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专题4.13 线段公理与直线公理（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
1．为了让一队学生站成一条直线，先让两名学生站好不动，其他学生依次往后站，要
求目视前方只能看到各自前面的那名学生，这种做法运用的数学知识是（ ）
A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短
C．射线只有一个端点 D．过一点有无数条直线
2．下列现象：
①用两个钉子就可以把木条固定在墙上
②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设
③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线
④把弯曲的公路改直，就能缩短路程
其中能用“两点之间线段最短”来解释的现象有（ ）
A．①④ B．①③ C．②④ D．③④
3．下列四个语句中，正确的是（ ）
A．如果 ，那么点 是 的中点
B．两点间的距离就是两点间的线段
C．经过两点有且只有一条直线
D．比较线段的长短只能用度量法
4．在 中， ， ， 于 点，且 ，若 点在边
上移动，则 的最小值是（ ）
A．4.5 B．4.6 C．4.7 D．4.8
5．若线段AB＝13cm，MA+MB＝17cm，则下列说法正确的是（ ）
A．点M在线段AB上
B．点M在直线AB上，也有可能在直线AB外
C．点M在直线AB外
D．点M在直线AB上
6．如图，某同学家在A处，现在该同学要去位于D处的同学家，请帮助他选择一条
最近的路线是（ ）A．A→B→M→D B．A→B→F→D
C．A→B→E→F→D D．A→B→C→D
7．如图所示，某公司有三个住宅区，A、B、C各区分别住有职工30人，15人，10人，
且这三点在一条大道上（A，B，C三点共线），已知AB＝100米，BC＝200米．为了方便
职工上下班，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的
路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（ ）
A．点A B．点B C．A，B之间 D．B，C之间
8．平面上有四点，过其中每两点画出一条直线，可以画直线的条数为（ ）
A．1或4 B．1或6 C．4或6 D．1或4或6
9．下列说法正确的是（ ）
A．射线 和射线 是同一条射线 B．射线 的长度是
C．直线 相交于点 D．两点确定一条直线
10．如图，一条街道旁有A，B，C，D，E五幢居民楼，某大桶水经销商统计各楼居
民每周所需大桶水的数量如下表:
楼号 A B C D E
大桶水/桶 38 55 50 72 85
他计划在这五幢楼中租赁一间门市房，设立大桶水供应点，若仅考虑这五幢楼内的居
民取水所走路程之和最小，则可以选择的地点应在( ).
A．B楼 B．C楼 C．D楼 D．E楼
二、填空题
11．张老师调整教室桌椅时，为了将一列课桌对齐，将这列课桌的最前边一张和最后
边一张拉一条线，其余课桌按线摆放，这样做用到的数学知识是_____．
12．平面内有n个点A、B、C、D…，其中点A、B、C在同一条直线上，过其中任意
两点画直线，最多可以画_____________________条．
13．在射线 上截取线段 ， ，点M，N分别是 ， 的中点，
则点M和点N之间的距离为______．
14．已知，如图，在直线l的两侧有两点A、B在直线上画出点P，使PA+PB最短，
画法：______．15．下列有四个生活、生产现象：其中可用基本事实“两点之间，线段最短”来解释
的现象有______ 填序号 ．
①有两个钉子就可以把木条固定在墙上；②A从地到 地架设电线，总是尽可能沿着
线段 架设；③植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行所在的直线；④把弯
曲的公路改直，就能缩短路程．
16．下列三个现象：
①用两个钉子可以把一根木条固定在墙上；
②植树时，只要定出两棵树的位置，就能使同一行数在一条直线上；
③从A地到B地架设电线，只要尽可能沿着线段AB架设，就能节省材料；
其中可用“两点确定一条直线”来解释的现象有__________（填序号）.
17．科学知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面.下面的这两个
情景，请你做出判断.
情景一：如图，从教学楼到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，这是为什
么呢？试用所.学数学知识来说明这个问题：
_______________________________________________.
情景二：农民兴修水利，开挖水渠，先在两端立桩拉线，然后沿线开挖，请你说出其
中的道理：
_______________________________________________________________________________
_.
你赞同以上哪种做法，你认为应用科学知识为人类服务时应注意什么？
18．如图所示，设 ， ， ．试比较 、 、 的大
小：________．三、解答题
19．小刚和小强在争论一道几何问题，问题是射击时为什么枪管上有准星．小刚说：
“过两点有且只有一条直线，所以枪管上才有准星．”小强说：“过两点有且只有一条直
线我当然知道，可是若将人眼看成一点，准星看成一点，目标看成一点，这样不是有三点
了吗？既然过两点有且只有一条直线，那弄出第三点是为什么呢？”聪明的你能回答小强
的疑问吗？
20．如图，已知三点A，B，C，按下列要求画图．
(1)画直线AB，射线BC；
(2)连接AC并延长至点D，使DC＝AC；
(3)取线段AB的中点E，找出一点P，使它到点E，B，D，C的距离之和
PE+PB+PD+PC最小，这样作图的依据是 ．21．如图，已知线段AB，延长线段AB至点C，使BC＝2AB，延长线段BA至点D，
使AD AB，点E是线段AC的中点．
(1)若AB＝12，求线段DE的长；
(2)若DE＝a，请直接写出线段AB的长（用含a的代数式表示）．
22．如图，已知平面上有四个村庄，用四个点A，B，C，D表示．
(1)连接AB，作射线AD，作直线BC与射线AD交于点E；
(2)若要建一供电所M，向四个村庄供电，要使所用电线最短，则供电所M应建在何处？
请画出点M的位置并说明理由．23．已知：如图： ，点E是 的中点， ，若 ，
设多项式 的值是t，其中 ，求线段 的长．
24．已知：b是最小的正整数，且a、b满足 ，请回答问题：
(1)请直接写出a、b、c的值． ______， ______， ______．
(2)a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在0到
2之间运动时（即 时），请化简式子： （请写出化简过程） ．
(3)若数轴上A、B两点间的距离表示成|AB|，且O为原点，数轴上有一动点P，直接写
出 的最小值是______； 的最小值是______； 取最
小时，点P对应的数x的取值范围是______．参考答案
1．A
【分析】两个学生看成点，根据两点确定一条直线的知识解释即可．
解：∵两点确定一条直线，
∴选A．
【点拨】本题考查了两点确定一条直线的原理，正确理解原理是解题的关键．
2．C
【分析】直接利用直线的性质和线段的性质分别判断得出答案．
解：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上，利用的是两点确定一条直线，故此选项
不合题意；
②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设，能用“两点之间，线
段最短”来解释，故此选项符合题意；
③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线，利用的是两点确定一条直线，故此选项不合题意；
④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，能用“两点之间，线段最短”来解释，故
此选项符合题意．
故选：C．
【点拨】本题考查了直线的性质和线段的性质，正确掌握相关性质是解题关键．
3．C
【分析】根据线段的中点和线段的性质进行判断即可．
解：A、如果AP=BP，且AP+BP=AB，那么点P是AB的中点，故本选项不符合题意；
B、两点间的距离就是两点间的线段的长度，故本选项不符合题意；
C、经过两点有且只有一条直线，故本选项符合题意；
D、比较线段的长短可以用度量法，但不是只能用度量法，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点拨】本题考查的是两点之间的距离，根据线段的性质和线段的中点的定义是解答
此题的关键．
4．D
【分析】根据最短路径问题得：当BP⊥AC时， 的值最小，利用面积关系得到
，代入数值求出答案.
解：由题意得：当BP⊥AC时， 的值最小，
∵ ,
∴ ,
解得BP= ，
故选：D.
【点拨】此题考查最短路径问题，三角形的面积计算公式，利用最短路径问题的思路
得到当BP⊥AC时， 的值最小是解题的关键.
5．B【分析】此题要分多种可能情况讨论：当M点在直线外时，根据两点之间线段最短，
能出现MA+MB=17；当M点在线段AB延长线上，也可能出现MA+MB=17；由此解答即
可．
解：（1）当M点在直线外时，M，A，B构成三角形，两边之和大于第三边，能出现
MA+MB=17；
（2）当M点在线段AB延长线上，也可能出现MA+MB=17．
故选：B．
【点拨】此题考查比较线段的长短，正确认识直线、线段，注意对各个情况的分类，
讨论可能出现的情况．
6．B
【分析】根据线段的性质，可得D、B两点之间的最短距离是线段BD的长度，所以
想尽快赶到同学家玩，一条最近的路线是：A→B→F→D，据此解答即可．
解：根据两点之间的线段最短，
可得D、B两点之间的最短距离是线段BD的长度，
所以想尽快赶到同学家玩，一条最近的路线是：A→B→F→D．
故选：B．
【点拨】本题考查了线段的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：两点的所
有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．
7．A
【分析】此题为数学知识的应用，由题意设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点
的路程之和最小，肯定要尽量缩短两地之间的里程，就用到两点间线段最短定理．
解：①以点A为停靠点，则所有人的路程的和＝15×100+10×300＝4500（米），
②以点B为停靠点，则所有人的路程的和＝30×100+10×200＝5000（米），
③以点C为停靠点，则所有人的路程的和＝30×300+15×200＝12000（米），
④当在AB之间停靠时，设停靠点到A的距离是m，则（0＜m＜100），则所有人
的路程的和是：30m+15（100﹣m）+10（300﹣m）＝4500+5m＞4500，
⑤当在BC之间停靠时，设停靠点到B的距离为n，则（0＜n＜200），则总路程
为30（100+n）+15n+10（200﹣n）＝5000+35n＞4500．
∴该停靠点的位置应设在点A；
故选A．
【点拨】此题为数学知识的应用，考查知识点为两点之间线段最短．8．D
【分析】平面上四点的位置关系由三种情况，即四点在同一直线上时，可以画一条直
线；三点在同一条直线上，可以画四条直线；任意三点均不在同一条直线上，则可画六条
直线．
解：如图所示：
分别根据四点在同一直线上、三点在同一条直线上、任意三点均不在同一条直线
上描出各点，再根据两点确定一条直线画出各直线可知：
平面上有四点，过其中每两点画出一条直线，可以画直线的条数为1或4或6．
故选D．
【点拨】本题考查的是两点确定一条直线，解答此题的关键是正确分析四点在同一平
面内的位置关系，再画出图形进行解答．
9．D
【分析】根据直线、射线、线段的性质对各选项分析判断后利用排除法．
解：A、射线PA和射线AP不是同一条射线，故本选项错误；
B、射线是无限长的，故本选项错误；
C、直线AB、CD可能平行，没有交点，故本选项错误；
D、两点确定一条直线是正确的．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了直线、射线、线段的特性，是基础题，需熟练掌握．
10．C
【分析】此题为数学知识的应用，由题意设立大桶水供应点，肯定要尽量缩短居民取
水所走路程之间的里程，即需应用两点间线段最短定理来求解．
解：设AB=a，BC=b，CD=c，DE=d．每户居民每次取一桶水．
以点A为取水点，则五幢楼内的居民取水所走路程之和
=55AB+50AC+72AD+85AE=262a+207b+157c+85d，
以点B为取水点，则五幢楼内的居民取水所走路程之和
=38AB+50BC+72BD+85BE=38a+207b+157c+85d，以点C为取水点，则五幢楼内的居民取水所走路程之和
=38AC+55BC+72CD+85CE=38a+93b+157c+85d，
以点D为取水点，则五幢楼内的居民取水所走路程之和
=38AD+55BD+50CD+85DE=38a+93b+143c+85d，
以点E为取水点，则五幢楼内的居民取水所走路程之和
=38AE+55BE+50CE+72DE=38a+93b+143c+215d，
以点D为取水点，五幢楼内的居民取水所走路程之和最小．
故选C．
【点拨】此题为数学知识的应用，考查知识点两点之间线段最短．
11．两点确定一条直线
【分析】由直线的公理，“两点确定一条直线”进行解题．
解：根据两点确定一条直线．
故答案为：两点确定一条直线．
【点拨】本题考查了“两点确定一条直线”的公理，难度适中．
12．
【分析】如果所有点都不在同一直线上，当仅有两个点时，可连成1条直线；当有3
个点时，可连成3条直线；当有4个点时，可连成6条直线；当有5个点时，可连成10条
直线…找到规律：当有n个点不在同一直线上时，最多可连成 条直线，即可求得点
A、B、C在同一条直线上，最多可以画 条直线．
解：如果所有点都不在同一直线上，
当仅有两个点时，最多可连成1条直线；
当有3个点时，最多可连成1+2=3条直线；
当有4个点时，最多可连成1+2+3=6条直线；
当有5个点时，最多可连成1+2+3+4=10条直线；
…；
可以得到规律：当有n个点不在同一直线上时，最多可连成 条直线，已知点A、B、C在同一条直线上，
则点A、B、C任意两点的连线都是同一条直线，
故最多可以画 条直线．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了探究图形类规律以及直线的性质：两点确定一条直线．注意讨论
点共线及不共线的情况，不要漏解．
13． 或
【分析】可分两种情况：当点C在线段AB上时，当点C在AB延长线上时，根据两点
间的距离和线段中点的定义可求解MN的长．
解：①点C在线段AB上时，如图所示：
∵点M，N分别是AB，BC的中点，
∴AM=BM= AB，
又∵AB=8cm，
∴BM=4cm，
又∵点N是BC的中点，
∴CN=BN= BC，
又∵BC=3cm，
∴BN=1.5cm，
又∵MN=BM-BN，
∴MN=4-1.5=2.5cm；
②点C在线段AB延长线上时，如图所示：
同理可求出BM=4cm，BN=1.5cm，
又∵MN=BM+BN，
∴MN=4+1.5=5.5cm；
综合所述：MN的长度为2.5cm或5.5cm，故答案为：5.5cm或2.5cm．
【点拨】本题主要考查两点间的距离，线段中点的定义，注意画出草图、分类讨论是
解决本题的关键．
14．连接AB交直线l于P
【分析】连接AB交直线l于P，根据两点之间线段最短可得AB为PA+PB的最小值，
即可得答案．
解：如图，连接AB，交直线l于P，
∵两点之间线段最短，
∴AB为PA+PB的最小值，
故答案为：连接AB交直线l于P
【点拨】本题考查作图，熟练掌握两点之间线段最短是解题关键．
15．②④
【分析】根据直线的性质及线段的性质依次分析判断．
解：①有两个钉子就可以把木条固定在墙上，是利用两点确定一条直线；
②A从地到 地架设电线，总是尽可能沿着线段 架设，是利用两点之间，线段
最短；
③植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行所在的直线，利用两点确定
一条直线；
④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，利用两点之间，线段最短．
故答案为：②④．
【点拨】此题考查了线段的性质：两点之间线段最短，理解线段的性质及直线的性质
的区别是解题的关键．
16．①②
【分析】根据直线的性质，“两点确定一条直线”和“两点之间线段最短”来判断．
解：①用两个钉子就可以把一根木条固定在墙上，可以用“两点确定一条直线”来解
释；
②植树时，只要定出两棵树的位置，就能使同一行树在一条直线上，可以用“两
点确定一条直线”来解释；③从A地到B地架设电线，只要尽可能沿着线段AB架设，就能节省材料，可以
用“两点之间线段最短”来解释；
故答案为：①②．
【点拨】本题考查了直线的性质，“两点确定一条直线”和“两点之间线段最短”．
17．情景一：两点之间，线段最短;情景二：两点确定一条直线;赞同第二种，应用科学
知识为人类服务时，应注意保护周边的环境等.（合理即可）
【分析】学校和图书馆、两根立桩之间的路线可看做是一条线段，接下来，根据根据
线段的性质来分析得出即可．
解：第一个情景是根据两点之间线段最短的原理来做的，第二个是两点确定一条直线;
我赞同第二种做法．我们利用科学的同时，必须注意保护我们周围赖以生存的生态环
境．
故答案为两点之间线段最短；两点确定一条直线;我赞同第二种做法．我们利用科学的
同时，必须注意保护我们周围赖以生存的生态环境．
【点拨】此题考查两点之间线段最短的应用，两点确定一条直线，掌握线段的性质是
解题的关键.
18．
【分析】根据连接两点的所有线中,线段最短的性质解答.
解：∵AB+AE＞BE，CD+DE＞CE，
∴AB+AE+CD+DE＞BE+CE，
即l＞m，
又BE+CE＞BC，
即m＞n，
∴ ．
【点拨】本题考查了知识点两点之间线段最短，解题的关键是熟记性质.
19．见分析
【分析】根据直线的性质，结合实际意义，易得答案．
解：如果将人眼看成一点，准星看成一点，目标看成一点，那么要想射中目标，人眼
与目标确定的这条直线应与子弹所走的直线重合，即与准星和目标所确定的这条直线重合，
即可看到哪儿打到哪儿．换句话说要想射中目标就必须使准星在人眼与目标所确定的直线
上．
【点拨】题考查直线的性质，无限延伸性即没有端点；同时结合生活中的射击场景，立意新颖，熟练掌握直线的性质是解题的关键．
20．(1)见分析(2)见分析(3)两点之间，线段最短
【分析】(1)根据直线，射线的定义画出图形即可；
(2)根据线段的定义画出图形即可；
(3)用量取法得出点E，再根据线段的性质分析即可．
(1)解：作图如下，直线AB，射线BC即为所求：
(2)解：作图如下，线段DC即为所求：
(3)解：如图：
由图可知：PE+PB+PD+PC=DE+BC，此时和最小，
理由：两点之间，线段最短，
故答案为：两点之间，线段最短．
【点拨】本题考查了作图一基本作图，直线，射线，线段的定义，两点之间线段最短
等知识，解题的关键是掌握直线，射线，线段的定义．
21．(1)22(2)
【分析】（1）先根据线段的比例得到 和 的长，再根据线段的和差得到 和的长，进而可得答案；
（2）设 ，根据线段的比例与线段的和差用含 的代数式表示出 的长，再整
理可得答案．
（1）解： ， ， ， ， ，
， ， 点 是 的中点，
， ；
（2）设 ， ， ， ， ， ，
， ， 点 是 的中点，
， ， ，解得 ． ．
【点拨】本题考查两点间的距离，解题关键是熟练掌握中点的性质和线段和差的运算．
22．(1)图见分析；(2)点M见分析，理由见分析．
【分析】（1）根据射线、直线的定义进而得出E点位置；
（2）根据线段的性质：两点之间，线段距离最短；结合题意，要使它与四个村庄的距
离之和最小，就要使它在AC与BD的交点处．
(1)解：如图所示，
(2)解：如图所示：点M即为所求．理由是两点之间，线段距离最短．【点拨】本题主要考查了作图与应用作图，关键是掌握线段的性质：两点之间，线段
距离最短．
23．CD=12
【分析】先化简多项式，再把a的值代入化简后的式子求出t的值，然后设BE为x，
根据题目的已知条件表示出AC和DE即可解答．
解：
=3a2-（-5a- a+16+2a2）
=3a2+5a+ a-16-2a2
=a2+ a-16，
当a=4时，a2+ a-16=42+ ×4-16=22，
∴t=22，
∵BE= AB，
∴设BE=x，AB=5x，
∵AD= DB，
∴AD=x，BD=4x，
∵点E是BC的中点，
∴BE=EC=x，
∴AC=AB+BE+EC=7x，
DE=DB+BE=5x，
∵3AC-2DE=t，
∴21x-10x=22，∴x=2，
∴CD=AC-AD=7x-x=6x=12．
【点拨】本题考查了两点间距离，整式的加减-化简求值，准确熟练地进行计算是解题
的关键．
24．(1)-1；1；5(2) 或 (3)6；-1；1≤x≤5
【分析】(1)根据最小的正整数为1，利用非负数的性质求出各自的值即可；
(2)分点P在0到1之间和1到2之间两种情况去掉绝对值再计算即可；
(3)分P在A点左侧、AC之间、C点右侧确定|PA|+|PC|取最小时点P的所对应的x的范
围，再确定|PB|-|PO|取最小值时点P的所对应的x的范围，同时满足上述范围的x值就是|
PA|+|PC|+|PB|-|PO|取最小值时点P对应的数x的取值范围．
(1)解：∵b是最小的正整数，
∴b=1，
∵ ，
∴ ， ．
(2)解：当点P在0到1之间时(包含0和1)，即0≤x≤1，
∴ ， ， ，
∴ ；
当点P在1到2之间时(不包含1，包含2)，即1＜x≤2，
∴ ， ， ，
∴ ．
(3)解：由题意可知： 表示数轴上的点P到点A和点C的距离之和，
当P在A，C之间时，|PA|+|PC|=|5-(-1)|=6，
当P在A点左侧时，|PA|+|PC|＞6，
当P在C点右侧时，|PA|+|PC|＞6，
∴|PA|+|PC|的最小值是6，此时对应的x的范围是：-1≤x≤5；
同理： 表示数轴上的点P到B点和到O点的距离之差，当P点为OB中点时，|PB|-|PO|=0．
当P点在O的左边时，|PB|-|PO|＞0．
当P点在B点右边时，|PB|-|PO|= -|OB| = -1．
∴|PB|-|PO|的最小值为-1，此时对应的x的范围是：x≥1；
只有|PA|+|PC|和|PB|-|PO|都取最小时，|PA|+|PC|+|PB|-|PO|才取最小值，
即x既要满足-1≤x≤5，又要满足x≥1，
∴当1≤x≤5时，|PA|+|PC|+|PB|-|PO|取最小值为6+(-1)=5．
【点拨】此题考查了数轴、非负数的性质、绝对值的几何意义、去绝对值的方法及分
类讨论的思想，熟练掌握绝对值的几何意义是解本题的关键．
