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专题 09 一次函数与几何图形综合的七种考法
类型一、面积问题
例．如图，直线AB的表达式为 ，交x轴，y轴分别与B，A两点，点D坐标为 点C在线
段 上， 交y轴于点E．
(1)求点A，B的坐标．
(2)若 ，求点C的坐标．
(3)若 与 的面积相等，在直线 上有点P，满足 与 的面积相等，求点P坐标．
【答案】(1) ；(2) ；(3)
【详解】（1）解：令 ，则 ，
令 ，则 ，
解得： ，∴点 ；
（2）解：如图，过点C作 于点F，
∵ ，
∴ ，
∵点D坐标为 ，点B的坐标为 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴点F的坐标为 ，
即点C的横坐标为2，
当 时， ，
∴点C的坐标为 ；
（3）解：设点C的坐标为 ，
∵ 与 的面积相等，
∴ ，即 ，
∴ ，
即 ，解得： ，
∴点C的坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，
把点 ， 代入得：
，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
如图，连接 ，
∵ 与 的面积相等，
∴点O和点P到距离相等，此时 ，
∴直线 的解析式为 ，
联立得： ，解得： ，
∴点P的坐标为 ．
【变式训练1】如图，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，且经过定点，直线 与 交于点 ．
(1)填空： ________； ________； ________；
(2)在 轴上是否存在一点 ，使 的周长最短？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若动点 在射线 上从点 开始以每秒1个单位的速度运动，连接 ，设点 的运动时间为 秒．是
否存在 的值，使 和 的面积比为 ？若存在，直接写出 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，4，2
(2)存在，
(3)存在， 或
【详解】（1）∵直线 与 轴交于点 ，且经过定点 ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 ，
∵直线 经过点 ，
∴ ，
∴ ，
把 代入 ，得到 ．
∴ ， ， ．故答案为： ，4，2；
（2）作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于 ，连接 ，则 的周长最小．
设直线 的解析式为 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 的解析式为 ，
令 ，得到 ，
∴ ，
∴存在一点 ，使 的周长最短， ；
（3）∵点 在射线 上从点 开始以每秒1个单位的速度运动，直线 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵点 的运动时间为 秒．
∴ ，分两种情况：①点 在线段 上，
∵ 和 的面积比为 ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ；
②点 在线段 的延长线上，
∵ 和 的面积比为 ，
∴ ，
∴ ，
∴
综上：存在 的值，使 和 的面积比为 ， 的值为 或 ．
【变式训练2】在平面直角坐标系中，O为原点，点 ， ， ，点D是y轴正半轴上的
动点，连接 交x轴于点E．(1)如图①，若点D的坐标为 ，求 的面积；
(2)如图②，若 ，求点D的坐标．
(3)如图③，若 ，请直接写出点D的坐标．
【答案】(1)5；
(2) ；
(3) ．
【详解】（1）解：如图，连接 ，
， ， ， ，
；
（2）解： ，，
；
（3）解：设 ，
直线 的解析式为： ，
则有： ，
解得： ，
，
令 ，解得 ，
，
，
，
，
，
整理得 ，
解得 或 （不符合题意，舍去），
．
【变式训练3】如图，平面直角坐标系中，直线 ： 交y轴于点 ，交x轴于点B．过点且垂直于x轴的直线 交 于点D，P是直线 上一动点，且在点D的上方，设 ．
(1)求直线 的解析式和点B的坐标；
(2)求 的面积（用含n的代数式表示）；
(3)当 的面积为2时，以 为边在第一象限作等腰直角三角形 ，求出点C的坐标．
【答案】(1) ，
(2)
(3) 或 或
【详解】（1）解：∵直线 ： 交y轴于点 ，
∴ ，
∴直线 为 ，
当 时， ，
解得 ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴D的横坐标为1，当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴
；
（3）解：根据题意，得 ，
解得 ，
∴ ，
①以 为腰时，
当B为直角顶点时，如图，过点C作 轴于点H，
则 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，∴点 ；
当P为直角顶点时，如图，过点C作 于点G，
，
则 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴点 ；
②以 为底时，如图，过点C作 于点G，作 轴于点H，
则 ， ，
∴ ，∴ ，
∴∴ ，∴ ， ，∴ ，即 ，∴ ，∴点 ；
综上，符合题意的点C坐标为 或 或 ．
类型二、最值问题
例．如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 的图像经过 、 两点．
(1) ______， ______．
(2)已知 、 ，
①在直线 上找一点P，使 ．用无刻度直尺和圆规作出点P（不写画法，保留作图痕迹）；
②点P的坐标为______；
③点Q在y轴上，那么 的最小值为______．
【答案】(1) ，4；(2)①见解析；② ；③5
【详解】（1）解：将 、 代入 中，
得： ，解得； ，故答案为： ，4；
（2）①如图，点P即为所求；②由作图可知：点P在 的垂直平分线上，
∵ 、 ，
∴点P的横坐标为1，代入 中，
得： ，
∴ ；
③∵ ，
∴点N关于y轴对称点为 ，
则 ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ．【变式训练1】在平面直角坐标系中，已知直线 经过 和 两点，且与 轴， 轴分别相交
于 ， 两点．
(1)求直线 的表达式；
(2)若点 在直线 上，当 的面积等于2时，求点 的坐标；
(3)①在 轴上找一点 ，使得 的值最小，则点 的坐标为______；
②在 轴上找一点 ，使得 的值最大，则点 的坐标为______．
【答案】(1) ；(2) 或 ；(3)① ②
【详解】（1）解：设直线 的表达式是 ，
∵直线 经过 和 两点，解得： ，
∴直线 的表达式是 ；
（2）在 中，令 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
∵ 的面积等于2，
∴ ，即： ，
∴ ，
∴ 或 ；
（3）①如图，∵ ，
∴当 时， 最小，
故点 在线段 的垂直平分线上，作线段 的垂直平分线交 轴于点 ，则点 即为所求．∴ ，
设 ， ∴ 解得： ，
故点 的坐标为 ，故答案为： ；
②如图，作 点关于 轴的对称点 ，连接 并延长交 轴于 ，
则 ，即，当 三点共线时， 的值最大，
∵ ，∴ ．
设直线 的解析式为 ，
把 的坐标代入得 解得 ，
∴直线 的解析式为：
当 时， ，∴ ．
故答案为： ．
【变式训练2】如图，一次函数 的图象分别与x轴和y轴交于C，A两点，且与正比例函数的图象交于点 ．
(1)求正比例函数的表达式；
(2)点D是一次函数图象上的一点，且 的面积是4，求点D的坐标；
(3)点P是y轴上一点，当 的值最小时，若存在，点P的坐标是______．
【答案】(1)
(2) 或
(3)
【详解】（1）当 时， ，
∴点 ，
∴ ，即 ，
∴正比例函数的表达式为 ；
（2）设点 ，
当 时， ，
∴点 ，
∴ ，
∵ 的面积是4，
∴ ，
解得： 或2，
∴点D的坐标为 或 ；
（3）存在，理由如下：如图，
取点C关于y轴的对称点 ，则 ,
即点P位于 与x轴的交点时， 最小，
∵点 ，
∴点 ，
设直线 的解析式为 ，
把点 ， 代入得 ：
，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
当 时， ，
【变式训练3】如图，在平面直角坐标系内， ， ，点 在 轴上， 轴，垂足为 ，
轴，垂足为 ，线段 交 轴于点 ．若 ， ．
(1)求点 的坐标；
(2)如果经过点 的直线 与线段 相交，求 的取值范围；(3)若点 是 轴上的一个动点，当 取得最大值时，求 的长．
【答案】(1) ；(2) ；(3)
【详解】（1）解：∵ 轴， 轴，∴ ，
在 和 中， ，∴ ，∴ ， ，
∵ ， ，∴ ， ，∴ ，∴ ，∴点 的坐标为： ．
（2）解：设经过点 ， 的直线的解析式为 ，且 ， ，
∴ ，解方程组得， ，∴经过点 ， 的直线的解析式为 ，∴ ，
∵点 在直线 上，∴ ，∴ ，则直线的解析式表示为 ，
若直线经过点 ，则 ，解方程得， ；若直线经过点 ，则 ，
∴ 的取值范围是 ．
（3）解：根据“三角形两边之差小于第三边”可知， ，
∴ 的最大值为 ，则点 为直线 与 轴的交点，由（1）可知， ，如图所示，
过点 作 轴于 ，根据勾股定理得， ，
设 ，则 ，解方程得， ，∴ ，
∴当 取得最大值时， 的长为 ．类型三、等腰三角形存在性问题
例．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图像分别交x轴、y轴于点A和B．已知点C的标
为 ，若点P是x轴上的一个动点．
(1)A的坐标是______，B的坐标是______；
(2)过点P作y轴的平行线交 于点M，交 于点N，当点P恰好是 的中点时，求出P点坐标．
(3)若以点B、P、C为顶点的 为等腰三角形时、请求出所有符合条件的P点坐标．
【答案】(1) ， ；
(2) ；
(3) 或 或 或 ．
【详解】（1）解：一次函数 的图像分别交x轴、y轴于点A和B，
令 ，即 ，
解得 ，
令 ，即 ，
， ，
故答案为： ， ；（2）设直线 的解析式 ，
将 ， 代入 ，
，
解得 ，
∴直线 的函数解析式 ，
设点 ，则点 ，点 ，
依题意可得 ，
∴ ，
解得： ， ；
（3）设 , 而 ，
， ， ，
当 时，有 ，解得： ， ，
当 ,有 ，解得： ，
不合题意舍去， ，
当 时，有 ，解得： 或 ，
或 ，
综上所述： 或 或 或 ，
【变式训练1】直线 与x轴、y轴分别交于 两点，且 ．(1)求 的长和k的值：
(2)若点A是第一象限内直线 上的一个动点，当它运动到什么位置时， 的面积是 ？
(3)在（2）成立的情况下，y轴上是否存在点P，使 是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不
存在，请说明理由．（写过程）
【答案】(1) ， ；
(2)当点A运动到 时， 的面积是 ；
(3) ， ， ， ．
【详解】（1）解： ，
当 时， ，∴点C的坐标为 ，∴ ，
又 ，∴ ，即点B的坐标为 ，
将 代入 ，得： ，解得， ；综上所述： ， ．
（2）作 于D，由题意得， ，
， 解得， ，即点A的纵坐标为4， ，解得， ，
∴当点A运动到 时， 的面积是 ；
（3）在（2）成立的情况下，y轴上存在一点P，使 是等腰三角形，
分四种情况考虑：
当 时， ；
当 时， ；
当 时，作 ， ，
为线段 垂直平分线与 轴的交点， ， ， ，设 ，则 ，
在 中， ，即
在 中， ，即 ，
， ， ，
当 时， ；
综上，P的坐标为 ， ， ， ．
【变式训练2】在平面直角坐标系中，直线 交x轴正半轴于点M，交y轴负半轴于点 ，
，作线段 的垂直平分线交x轴于点A，交y轴于点B．
(1)如图1，求直线 的解析式和A点坐标；
(2)如图2，过点M作y轴的平行线l，P是l上一点，若 ，求点P坐标；
(3)如图3，点Q是y轴的一个动点，连接 、 ，将 沿 翻折得到 ，当 是等
腰三角形时，求点Q的坐标．
【答案】(1) ； ；(2) ， ．(3) ， ， ．
【详解】（1）解： ∵ ， ，∴ ， ，∴ ，解得： ，
设 为 ，∴ ，解得： ，∴ ，
∵ 垂直平分 ，
∴ 的中点 的坐标为： ， ，
过 作 于 ，则 ，
∴ ，∴ ，∴ ．
（2）在y轴上取一点 ，使得 ．
∵ ，
∴ ，解得 ， ，∴ ， ．
∵ ， ，
同理可得： 的解析式为： ，
作 交 于P，∴ ，
∴ ，即同理 ，∴ ．
综上： ， ．
（3）①如图，当 时，
由轴对称的性质可得： ，
∵ ，
∴ ，
∴由垂直平分线的判定定理可得： ， 互相垂直平分，
∴ 在 轴上，且 ，
设 ，
∴ ，解得： ，
∴ ，∴ ．
②当 时，如图，
由 ，
∴ 为等边三角形，
此时 ， 重合，∴ ；
③当 时， 在直线 上，如图，∵ ，
∴ ， ， ，
作 ， 在 轴上，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
同理：如图，当 在 的位置， 在 的位置，
此时 ．
综上： 或 或 ．
【变式训练3】如图，一次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，与正比例
函数 的图象交于点 ，且点 的横坐标为2，点 为 轴上的一个动点．(1)求 点的坐标和 、 的值；
(2)连接 ，当 与 的面积相等时，求点 的坐标；
(3)连接 ，是否存在点 使得 为等腰三角形?若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ； ；
(2) 或
(3)存在点 使得 为等腰三角形，点 的坐标为 或 或 或
【详解】（1）解：将 代入 ，得 ，∴点 的坐标为 ．
∵一次函数 的图象与 轴交于点 ，∴ ， 即 ．
将点 代入 ，得 ，解得 ．
（2）解：∵ ， ，
∴ ， 中 边上的高为2，
∴ ，∴ ．
在 中，令 ，得 ，
∴ ，即 中， 边上的高为 ，
∴ ，解得 ．
又∵ ，∴ 或 ．（3）解：如图1，过点 作 轴于点 ，
则 ，
所以 ， ，所以 ．
①当 时， ．
因为 ，所以此时点 的坐标为 或 ；
②当 时，由等腰三角形的性质易得 ．因为 ，所以 ．
因为 ，所以此时点 的坐标为 ；
③当 时，如图2，设 ，则
， ，所以 ，
所以 ，解得 ，所以此时点 的坐标为 ．
综上可知，存在点 使得 为等腰三角形，点 的坐标为 或 或 或 ．
类型四、直角三角形存在性问题
例．如图1，在平面直角坐标系 中，点O为坐标原点，直线 : 与直线 ： 交于
点 ，与x轴分别交于点 和点C．点D为线段 上一动点，将 沿直线 翻折得到
，线段 交x轴于点F．(1)直线 的函数表达式．
(2)当点D在线段 上，点E落在y轴上时，求点E的坐标．
(3)若 为直角三角形，求点D的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【详解】（1）解：将 代入直线 中，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
将点A的坐标代入，得 ，
∴ ，
将点A的坐标代入直线 中，
解得 ，
∴直线 的解析式为：
（2）（3）过点A作 轴于M， 轴于N，则 ，
由折叠得 ，
∴ ，∴ ，
解得 （负值已舍去），
又E在y轴负半轴，
∴ ；
（3）分两种情况：
①当 时，如图，
由折叠得 ，
，
过A作AG⊥x轴于G， ，
， ，∴ ；
②当 时，如图，由折叠得 ， ，
∴ ，
由A、B两点坐标可得： ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
综上， 或 ．
【变式训练1】综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴，y轴分别交于点A，B，
与直线 交于点C．直线 与x轴交于点D，若点P是线段 上的一个动点，点P
从点D出发沿 方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到 A停止运动）．设点P的运动时间为 ．(1)求点A和点B的坐标；
(2)当 的面积为12时，求t的值；
(3)试探究，在点P运动过程中，是否存在t的值，使 为直角三角形？若存在，请直接写出t的值；
若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)
(3)存在，t的值为4或6
【详解】（1）解：在 中，令 得 ，
解得 ，
∴ ，
在 中，令 得 ，
∴ ；
（2）解：过C作 轴于H，连接 ，如图：
在 中，令 得： ，
解得 ，∴ ，
∴ ，
由 ，得： ，
∴ ，
∴ ，
∵点P从点D出发沿 方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A，
∴ ，
∴ ，
∵ 的面积为12，
∴ ，即 ，
解得 ；
（3）解：存在，理由如下：
①当 时，过C作 轴于H，如图：
∵ ， ，
∴ ， ，
由（2）知 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，解得 ；
②当 时，如图：
此时 是等腰直角三角形， ，
∴ ，∴ ，
综上所述，t的值为4或6．
【变式训练2】如图，平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 与 轴交于点 ，点 是直
线 上的一点，它的坐标为 ，经过点 作直线 轴交 轴于点 ．
(1)求点 的坐标；
(2)已知点 是直线 上的动点，
若 的面积为4，求点 的坐标；
若 为直角三角形，请求出所有满足条件的点 的坐标．
【答案】(1)(2) ， ； 或
【详解】（1）解：设直线 的解析式为 ，
直线 与 轴交于点 与 轴交于点 ，
，解得 ， 直线 的解析式为 ，
把 代入 ，得 ， ， ．
（2）解： ， ，
直线 轴交 轴于点 ， ，
， ， ， ；
一定不是直角，
当 时，点 恰好在点 ， ，
当 时，
，
由题可得 ， ， ，
， ，
， ，
综上所述，所有满足条件的点 的坐标为 或 ．
【变式训练3】如图，已知函数 的图象与 轴交于点 ，一次函数 的图象经过点 ，与 轴以及 的图象分别交于点 ， ，且点 的坐标为 ．
(1)则 ______， ______， ______；
{y=x+1,
(2)关于 ， 的二元一次方程组 的解为______；
y=kx+b
(3)求四边形 的面积；
(4)在 轴上是否存在点 ，使得以点 ， ， 为顶点的三角形是直角三角形，请求出点 的坐标．
【答案】(1)3， ，2；(2) ；(3) ；(4)存在， 的坐标为 或
【详解】（1）对于直线 ，令 ，得到 ，即 ，
把 代入 中，得： ，
把 代入 得： ，即 ，
把 坐标代入 中得： ，即 ，
故答案为：3， ，2；
（2）∵一次函数 与 交于 ，
∴由图象得： 的解为： ；
故答案为： ；（3）∵一次函数 的图象与 轴交于点 ，
∴ ，
∴ ；
（4）如图所示，设 ，
∴ ，
，
，
分两种情况考虑：
（1）当 时， ，
①当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②当 时，由 横坐标为1，得到 横坐标为1，
∵ 在 轴上，∴ 的坐标为 ，
综上， 的坐标为 或 ．
类型五、等腰直角三角形存在性问题
例．模型建立：如图1，等腰直角三角形 中， ， ，直线 经过点 ，过 作
于 ，过 作 于 ．
(1)求证： ．
(2)模型应用：已知直线 与 轴交与 点，将直线 绕着 点顺时针旋转 至 ，如图2，求
的函数解析式．
(3)如图3，矩形 ， 为坐标原点， 的坐标为 ， 、 分别在坐标轴上， 是线段 上动点，
设 ，已知点 在第一象限，且是直线 上的一点，若 是不以 为直角顶点的等腰直
角三角形，请直接写出点 的坐标．
【答案】(1)见解析
(2) 的解析式：
(3)点 ， ， ．
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，∴ ，
在 与 中，
∴ ；
（2）解：过点 作 于点 ，交 于点 ，过 作 轴于 ，如图，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
由（1）得： ，
∴ ， ，
∵直线 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
设 的解析式为 ，
把点 ， 代入得：
∴ ，解得： ，∴ 的解析式： ；
（3）解：当点 位于直线 上时，分两种情况：
设 ，
①点 为直角顶点，分两种情况：
当点 在矩形 的内部时，过 作 轴的平行线 ，交直线 于 ，交直线 于 ，则
，
∴ ， ；
由（1）得： ，
∴ ，
即 ，
解得： ；
∴ ；
当点 在矩形 的外部时， 则 ，
∴ ， ；
由（1）得： ，
∴ ，
即 ，
解得： ；
∴ ；②点 为直角顶点，此时点 位于矩形 的外部，则 ，
∴ ；
同（1）得， ，
∴ ， ；
∴ ；
∴ ，
解得： ；
∴ ；
综合上面情况可得： 点的坐标为 或 或 ．
【变式训练1】综合与探究：
如图1，平面直角坐标系中，一次函数 的图像分别与x轴、y轴交于点A，B，点C是线段OA
的中点，点 与点 关于 轴对称，作直线 ．
(1)求A，B两点的坐标；
(2)求直线 的函数表达式；
(3)若点 是直线 上的一个动点．请从A，B两题中任选一题作答．我选择______题．
A．如图2，连接 ， ．直接写出 为直角三角形时点 的坐标．
B．如图3，连接 ，过点 作 轴于点 ．直接写出 为等腰直角三角形时点 的坐标．
【答案】(1) ，
(2)直线 的解析式为
(3)A．点 的坐标为 或 ；B．点 的坐标为 或
【详解】（1）解：当 时， ，
∴点 ，
当 时，则 ，
解得 ，
∴点 ；
（2）∵点C是线段OA的中点，
∴ ，
∵点 与点 关于 轴对称，
∴点 ，
设直线 的解析式为 ，
则 ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ；
（3）A．当 时，则点 的横坐标为 ，
则 ，
∴点 的坐标为 ；
当 ，则点 的横坐标为 ，则 ，
∴点 的坐标为 ；
综上所述，点 的坐标为 或 ；
B．∵ 为等腰直角三角形，
∴ ，
设点 ，则 ，
当点 在 之间时，
则 ，
解得： ，
∴点 ；
当点 在点 左侧时，
则 ，
解得： ，
∴点 ；
若点 在点 右侧时，
则 ，
解得： （不合题意，舍去）；
综上所述：点 的坐标为 或 ．
【变式训练2】如图，平面直角坐标系中，直线 交y轴于点 ，交x轴于点B．直线
交AB于点D，交x轴于点E，P是直线 上一动点，且在点D的上方，设 ．(1)求直线 的解析式；
(2)当 时，在第一象限内找一点C，使 为等腰直角三角形，求点C的坐标．
【答案】(1)
(2) 或 或
【详解】（1）解：∵ 经过 ，
∴ ，
∴直线 的解析式是 ；
（2）解：当 时， ，解得 ，
∴点 ．
∴ ，
过点A作 ，垂足为M，则有 ，
∵ 时， ，P在点D的上方，
∴ ，∴ ；
∵ ，
∴ ，解得 ，
∴点 ．
根据题意得： ， ，
∴ ，
∴ ．
若 ，过点C作 于点N，如图，
∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
若 ，如图，过点C作 轴于点F．∵ ，∴ ．
又∵ ，
∴ ．∴ ，
∴ ，∴ ；
若 ，如图，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ；
∴点C的坐标是 或 或 ．
【变式训练3】如图，在平面直角坐标系 中，直线 交x轴于点 ，与y轴交于点 ，且
a，p满足 ．(1)求直线 的解析式；
(2)如图1，直线 与x轴交于点N，点M在x轴上方且在直线 上，若 的面积等于6，请求
出点M的坐标；
(3)如图2，已知点 ，若点B为射线 上一动点，连接 ，在坐标轴上是否存在点Q，使
是以 为底边，点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点Q坐标；若不存在，请说明
理由．
【答案】(1)直线AP的解析式为
(2)
(3)Q的坐标为 或 或 ，理由见解析
【详解】（1）解：∵ ，
解得 ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，解得 ，∴直线AP的解析式为 ；
（2）过 作 交x轴于D，连接 ，
∵ ， 的面积等于6，
∴ 的面积等于6，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，则 ，
∴ ，
∴直线 的解析式为 ，
令 ，得 ，
∴ ；
（3）Q的坐标为 或 或 ．
理由如下：
设 ，
①当点Q在x轴负半轴时，过B作 轴于E，如图，∴ ，
∵ 是以 为底边的等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②当Q在y轴正半轴上时，过C作 轴于F，过B作 轴于G，如图，∴ ， ，
∵ 是以 为底边的等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
③当Q在y轴正半轴上时，过点C作 轴于F，过B作 轴于T，如图，∴ ， ，
同②可证 ，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
综上，Q的坐标为 或 或 ．
类型六、平行四边形存在性问题
例．在平面直角坐标系 中，直线 分别与 、 轴相交于 、 两点，将线段 绕点 顺时
针旋转 得到线段 ．连接 交 轴于点 ．
(1)求点 的坐标；
(2) 为 轴上的动点，连接 ， ，当 的值最大时，求此时点 的坐标．
(3)点 在直线 上，点 在 轴上，若以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点
的坐标；
【答案】(1)点 的坐标为
(2)(3)点 的坐标为 或 或
【详解】（1）解：令 则
令 则
过点 作 轴于
由旋转得
点 的坐标为
（2）作点 关于 轴的对称点 连接 延长交 轴于点 则点 就是所求的最大值点设直线 的解析式为
，
解得 ，
（3）
设直线 的解析式为 ，
则
解得
直线 的解析式为 ，
设直线 的解析式为
解得：
∴直线 的解析式为
设以 为平行四边形的对角线时，
，
解得 ，
当 为平行四边形的对角线时，
，
解得 ，
当 为平行四边形的对角线时
，解得 ，
综上所述 点 的坐标为 或 或
【变式训练1】如图1，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，且
满足： ．
(1)求： 的值；(2) 为 延长线上一动点，以 为直角边作等腰直角 ，连接 ，求直线 与 轴交点 的坐
标；
(3)在（2）的条件下，当 时，在坐标平面内是否存在一点 ，使以 为顶点的四边形是
平行四边形，如果存在，直接写出点 的坐标，若不存在，说明理由．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ．
【详解】（1）由题意可得： 解得 ，
∴ ，
∴
（2）如图所示，过点E作 轴于G．
∵ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 中，
，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
设 ，∴ ，
∴ ，
∴ 点的坐标为 ，
∵ ，
∴设 ，
代入点 和点 的坐标得： ，
解得 ，
∴ 的解析式为 ，
∴当 时， ，
∴ 与 轴的交点 坐标为 ．
（3）存在，点Р的坐标为：
∵ ， 点的坐标为 ，
∴
又 ， ， 为顶点的四边形是平行四边形
设 ，当 为平行四边形的对角线时，
解得： ，则 ，当 为对角线时， ，
解得： ，则 ，
当 为对角线时， ，
解得： ，则 ，
综上所述，点Р的坐标为： ．
【变式训练2】如图，直线l：y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C；直线l：y=kx+b与x轴交于点B
1 2
（3，0），与直线l 交于点D，且点D的纵坐标为4．
1
(1)不等式kx+b＞2x+2的解集是 ；
(2)求直线l 的解析式及△CDE的面积；
2
(3)点P在坐标平面内，若以A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形，求符合条件的所有点P的坐标．
【答案】(1)x＜1
(2)2
(3)P（-3，4）或（5，4）或（1，-4）
【详解】（1）对于直线l：y=2x+2，交于点D，且点D的纵坐标为4，则
1
4=2x+2，
解得：x=1，
故点D（1，4），
从图象看，当x＜1时，kx+b＞2x+2，
故答案为：x＜1；（2）将点B（3，0）、D（1，4）代入y=kx+b得：
，
解得： ，
故直线l：y=-2x+6，
2
当x=0时，y=6,
对于直线l：y=2x+2，当x=0时，y=2，
1
∴
∴
∴
（3）分别过点A、B作l、l 的平行线交于点P″，交过点D作x轴的平行线于点P、P′，
2 1
对于直线l：y=2x+2，当y =0时，x =-1，
1
∴
∵B(3,0)
①当AB是平行四边形的一条边时，
此时符合条件的点为下图中点P和P′，
则AB=4=PA=P′D，
故点P的坐标为（-3，4）或（5，4）；
②当AB是平行四边形的对角线时，此时符合条件的点为图中点P″，DA平行且等于BP“，由平移可知，点P″（1，-4）；
综上，点P（-3，4）或（5，4）或（1，-4）．
类型七、菱形存在性问题
例．如图，在平面直角坐标系中，直线 分别与x轴，y轴点B，C且与直线 交于点
A，
(1)直接写出点B，C的坐标；B________；C________；
(2)若D是线段 上的点，且 的面积为6，求直线 的函数表达式；
(3)在（2）的条件下，设P是射线 上的点，在平面内是否存在点Q，使以O，C，P，Q为顶点的四边形
是菱形？若存在，请求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)直线 的解析式为
(3)存在，点Q的坐标为 或 或（2 ，- 2 ）
【详解】（1）由 得，
时，
时，
∴点B的坐标为 ，点C的坐标为 .
（2）设点D的坐标为
∵ 的面积为6，∵D是线段 上的点，
∴点
设直线 的解析式为
∴直线 的解析式为
（3）若以 为边，设点
①如图1，
当 时，四边形 是菱形，
∴点
②如图2，当四边形 是菱形时，
∴点
∴点
③若 为对角线，如图3
当 与 互相垂直平分时以 为顶点的四边形是菱形，
∴点P的纵坐标为2
∴点P的坐标
∴点
综上所述，点Q的坐标为 或 或
【变式训练1】如图在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线
与直线 交于点P．(1)A点坐标为________，P点坐标为________；
(2)在线段 上有一个动点M，过M点作直线 轴，与直线 相交于点N，若 的面积为
，求M点的坐标．
(3)若点C为线段 上一动点，在平面内是否存在一点D，使得以点O，A，C，D为顶点的四边形是菱形，
若存在请直接写出D点的坐标，若不存在请说明理由．
【答案】(1) ， ；
(2) 或 ；
(3)存在，D点坐标为 或 或 ，理由见解析．
【详解】（1）解： 直线 与x轴交于点A，
令 ，则 ，
解得： ，
点的坐标为 ，
直线 与直线 交于点P
令 ，
解得： ，
，点的坐标为 ，
故答案为： ， ；
（2）解：过P点作 于点E，
设M点的横坐标为 ，
在线段 上，
，
轴，
、 两点横坐标相同，
在直线 上，
，
，
， 轴， ，
，
，
，
整理得： ，
解得： ， ，
点坐标为 或 ；（3）解：存在，
①若 为对角线，则 、 互相垂直平分，
， ，
的垂直平分线为直线 ，
为线段 上一点，且C在直线 上，
，
D点的坐标为 ；
②若 为边， 设点C的坐标为 ，设D点坐标为 ，
当 时，连接 ，对角线 、 交于点G，四边形 为菱形，
、 互相垂直平分，
为 、 的中点，
，
，
，
解得： ， （舍），
，
点G坐标为 ，即
中点坐标为 ，
，
，
D点的坐标为 ；
当 时，连接对角线 、 交于点H，
四边形 为菱形，、 互相垂直平分，
为 、 的中点，
，
，
，
解得： ， ，
（舍去）或 ，
点H坐标为，
中点坐标为 ，
，
，
点的坐标为 ，
综上可知，D点坐标为 或 或 ．
