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专题27.20 相似三角形的性质（基础篇）（专项练习）
一、单选题
1．如图所示，△ADE∽△ACB，∠AED＝∠B，那么下列比例式成立的是（ ）
A． ＝ ＝ B． ＝
C． ＝ ＝ D． ＝
2．已知 △ A'B'C'， 和A'D'是它们的对应中线，若 ，A'D'=6，则
与△A'B'C'的周长比是（ ）
A． B． C． D．
3．如下图所示，在 ABC中，点D在线段AC上，且 ABC∽△ADB，则下列结论一定
正确的是( ) △ △
A． B．
C． D．
4．下列阴影三角形分别在小正方形组成的网格中，则与下图中的三角形相似的是（
）
A． B． C． D．
5．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S DEF：S ABF＝4：25，则DE：DC＝( )
△ △
A．2：5 B．3：5 C．5：2 D．5：3
6．如图△ABC中，AC＝4，AB＝5，D是AC上一点，E是AB上一点，且∠AED＝
∠C，设AD＝x，AE＝y，则y与x之间的函数关系式是（ ）
A．y＝ x（0≤x≤4） B．y＝ x（0＜x≤4）
C．y＝ x（0≤x≤4） D．y＝ x（0＜x≤4）
7．如图，平行四边形ABCD中，G、H分别是AD，BC的中点，AE⊥BD，CF⊥BD，
四边形GEHF是矩形，若 ， ，则BD的长为（ ）
A． B． C．8 D．
8．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，
与 相交于点E，连接 ，则 与 的周长比为（ ）A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1
9．如图所示，在 中， ， ， 于 ， 是线段
上一个动点，以 为直角顶点向下作等腰 ，连结 ， ，则 的最小值为
( )
A． B． C． D．
10．如图，已知 ，任取一点 ，连接 ，分别取点 ，使
， ， ，连接 ，得到 ，给出下列说法：
① 与 是位似图形；② 与 是相似图形；③ 与 的周长比
为 ；④ 与 的面积比为 ．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．如果两个相似三角形对应边的比为2：3，那么它们对应高线的比是______．
12．如图，△ABC∽△CBD，AB=9，BD=25，则BC=______．13．如图，在 ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC上，若 DE∥BC，AD=2BD，
则 DE：BC 等于_△______．
14．如图，在平面直角坐标系 中，点 ， ， ，则点 坐
标为___________．
15．如图， ABC的顶点在1×3的正方形网格的格点上，在图中画出一个与 ABC相
似但不全等的 D△EF（ DEF的顶点在格点上），则 DEF的三边长分别是___．△
△ △ △
16．如图，四边形 是正方形， ，E是 中点，连接 ， 的垂直平
分线分别交 于M、O、N，连接 ，过E作 交 于F，则
______．17．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量某建筑物的高度，已知标杆BE高
1.5米，测得AB=1.8米，AC＝9米，则建筑物CD的高是 _____米．
18．如图，在△ABC中，AB＝6cm，AC＝9cm．动点P从点A出发以2cm/s的速度向
点B运动，动点Q从点C出发以1cm/s的速度向点A运动．两点同时出发，其中一点到达
终点时，另一点也停止运动．当运动时间t＝_____s时，以A、P、Q为顶点的三角形与
△ABC相似．
三、解答题
19．如图，在 中，C，D分别是 上的点．若
．
(1) 求证： ；
(2) 求 的长．20．如图，在矩形ABCD中，AB：BC＝1：2，点E在AD上，BE与对角线AC交于点
F．
(1) 求证：△AEF∽△CBF；
(2) 若BE⊥AC，求AE：ED．
21．如图，为了测量平静的河面的宽度 ，在离河岸 点3.2米远的 点，立一根长
为1.6米的标杆 ，在河对岸的岸边有一根长为4.5米的电线杆 ，电线杆的顶端 在
河里的倒影为点 ，即 ，两岸均高出水平面0.75米，即 米，经测
量此时 、 、 三点在同一直线上，并且点 、 、 、 N共线，点 、 、 共
线，若 、 、 均垂直与河面 ，求河宽 是多少米？22．如图，在正方形ABCD中，点E、F、G 分别在AB、BC、CD上，且 于
F．
（1）求证：△BEF∽△CFG；
（2）若AB=12，AE=3，CF=4，求CG的长．
23．如图，已知 ABC中，AC=BC，点D、E、F分别是线段AC、BC、AD的中点，
BF、ED的延长线交于△点G，连接GC．
（1）求证：AB=GD；
（2）当CG=EG时，且AB=2，求CE．24．已知：Rt OAB在直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（4，2），P为
OB的中点，点C为△折线OAB上的动点，线段PC把Rt OAB分割成两部分，问：点C在
什么位置时，分割得到的三角形与Rt OAB相似？要求△在图上画出所有符合要求的线段
PC，并求出相应的点C的坐标． △
参考答案
1．A
【分析】根据相似三角形的性质判断求解即可．
解：∵△ADE∽△ACB，∠AED＝∠B，
∴ ＝ ＝ ，
故选：A．
【点拨】本题考查相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答的关键．
2．A
【分析】
根据相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比即可得出结果．
解：∵△ABC~△A'B'C'，对应中线，AD=10，A'D'=6，
∴△ABC与△ A'B'C'相似比为5:3，
∴△ABC与△ A'B'C'的周长比5:3，
故选：A．
【点拨】题目主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解
题关键．
3．A
【分析】
根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得解．
解：∵△ABC∽△ADB，
∴ ，
∴AB2=AC•AD．
故选：A．
【点拨】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握对应顶点的字母放在对应位置上并
准确确定出对应边是解题的关键．
4．D
【分析】
由于已知三角形和选择项的三角形都放在小正方形的网格中，设正方形的边长为1，
所以每一个三角形的边长都可以表示出，然后根据三组对应边的比相等的两个三角形相似
即可判定选择项．
解：设小正方形的边长为1，那么已知三角形的三边长分别为 ， ， ，所以三边之比为 ．
A、三角形的三边分别为 ， ，4，三边之比为 ，故本选项不符合；
B、三角形的三边分别为2， ， ，三边之比为 ，故本选项不符
合；
C、三角形的三边分别为2，3， ，三边之比为 ，故本选项不符合；
D、三角形的三边分别为2，4， ，三边之比为 ，故本选项符合．
故选：D．
【点拨】此题主要考查了相似三角形的判定， 属于基础题， 掌握三边对应成比例的
两个三角形相似是解答本题的关键， 难度一般 ．
5．A
【分析】
由条件可证明△DEF∽△BAF，结合面积比可求得相似比，可求得答案．
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DE AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
【点拨】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似
比的平方是解题的关键．
6．D
【分析】
根据两角对应相等，两个三角形相似，易证出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质
即可得到结论．
解：∵∠AED＝∠C，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，∴ ＝ ，
∵AC＝4，AB＝5，AD＝x，AE＝y，
∴ ＝ ，
∴y＝ x，
∵0＜CD≤4，
∴y＝ x（0＜x≤4）．
故选：D．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质与判定是解题
的关键
7．A
【分析】
连接GH，可证得△EFH~△CBF，从而得到 ，再证得四边形ABHG是平行四
边形，可得EF=GH=AB=5，从而得到 ，再证明△ABE≌△CDF，可得 ，
即可求解．
解：如图，连接GH，
在矩形GEHF中，∠EHF=90°，EF=GH，
∵CF⊥BD，
∴∠EHF=∠BFC=90°，
∵点H是BC的中点，
∴FH=BH=CH=4，
∴∠FBH=∠BFH，
∴△EFH~△CBF，∴ ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AG∥BH，AD=BC，AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF，
∵点G、H分别为AD、BC的中点，
∴AG=BH，
∴四边形ABHG是平行四边形，
∴EF=GH=AB=5，
∴ ，解得： ，
∴ ，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF，
∴ ，
∴ ．
故选：A
【点拨】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定
和性质，熟练掌握矩形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解
题的关键．
8．D
【分析】
运用网格图中隐藏的条件证明四边形DCBM为平行四边形，接着证明 ，
最后利相似三角形周长的比等于相似比即可求出．
解：如图：由题意可知， ， ，
∴ ，
而 ，∴四边形DCBM为平行四边形，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理，
熟练掌握相关知识并正确计算是解题关键．
9．B
【分析】
当 时，DE有最小值，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
解：连接AE
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴E点的运动轨迹为射线AE
∴当DE最短时，
即当 时，DE有最小值
∵在 中，∴
∵
∴ 是等腰直角三角形
∴
∴DE的最小值是2
故答案为：B．
【点拨】本题考查了相似三角形的性质以线段的最值问题，掌握相似三角形的性质以
及判定定理、等腰直角三角形的性质是解题的关键．
10．C
【分析】
根据位似图形与相似三角形的性质逐一判断即可．
解：由题意，得 与 是位似图形，
∴ 与 是相似图形，故①②正确；
∵ ， ， ，
∴ 与 的相似比为 ，
∴ 与 的周长比为 ，
与 的面积比为 ，故③正确，④错误，
故选C．
【点拨】本题考查了位似图形与相似三角形的性质，解题的关键是熟知相似三角形的
性质及位似图形与相似图形的关系．
11．2：3##
【分析】
根据相似三角形对应高线的比等于相似比解答．
解：∵两个相似三角形对应边的比为2：3，∴它们对应高线的比为2：3，
故答案为：2：3．
【点拨】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形对应高线的比等于相似比
是解题的关键．
12．15
【分析】
根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可求解．
解：∵△ABC∽△CBD，
∴ ，即 ，
AB=9，BD=25，
，
，
故答案为：15
【点拨】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质列出比例式是解题的
关键．
13．2：3
【分析】
根据DE∥BC得出△ADE∽△ABC，结合AD=2BD可得出相似比即可求出DE：BC．
解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，
∵AD=2BD，
∴ ，
∴DE：BC=2：3，
故答案为：2：3．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定及性质，属于基础题型，解题的关键是熟悉相
似三角形的判定及性质，灵活运用线段的比例关系．
14．
【分析】过点B作BC⊥OA于点C，由题意易得OA=10，然后由勾股定理可得 ，进而
可得△BOC∽△AOB，设OC=x，则有BC=2x，最后利用勾股定理可求解．
解：过点B作BC⊥OA于点C，如图所示：
∵∠B=∠BCO=90°，∠BOA=∠BOA，
∴△BOC∽△AOB，
∵点 ，
∴OA=10，
∵ ，
∴ ，
∴AB=2OB，
∴BC=2OC，
∴在Rt△BOC中，
，即 ，
∴ ，
∴BC=4，
∴点B的坐标为 ；
故答案为 ．
【点拨】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定
是解题的关键．
15． ，2， ．
【分析】直接利用网格结合勾股定理以及相似三角形的判定方法得出答案．
解：如图所示： ABC∽△DEF，
△
DF＝ ，ED＝2，EF＝ ．
故答案为 ，2， ．
【点拨】此题主要考查了相似三角形的性质，正确运用勾股定理进行计算是解题关键．
16．2
【分析】
垂直平分 ，得出 ，利用 ，在 中利用勾股定理求
得 的长，再证明 ，利用相似比求得 的长度，进而求得 的长度．
解：设 ，则
垂直平分
在 中，
又∵E是 中点
∴
解得
又∵故答案为：2．
【点拨】本题考查线段垂直平分线的应用，勾股定理及相似三角形的应用，解决本题
的关键是各知识点的综合应用．
17．7.5
【分析】
根据题意和图形，利用三角形相似的性质，可以计算出CD的长，即可求解．
解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，
∴EB∥DC，
∴△ABE∽△ACD，
∴ ，
∵BE＝1.5米，AB＝1.8米，AC＝9米，
∴ ，
解得，DC＝7.5，
即建筑物CD的高是7.5米，
故答案为：7.5．
【点拨】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键．
18．
【分析】
分△APQ∽△ABC、△AQP∽△ABC两种情况，列出比例式，计算即可．
解：由题意得：AP＝2tcm，CQ＝tcm，则AQ＝（9﹣t）cm，
∵当t=6÷2=3
∴0≤t≤3
∵∠PAQ＝∠BAC，
∴当 ＝ 时，△APQ∽△ABC，
∴ ＝ ，解得：t＝ ，
当 ＝ 时，△AQP∽△ABC，
∴ ＝ ，
解得：t＝ ，
∵ 3，故舍去
综上所述：当t＝ 时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，
故答案为： ．
【点拨】解此类题的关键是在运动中寻找相似图形，当运动的时间为t时，要用t来表
示相关线段的长度，得出与变量有关的比例式，从而得到函数关系．解题时注意数形结合，
考虑全面，做好分类讨论．
19．(1)见分析(2)AB＝8
【分析】
（1） ABP与 DCP有公共角，分别计算 与 的值，得到 ，根据相似
△ △
三角形的判定定理得出结论；
（2）运用相似三角形的性质计算即可．
(1)证明：∵CD＝CP＝4，DP＝5，AC＝6，BD＝3，
∴AP＝AC+CP＝6+4＝10，BP＝BD+DP＝3+5＝8，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
∵∠DPC＝∠APB，
∴△ABP∽△DCP；
(2)解：∵△ABP∽△DCP，
∴ ，即 ，∴AB＝8．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，属于基础题．解决问题的关键是掌握：
有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
20．(1)见分析(2)1：3
【分析】
（1）根据矩形的性质得到AD∥BC，然后根据相似三角形的判断方法可判断
△AEF∽△CBF；
（2）设AB=x，则BC=2x，利用矩形的性质得到AD=BC=2x，∠BAD=∠ABC=90°，接
着证明△ABE∽△BCA，利用相似比得到AE= x，则DE= x，从而可计算出AE：DE．
(1)证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF；
(2)设AB=x，则BC=2x，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC=2x，∠BAD=∠ABC=90°，
∵BE⊥AC，
∴∠AFB=90°，
∵∠ABF+∠BAF=90°，∠BAC+∠ACB=90°，
∴∠ABF=∠ACB，
∵∠BAE=∠ABC，∠ABE=∠BCA，
∴△ABE∽△BCA，
∴ ，即 ，
∴AE= x，
∴DE=AD-AE= ，
∴AE：DE= =1：3．
【点拨】本题考查了三角形相似的判定与性质，应注意利用图形中已有的公共角、公
共边等条件，同时利用相似三角形的性质进行几何计算．也考查了矩形的性质．21．河宽为12米
【分析】
连接 ，根据题意可得出四边形 为矩形，由 可求得 ，便
可解决问题．
解：如图，连接 ，
∵点 、 、 共线， 、 均垂直与河面 ，且 ，
，
∴四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 、 、 均垂直与河面 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ （米）．
答：河宽 是 米．
【点拨】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，矩形的判定和性质等知识．关键
是构造和证明三角形相似．
22．（1）见分析 （2）
【分析】（1）证明∠BEF=∠CFG，结合∠B=∠C= 可证得△BEF∽△CFG；
（2）由△BEF∽△CFG，可得 ，代入数据可得CG．
解：(1)∵ABCD是正方形， 于F
∴∠B=∠C=∠EFG=
∴∠BEF+∠BFE=∠BFE+∠CFG=
∴∠BEF=∠CFG
∴△BEF∽△CFG
(2)解:：∵△BEF∽△CFG
∴
∴ ．
【点拨】本题考查了在正方形中进行一线三角形相似的证明，并利用相似进行线段长
度的计算，熟知以上模型是解题的关键．
23．（1）见分析；（2）CE= .
【分析】
（1）根据三角形中位线定理得到DE∥AB，AB=2DE，根据平行线的性质得到
∠ABF=∠DGF，证明△ABF≌△DGF，根据全等三角形的性质证明结论；
（2）证明△GEC∽△CBA，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
解：∵D，E是AC，BC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥AB，AB=2DE，
∴∠ABF=∠DGF，
∵F为AD中点，∴AF=DF，
在△ABF和△DGF中，
∴△ABF≌△DGF（AAS），
∴AB=GD；
（2）∵AB=2，
∴CD=2，DE=1，
∴GE=3，
∵CA=CB，
∴∠CAB=∠CBA，
∵CG=EG，
∴∠GEC=∠GCE，
∵DE∥AB，
∴∠GEC=∠CBA，
∴△GEC∽△CBA，
设CE=x，
则BC=2x，
∴ ，即 ，
解得： ，（负值舍去）
∴CE= .
【点拨】本题考查的是三角形中位线定理相似三角形的考查，熟练掌握中位线及相似
三角形的性质定理是解决本题的关键．
24．作图见分析，C点坐标为：（2，0）或（4，1）或（2.5，0）．
【分析】
由于 点不确定，故分 ， ， 三种情况进行讨论．
解： 点 的坐标为 ，
， ， ， ．如图，当 时，
，即 ，
， ，
；
当 时，
，即 ，解得 ，
，
；
当 时，
，即 ，解得 ，
；
综上所述， 点坐标为： 或 或 ．
【点拨】本题考查的是相似三角形的判定，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要
漏解．
