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第16章 二次根式过关测试卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。）
1．下列各式中，与❑√2是同类二次根式的是（ ）
A．❑√4 B．❑√8 C．❑√16 D．❑√20
【答案】B
【分析】本题考查了同类二次根式，先将各个选项化为最简二次根式再和❑√2比较即可
【详解】A. ❑√4 =2，与❑√2不是同类二次根式，此项错误
B. ❑√8 =2❑√2与❑√2是同类二次根式，此项正确
C.❑√16=4与❑√2不是同类二次根式，此项错误
D.❑√20=2❑√5与❑√2不是同类二次根式，此项错误
故选：B．
2．下列运算中，正确的是（ ）
A．❑√24÷❑√6=2 B．❑√25=±5 C．5❑√2−❑√2=5 D．❑√5÷❑√3=❑√2
【答案】A
【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式的运算法则是解题的关键．
根据二次根式的运算法则对各选项进行解答即可．
【详解】解：A、❑√24÷❑√6=2，正确，符合题意；
B、❑√25=5，原计算错误，不符合题意；
C、5❑√2−❑√2=4❑√2，原计算错误，不符合题意；
❑√15
D、❑√5÷❑√3= ，原计算错误，不符合题意，
3
故选：A．
3．若 a⋅2❑√3=6，则a的值为（ ）
❑√2 ❑√3
A．❑√2 B．❑√3 C． D．
2 2
【答案】B
6
【分析】本题考查的是二次根式的除法运算，根据乘法的意义可得a= =❑√3.
2❑√3
【详解】解：∵a⋅2❑√3=6，6
∴a= =❑√3，
2❑√3
故选：B
4．估计❑√72−2❑√8的值应在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的减法，无理数的估算，先计算出结果是估算的前提．先
计算❑√72和2❑√8的差，再估算结果的大小即可．
【详解】解：❑√72−2❑√8=3❑√8−2❑√8=❑√8，
∵❑√4<❑√8<❑√9，
∴2<❑√8<3，
∴2<❑√72−2❑√8<3，
∴❑√72−2❑√8的值应在2和3之间，
故选：B．
√ 1
5．将(x−1)❑ 根号外的因式移到根号内，结果为（ ）
1−x
A．❑√1−x B．−❑√1−x C．❑√x−1 D．−❑√x−1
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是根据题意得出1−x>0．根据
二次根式的性质进行化简即可．
1
【详解】解：∵ >0，
1−x
∴1−x>0，
√ 1
∴(x−1)❑
1−x
√ 1
=−(1−x)❑
1−x
√ 1
=−❑√(1−x) 2❑
1−x
√(1−x) 2
=−❑
1−x
=−❑√1−x；
故选：B．6．如图，在一个长方形中无重叠的放入面积为32cm2和2cm2的两个正方形，则图中阴影
部分的面积为（ ）
A．6cm2 B．8cm2 C．6❑√2cm2 D．12cm2
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的混合运算的应用，先求出阴影部分的长和宽，再根据长
方形的面积公式计算即可得解．
【详解】解：由图可得，阴影部分的长为❑√32−❑√2=4❑√2−❑√2=3❑√2cm，
阴影部分的宽为：❑√2cm，
∴图中阴影部分的面积为3❑√2×❑√2=6cm2，
故选：A．
7．当a是怎样的实数时，❑√2a+3在实数范围内有意义（ ）
3 3 3 3
A．a≤− B．a≠− C．a≥− D．a≥
2 2 2 2
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，即被开方数非负．根据被开方数非负得到
2a+3≥0，再解不等式即可．
【详解】解：由题意得2a+3≥0，
3
解得：a≥− ，
2
故选：C．
8．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简 的结果是（ ）
|a)−❑√(a−b) 2
A．−2a+b B．2a−b C．−b D．b
【答案】C
【分析】此题考查了利用数轴比较数的大小，化简算术平方根，化简绝对值，正确利用
数轴比较数的大小是解题的关键．由数轴知，a<00，，进一步得出a+c<0，c−b<0，再根据算术平方根、绝
对值、立方根的定义计算即可，解题的关键是熟练掌握这些知识点．
【详解】由数轴得，c0，
∴a+c<0，c−b<0，
❑√(a+c) 2+❑√b2−|c−b)+√3 c3
=−a−c+b+c−b+c
=c−a，
故答案为：c−a．
16．对于任意两个正数a，b，定义运算※为：a※b=¿，计算(8※3)×(18※27)的结果
为 ．【答案】3−3❑√6
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算， 利用新定义得到
(8※3)=❑√8+❑√3=2❑√2+❑√3，(18※27)=❑√18−❑√27=3❑√2−3❑√3，然后利用乘
法公式展开后合并即可．
【详解】解：∵a※b=¿，
∴(8※3)=❑√8+❑√3=2❑√2+❑√3，(18※27)=❑√18−❑√27=3❑√2−3❑√3 ，
∴(8※3)×(18※27)
=(2❑√2+❑√3)(3❑√2−3❑√3)
=2❑√2×3❑√2−2❑√2×3❑√3+3❑√2×❑√3−3❑√3×❑√3
=12−6❑√6+3❑√6−9
=3−3❑√6，
故答案为：3−3❑√6．
三、解答题（本题共6小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（12分）计算：
(1)
❑√2×❑√8−3(❑√3+2)
(2)❑√48−3❑√27+2❑√12
(3)
(❑√6) 2 −❑√25+❑√(−3) 2−|❑√3−2)
【答案】(1)−2−3❑√3；
(2)−❑√3；
(3)2+❑√3
【分析】本题考查二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键：
（1）根据二次根式的混合运算法则计算即可；
（2）根据二次根式的混合运算法则计算即可；
（3）根据二次根式的混合运算法则计算即可．
【详解】（1）解：
❑√2×❑√8−3(❑√3+2)
=4−3❑√3−6
=−2−3❑√3
（2）解：❑√48−3❑√27+2❑√12=4❑√3−3×3❑√3+2×2❑√3
=4❑√3−9❑√3+4❑√3
=−❑√3
（3）解：
(❑√6) 2 −❑√25+❑√(−3) 2−|❑√3−2)
=6−5+3−(2−❑√3)
=4−2+❑√3
=2+❑√3．
18．（8分）如图，有一块矩形木板，木工沿虚线在木板上截出两个面积分别为18dm2和
32dm2的正方形木板．
(1)求原矩形木板的面积；
(2)求剩余木料的周长．
【答案】(1)56dm2
(2)8❑√2dm
【分析】本题主要考查二次根式的应用，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
（1）根据二次根式的性质分别求出两个正方形的边长，再求出原矩形木板的长为
7❑√2dm，宽为4❑√2dm，进而根据矩形的面积得到答案；
（2）求出剩余木料的长为3❑√2dm，宽为❑√2dm，进而可得出答案．
【详解】（1）解：（1）∵两个正方形的面积分别为18dm2和32dm2，
∴这两个正方形的边长分别为❑√18=3❑√2dm，❑√32=4❑√2dm，
∴原矩形木板的长为3❑√2+4❑√2=7❑√2dm，宽为4❑√2dm，
∴原矩形木板的面积为7❑√2×4❑√2=56dm2；
（2）解：剩余木料的长为3❑√2dm，宽为4❑√2−3❑√2=❑√2dm，
∴剩余木料的周长为 ．
2(3❑√2+❑√2)=8❑√2dm
19．（8分）已知a，b满足❑√a−5+❑√15−3a=2b−8．
(1)求a，b的值；
(2)求❑√a+b的平方根．【答案】(1)a=5，b=4
(2)±❑√3
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件以及平方根的求解，根据题意得
a−5≥0,15−3a≥0是解题关键．
（1）由题意得a−5≥0,15−3a≥0，即可得a=5，从而可求b=4；
（2）求解❑√9即3的平方根即可；
【详解】（1）解：由题意得：a−5≥0,15−3a≥0，
解得：a≥5,a≤5，
∴a=5，
∴2b−8=0，
解得：b=4；
（2）解：❑√a+b=❑√5+4=❑√9=3，
∴❑√a+b的平方根为±❑√3．
20．（6分）先化简，再求值：( 2 ) m2−2m+1，其中 ．
1− ÷ m=❑√3−1
m+1 m−1
1 ❑√3
【答案】 ，
m+1 3
【分析】此题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是首先将括号里面通分，再将
分子与分母分解因式，将除法转化为乘法，约分得到最简结果，最后把m的值代入进
行计算即可．
m+1−2 (m−1) 2
【详解】解：原式= ÷
m+1 m−1
m−1 m−1
= ·
m+1 (m−1) 2
1
= ；
m+1
当m=❑√3−1时，
1 1 ❑√3
原式= = = ．
❑√3−1+1 ❑√3 3
5 2
21．（8分）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如 ， 一样的式子，其实我
❑√3 ❑√3+1
5 5×❑√3 5
们还可以将其进一步化简： = = ❑√3．
❑√3 ❑√3×❑√3 32
=
2×(❑√3−1)
=
2×(❑√3−1)
=❑√3−1 ．
❑√3+1 (❑√3+1)(❑√3−1) (❑√3) 2 −12
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．请用分母有理化解答下列问题：
2
(1)化简： ；
❑√5+❑√3
1 1 1 1
(2)化简： + + +⋅⋅⋅+ ．
❑√3+1 ❑√5+❑√3 ❑√7+❑√5 ❑√2n+1+❑√2n−1
【答案】(1)❑√5−❑√3
❑√2n+1−1
(2)
2
【分析】（1）根据分母有理数化简即可；
（2）根据分母有理数化简即可．
【详解】（1）解：原式= 2(❑√5−❑√3) ；
=❑√5−❑√3
(❑√5+❑√3)(❑√5−❑√3)
❑√3−1+❑√5−❑√3+❑√7−❑√5+⋅⋅⋅+❑√2n+1−❑√2n−1
（2）解：原式=
2
❑√2n+1−1
= ．
2
【点睛】本题考查分母有理化，正确计算是解题的关键．
22．（10分）先阅读下面的解答过程，再解决问题．
形如❑√m±2❑√n的化简，只要我们找到两个数a、b(a>b>0)，使a+b=m,ab=n，
这样 ，于是 ；
(❑√a) 2+(❑√b) 2=m,❑√a⋅❑√b=❑√n ❑√m±2❑√n=❑√(❑√a±❑√b) 2=❑√a±❑√b
举例：化简❑√8+2❑√15
解：这里m=8,n=15
∵3+5=8,3×5=15
即 ，
(❑√3) 2+(❑√5) 2=8,❑√3×❑√5=❑√15
∴❑√8+2❑√15=❑√(❑√3+❑√5) 2=❑√3+❑√5
用上述例题的方法化简：
(1)❑√7+2❑√10
(2)❑√3−2❑√2【答案】(1)❑√2+❑√5
(2)❑√2−1
【分析】此题主要考查了二次根式的乘法与化简正确运用完全平方公式是解题关键．
（1）直接利用完全平方公式将原式变形进而化简得出答案；
（2）直接利用完全平方公式将原式变形进而化简得出答案．
【详解】（1）解：∵2+5=7,2×5=10，
即 ，
(❑√2) 2+(❑√5) 2=7,❑√2×❑√5=❑√10
∴❑√7+2❑√10
=❑√(❑√2+❑√5) 2
=❑√2+❑√5；
（2）解：∵2+1=3,2×1=2，
即 ，
(❑√2) 2+(❑√1) 2=3,❑√2×❑√1=❑√2
∴❑√3−2❑√2
=❑√(❑√2−❑√1) 2
=❑√2−1．
