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专题 08 平方差公式与完全平方公式之六大题型
运用平方差公式进行运算
例题：（2023下·山东泰安·六年级统考期末）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2022上·河南南阳·八年级统考期末）下列不能用平方差公式直接计算的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023下·浙江金华·七年级校联考期末）下列能用平方差公式计算的是（ ）
A． B． C． D．
平方差公式与几何图形
例题：（2023下·山东淄博·六年级统考期末）如图，图1为边长为a的大正方形中有一个边长为b
的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．(1)设图1中阴影部分面积为 ，图2中阴影部分面积为 ，请用含a、b的代数式表示：
______， ______（只需表示，不必化简）；
(2)以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式______；
(3)运用（2）中得到的公式，计算： ．
【变式训练】
1．（2023下·山东聊城·七年级校考期末）如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方
形（ ），把余下的部分剪拼成一个矩形．
(1)通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是________；
A． B．
C． D．
(2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知： ， ，求 的值；
②计算： ．2．（2023上·安徽芜湖·八年级统考期末）从边长为 的正方形中剪掉一个边长为 的正方形（如图
1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
(1)上述操作能验证的等式是___________（请选择正确的一个）；
A． B． C．
(2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知 ，求 的值；
②计算： ．
求完全平方式中的字母系数
例题：（2023上·福建福州·八年级校联考期末）已知关于x的多项式 是一个完全平方式，
则常数m的值为 ．
【变式训练】
1．（2023下·江苏苏州·七年级统考期末）如果多项式 是完全平方式，则 的值为
．
2．（2023下·四川·八年级统考期末）若多项式 的结果是一个多项式的平方，则单项式．
通过对完全平方公式变形求值
例题：（2023下·河南平顶山·七年级统考期末）若 ， ，则 的值是（ ）
A．16 B．20 C．25 D．26
【变式训练】
1．（2023上·河南开封·八年级校考期末）已知实数a，b满足 ， ，则
的值为（ ）
A．13 B．16 C．19 D．21
2．（2023下·江苏苏州·七年级统考期末）若 ， ，则代数式 的值等于
．
含乘法公式的整式的混合运算
例题：（2023下·贵州毕节·七年级统考期末）先化简，再求值：
，其中 ， ．
【变式训练】
1．（2023下·云南文山·七年级校联考期末）化简求值： ，其
中 ， ．
2．（2023下·山东威海·六年级统考期末）（1）先化简，再求值： ，
其中 ， ；（2）已知 ，求 的值．
完全平方式在几何图形的应用
例题：（2023上·山西朔州·八年级统考期末）图1是一个长为 、宽为 的长方形，沿图中虚线
用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
(1)图2中阴影部分的正方形的周长为 ；
(2)观察图2，请写出下列三个代数式 ， ， 之间的等量关系；
(3)运用你所得到的公式，计算：若 为实数，且 ， ，试求 的值．
【变式训练】
1．（2023下·安徽宿州·七年级统考期末）如图1是一个长为 、宽为b的长方形，沿图中虚线用
剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个大正方形，如图2所示，请直接写出
之间的等量关系 ．2．（2023下·山东潍坊·七年级统考期末）图1是一个长为 ，宽为 的长方形，沿图中虚
线用剪刀平均裁成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼成一个大正方形．
(1)图2中的阴影部分正方形的边长是 （用含a，b的代数式表示）；
(2)观察图1，图2，能验证的等式是： （请选择正确的一个）；
A．
B．
C．
(3)如图3，C是线段 上的一点，以 为边向上分别作正方形 和正方形 ，连
接 ．若 ，求 的面积．
一、单选题
1．（2023下·江苏苏州·七年级统考期末）若多项式 是一个完全平方式，则m的值为
（ ）
A．3 B． C．6 D．
2．（2023上·河北邢台·八年级校联考期末）下列计算正确的是（）
A． B．C． D．
3．（2023下·河南郑州·七年级统考期末）已知等腰三角形的两边长满足 ，
那么这个等腰三角形的周长为（ ）
A．15 B．12 C．12或15 D．9
4．（2023下·山东泰安·六年级统考期末）如果 ，那么代数式 的
值为（ ）
A． B．11 C． D．15
5．（2023下·河北保定·八年级保定十三中校考期末）已知 ， ( 为任意实
数)，则 ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
二、填空题
6．（2023上·河南濮阳·八年级校考期末）已知 ， ，则 ．
7．（2023下·四川达州·八年级校考期末）若 可以用完全平方式来分解因式，则m
的值为 ．
8．（2023下·浙江·七年级期末）设 ， ， ，若 ， ，则
．
9．（2023下·河南郑州·八年级校考期末）已知多项式 与一个单项式的和是一个多项式的平方，
请写出一个满足条件的单项式 ．
10．（2023下·河南平顶山·七年级统考期末）某公园有一块长为 米，宽为 米的长方
形地块，规划部门计划其内部修建一座边长为 米的正方形雕像，左边修一条宽为a米的长方
形道路，其余阴影部分为绿化场地，尺寸如图所示．用含a，b的代数式表示绿化的面积是平方米（结果要化简）；
三、解答题
11．（2023下·山东淄博·六年级统考期末）先化简，再求值：
，其中 ．
12．（2023下·山东聊城·七年级统考期末）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．（要求简便计算）
13．（2023下·山东烟台·六年级统考期末）先化简，再求值：
(1) ，其中 ；
(2) ，其中 满足 ．14．（2023下·广东深圳·七年级校联考期末）（1）若 ， ，求 的值．
根据上面的解题思路与方法解决下列问题：
（2）已知 中， ，分别以 、 边向外侧作正方形．如图所示，设 ，两
正方形的面积和为20，求 的面积．
（3）若 ，求 的值．
15．（2023下·湖南郴州·七年级校考期末）图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用
剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
(1)请用两种不同的方式表示图2中的阴影部分的面积；
(2)若 ，利用（1）的结论求 的值．16．（2023下·四川达州·七年级校考期末）阅读理解：
若x满足 ，试求 的值．
解：设 ， ，则 ，且 ．
因为 ，所以 ．
即 的值为 ．
根据材料，请你完成下面这一题的解答过程：
若x满足 ，试求 的值．
