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专题16 勾股定理的应用十二种类型
类型一 求梯子的滑动高度
1．如图所示，一架梯子AB斜靠在墙面上，且AB的长为2.5米．
（1）若梯子底端离墙角的距离OB为1.5米，求这个梯子的顶端A距地面有多高？
（2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端A下滑0.5米到点A'，那么梯子的底端B在水平方向滑动
的距离BB'为多少米？
【答案】（1）梯子距离地面的高度为 米；（2）梯子的底端水平后移了0.5米．
【解析】
【分析】
（1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度．
（2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑0.5米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次
使用勾股定理，可以得出，梯子底端水平方向上滑行的距离．
【详解】
解：（1）根据勾股定理：
所以梯子距离地面的高度为：AO 米；
（2）梯子下滑了0.5米即梯子距离地面的高度为OA′＝（2.5﹣0.5）＝2米，
根据勾股定理：OB′＝2米，
所以当梯子的顶端下滑0.5米时，梯子的底端水平后移了2﹣1.5＝0.5米，
答：当梯子的顶端下滑0.5米时，梯子的底端水平后移了0.5米．
【点睛】
本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
2．如图所示，一根长2.5米的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，此时OB
的距离为0.7米，设木棍的中点为P．若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．（1）如果木棍的顶端A沿墙下滑0.4米，那么木棍的底端B向外移动多少距离？
（2）请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由．
【答案】(1）0.8m；(2)不变.
【解析】
【分析】
（1）在直角三角形ABC中，已知AB，BC根据勾股定理即可求AO的长度，根据AO=AC+OC即可
求得OC的长度，在直角三角形CDO中，已知AB=CD，CO即可求得OD的长度，根据BD=OD-
OB即可求得BD的长度．
（2）木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不会变化．根据在直角三角形中，斜边上的中线等于
斜边的一半即可判断．
【详解】
解：（1）在直角△ABC中，已知AB=2.5m，BO=0.7m，
则AO= m，
∵AO=AC+OC，
∴OC=2m，
∵直角三角形CDO中，AB=CD，且CD为斜边，∴OD= =1.5m，
∴BD=OD-OB=1.5m-0.7m=0.8m；
（2）不变．
理由：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，因为斜边AB不变，所以斜边上的中线
OP不变．
．
【点睛】
考点：勾股定理的应用
3．将长为2.5米的梯子AC斜靠在墙上，梯子的底部离墙的底端1.5米（即图中BC的长）．
（1）求梯子的顶端与地面的距离；
（2）若梯子顶端A下滑1.3米，那么梯子底端C向左移动了多少米？
【答案】（1）2；（2）0.9
【解析】
【详解】
试题分析：在Rt△三角形的特点根据勾股定理可以求解.
试题解析：（1）AB＝ ＝ ＝2；
（2）设点A下滑到点 ，点C移动到点 ，
则 ＝2－1.3＝0.7，
＝ ＝2.4，＝0.9
考点：勾股定理
类型二 求旗杆高度
4．学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校旗杆的高度．爱动脑筋的小
明这样设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到
离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米．请你设法帮小明算出旗杆的高度．
【答案】12米.
【解析】
【分析】
设旗杆长为x米，则绳长为（x+1）米，根据勾股定理即可列方程求解.
【详解】
设旗杆长为x米，则绳长为（x+1）米，则由勾股定理可得：
，
解得x=12，
答：旗杆的高度为12米.
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是读懂题意，找准等量关系，正确列出方程，再求
解.
5．小明是一名升旗手，面对高高的旗杆，他想出了好几种方法测量方法，学过直角三角形后，他
只用一把卷尺就测出了旗杆AB的高度．下面是他测量的过程和数据：
第一步：测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长1m（如图1），
第二步：拉着绳子的下端往后退，当他将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离CD为1m，到旗杆的距离CE为8m，（如图2）．他很快算出了旗杆的高度，请你也来试一试．
【答案】解: 勾股定理，设旗杆的高度为x米，则绳子长为（x+1）米，
在Rt△ACE中，AC=x米，AE=（x-1）米，CE=8米，
由勾股定理可得，（x-1）2+82=（x+1）2，
解得：x=16．
【解析】
【详解】
试题分析：根据图形标出的长度，可以知道AB和CC的长度差值是1，以及CD=1，CE=8，从而构
造直角三角形，根据勾股定理就可求出旗杆的高度．
考点：勾股定理的应用
点评：此题主要考查了勾股定理的应用，表示出AE与AC长度利用勾股定理求出，善于挖掘题目
的隐含信息是解决本题的关键．
6．如图是一面长方形彩旗完全展平时的尺寸图(单位：cm)．其中长方形ABCD是由双层白布缝制
的穿旗杆用的旗裤，阴影部分DCEF为长方形绸缎旗面，将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆
从旗顶到地面的高度为220cm.在无风的天气里，彩旗自然下垂．求彩旗下垂时最低处离地面的最
小高度h.
【答案】70cm
【解析】
【详解】
试题分析: 首先观察题目，作辅助线构造一个直角三角形，如图，连接DE；已知彩旗为长方形，
由题意可知，无风的天气里，彩旗自然下垂时，彩旗最低处到旗杆顶部的长度正好是长方形彩旗完全展开时的对角线的长度，根据勾股定理可求出它的长度；然后用旗杆顶部到地面高度减去这
个数值，即可求得答案．
试题解析:
解：彩旗自然下垂的长度就是长方形DCEF的对角线DE的长度，连接DE，
在Rt△DEF中，根据勾股定理，得
DE＝ ＝ ＝150.
h＝220－150＝70(cm)．
∴彩旗下垂时的最低处离地面的最小高度h为70 cm.
类型三 求小鸟飞行距离
7．如图，有一只小鸟在一棵高13m的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高8m的一棵
小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s的速度飞向小树树梢，它最短要飞多远？这只小鸟至
少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？
【答案】6.5s．
【解析】
【详解】
试题分析：过B作BC⊥AD，垂足为点C，利用勾股定理求出斜边的值是13m，也就是两树树梢之
间的最短距离是13m，进而可求得最短时间．
试题解析：
解：过B作BC⊥AD，垂足为点C，如图所示：根据题意，得
AC＝AD－BE＝13－8＝5m，BC＝12m．
根据勾股定理，得
AB＝ ＝13m．
则小鸟所用的时间是13÷2＝6.5（s）．
答：这只小鸟最短要飞13m，至少6.5秒才可能到达小树和伙伴在一起．
点睛：此题主要考查勾股定理的运用．关键是构造直角三角形，同时注意：时间＝路程÷速度．
8．如图，某校科技创新兴趣小组用他们设计的机器人，在平坦的操场上进行走展示.输入指令后，
机器人从出发点A先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走
70米到达终止点B.求终止点B与原出发点A的距离AB.
【答案】终止点与原出发点的距离AB=100（米）
【解析】
【分析】
根据小明在操场上只向南和向东行走，而且两个方向垂直，分别求出其实际向南所走路程和实际
向东所走路程，利用勾股定理求得其终止点与原出发点之间的距离即可．
【详解】
解：如图所示：过点A作AC⊥CB于C，则在Rt△ABC中，AC＝40＋40＝80米，BC＝70－20＋10＝60米，
∴终止点与原出发点的距离AB＝ ＝100（米）．
答：小明到达的终止点与原出发点的距离为100米．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是正确的求出实际向南和向东所走的路程，构造出直角
三角形利用勾股定理求解．
9．如图，飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一男孩子头顶上方4000米处，过了20秒，飞
机距离这个男孩头顶5000米.飞机每小时飞行多少千米？
【答案】150m/s
【解析】
【分析】
先由勾股定理求得BC的长，即可根据路程、速度、时间的关系求得结果.
【详解】
如图，由题意得，AC=4000米，∠C=90°，AB=5000米，由勾股定理得BC= (米)，
所以飞机飞行的速度为 (千米/小时)
【点睛】
本题考查的是勾股定理的应用.
类型四 求大树折断前的高度
10．如图，一棵竖直生长的竹子高为8米，一阵强风将竹子从C处吹折，竹子的顶端A刚好触地，
且与竹子底端的距离AB是4米．求竹子折断处与根部的距离CB．
【答案】3米
【解析】
【分析】
竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面的高度是x米，则斜边为（8 x）米．利
用勾股定理解题即可．
【详解】
解：由题意知BC＋AC＝8，∠CBA＝90°，
∴设BC长为x米，则AC长为（ ）米，
∴在Rt△CBA中，有 ，
即： ，
解得： ，∴竹子折断处C与根部的距离CB为3米．
【点睛】
此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解
题．
11．《九章算术》中有“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根七尺，问折高者几何？
意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处距
竹子底端7尺远，问折断处离地面的高度是多少尺？
【答案】2.55尺．
【解析】
【分析】
竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，利用勾股
定理解题即可.
【详解】
解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2+72＝（10﹣x）2,
解得：x＝2.55，
∴折断处离地面的高度为2.55尺.
【点睛】
此题考查勾股定理的实际应用，正确理解题意构建直角三角形利用勾股定理求解是解题的关键.
12．如图，一棵大树在一次强台风中在距地面 处折断，倒下后树顶端着地点 距树底端 的距
离为 ，则这棵大树在折断前的高度为多少？【答案】18m.
【解析】
【分析】
根据大树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，再根据勾股定理求出AC的长，进而
可得答案.
【详解】
解：∵树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，且BC=5m，AB=12m，
∴
∴这棵树原来的高度=
答：这棵大树在折断前的高度为18m.
【点睛】
本题考查的是勾股定理的实际应用，能够用勾股定理解答实际问题是解题的关键.
类型五 解决水杯中筷子的问题
13．如图是一种盛饮料的圆柱形玻璃杯，测得玻璃杯内部底面半径为2.5 cm，高为12 cm，吸管按
图中所示的方式放进杯里，露在杯口外面的吸管长4.6 cm则吸管有多长?
【答案】吸管长17.6 cm．
【解析】
【分析】根据勾股定理计算出吸管在杯内部分的长度，再计算得出结果．
【详解】
解：设吸管在杯内部分的长为x cm，
由勾股定理得： ，
∴13+4.6=17.6(cm)，
答：吸管长17.6 cm．
【点睛】
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
14．一根 的木棒，要放在长、宽、高分别是 的长方体木箱中，能放进去吗？
（提示：长方体的高垂直于底面的任何一条直线．）
【答案】能放进去．
【解析】
【分析】
根据题意，画出图形，然后连接AC，AD，在 中，利用勾股定理求出AC的长，在
中，利用勾股定理求出AD，然后与木棒的长度进行比较，即可求解．
【详解】
解：根据题意，画出图形，如下图：
根据题意得：AB=50cm，BC=40cm，CD=30cm，连接AC，AD，
在 中，由勾股定理得：
，
在 中，由勾股定理得：
，
∴木棒能放进去．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出AD的长是解题的关键．
15．《九章算术》中“勾股”一章有记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，
水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它的顶端恰好到达池边的水面，求芦苇的长度．（1丈＝10尺）
解决下列问题：
（1）示意图中，线段AF的长为 尺，线段EF的长为 尺；
（2）求芦苇的长度．
【答案】（1）5，1；（2）芦苇长13尺．
【解析】
【分析】
（1）直接利用水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，且边长为10尺的正方形，F为AB中点，
即可得出答案；
（2）根据题意，可知AB的长为10尺，则AF=5尺，设芦苇长EG=AG=x尺，表示出水深FG，根
据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深．
【详解】
解：（1）由题意可得：EF=1尺，AF= =5尺；
故答案为：5，1；
（2）设芦苇长EG=AG=x尺，
则水深FG=（x-1）尺，
在Rt AGF中，
52+（△x-1）2=x2，
解得：x=13，
∴芦苇长13尺．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用，解本题的关键是数形结合以及表示出直角三角形的各边长．
类型六 解决航海问题
16．如图，甲乙两船从港口 同时出发，甲船以15海里/时速度向北偏东 航行，乙船向南偏东
航行，4小时后，甲船到达 岛，乙船到达 岛，若 、 两岛相距100海里，问乙船的航速是多少？
【答案】20海里/时
【解析】
【分析】
通过两船的航线角度可知，∠CAB=90°，则三角形ABC为直角三角形，可以通过勾股定理计算出
AB的长度，然后求乙船的速度．
【详解】
解：通过两船的航线角度可知，∠CAB=90°，则△ABC为直角三角形，又AC为甲船航行的路程，
则AC=15×4=60（海里），
由 ，可知：
（海里），
所以乙船的航速为80÷4=20（海里/时）．
【点睛】
本题考察了方位角的判断，构造出直角三角形，运用勾股定理解题，解题的关键是需要清楚勾股
定理是指，直角三角形中两个直角边的平方和等于斜边的平方．
17．位于沈阳周边的红河峡谷漂流项目深受欢迎，在景区游船放置区，工作人员把偏离的游船从
点A拉回点B的位置（如图）．在离水面高度为8m的岸上点C，工作人员用绳子拉船移动，开始
时绳子AC的长为17m，工作人员以0.7米/秒的速度拉绳子，经过10秒后游船移动到点D的位置，
问此时游船移动的距离AD的长是多少？
【答案】游船移动的距离AD的长是9米【解析】
【分析】
根据条件先计算经过10秒拉回绳子的长，然后计算出绳子CD的长，在 中
，在 中， ，即可求出最终结果．
【详解】
解： 工作人员以0.7米/秒的速度拉绳子，
经过10秒拉回绳子 米，
开始时绳子AC的长为17m，
拉了10秒后，绳子CD的长为17-7=10米，
在 中，
米，
在 中，
米，
AD=15-6=9米，
答：游船移动的距离AD的长是9米．
【点睛】
本题主要考查勾股定理的运用，属于综合题，难度一般，熟练掌握勾股定理解三角形是解决本题
的关键．
18．一艘轮船以30千米/时的速度离开港口，向东南方向航行，另一艘轮船同时离开港口，以40
千米/时的速度航行，它们离开港口一个半小时后相距75千米，求第二艘船的航行方向．
【答案】第二艘船的航行方向为东北或西南方向
【解析】
【分析】根据路程=速度×时间分别求得OA、OB的长，再进一步根据勾股定理的逆定理可以证明三角形
OAB是直角三角形，从而求解．
【详解】
解：如图，
根据题意，得
（千米）， （千米）， 千米．
∵ ，
∴ ，∴
∴第二艘船的航行方向为东北或西南方向．
【点睛】
此题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是
直角三角形．根据条件得出第二艘船的航行方向与第一艘船的航行方向成90°是解题的关键．
类型七 求河宽
19．为修建高速铁路需凿通隧道AC，测得∠A=50°，∠B=40°，AB=15km，BC=12km，若每天凿隧
道0.3km，问几天才能把隧道凿通?
【答案】需要30天才能把隧道 凿通
【解析】
【分析】
由题意得∠C为90°，在直角△ABC中，已知AB，BC根据勾股定理即可求AC，则需要天数为
．
【详解】
∵ ， ，∴
∴由勾股定理，得
，
∴ (天)．
答：需要30天才能把隧道 凿通．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的应用，正确的记忆勾股定理并确定好斜边与直角边是解决问题的关键．
20．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A偏离欲到达地点B相距50米，
结果他在水中实际游的路程比河的宽度多10米，求该河的宽度BC为多少米？
【答案】该河的宽度BC为120米
【解析】
【分析】
根据题意可知△ABC为直角三角形，根据勾股定理就可求出直角边BC的距离．
【详解】
根据题意可知AB＝50米，AC＝BC+10米，
设BC＝x，由勾股定理得AC2＝AB2+BC2，
即（x+10）2＝502+x2，解得x＝120．
答：该河的宽度BC为120米．
【点睛】
此题考查勾股定理的实际应用，根据题意构建直角三角形及三边的数量关系是解题的关键.
21．笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A，B．其中AB＝AC，由于某种原因，由
C到A的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H（A，H，B在一条直线上），
并新修一条路CH测得BC＝5千米，CH＝4干米，BH＝3千米，
（1）问CH是否为从旅游地C到河的最近的路线？请通过计算加以说明；
（2）求原来路线AC的长．【答案】（1）CH是从旅游地C到河的最近的路线，见解析；（2） 千米
【解析】
【分析】
（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；
（2）根据勾股定理解答即可．
【详解】
解：（1）是，理由如下：
在△CHB中，
∵CH2＋BH2＝（2.4）2＋（1.8）2＝ BC2＝25，
∴CH⊥AB，
所以CH是从村庄C到河边的最近路．
（2）设AC＝x，
在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x－3，CH＝4，
由勾股定理得：AC2＝AH2＋CH2，
∴x2＝（x－3）2＋42，
解这个方程，得x＝ ，
答：原来的路线AC的长为 千米．
【点睛】
此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理和定理解答．
类型八 求台阶上地毯的长度
22．如图，要在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，若楼梯宽为1.5米，地毯的单价为20
元/平方米，请你为该楼梯铺地毯做出预算．【答案】210
【解析】
【分析】
利用勾股定理求得三角形的底边长，然后根据地毯长度=BC+AC可知地毯长=7米，然后再根据题意
计算即可．
【详解】
解：如图所示：
在Rt△ABC中，由勾股定理可知：BC= =4米．
地毯的总长=BC+AC=4+3=7米．
地毯的面积=7×1.5=10.5平方米．
地毯的总价=20×10.5=210元．
故答案为210元．
【点睛】
本题主要考查的是勾股定理的应用，依据勾股定理求得BC的长，从而得到地毯的总长度是解题的
关键．
23．如图，测得某楼梯的长为5m，高为3m，宽为2m，计划在表面铺地毯，若每平方米地毯50
元，你能帮助算出至少需要多少钱吗？
【答案】至少需要700元．
【解析】
【详解】
试题分析：将每阶楼梯的横向线段和纵向线段分别向下和向右平移，则横向线段和纵向线段的和
分别为直角三角形的两直角边长，根据勾股定理求得直角三角形下面直角边的长为4m，则楼梯表
面所铺地毯是一个长为（4＋3）m，宽为2m的长方形，据此即可计算出答案．
试题解析：解：由勾股定理得：直角三角形下面直角边长为 ＝4m，
将每阶楼梯的横向线段和纵向线段分别向下和向右平移，则横向线段和纵向线段的和分别为直角
三角形的两直角边长，
∴地毯的长度为4＋3＝7（m），地毯的面积为：7×2＝14（m2），
即：至少要购买地毯14平方米．
需要的费用为：14×50＝700（元）．
答：至少需要700元．
点睛：此题主要考查了生活中的平移现象和勾股定理，解决此题的关键是要利用平移的知识，把
要求的所有线段平移到一条直线上进行计算．
24．如图，要修建一个育苗棚，棚高h=5 m，棚宽a=12 m，棚的长d为12m，现要在棚顶上覆盖
塑料薄膜， 试求需要多少平方米塑料薄膜?
【答案】156 m2.
【解析】
【分析】
根据勾股定理先求出棚顶的宽，然后根据长方形的面积公式即可求出需要多少塑料薄膜.
【详解】
棚高h=5 m，棚宽a=12 m，设棚顶的宽为b，
则 m
棚的长d为12m
【点睛】
此题重点考察学生对勾股定理的实际应用能力,理清题意，掌握勾股定理是解题的关键.
类型九 判断汽车是否超速
25．“交通管理条例第三十五条”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如
图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方50米
处，过了6秒后，测得小汽车与车速检测仪距离130米．(1)求小汽车6秒走的路程；
(2)求小汽车每小时所走的路程，并判定小汽车是否超速？
【答案】(1)120米
(2)72千米 小时，小汽车超速了
【解析】
【分析】
（1）过点 作 ，可得 米，设汽车经过6秒后到达点 ，连接 ，则有
米，利用勾股定理可求得 的长，即小汽车6秒所走的路程；
（2）利用速度 路程 时间，即可判断．
(1)
解：过点 作 ，设汽车经过6秒后到达点 ，连接 ，如图所示：
由题意可得： 米， 米，
在 中，
（米 ，
答：小汽车6秒走的路程为120米；
(2)
解：小汽车6秒中的平均速度为： （米 秒） （千米 小时），
，
小汽车超速了．【点睛】
本题主要考查勾股定理的应用，解答的关键是理解清楚题意，作出相应的图形．
26．“某市道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过40千米/时，如图，
一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A正前方18米的
C处，过了2秒后到达B处（BC⊥AC），测得小汽车与车速检测仪间的距离AB为30米，请问这
辆小汽车是否超速？若超速，则超速了多少？
【答案】这辆小汽车超速，每小时超速 千米．
【解析】
【分析】
根据题意得出由勾股定理得出BC的长，进而得出小汽车1小时行驶 ，从而可
得小汽车行驶速度为 千米/时，进而得出答案．
【详解】
解：根据题意，得 ，
在Rt△ACB中，根据勾股定理可得：
小汽车2秒行驶 米，
则1小时行驶 ，
即小汽车行驶速度为 千米/时，因为 ＞ ，
所以小汽车超速行驶，超速 （千米/时）．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的应用，算术平方根的含义，掌握根据已知得出BC的长是解题关键．
27．某条道路限速 如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路
对面车速检测仪 处的正前方 的 处，过了 后，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速
测检测仪间的距离为 ，这辆小汽车超速了吗？【答案】小汽车超速了.
【解析】
【分析】
根据勾股定理求出小汽车在 内行驶的距离 ,再求出其速度,与 比较即可.
【详解】
解:在 中,
米
,
,
所以小汽车超速了.
【点睛】
本题结合速度问题考查了勾股定理的应用,理解题意,合理运用定理是解答关键.
类型十 判断是否受台风影响
28．今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强
的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与
直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，经测量，距离台
风中心260km及以内的地区会受到影响．
(1)求∠ACB的度数；
(2)海港C受台风影响吗？为什么？
(3)若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？【答案】(1)∠ACB＝90°
(2)海港C受台风影响，理由见解析
(3)台风影响该海港持续的时间为 小时
【解析】
【分析】
（1）根据勾股定理逆定理，即可求解；
（2）过点C作CD⊥AB， 根据直角三角形的面积可得 AC×BC＝ CD×AB，从而得到CD＝
240km，即可求解；
（3）设台风中心的移动到点E处开始影响该海港，移动到点F处开始该海港开始不受影响，则
EC＝FC＝260km， 根据等腰三角形的性质可得EF=2ED=200km，即可求解．
(1)
解：∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；
(2)
解：海港C受台风影响，理由：
过点C作CD⊥AB，
∵△ABC是直角三角形，
∴ AC×BC＝ CD×AB，
∴ ×300×400＝ ×500×CD，
∴CD＝240（km），
∵距离台风中心260km及以内的地区会受到影响，
∴海港C受台风影响；
(3)
解：设台风中心的移动到点E处开始影响该海港，移动到点F处开始该海港开始不受影响，则EC
＝FC＝260km，
由（2）得：CD⊥AB，CD=240km，
∴EF=2ED，
∵ED＝ ＝100（km），∴EF＝200km，
∵台风的速度为28千米/小时，
∴200÷28＝ （小时）．
答：台风影响该海港持续的时间为 小时．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理及其逆定理，等腰
三角形的性质是解题的关键．
29．为了抗旱保收，某市准备开采地下水，经探测，C处地下有水，为此C处需要爆破，已知C
处与公路上的停靠站A的距离为300m，与公路上的另一停靠站B的距离为400m，AB的距离为
500m，如图所示，为了安全，爆破点C周围250m的范围内禁止进入，在进行爆破时，公路AB段
某部分是否有危险而需要暂时封锁？
【答案】公路AB段有危险，需要暂时封锁．
【解析】
【分析】
如图，本题需要判断点C到AB的距离是否小于250米，如果小于等于则有危险，大于则没有危险．
因此过C作CD⊥AB于D，然后根据勾股定理在直角三角形ABC中即可求出AB的长度，然后利用
三角形的面积公式即可求出CD，然后和250米比较大小，即可判断需要暂时封锁．
【详解】
解：根据题意得AC=300m，BC=400m，AB=500m，
，，
如图，过C作 于点D，
，
，
240m <250m，
故公路AB段有危险，需要暂时封锁．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
30．如图，在甲村到乙村的公路一旁有一块山地正在开发．现A处需要爆破，已知点A与公路上
的停靠站B，C的距离分别为400 m和300 m，且AC AB．为了安全起见，如果爆破点A周围半
径260 m的区域内不能有车辆和行人，问在进行爆破时，公路BC段是否需要暂时封闭？为什么?
【答案】需要封闭，理由见解析
【解析】
【分析】
过 作 于 先求解 再利用等面积法求解 再与260比较，可得答案.
【详解】
解：过 作 于所以进行爆破时，公路BC段需要暂时封闭.
【点睛】
本题考查的是勾股定理的应用，利用等面积法求解直角三角形斜边上的高，掌握“等面积法求解
直角三角形斜边上的高”是解题的关键.
类型十一 选址满足条件
31．如图，铁路上A、D两点相距28km，B，C为两村庄，AB⊥AD于A，CD⊥AD于D，已知AB
＝16km，CD＝12km，现在要在铁路AD上建一个土特产品收购站P，使得B、C两村到P站的距
离相等，则P站应建在距点A多少千米处？
【答案】 站应建在距点 千米处．
【解析】
【分析】
设 ，则 ，根据使得 ， 两村到 站的距离相等，可得 ，再根据
勾股定理建立方程解答即可．
【详解】解：设 ，则 ，
、 两村到 站的距离相等，
．
在 中，由勾股定理得 ，
在 中，由勾股定理得 ，
，
又 ， ，
，
，
答： 站应建在距点 千米处．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用，根据 利用勾股定理建立方程是解决问题的关键．
32．如图，A、B两点相距14km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=8km，
CB=6km，现在要在AB上建一个供水站E，使得C、D两村到供水站E站的距离相等，则：
（1） 站应建在距 站多少千米处？
（2） 和 垂直吗？说明理由．
【答案】（1）E站应建在距A站6千米处；（2）DE和EC垂直，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据使得C，D两村到E站的距离相等，需要证明DE=CE，再根据△DAE≌△EBC，得出
AE=BC=6km；
（2）DE和EC垂直，利用△DAE≌△EBC，得出∠DEC=90°，进而可以证明．
【详解】
解：（1）∵使得C，D两村到E站的距离相等．
∴DE=CE，
∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，
∴∠A=∠B=90°，∴AE2+AD2=DE2，BE2+BC2=EC2，
∴AE2+AD2=BE2+BC2，
设AE=x，则BE=AB-AE=（14-x），
∵DA=8km，CB=6km，
∴x2+82=（14-x）2+62，
解得：x=6，
∴AE=6km．
答：E站应建在距A站6千米处；
（2）DE和EC垂直，理由如下：
在△DAE与△EBC中，
，
∴△DAE≌△EBC（SAS），
∴∠DEA=∠ECB，∠D=∠CEB，
∵∠DEA+∠D=90°，
∴∠DEA+∠CEB=90°，
∴∠DEC=90°，
即DE⊥EC．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的应用，证明线段相等利用全等得出△DAE≌△EBC是解决问题的关键．
33．勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A、B、C三地的坐标，数据如图（单位：
km），铁路经过A，B两地．
（1）求A，B间的距离；
（2）计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C的距离相
等请用尺规作图的方法确定点D，并求出CD．【答案】（1）20km；（2）13km，作图见详解
【解析】
【分析】
（1）由垂线段最短以及根据两点的纵坐标相同即可求出AB的长度；
（2）根据A、B、C三点的坐标可求出CE与AE的长度，设CD＝x，根据勾股定理即可求出x的
值．
【详解】
解：（1）由A、B两点的纵坐标相同可知：AB∥x轴，
∴AB＝12−（−8）＝20（km）；
（2）过点C作l⊥AB于点E，连接AC，作AC的垂直平分线交直线l于点D，
由（1）可知：CE＝1−（−17）＝18，AE＝12，
设CD＝x，
∴AD＝CD＝x，
由勾股定理可知：x2＝（18−x）2＋122，
∴解得：x＝13，
∴CD＝13（km）．
【点睛】
本题考查勾股定理，图形与坐标，解题的关键是根据A、B、C三点的坐标求出相关线段的长度，
本题属于中等题型．
类型十二 求最短路径
34．如图：一个圆柱的底面周长为16cm，高为6cm，BC是上底面的直径，一只蚂蚁从点A出发，
沿着圆柱的侧面爬行到点C，求蚂蚁爬行的最短路程（要求画出平面图形）．【答案】图见解析，蚂蚁爬行的最短路程是10cm．
【解析】
【分析】
画出展开图，连接AC，线段AC的长就是蚂蚁爬行的最短路程，求出展开后AD和CD长，再根据
勾股定理求出AC即可．
【详解】
解：如图，圆柱侧面展开后连接AC，线段AC的长就是蚂蚁爬行的最短路程， 因为圆柱的底面周
长为16cm，高为6cm，
所以图中 ，
在Rt△ADC中，由勾股定理得： ，
即蚂蚁爬行的最短路程是10cm．
【点睛】
本题考查了勾股定理和立体图形展开图，解题关键是把立体图形展开，得到平面图形，根据两点
之间，线段最短求解．
35．如图，长方体的长为 ，宽为 ，高为 ，点B离点C的距离是 ，一只蚂蚁如
果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是多少?【答案】
【解析】
【分析】
画出长方体的侧面展开图，根据勾股定理求出 的长即可．
【详解】
解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图：
长方体的宽为10，高为20，点 离点 的距离是5，
， ，
在直角三角形 中，根据勾股定理得：
；
只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：长方体的宽为10，高为20，点 离点 的距离是5，
， ，
在直角三角形 中，根据勾股定理得：
；
只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图：
长方体的宽为10，高为20，点 离点 的距离是5，
，
在直角三角形 中，根据勾股定理得：
；
，
蚂蚁爬行的最短距离是 ．
【点睛】
本题考查的是平面展开 最短路径问题，解题的关键是根据题意画出长方体的侧面展开图，根据
勾股定理求解．
36．吴老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题，请你根据下列
所给的条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路径长．（1）如图1，正方体的棱长为5cm，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿正方体表面爬到点C 处；
1
（2）如图2，长方体底面是边长为5cm的正方形，高为6cm，一只蚂蚁欲从长方体底面上的点A
沿长方体表而爬到点C 处；
1
（3）如图3，是一个底面周长为10cm，高为5cm的圆柱体，一只蚂蚁欲从圆柱体底面上的点A沿
圆柱体侧面爬到点C处．
【答案】（1）蚂蚁需要爬行的最短路径长为 cm；（2）蚂蚁需要爬行的最短路径长为
cm；（3）蚂蚁需要爬行的最短路径长为 cm．
【解析】
【分析】
（1）根据正方体的侧面展开图，利用勾股定理求出AC 的长即可得答案；
1
（2）分横向展开和竖向展开两种情况，分别利用勾股定理求出AC 的长，比较即可得答案；
1
（3）画出圆柱侧面展开图，利用勾股定理求出AC的长即可得答案．
【详解】
（1）正方体的侧面展开图如图所示：AC 为蚂蚁需要爬行的最短路径长，
1
∵正方体的棱长为5cm，
∴AC=10，CC =5，
1
∴AC = = cm．
1
∴蚂蚁需要爬行的最短路径长为 cm．
（2）分两种情况：
①如图，当横向展开时：AC=10，CC =6，
1∴AC1= = cm，
②如图，当竖向展开时：AD=11，DC =5，
1
∴AC1= = cm，
∵ ＜ ，
∴蚂蚁需要爬行的最短路径长为 cm．
（3）圆柱侧面展开图如图所示：
∵圆柱底面周长为10cm，高为5cm，
∴BC=5，AB=5，
∴AC= = cm，
∴蚂蚁需要爬行的最短路径长为 cm．
【点睛】
本题考查立体图形的侧面展开图及勾股定理，熟记各立体图形的侧面展开图是解题关键．
