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专题09 角的多个等分线求角
类型一 角的多个等分线求角
1．已知，在 中，∠A=60°，
（1）如图①，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，则∠BOC= ；
（2）如图②，∠ABC和∠ACB的三等分线分别对应交于点O，O，则
1 2
；
（3）如图③，∠ABC和∠ACB的n等分线分别对应交于点O，O，……， （内
1 2
部有 个点），则 ；
（4）如图③，∠ABC和∠ACB的n等分线分别对应交于点O，O，……， ，若
1 2
，求n的值．
【答案】（1）120°；（2）100°；（3） ；（4）n=4
【解析】
【分析】
（1）根据三角形的内角和定理即可求出∠ABC＋∠ABC，然后根据角平分线的定义即
可求出∠OBC＋∠OCB，再根据三角形的内角和定理即可求出结论；
（2）根据三角形的内角和定理即可求出∠ABC＋∠ABC，然后根据三等分线的定义即可求出∠OBC＋∠OCB，再根据三角形的内角和定理即可求出结论；
2 2
（3）根据三角形的内角和定理即可求出∠ABC＋∠ABC，然后根据n等分线的定义即
可求出∠O BC＋∠O CB，再根据三角形的内角和定理即可求出结论；
n－1 n－1
（4）根据（3）的结论列出方程即可求出结论．
【详解】
解：（1）∵在 中，∠A=60°，
∴∠ABC＋∠ABC=180°－∠A=120°
∵∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，
∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB
∴∠OBC＋∠OCB= ∠ABC＋ ∠ACB
= （∠ABC＋∠ACB）
=60°
∴∠BOC=180°－（∠OBC＋∠OCB）=120°
故答案为：120°．
（2）∵在 中，∠A=60°，
∴∠ABC＋∠ABC=180°－∠A=120°
∵∠ABC和∠ACB的三等分线分别对应交于点O，O，
1 2
∴∠O BC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB
2 2
∴∠O BC＋∠OCB= ∠ABC＋ ∠ACB
2 2
= （∠ABC＋∠ACB）
=80°
∴ 180°－（∠OBC＋∠OCB）=100°
2 2
故答案为：100°．
（3）∵在 中，∠A=60°，
∴∠ABC＋∠ABC=180°－∠A=120°
∵∠ABC和∠ACB的n等分线分别对应交于点O，O，……，
1 2
∴∠O BC= ∠ABC，∠O CB= ∠ACB
n－1 n－1∴∠O BC＋∠O CB= ∠ABC＋ ∠ACB
n－1 n－1
= （∠ABC＋∠ACB）
= °
∴ 180°－（∠OBC＋∠OCB）=
2 2
故答案为：
（4）由（3）知：
∴
解得：n=4
经检验：n=4是原方程的解．
【点睛】
本题考查了n等分线的定义和三角形的内角和定理，掌握n等分线的定义和三角形的
内角和定理是解决此题的关键．
2．如图，∠A＝120°，且∠1＝∠2＝∠3和∠4＝∠5＝∠6，则∠BDC＝（ ）
A．120° B．60° C．140° D．无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角形内角和定理，即可得到∠ABC+∠ACB＝180°﹣120°＝60°，再根据∠1＝∠2
＝∠3，∠4＝∠5＝∠6，即可得到∠DBC+∠DCB的度数，最后利用三角形内角和定理
可得∠BDC的度数．
【详解】
解：在△ABC中，∵∠A＝120°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣120°＝60°，
又∵∠1＝∠2＝∠3，∠4＝∠5＝∠6，
∴∠DBC+∠DCB＝ ×60°＝40°，
∴∠BDC＝180°﹣40°＝140°．
故选C．
【点睛】
此题考查三角形的内角和，解题时注意：三角形内角和是180°．
3．如图，在 中， ， 与 的角平分线交于 ， 与
的角平分线交于点 ，依此类推， 与 的角平分线交于点 ，则
的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意可得∠ABC+∠ACB=160°，BD，CD，CD，BD…BD，CD 是角平分线，
1 1 2 2 n n
可得∠ABD +∠ACD =160×（ ）n，可求∠BCD+∠CBD 的值，再根据三角形内角和
n n n n
定理可求结果．
【详解】
解：∵∠A=20°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠ACB=160°，
∵BD 平分∠ABC，CD1平分∠ACB，
1
∴∠ABD= ∠ABC，∠ACD = ∠ACD，
1 1
∵BD 平分∠ABD ，CD 平分∠ACD ，
2 1 2 1∴∠ABD= ∠ABD= ∠ABC，∠ACD = ∠ACD= ∠ACB，
2 1 2 1
同理可得∠ABD = ∠ABC，∠ACD = ∠ACB，
5 5
∴∠ABD+∠ACD =160× =5°，
5 5
∴∠BCD +∠CBD =155°，
5 5
∴∠BD C=180-∠BCD -∠CBD =25°，
5 5 5
故选B．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，角平分线，关键是找出其中的规律，利用规律解决问
题．
4．如图，在 ABC中，∠A＝20°，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D，∠ABD 与
1 1
∠ACD 的平分△线交于点D，以此类推，∠ABD 与∠ACD 的平分线交于点D，则
1 2 2 2
∠BDC的度数是__．
【答案】40°．
【解析】
【分析】
根据题意可得∠ABC+∠ACB=160°，BD，CD，CD，BD…BD，CD 是角平分线，
1 1 2 2 n n
可得∠ABD +∠ACD =160×（ ）n，可求∠BCD+∠CBD 的值，再根据三角形内角和
n n n n
定理可求结果．
【详解】
∵∠A＝20°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝160°，
∵BD 平分∠ABC，CD 平分∠ACB，
1 1
∴∠ABD ＝ ∠ABC，∠ACD ＝ ∠ACD，
1 1
∵BD 平分∠ABD ，CD 平分∠ACD ，
2 1 2 1
∴∠ABD ＝ ∠ABD ＝ ∠ABC，∠ACD ＝ ∠ACD ＝ ∠ACB，
2 1 2 1同理可得∠ABD＝ ∠ABC，∠ACD＝ ∠ACB，
∴∠ABD+∠ACD＝160°× ＝20°，
∴∠BCD+∠CBD＝140°
∴∠BDC＝180﹣∠BCD﹣∠CBD＝40°
故答案为40°．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，角平分线，关键是找出其中的规律，利用规律解决问
题．
5．如图， ，且 和 ，则 （ ）
A． B．
C． D．不能确定，具体由三角形的形状确定
【答案】B
【解析】
【分析】
先在 ABC中，求出∠ABC和∠ACB的和，再利用∠1=∠2=∠3和∠4=∠5=∠6，求出
∠DB△C与∠DCB的和，从而得出∠BDC=140°，再根据 BCD中，点E就是三角形三个
内角平分线的交点，由此求得结论即可． △
【详解】
解：在 ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-120°=60°，
∵∠1=∠△2=∠3，∠4=∠5=∠6，
∴∠DBC+∠DCB=40°，
∴∠BDC=180°-40°=140°，
∵∠2=∠3，∠5=∠6，
∴DE平分∠BDC，
∴∠BDE= ∠BDC=70°．
故选B．
【点睛】此题考查三角形的内角和，角平分线的性质，三角形中三条内角的平分线交于一点是
解本题的关键．
类型二 多个等分线求角进阶
6．如图，若BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的三等分线，也就是∠OBC＝ ∠ABC，
∠OCB＝ ∠ACB，∠A＝72°，则∠BOC＝______°．
【答案】144
【解析】
【分析】
根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB，求出∠OBC+∠OCB，然后根据三角形内
角和定理求出∠BOC即可．
【详解】
解：∵∠A＝72°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣72°＝108°，
∵∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝ （∠ABC+∠ACB）＝ ×108°＝36°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣36°＝144°，
故答案为：144．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，根据定理求出∠ABC+∠ACB以及∠OBC+∠OCB是
解题的关键．
7．如图，在四边形 中， ， ，
，则 的度数为（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出∠CDE＋∠CBE，然后延长DC交BE于H，再根据三角形的一个外角等于与它
不相邻的两个内角的和求解即可．
【详解】
解：延长DC交BE于点H，
∵∠A＝∠BCD＝90°，
∴∠ABC＋∠ADC＝180°，
∴∠CDN＋∠CBM＝180°，
∵∠EDN＝n∠CDE，∠EBM＝n∠CBE，
∴∠CDE＋∠CBE＝ ×180°＝ ，
由三角形的外角性质得，∠BHD＝∠CDE＋∠BED，∠BCD＝∠BHD＋∠CBE，
∴∠BCD＝∠CBE＋∠CDE＋∠BED，
∴∠BED＝∠BCD−（∠CBE＋∠CDE）＝90°− ，
故选：A．【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，四边形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的
一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键，要注意
整体思想的利用．
8．如图，∠MON=90°，在 ABO中，∠ABC= ∠ABN，∠BAD= ∠BAO，则
△
∠D=___°（用含n的代数式表示）．
【答案】
【解析】
【分析】
由三角形外角的性质可知∠D=∠ABC-∠BAD，把∠ABC= ∠ABN，∠BAD= ∠BAO
代入整理即可求出结论.
【详解】
∵∠D=∠ABC-∠BAD，∠ABC= ∠ABN，∠BAD= ∠BAO，
∴∠D= ∠ABN- ∠BAO= (∠ABN-∠BAO)，
∵∠MON=∠ABN-∠BAO=90°，
∴∠D= ∠MON=( )°，
故答案为 ．
【点睛】
本题主要考查角平分线和外角的性质，熟练掌握三角形的外角性质和角平分线的性质
是解题的关键．
9．如图，已知△ABC中，∠A=60°，点O为△ABC内一点，且∠BOC=140°，其中OB
1
平分∠ABO，OC平分∠ACO，OB平分∠ABO ，OC平分∠ACO ，…，OnB平分
1 2 1 2 1
∠ABOn ，OnC平分∠ACOn ，…，以此类推，则∠BOC =______ °，
-1 -1 1∠BO C=______°．
2021
【答案】 100
【解析】
【分析】
先根据三角形的内角和定理可得 的度数，再根据角平分线的定义、三
角形内角和定理即可求出 的度数，同样的方法求出 的度数，然后归纳
类推出一般规律，由此即可得出答案．
【详解】
解：如图， ，
，
，
，
，
平分 ， 平分 ，
，
，
，
，
，
，，
同理可得： ，
，
，
，
，
，
，
归纳类推得： ，其中 为正整数，
则 ，
故答案为：100， ．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理，正确归纳类推出一般规律是解题
关键．
10．如图①，在 中，若 ，则 ， 叫做 的三
分线，其中， 是邻 的三分线， 是邻 的三分线．
（1）如图②，在 中， ， ， 的三分线交 于点 ，求的度数；
（2）如图③，在 中， 是 的邻 三分线， 是 的邻 三分线，
且 ，垂足为 ，求 的度数．
【答案】（1）87°或101°；（2）45°
【解析】
【分析】
（1）分为两种情况：当BD是“邻AB三分线”时，当BD′是“邻BC三分线”时，根
据三角形的外角性质求出即可；
（2）求出∠PBC+∠PCB=90°，根据BP、CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻
AC三分线求出∠PBC= ∠ABC，∠PCB= ∠ACB，求出∠ABC+∠ACB=135°，再求出
∠A即可．
【详解】
解：（1）如图，
当BD是“邻AB三分线”时，
∵∠A=73°，∠B=42°，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=73°+ ×42°=87°；
当BD′是“邻BC三分线”时，
∠BDC′=∠A+∠ABD′=73°+ ×42°=101°；
（2）∵BP⊥CP，
∴∠BPC=90°，
∴∠PBC+∠PCB=90°，
∵BP、CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线，
∴∠PBC= ∠ABC，∠PCB= ∠ACB，
∴ ∠ABC+ ∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠ACB=135°，∴∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-135°=45°．
【点睛】
本题考查了三角形的外角性质和三角形内角和定理，注意：三角形的一个外角等于与
它不相邻的两个内角的和，用了分类讨论思想．
11．（1）如图①在 ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A=α，则
∠BOC= （用α表示）；如图②∠CBO= ∠ABC，∠BCO= ∠ACB，∠A=α，
则∠BOC= （用α表示）
扩展探究：
（2）如图③，∠CBO= ∠DBC，∠BCO= ∠ECB，∠A=α，求∠BOC的度数（用α
表示），并说明理由．
【答案】（1） ， ；（2） ，见解析
【解析】
【分析】
（1）如图①，根据角平分线的定义可得 ， ，然后
表示出 ，再根据三角形的内角和等于 列式整理即可得
；如图②，根据三角形的内角和等于 列式整理即可得
；
（2）如图③，根据三角形的内角和等于 列式整理即可得 ；
【详解】
解：（1）如图①，
与 的平分线相交于点 ，
， ，，
在 中， ，
，
，
，
；
如图②，在 中， ，
，
，
，
；
（2）如图③，在 中， ，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是运用整体思想的来
解题．
类型三 综合解答
12．【概念认识】如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫
做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．【问题解决】
（1）如图②，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝45°，若∠B的三分线BD交AC于点
D，求∠BDC的度数；
（2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分
线，且∠BPC＝140°，求∠A的度数；
【延伸推广】
（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三
分线所在的直线交于点P．若∠A＝m°（ ），∠B＝54°，直接写出∠BPC的度数．
（用含m的代数式表示）
【答案】（1）95°或110°；（2）60°；（3） m°或 m°或 m°＋ °或 m°﹣18°
【解析】
【分析】
（1）根据题意可得 的三分线 有两种情况，画图根据三角形的外角性质即可得
的度数；
（2）根据 、 分别是 邻 三分线和 邻 三分线，且 可
得 ，进而可求 的度数；
（3）根据 的三分线所在的直线与 的三分线所在的直线交于点 ．分四种情
况画图：情况一：如图①，当 和 分别是“邻 三分线”、“邻 三分线”时；
情况二：如图②，当 和 分别是“邻 三分线”、“邻 三分线”时；情况三：
如图③，当 和 分别是“邻 三分线”、“邻 三分线”时；情况四：如图④，
当 和 分别是“邻 三分线”、“邻 三分线”时，再根据 ，
，根据三角形外角性质，即可求出 的度数．
【详解】
解：（1）如图，当BD是“邻AB三分线”时， ；
当BD是“邻BC三分线”时， ；
（2）在△BPC中，
∵ ，
∴ ，
又∵BP、CP分别是 邻BC三分线和 邻BC三分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在△ABC中， ，
∴ ．
（3）分4种情况进行画图计算：
情况一：如图①，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻AC三分线”时，
∴ ；情况二：如图②，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时，
∴ ；
情况三：如图③，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时，
∴ ；
情况四：如图④，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻CD三分线”时，
；
综上所述： 的度数为： 或 或 或 ．
【点睛】
本题考查了三角形的外角性质，解决本题的关键是掌握并灵活运用三角形的外角性质，
注意要分情况讨论．
13．（1）如图①，在锐角 ABC中，BD和BE三等分∠ABC，CD和CE三等分
∠ACB，请分别写出∠A和△∠D，∠A和∠E的数量关系，并选择其中一个说明理由；
（2）如图②，在锐角 ABC中，BD和BE三等分∠ABC，CD和CE三等分外角
∠ACM，请分别写出∠△A和∠D，∠A和∠E的数量关系，并选择其中一个说明理由；
（3）如图③，在锐角 ABC中，BD和BE三等分外角∠PBC，CD和CE三等分外角
∠QCB，请分别直接写△出∠A和∠D，∠A和∠E的数量关系．【答案】（1）∠A和∠D，∠A和∠E的数量关系为：∠D＝60°+ ∠A，∠E＝120°+
∠A，见解析；（2）∠A和∠D，∠A和∠E的数量关系为：∠D＝ ∠A，∠E＝
∠A，见解析；（3）∠A和∠D，∠A和∠E的数量关系为：∠D＝60°﹣ ∠A，∠E
＝120°﹣ ∠A，见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB，再利用三等分角求出
∠EBC+∠ECB，然后列式计算即可求解；（2）根据三角形的外角等于和它不相邻的
两个内角和，列式计算即可；（3）根据三角形内角和、外角和定理，及平角定义，列
式计算即可．
【详解】
（1）∠D＝60°+ ∠A，∠E＝120°+ ∠A．
理由如下：
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵BE三等分∠ABC，CE三等分∠ACB，
∴∠EBC＝ ∠ABC，∠ECB＝ ∠ACB，∠DBC= ∠ABC，∠DCB= ∠ACB，
∴∠EBC+∠ECB＝ （∠ABC+∠ACB）＝ （180°﹣∠A）＝60°﹣ ∠A，
∠DBC+∠DCB= （∠ABC+∠ACB）= （180°-∠A）=120°- ∠A，
∴∠E＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）＝180°﹣（60°﹣ ∠A）＝120°+ ∠A．∠D=180°-（∠DBC+∠DCB）=180°-（120°- ∠A）=60°+ ∠A，
答：∠A和∠D，∠A和∠E的数量关系为：∠D＝60°+ ∠A，∠E＝120°+ ∠A．
（2）∠A和∠D，∠A和∠E的数量关系为：∠D＝ ∠A，∠E＝ ∠A．
理由如下：
∵BE三等分∠ABC，CE三等分外角∠ACM，
∴∠EBC＝ ∠ABC，∠ECM＝ ∠ACM，∠DBC= ∠ABC，∠DCM= ∠ACM，
∴∠E＝∠ECM﹣∠EBC＝ （∠ACM﹣∠ABC）＝ ∠A．
∠D=∠DCM-∠DBC= （∠ACM﹣∠ABC）= ∠A.
答：∠A和∠D，∠A和∠E的数量关系为：∠D＝ ∠A，∠E＝ ∠A．
（3）∠D＝60°﹣ ∠A，∠E＝120﹣ ∠A．
理由如下：
∵BE三等分外角∠PBC，CE三等分外角∠QCB，
∴∠CBE＝ ∠CBP，∠BCE＝ ∠BCQ，∠CBD= ∠CBP，∠BCD= ∠BCQ，
∴∠E＝180°﹣ （∠CBP+∠BCQ）
＝180°﹣ （180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB）
＝180°﹣120°+ （180°﹣∠A）
＝120﹣ A．
同理：∠D＝180°﹣ （∠CBP+∠BCQ）
=180°﹣ （180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB）
=180°-120°+ （180°-∠A）
=60°﹣ ∠A.答：∠A和∠D，∠A和∠E的数量关系为：∠D＝60°﹣ ∠A，∠E＝120°﹣ ∠A
【点睛】
本题考查三角形内角和定理及外角性质，三角形的内角和等于180°；三角形一个外角
等于和它不相邻的两个内角的和；熟练掌握相关性质及定理是解题关键.
14．（1）如图1，已知 ， 平分外角 ， 平分外角 ．直接写出
和 的数量关系，不必证明；
（2）如图2，已知 ， 和 三等分外角 ， 和 三等分外角 ．
试确定 和 的数量关系，并证明你的猜想；（不写证明依据）
（3）如图3，已知 ， 、 和 四等分外角 ， 、 和 四等
分外角 ．试确定 和 的数量关系，并证明你的猜想；（不写证明依据）
（4）如图4，已知 ，将外角 进行 分， 是临近 边的等分线，将外
角 进行 等分， 是临近 边的等分线，请直接写出 和 的数量关系，
不必证明．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；
（4） ．
【解析】
【分析】
（1）由 平分外角 ， 平分外角 ，结合三角形外角的性质与三角形
内角和定理，即可得到结论；
（2）由 和 三等分外角 ， 和 三等分外角 ，结合三角形外角的性质与三角形内角和定理，即可得到结论；
（3）由 、 和 四等分外角 ， 、 和 四等分外角 ，结合
三角形外角的性质与三角形内角和定理，即可得到结论；
（4）由外角 进行 分， 是临近 边的等分线，将外角 进行 等分，
是临近 边的等分线，合三角形外角的性质与三角形内角和定理，即可得到结论；
【详解】
（1） ，理由如下：
∵ 平分外角 ， 平分外角 ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2） ，理由如下：
由已知得： ， ，
∵ ， ，
∴ ，
；
（3） ，理由如下：
由已知得： ， ，
∵ ， ，
∴ ，
，（4） ，理由如下：
由已知得： ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题主要考查三角形外角的性质与三角形内角和定理，掌握三角形外角的性质与三角
形内角和定理是解题的关键．
