文档内容
专题 8.1 平方根【十大题型】
【人教版2024】
【题型1 平方根概念理解】......................................................................................................................................2
【题型2 求一个数的（算术）平方根】..................................................................................................................3
【题型3 求代数式的（算术）平方根】..................................................................................................................4
【题型4 由（算术）平方根求式子的值】..............................................................................................................6
【题型5 由平方根的概念解方程】..........................................................................................................................8
【题型6 由算术平方根的非负性求值】..................................................................................................................9
【题型7 估算算术平方根的取值范围】................................................................................................................11
【题型8 求算术平方根的整数部分和小数部分】...............................................................................................13
【题型9 平方根与数轴的综合】............................................................................................................................15
【题型10 算术平方根的规律探究】........................................................................................................................18
知识点：平方根
平方根：
①定义：如果x2=a(a≥0)，那么x叫做a的平方根，也称为二次方根.
②表示方法：正数a的正的平方根记作❑√a，负的平方根记作−❑√a，正数a的两个平方根记作±❑√a，读作
正、
负根号a，其中a叫做被开方数.
③性质：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
算术平方根：
(1)定义：正数a有两个平方根±❑√a，我们把正数a的正的平方根❑√a，叫做a的算术平方根．
(2)性质：①正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；
②负数没有算术平方根.当a≥0时，❑√a2=a；
③算术平方根具有双重非负性：a≥0；❑√a≥0.
【题型1 平方根概念理解】
【例1】（23-24七年级·四川泸州·期末）若实数3m−6有平方根，则m的取值范围是（ ）
1
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学科网（北京）股份有限公司A．m≤2 B．m<2 C．m>2 D．m≥2
【答案】D
【分析】此题考查了平方根的性质，根据平方根的性质求解即可．
【详解】∵实数3m−6有平方根，
∴3m−6≥0
∴m≥2．
故选：D．
【变式1-1】（23-24七年级·河南信阳·期末）若a2=6，则下列说法正确的是（ ）
A．a是6的算术平方根 B．a是6的平方根
C．6是a的平方根 D．a=❑√6
【答案】B
【分析】本题考查了平方根定义，根据平方根定义判断即可，解题的关键是正确理解平方根的定义．
【详解】解：∵a2=6，
∴a是6的平方根，
故选：B．
【变式1-2】（23-24七年级·湖北武汉·期中）写一个平方根是它本身的数 ．
【答案】0
【分析】本题考查平方根，掌握平方根的性质是解题的关键．
根据平方根的性质进行解题即可．
【详解】解：平方根是它本身的数是：0．
故答案为：0．
【变式1-3】（23-24七年级·全国·课后作业）下列各数中，不一定有平方根的是( )
A．x2＋1 B．|x|＋2 C．❑√a+1 D．|a|－1
【答案】D
【分析】根据平方根的性质解答即可.
【详解】A、∵x2＋1>0，∴该数有平方根；
B、∵|x|＋2>0，∴该数有平方根；
C、❑√a+1>0，∴该数有平方根；
D、∵|a)≥0，∴|a|－1不一定大于0，故该数不一定有平方根；
故选：D.
【点睛】此题考查了平方根的性质：正数有两个平方根，0有一个平方根是0，负数没有平方根，正确掌握
2
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学科网（北京）股份有限公司实数的大小估算确定其为正数、负数或是0是解题的关键.
【题型2 求一个数的（算术）平方根】
【例2】（23-24七年级·上海杨浦·期末）下列计算正确的是（ ）
A．−❑√(−6) 2=−6 B．(−❑√6) 2=36
√ 1 1
C．❑√16=±4 D．❑4 =2
4 2
【答案】A
【分析】根据算术平方根，平方根的意义解答即可．
本题考查了算术平方根，平方根，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】A. −❑√(−6) 2=−6，正确，符合题意；
B. (−❑√6) 2=6，错误，不符合题意；
C. ❑√16=4，错误，不符合题意；
√ 1 ❑√17
D. ❑4 = ，错误，不符合题意；
4 2
故选A．
【变式2-1】（23-24七年级·上海嘉定·期末）❑√36−5的平方根是 ．
【答案】±1
【分析】本题考查了算术平方根和平方根的意义，先根据算术平方根的意义化简，再根据平方根的意义求
解即可．
【详解】解：∵❑√36−5=6−5=1
∴❑√36−5的平方根是±❑√1=±1
故答案为：±1．
【变式2-2】（23-24七年级·全国·假期作业）按照如图所示的操作步骤，若输入x的值为3，则输出的值为
．
❑ ❑ ❑ ❑ ❑
输入→减去5→平方→加上3→开平方→输出
❑ ❑ ❑ ❑ ❑
【答案】±❑√7
【分析】根据题意，得±❑√(x−5) 2+3，当x=3时，代入计算即可．
本题考查了程序式代数式的计算，平方根的计算，熟练掌握平方根的计算是解题的关键．
3
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学科网（北京）股份有限公司【详解】根据题意，得±❑√(x−5) 2+3，
当x=3时，±❑√7．
故答案为：±❑√7．
【变式2-3】（23-24七年级·山东菏泽·期中）一个数的算术平方根是4，则比这个数多9的数的平方根是
．
【答案】±5
【分析】本题主要考查了已知一个数的算术平方根求这个数，以及求一个数的平方根，根据题意可知这个
数是42=16，比这个数多9的数是25，求25的平方根即可．
【详解】解：一个数的算术平方根是4，这个数是42=16．
比这个数多9的数是：16+9=25，
∴25的平方根为：±5，
故答案为：±5．
【题型3 求代数式的（算术）平方根】
【例3】（23-24七年级·河南洛阳·阶段练习）已知2a−1的平方根是±3，3a+b−1的算术平方根是4，
则❑√a+2b= .
【答案】3
【分析】根据平方根与算术平方根的定义即可求出答案．
【详解】由题意可知：2a-1=9，3a+b-1=16，
解得：a=5，b=2，
∴❑√a+2b=❑√9=3
【点睛】本题考查算术平方根，解题的关键是正确理解算术平方根，本题属于基础题型．
【变式3-1】（23-24春·湖北武汉·七年级校联考期中）关于x的多项式7x3−11mx2−15x+9与多项式
22x2−5nx−7相加后不含x的二次和一次项，则−(mn+n)平方根为（ ）
A．3 B．−3 C．±3 D．±❑√3
【答案】C
【分析】将两个多项式相加，根据相加后不含x的二次和一次项，求得m、n的值，再进行计算．
【详解】7x3−11mx2−15x+9＋22x2−5nx−7
＝7x3+(22−11m)x2−(15+5n)x+2
由题意知，22−11m=0， 15+5n=0，
∴m=2，n=−3，
4
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学科网（北京）股份有限公司∴−(mn+n)=−(−3×2−3)=9，
9的平方根是±3，
∴−(mn+n)平方根为±3，
故选：C．
【点睛】此题考查了整式的加减−化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键，同时考查了平方根的定
义，熟练掌握正数有两个平方根，0的平方根是0，负数没有平方根．
【变式3-2】（23-24七年级·湖北荆门·期中）如果自然数a的平方根是±m，那么a+1的平方根用m表示为
（ ）
A．±（m+1） B．（m2+1） C．±❑√m+1 D．±❑√m2+1
【答案】D
【分析】首先根据平方根性质用m表示出该自然数a，由此进一步表示出a+1，从而进一步即可得出答
案．
【详解】由题意得：这个自然数a为：m2，
∴a+1=m2+1,
故a+1的平方根用m表示为：±❑√m2+1，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平方根的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.
【变式3-3】（23-24七年级·山东德州·阶段练习）已知正数a的两个不同的平方根分别是3x−2和5x+10,
a+b−4的算术平方根是3.
(1)求a、b的值；
(2)求a−2b的平方根．
【答案】(1)a=25；b=−12
(2)±7
【分析】（1）根据算术平方根的意义，平方根的意义，计算即可．
（2）根据平方根的意义，计算即可．
本题考查了平方根，算术平方根的计算与应用，正确理解正数的两个平方根互为相反数是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得：3x−2+5x+10=0，
解得x=−1，
5
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学科网（北京）股份有限公司3x−2=−5，
(−5) 2=25，
∴a=25；
∴a+b−4=32=9，
∴25+b−4=9，
∴b=−12.
（2）±❑√a−2b=±❑√49=±7．
【题型4 由（算术）平方根求式子的值】
【例4】（23-24七年级·全国·专题练习）已知一个数的算术平方根为3m−4，它的平方根为±(m−1)，则
这个数是 ．
1
【答案】 /0.25
4
【分析】本题考查了算术平方根和平方根．解题的关键是熟练掌握算术平方根和平方根的定义．根据算术
平方根与平方根中的正平方根相等，可得方程，根据解方程，可得m的值，根据平方运算，可得答案．
【详解】解：一个数的算术平方根是3m−4，平方根是±(m−1)，
3m−4=m−1，或3m−4=1−m，
3 5
解得m= ，或m= ，
2 4
5
当m= 时，3m−4<0，不合题意，舍去，
4
1
所以(3m−4) 2= ，
4
1
故答案为： ．
4
【变式4-1】（23-24七年级·云南保山·期中）已知x=❑√25，y是4的算术平方根，则3x−2y的值为
．
【答案】11
【分析】本题主要考查的是算术平方根，代数式求值，熟练掌握相关定义是解题的关键．首先依据算术平
方根的定义求得x、y的值，从而可求得代数式3x−2y的值．
【详解】解：∵ x=❑√25，y是4的算术平方根，
∴x=5,y=2，
∴ 3x−2y=3×5−2×2=11，
6
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：11．
【变式4-2】（23-24七年级·河南新乡·期中）已知❑√1−3b与 ❑√2a+1互为相反数，求−3b+2a+6的平方
根．
【答案】±2
【分析】本题考查了算术平方根的非负性，平方根以及相反数，解一元一次方程，熟练掌握相关知识点是
解题的关键．由题意得 1−3b=0,2a+1=0，求出a、b值，即可求解．
【详解】解：∵❑√1−3b≥0，❑√2a+1≥0，
则当❑√1−3b与 ❑√2a+1互为相反数时，
只能是1−3b=0,2a+1=0，
1 1
解得：a=− ,b= ，
2 3
1 ( 1)
∴−3b+2a+6=−3× +2× − +6=4，
3 2
∴其平方根为±2．
【变式4-3】（23-24七年级·湖南永州·期末）若xm= y，则记(x,y)=m，例如32=9，于是(3,9)=2．若
(−2,a)=2，(b,8)=3，(c,a)=b，则c的值为（ ）
A．16 B．−2 C．2或−2 D．16或−16
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的乘方，根据题意和有理数的乘方可求出a，b的值，随之问题得解．
【详解】解：∵(−2,a)=2，(b,8)=3，(c,a)=b，
∴(−2) 2=a，b3=8，cb=a，
∴a=4，b=2，
∴c2=4，
∴c=±2，
故选：C．
【题型5 由平方根的概念解方程】
【例5】（23-24七年级·上海徐汇·期中）解方程：12x=−x2−36．
【答案】x=−6
【分析】本题考查了根据平方根解方程，先将方程整理为x2+12x+36=0，根据完全平方公式得出
(x+6) 2=0，再根据平方根的定义即可解答．
7
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：12x=−x2−36，
x2+12x+36=0，
(x+6) 2=0，
x+6=0，
x=−6．
【变式5-1】（23-24七年级·广西钦州·阶段练习）解方程：
(1)4x2=16；
(2)9x2−121=0．
【答案】(1)x=±2
11
(2)x=±
3
【分析】（1）方程两边同时除以4，然后根据平方根的定义解方程；
（2）先移项，然后同时除以9，根据平方根的定义解方程即可求解．
【详解】（1）4x2=16，
x2=4，
x=±2；
（2）9x2−121=0，
9x2=121，
121
x2=
，
9
11
x=± ．
3
【点睛】本题考查了根据平方根的定义解方程，正确的计算是解题的关键．
【变式5-2】（23-24七年级·贵州黔南·期中）【变式1】 解方程：
(1)25x2−49=0；
(2)2(x+1) 2−49=1．
7 7
【答案】(1)x= 或x=−
5 5
(2)x=4或x=−6
8
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【分析】（1）先将方程整理为x2=
，再利用平方根解方程即可得；
25
（2）先将方程整理为(x+1) 2=25，再利用平方根解方程即可得．
【详解】（1）25x2−49=0，
25x2=49，
49
x2=
，
25
7 7
x= 或x=− ；
5 5
（2）2(x+1) 2−49=1，
2(x+1) 2=50，
(x+1) 2=25，
x+1=5或x+1=−5，
x=4或x=−6．
【点睛】本题考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根的性质是解题关键．
【变式5-3】（23-24七年级·上海徐汇·期中）解方程：9(2x+1) 2−16(x−2) 2=0．
11 1
【答案】x =− ,x =
1 2 2 2
【分析】本题考查了根据平方根解方程，先将方程整理为9(2x+1) 2=16(x−2) 2，再根据平方根的定义将
两边开方，即可解答．
【详解】解：9(2x+1) 2−16(x−2) 2=0，
9(2x+1) 2=16(x−2) 2
3(2x+1)=4(x−2)或3(2x+1)=−4(x−2)，
11 1
解得：x =− ,x = ．
1 2 2 2
【题型6 由算术平方根的非负性求值】
【例6】（23-24七年级·江西南昌·阶段练习）已知y=❑√x−3+❑√3−x+1，则x+ y的平方根是 ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】±2
【分析】根据根式的非负性可求出x，y的值，进而可求出答案．
【详解】解：∵y=❑√x−3+❑√3−x+1，且根号下不能为负，
∴x−3=0，3−x=0，
∴x=3，
∴y=1，
∴x+ y=4，
∴x+ y的平方根是±2，
故答案为：±2．
【点睛】本题考查根式的非负性，以及计算一个数的平方根，能够根据根式的非负性计算出未知数的值是
解决本题的关键．
【变式6-1】（23-24七年级·湖南长沙·期中）若x,y为实数，且|x−3)+❑√y+4=0，则(x+ y) 2024的值为
（ ）
A．1 B．2024 C．−1 D．−2024
【答案】A
【分析】本题主要考查了非负数的性质、代数式求值，正确解得x,y的值是解题关键．根据非负数的性质
解得x,y的值，然后代入求值即可．
【详解】解：∵|x−3)+❑√y+4=0，
又∵|x−3)≥0，❑√y+4≥0，
∴x−3=0,y+4=0，
解得x=3,y=−4，
∴(x+ y) 2024=(3−4) 2024=(−1) 2024=1．
故选：A．
【变式6-2】（23-24七年级·江西新余·期中）（1）已知❑√2x−4 y−5+|2x−3)=0，求x+ y的平方根．
（2）已知a、b满足❑√2a+8+|b−❑√3)=0，解关于x的方程(a+2)x2−b2=a−1．
【答案】（1）x+ y的平方根为±1；（2）x=±1．
【分析】（1）根据非负数的性质，可求出x、y的值，然后将其代入代数式计算即可；
（2）根据非负数的性质，可求出a、b的值，然后将其代入方程，解方程即可．
【详解】解：（1）∵❑√2x−4 y−5+|2x−3)=0，
10
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学科网（北京）股份有限公司∴2x−4 y−5=0，2x−3=0，
3 1
解得x= ，y=− ，
2 2
3 1
∴x+ y= − =1，
2 2
∴x+ y的平方根为±1；
（2）∵❑√2a+8+|b−❑√3)=0，
∴2a+8=0，b−❑√3=0，
解得a=−4，b=❑√3，
∴方程为(−4+2)x2−(❑√3) 2=−4−1，
整理得x2=1，
解得x=±1．
【点睛】本题考查非负数的性质，有理数的混合运算等知识，解题的关键是熟练掌握非负数的性质的应
用．
【变式6-3】（23-24七年级·浙江杭州·期中）若❑√a−2023+|b+2023)−1=0，其中a，b均为整数，则
a+b= ．
【答案】±1
【分析】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，得出a、b可能的取值是解决此题的关键，注意分类讨
论的数学思想．先根据绝对值和算术平方根的非负性分两种情况进行讨论得出a，b的值，再代入进行计算
即可求解．
【详解】解：∵❑√a−2023+|b+2023)−1=0，其中a，b均为整数，
又∵❑√a−2023≥0，|b+2023)≥0，
①当❑√a−2023=0，|b+2023)=1时，
∴a=2023，b=−2022或b=−2024，
∴a+b=1或a+b=−1；
②当❑√a−2023=1，|b+2023)=0时，
∴a=2024或a=2022，b=−2023
∴a+b=1或a+b=−1；
故答案为：±1．
11
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学科网（北京）股份有限公司【题型7 估算算术平方根的取值范围】
【例7】（23-24七年级·新疆和田·期中）已知a， b为两个连续的整数，且12的负平方根介于a，b之
间，则a+b=
【答案】−7
【分析】此题主要考查了无理数的估算，平方根定义，掌握比较无理数估算的方法是解决问题的关键．根
据无理数的性质，得出接近无理数的整数，即可得出a,b的值，即可得出答案．
【详解】解：∵❑√9<❑√12<❑√16，即3<❑√12<4，
∴−4<−❑√12<−3，
∵a，b为两个连续的整数，且12的负平方根介于a，b之间，
∴a=−4,b=−3，
a+b=−3+(−4)=−7．
故答案为：−7．
【变式7-1】（23-24七年级·福建莆田·期末）面积为10的正方形的边长为a，则a的值在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【答案】C
【分析】本题考查了无理数的估算，先根据题意表示出a的值，再利用夹逼法估算即可．
【详解】∵面积为10的正方形的边长为a，
∴a2=10，
∴a=❑√10，
∵❑√9<❑√10<❑√16，
∴3<❑√10<4，
∴a的值在3和4之间，
故选：C．
【变式7-2】（23-24七年级·北京朝阳·期末）将边长分别1和2的长方形如图剪开，拼成一个与长方形面积
相等的正方形，则该正方形的边长最接近整数（ ）
A．4
B．3
C．1
12
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【答案】C
【分析】根据算术平方根的概念结合正方形的性质得出其边长，进而得出答案．
【详解】解：∵将边长分别为1和2的长方形如图剪开，拼成一个与长方形面积相等的正方形，
∴正方形的面积为2，
∴该正方形的边长为：❑√2，
∵1＜❑√2＜❑√2.25，
∴1＜❑√2＜1.5，
∴该正方形的边长最接近整数是：1．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了算术平方根，正确掌握算术平方根的定义是解题关键．
【变式7-3】（23-24七年级·广东汕头·单元测试）满足−❑√2−❑√11>−4
∴3>6−❑√11>2
∴7+❑√11的整数部分为10，6−❑√11的整数部分为2，
∴a=6−❑√11−2=4−❑√11
b=7+❑√11−10=❑√11−3
代入得：
(a+b) 2018=(4−❑√11+❑√11−3) 2018
=12018
=1
【题型9 平方根与数轴的综合】
【例9】（23-24七年级·全国·假期作业）实数a，b在数轴上对应点A，B的位置如图，化简
15
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|a+b|−❑√b2−❑√(a−b) 2
【答案】-2a+b/b－2a
【分析】根据数轴得出b＜0＜a，|b|＞|a|，再根据算术平方根的性质和绝对值进行计算，最后合并同类项
即可．
【详解】解：∵从数轴可知：b＜0＜a，|b|＞|a|，
∴a+b＜0，a﹣b＞0，
∴|a+b|−❑√b2−❑√(a−b) 2
＝﹣（a+b）﹣|b|﹣|a﹣b|
＝﹣a﹣b+b﹣（a﹣b）
＝﹣a﹣b+b﹣a+b
＝﹣2a+b．
故答案为：﹣2a+b
【点睛】本题考查了数轴，绝对值，算术平方根等知识点，能正确根据数轴得出b＜0＜a和|b|＞|a|是解此
题的关键．
【变式9-1】（23-24七年级·陕西咸阳·期中）已知a是5的算术平方根，则实数a在如图所示的数轴上的对
应点可能为点 ．（填“A”或“B”或“C”或“D”）
【答案】C
【分析】由于a是5的算术平方根，故a=❑√5，又❑√5≈2.236，所以2.236是在点2与2.5之间，由题图中的
数轴上可知，2.236处于点C处，即点C表示的数是❑√5．
【详解】解：由于a是5的算术平方根，
故a=❑√5，又❑√5≈2.236，
所以2.236是在点2与2.5之间，
由题图中的数轴上可知，
又2.236处于点C处，即点C表示的数是❑√5．
故答案为：C．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查概念算术平方根的应用，无理数在数轴上的表示，难点要将❑√5近似为2.236，才能更准
确确定出是在点C处．
【变式9-2】（23-24七年级·北京·期中）图，面积为7的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为
1，若点E在数轴上（点E在点A的右侧），且AB＝AE，则点E所表示的数为（ ）
2+❑√7
A．❑√7 B． C．1+❑√7 D．❑√7+2
2
【答案】C
【分析】因为面积为7的正方形ABCD边长为❑√7，所以AB=❑√7，而AB=AE，得AE=❑√7，A点的坐标为
1，故E点的坐标为❑√7+1．
【详解】∵面积为7的正方形ABCD为7，
∴AB=❑√7，
∵AB=AE，
∴AE=❑√7，
∵A点表示的数为1，
∴E点表示的数为❑√7+1，
故选：C．
【点睛】本题考查了平方根的应用，关键是结合题意求出AB=AE=❑√7．
【变式9-3】（23-24七年级·江西南昌·期中）图1是由16个边长均为1的小正方形组成的图形，我们沿图
的虚线AB，BC，CD，DA裁剪，剪成一个小正方形ABCD．
(1)在图1中，剪成的小正方形ABCD的面积为________，边AB的长为________；
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学科网（北京）股份有限公司(2)现将图1水平放置在如图2所示的数轴上，使得小正方形的顶点D与数轴上表示1的点重合，若以点D
为圆心，DA边的长为半径画圆，与数轴交于点E，求点E表示的数．
【答案】(1)10，❑√10；
(2)点E表示的数为1+❑√10或1−❑√10
【分析】本题考查了算术平方根的意义，分类讨论是解答本题的关键．
（1）用割补法可求出正方形ABCD的面积，利用算术平方根的意义可求出边AB的长；
（2）根据实数与数轴的关系求解，注意要分两种情况求解．
【详解】（1）∵由16个边长均为1的小正方形剪开后，剪成一个小正方形ABCD，
1
∴小正方形ABCD的面积为16−4× ×1×3=10；
2
∴AB2=10，
∴AB=❑√10；
故答案为10，❑√10；
（2）∵DA=AB=❑√10，
∴以点D为圆心，DA边的长为半径画圆，与数轴交于点E，点E表示的数为1+❑√10或1−❑√10．
【题型10 算术平方根的规律探究】
【例10】（23-24七年级·四川德阳·阶段练习）利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下：
⋅⋅⋅❑√0.0625❑√0.625 ❑√6.25❑√62.5 ❑√625❑√6250 ❑√62500⋅⋅⋅
⋅⋅⋅0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 ⋅⋅⋅
根据以上规律，若❑√14.4≈3.79,❑√1.44=1.2，则❑√1440=（ ）
A．37.9 B．379 C．12 D．120
【答案】A
【分析】本题考查了算术平方根和被开方数间关系，根据表格得到规律，被开方数的小数点（向左或者
右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位，则❑√1440=❑√14.4×10≈37.9．
【详解】解：由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相
应的向相同方向移动一位．
∵1440=14.4×100，
∴❑√1440=❑√14.4×10≈37.9，
故选：A．
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学科网（北京）股份有限公司❑√2 ❑√3 1 ❑√5
【变式10-1】（23-24七年级·安徽蚌埠·阶段练习）有一列数按如下规律排列：− ， ，− ， ，
2 4 4 16
❑√6 ❑√7
− ， ，…则第10个数是 ，第n个数是 ．
32 64
❑√11 ❑√n+1
【答案】 (−1) n
210 2n
【分析】本题主要考查了数字规律问题，先判断序号数为奇数的是负数，序号数为偶数的是正数，且分子
为2的序号数次方，分母为序号数加上1的算术平方根，即可得出第10个数，进而得出第n个数．
❑√2 ❑√3 ❑√3 1 ❑√4 ❑√5 ❑√5 ❑√6 ❑√6
【详解】解：∵一列数按如下规律排列：− ， = ，− =− ， = ，− =− ，
2 4 22 4 23 16 24 32 25
❑√7 ❑√7
= ，…，
64 26
∴序号数为奇数的是负数，序号数为偶数的是正数，且分子为2的序号数次方，分母为序号数加上1的算
术平方根，
❑√11 ❑√n+1
则第10个数是 ，第n个数是(−1) n ．
210 2n
❑√11 ❑√n+1
故答案为： ，(−1) n ．
210 2n
√ 2 √2 √ 3 √3
【变式10-2】（23-24七年级·广东惠州·阶段练习）观察下列各式：①❑2+ =2❑ ，②❑3+ =3❑ ，
3 3 8 8
√ 4 √ 4
③❑4+ =4❑ ，……，根据以上规律，写出第10个等式： ．
15 15
√ 11 √ 11
【答案】❑11+ =11❑
120 120
【分析】本题考查的是数字的变化规律和算术平方根，根据上述等式找出一般规律是解题的关键．
√ n+1 √ n+1
根据上述等式，得出一般规律：第n个等式为❑(n+1)+ =(n+1)❑ ，即可得出第10
(n+1) 2−1 (n+1) 2−1
个等式．
√ n+1 √ n+1
【详解】解：根据上述等式，得出一般规律：第n个等式为❑(n+1)+ =(n+1)❑ ，
(n+1) 2−1 (n+1) 2−1
√ 11 √ 11
∴第10个等式：❑11+ =11❑ ，
120 120
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学科网（北京）股份有限公司√ 11 √ 11
故答案为：❑11+ =11❑ ．
120 120
【变式10-3】（23-24七年级·安徽安庆·期末）观察下列各式：
√ 1 1 1
❑1+ + =1+ …①
12 22 1×2
√ 1 1 1
❑1+ + =1+ …②
22 32 2×3
√ 1 1 1
❑1+ + =1+ …③
32 42 3×4
请利用你所发现的规律，解决下列问题：
√ 1 1
(1)发现规律❑1+ + = ；
42 52
√ 1 1 √ 1 1 √ 1 1 √ 1 1
(2)计算❑1+ + +❑1+ + +❑1+ + +…+❑1+ + ．
12 22 22 32 32 42 20232 20242
1
【答案】(1)1+
4×5
2023
(2)2023
2024
【分析】本题考查了算术平方根的探索规律，发现所列式子的排列规律是解题的关键；
√ 1 1 1
（1）通过观察得出规律❑1+ + =1+ ，根据规律即可解答；
n2 (n+1) 2 n×(n+1)
1 1 1 1
（1）利用规律得出原式为1+ +1+ +1+ +⋯+1+ ，化简即可．
1×2 2×3 3×4 2023×2024
【详解】（1）根据规律可知，
√ 1 1 1
❑1+ + =1+ （n为正整数），
42 52 4×5
1
故答案为：1+ ；
4×5
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（2）由规律可得，原式=1+ +1+ +1+ +⋯+1+
1×2 2×3 3×4 2023×2024
( 1 1 1 1 1 1 1 )
=2023+ 1− + − + − ⋯+ −
2 2 3 3 4 2023 2024
( 1 )
=2023+ 1−
2024
2023
=2023 ．
2024
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