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专题27.21 相似三角形的性质（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
1．若 的面积是 ，则它的三条中位线围成的三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．无法确定
2．如图，矩形 中， ， ，点P在对角线 上，且 ，连
接 并延长，交 的延长线于点Q，连接 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图， ABC中，DE∥BC，AD:BD=1:3，则OE：OB=（ ）
A．1:3 B．1:4 C．1:5 D．1:6
4．如图，在矩形 中， 是 的中点，若 交 于点 ， 是 的中点，
连接 ， ，则 的长为（ ）
A． B． C．1 D．
5．如图，小明在A时测得某树的影长为 ，B时又测得该树的影长为 ，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点， ，连接BE交AC于
点G，延长BE交CD的延长线于点F，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图， 中， ， 是中线， 是 上一点，作射线 ，交 于
点 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．小明想借助网格在线段AB上找一点P，使AP∶PB＝2∶3，下列作法中错误的是（
）A． B．
C． D．
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边的中点，点E是AB边的中点，过点E
作EF∥AD交BC于点F，过点E作EG∥BC交AD于点G，设△ABC的面积为S，则四边形
EFDG的面积为（ ）
A． S B． S C． S D． S
10．直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，把一块含有45°角的直
角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则
线段BD的长度为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝105°，AC＝4cm，AB＝6cm，DE＝3cm，则
DF＝_________时，△ABC与△DEF相似．
12．如图，已知矩形ABCD中，AB=6，AD=8将矩形ABCD沿直线MN翻折后，点B恰好落在边AD上的点E处，如果AE=2AM，那么CN的长为______.
13．如图，四边形 中，对角线 交于点O， ， ， ，
，如果 ，那么 的值是___________．
14．如图， 在平面直角坐标系中， 与 轴交于点 ，已知点 ，
， ， 是线段 上一点，连接 ，若 与 相似，则 的
长为______．
15．如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，连结AE，将△ABE沿直线AE翻折得
到△AFE，EF与AC相交于点M．若AB＝8，BC＝10，且BE＝ BC，则点F到直线AD的
距离为____．16．如图，矩形ABCD沿EF折叠，点A的对称点为点A'，点B的对称点为点B'，
A'B'与AD相交于点G，若点F，B'，D在同一条直线上，△A'EG的面积为4，△CDF的面
积为36，则△GB'D的面积等于______．
17．如图，已知在矩形纸片 中， 将纸片折叠，使顶点 与边
的点 重合.若折痕 分别与 交于点 的外接圆与直线 有唯一一个公
共点，则折痕 的为______．
18．如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2， 、 、 …都
是正方形，且 、 、 …在AC边上， 、 、 …在AB边上．则线段 的长用含
n的代数式表示为______________．（n为正整数）三、解答题
19．如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠ABC=90°，且AB是AD，BC的比例中项，
求证：BD⊥AC．
20．如图正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，只用无刻度的直尺，在给定的
网格中按要求画图．
(1)在图①中画等腰△ABC，使得∠CAB＝90°；
(2)在图②中画等腰△DEF，使△ABC∽△DEF，且相似比为 ：1．
21．如图，△ABC中，点D，E分别是BC，AB上的点，CE，AD交于点 F，BD＝AD，BE＝EC．
(1) 求证：△ABD∽△CBE；
(2) 若CD＝CF，试求∠ABC的度数．
22．如图，已知点 在 轴的负半轴上，点 在 轴的正半轴上， ， ，
点 在线段 上，从点 出发以每秒5个单位长度的速度向点 运动，设运动时间为
秒，过点 作 轴于点 ．
(1) 当 时，线段 的长为________；
(2) 当 时，求 的值；
(3) 在 轴上是否存在点 ，使 为等腰三角形，若存在，直接写出点 的坐标，
若不存在，说明理由．23．在菱形 中， ，点 、 分别是边 、 上两点，满足
， 与 相交于点 ．
（1）如图1，连接 ．求证： ；
（2）如图2，连接 ．
① 求证： ；
② 若 ， ，求线段 的长（用含 、 的代数式表示）．
24．如图1，在等腰 中， ，点D为斜边AB边上一动点（不含端点）．
作 ，DE，DF分别交AB，AC于点E和点F．请根据图形解答下面问题：
【问题发现】
（1）如图1，若点D为BC边中点．请直接写出DE，DF的数量关系_________．
【类比探究】
（2）如图2，若点D为BC边上一动点，且 ．猜想DF与DE的数量关系．
并证明你的结论．
【拓展应用】
（3）如图3，在边长为4的等边 中，点D为BC边上一动点，作 ．
DE交AC边于点E．请问在点D的运动过程中，CE是否有最大值．如果有，求出最大值；
如果没有，请说明理由．参考答案
1．A
【分析】
根据三角形中位线定理即可证得： ，则 DEF∽△ABC，根据相似
△
三角形的面积的比等于相似比的平方即可求解．
解：如图：
∵DE是 ABC的中位线，
△
∴DE= BC，即 ，同理， ， ，
∴ ，
∴△DEF∽△ABC，
∴ ，
∴S DEF= S ABC= ×8=2（cm2）．
△ △
故选：A．
【点拨】本题考查了三角形的中位线定理，以及相似三角形的性质，正确证明
DEF∽△ABC是关键．
△ 2．C
【分析】
根据矩形的性质可求BD， ，从而得到QC，由勾股定理即可求解；
解：∵在矩形 中， ， ，
∴
∵AB∥CD，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
故选：C．
【点拨】本题主要考查三角形的相似、矩形的性质、勾股定理，掌握相关知识并灵活
应用是解题的关键．
3．B
【分析】先根据DE∥BC，得出 ADE∽ ABC，进而得出 ，再根据DE∥BC，得
到 ODE∽ OCB，进而得到 ．
解：∵DE∥BC，
∴ ADE∽ ABC，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵DE∥BC，
∴ ODE∽ OCB，
∴ ．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行于三角形的一边的直线与其
他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
4．C
【分析】
先证明 ，可得3EF= ，延长AE交DC得延长线于点H，可得
，继而即可求解．
解：∵在矩形 中，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴ ，
∴ ，即：3EF= ，
延长AE交DC得延长线于点H，∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠HCE=90°，
∵ 是 的中点，
∴BE=CE，
又∵∠AEB=∠CEH，
∴ ，
∴AE=EH，AB=CH=CD，即C是DH的中点，
∵ 是 的中点，
∴HF=2 ，
∵3EF= ，
∴4EF=4，
∴EF=1，
故选C．
【点拨】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，中位线的性质，添加
辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
5．B
【分析】
根据题意，画出示意图，易得 EDC∽△FDC，进而可得 ，即DC2=ED•FD，
△
代入数据可得答案．解：根据题意，作△EFC，树高为CD，且∠ECF=90°，ED=2m，FD=8m；
∵∠E+∠F=90°，∠E+∠ECD=90°，
∴∠ECD=∠F，
又
∴△EDC∽△CDF，
∴ ，即DC2=ED•FD=2×8=16，
解得CD=4m（负值舍去）．
故选：B．
【点拨】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此
题的关键．
6．A
【分析】
先根据平行四边形的性质得到AB∥CD，则可判断 ABG∽△CFG， ABE∽△DFE，于是
根据相似三角形的性质和AE＝2ED即可得结果． △ △
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△ABG∽△CFG，
∴ ＝
∵△ABE∽△DFE，
∴ ＝ ，
∵AE＝2ED，
∴AB＝2DF，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ．故选：A．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟
练掌握相似三角形的判定和性质进行解题．
7．C
【分析】
作 ，交 于点 ，则有 ，根据 ， ，可得
， ，再根据 是 边上的中线，得到 ， ；根据
可得 ，则 ，化简即可得到结果．
解：如图，作 ，交 于点 ，
∴
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵ 是 边上的中线，
∴
∴ ，
∴ ，
∵∴
∴
∴ ，
则 ．
故选：C．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟悉相关性质是解题的关键．
8．D
【分析】
利用平行可证得三角形相似，再利用相似三角形的对应边成比例，对各选项逐一判断．
解：A、根据图形，可知两个三角形相似，且相似比为2∶3，故AP∶PB＝2∶3，故正确，
故此选项不符合题意．
B、根据图形，可知两个三角形相似，且相似比为2∶3，故AP：PB＝2∶3，故正确，
故此选项不符合题意．
C、如图，
根据图形可知：∠CAD=90°，线段CD绕点O顺时针旋转90°与AB重合，则
∠APC=旋转角=90°=∠CAD，∠ACD=∠DCA，
∴△ACD∽ DCA，
△
∴ ，
∵AC= ，AD=2 ， CD= ，
∴AP= ，
∵S BCD= ，
△∴BP= ，故AP∶PB＝2∶3，故正确，故此选项不符合题意．
D、可知两个三角形不相似，故AP：PB之比无法判断，故错误，故此选项符合
题意．
故答案为：D．
【点拨】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解
题的关键．
9．B
【分析】
根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，BD BC，然后可得四边形EFDG是矩形，再
根据三角形中位线定理可得EG BD BC，DG＝AG AD，进而可以解决问题．
解：∵AB＝AC，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，BD BC，
∴∠ADB=90°，
∵EF∥AD，EG∥BC，
∴四边形EFDG是平行四边形，
又∠ADB=90°，
∴四边形EFDG是矩形，
∵点E是AB边的中点，
∴AE=BE，
∴AG=DG，
∴EG是△ABD的中位线，
∴EG BD BC，DG＝AG AD，
∵△ABC的面积为S，
∴S BC•AD，∴四边形EFDG的面积＝FD•DG BC AD S．
故选：B．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形中
位线定理，解决本题的关键是掌握三角形中位线定理．
10．A
【分析】
分别过点A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，可得AF=4，先根据全等三角形的判定
定理得出△BCE≌△CAF，故可得出CF及CE的长，在Rt△ACF中根据勾股定理求出AC的
长，再由相似三角形的判定得出△CDG∽△CAF，故可得出CD的长，在Rt△BCD中根据勾
股定理即可求出BD的长．
解：分别过点A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，垂足为F、E、G，
∵l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，
∴AF=4，BE=DG=3，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，
∵∠EBC+∠BCE＝90°，∠BCE+∠FCA＝90°，∠FCA+∠CAF＝90°，
∴∠EBC＝∠FCA，∠BCE＝∠CAF，
在△BCE与△ACF中， ，
∴△BCE≌△CAF，
∴CF=BE=3，
∴AC= =5，
∵AF⊥l3，DG⊥l3，
∴△CDG∽△CAF，
∴ ，即 ，
解得：CD= ，
∴BD= = ．故选：A．
【点拨】本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出
相似三角形是解答此题的关键．
11． 或
【分析】
由于两相似三角形的对应边不能确定，故应分△ABC∽△DEF与△ABC∽△DFE两种情
况进行讨论．
解：∵∠A＝∠D，AB＝6cm，AC＝4cm，DE＝3cm，
∴当△ABC∽△DEF时， ＝ ，即 ，
解得：DF＝2；
当△ABC∽△DFE时， ＝ ，
即 ，
解得：DF＝4.5．
综上所述，当DF＝2cm或4.5cm时，△ABC和△DEF相似．
故答案为：2cm或4.5cm．
【点拨】本题考查的是相似三角形的判定，在解答此题时要注意进行分类讨论．
12．
【分析】
如图，过N作NF⊥AD于F，可得NF=AB，根据矩形的性质和折叠的性质可得
∠MEN=∠B=90°，EN=BN，根据直角三角形两锐角互余的性质及平角的定义可得
∠AME=∠NEF，进而可证明△AEM∽△FNE，根据AE=2AM可求出EF的长，在Rt△FNE
中，利用勾股定理可求出EN的长，进而可求出CN的长.
解：如图，过N作NF⊥AD于F，
∵四边形ABCD是矩形，AB=6，∴NF=AB=6，
∵矩形ABCD沿直线MN翻折后，点B恰好落在边AD上的点E处，
∴EN=BN，∠MEN=∠B=90°，
∴∠AEM+∠NEF=90°，
∵∠AEM+∠AME=90°，
∴∠AME=∠NEF，
又∵∠A=∠EFN=90°，
∴△AEM∽△FNE，
∴ ，
∵AE=2AM，NF=6，
∴EF=3，
∴BN=EN= = = ，
∵BC=8，
∴CN=BC-BN=8- ，
故答案为：8-
【点拨】本题考查矩形的性质、增大的性质及相似三角形的判定与性质，如果一个三
角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；熟练掌握相似
三角形的判定定理是解题关键.
13．
【分析】
由题意可以证得△AOD∽△BOC，再根据相似三角形的性质得到AO：OD=BO：OC，
从而得到△AOB∽△DOC，最后再根据相似三角形的性质得到解答．
解：在△AOD和△BOC中， ，∠AOD=∠BOC，∴△AOD∽△BOC，
∴AO：OB=DO：OC=AD：BC=1：2，
∴OB=4，DO=3，
∴在△AOB和△DOC中，∠AOB=∠DOC，AO：OD=BO：OC=2：3，
∴△AOB∽△DOC，
∴ = AO：OD=2：3，
故答案为 ．
【点拨】本题考查相似三角形的应用，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题关键．
14．2或4
【分析】
是一个直角三角形，若 与 相似，必须证明 是直角三角形，
再用相似三角形的性质即可求出点M的坐标．
解：如图，
∵A(1,4) ， C(3,0) ， D(0,3) ，
∴ ， ， ，
；
∴ 是直角三角形
∵点M在x轴上，设点M的坐标是（x，0），
∽
∴
∴ =1∴
当 时，CM=2；当 时CM=4，
故答案为：2或4．
【点拨】此题考查相似三角形的性质，熟悉掌握相似三角形的性质是解题的关键．
15． ．
【分析】
先过F作MN⊥BC，根据已知条件与折叠的性质得到△AFN∽△FEM，再根据相似的性
质得到 ，设出未知数，求解出答案即可．
解：过F作MN⊥BC，
∵BE= ，BC=10，
∴BE=6，
∵翻折
∴△ABE≌△AFE，
∴EF=BE=6，∠AFE=∠B=90°，AF= AB=8，
∴∠AFN+∠EFM=90°，
∵∠AFN+∠FAN=90°，
∴∠FAN=∠EFM，
∴△AFN∽△FEM，
∴ ，
设AN=4x，FM=3x， FN=8-3x，EM=4x-6，
∴FN=8-3x，EM=4x-6，
∴ ，
∴ ，经检验： 是原方程的根，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质与相似三角形的判定与性质，关键
在于作出辅助线，根据折叠的性质证明出三角形相似．
16．16
【分析】
由矩形ABCD沿EF折叠， 可得∠A′=∠A =90°，A′B′=AB，可证A′E∥DF，可得
∠A′EG=∠GDB′，可证 A′EG∽△CFD，可得 ，可证 A′EG∽△B′DG，
△ △
即可．
解：∵矩形ABCD沿EF折叠，点A的对称点为点A'，点B的对称点为点B'，
∴∠A′=∠A=∠A′B′F=∠B=∠C=90°，A′B′=AB，
∵∠A′+∠A′B′F=180°，
∴A′E∥DF，
∴∠A′EG=∠GDB′，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD，AD∥BC，
∴∠GDB′=∠DFC=∠A′EG，
∴△A′EG∽△CFD，
∴ ，
∴ 即 ，
∴ ，
∵∠A′=∠A′B′F=90°，∠A′EG=∠GDB′，∴ A′EG∽△B′DG，
△
，
∵S AEG=4，
'
△
∴ ．
故答案为：16．
【点拨】本题考查矩形折叠问题，平行线性质，三角形相似判定与性质，掌握矩形折
叠性质，平行线性质，三角形相似判定与性质是解题关键．
17．
【分析】
根据折叠的性质判断出AG=GE，∠AGF=∠EGF，再由CD∥AB得出∠EFG=∠AGF，
从而判断出EF=AG，得出四边形AGEF是平行四边形，继而结合AG=GE，判定四边形
AGEF是菱形；连接ON，得出ON是梯形ABCE的中位线，在RT△ADE中，利用勾股定
理可解出x，继而可得出折痕FG的长度．
解：由折叠的性质可得，GA=GE，∠AGF=∠EGF，
∵DC∥AB，
∴∠EFG=∠AGF，
∴∠EFG=∠EGF，
∴EF=EG=AG，
∴四边形AGEF是平行四边形（EF∥AG，EF=AG），
又∵AG=GE，
∴四边形AGEF是菱形
令△AED的外接圆与直线 有唯一一个公共点为N，连接ON，如图所示，
∵△AED是直角三角形，AE是斜边，点O是AE的中点， AED的外接圆与BC
△相切于点N，
∴ON⊥BC，
∵点O是AE的中点，
∴ON是梯形ABCE的中位线，
设CE=x，则ED=2-x，2ON=CE+AB=x+2，
在Rt△AED中，AE=2OE=2ON=x+2，
AD2+DE2=AE2，
∴12+（2-x）2=（2+x）2，
得x= ，
，
∵△FEO∽△AED，
∴ ，
解得：FO= ，
∴FG=2FO= ．
故答案为： .
【点拨】此题考查了翻折变换的知识，涉及了菱形的判定、含30°角的直角三角形的
性质，关键在于得出 FEO∽△AED，求出 .
△
18．
【分析】
根据题意得出△BBC ∽△BAC，进而求出BC = ，同理可得出：BC = ，BC =
1 1 1 1 2 2 3 3
，…，进而得出答案．解：由题意可得：BC //AC，
1 1
∴△BBC ∽△BAC，
1 1
∴BC ：BC=BC ：AC，
1 1 1
∵CC =BC ，
1 1 1
∴BC ：2=（1−C B）：1，
1 1 1 1
解得：BC = ，
1 1
故AB= ，AA= ，
1 1 1
同理可得出：BC = ，BC = ，…，
2 2 3 3
∴线段BnCn的长用含n的代数式表示为： ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查相似三角形的综合应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质及归纳
的思维方法是解题关键．
19．见分析
【分析】
先根据平行线的性质得到∠BAD=90°，再证明△ABC∽△DAB得到∠ABD=∠ACB，则
∠ACB+∠DBC=90°，所以∠BEC=90°，从而得到结论．
解：∵AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠BAD=90°，
∵AB是AD，BC的比例中项，
即AB2=AD•BC，
∴
而∠ABC=∠DAB，
∴△ABC∽△DAB，
∴∠ABD=∠ACB，
∵∠ABD+∠DBC=90°，
∴∠ACB+∠DBC=90°，∴∠BEC=90°，
∴BD⊥AC．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定是解答本
题的关键．
20．(1)见分析(2)见分析
解：(1)如图①中，△ABC即为所求；
, , ,
,
，
的等腰直角三角形，
(2)如图②中，△DEF即为所求．
, , ,
,
．
△ABC∽△DEF，且相似比为 ：1．
【点拨】本题考查了勾股定理，相似三角形的性质，掌握勾股定理与相似三角形的性
质是解题的关键．
21．(1)见分析(2)
【分析】
（1）由已知可得∠BAD＝∠BCE，结合∠B＝∠B，可以得到 ；
（2）设∠B＝x ，则由（1）和已知条件可以得到关于x的方程，解方程即可得到问题解答．
(1)证明：∵BD＝AD，BE＝EC
∴∠B＝∠BAD，∠B＝∠BCE
∴∠BAD＝∠BCE
而∠B＝∠B，
∴△ABD∽△CBE
(2)解：设∠B＝ ，由（1）可知∠B＝∠BAD＝∠BCE＝ ，
∴∠ADC＝
又∵CD＝CF
∴∠ADC＝∠DFC＝
∴
∴
即
【点拨】本题考查相似三角形的综合问题，熟练掌握三角形相似的判定方法、等腰三
角形的性质、三角形内角和定理及方程思想方法的应用是解题关键．
法的应用是解题关键．
22．(1) (2) (3)存在，M(-8，0)， (2，0)， (3，0)， ( ，0)
【分析】
（1）由已知可得线段PQ为三角形的中位线，根据三角形中位线定理可以得到解答；
（2）由已知可得△BPQ∽△BAQ， ，把上面等式用含t的代数式表示出来，然
后解方程即可；
（3）分MA=MB，AM=AB，BM=BA三种情况讨论．
(1)解：由题意可得：当 时，PA=PB，且PQ∥AO，
∴ ，BQ=QO，
∴PQ为三角形ABO的中位线，∴PQ= AO= ,
故答案为 ；
(2)解：由题可知，PA=PQ=5t， ∴ PB=AB-PA=5-5t
∵PQ∥AO ∴∠BPQ=∠BAO
又∵BQP=∠BOA=90°
∴△BPQ∽△BAO
∴ 解得：t=
(3)解：由题意可设满足条件的M为（x，0），则可分三种情况：
如图，MA=MB，
则MA2=MB2，
∴（x+3）2=OM2+OB2=x2+AB2-AO2=x2+16，
解之可得：x= ，
∴M为（ ，0）；
如图，AM=AB，
则有|x+3|=5，
解之可得：x=2或x=-8，∴M为（2，0）或（-8，0）；
如图，BM=BA，
则BM2=BA2，
∴x2+16=25，
解之可得：x=3或x=-3（舍去），
∴M为（3，0）；
∴满足条件的M为：（-8，0)或 (2，0)或 (3，0)或 ( ，0)．
【点拨】本题考查三角形的动点问题，熟练掌握三角形中位线的定义和性质、三角形
相似的判定和性质、等腰三角形的性质、方程思想与勾股定理的应用是解题关键 ．
23．（1）见分析；（2）①见分析；②
【分析】
（1）四边形 是菱形， ，则 是等边三角形，根据 ，
， ，即可得到三角形全等；
（2）①连接 ，延长 到点 ，使 ，连接 ，求证出
， 是等边三角形，即可以证明；
②由①中的条件可证 ，所以 ，即可以求出DG．
（1）证明：∵四边形 是菱形， ，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵
∴ ．（2）①证明：连接 ，延长 到点 ，使 ，连接 ．
由（1）知 ，
∴ ，
， ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴
∴ 是等边三角形，
∴ ．
②由①可知 ，
∵ ，∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定
与性质，相似三角形的判定与性质等有关知识，需要综合利用初中所学知识，结合题目条
件，灵活运用才能解决问题；正确作出辅助线是解决这题的关键．
24．（1） ；（2） ；（3）有最大值，最大值为1．【分析】
（1）连接 ，证明 ，即可求证；
（2）分别过点 、 作 、 交 于点 ，根据三角形相似对应
边成比例，求得DF与DE的数量关系；
（3）由题意可知 ，设 ，求出 与 的函数关系式，根据函数
性质即可求解．
解：（1）连接 ，如下图：
∵点D为BC边中点
∴
又∵ 为等腰直角三角形
∴ ， ，
∴
又∵
∴
∴
∴
（2）分别过点 、 作 、 交 于点
∵ 为等腰直角三角形
∴
又∵ 、
∴ 、 为等腰直角三角形
∴ ，
∵ ，
∴∴
∴
∴ ， ，
∴ ，
∴
又∵
∴
∴ ，即
（3）∵ ，
∴
又∵
∴
∴
∴
设 ，
∴
∴当 时， 最大，最大为1．
【点拨】此题考查了三角形的综合应用，涉及到三角形全等、相似以及二次函数的性
质，其中多次利用了“一线三等角”模型，熟练掌握相关基础知识是解题的关键．
