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专题09 有理数相关计算专题训练
一．加法运算
【知识点睛】
①若a＞0,b＞0，则a+b=+（|a|+|b|）＞0
②若a＜0,b＜0，则a+b=−（|a|+|b|）＜0
③若a＞0,b＜0，且|a|＞|b|，则a+b=+（|a|−|b|）＞0
④若a＞0,b＜0，且|a|＜|b|，则a+b=−（|b|−|a|）＜0
⑤若a＞0,b＜0，且|a|=|b|，则a+b=0
⑥a+0=a
易错技巧点拨：
①有理数的加法计算步骤：
“一判”：判断两个加数的符号（即确定用哪一条法则和确定和的符号）
“二求”：求各加数的绝对值
“三加减”：同号绝对值相加，异号绝对值相减
②简便运算的几种常见情形：
（1）互为相反数的两个数可以先相加
（2）几个数相加得整数时，可以先相加
（3）同分母的分数可以先相加
（4）正负符号相同的数可以先相加
（5）题目中既有分数又有小数时，可以先把小数和分数统一，再观察是否可用简便方法计算
【典例精析】
例1．（2021•云南）某地区2021年元旦的最高气温为9℃，最低气温为﹣2℃，那么该地区这天的最低
气温比最高气温低（ ）
A．7℃ B．﹣7℃ C．11℃ D．﹣11℃
【分析】根据题意，列出减法算式计算即可．
【解答】解：9﹣（﹣2）
＝9+2
＝11（℃），
故选：C．
例2．（2021秋•宜秀区校级月考）已知|x|＝5，|y|＝2，则x+y的值（ ）
A．±3 B．±7 C．3或7 D．±3或±7
【分析】绝对值的逆向运算，先求出x，y的值，再代入求解．
【解答】解：∵|x|＝5，|y|＝2，
∴x＝±5，y＝±2，
∴x+y＝±3或±7．故选：D．
例3．（2021秋•东平县期中）下面说法中正确的有（ ）
（1）一个数与它的绝对值的和一定不是负数．
（2）一个数减去它的相反数，它们的差是原数的2倍．
（3）零减去一个数一定是负数．
（4）正数减负数一定是负数．
（5）数轴上原点两侧的数互为相反数．
A．.2个 B．.3个 C．4个 D．.5个
【分析】利用有理数的加法及减法法则及数轴的性质判断即可．
【解答】解：（1）一个数与它的绝对值的和一定不是负数．正确，
（2）一个数减去它的相反数，它们的差是原数的2倍，正确，
（3）零减去一个数不一定是负数，如0﹣（﹣3）＝3，故不正确，
（4）正数减负数一定是正数．如3﹣（﹣4）＝7，故不正确，
（5）数轴上原点两侧的数不一定互为相反数，如5和﹣4，不是互为相反数．不正确．
故选：A．
例4.计算：（1）（﹣11）+8+（﹣14）．
（2）（﹣3）+12+（﹣17）+（+8）．
【分析】（1）先计算负数的和，再求解比较简便．
（2）先根据数的特点进行分组，再进行运算即可．
【解答】解：（1）原式＝（﹣11）+（﹣14）+8
＝（﹣25）+8
＝﹣17．
（2）（﹣3）+12+（﹣17）+（+8）
＝[（﹣3）+（﹣17）]+（12+8）
＝（﹣20）+20
＝0．
例5．（2021秋•海州区校级期中）阅读材料：我们知道：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、
B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．所以式子|x﹣3|的几何意
义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离；同理|x﹣4|也可理解为x与4两数在
数轴上所对应的两点之间的距离．
试探索：（1）若|x﹣2|＝5，则x的值是 ．
（2）同理|x﹣5|+|x+3|＝8表示数轴上有理数x所对应的点到5和﹣3所对应的两点距离之和为8，则
所有符合条件的整数x的和为 ．
【分析】（1）由算式的几何意义可得，x是数轴上到表示2的点为5的点表示的数，即可求得符合
题意的两个x的值；
（2）由算式的几何意义可得，符合条件的整数x，就是数轴上以表示5和﹣3的点为端点的线段上
的所有整数，然后计算求和即可．
【解答】解：（1）∵|x﹣2|＝5，
∴x﹣2＝﹣5或x﹣2＝5，
解得x＝﹣3，x＝7，
故答案为：﹣3或7；
（2）由题意得，符合条件的整数x，就是数轴上以表示5和﹣3的点为端点的线段上的所有整数，
即x的值为﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3、4、5，
∴﹣3﹣2﹣1+0+1+2+3+4+5＝9，
故答案为：9．
【练习】
1．约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．例如，在图1中，即4+3＝7．则在图
2中，当y＝﹣2时，n的值为 ．
【分析】根据图形，可以用含x的式子表示出m、n；再用x的代数式表示出y，从而可以求得x的值，
进而得到n的值．
【解答】解：由图可得，m＝x+2x＝3x，n＝2x+3
∴y＝m+n
＝（x+2x）+（2x+3）
＝3x+2x+3
＝5x+3，
∵y＝﹣2，∴5x+3＝﹣2，
解得，x＝﹣1，
∴n＝2x+3＝2×（﹣1）+3＝﹣2+3＝1，
故答案为：1．
2．计算3 +（﹣2 ）+5 +（﹣8 ）时，运算律用得最为恰当的是（ ）
A．[3 +（﹣2 ）]+[5 +（﹣8 ）]
B．（3 +5 ）+[﹣2 +（﹣8 ）]
C．[3 +（﹣8 ）]+（﹣2 +5 ）
D．（﹣2 +5 ）+[3 +（﹣8 ）]
【分析】先算同分母分数，再算加法即可求解．
【解答】解：计算3 +（﹣2 ）+5 +（﹣8 ）时，运算律用得最为恰当的是（3 +5 ）+[﹣2
+（﹣8 ）]．
故选：B．
3．方格中，除9和7外其余字母各表示一个数，已知方格中任何三个连续方格中的数之和为 19，求
A+H+M+O的值．
【分析】由于任何相邻三个数字的和都是19，可由O+X+7＝19倒推，即可求解．
【解答】解：由题意可得：因为O+X+7＝19且M+O+X＝19，所以M＝7；
因为A+9+H＝19且9+H+M＝19，所以A＝7；
因为H+M+O＝19．
所以求A+H+M+O的值为19+7＝26．
故答案为26．
4．阅读下列计算过程，发现规律，然后利用规律计算：，
；
…
（1）猜想：1+2+3+4+…+n＝ ；
（2）利用上述规律计算：1+2+3+4+…+100；
（3）计算：
．
【分析】（1）根据表中的规律发现：第n个式子的和是 n（n+1）；
（2）根据（1）中发现的规律计算即可；
（3）结合上述规律，只需变形为＝ （1+2+…+49）即可计算．
【解答】解：（1）1+2+3+4+…+n＝ n（n+1）；
（2）1+2+3+4+…+100
＝ ×100×（100+1）
＝5050；
（3）
＝ （1+2+…+49）
＝ × ×49×（49+1）
＝612.5．
故答案为： n（n+1）．
二.减法运算
【知识点睛】
有理数减法的计算步骤：
①将减号变成加号，把减数变成它的相反数②按照加法运算的步骤去做。
易错技巧点拨：
① 减法法则不能与加法法则中的异号两数相加相混淆
② 减法没有交换律
③有理数大小的比较方法——作差法（或叫差量法）
要比较两个有理数a与b的大小，可先求a与b的差a-b，然后进行判断。
1）当a−b＞0时⇔a＞b；
2）当a−b=0时⇔a=b；
3）当a−b＜0时⇔a＜b；
【典例精析】
例1．（2021秋•邓州市期中）把（﹣3）﹣（﹣7）+4﹣（+5）写成省略加号的和的形式是（ ）
A．﹣3﹣7+4﹣5 B．﹣3+7+4﹣5 C．3+7﹣4+5 D．﹣3﹣7﹣4﹣5
【分析】利用减法法则把减法化为加法写成省略加号的和的形式．
【解答】解：（﹣3）﹣（﹣7）+4﹣（+5）＝﹣3+7+4﹣5，
故选：B．
例2．（2021秋•温州期中）某地一天的最高气温是5℃，最低气温是﹣4℃，则该地区这天的温差是
℃．
【分析】根据温差＝最高温度﹣最低温度，用有理数的减法法则计算即可．
【解答】解：5﹣（﹣4）
＝5+4
＝9（℃），
故答案为：9．
例3．（2021秋•乐平市期中）某病人每天下午需要测量血压，该病人上周日收缩压为120单位，下表
是该病人这周每天与前一天相比较收缩压的变化情况，则本周星期五的收缩压是 ．
星期 一 二 三 四 五
增减 +20 ﹣30 ﹣25 +15 +30
【分析】理解上升记作“+”，下降记作“﹣”，根据题意列式计算即可．
【解答】解：120+20﹣30﹣25+15+30＝130（单位），
故本周星期五的收缩压是130（单位），
故答案为：130单位．
例4．（2021秋•东兴区校级期中）计算：| |+| |+| |+…+| |＝
．
【分析】根据绝对值的性质先化简，再相加减可求解．【解答】解：原式＝ + + +…+
＝
＝ ．
故答案为： ．
例5．为了增强同学们在足球比赛中快速转身的能力，张老师设计了折返跑训练．张老师在东西方向的
足球场上画了一条直线，并插上不同的折返旗帜，如果约定向西为正，向东为负，练习一组折返跑
的移动记录如下（单位：米）：+40，﹣30，+50，﹣25，+25，﹣30，+15．
（1）学生最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？
（2）学生在一组练习过程中，跑了多少米？
（3）学生训练过程中，最远处离出发点多远？
【分析】（1）根据加法法则，将正数与正数相加，负数与负数相加，进而得出计算得结果；
（2）利用绝对值的性质以及有理数加法法则求出即可；
（3）求出每一段到出发点的距离，即可判断出结果．
【解答】解：（1）（+40）+（﹣30）+（+50）+（﹣25）+（+25）+（﹣30）+（+15）＝45（米）；
答：学生最后到达的地方在出发点的正西方向，距出发点45m；
（2）∵|+40|+|﹣30|+|+50|+|﹣25|+|+25|+|﹣30|+|+15|＝215（米），
答：学生在一组练习过程中，跑了215米；
（3）第一段，40m，
第二段，40﹣30＝10m，
第三段，10+50＝60m，
第四段，60﹣25＝35m，
第五段，35+25＝60m，
第六段，60﹣30＝30m，
第七段，30+15＝45m，
∴最远处离出发点60m．
【练习】
1．对于有理数a，b，c，d，给出如下定义：如果|a﹣c|+|b﹣c|＝d．那么称a和b关于c的相对距离为
d，如果m和3关于1的相对距离为5，那么m的值为 ．
【分析】根据新定义可列等式，结合绝对值的性质计算可求解m值．【解答】解：由题意得|m﹣1|+|3﹣1|＝5，
即|m﹣1|＝3，
∴m﹣1＝3或m﹣1＝﹣3，
解得m＝4或﹣2，
故答案为4或﹣2．
2． ＝ ．
【分析】按运算顺序，把前两项相加，再将所得结果与第三项相加，再按从左到右依次相加即可．
【解答】解：原式＝ ﹣3+ +3+ ﹣5+ +5+ ﹣7+ +7+ ﹣9+ +9+
＝2﹣ + + + + + + + +
＝2 ﹣
＝2﹣
＝ ．
3．若M＝101×2020×2029，N＝2028×2021×101，则M﹣N＝ ．
【分析】根据乘法分配律进行计算．
【解答】解：M﹣N＝101×2020×2029﹣2028×2021×101
＝101×（2020×2029﹣2028×2021）
＝101×[2020（2028+1）﹣2028×2021]
＝101×（2020×2028+2020﹣2028×2021）
＝101×[2028（2020﹣2021）+2020]
＝101×（﹣2028+2020）
＝101×（﹣8）
＝﹣808．
故答案为：﹣808．
4．（1）用“＞”或“＜”或“＝”或“≥”或“≤”填空：
①|﹣5|+|4| |﹣5+4|；
②|﹣6|+|3| |﹣6+3|；
③|﹣3|+|﹣4| |﹣3﹣4|；④|0|+|﹣9| |0﹣9|；
（2）归纳：|a|+|b| |a+b|；
（3）根据上题（2）得出的结论，若|m|+|n|＝7，|m+n|＝1，求m的值．
【分析】（1）根据绝对值的定义去绝对值即可求解，
（2）根据（1）中规律即可总结出答案，
（3）根据（2）中结论即可得出答案．
【解答】解：（1）①∵|﹣5|+|4|＝9，|﹣5+4|＝1，
∴|﹣5|+|4|＞|﹣5+4|；
②∵|﹣6|+|3|＝9，|﹣6+3|＝3，
∴|﹣6|+|3|＞|﹣6+3|；
③∵|﹣3|+|﹣4|＝7，|﹣3﹣4|＝7，
∴|﹣3|+|﹣4|＝|﹣3﹣4|；
④|0|+|﹣9|＝9，|0﹣9|＝9，
∴|0|+|﹣9|＝|0﹣9|，
故答案为：＞，＞，＝，＝；
（2）通过（1）的比较、分析、归纳：|a|+|b|≥|a+b|，
故答案为：≥；
（3）由（2）中结论可得：∵|m|+|n|＝7，|m+n|＝1，
∴|m|+|n|≠|m+n|，
∴m，n异号，
当m为正数，n为负数时，m﹣n＝7，则n＝m﹣7，
|m+n|＝|m+m﹣7|＝1，
解得：m＝4或3，
当n为正数，m为负数时，﹣m+n＝7，则n＝m+7，
|m+n|＝|m+m+7|＝1，
解得：m＝﹣3或﹣4，
综上所述，m的值为：±3或±4．
5．定义：对于确定位置的三个数：a，b，c，计算a﹣b， ， ，将这三个数的最小值称为a，
b，c的“分差”，例如，对于1，﹣2，3，因为1﹣（﹣2）＝3， ＝﹣1， ＝﹣ ，所以1，﹣2，3的“分差”为﹣ ．
（1）﹣2，﹣4，1的“分差”为 ；
（2）调整“﹣2，﹣4，1”这三个数的位置，得到不同的“分差”，那么这些不同“分差”中的最
大值是 ；
（3）调整﹣1，6，x这三个数的位置，得到不同的“分差”，若其中的一个“分差”为2，求x的
值．
【分析】（1）按“新定义”代入三个代数式求值再比较大小．
（2）三个数顺便不同可以有6种组合，除第（1）题的顺序，计算其余五种情况的“分差”，再比
较大小．
（3）由“分差”为2（是正数）和﹣1﹣6＝﹣7＜2可知，﹣1﹣6不能对应a﹣b，a﹣c，b﹣c，所
以剩三种情况：6，﹣1，x或6，x，﹣1或x，6，﹣1．每种情况下计算得三个代数式后，分别令两
个含x的式子等于2，求出x，再代入检查此时“分差”是否为2．
【解答】解：（1）∵a＝﹣2，b＝﹣4，c＝1
∴a﹣b＝﹣2﹣（﹣4）＝2， ＝ ， ＝ ，
∴﹣2，﹣4，1的“分差”为
故答案为：
（2）①若a＝﹣2，b＝1，c＝﹣4
则a﹣b＝﹣2﹣1＝﹣3， ＝ ＝1， ＝ ，
∴﹣2，1，﹣4的“分差”为﹣3
②若a＝﹣4，b＝﹣2，c＝1
则a﹣b＝﹣4﹣（﹣2）＝﹣2， ＝ ， ＝
∴﹣4，﹣2，1的“分差”为
③若a＝﹣4，b＝1，c＝﹣2
则a﹣b＝﹣4﹣1＝﹣5， ＝ ， ＝
∴﹣4，1，﹣2的“分差”为﹣5④若a＝1，b＝﹣4，c＝﹣2
则a﹣b＝1﹣（﹣4）＝5， ＝ ， ＝
∴1，﹣4，﹣2的“分差”为
⑤若a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4
则a﹣b＝1﹣（﹣2）＝3， ＝ ， ＝
∴1，﹣2，﹣4的“分差”为
综上所述，这些不同“分差”中的最大值为
故答案为：
（3）∵“分差”为2，﹣1﹣6＝﹣7
∴三个数的顺序不能是﹣1，6，x和﹣1，x，6和x，﹣1，6
①a＝6，b＝x，c＝﹣1，
∴a﹣b＝6﹣x， ＝ ， ＝
若6﹣x＝2，得x＝4， ＜2，不符合
若 ，得x＝5，6﹣x＝1＜2，不符合
②a＝6，b＝﹣1，c＝x，
∴a﹣b＝6﹣（﹣1）＝7， ＝ ， ＝
若 ，得x＝2， ＜2，不符合
若 ，得x＝﹣7， ＞2，符合
③a＝x，b＝6，c＝﹣1
∴a﹣b＝x﹣6， ＝ ， ＝
若x﹣6＝2，得x＝8， ＞2，符合若 ，得x＝3，x﹣6＝﹣3＜2，不符合
综上所述，x的值为﹣7或8．
三.乘法运算
【知识点睛】
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，积为0
易错技巧点拨：
有理数乘法计算法则实质为——先确定积的符号，再将绝对值相乘！！！
①1乘一个数，仍得这个数；
②-1乘一个数，得这个数的相反数；
③若两个数的乘积为1，则称这两个有理数互为倒数；
特别地：0没有倒数，互为倒数的两个数同号，倒数是其本身的数有1和-1
④当因数是带分数时，应先化成假分数，然后相乘；
⑤分数与小数相乘时，统一化成分数相乘会比较简单；
⑥几个非0有理数相乘 ，当负数有奇数个时，积为负；当负数有偶数个时，积为正 ！
⑦几个数相乘，有一个因数为0，则积为0；如果积为0，则至少有一个因数为0；
⑧乘法简便运算律包含：乘法交换律、乘法结合律、分配律；有时候不能用前面三个规律时，可利用
添项拆项等方法凑以上运算律
【典例精析】
例1．（2020秋•北仑区期中）下列说法正确的个数是（ ）
①如果两个数的和为0，则这两个数互为倒数；
②绝对值是它本身的有理数是正数；
③几个有理数相乘，积为负数时，负因数个数为奇数；
④若a+b＜0，则a＜0，b＜0；
⑤若|a|＝|b|，则a2＝b2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据各个小题的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：如果两个数的和为0，则这两个数互为相反数，故①错误，
绝对值是它本身的有理数是非负数，故②错误，
几个有理数相乘，积为负数时，负因数个数为奇数，故③正确，
若a+b＜0，则a＜0，b＜0或a＝0，b＜0或a＞0，b＜0且|a|＜|b|，故④错误，
若|a|＝|b|，则a2＝b2，故⑤正确，
故选：B．
例2．（2021•苍南县模拟）在﹣4，﹣2，0，1，3，5这六个数中，任意三数之积的最大值是（ ）
A．15 B．40 C．24 D．30
【分析】取出三个数，使其积最大即可．【解答】解：（﹣4）×（﹣2）×5＝40，
则任意三数之积的最大值是40．
故选：B．
例3．（2021秋•鄞州区期中）计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A
～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：
十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
例如，十进制中16+10＝26，用十六进制表示为10+A＝1A；十进制中25﹣15＝10，用十六进制表示
为19﹣F＝A．由上可知，在十六进制中B×D＝ （运算结果用十六进制表示）．
【分析】首先计算出B×D的值，再根据十六进制的含义表示出结果．
【解答】解：∵B×D＝11×13＝143，
143÷16＝8余15，
∴用十六进制表示143为8F．
故答案为：8F．
例4．（2021秋•渑池县期中）学习了有理数的乘法后，老师给同学们出了这样一道题目：计算：49
×（﹣5），看谁算的又快又对．
小明的解法：原式＝﹣ ；
小军的解法：原式＝ ．
（1）对于以上两种解法，你认为谁的解法较好？
（2）小强认为还有更好的方法：把49 看作 ，请把小强的解法写出来．
（3）请你用最合适的方法计算：9 ×（﹣3）．
【分析】（1）小军的方法计算简便；
（2）原式＝（50﹣ ）×（﹣5），再由乘法分配律进行运算即可；
（3）原式＝（10﹣ ）×（﹣3），再运算即可．
【解答】解：（1）小军的解法较好；
（2）49 ×（﹣5）＝（50﹣ ）×（﹣5）
＝50×（﹣5）﹣ ×（﹣5）
＝﹣250+
＝﹣249 ；
（3）9 ×（﹣3）
＝（10﹣ ）×（﹣3）
＝10×（﹣3）﹣ ×（﹣3）
＝﹣30+
＝﹣29 ．
例5．（2021秋•东城区校级期中）已知|a|＝5，|b|＝3，若|a+b|＝a+b，求ab的值．
【分析】由|a+b|＝a+b可得，a＝5，b＝3或a＝5，b＝﹣3，代入计算即可．
【解答】解：已知|a|＝5，|b|＝3，|a+b|＝a+b，
可得，a＝5，b＝3或a＝5，b＝﹣3．
当a＝5，b＝3时，ab＝15，
当a＝5，b＝﹣3时，ab＝﹣15．
综上所述：ab的值为15或﹣15．
例6．（2021秋•余杭区月考）计算：
（1）（﹣0.25）×3.14×40；
（2）﹣25 ×8．
（3）（ ）×（﹣60）
【分析】（1）根据乘法分配律和结合律计算可求解；
（2）将﹣25 转化为﹣25﹣ ，再利用乘法分配律计算可求解．
（3）利用乘法分配律进行计算即可．【解答】解：（1）原式＝﹣
＝
＝﹣10×3.14
＝﹣31.4；
（2）原式＝
＝﹣200﹣
＝−200.25．
（3）原式＝﹣15﹣25+50＝10．
【练习】
1．下列说法中不正确的个数有（ ）
①有理数m2+1的倒数是
②绝对值相等的两个数互为相反数
③绝对值既是它本身也是它的相反数的数只有0
④几个有理数相乘，若有奇数个负因数，则乘积为负数
⑤若a＞b，则a（c2+1）＞b（c2+1）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据各个小题中的说法，可以判断是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：有理数m2+1的倒数是 ，故①正确；
绝对值相等的两个数互为相反数或者相等，故②不正确；
绝对值既是它本身也是它的相反数的数只有0，故③正确；
几个不为零有理数相乘，若有奇数个负因数，则乘积为负数，若其中一个因数为0，则结果为0，故
④不正确；
若a＞b，则a（c2+1）＞b（c2+1），故⑤正确；
故选：B．
2．已知4个不相等的整数a、b、c、d，它们的积abcd＝25，则a+b+c+d＝ ．
【分析】由4个不相等的整数a、b、c、d，将25进行因数分解可知25＝1×5×（﹣1）×（﹣5），即可求解．
【解答】解：∵a、b、c、d是4个不相等的整数，
∴25＝1×5×（﹣1）×（﹣5），
∴a+b+c+d＝1+5+（﹣1）+（﹣5）＝0；
故答案为0．
3．规定：M（1） ＝﹣2，M（2） ＝（﹣2）×（﹣2），M（3） ＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），…M（n） ＝
．
（1）计算：M（5）+M（6） ；
（2）求2×M（2021）+M（2022） 的值；
（3）试说明：2×M（n） 与M（n+1） 互为相反数．
【分析】（1）根据新定义的法则及有理数乘法的法则进行计算即可；
（2）根据新定义的法则进行计算，即可得出结果；
（3）根据新定义的法则分别计算2×M（n） 与M（n+1） ，即可得出结果．
【解答】解：（1）M （5）+M （6）
＝（﹣2）5+（﹣2）6
＝﹣32+64
＝32；
（2）2M（2021）+M
（2022）
＝2×（﹣2）202l+（﹣2）2022
＝2×（﹣22021）+22022
＝﹣22022+22022
＝0；
（3）2M（
n ）
＝2×（﹣2）n＝﹣（﹣2）×（﹣2）n＝﹣（﹣2）n+1，
M （ n+1） ＝（﹣2）n+1，
∵﹣（﹣2）n+1与（﹣2）n+1 互为相反数，
∴2M（ n ） 与 M （ n+1） 互为相反数．
四.除法运算
【知识点睛】
①两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个非0的数都得0
②除以一个非零数，等于乘上这个数的倒数1
a÷b=a× （b≠0）
b
用字母表示为：
易错技巧点拨：
有理数除法计算法则实质为——先确定商的符号，再将绝对值相除！！！
①0不能作为除数；
②多个有理数相除时，如果能整除，则直接相除，如果不能整除，通常把除法转化为乘法，统一为乘
法再运算；
③除法运算中遇到小数或者带分数时，要把小数化为分数，把带分数化为假分数，然后再进行相除；
④除法没有交换律、结合律、分配律
【典例精析】
例1．（2020秋•浦东新区期末）计算：7× ÷7× 的值等于（ ）
A．1 B． C．49 D．
【分析】直接利用有理数的乘除运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝7× × ×
＝ ．
故选：B．
例2．（2020秋•济南期末）取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按
此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明．但举例验证都是正确
的．例如：取自然数5．经过下面5步运算可得1，即：如图所示．如果自然数m恰好经过7步运算
可得到1，则所有符合条件的m的值有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】首先根据题意，应用逆推法，用1乘以2，得到2；用2乘以2，得到4；用4乘以2，得到
8；用8乘以2，得到16；然后分类讨论，判断出所有符合条件的m的值为多少即可．
【解答】解：根据分析，可 得
则所有符合条件的 m的值为： 128 、 21 、20、3．
故选：B．
例3．（2021春•奉贤区期末）计算： ＝ ．
【分析】将有理数的除法转化为乘法，然后再计算．
【解答】解：原式＝ ，
故答案为：﹣ ．
例4．（2021秋•吉林期末）计算：﹣12×（﹣ ）+8÷（﹣2）．
【分析】先算乘方、再算乘除法、最后算加法即可．
【解答】解：﹣12×（﹣ ）+8÷（﹣2）
＝﹣1×（﹣ ）+（﹣4）
＝ +（﹣4）
＝﹣ ．
例5．（2021秋•黔南州月考）请你认真阅读下列材料：
计算： ．
解法一：因为原式的倒数为
＝
＝﹣20+3﹣5+12
＝﹣10，
所以原式＝﹣ ．
解法二：原式＝
＝﹣ ．
（1）上述得出的结果不同，肯定有错误解法，你认为哪种解法是错误的？为什么？（2）根据你对所提供材料的理解，计算下面的题目： ．
【分析】（1）先判断，然后根据判断说明理由即可；
（2）根据题目中的例子，可以先计算出原式的倒数，然后取原式倒数的结果的倒数，即可得到原式
的结果．
【解答】解：（1）解法二错误，因为除法没有分配律；
（2）因为原式的倒数为：
（ + ﹣ ﹣ ）÷（﹣ ）
＝（ + ﹣ ﹣ ）×（﹣42）
＝ ×（﹣42）+ ×（﹣42）﹣ ×（﹣42）﹣ ×（﹣42）
＝﹣7﹣9+28+12
＝24，
所以原式＝ ．
五.乘方
【知识点睛】
①符号法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂为正数
②特例：0的任何正整数次幂=0；00无意义；1的任何次幂=1，-1的奇次幂=-1，-1的偶次幂=1
③运算：乘方是特殊的乘法运算，其他运算规律同乘法运算一样；
易错技巧点拨：
①注意（-a）n与-an的不同意义
an a n
( )
与
b b
②注意 的不同意义
③若a与b互为相反数，则有a2=b2，a3+b3=0
【典例精析】
例1．（2021秋•广饶县期中）下列各组数中，数值相等的是（ ）
A．32和23 B．﹣23和（﹣2）3
C．﹣32和（﹣3）2 D．﹣3×22和﹣（3×2）2
【分析】利用乘方的意义对各选项进行判断．
【解答】解：A.32＝9，23＝8，所以A选项不符合题意；
B．﹣23＝﹣8，（﹣2）3＝﹣8，所以B选项不符合题意；C．﹣32＝﹣9，（﹣3）2＝9，所以C选项不符合题意；
D．﹣3×22＝﹣3×4＝﹣12，﹣（3×2）2＝﹣62＝﹣36，所以D选项不符合题意．
故选：B．
例2．（2021秋•毕节市期中）在有理数：﹣|﹣ |，（﹣3）2，（﹣2）3，﹣（﹣5），﹣12中，负数的
个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】此题只需根据负数的定义，即负数为小于0的有理数，再判定负数的个数．
【解答】解：在有理数：﹣|﹣ |，（﹣3）2，（﹣2）3，﹣（﹣5），﹣12中，负数有：﹣|﹣ |，
（﹣2）3，﹣12这3个，
故选：B．
例3．某细菌每过30分钟就由1个分裂成2个，1个这种细菌经过3小时能分裂成（ ）
A．8个 B．16个 C．32个 D．64个
【分析】根据有理数的乘方列式计算即可．
【解答】解：3个小时，细菌分裂6次，
1×26＝64（个），
故选：D．
例4．（2020秋•奉化区校级期中）若a、b、c、d是互不相等的整数（a＜b＜c＜d），且abcd＝9，则：
ac+bd＝ ．
【分析】由乘积为9且互不相等的整数，先确定a、b、c、d的值，再代入求出代数式的结果
【解答】解：∵a、b、c、d是互不相等的整数，且abcd＝9
又∵（±1）×（±3）＝9，a＜b＜c＜d，
∴a＝﹣3，b＝﹣1，c＝1，d＝3
∴ac+bd
＝﹣3+（﹣1）3
＝﹣4．
故答案为：﹣4
例5．（2021春•杨浦区期中）若x4＝625，则x＝ ．
【分析】找到4次方为625的数即可．
【解答】解：∵（±5）4＝625，
∴x＝±5，故答案为：±5．
例6．（2021秋•沂水县期中）（1）计算：
①（3×5）2与32×52；
②[（﹣2）×3]2与（﹣2）2×32；
③[（﹣3）×（﹣4）]2与（﹣3）2×（﹣4）2；
（2）根据以上计算结果猜想：（ab）2，（ab）3分别等于什么？（直接写出结果）
（3）猜想与验证：当n为正整数时，（ab）n等于什么？请你利用乘方的意义说明理由．
（4）利用上述结论，求（﹣8）2021×0.1252022的值．
【分析】（1）根据积的乘方的计算法则进行计算即可；
（2）根据（1）的计算结果，类推得出答案；
（3）利用乘方的意义进行计算即可；
（4）应用上述结论，将原式化为（﹣8×0.125）2021×0.125即可．
【解答】解：（1）①（3×5）2＝152＝225，32×52＝9×25＝225；
②[（﹣2）×3]2＝（﹣6）2＝36，（﹣2）2×32＝4×9＝36；
③∵[（﹣3）×（﹣4）]2＝122＝144，（﹣3）2×（﹣4）2＝9×16＝144，
∴[（﹣3）×（﹣4）]2＝（﹣3）2×（﹣4）2；
（2）（ab）2＝a2b2，（ab）3＝a3b3；
（3）（ab）n＝anbn，
理由如下：
（ab）n＝
＝ ×
＝anbn；
（4）原式＝（﹣8）2021×0.1252021×0.125
＝（﹣8×0.125）2021×0.125
＝（﹣1）2021×0.125
＝﹣0.125．
a×10n （1≤|a|＜10）
六.科学计数法
易错技巧点拨：
①一般地：10的n次幂，在1的后面就有n个0②n的值的两种确定方法：1.将这个数的整数部分的位数-1就是n
2.将这个数的小数点向左移动的位数就是n
【典例精析】
例1．电影《流浪地球》中的行星发动机利用重核聚变技术，可以直接利用石头作为燃料，每座发动机
产生150亿吨推力，请用科学记数法表示150亿为（ ）
A．150×109 B．1.5×1010 C．1.5×1011 D．1.5×1012
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看
把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10
时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：150亿＝15000000000＝1.5×1010．
故选：B．
例2．第七次全国人口普查数据显示，贵州省常住人口约为3856.21万人，将38562100用科学记数法表
示为（ ）
A．3.85621×108 B．3.85621×107 C．0.385621×107 D．0.385621×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看
把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等
于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：38562100＝3.85621×107；
故选：B．
例3．（2021秋•盐都区月考）有理数3.645精确到十分位的近似数为（ ）
A．3.7 B．3.64 C．3.6 D．3.65
【分析】把百分位上的数字4进行四舍五入即可．
【解答】解：有理数3.645精确到十分位的近似数为3.6．
故选：C．
例4．（2021秋•淮北期中）近似数0.7070的精确度是（ ）
A．精确到百分位 B．精确到十万分位 C．精确到万分位 D．精确到千分位
【分析】近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位．
【解答】解：近似数0.7070是精确到万分位；
故选：C．
例5．把a精确到百分位的近似数是3.27，则a的取值范围是（ ）
A．3.265＜a＜3.275 B．3.265≤a＜3.275 C．3.265＜a≤3.275 D．3.265≤a≤3.275
【分析】利用四舍五入可对各选项进行判断．【解答】解：把a精确到百分位的近似数是3.27，则a的取值范围是3.265≤a＜3.275．
故选：B．
【练习】
1．已知43×47＝2021，则（﹣43） 的值为（ ）
A．2021 B．﹣2021 C． D．﹣
【分析】根据有理数运算法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数求解．
【解答】解：∵43×47＝2021，
∴（﹣43） ＝﹣43×47＝﹣2021，
故选：B．
2．观察下列各式的计算结果：
1﹣ ＝1﹣ ＝ ＝ × ；
1﹣ ＝1﹣ ＝ ＝ × ；
1﹣ ＝1﹣ ＝ ＝ × ；
1﹣ ＝1﹣ ＝ ＝ × …
（1）用你发现的规律填写下列式子的结果：1﹣ ＝ × ；1﹣ ＝ × ．
（2）用你发现的规律计算：
（1﹣ ）×（1﹣ ）×（1﹣ ）×…×（1﹣ ）×（1﹣ ）× ．
【分析】（1）根据题中所给的式子即可求解；
（2）原式＝ × × × × ×…× × × × × × ，再分组计算即可
求解．【解答】解：（1）1﹣ ＝1﹣ ＝ ＝ × ，
1﹣ ＝1﹣ ＝ ＝ × ，
故答案为： ， ， ， ；
（2）（1﹣ ）×（1﹣ ）×（1﹣ ）×…×（1﹣ ）×（1﹣ ）×
＝ × × × × ×…× × × × × ×
＝ ×
＝ ．
3．观察下列算式：
21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…根据上述算式中的规律，你
认为220的末位数字是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】本题需先根据已知条件，找出题中的规律，即可求出220的末位数字．
【解答】解：∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，
25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…
∴220的末位数字是6．
故选：C．
4．下列各组的两个数中，运算后的结果相等的是（ ）
A．23和32 B．﹣33和（﹣3）3 C．﹣22和（﹣2）2 D．﹣|﹣2|和|﹣2|
【分析】根据有理数的乘方，绝对值的意义分别计算，然后作出判断．
【解答】解：A．23＝8，32＝9，
∴23≠32，故此选项不符合题意；
B．﹣33＝﹣27，（﹣3）3＝﹣27，
∴﹣33＝（﹣3）3，故此选项符合题意；
C．﹣22＝﹣4，（﹣2）2＝4，∴﹣22≠（﹣2）2，故此选项不符合题意；
D．﹣|﹣2|＝﹣2，|﹣2|＝2，
∴﹣|﹣2|≠|﹣2|，故此选项不符合题意；
故选：B．
5．已知|a﹣2|+（b+3）2＝0，则ba的值是（ ）
A．﹣6 B．6 C．﹣9 D．9
【分析】先依据非负数的性质求得a、b的值，然后再代入求解即可．
【解答】解：∵|a﹣2|+（b+3）2＝0，
∴a＝2，b＝﹣3．
∴原式＝（﹣3）2＝9．
故选：D．
6．若“！”是一种数学运算符号，并且 1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6，4！＝
4×3×2×1，…，则 的值为（ ）
A． B．99! C．9900 D．2！
【分析】由题目中的规定可知100！＝100×99×98×…×1，98！＝98×97×…×1，然后计算 的值．
【解答】解：∵100！＝100×99×98×…×1，98！＝98×97×…×1，
所以 ＝100×99＝9900．
故选：C．
7．定义一种关于整数n的“F”运算：
（1）当n是奇数时，结果为3n+5；
（2）当n是偶数时，结果是 （其中k是使 是奇数的正整数），并且运算重复进行．
例如：取n＝58，第一次经F运算是29，第二次经F运算是92，第三次经F运算是23，第四次经F
运算是74…；若n＝9，则第2017次运算结果是（ ）
A．1 B．2 C．7 D．8
【分析】根据关于整数n的“F”运算：探究规律后即可解决问题；
【解答】解：由题意n＝9时，第一次经F运算是32，第二次经F运算是1，第三次经F运算是8，
第四次经F运算是1…以后出现1、8循环，奇数次是8，偶数次是1，
∴第2017次运算结果8，
故选：D．
8．由四舍五入法得到的近似数8.8×103，下列说法中正确的是（ ）
A．精确到十分位 B．精确到个位
C．精确到百位 D．精确到千位
【分析】由于103代表1千，所以8.8×103等于8.8千，小数点后一位是百．
【解答】解：近似数8.8×103精确到百位．
故选：C．
9．现有以下五个结论：
①有理数包括所有正有理数、负有理数和0；
②若两个数互为相反数，则它们的商等于﹣1；
③数轴上的每一个点均表示一个确定的有理数；
④绝对值等于其本身的有理数是零；
⑤几个有理数相乘，负因数个数为奇数个则乘积为负数；其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】根据有理数的分类，相反数的定义，数轴上的点与有理数的对应关系，绝对值的性质，有
理数的乘法法则等可判断每个结论是否正确．
【解答】解：①有理数包括所有正有理数、负有理数和0，符合题意；
②若两个数互为相反数，则它们的商等于﹣1，不符合题意，0的相反数是0，没有商；
③所有的有理数均可以用数轴上的点表示，但是，数轴上的每一个点均表示一个确定的有理数，不
正确，不符合题意；
④绝对值等于其本身的有理数是零，不符合题意，正数的绝对值是它本身；
⑤几个非零有理数相乘，负因数个数为奇数个则乘积为负数，故⑤不符合题意．
∴正确的结论只有1个．
故选：B．
10．对于正数我们规定： ，例如： ， ，…则
＝ ．【 分 析 】 由 已 知 可 求 f （ x ） +f （ ） ＝ 1 ， 则 可 求
＝1×2019＝2019．
【解答】解：∵ ，
∴f（ ）＝ ＝ ＝ ，
∴f（x）+f（ ）＝ + ＝1，
∴ ＝1×2019＝2019，
故答案为2019．
7.混合运算
先算乘方、再算乘除、最后算加减，有括号的先算括号里面的运算。
【典例精析】
例：计算：
（1） ；
（2） ．
（3）﹣14+|3﹣5|﹣16 ．
（4）﹣22÷ ×（1﹣ ）2．
【分析】（1）原式利用除法法则变形，再利用乘法分配律计算即可求出值；
（2）原式先算乘方及绝对值，再算乘除，最后算加减即可求出值．
（3）先算乘方与绝对值，再算乘法，最后算加减即可，同级运算，应按从左到右的顺序进行计算．
（4）先算乘方，再算乘除，最后算减法；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，
要先做括号内的运算．
【解答】解：（1）原式＝（﹣ + ﹣ ）×（﹣36）
＝﹣ ×（﹣36）+ ×（﹣36）﹣ ×（﹣36）
＝18﹣24+9＝﹣6+9
＝3；
（2）原式＝﹣1÷25×（﹣ ）﹣|﹣0.2|
＝﹣ ×（﹣ ）﹣
＝ ﹣
＝﹣ ．
（3）﹣14+|3﹣5|﹣16
＝﹣1+2+8×
＝﹣1+2+4
＝5．
（4）﹣22÷ ×（1﹣ ）2
＝﹣4× ×（ ）2
＝﹣4× ×
＝﹣ ．
