文档内容
专题 10 一次函数的应用三种考法全攻略
类型一、分配方案问题
例．某公司计划组织员工去旅游，参加人数在10至30人之间．甲、乙两家旅行社为了吸引更多的顾客，
分别提出了各自的优惠方案．甲旅行社的优惠方案是：买3张全票，其余人按半价收费；乙旅行社的优惠
方案是：一律按6折收费．已知甲、乙两家旅行社的原价均为每人80元．
(1)分别表示出甲旅行社收费 ，乙旅行社 与旅游人数 的函数关系式；
(2)当参加的人数为12人时，应该选择哪家旅行社比较合算？
(3)若公司计划用1200元作为旅游经费，为了使更多的员工参加，应该选择哪家旅行社？
【答案】(1) ，
(2)选择乙旅行社比较合算
(3)为了使更多的员工参加，应该选择甲旅行社
【详解】（1）解：由题意，得： ；
；
（2）解：当 时， ， ，
∴ ；
故选择乙旅行社比较合算．
（3）解：当 时： ，解得： ；
当 时： ，解得： ；
∵ ，∴为了使更多的员工参加，应该选择甲旅行社．
【变式训练1】文德中学为了缓解学生用餐拥挤，计划购进某种餐桌、餐椅，这是某商场给出的报价表：
零售价（元/张） 成套售价（元/套）
餐桌
450
餐椅
已知用720元购进的餐桌数量与用320元购进的餐椅数量相同．
(1)求每张餐桌和餐椅的零售价．
(2)采购人员计划购进餐椅的数量是餐桌数量的6倍还多10张，且餐桌和餐椅的总数量不少于220张．如果
成套购买可享受该商场的成套售价（一张餐桌和四张餐椅配成一套）．采购人员决定先成套购买，其余餐
椅以零售价购入．设购进餐桌的数量为 （张），总价为 （元），求 关于 的函数关系式，并求出总
价最低时的进货方案．
【答案】(1)每张餐桌和餐椅的零售价分别为180元、80元
(2)当进货餐桌30张，桌椅190张时，总价最低
【详解】（1）解：由题意得 ，
解得 ，
经检验， 是原方程的解，
∴ ，
∴每张餐桌和餐椅的零售价分别为180元、80元；
（2）解：由题意得 ，
∵餐桌和餐椅的总数量不少于220张，∴ ，∴ ，
∵ ，∴当 时，W最小，最小为19100元，∴ ， ，符合题意，
∴当进货餐桌30张，桌椅190张时，总价最低．
【变式训练2】根据以下素材，探索完成任务
如何运输最省?
素材 为做到“动态清零”，市卫生防疫部门需运输一批疫苗到某县，现有冷链车A 和 B型两种运输车，
一 其中 型冷链运输车一次可运输200盒疫苗， 型冷链运输车一次可运输150盒疫苗．
素材
型冷链运输车一次需费用 元， 型冷链运输车一次需费用 元．
二问题解决
任务 若某县需要1500盒疫苗，市卫生防疫部门只安排 型冷链运输车，则至少需 型冷链运输车多少
1 辆？
任务 市卫生防疫部门用上述两种冷冻车共12辆运输这批疫苗 若运输疫苗不少于2100盒，且总费用小于
2 元请你列出所有的运输方案．
任务
在任务2的条件下，由于A型和 B型两种运输车，运输时走不同高速路线，A型需a元过路费， B
3
型 元过路费，求如何安排两种车型运输的过路费总和最少？
【答案】任务1：至少需要A型冷链运输车8辆；
任务2：方案一：A型冷链运输车6辆，B型冷链运输车6辆；方案二：A型冷链运输车7辆，B型冷链运
输车5辆；方案三：A型冷链运输车8辆，B型冷链运输车4辆；
任务3：当a=50时三种方案一样；当 时，方案三最少；当 时，方案一最少
【详解】任务1：
设需A型冷链运输车m辆，
根据题意得 ，
解得 ，
∵m是整数，
∴至少需A型冷链运输车8辆；
任务2：
设用A型冷链运输车x辆，则B型冷链运输车 辆，
根据题意得： ，
解得 ，
∵x是整数，
∴x可取6，7，8，
∴运输方案有3种：
方案一：用A型冷链运输车6辆，B型冷链运输车6辆，
方案二：用A型冷链运输车7辆，B型冷链运输车5辆，
方案三：用A型冷链运输车8辆，B型冷链运输车4辆；
任务3：
设过路费总和为y元，，
当 时, ，三种方案一样；
当 ，即 时，y随x的增大而增大，
∴ 时，y取最小值，最小值为 （元），
即安排A型冷链运输车6辆，B型冷链运输车6辆，过路费总和最少；
当 ，即 时，y随x的增大而减小，
∴ 时，y取最小值，最小值为 元，
即安排A型冷链运输车8辆，B型冷链运输车4辆，过路费总和最少；
答：当a=50时三种方案一样；当 时，方案三最少；当 时，方案一最少．
【变式训练3】某市火车货运站现有苹果1530吨，梨1150吨，安排一列货车将这批苹果和梨运往深圳市．
这列货车可以挂A、B两种不同规格的货箱50节，已知用一节A型货箱的运费是0.5万元，用一节B型货
箱的运费是0.8万元．
(1)设运输这批苹果和梨的总运费为y万元，用A型货箱的节数为x节，试写出y与x的函数关系式；
(2)已知苹果35吨和梨15吨可装满一节A型车厢，苹果25吨和梨35吨可装满一节B型车厢，按此要求安
排A、B两种货箱的节数，有哪几种运输方案，请你设计出来；
(3)哪种方案的总运费最小？最少运费是多少？
【答案】(1)
(2)有三种方案，详见解析
(3)方案三的总运费最少，最少运费为 万元
【详解】（1）解：设用 型货箱 节，则用 型货箱 节，
根据题意，可得： ，
即 ；
（2）解：根据题意，可得 ，
解得： ，
∵ 为整数，∴ 的取值为 ， ， ，
∴运送方案有三种：
方案一： 型货厢 节， 型货厢 节；
方案二： 型货厢 节， 型货厢 节；
方案三： 型货厢 节， 型货厢 节；
（3）解：在 中，
∵ ，
∴ 随 的增大而减小，
∴ 当 时，总运费 最少，即方案三的总运费最少，此时总运费 （万元）．
【变式训练4】咸阳是中国农业文明的发祥地，果业作为全市的支柱产业，近些年，咸阳市的果业规模迅
速扩大，果品质量逐年提升，果业效益显著提升，已成为陕西第一果业大市．一家果业加工厂承担出口某
种水果的加工任务，有一批水果需要装入某一规格的礼盒，而这种礼盒的来源有两种方案可供选择：
方案一：从礼盒加工厂订购，购买礼盒所需费用为 （元）；
方案二：由该果业加工厂租赁机器，自己加工制作这种礼盒，所需费用（包括租赁机器的费用和生产礼盒
的费用）为 （元）．
其中 （元）、 （元）与礼盒数 （个）满足如图所示的函数关系，根据图象解答下列问题：
(1)请分别求出 、 与 之间的函数关系式；
(2)若该果业加工厂需要这种礼盒2000个，你认为选择哪种方案更省钱？并说明理由；(3)当该果业加工厂需要这种礼盒多少个时，选择两种方案所需的费用相同？
【答案】(1) ；
(2)该果业加工厂需要这种礼盒2000个，选择方案二更省钱，理由见解析
(3)当该果业加工厂需要这种礼盒1250个时，选择两种方案所需的费用相同
【详解】（1）解：设 ．
将点 代入，得
解得 ，
所以 ；
设 ．
因为图象经过点 ，
所以 ，即 ．
由图象知函数经过点 ，
将点 代入，得 ，
解得 ，
所以 ．
（2）当 时，
，
，
因为 ，
所以若该果业加工厂需要这种礼盒2000个，选择方案二更省钱．
（3）令 ，则解得 ．
即当该果业加工厂需要这种礼盒1250个时，选择两种方案所需的费用相同．
类型二、最大利润问题
例．为了迎接兔年的到来，广大市民纷纷开始购买兔年装饰物，某网店上架了“玉兔灯笼”和“玉兔摆
件”这两款产品，已知10个“玉兔灯笼”和15个“玉兔摆件”的售价为2400元；30个“玉兔灯笼”和
20个“玉兔摆件”的售价为5200元．
(1)每个“玉兔灯笼”和“玉兔摆件”的售价分别为多少元？
(2)已知“玉兔灯笼”和“玉兔摆件”的成本分别为80元/个和50元/个．进入2023年一月后，这两款产品
持续热销，于是网店再购进了这两款产品共600个，其中“玉兔摆件”的数量不超过“玉兔灯笼”数量的
2倍，且购进总价不超过37800元．为回馈新老客户，网店决定对“玉兔灯笼”降价10%后再销售，若一
月份购进的这两款产品全部售出，则“玉兔灯笼”购进多少个时该网店当月销售利润最大？最大利润为多
少？
【答案】(1)每个“玉兔灯笼”的售价为 元，每个 “玉兔摆件”的售价为 元．
(2)“玉兔灯笼”购进 个，所获得的利润最大，最大利润为 元．
【详解】（1）解：设每个“玉兔灯笼”的售价为 元，每个 “玉兔摆件”的售价为 元，则
，解得： ，
答：每个“玉兔灯笼”的售价为 元，每个 “玉兔摆件”的售价为 元．
（2）设当月销售利润为 元，“玉兔灯笼”购进 个，则“玉兔摆件”购进 个，
∴
，
又∵ ，
解得： ，
∵ ，
∴ 随 的增大而减小，
∴当 时， 取得最大值，
此时 ；∴“玉兔灯笼”购进 个，所获得的利润最大，最大利润为 元．
【变式训练1】6月13日是“文化和自然遗产日”，某商店为了抓住此次活动的商机，决定购买一些纪念
品进行销售，若购进A种纪念品20件，B种纪念品10件，需要2000元；若购进A种纪念品8件，B种纪
念品6件，需要1100元．
(1)求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
(2)若每件A种纪念品的售价为60元，每件B种纪念品的售价为180元．考虑到市场需求，商店决定购进
这两种纪念品共300件，要求购进B种纪念品的数量不少于30件，设购进B种纪念品m件，总利润为w
元，请写出总利润w（元）与m（件）的函数关系式，并根据函数关系式说明利润最高时的进货方案．
【答案】(1)A种纪念品每件价格为25元，B种纪念币每件价格为150元
(2) 购进A种纪念品270件，购进B种纪念品30件时利润最高，利润最高为
10350元
【详解】（1）解：设购进A种纪念品每件价格为x元，B种纪念币每件价格为y元，
根据题意，得 ，
解得 ，
答：A种纪念品每件价格为25元，B种纪念币每件价格为150元；
（2）解：根据题意，得 ，
解得 ，
，
∵ ，
∴w随m的增大而减小，
∴当 时，w有最大值： ，
（件），
故购进A种纪念品270件，购进B种纪念品30件时利润最高，利润最高为10350元．
【变式训练2】服装店经销甲种品牌的服装，受市场影响，现在每件降价50元销售，如果卖相同件数的服装，原价的销售额为9000元，现价销售额为8000元．
(1)销售甲种品牌服装现价每件为多少元？
(2)服装店决定增加经销乙种品牌的服装，已知甲种品牌服装每件进价为350元，乙种品牌服装每件进价为
300元，服装店用不多于6600元且不少于6400元的资金购进这两种品牌的服装共20件．
①问有几种进货方案？
②乙种品牌的服装每件售价为370元，服装店决定每售出1件乙种品牌服装，返还顾客 元，要使①所有
方案获利相同，求 的值．
【答案】(1)400元；(2)①5种；②20
【详解】（1）设销售甲种品牌服装现价每件为 元，依题意得
解得：
检验：当 时， ，所以，原分式方程的解为
答：销售甲种品牌服装现价每件为400元；
（2）①设购甲种品牌服装 件，则乙种品种服装 件
解得： ，
∵ 为正整数，
∴ 8，9，10，11，12，共有5种进货方案，
答：共有5种进货方案．
②设总获利为 元，
∵要使①中所有方案获利相同，
∴ 的结果与 无关，
∴ ，
∴ ．
答： 的值为20．
【变式训练3】某商店欲购进甲、乙两种商品，已知甲的进价是乙的进价的一半，进3件甲商品和1件乙商品恰好用200元．甲、乙两种商品的售价每件分别为80元、130元，该商店决定用不少于6710且不超
过6810元购进这两种商品共100件．
(1)甲、乙两种商品的进价各是多少？
(2)设其中甲商品的进货件数为 件，商店有几种进货方案？
(3)设销售两种商品的总利润为 元，试写出利润 与 的函数关系式，并利用函数的性质说明哪一种进货
方案可获得最大利润，并求出最大利润是多少？
【答案】(1)进价为40元，乙商品的进价为80元
(2)有三种进货方案：方案1，甲种商品30件，乙商品70件；方案2，甲种商品31件，乙商品69件；方案
3，甲种商品32件，乙商品68件
(3) 时， 最大，此时
【详解】（1）解：设甲商品的进价为 元，乙商品的进价为 元，
由题意得，
，
解得 ，
答：商品的进价为40元，乙商品的进价为80元；
（2）解：设购进甲种商品 件，则购进乙种商品 件，
由题意得，
，
解得： ，
为整数，
，
有三种进货方案：
方案1，甲种商品30件，乙商品70件；
方案2，甲种商品31件，乙商品69件；
方案3，甲种商品32件，乙商品68件；（3）解：设利润为 元，
由题意得，
，
，
随 的增大而减小，
时， 最大，此时 ．
【变式训练4】某商场代销甲、乙两种商品，其中甲种商品进价为120元/件，售价为130元/件，乙种商品
进价为100元/件，售价为150元/件．
(1)若商场用39000元购进这两种商品若干，销售完后可获利润9500元，则该商场购进甲、乙两种商品各
多少件？
(2)现商场需购进这两种商品共200件，设购进甲种商品 件，两种商品销售完后可获总利润为 元，如果
购进甲种商品的数量至少100件，求销售完这批商品获得的最大利润．
【答案】(1)甲种商品200件，乙种商品150件
(2)6000元
【详解】（1）解：设购进甲种商品 件，乙种商品 件，由题意，得
，
解得： ，
答：该商场购进甲种商品200件，乙种商品150件．
（2）已知购进甲种商品 件，则购进乙种商品 件，根据题意，得
，
，
随 的增大而减小．
当购进甲种商品的件数为100件时利润最大，
最大利润 元．
类型三、几何问题
例．A、B两地相距260km，甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h，并且甲车途中休息了 h，甲车休息前后速度一样，如图是甲、乙两车行驶的路程 与甲车的行
驶时间 的函数图象．
(1)直接写出 和 的值；
(2)甲车从A地到B地共用多少小时？
(3)乙车出发后，当两车相距50km时，乙车行驶了多长的时间？
【答案】(1) ，
(2)7小时
(3) 小时或 小时
【详解】（1）解：由题意，得
．
，
．
∴ ， ；
（2）当 时，设 与 之间的函数关系式为 ，由题意，得
，解得： ，
，
当 时，甲车 与 之间的函数关系式为 ，
当 时， ，
解得： ，
甲车共行驶时间是7小时；
（3）设乙车行驶的路程 与时间 之间的解析式为 ，由题意，得，
解得： ，
．
当 时，
解得： ．
当 时，
解得： ，
， ，
答：乙车行驶 小时或 小时，两车恰好相距 ．
【变式训练1】如图中的图像（折线 ）描述了一汽车在某一直线的行驶过程中，汽车离出发地的距
离 （千米）和行驶时间 （小时）之间的函数关系，根据图中提供的信息，填空：
(1)汽车共行驶了___________千米；
(2)汽车在行驶途中停留了___________小时；
(3)汽车自出发后4点到 小时之间行驶的速度是___________千米/小时；求出此时汽车离出发地的距离
（千米）和行驶时间 （小时）之间的函数关系式（写出解题过程）
【答案】(1)
(2)
(3)【详解】（1）解：由 ， 可得：
汽车共行驶了 （千米）；
（2）由 ， 可得：
汽车在行驶途中停留了 （小时）；
（3）由 ， 可得：
行驶速度为每小时： （千米）；
设 ，
∴ ，
解得： ，
∴ ．
【变式训练2】如图1， 是一段遥控车直线双车道跑道．甲、乙两遥控车分别从A，B两处同时出发，
沿轨道向C匀速行驶，7秒后甲车先到达C点．设两车行驶时间为 （秒），两车之间的距离为 （米），
则 与 的关系如图2所示，根据图象解决下列问题：
(1)甲车经过______秒追上乙车， ______．
(2)设相遇前两车之间的距离为 ，直接写出 与 的函数关系式：______；
设相遇后两车之间的距离为 ，直接写出 与 的函数关系式：______．(3)两遥控车出发后多长时间，它们之间的距离为4米?
【答案】(1)3；8
(2) ；
(3)5秒．
【详解】（1）由图2得3秒时，两车之间的距离为0，速度差为
设乙速度为xm/s,则甲速度为x+2m/s
由题得，
所以7秒后，甲行驶了28m，乙行驶了14m，再加上一开始相距的6m， ．
（2）设 ，把 带入得
，
∴
因为速度差不变，所以 斜率为2，代入 得
（3）
，所以出发后1s和5s时，它们之间的距离为4米．
【变式训练3】共享电动车是一种新理念下的交通工具：主要面向 的出行市场，现有 A、B 两种
品牌的共享电动车， 收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中 A 品牌收费方式对应 ，B 品牌的
收费方式对应 ．
(1)B 品牌10分钟后，每分钟收费 元；
(2)写出B品牌的函数关系式；(3)如果小明每天早上需要骑行 A 品牌或 B 品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平
均行驶速度均为 ，小明家到工厂的距离为 ，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱呢？
(4)直接写出两种收费相差 2 元时 x 的值是 ．
【答案】(1)0.2
(2)
(3)小明选择B品牌的共享电动车更省钱
(4)10或30
【详解】（1）解：由图像可知：B品牌的电动车在10分钟后， 分钟收费为 元，
∴B品牌电动车在10分钟后每分钟收费为 元．
故答案为：0.2；
（2）解：设当 时，B品牌的函数关系式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时，B品牌的函数关系式为 ，
∴B品牌的函数关系式为 ，
（3）解：∵两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为 ，小明家到工厂的距离为 ，
∴小明从家到工厂的时间为 分钟，
∵ ，由图象可知，当骑行时间超过 时， ，即骑行B品牌的共享电动车更省钱，
∴小明选择B品牌的共享电动车更省钱；
（4）解：同理可求出A品牌函数关系式为 ，
∵当 时两种收费相同，
∴两种收费相差2元时，分 前和 后两种情况，
①当 时，离 越近收费相差的越少，当 时 ， ，此时符合题意；
②当 时，则 ，
解得： ．
∴在10分钟或30分钟，两种收费相差2元．
故答案为：10或30．
