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第 02 讲 中心对称
课程标准 学习目标
1. 掌握中心对称的定义与性质，能够根据定义熟练的找出对称
①中心对称的定义及其性质 中心，能够根据性质熟练的解决相关题目。
2. 掌握中心对称作图的步骤，并能够熟练的进行中心对称作
②中心对称作图
图。
知识点01 中心对称的定义
1. 中心对称的定义：
如图，把一个图形绕着某个点旋转 180 ° ，如果它能够与另一个图
形 完全重合 ，那么就说这两个图形关于这个点 对称或中心对称 ，
这个点叫做 对称中心 ，这两个图形中的对应点叫做关于对称中心
的 对称点 。
即：△ABC绕点O旋转180°与△A'B'C'完全重合，则△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，点O是
对称中心，A与A' ，B与B' ，C与C' 都是对称点，
中心对称指的是两个全等的图形的位置关系。2. 中心对称的性质：
①关于中心对称的两个图形能够 完全重合 ；即
ΔABC≌ΔA'B'C'
。
②关于中心对称的两个图形，它们的对应点的连线都经过 对称中心 ，并且被对称中心 平分 。
即：
OA=OA'，OB=OB'，OC=OC'
。
③中心对称的两个图形对应边 平行或共线 。
3. 对称中心的确定：
连接任意两组 对称点 得到两条线段，这两条线段的 交点 就是对称中心。
【即学即练1】
1．下列四组图形中，左边的图形与右边的图形成中心对称的有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【分析】欲分析两个图形是否成中心对称，主要把一个图形绕一个点旋转180°，观察是否能和另一个图
形重合即可．
【解答】解：根据中心对称的概念，知（2）（3）（4）都是中心对称．
故选：C．
【即学即练2】
如图，△ABC与△DEF关于某点成中心对称，则其对称中心是（ ）
A．点P B．点Q C．点M D．点N
【分析】根据中心对称的性质：“成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心且被对称中
心平分．”，连接BE和CF，其交点即为对称中心．
【解答】解：如图，连接BE、CF，发现其交于点M，根据中心对称的性质可知点M即为其对称中心．
故选C．
【即学即练3】
如图，△ABC与△A′B′C′关于O成中心对称，下列结论中不成立的是（ ）
A．OC＝OC′ B．OA＝OA′
C．BC＝B′C′ D．∠ABC＝∠A′C′B′
【分析】根据中心对称的性质即可判断．
【解答】解：对应点的连线被对称中心平分，A，B正确；
成中心对称图形的两个图形是全等形，那么对应线段相等，C正确．
故选：D．
【即学即练4】
4．如图，△ABC和△AB'C'成中心对称，A为对称中心．若∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝ ，则CC'的长为
．
【分析】根据中心对称图形的定义可得△ABC≌△AB′C′，进而可得AC＝AC′，然后利用特殊角的
三角函数值可得AC的长，进而可得答案．
【解答】解：∵△ABC和△AB'C'成中心对称，
∴△ABC≌△AB′C′，
∴AC＝AC′，
∵∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝ ，∴AC＝BC•tanB＝ × ＝1，
∴AC′＝1，
∴CC′＝2，
故答案为：2．
【即学即练5】
5．如图，点O是矩形ABCD的对称中心，E，F分别是边AB，CD上的点，且BE＝DF，已知矩形ABCD
的面积是32，那么图中阴影部分的面积为 ．
【分析】由全等三角形的判定得到△BOE≌△DOF，将阴影部分的面积转化为规则的几何图形的面积进
行计算．
【解答】解：在矩形ABCD中，OB＝OD、AB∥DC，
∴∠EBO＝∠FDO，
在△BOE与△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（SAS），
∴S阴影部分 ＝S△DOC ＝ S矩形ABCD ＝ ×32＝8，
故答案为：8．
知识点02 中心对称作图
1. 中心对称作图的基本步骤：
步骤：①确定图形的 关键点 与 对称中心 。
②连接关键点与对称中心并延长，使延长的距离与关键点到对称中心的距离 相等 。
得到 对称点 。
③按照原图形连接各对称点。
【即学即练1】
6．如图，已知四边形ABCD和点P，画四边形A'B'C'D'，使四边形A'B'C'D'与四边形ABCD关于点P成中心
对称．【分析】延长AP到A′使A′P＝AP，同样作出点B′、C′、D′，从而得到四边形A'B'C'D'．
【解答】解：如图，四边形A'B'C'D'为所作．
题型01 成中心对称的判定
【典例1】下列各组图形中，△A'B'C'与△ABC成中心对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称，轴对称，平移变换的性质对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是平移变换图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、是旋转变换图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，故本选项正确．
故选：D．
【变式1】如图所示，下列四组图形中，左边图形与右边图形成中心对称的是（ ）A． B． C． D．
【分析】欲分析两个图形是否成中心对称，主要把一个图形绕一个点旋转180°，观察是否能和另一个图
形重合即可．
【解答】A、是轴对称图形，左边图形与右边图形不成中心对称，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，左边图形与右边图形不成中心对称，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，左边图形与右边图形不成中心对称，故此选项不合题意；
D、左边图形与右边图形成中心对称，故此选项符合题意；
故选：D．
【变式2】下列两个电子数字成中心对称的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称的定义判断即可．
【解答】解：B、C、和D选项中的两个电子数字旋转180度后的图形不能和原图形完全重合，故不符
合题意；
只有A选项中的两个电子数字成中心对称图形．
故选：A．
【变式3】下列英语单词中，可以近似看成中心对称图形的是（ ）
A．SOS B．CEO C．MBA D．SARS
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来
的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项B、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，
所以不是中心对称图形，
选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：A．
题型02 确定中心对称的对称中心
【典例1】如图，四边形ABCD与四边形FGHE关于一个点成中心对称，则这个点是（ ）
A．O B．O C．O D．O
1 2 3 4
【分析】连接任意两对对应点，连线的交点即为对称中心；【解答】解：如图，连接HC和DE交于O ，
1
故选：A．
【变式1】如图，已知图形是中心对称图形，则对称中心是（ ）
A．点C B．点D
C．线段BC的中点 D．线段FC的中点
【分析】根据中心对称图形的定义，得出对称中心是线段BE中点或线段FC中点，进而得出答案．
【解答】解：∵此图形是中心对称图形，
∴对称中心是线段FC的中点．
故选：D．
【变式2】如图，点A，B分别是两个半圆的圆心，则该图案的对称中心是（ ）
A．点A B．点B
C．线段AB的中点 D．无法确定
【分析】由已知两个图形的位置，判断它们是否中心对称，可以把各对应点连线，看所有连线是否交于
同一点．
【解答】解：如图对称中心是AB的中点，
故选：C．
【变式3】如图，△ABE与△DCF成中心对称则对称中心是（ ）A．M点 B．P点 C．Q点 D．N点
【分析】连接BC（或AD或EF），根据中心对称的性质逐一判断即得．
【解答】解：连接BC，发现BC经过点M，且被点M平分，
故对称中心为M点．
故选：A．
题型03 中心对称的性质的熟悉
【典例1】如图，△ABC与△DEF成中心对称，点O是对称中心，则下列结论不正确的是（ ）
A．点A与点D是对应点 B．∠ACB＝∠DEF
C．BO＝EO D．AB∥DE
【分析】根据成中心对称的图形的性质：“中心对称的两个图形全等，对称点到对称中心的距离相等”
即可作出正确判断．
【解答】解：观察图形可知：
A、点A与点D是对应点，原说法正确，故选项不符合题意；
B、∠ACB＝∠DFE，原说法错误，故选项符合题意；
C、BO＝EO，原说法正确，故选项不符合题意；
D、∠ABO＝∠DEO，则AB∥DE，原说法正确，故选项不符合题意．
故选：B．【变式1】如图，△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（ ）
A．点A与点A'是对称点 B．AO＝A'O
C．∠AOB＝∠A'OB' D．∠ACB＝∠C'A'B'
【分析】根据中心对称的性质判断即可．
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，
∴点A与A′是一组对称点，OB＝OB′，∠AOB＝∠A′OB′，
∴A，B，C都不合题意．
∵∠ACB与∠C′A′B′不是对应角，
∴∠ACB＝∠C′A′B′不成立．
故选：D．
【变式2】如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，下列结论成立的是 （填序
号）．
①点A与点A′是对应点；
②BO＝B'O；
③AB∥A′B′；
④∠ACB＝∠C′A′B′．
【分析】利用中心对称的性质解决问题即可．
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，
∴△ABC≌△A′B′C′，
∴点A与点A′是对称点，BO＝B′O，AB∥A′B′，
故①②③正确，
故答案为：①②③．
【变式3】如图，已知△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，则下列判断不正确的是（ ）A．∠ABC＝∠A'B'C' B．∠BOC＝∠B'A'C'
C．AB＝A'B' D．OA＝OA'
【分析】利用中心对称的性质解决问题即可．
【解答】解：∵△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，
∴△ABC≌△A′B′C′，
∴∠ABC＝∠A′B′C′，AB＝A′B′，OA＝OA′，
故A，C，D正确，
故选：B．
题型04 利用中心对称的性质计算求值
【典例1】如图，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AB＝3，AC＝2，∠CAB＝90°，则AE的长为（
）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】证明∠D＝90°，利用勾股定理求解．
【解答】解：∵△DEC与△ABC关于点C成中心对称，
∴△ACB≌△DCE，
∴AC＝CD＝2，∠A＝∠D＝90°，AB＝DE＝3，
∴AD＝4，
∴AE＝ ＝ ＝5．
故选：A．
【变式1】如图，BO是等腰三角形ABC的底边的中线，AC＝2， ，△PQC与△BOC关于点C成
中心对称，连接AP，则AP的长是（ ）
A．4 B． C． D．
【分析】根据等腰三角形的性质可得OB⊥AQ，AO＝CO＝ AC＝1，根据△PQC与△BOC关于点C中
心对称，可得CQ＝CO＝1，∠Q＝90°，PQ＝BO＝ ＝ ，再根据勾股定理可得AP的长．
【解答】解：∵BO是等腰三角形ABC的底边中线，∴AO＝CO＝1，BO⊥AC，
∵△PQC与△BOC关于点C中心对称，
∴CQ＝CO＝1，∠Q＝∠BOC＝90°，PQ＝BO＝ ，
∴AQ＝AO+CO+CQ＝3，
∴AP＝ ＝ ＝2 ．
故选：D．
【变式2】如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a
于点B，A'D⊥b于点D．若OB＝4，OD＝3，则阴影部分的面积之和为 ．
【分析】根据中心对称图形的概念，以及长方形的面积公式即可解答．
【解答】解：如图，
∵直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，
A'D⊥b于点D，OB＝4，OD＝3，
∴AB＝3，
∴图形①与图形②面积相等，
∴阴影部分的面积之和＝长方形ABOE的面积＝3×4＝12．
故答案为：12．
【变式3】如图，矩形ABCD和矩形A′B′C′D关于点D成中心对称，已知AB＝3，BC＝4，则阴影部
分的面积是 ．
【分析】根据成中心对称的两个图形之间的关系，可将阴影部分的面积转化为四边形 ACA′C′的面积，
进而便可解决问题．
【解答】解：由题知，因为四边形ABCD和四边形A′B′C′D是矩形，
所以S△ABC ＝S△ADC ，S△A′DC′ ＝S△A′B′C′ ，
所以S阴影 ＝S四边形ACA′C′ ．
又因为矩形ABCD和矩形A′B′C′D关于点D成中心对称，
所以AD＝A′D，CD＝C′D，
又因为AA′⊥CC′，
所以四边形ACA′C′为菱形，
所以 ．
故答案为：24．
【变式4】如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，若△BOC与△B'O'C关于点C成中心对称，AC
＝2，AB′＝5，则菱形ABCD的边长是 ．
【分析】根据菱形的性质、旋转的性质，得到 OA＝OC＝O'C＝1、OB⊥OC、O'B'⊥O'C、BC＝B′C，
根据AB′＝5，利用勾股定理计算O'B'，再次利用勾股定理计算B'C即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，且△BOC绕着点C旋转180°得到△B'O'C，AC＝2，
∴OA＝OC＝O'C＝1，OB⊥OC，BC＝B′C，
∴O'B'⊥O'C，O'A＝AC+O'C＝2+1＝3，
∵AB′＝5，
∴O'B'＝ ，
∴B'C＝ ，
∴BC＝B'C＝ ，
即菱形ABCD的边长是 ，
故答案为： ．
【变式5】如图，△AOD和△COB关于点O中心对称，∠AOD＝60°，∠ADO＝90°，BD＝18，点P是AO
上一动点，点Q是CO上一动点（点P、Q不与端点重合），且AP＝OQ．连接BQ，DP，则DP+BQ的
最小值为 ．
【分析】先根据中心对称性质得到OB＝OD，再根据含30度角的直角三角形的性得到OA＝2OD＝BD
＝18，过D作DK∥OA，且DK＝OA＝18，连接QK，BK，证得四边形DPQK是平行四边形，∠BDK＝∠AOD＝60°，QK＝DP，则DP+BQ＝QK+BQ≥BK，当B、Q、K共线时取等号，此时DP+BQ最小，
最小值为BK的长．证明△BDK为等边三角形得到BK＝BD＝18即可求解．
【解答】解：∵△AOD和△COB关于点O中心对称，
∴OB＝OD，
∵∠AOD＝60°，∠ADO＝90°，
∴∠OAD＝30°，又BD＝18，
∴OA＝2OD＝BD＝18，
∵AP＝OQ，
∴PQ＝OP+OQ＝OP+AP＝OA＝18，
∴过D作DK∥PQ，且DK＝PQ＝18，
连接QK，BK，如图，
则四边形DPQK是平行四边形，∠BDK＝∠AOD＝60°，
∴QK＝DP，
∴DP+BQ＝QK+BQ≥BK，当B、Q、K共线时取等号，此时DP+BQ最小，最小值为BK的长．
∵∠BDK＝60°，DK＝BD＝18，
∴△BDK为等边三角形，
∴BK＝BD＝18，即DP+BQ的最小值为18，
故答案为：18．
题型04 中心对称作图
【典例1】如图所示，△ABC与△A′B′C′关于点O中心对称，但点O不慎被涂掉了，请你帮排版工人
找到对称中心O的位置．
【分析】关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，由此可以得
出对称中心O的位置．
【解答】解：①连接CC′，取线段CC′的中点，即为对称中心O．
②连接BB′、CC′，两线段相交于O点，则O点即为对称中心．【变式1】如图，△ABC和△A'B'C'关于某一点成中心对称，某同学不小心把墨水泼在纸上，只能看到
△ABC和线段BC的对应线段B'C'，请你帮该同学找到对称中心O，且补全△A'B'C'．
【分析】根据中心对称的性质解决问题即可．
【解答】解：如图所示，BB'，CC'的交点即为O，△A'B'C'即为所求．
【变式2】如图，在网格中，不用量角器和刻度尺，画出已知图形关于点O的中心对称图形．
【分析】根据网格结构找出四个顶点关于点O的对称点的位置，然后顺次连接即可．
【解答】解：如图所示．
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，4），B（1，2），C（5，
3）．
（1）作出△ABC关于点O对称的图形△A B C ；
1 1 1
（2）以点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°，得到△A B C ，在坐标系中画出△A B C ．
2 2 2 2 2 2【分析】（1）分别作出三个顶点关于原点的对称点，再首尾顺次连接即可；
（2）分别作出三个顶点绕点O顺时针旋转90°所得对应点，再首尾顺次连接即可．
【解答】解：（1）如图所示，△A B C 即为所求．
1 1 1
（2）如图所示，△A B C 即为所求．
2 2 2
1．若线段AB与线段CD（与AB不在同一直线上）关于点O中心对称，则AB和CD的关系是（ ）
A．AB＝CD B．AB∥CD
C．AB平行且等于CD D．不确定
【分析】根据线段AB、CD关于点O成中心对称，再根据中心对称的性质得出对应边之间的关系即可．
【解答】解：∵线段AB、CD关于点O成中心对称，
∴线段AB、CD的关系是：平行且相等．
故选：C．
2．如图，在12×6的网格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上，以某个格点为旋转中心，△ABC旋转180°
后得到△A′B′C′，则旋转中心是（ ）A．点P B．点C′ C．点Q D．点R
【分析】根据旋转的性质，连接对应点AA′，BB′，CC′，交点即为旋转中心Q．
【解答】解：如图所示，连接AA′，BB′，CC′，
则AA′，BB′，CC′的交点为Q，
∴旋转中心是Q．
故选：C．
3．如图，△ABC与△DEF关于点O中心对称，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．AB∥DE B．AD＝BE C．OB＝OE D．BC＝EF
【分析】利用中心对称的性质一一判断即可．
【解答】解：∵△ABC与△DEF关于点O中心对称，
∴AB∥DE，OB＝OE，BC＝EF，
但AD与BE不一定相等．
故选：B．
4．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC经过中心对称变换得到△A′B′C′，那么对称中心的坐标
为（ ）
A．（0，0） B．（﹣1，0） C．（﹣1，﹣1） D．（0，﹣1）【分析】根据点A与点A'关于（﹣1，0）对称，点B与点B'关于（﹣1，0）对称，点C与点C′关于
（﹣1，0）对称，得出△ABC与△A′B′C′关于点（﹣1，0）成中心对称．
【解答】解：由图可知，点A与点A'关于（﹣1，0）对称，点B与点B'关于（﹣1，0）对称，点C与点
C′关于（﹣1，0）对称，
所以△ABC与△A′B′C′关于点（﹣1，0）成中心对称，
故选：B．
5．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，AC＝4．作出△ABC关于点A成中心对称的△AB'C'，其
中点B对应点为B'，点C对应点为C'，则四边形CB'C'B的面积是（ ）
A．128 B． C．64 D．
【分析】根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得 AC＝2，根据中心对称的性质以及平行四
边形的判定定理，得出四边形CB'C'B是平行四边形，继而即可求解．
【解答】解：如图所示，
△ABC中，
∵∠ABC＝90°，∠CAB＝60°，AC＝4．
∴∠ABC＝30°，AB＝2AC＝8，
∴ ，
∵作出△ABC关于点A成中心对称的△AB'C'，连接B′C，BC′，
∴AB＝AB'，AC＝AC'，
∴四边形CB'C'B是平行四边形，
∴四边形CB'C'B的面积为 ，
故选：D．
6．如图，已知点A与点C关于点O对称，点B与点D也关于点O对称，若BC＝3，OD＝4．则AB的长
可能是（ ）A．3 B．4 C．7 D．11
【分析】根据对称求出OB＝OD＝4，AD＝BC＝3，再根据三角形的三边关系得出AB的取值范围即可．
【解答】C解析：∵点A与点C关于点O对称，点B与点D也关于点O对称，
∴OB＝OD＝4，AD＝BC＝3，
∵BD﹣AD＜AB＜BD+AD，
∴5＜AB＜11，
故选：C．
7．已知AC是△ABC的最长边，将△ABC沿AC的中点旋转180°后得到△ADC，如果四边形ABCD是正方
形，则下列对△ABC描述正确的是（ ）
A．△ABC是锐角三角形
B．△ABC是直角三角形
C．△ABC是等腰三角形
D．△ABC是等腰直角三角形
【分析】由正方形的性质得到AB＝BC，∠ABC＝90°，因此△ABC是等腰直角三角形
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形．
故选：D．
8．如图，BO是等腰三角形ABC的底边中线，AC＝2，AB＝4，△PQC与△BOC关于点C中心对称，连接
AP，则AP的长是（ ）
A．4 B． C． D．
【分析】根据等腰三角形的性质可得OB⊥AQ，AO＝CO＝ AC＝1，根据△PQC与△BOC关于点C中
心对称，可得CQ＝CO＝1，∠Q＝90°，PQ＝BO＝ ＝ ，再根据勾股定理可得AP的长．
【解答】解：∵BO是等腰三角形ABC的底边中线，∴AO＝CO＝ AC＝1，
∴BO＝ ＝ ＝ ，
∵△PQC与△BOC关于点C中心对称，
∴CQ＝CO＝1，∠Q＝∠BOC＝90°，PQ＝BO＝ ，
∴AQ＝AO+CO+CQ＝3，
∴AP＝ ＝ ＝2 ．
故选：D．
9．题目“如图，AB⊥BC， ，P为线段AB上一动点，Q为点A关于点P的对称点．连接CQ．
当△BCQ有一个内角为30°时，求AQ的长．”甲的答案为 ，乙的答案为 ，丙的答案
为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．只有甲的答案对
B．甲、乙两人的答案合在一起才完整
C．甲、丙两人的答案合在一起才完整
D．甲、乙、丙三人的答案合在一起才完整
【分析】分两种情形：当点Q在线段AB上时，当点Q′在AB的延长线上时，分别求解．
【解答】解：当点Q在线段AB上时，
∵∠CBQ＝90°，∠BCQ＝30°，BC＝ ，
∴BQ＝BC•tan30°＝ × ＝ ，
∴AQ＝AB﹣BQ＝ ﹣ ．
当点Q′在AB的延长线上时，同法可得AQ′＝ + ．
综上所述，AQ的长为 ﹣ 或 + ．
故选：B．
10．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC＝2，BD＝8，将△BOC绕着点C旋转180°得到
△B′O′C，连接AB'，则AB'的长是（ ）A．3 B．4 C．5 D．7
【分析】由菱形的性质得到AC⊥BD，OC＝ AC＝1，OB＝ BD＝4，由中心对称的性质得到∠O′＝
∠BOC＝90°，CO′＝OC＝1，O′B′＝OB＝4，求出AO′＝AC+O′C＝3，由勾股定理得到AB′＝
＝5．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OC＝ AC，OB＝ BD，
∵AC＝2，BD＝8，
∴OC＝1，OB＝4，
∵△BOC绕着点C旋转180°得到△B′O′C，
∴∠O′＝∠BOC＝90°，CO′＝OC＝1，O′B′＝OB＝4，
∴AO′＝AC+O′C＝3，
∴AB′＝ ＝5．
故选：C．
11．如图，在4×4的方格纸中，画格点三角形（顶点均在格点上）△A B C 与△ABC关于方格纸中的一个
1 1 1
格点成中心对称，这样的△A B C 有 个．
1 1 1
【分析】依据中心对称的性质，即可得到与△ABC成中心对称的格点三角形A B C ．
1 1 1
【解答】解：如图所示：
故答案为：2．12．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝50°，将菱形ABCD绕点A逆时针旋转后得到对应的四边形AB C D
1 1 1
（旋转角小于180°），连接AC，若∠CAD ＝100°，则菱形ABCD旋转的角度是 度．
1
【分析】连接AC ，根据菱形的性质∠CAC 的度数即可．
1 1
【解答】解：如图所示，连接AC ，
1
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝50°，
∴∠CAD＝25°，
又旋转的性质，可得∠C AD ＝∠CAD＝25°，
1 1
∴∠CAC ＝∠CAD ﹣∠C AD ＝100°﹣25°＝75°，
1 1 1 1
即菱形ABCD旋转的角度是75°．
故答案为：75．
13．如图，△ABC与△ADE关于点A成中心对称，则线段BC与DE的大小关系是 ．
【分析】根据中心对称的定义：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么
就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，来求解可得可得BC＝DE．
【解答】解：∵△ABC与△DEA关于点A成中心对称，∴BC＝DE．
故答案为：BC＝DE．
14．如图，点O是矩形ABCD的对称中心，E、F分别是边AD、BC上的点，且关于点O中心对称，如果
矩形的面积是20，那么图中阴影部分的面积为 ．
【分析】由全等三角形的判定得到△AOE≌△COF，将阴影部分的面积转化为规则的几何图形的面积进
行计算．
【解答】解：在矩形ABCD中，OA＝OC、AD∥CB，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△EAO与△FCO中，
，
∴△EOA≌△FOC（ASA），
∴S阴影部分 ＝S△BOC ＝ S矩形ABCD ＝ ×20＝5，
故答案为：5．
15．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，将△AOD绕点D旋转180°得到△EFD，若菱形ABCD
的面积为 ，AC＝2，则BE＝ ．
【分析】给出菱形ABCD的面积，结合AC的长即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴ ．
令菱形ABCD的面积为 ，
又∵AC＝2，
∴BD＝ ＝ ．
∴BO＝DO＝ ．
又∵△DEF由△AOD绕点D旋转180°得到，∴DF＝ ，∠F＝90°，EF＝AO＝1，
∴BF＝ ．
在Rt△BEF中，
BE＝ ．
故答案为： ， （答案不唯一）．
16．如图，△AGB与△CGD关于点G中心对称，若点E，F分别在GA、GC上，且AF＝CE，求证：BF＝
DE．
【分析】因为△AGB与△CGD关于点G中心对称，所以AG＝CG，BG＝DG，因为AF＝CE，所以AE
＝CF，即EG＝FG，结合∠BGF＝∠DGE，得证△BGF≌△DGE，即可作答．
【解答】证明：因为△AGB与△CGD关于点G中心对称，
所以△AGB≌△CGD，
所以AG＝CG，BG＝DG，
因为AF＝CE，
则AF﹣EF＝CE﹣EF，
所以AE＝CF，
因为AG＝CG，
所以AG﹣AE＝CG﹣CF，
即EG＝FG，
因为∠BGF＝∠DGE，BG＝DG，
所以△BGF≌△DGE（SAS），
则BF＝DE．
17．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，是CD上一点，点D与点C关于点E成中心对称，连接AE并延
长，与BC的延长线交于点F．
（1）E是线段CD的 ，点A与点F关于点 成中心对称；
（2）若AB＝AD+BC，求证：△ABF是等腰三角形．【分析】（1）利用中心对称的定义回答即可，
（2）证得AB＝BF，利用等腰三角形的性质判定等腰三角形即可．
【解答】（1）解：∵点D与点C关于点E中心对称，
∴E是线段CD的中点，DE＝EC，
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠DCF，
在△ADE与△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴AE＝FE，AD＝CF，
∴点A与点F关于点E成中心对称，
故答案为：中点，E；
（2）证明：∵AB＝AD+BC，
∴AB＝BF，
∴△ABF是等腰三角形．
18．如图，△ABC和△DEF关于点O成中心对称．
（1）找出它们的对称中心O；
（2）若AB＝7，AC＝5，BC＝6，求△DEF的周长．
【分析】（1）按中心对称的作法求解即可；
（2）根据中心对称的性质及三角形周长公式计算即可．
【解答】解：（1）如图所示，点O即为所求．（作法不唯一）；
（2）∵△ABC 和△DEF 关于点O成中心对称，
∴AB＝DE＝7，AC＝DF＝5，BC＝EF＝6，
∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝7+5+6＝18．
答：△DEF 的周长为18．
19．如图，△ABC中，BC＝2AB，D、E分别是边BC、AC的中点，将△CDE绕点E旋转180度，得△AFE．
（1）判断四边形ABDF的形状，并证明；
（2）已知AB＝3，AD+BF＝8，求四边形ABDF的面积S．
【分析】（1）根据中位线的性质以及旋转后对应的线段，可得出四边形 ABDF对应边两两相等，即为
平行四边形，平行四边形的邻边相等为菱形；
（2）设OA＝x，OB＝y，构造方程求出2xy即可．
【解答】解：（1）平行四边形，证明如下：
∵D、E分别是边BC、AC的中点，
∴2DE＝AB，CD＝BD，
又∵将△CDE绕点E旋转180度，得△AFE，
∴CD＝AF，DE＝EF，
∴2DE＝AB＝FD，BD＝CD＝AF，
∴四边形ABDF对应边两两相等，
即四边形ABDF为平行四边形，
又∵BC＝2AB，
∴AB＝BD，
∴平行四边形ABDF为菱形；
（2）如图，连接BF，AD交于点O，
∵四边形ABDF为菱形，
∴AD⊥BF，OB＝OF，AO＝OD，
设OA＝x，OB＝y，
则有2x+2y＝8，x2+y2＝32，
∴x+y＝4，
∴x2+2xy+y2＝16，
∴2xy＝7，∴S＝ BF×AD＝2xy＝7．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，连接AE、BD．
（1）线段AE、BD具有怎样的位置关系和大小关系？说明你的理由．
（2）如果△ABC的面积为5cm2，求四边形ABDE的面积．
（3）当∠ACB为多少度时，四边形ABDE为矩形？说明你的理由．
【分析】（1）根据中心对称的性质可得AC＝CD，BC＝CE，然后根据对角线互相平分的四边形是平行
四边形得到四边形ABDE是平行四边形，再根据平行四边形的对边互相平行且相等解答；
（2）根据平行四边形的性质，对角线把四边形分成面积相等的四个部分解答；
（3）∠ACB＝60°．先判断出△ABC是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得AC＝BC，然
后求出AD＝BE，再根据对角线相等的平行四边形是矩形证明．
【解答】解：（1）∵△ABC与△DEC关于点C成中心对称，
∴AC＝CD，BC＝CE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE与BD平行且相等；
（2）∵四边形ABDE是平行四边形，
∴S△ABC ＝S△BCD ＝S△CDE ＝S△ACE ，
∵△ABC的面积为5cm2，
∴四边形ABDE的面积＝4×5＝20cm2；
（3）∠ACB＝60°时，四边形ABDE为矩形．
理由如下：∵AB＝AC，∠ACB＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AD＝2AC，BE＝2BC，
∴AD＝BE，
∴四边形ABDE为矩形．
