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第14章《整式的乘法与因式分解》备考提分专项训练（解析版）
第一部分 考前知识梳理
一、幂的乘法运算
1.同底数幂的乘法：底数_____，指数_____. am·an =______.
2.幂的乘方：底数_____，指数_____.(am)n=______.
3.积的乘方：积的每一个因式分别_____，再把所得的幂_____.(ab)n=______.
二、整式的乘法
1.单项式乘单项式：
(1)将______________相乘作为积的系数；
(2)相同字母的因式，利用__________的乘法，作为积的一个因式；
(3)单独出现的字母，连同它的______，作为积的一个因式.
注：单项式乘单项式，积为________.
2.单项式乘多项式：
(1)单项式分别______多项式的每一项；
(2)将所得的积______.
注：单项式乘多项式，积为多项式，项数与原多项式的项数______.
3.多项式乘多项式：
先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的______，再把所得的积______.
三、整式的除法
1.同底数幂的除法：
同底数幂相除：底数_____，指数_____. am÷an=______.
任何不等于0的数的0次幂都等于1. a0=am÷am=1.
三、整式的除法
2.单项式除以单项式：
单项式相除，把______、____________分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连
它的_______一起作为商的一个因式.
3.多项式除以单项式：
多项式除以单项式，就是用多项式的________除以这个________，再把所得的商______.
四、乘法公式
1.平方差公式：
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
(a＋b)(a－b)＝a2－b2
2.完全平方公式：
两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.
(a±b)2＝a2±2ab＋b2
五、因式分解
1.因式分解的定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式
分解，也叫做把这个多项式分解因式.
2.因式分解的方法：
(1)提公因式法(2)公式法：①平方差公式：_____________②完全平方公式：_____________步骤：1.提公因式；2.套用公式；3.检查分解是否彻底.
第二部分 数学思想方法
方法1 整体思想
1．（2021秋•上蔡县校级期中）阅读理解：
已知a+b＝4，ab＝3，求a2+b2的值．
解：∵a+b＝4，∴（a+b）2＝42，即a2+2ab+b2＝16．
∵ab＝3，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝10．
参考上述过程解答：
（1）若x﹣y＝﹣3，xy＝﹣2，则x2+y2＝ 5 ，（x+y）2＝ 1 ；
（2）若m+n﹣p＝﹣10，（m﹣p）n＝﹣12，求（m﹣p）2+n2的值．
【答案】（1）5，1；
（2）124．
【分析】（1）根据x﹣y＝﹣3，xy＝﹣2，可求出x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝9﹣4＝5，进而再求出（x+y）
2的值，
（2）把（m﹣p）看作一个整体，就转化为（1），再利用（1）的方法求解即可．
【思路引领】解：（1）∵x﹣y＝﹣3，xy＝﹣2，
∴x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝9﹣4＝5，
∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝5﹣4＝1，
故答案为：5，1；
（2）∵m+n﹣p＝﹣10，（m﹣p）n＝﹣12，
∴（m﹣p）2+n2＝（m﹣p+n）2﹣2（m﹣p）n＝100+24＝124．
【总结提升】本题考查完全平方公式，多项式乘以多项式，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的
前提，利用完全平方公式进行适当的变形是正确计算的关键．
方法2 方程思想
2．（2022春•安乡县期中）已知将（x3+ax+b）（x2﹣3x+4）展开的结果不含x2和x3项，求a，b的值．
【答案】a＝﹣4，b＝﹣12．
【分析】先用多项式乘多项式展开，再让x3，x2的系数为0．列方程求解．
【思路引领】解：（x3+ax+b）（x2﹣3x+4）
＝x5﹣3x4+4x3+ax3﹣3ax2+4ax+bx2﹣3bx+4b
＝x5﹣3x4+（4+a）x3+（﹣3a+b）x2+（4a﹣3b）x+4b
∵不含x3和x2项，∴4+a＝0，﹣3a+b＝0，
解得a＝﹣4，b＝﹣12．
【总结提升】本题考查了多项式乘多项式，方程思想是解题的关键．
方法3 数形结合思想
3．（2022秋•长春期末）将图1中的阴影部分剪下来，拼成如图2的长方形．
（1）上述操作能验证的等式是 B （请选择正确的一个）；
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a2+ab＝a（a+b）
（2）若x2﹣9y2＝12，x+3y＝4，求x﹣3y的值；
1 1 1 1 1 1
（3）应用公式计算：(1− )(1− )(1− )(1− )⋯(1− )(1− )．
22 32 42 52 20212 20222
【答案】（1）B；
（2）3；
2023
（3） ．
4044
【分析】（1）根据题意，由图1可得，阴影部分的面积为大正方形面积减去小正方形：a2﹣b2，由图2
可得，拼成的长方形长为a+b，宽为a﹣b，面积为（a+b）（a﹣b），因为两部分面积相等，即可得出
答案；
（2）根据平方差公式原式可化为，x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y），根据已知条件即可得出答案；
1 1 1 1 1 1 1
（3）根据平方差公式原式可化为(1+ )(1− )(1+ )(1− )⋅⋅⋅(1+ )(1− )（1+
2 2 3 3 2021 2021 2022
1 3 1 4 2 5 3 2022 2020 2023 2021
）（1− ）则 × × × × × ×⋅⋅⋅× × × × 约分即可得出答案．
2022 2 2 3 3 4 4 2021 2021 2022 2022
【思路引领】解：（1）根据题意，由图1可得，阴影部分的面积为：a2﹣b2，
由图2可得，拼成的长方形长为a+b，宽为a﹣b，面积为（a+b）（a﹣b），
所以a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：B．
（2）∵x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y）＝12，
∵x+3y＝4，
∴x﹣3y＝3；
1 1 1 1 1 1
（3）(1− )(1− )(1− )⋅⋅⋅(1− )(1− )（1− ）
22 32 42 20202 20212 20222
1 1 1 1 1 1 1 1
=(1+ )(1− )(1+ )(1− )⋅⋅⋅(1+ )(1− )（1+ ）（1− ）
2 2 3 3 2021 2021 2022 2022
3 1 4 2 5 3 2022 2020 2023 2021
= × × × × × ×⋅⋅⋅× × × ×
2 2 3 3 4 4 2021 2021 2022 2022
1 2023
= ×
2 2022
2023
= ．
4044
【总结提升】本题主要考查了平方差公式的几何背景及平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式的几何
背景平方差公式的应用进行求解是解决本题的关键．
第三部分 常考题型突破
题型1 幂的运算性质
5．（2021秋•西宁期末）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣2022）0＝﹣1 B．2022﹣1＝﹣2022
1
C．（4a）2＝8a2 D．2−2×2=
2
【答案】D
【分析】利用零指数幂，负整数指数幂的运算法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【思路引领】解：A、（﹣2022）0＝1，故A不符合题意；
1
B、2022﹣1= ，故B不符合题意；
2022
C、（4a）2＝16a2，故C不符合题意；1
D、2−2×2= ，故D符合题意；
2
故选：D．
【总结提升】本题主要考查积的乘方，零指数幂，负整数指数幂，解答的关键是对相应的运算法则的掌
握．
题型2 乘法公式
6．（2023•河口区三模）下列计算正确的是（ ）
A．m+m＝m2 B．2（m﹣n）＝2m﹣n
C．（m+2n）3＝m2+4n2 D．（m+3）（m﹣3）＝m2﹣9
【答案】D
【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．
【思路引领】解：A、原式＝2m，不符合题意；
B、原式＝2m﹣2n，不符合题意；
C、原式＝m3+6m2n+12mn2+8n3，不符合题意；
D、原式＝m2﹣9，符合题意．
故选：D．
【总结提升】此题考查了平方差公式，以及整式的加减，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
4．（2021秋•余干县期末）如图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长
方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）观察图2．请你直接写出下列三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系为 （ a + b ） 2
＝ 4 a b + （ a ﹣ b ） 2 ；
（2）运用你所得到的公式解答下列问题：
①若m，n为实数，且m+n＝﹣2，mn＝﹣3，求m﹣n的值．
②如图3，S ，S ，分别表示边长为p，q的正方形的面积，且A，B，C三点在一条直线上，若S +S ＝
1 2 1 2
20，AB＝p+q＝6，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）（a+b）2＝4ab+（a﹣b）2．
（2）①m﹣n＝4或m﹣n＝﹣4．
②8．
【分析】（1）根据图2可知大正方形面积＝四个矩形的面积+中间小正方形的面积，从而可得到关系式．
（2）①先求出（m+n）2的值，再利用第（1）问中的关系式，求解即可．
②分别用a，b表示S 、S 的值，再利用S +S ＝20，AB＝p+q＝6，即可求出pq的值，最后在求出阴影
1 2 1 2
部分的面积即可．
【思路引领】解：（1）由图可知，
大正方形面积＝四个矩形的面积+中间小正方形的面积，
即（a+b）2＝4ab+（a﹣b）2，
故答案为：（a+b）2＝4ab+（a﹣b）2．
（2）①∵m+n＝﹣2，mn＝﹣3，
∴（m+n）2＝4，
∴（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝4+12＝16，
∴m﹣n＝4或m﹣n＝﹣4．
②∵S ，S ，分别表示边长为p，q的正方形的面积，
1 2
∴S ＝p2，S ＝q2，
1 2
∵S +S ＝20，
1 2
∴p2+q2＝20，
∵AB＝p+q＝6，
∴（p+q）2＝p2+2pq+q2＝36，
∴2pq＝16，
∴pq＝8，
1
由图可知，阴影部分面积= pq•2＝pq＝8．
2
∴阴影部分面积为8．
【总结提升】本题主要考查完全平方式的运用与转化，解题的关键在于灵活运用（a+b）2＝a2+2ab+b2
求解出ab的值．
题型3 0指数幂
1
7．（2022•陕西）计算：5×（﹣3）+|−❑√6|﹣（ ）0．
7【答案】﹣16+❑√6．
【分析】根据有理数混合运算法则计算即可．
1
【思路引领】解：5×（﹣3）+|−❑√6|﹣（ ）0
7
＝﹣15+❑√6−1
＝﹣16+❑√6．
【总结提升】此题考查了实数的混合运算，零指数幂，熟练掌握有理数混合运算的法则是解题的关键．
题型4 分解因式
8．将下列多项式因式分解，结果中不含有x+2因式的是（ ）
A．x2﹣4 B．x2+2x C．x2+2 D．x2+4x+4
【答案】C
【分析】利用提公因式法与公式法进行分解即可判断．
【思路引领】解：A．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），故A不符合题意；
B．x2+2x＝x（x+2），故B不符合题意；
C．x2+2，结果中不含有x+2因式，故C符合题意；
D．x2+4x+4＝（x+2）2，故D符合题意；
故选：C．
【总结提升】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握平方差公式和完全平方公式的特征
是解题的关键．
题型5 整式的化简求值
9．（2022秋•鹤壁期末）先化简，再求值：[（x+2y）（x﹣2y）﹣（x+4y）2]÷4y，其中x＝3，y＝1．
【答案】﹣5y﹣2x，﹣11．
【分析】直接利用乘法公式化简，再合并同类项，进而把已知数据代入得出答案．
【思路引领】解：原式＝[x2﹣4y2﹣（x2+8xy+16y2）]÷4y
＝（x2﹣4y2﹣x2﹣8xy﹣16y2）÷4y
＝（﹣20y2﹣8xy）÷4y
＝﹣5y﹣2x，
当x＝3，y＝1时，
原式＝﹣5×1﹣2×3
＝﹣5﹣6
＝﹣11．【总结提升】此题主要考查了整式的混合运算—化简求值，正确掌握整式的混合运算法则是解题关键．
第四部分 全章模拟测试
一、选择题
1．（2023春•长春期末）下列运算正确的是（ ）
A．（ab）3＝ab3 B．a8÷a2＝a4 C．（a2）3＝a5 D．a2•a3＝a5
【答案】D
【分析】根据积的乘方、幂的乘方，同底数幂的乘法、同底数幂的除法运算法则分别进行计算求解．
【思路引领】解：A、（ab）3＝a3b3≠ab3，本选项不符合题意；
B、a8÷a2＝a8﹣2＝a6≠a4，本选项不符合题意；
C、（a2）3＝a2×3＝a6≠a5，本选项不符合题意；
D、a2•a3＝a2+3＝a5，本选项符合题意．
故选：D．
【总结提升】本题考查了积的乘方、幂的乘方，同底数幂的乘法、同底数幂的除法的运算法则，熟练掌
握这些运算法则是解答本题的关键．
2．（2022秋•任城区期中）下列从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
1 1
A．a2+a+ =（a+ ）2 B．6a3b＝3a2•2ab
4 2
C．a2﹣b2+1＝（a+b）（a﹣b）+1 D．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9
【答案】A
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
【思路引领】解：A．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
B．从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C．从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意．
故选：A．
【总结提升】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项
式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
3．（2022秋•江油市期中）已知多项式x﹣a与2x2﹣2x+1的乘积中不含x2项，则常数a的值是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【答案】A【分析】先根据多项式的乘法法则展开，再根据题意，二次项的系数等于0，列式求解即可．
【思路引领】解：（x﹣a）（2x2﹣2x+1）＝2x3+（﹣2﹣2a）x2+（2a+1）x﹣a，
∵不含x2项，
∴﹣2﹣2a＝0，
解得a＝﹣1．
故选：A．
【总结提升】本题主要考查多项式与多项式的乘法，运算法则需要熟练掌握，不含某一项就让这一项的
系数等于0是解题的关键．
4．（2022秋•乳山市期中）多项式x2y+2xy与x2y﹣4y的公因式是（ ）
A．y B．x+2 C．x﹣2 D．y（x+2）
【答案】D
【分析】先对多项式式x2y+2xy与x2y﹣4y进行因式分解，再根据公因式的定义解决此题．
【思路引领】解：x2y+2xy＝xy（x+2），x2y﹣4y＝y（x+2）（x﹣2），
∴多项式x2y+2xy与x2y﹣4y的公因式是y（x+2）．
故选：D．
【总结提升】本题主要考查运用公式法进行因式分解以及公因式的定义，熟练掌握运用公式法进行因式
分解以及公因式的定义是解决本题的关键．
5．（2022秋•永春县期中）如果x2+kx+25是一个完全平方式，那么k的值是（ ）
A．5 B．±10 C．10 D．±5
【答案】B
【分析】这里首末两项是x和5这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和5的积的2倍，故k＝
±2×5＝±10．
【思路引领】解：由于（x±5）2＝x2±10x+25＝x2+kx+25，
∴k＝±10．
故选：B．
【总结提升】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个
完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
6．（2021春•东明县期中）已知xa＝2，xb＝3，则x3a+b的值是（ ）
A．17 B．72 C．24 D．36
【答案】C
【分析】利用同底数幂的乘法法则和幂的乘方与积的乘方的逆运算解答即可．【思路引领】解：x3a+b
＝x3a•xb
＝（xa）3•xb
＝23×3
＝8×3
＝24．
故选：C．
【总结提升】本题主要考查了同底数幂的乘法法则和幂的乘方与积的乘方，利用幂的乘方与积的乘方的
逆运算解答是解题的关键．
1
7．（2016•镇江二模）若代数式( k−1) k−2=1，则k可以取的值是（ ）
2
A．2 B．2或4 C．0、2、4 D．0或4
【答案】D
【分析】根据零指数幂的意义和有理数的乘方解答即可．
1 k−2
【思路引领】解：∵( k−1) =1，
2
1 k−2
∴当k＝2时，( k−1) 没有意义；
2
1 k−2
当k＝0时，( k−1) =（﹣1）﹣2＝1；
2
1 k−2
当k＝4时，( k−1) =12＝1．
2
即k可以取的值是0或4．
故选：D．
【总结提升】本题主要考查了零指数幂和有理数的乘方，解题的关键是掌握零指数幂的意义和有理数的
乘方的运算方法．
8．（2022秋•南安市期中）已知a＝2020x+2020，b＝2020x+2021，c＝2020x+2022，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac
﹣bc的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】由a，b，c的值，求出a﹣b，a﹣c，b﹣c的值，原式利用完全平方公式变形后代入计算即可
求解．【思路引领】解：∵a＝2020x+2020，b＝2020x+2021，c＝2020x+2022，
∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，
1
则原式= (2a2+2b2+2c2−2ab−2ac−2bc)
2
1
= [(a2−2ab+b2 )+(a2−2ac+c2 )+（b2﹣2bc+c2）]
2
1
= [(a−b) 2+(a−c) 2+(b−c) 2 ]，
2
1
= ×(1+4+1)=3，
2
故选：D．
【总结提升】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
9．（2023春•新城区校级期末）因式分解：9x﹣4x3＝ x （ 3+ 2 x ）（ 3 ﹣ 2 x ） ．
【答案】x（3+2x）（3﹣2x）．
【分析】原式提取公因式即可得到结果．
【思路引领】解：原式＝x（9﹣4x2）＝x（3+2x）（3﹣2x）．
故答案为：x（3+2x）（3﹣2x）．
【总结提升】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
10．（2022秋•莱西市期中）已知正方形的面积是（16﹣8x+x2）cm2（x＞4），则正方形的周长是 （ 4 x
﹣ 1 6 ） cm．
【答案】（4x﹣16）．
【分析】由正方形面积求出边长，再根据周长公式可得正方形周长．
【思路引领】解：∵16﹣8x+x2＝（x﹣4）2（x＞4），
∴正方形的边长为x﹣4，
∴正方形的周长是4（x﹣4）＝（4x﹣16）cm，
故答案为：（4x﹣16）．
【总结提升】本题考查完全平方公式，解题的关键是掌握正方形的面积，周长与边长的关系．
11．（2022春•单县期末）已知x+y＝5，x2+y2＝11，则xy＝ 7 ．
【答案】7．
【分析】根据句完全平方公式即可求出答案．
【思路引领】解：∵（x+y）2＝x2+y2+2xy，
∴25＝11+2xy，∴xy＝7，
故答案为：7．
【总结提升】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．
12．（2022春•海州区期中）已知单项式2x3y2与﹣5x2y2的积为mxny4，那么m﹣n＝ ﹣ 1 5 ．
【答案】﹣15．
【分析】将两单项式相乘后利用待定系数即可取出m与n的值．
【思路引领】解：∵2x3y2•（﹣5x2y2）＝﹣10x5y4，
∴mxny4＝﹣10x5y4，
∴m＝﹣10，n＝5．
∴m﹣n＝﹣10﹣5＝﹣15．
故答案为：﹣15．
【总结提升】本题考查单项式乘以单项式，解题的关键是熟练运用整式的乘法法则，本题属于基础题型．
13．（2022秋•南召县期中）已知多项式2x3﹣4x2﹣10除以一个多项式A，得商式为2x，余式为x﹣10，求
1
这个多项式A是 x 2 ﹣ 2 x− ．
2
1
【答案】x2﹣2x− ．
2
【分析】根据整式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．
【思路引领】解：由题意可知：A＝[2x3﹣4x2﹣10﹣（x﹣10）]÷2x
＝（2x3﹣4x2﹣10﹣x+10）÷2x
＝（2x3﹣4x2﹣x）÷2x
1
＝x2﹣2x− ．
2
1
故答案为：x2﹣2x− ．
2
【总结提升】本题考查整式的除法，解题的关键是熟练运用整式的乘除运算以及加减运算，本题属于基
础题型．
14．（2021春•盐湖区校级期末）定义一种新运算（a，b），若ac＝b，则（a，b）＝c，例（2，8）＝3，
（3，81）＝4．已知（3，5）+（3，7）＝（3，x），则x的值为 3 5 ．
【答案】35．
【分析】设3m＝5，3n＝7，根据新运算定义用m、n表示（3，5）+（3，7），得方程，求出x的值．【思路引领】解：设3m＝5，3n＝7，
依题意（3，5）＝m，（3，7）＝n，
∴（3，5）+（3，7）＝m+n．
∴（3，x）＝m+n，
∴x＝3m+n
＝3m×3n
＝5×7
＝35．
故答案为：35．
【总结提升】本题考查了幂的乘方、积的乘方等知识点，理解并运用新运算的定义是解决本题的关键．
15．（2022•古浪县校级开学）因式分解：
（1）（a+b）x2﹣（a+b）；
（2）9（a+b）2﹣4（a﹣b）2．
【答案】（1）（a+b）（x+1）（x﹣1）；
（2）（5a+b）（a+5b）．
【分析】（1）先提公因式，然后再利用平方差公式继续分解即可解答；
（2）利用平方差公式进行分解即可解答．
【思路引领】解：（1）（a+b）x2﹣（a+b）
＝（a+b）（x2﹣1）
＝（a+b）（x+1）（x﹣1）；
（2）9（a+b）2﹣4（a﹣b）2
＝[3（a+b）+2（a﹣b）][3（a+b）﹣2（a﹣b）]
＝（3a+3b+2a﹣2b）（3a+3b﹣2a+2b）
＝（5a+b）（a+5b）．
【总结提升】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，
必须先提公因式．
16．（2023春•淄博期末）计算：（1）a4+（﹣2a2）3﹣a8÷a4；
（2）a3•a+（﹣3a3）2÷a2；
（3）（2x﹣3y）2﹣（y+3x）（3x﹣y）；
（4）（a﹣2b+3）（a+2b﹣3）．
【答案】（1）﹣8a6；（2）10a4；
（3）﹣5x2﹣12xy+10y2；
（4）a2﹣4b2+12b﹣9．
【分析】（1）先算乘方，再算除法，最后合并同类项；
（2）先算乘方，再算乘除，最后合并同类项；
（3）先用完全平方公式和平方差公式展开，再去括号合并同类项；
（4）先用平方差公式，再用完全平方公式．
【思路引领】解：（1）原式＝a4﹣8a6﹣a4
＝﹣8a6；
（2）原式＝a4+9a6÷a2
＝a4+9a4
＝10a4；
（3）原式＝4x2﹣12xy+9y2﹣（9x2﹣y2）
＝4x2﹣12xy+9y2﹣9x2+y2
＝﹣5x2﹣12xy+10y2；
（4）原式＝a2﹣（2b﹣3）2
＝a2﹣（4b2﹣12b+9）
＝a2﹣4b2+12b﹣9．
【总结提升】本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式相关运算的法则．
17．（2022秋•奉贤区期中）根据所学我们知道：可以通过用不同的方法求解长方形面积，从而得到一些
数学等式．如图1可以表示的数学等式：（a+m）（b+n）＝ab+an+bm+mn，请完成下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式： （ a + 1 ）（ a + 2 ）＝ a 2 + 3 a + 2 ．
（2）从图3可得（a+b）（a+b+c）＝ a 2 + 2 a b + b 2 + a c + b c ．
（3）结合图4，已知a+b+c＝6，a2+b2+c2＝14，求ab+bc+ac的值．
【答案】（1）a2+3a+2；（2）a2+2ab+b2+ac+bc；（3）11．【分析】（1）（2）根据题意利用面积公式计算即可求解；
（3）首先根据面积公式得到（a+b+c）（a+b+c）＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，然后利用已知条件即可求
解．
【思路引领】解：（1）（a+1）（a+2）＝a2+a+2a+2＝a2+3a+2；
故答案为：a2+3a+2；
（2）（a+b）（a+b+c）＝a2+b2+ab+ab+ac+bc＝a2+2ab+b2+ac+bc；
故答案为：a2+2ab+b2+ac+bc；
（3）根据题意得；（a+b+c）（a+b+c）＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
而a+b+c＝6，a2+b2+c2＝14
∴6×6＝14+2ab+2ac+2bc，
∴ab+bc+ca＝11．
【总结提升】此题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是正确理解题意，然后根据题意求解．
18．（2021秋•莆田期末）“回文”是汉语特有的一种使用词序回环往复的修辞方法，正着读，倒着读，
文字一样，韵味无穷．例如：处处飞花飞处处，潺潺碧水碧潺潺．数学中也有像回文联一样的“回文等
式”，例如，以下是三个两位数乘两位数的“回文等式”：
21×24＝42×12，
31×26＝62×13，
12×84＝48×21．
（1）下列选项中能构成“回文等式”的是 CDE ．（填上所有正确的序号）
A.18×31与13×81
B.46×32与63×24
C.46×96与69×64
D.22×454与454×22
E.31×286与682×13
（2）请写出两位数乘两位数的“回文等式”的一般规律，并用所学数学知识证明．
【答案】（1）CDE；
（2）回文等式左右两边的两个两位数中十位数的积等于个位数的积；理由见解答．
【分析】（1）根据回文等式的定义判断即可；
（2）用字母表示数证明即可．
【思路引领】解：（1）A选项，18×31＝558，13×81＝1053，558≠1053，故该选项不符合题意；
B选项，46×32和63×24不是回文等式，故该选项不符合题意；C选项，46×96＝4416，69×64＝4416，故该选项符合题意；
D选项，22×454＝454×22，故该选项符合题意；
E选项，31×286＝8866，682×13＝8866，故该选项符合题意；
故答案为：CDE；
（2）回文等式左右两边的两个两位数中十位数的积等于个位数的积，
理由如下：设回文等式左边的两个两位数为10a+b，10c+d，
其中a，b，c，d为小于10的正整数，
依题意得：（10a+b）（10c+d）＝（10d+c）（10b+a），
∴100ac+10ad+10bc+bd＝100bd+10ad+10bc+ac，
∴99ac＝99bd，
∴ac＝bd．
【总结提升】本题考查了多项式乘多项式，新定义问题，掌握多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每
一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加是解题的关键．
