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专题11 A字型相似模型
1．已知：如图，在 中， ，则下列等式成立的是
A． B． C． D．
【解答】解： 在 中， ， ，
， ．故选： ．
2．如图， ， 分别是 的边 ， 上的点，且 ，连接 ， 相交于点 ．
若 ，则下列说法错误的是
A． B．
C． D．
【解答】解： 、 ，
， ，
，
，，故选项 正确，不符合题意；
、 ，
，
，
，故选项 正确，不符合题意；
、 ，
， ，
，
．
，
，
，
，故选项 错误，符合题意；
、 ，
．故选项 正确，不符合题意．
故选： ．
3．如图，将一个大三角形剪成一个小三角形及一个梯形．若梯形上、下底的长分别为6，14，两
腰长为12，16，则剪出的小三角形是A． B． C． D．
【解答】解：如图， ， ， ， ，
，
，
，
，
解得： ， ．
故选： ．
4．如图， 中， ， ， ， 是 边上一点，作 于 ，
于 ，设 ，则
A． B． C． D．
【解答】解： 在 中， ， ， ，
由勾股定理得 ，
， ， ，，
，
，
， ，
．
故选： ．
二．填空题（共7小题）
5．如图，以线段 为直径的半圆上有点 ， ，且 为 的中点，作 于 ，交
延长线于点 ，弦 ， 交于点 ，若 ， ，则 的长为 ．
【解答】解：设半圆圆心为 ， 的半径为 ，连接 交 于 ，
，
，
是半圆的直径，
，
，
，
，是 的中位线，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
， （舍去），
，
，
，
．
故答案为： ．
6．如图，直线 ，且每两条相邻平行线之间距离相等，点 ， ， 分别在直线 ，， 上， 分别交直线 ， 于点 ， ， 交直线 于点 ， 交直线 于点 ，若
的面积为4，则四边形 的面积为 6 ．
【解答】解： 直线 ，且每两条相邻平行线之间距离相等，
， 分别是 ， 的中点，
，
，
，
，
，
同理可证 ， ，
，
，
四边形 的面积为：
．
故答案为：6．
7．如图，已知 的面积 ．
在图1中，若 ，则 ；
在图2中，若 ，则 ；
在图3中，若 ，则 ；按此规律，若 ， ．
【解答】
解：对图（2）进行分析：可以标出每条边的所有分点的字母，从 开始，逆时针为 、 、 ，
可以得到△ ，
且面积比为 ，也就可以得到 ，而△ 和△ 同底等高，面积相等，
所以， ，同样道理，可得到， ， ，
那么 ．
根据上述分析可以得到，如果 是 的 等分点， 是 的 等分点， 是 的
等分点，
那么 ，当 时，则 ．
8．如图， 、 两点分别在 的边 、 上， 与 不平行，当满足条件
（写出一个即可）时， ．
【解答】解：满足条件 即可， 为公共角，
．
故答案为： ．
9．如图， 、 两点分别在 的边 、 上， 与 不平行，当满足条件（写出一个
即可） 时， ．
【解答】解：满足条件 即可
， 为公共角，
．
故答案为： （答案不唯一）．
10．如图，已知 的直径为10，将一块三角板如图放置，使它的直角顶点 在 上，两直角
边与 交于点 ， ，使得 ．过点 作 于点 ，交 于点 ，则线段
2 ．
【解答】解： 是 的直径，
，
，
，
，
，
，
，
设 ， ，的直径为10，
，
在 中， ，
，
或 （舍去），
，
，
11．如图，在 中， ， ， ， 为 的中点，沿过点 的直线
折叠 ，折痕与 交于点 ，若 与 相似，则 的长为 2. 5 或 ．
【解答】解：在 中， ， ， ，
，
为 的中点，
，
分两种情况：
当 时，
，
，
，
当 时，
，
，，
综上所述： 的长为2.5或 ，
故答案为：2.5或 ．
三．解答题（共9小题）
12．如图， 中，点 ， ， 分别在边 ， ， 上， ， 交 于点 ，
求证： ．
【解答】证明： ，
， ，
， ，
， ，
， ，
，
．
13．如图， 为 的直径， 、 为 上两点，且点 为弧 的中点，过点 作 的垂
线，交 的延长线于点 ，交 的延长线于点 ．若 的半径的长为3， ，求 的
长．
【解答】解：连接 ，如图，点 为弧 的中点，
弧 弧 ．
，
，
．
，
，
， ，
，
， ，
， ．
，
．
在 中， ，
．
14．某公园一角有一盏地面射灯照在一棵树上，树的影子投在墙上．已知树高 ，树与墙之间的
距离为 ，与射灯之间的距离为 ．求树在墙上的影长．
【解答】解：根据题意知， ，则 ，
故 ，即 ．解得 ．
答：树在墙上的影长为3米．
15．如图， ，射线 和线段 互相垂直，点 是 上的一个动点，点 在射线
上， ，作 并截取 ，连接 并延长交射线 于点 ．设 ，
，求 关于 满足的函数关系式．
【解答】
作 于 ，
，
，
在 与 中，，
，
， ，
，
，
， ，
，
，
即 ，
，
16．如图，在 中， ，点 是 的中点， ，点 ， 同时从点 出发，
以相同的速度分别沿射线 、射线 运动，以 为边向 内部作正方形 ．当点
到达 点时，点 ， 同时停止运动，设 ，正方形 与 重叠部分的面积为 ．
当点 运动至 上时， ．
（1） 的长为 ；
（2）求 关于 的函数关系式，并直接写出自变量 的取值范围．
【解答】解：（1）如下图，当 点在 上时， ，，
点 是 的中点， ，
，
， ，
，
，
即 ，
解得 ，
，
故答案为： ；
（2）当 时， ，
当 时，设 交 于 ， 交 于 ，如下图，
此时 正方形 的面积 三角形 的面积，
由题知 ，同理（1）知 ，
，
，
，
又 ，
，
综上， 与 的函数关系式为 ．
17．如图，已知小丽的身高 是1.6米，她在路灯下的影长 为2米，此时她与路灯 的距离
为3米，且 ， ，求路灯 的高度．
【解答】解： ， ，
，
，
，
，
，
米，
路灯 的高度为4米．
18．如图，一条东西走向的笔直公路的北侧，在间隔150米的点 ， 处有两棵树，点 表示电
视塔所在的位置．小王沿着公路南侧 行走，当他到达点 的位置时，观察到树 恰好可以挡住电视塔（即点 ， ， 在同一直线上）．当他继续向前走180米到达点 的位置时，观察到
树 也恰好挡住电视塔．假设 ，且公路的宽为60米，求电视塔 到公路南侧 的距离．
【解答】解：过点 作 ，垂足为 ，延长 交 于点 ，
由题意得：
米， 米， 米， ，
， ，
，
，
，
米，
电视塔 到公路南侧 的距离为360米．
19．小军和小丽准备测量学校旗杆的高度，如图，小军站在点 处时，他的影子顶端恰好与旗杆
的影子顶端重合，小丽测得小军的影子 ，小军向前走 到达点 处时，测得旗杆顶
端 的仰角为 ，已知小军的身高 ，点 ， ， ， 在同一个水平直线上，
， ， ，求旗杆 的高度．【解答】解：过点 作 ，垂足为 ，
由题意得：
， ，
设 ，
在 中， ，
，
，
， ，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
经检验： 是原方程的根，
，
旗杆 的高度为 ．20．如图，在 中， ， ， ．点 从点 出发，沿 向终点 运动，
运动速度为1单位长度 秒；同时点 从点 出发，沿 以1单位长度 秒的速度向终点 运动，
当点 经过 中点 处时，停止1秒，然后继续运动．连结 ，以 为边作正方形 ．
设正方形 的面积为 ，点 的运动时间为 秒．
（1）当 时，求 的长．
（2）当 为等腰三角形时，求 的值．
（3）求 与 之间的函数关系式．
（4）直接写出线段 在整个运动过程中的最小值．
【解答】解：（1）点 到达点 所需的时间为 （秒 ，
点 到达中点 所需的时间为 （秒 ，
点 到达点 所需的时间为 （秒 ，
运动时间 的取值范围为 ，
在 中， ，，
，
分以下三种情况：
①如图①，当点 在线段 上，即：
时， ，
，
在 和 中，
，
，
，即：
，
解得： （符合题意），
此时， ，
②当点 与点 重合时，即：
时， ， ，，
同理可得：
，即：
，
解得： （不符合题意，舍去），
③当点 在线段 上时，即：
时， ， ，
，
同理可得：
，即：
，
解得： （不符合题意，舍去），
综上， 的长为 ．
（2）根据等腰三角形的定义，分以下三种情况：
①如图②，当 时， 为等腰三角形，
过点 作 于点 ，
，
由等腰三角形的三线合一，得：，
当点 在线段 上，即：
时， ，
，
，
，
，
，即：
，
解得： （符合题意），
当点 与点 重合时，即：
时， ， ，
，
，
同理可得：
，即：
，
解得： （不符合题意，舍去），
当点 在线段 上时，即：
时， ， ，，
，
同理可得：
，即：
，
解得： （不符合题意，舍去），
故此时 ；
②如图③，当 时， 为等腰三角形，
当点 在线段 上，即：
时， ，
，
，
解得： （符合题意），
当点 与点 重合时，即：
时， ， ，
，
（不符合题意，舍去），当点 在线段 上时，即：
时， ， ，
，
，
解得： （不符合题意，舍去），
故此时 ；
③如图④，当 时， 为等腰三角形，
过点 作 于点 ，
由等腰三角形的三线合一，得：
，
当点 在线段 上，即：
时， ，
，
，
在 和 中，
，，
，
，
解得： （不符合题意，舍去），
当点 与点 重合时，即：
时， ， ，
，
，
同理可得：
，
，
解得： （不符合题意，舍去），
当点 在线段 上时，即：
时， ， ，
，
，
同理可得：
，
，解得： （符合题意），
故此时 ，
综上， 的值为 或2或 ．
（3）如图②，当 时，
在 中， ，
， ，
，
，
，
， ，
，
，
如图⑤，当 时，
， ，
过点 作 于点 ，则 ， ，
，，
如图⑥，当 时，过点 作 于点 ，
则 ， ， ， ，
， ，
，
综上所述， 与 之间的函数关系式为 ．
（4）由（3）知：当 时， ，
，
当 时， 取得最小值 ， 的最小值为 ；
当 时， ，
当 时， 取得最小值，但 ，故此时不存在最小值；
当 时， ，
此时不存在最小值．
综上所述， 的最小值为 ．
