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专题 23 特殊平行四边形中的最小值问题
解题思路
【类型一 利用几何基本事实确定最值】
【基本事实1 垂线段最短】
垂线线段最短：如图1：直线l外有一定点 A，点P是l上一动点，当
AP⊥l时，线段AP最短。
【基本事实2 两点间，线段最短】
两点间，线段最短
根据线段的基本事实可知：AB≤AC+BC
当A,C,B三点在一条直线上时，
【类型二 利用轴对称变换确定最值】
线段和最小：如图2，A、B时直线m同侧的两个定点，P时直线m上一动点，
作点A关于直线m的对称点A′，直线BA′交直线m于点P，此时PA+PB最小，
等于BA′典例分析
【典例1】（2021春•龙口市期末）如图，在边长为 6的正方形ABCD中，点P
为对角线 AC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，则EF的最小值为（
）
A． B． C．4 D．3
【变式1】（2021春•鄂州期末）在边长为 2的等边△ABC中，D是AC上一动
点，连接BD，以BD、AD为邻边作平行四边形BDAE，则对角线DE的最小
值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【典例2】（2021•内江）如图，矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，点A在x轴正半
轴上，点D在y轴正半轴上．当点A在x轴上运动时，点D也随之在y轴上
运动，在这个运动过程中，点C到原点O的最大距离为 ．【变式2-1】（2020•北碚区校级开学）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，
点 P 是矩形 ABCD 内一动点，且 S ＝ S ，则 PC+PD 的最小值是（
△PAB △PCD
）
A． B． C． D．
【典例3】（2019春•江州区期末）如图，菱形 ABCD的边长为4cm，∠ABC＝
60°，且M为BC的中点，P是对角线BD上的一动点，则 PM+PC的最小值
为（ ）
A．4 cm B． cm C．2 cm D．2 cm
【变式3-1】（河西区一模）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一
点，BE＝1，F为AB的中点，P为AC上一个动点，则PF+PE的最小值为（
）A．2 B．4 C． D．2
【变式3-2】（2020•枣庄三模）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是
矩形ABCD内一动点，且S ＝S ，则PC+PD的最小值为 ．
△PAB △PCD
夯实基础
1．（春•惠山区期末）如图，菱形ABCD中，∠D＝135°，AD＝6，CE＝2 ，
点P是线段AC上一动点，点F是线段AB上一动点，则PE+PF的最小值是
（ ）
A．3 B．6 C．2 D．3
2.（秋•无为县期末）如图，在长方形 ABCD的边AD上找一点P，使得点P到B、C两点的距离之和最短，则点P的位置应该在 ．
3．（铜仁地区）以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，
分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB的最小值 ．
4．（2021•威海）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E为边AB上一点，F为
边BC上一点．连接DE和AF交于点G，连接BG．若AE＝BF，则BG的最
小值为 ．
5．如图，四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，M是BC的中点，CM＝2．点P
是BD上一动点，则PM+PC的最小值 ．
能力提升
6．（2021秋•江汉区月考）已知正方形 ABCD与正方形CEFG，M是AF的中
点，连接DM，EM．（1）如图1，点E在CD上，点G在BC的延长线上，请判断DM，EM的数
量关系与位置关系，并证明；
（2）如图2，点E在DC的延长线上，点G在BC上，（1）中结论是否仍然
成立？请证明你的结论；
（3）如图3，连接BG，N为BG中点，若AB＝13，CE＝5，则MN的最大值
为 9 ．
