，教师巡视并用多媒体展示.
解：如下图所示：
出示课件12～13，学生独立解决并口答，教师订正.
（三）课堂练习（出示课件14-22）
引导学生练习课件14-22页相应题目，约用时15分钟。
（四）课堂小结（出示课件23）本节课你有哪些收获？你还有什么困惑吗？（引导学生思考答
复）
师生一起提炼本节课的重要知识和必须掌握的技能：
由三视图想象立体图形时，先分别根据主视图、俯视图和左视图
想象立体图形的前面、上面和左侧面的局部形状，然后再综合起来
考虑整体图形．
（五）课前预习
预习下节课（29.2（第3课时））的相关内容.
能由三视图想象出立体图形后能进行简单的面积或体积的计算.
二十、课后作业
1.教材第103页习题29.2第8题.
2.练习试卷册第141页第9,11,13题.
二十一、板书设计
29.2三视图（第2课时）
1.由三视图想象几何体
2.例题
九、教学反思通过本节课的学习，学生能够根据三视图说出基本几何体的名称，
描述出简单组合几何体的形状，完成了本节课的教学任务，基本达
到了本节课的核心素养目标.
本节课教师运用多媒体课件的演示、学生运用立体模型的操作，
以及列举的生产生活中的实际案例都为学生创设了有效的学习情境，
使枯燥的数学学习变成了有趣的数学活动，在动手操作中培养学生
的空间想象力，同时也加深了对三视图的理解与运用.
29.2 三视图（第3课时）
一、核心素养目标
【数学思维】
1.能熟练地画出物体的三视图和由三视图想象出物体形状，进一步
提高空间想象能力；
2.由三视图想象出立体图形后能进行简单的面积或体积的计算.
【数学眼光】
经历探索简单的几何体的三视图的还原，进一步发展空间想象能
力.
【数学语言】了解将三视图转换成立体图开在生产中的作用，使学生体会到所
学的知识有重要的实用价值.
二、课型
新授课
三、课时
第3课时 共3课时
四、教学重难点
【教学重点】
根据三视图描述基本几何体和实物原型及三视图在生产中的作用.
【教学难点】
根据三视图想象基本几何体和实物原型的形状.
五、课前准备
教师：课件、直尺、三角板、圆规等.
学生：直尺、三角板、圆规、铅笔.
六、教学过程
（一）导入新课（出示课件2）
如图，根据右边图中椅子的三视图,工人就能制造出符合设计要求的椅子.
你想知道他们是如何做到的吗？我们一起继续学习视图！
（二）探索新知
知识点 三视图的有关计算
考点1 利用三视图求物体的表面积.
例 某工厂要加工一批密封罐，设计者给出了密封罐的三视图，
请你按照三视图确定制作每个密封罐所需钢板的面积(图中尺寸单位：
mm).（出示课件4）
师生共同分析：1.应先由三视图想象出密封罐的立体形状；2.画出物体的展开图.
师生共同解决：（出示课件5）
解：由三视图可知，密封罐的形状是正六棱柱.
密封罐的高为50mm，底面正六边形的直径为100mm，边长
为50mm，如图，是它的展开图.
由展开图可知，制作一个密封罐所需钢板的面积为
归纳总结：由三视图求立体图形的面积的方法：（出示课件6）
(1)先根据给出的三视图确定立体图形，并确定立体图形的长、
宽、高.
(2)将立体图形展开成一个平面图形(展开图)，观察它的组成部
分.(3)最后根据已知数据，求出展开图的面积.
出示课件7，学生独立解决，一生板演，教师订正.
考点2 利用三视图求物体的体积.
例 一个机器零件的三视图如图所示(单位：cm)，这个机器零件
是一个什么样的立体图形？它的体积是多少？（出示课件8）
师生共同分析并解决：由三视图可知该几何体是长方体.长方体
的长、宽、高分别是10cm、12cm、15cm，然后利用长方体的体积公
式即可.
解：长方体，其体积为10×12×15=1800(cm3).
出示课件9，学生独立解决并口答，教师订正.
（三）课堂练习（出示课件10-18）
引导学生练习课件第10-18页相应题目，教师及时订正并进行讲
解。约用时20分钟。
（四）课堂小结（出示课件19）本节课你有哪些收获？你还有什么困惑吗？（引导学生思考答
复）
师生一起提炼本节课的重要知识和必须掌握的技能：
由三视图求立体图形的体积(或面积)的方法：
(1)先根据给出的三视图确定立体图形，并确定立体图形的长、
宽、高、底面半径等；
(2)根据已知数据，求出立体图形的体积(或将立体图形展开成一
个平面图形，求出展开图的面积).
（五）课前预习
预习下节课（29.3）的相关内容.
能根据三视图制作立体模型，体验平面图形向立体图形转化的过
程.
二十一、课后作业
1.教材第100页练习第2题.
2.练习试卷册第140～141页第5,6,8,10题.
二十二、板书设计
29.2三视图（第3课时）1.由三视图求立体图形的体积(或面积)
2.例题
九、教学反思
本节课重在引导学生总结解决此类问题的方法和规律，探究其实
质．在小组讨论的过程中，学生了解了三视图中相关数据的对应关
系，即“长对正，高平齐，宽相等”，找到了解决问题的根本，通
过具体的例题，让学生进行练习，巩固学习效果.
29.3课题学习 制作立体模型
一、核心素养目标
【数学思维】
根据三视图制作立体模型，体验平面图形向立体图形转化的过程，
体会用三视图表示立体图形的作用，进一步感受立体图形与平面图
形之间的联系.
【数学眼光】
1.通过课题活动，分组交流讨论，经历由三视图想象其对应的立
体图形，设计表面展开图制作立体模型；2.由三视图切割马铃薯（或萝卜）等实物模型；或由表面展开图
制作正四面体，并绘制其三视图的过程，体会平面图形和立体图形
的相互转化.
【数学语言】
培养学生自主学习与合作的学习方式，让学生更深体会到三视图
的应用价值.
二、课型
新授课
三、课时
1课时
四、教学重难点
【教学重点】
让学生根据三视图制作立体模型，体验平面图形向立体图形的转
化过程.
【教学难点】
平面图形与立体图形的联系与转化.
五、课前准备教师：课件、模型，小刀.
学生：刻度尺、剪刀、小刀、胶水、纸板、马铃薯（或萝卜）等
六、教学过程
（一）导入新课（出示课件1～7）
观察课件图片，体会现实生活中的立体模型
①科学家为了研究化学物质，制作出物质分子的立体模型.
②2008年北京奥运会主体育场——“鸟巢”.
③国家游泳中心——“水立方”.
④中国2010年上海世界博览会中国馆.
⑤创意来源于生活.
⑥心灵手巧.
（二）探索新知
知识点 制作立体模型（出示课件9）师生共同总结：根据三视图制作立体模型的一般步骤：通过三视
图想象物体的形状，将平面图形转化为立体图形，然后制作这个立
体模型.（出示课件10）
出示课件11～12，学生分组活动并展示，教师订正.
出示课件13～16，学生独立解决，两生板演，教师订正.
（三）课堂小结（出示课件17～18）
本节课你有哪些收获？你还有什么困惑吗？（引导学生思考答
复）
师生一起提炼本节课的重要知识和必须掌握的技能：
根据三视图制作立体模型的一般步骤：通过三视图想象物体的形
状，将平面图形转化为立体图形，然后制作这个立体模型.
二十二、课后作业
1.教材第107页活动2，活动3.
2.练习试卷册第144页第4,5题.
二十三、板书设计
29.3课题学习 制作立体图形九、教学反思
三视图和平面展开图是以不同方式描绘立体图形的，本节课它
们在生产实际中有直接应用．了解这方面的例子，可以丰富实践知
识，进一步认识三视图和平面展开图.从技能上说，认识平面图形与
立体图形的联系，有助于根据需要实现它们之间的相互转化，即学
会画三视图和由三视图得出立体图形.从能力上说，认识平面图形与
立体图形的联系，对于培养空间想象能力上非常重要的.同时，感性
认识需要上升为理性认识，理论指导下的实践会更明确有效.下次购买徽信 dzzy888666
