文档内容
第 23 章 旋转全章复习攻略与检测卷
【目录】
倍速学习四种方法
【3个概念】
1.旋转的定义
2.中心对称的定义
3.中心对称图形的定义
【2个性质】
1.旋转的性质
2.中心对称和中心对称图形的性质
【1个设计】
图案设计
【2种思想】
1.分类讨论思想
2.转化思想
【检测卷】
【倍速学习四种方法】
【3 个概念】
1.旋转的定义
1.（2022秋•镇海区校级期中）如图，在正方形网格中，△ABC绕某点旋转一定的角度得到△A′B′C′，
则旋转中心是点（ ）A．O B．P C．Q D．M
【分析】根据旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，可得对应点连线的垂直平分线的交点即为旋
转中心．
【解答】如图，连接BB′，AA′可得其垂直平分线相交于点P，
故旋转中心是P点．
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质，对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心，熟练掌握旋转中心的
确定方法是解题的关键．
2.中心对称的定义
2.（2023秋·河北邢台·九年级统考期末）如图， 和 关于点 成中心对称．
(1)找出它们的对称中心 ；
(2)若 ，求 的周长；
【答案】(1)见解析
(2)15【分析】（1）连接 ， ，其交点就是对称中心 ；
（2）依据 和 关于点 成中心对称，即可得到 ，进而得出 的周长
【详解】（1）解：如图所示，点 即为所求；
（2）解： 和 关于点 成中心对称，
，
， ， ，
的周长 ；
答： 的周长为15．
【点睛】本题主要考查了中心对称，正确掌握中心对称图形的性质是解题关键．
3.中心对称图形的定义
3.下面四个手机应用图标中，属于中心对称图形的是（ ）
A B C D
【答案】B
【解析】根据中心对称图形的概念进行判断即可．
A.图形不是中心对称图形；
B.图形是中心对称图形；
C.图形不是中心对称图形；
D.图形不是中心对称图形，故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分
折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
4.如图,正方形网格中的每个小正方形边长都是1,每个小方格的顶点叫做格点,以格点为顶点分别按下列要
求画三角形.(1)在图1中,画出一个三角形,使它的三边长都是无理数,并通过旋转或轴对称作出一个中心对称图形;
(2)在图2中,画出一个直角三角形,使它的三边长都是整数,并通过旋转或轴对称作出一个中心对称图形;
(3)在图3中,画出一个中心对称图形.
【解析】(1)答案不唯一,如三边长分别为2❑√2、❑√10、❑√10,如图1.
(2)三边长分别为3、4、5,如图2.
(3)答案不唯一,如画一个平行四边形,如图3.
【2 个性质】
1.旋转的性质
5．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图， 为 的平分线，且 ，将四边形 绕
点 逆时针方向旋转后，得到四边形 ，且 ，则四边形 旋转的角度是 ．
【答案】
【分析】根据角平分线的性质可得 ，根据旋转的性质可得 ，
，求得 ，即可求得旋转的角度．
【详解】∵ 为 的平分线， ，
∴ ，
∵将四边形 绕点 逆时针方向旋转后，得到四边形 ，
∴ ， ，∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，旋转的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键．
6．（2023春·浙江金华·九年级校联考阶段练习）如图，四边形 是边长为5的正方形，E是 上一
点， ，将 绕着点A顺时针旋转到与 重合，则 ．
【答案】
【分析】根据旋转得旋转角为 ,可知 ， ，然后根据勾股定理求出 即可求
出 ．
【详解】根据旋转得旋转角为 , ，
，
， ，
，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及勾股定理，根据旋转得出 ， 是解题的关键．
7．（2023春·浙江金华·九年级校考阶段练习）如图，在 中， ，将 绕点B按逆时针方向
旋转 后得到 ，则阴影部分的面积为 ．【答案】25
【分析】过A作 于D，根据旋转的性质得出 ， ，利用含30度角的直角
三角形的性质得出 ，结合图形得出 即可求解．
【详解】解：过A作 于D，如图：
在 中， ，将 绕点B按逆时针方向旋转 后得到 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，且 ，
∴ ，故答案为：25．
【点睛】题目主要考查旋转的性质及含30度角的直角三角形的性质，结合图形，熟练掌握旋转的性质是解
题关键．
8．（2023·浙江丽水·统考一模）将含有 角的直角三角板 如图所示放置在平面直角坐标系中，
在 轴上，若 ，将三角板绕原点 顺时针旋转 ，则点 的对应点 的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据含 的直角三角形的性质以及勾股定理求出 、 、 的长度，画出三角板绕原点
顺时针旋转 ，过点 作 轴于点 ，然后证明 ，即可得出答案．
【详解】解：如图，分别过点 、 作 轴、 轴于点 、 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ 轴、 轴，
∴ ，
∵ ，∴ ，
由旋转的性质可得 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴点 的对应点 的坐标为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理解直角三角形，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质
定理是解本题的关键．
2.中心对称和中心对称图形的性质
9．（2020秋·福建龙岩·九年级龙岩二中校考期中）若点 与点 关于原点成中心对称，
则 的值是（ ）
A．1 B．0 C． D．2
【答案】A
【分析】直接利用关于原点中心对称的性质得出m，n的值，代入 求解即可．
【详解】解： 点 与点 关于原点成中心对称，
， ，
解得： ， ，
，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了关于原点中心对称的性质，关于原点中心对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反
数．
10．（2022秋·黑龙江绥化·九年级校考期中）求直线 关于点 成中心对称的直线的解析式
．【答案】
【分析】在直线 上取两点 ， ，求出 关于点 的对称点 ， ，
再根据待定系数法求解即可．
【详解】解：在直线 上取两点 ，
则 关于点 的对称点为 ， ，
设直线 为：
则 ，解得
即
即直线 关于点 成中心对称的直线的解析式为
故答案为：
【点睛】此题考查了待定系数法求解函数解析式，解题的关键是正确求得直线上 ， 两点的坐标．
11．（2020秋·福建龙岩·九年级龙岩二中校考期中）如图，已知 ， 与
关于点C成中心对称，则 的长是 ．
【答案】
【分析】利用全等三角形的性质以及勾股定理即可解决问题．
【详解】解：∵ 与 关于点C成中心对称，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
在 中， ，故答案为： ．
【点睛】本题考查中心对称，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知
识．
12．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图， 与 关于点 成中心对称， ， ，
，则 ．
【答案】1
【分析】根据中心对称的性质，得出 ， ，再根据勾股定理求出 ，即可求解．
【详解】解：∵ 与 关于点 成中心对称， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴根据勾股定理可得： ，
∴ ，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了中心对称的性质，勾股定理，解题的关键在掌握成中心对称图形的对应边相等，
对应角相等，以及勾股定理的内容．
13．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图， 与 关于点 成中心对称，有以下结论：①点
与点 是对称点；② ；③ ；④ ．其中正确结论的个数为 ．
【答案】 个【分析】根据 与 关于点 成中心对称，可得 ，点 是对应点连线的中点，
可证 ，由此即可求解．
【详解】解：∵ 与 关于点 成中心对称，
∴ ，
∵线段 ， ， 交于点 ，即点 是对应点连线的中点，
∴结论①点 与点 是对称点，正确；
结论② ，
∵点 是中心对称，
∴点 线段 的中点，
∴ ，结论②正确；
结论③ ，
∵ ，
∴ ，
在 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，结论③正确；
结论④ ，
∵ 与 关于点 成中心对称，
∴ ， ，
的关系不确定，结论④错误；
综上所述，正确的①②③， 个，
故答案为： 个．
【点睛】本题主要考查成中心对称图形的特点，掌握中心对称的概念及性质是解题的关键．
【1 个设计】
图案设计14．（2023•岳池县模拟）下列四个图都是由16个相同的小正方形拼成的正方形网格，其中的两个小正方
形被涂黑．请你在各图中再将两个空白的小正方形涂黑使各图中涂黑部分组成的图形成为轴对称图形
（另两个被涂黑的小正方形的位置必须全不相同），并画出其对称轴．
【分析】根据轴对称图形的性质，沿一条直线对折直线两旁部分完全重合，即可得出答案．
【解答】解：答案不唯一，如图所示：
【点评】本题考查利用轴对称设计图案，利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称
的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．
15．（2023•岳池县模拟）认真观察下面四幅图中阴影部分构成的图案，回答下列问题．
（1）请你写出这四个图案都具有的两个共同特征：
特征1： ；
特征2： ．
（2）请你借助下面的网格，设计出三个不同图案，使它也具备你所写出的上述特征．（注意：新图案
与以上四幅图中的图案不能相同）【分析】（1）观察发现四个图形都是轴对称图形，且面积相等；
（2）根据两个特征解决问题即可．
【解答】解：（1）这四个图案都具有的两个共同特征是：都是轴对称图形，阴影部分面积都为4；
故答案为：都是轴对称图形，阴影部分面积都为4；
（2）如图：
．
【点评】此题主要考查了利用轴对称图形设计图案，关键是掌握利用轴对称的作图方法来作图，通过变
换对称轴来得到不同的图案．
16.（2022秋·广东河源·九年级校考阶段练习）亦姝家最近买了一种如图（ ）所示的瓷砖．请你用 块如
图（ ）所示的瓷砖拼铺成一个正方形地板，使拼铺的图案成中心对称图形，请在图（ ）、图（ ）中各
画出一种拼法．（要求：①两种拼法各不相同，②为节约答题时间，方便扫描试卷，所画图案阴影部分用
黑色斜线表示即可，③弧线大致画出即可）
【分析】根据中心对称图形的画法，即可分别画得．
【详解】解：画图如下：
【点睛】此题主要考查了利用旋转设计图案以及中心对称设计图案，正确把握中心对称图形的定义是解题
关键．
【2 种思想】1.分类讨论思想
17．（2023·浙江金华·统考一模）如图，已知 和 为等腰直角三角形， ，
， ，连接 、 ．在 绕点A旋转的过程中，当 所在的直线垂直于 时，
_______．
【答案】 或
【分析】①当点 在点 上方时，先判断出四边形 是矩形，求出 ，再根据勾股定
理求出， ，得出 ；
②当点 在点 下方时，同①的方法得， ， ，进而得出 ，即
可得出结论．
【详解】∵ 为等腰直角三角形， ，
，
①当点 在点 上方时，如图③，
过点 作 交 的延长线于 ，
当 时，可证 ，
，
，
，四边形 是矩形，
，
矩形 是正方形，
，
在 中，根据勾股定理得， ，
．
②当点 在点 下方时，如图④
同①的方法得， ， ，
，
综上所述， 的长为 或 ．
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，勾股定理，正方形和矩形的性质与判定，解题
的关键是能够根据题意进行分情况讨论．
18．（2023·云南昆明·云南师范大学实验中学校考模拟预测）已知正方形 中，点 在边 上，
， 如图所示 把线段 绕点 旋转，使点 落在直线 上的点 处，则 、 两点的距
离为 ．
【答案】 或
【分析】分点 在线段 上，和点 在线段 的延长线上两种情况讨论，再证明
，得 即可．
【详解】解：在正方形 中， ， ，
，，
当点 旋转得到 点，
，
在 和 中
，
，
，
，
当点 旋转得到 点，同理可得 ，
，
．
故 、 两点的距离为 或 ．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，三角形全等的判定，本题的关键是运用分类讨论的思想方法．
19．（2020秋·福建龙岩·九年级龙岩二中校考期中）正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：
(1)作出 绕点A逆时针旋转 的 ．
(2)作出 关于原点O成中心对称的 ．
(3)请直接写出以 、 、 为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3) 或 或
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质，分别画出点B、C的对应点 、 ，从而得到 ；
（2）利用关于原点对称的点的坐标特征分别写出 、 和 的坐标，然后描点即可得到 ．
（3）分类讨论：分别以 、 、 为对角线画平行四边形，然后写出对应的第四个顶点D的坐标
即可．
【详解】（1）解：如图， 为所作；（2）解：如图， 为所作；
（3）解：如图，以 为对角线时，点 向上平移1个单位，得到点 的坐标为 ；
以 为对角线时，点 向下平移1个单位，得到点 的坐标为 ；
以 为对角线时，点A 向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到点 的坐标为 ，
1
即点D的坐标为： 或 或 ，
故答案为： 或 或 ．
【点睛】本题考查了旋转图形的作法：充分运用网格特点画旋转图形．利用平移和分类讨论的思想解决
（3）小题．
2.转化思想
20．（2023春·甘肃武威·九年级校考阶段练习）【问题背景】（1）如图1，点E、F分别在正方形
的边 、 上， ，连接 ，则有 ，试说明理由；
【迁移应用】（2）如图2，四边形 中， ， ，点E、F分别在边 、 上，
，若 ， 都不是直角，且 ，试探究 、 、 之间的数量关系；
【联系拓展】（3）如图3，在 中， ， ，点D、E均在边 上，且
，猜想 、 、 满足的等量关系．（直接写出结论，不需要证明）．【答案】（1）见解析；（2） ，见解析；（3）
【分析】（1）把 绕点A逆时针旋转90°至 ，然后利用SAS证明 ，由此可得
．
（2）把 绕点A逆时针旋转90°至 ，然后利用SAS证明 ，由此可得
．
（3）把 旋转到 的位置，连接 ，先根据SAS证明 ，由此可得 ，
．又由 可得 ．因此 是直角三角形，由此可得
，因此 ．
【详解】（1）如图1，
∵ ， ，
∴把 绕点A逆时针旋转90°至 ，可使 与 重合，如图1，
∵ ，
∴ ，点F，D、G共线，
则 ， ，
，
即 ，
在 和 中， ，∴ ，
∴ ；
（2） ，理由如下：如图2，
∵ ， ，
∴把 绕点A逆时针旋转90°至 ，可使 与 重合，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，点F、D、G共线
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
即： ，
（3） ，
理由是：把 旋转到 的位置，连接 ，则 ， ．∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
则在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．通过旋转变换构造全等三角
形是解题的关键．本题还运用了转化的思想：要想证明两条较短线段之和等于第三条线段，需要将这两条
线段转化到一条直线上，希望多加体会．
【检测卷】
一、单选题
1．（2023秋·广东汕头·九年级汕头市潮阳实验学校校考阶段练习）点 关于原点的对称点Q的坐标
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】根据“关于原点对称的点的坐标关系，横坐标与纵坐标都互为相反数”，即可求解．
【详解】解：∵关于原点对称的点的坐标关系，即横坐标与纵坐标都互为相反数，
∴点 关于原点的对称点 的坐标是 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点坐标的关系．解题的关键在于熟练掌握关于原点对称的点的关系．
2．（2023春·江苏镇江·八年级校考阶段练习）如图，，将 绕点 按逆时针方向旋转 后得到
，若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据图形旋转的性质可知 ，据此即可求得答案．
【详解】解：根据图形旋转的性质可知 ，
∴ ．
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，解题的关键是明确旋转角的意义，对应边旋转后的夹角等于旋转角．
3．（2023秋·吉林长春·八年级校考开学考试）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】根据轴对称图形、中心对称图形的定义进行判断即可．
【详解】解：A. 该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B.该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C.该图形既不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选： D．
【点睛】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形
沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个
点旋转 ，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
4．（2023·海南·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为 ，将
绕着点B顺时针旋转 ，得到 ，则点C的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点 作 ，由题意可得： ， ，再利用含30度直角三角形的性
质，求解即可．
【详解】解：过点 作 ，如下图：
则
由题意可得： ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ 点的坐标为 ，
故选：B
【点睛】此题考查了旋转的性质，坐标与图形，含30度直角三角形的性质，以及勾股定理，解题的关键是
作辅助线，构造出直角三角形，熟练掌握相关基础性质．
5．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图在 中， ， ，将 绕点B逆时针
旋转得到 ，点C的对称点 恰好落在变 上，连接 ，则 度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据三角形内角和定理求出 的度数，再根据旋转的性质得出 ，
，得出 的度数即可求解．
【详解】解：在 中， ， ，
∴ ，
∵将 绕点B逆时针旋转得到 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握等边对等角，数形结合．
6．（2023春·江苏苏州·八年级校考开学考试）如图，面积为1的正方形 绕点 逆时针旋转 后得
到正方形 ，边 与 交于点 ，则四边形 的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先得出正方形边长为1， ， 根据勾股定理求出 ，则 ，
根据 ，即可求解．
【详解】解：∵正方形 面积为1，
∴正方形边长为1， ，
根据勾股定理可得： ，
∵正方形 绕点 逆时针旋转 后得到正方形 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，解题的关键是掌握勾股定理：直角三角
形两直角边平方和等于斜边平方；旋转前后对应边相等；正方形四边相等．
7．（2023春·河南郑州·八年级校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，将正方形 绕O点顺时针
旋转 后，得到正方形 ，以此方式，绕O点连续旋转2023次得到正方形 ，如果点
C坐标为 ，那么点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由图形可知：点 在以 为圆心，以 为半径的圆上运动，再由旋转可找出每次 点的坐标，
然后发现规律，进而得出答案．
【详解】解：∵点C坐标为 ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
连接 ，如图：由勾股定理得： ，
由旋转的性质得：
，
∵将正方形 绕O点顺时针旋转 后，得到正方形 ，
，
……
发现是8次一循环，则 ，
∴点 的坐标为 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，坐标与图形，勾股定理等知识，其中找出点坐标的规律
是解题的关键．
8．（2023秋·安徽芜湖·九年级校考开学考试）如图，已知 为 的角平分线，且 ， 为
延长线上一点， ．过点 作 于点 ，则下列结论：① 可由 绕点 旋转
而得到；② ；③ ；④ ；正确的个数为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】由“ ”可证 ，可得 可由 绕点 旋转而得到，故①正确；由全等三
角形的性质可得 ，故②正确；由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求
，故③正确；通过证明 ，可得 ，由线段的和差关系可求解，故④
正确，即可求解．
【详解】解：① 为 的角平分线，
，
在 和 中，
，
，
可由 绕点 旋转而得到，
故①正确；
② ，
，
，
故②正确；
③ ， ， ，
，
，
，
，故③正确；④过 作 于 点，
是 上的点，
，
在 和 中，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
故④正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知
识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
9．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，在 中， ， ，现以 为边在 的下方作
正方形 并连接 ，则 的最大值为（ ）A． B．6 C． D．
【答案】B
【分析】将 绕点 逆时针旋转 得 ，连接 ，则 是等腰直角三角形， ，再
利用三角形三边关系可得答案．
【详解】解：将 绕点 逆时针旋转 得 ，连接 ，
则 是等腰直角三角形， ，
，
在 中， ，
的最大值为 ，
即 的最大值为6，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，三角形三边关系等知识，熟练掌握旋转的性质是解
题的关键．
10．（2023秋·广东深圳·九年级校联考开学考试）如图，平行四边形 中， ， ，
， 是边 上一点，且 ， 是边 上的一个动点，将线段 绕点 逆时针旋转 ，
得到 ，连接 、 ，则 的最小值是（ ）A．4 B． C． D．
【答案】C
【分析】取 的中点 ，连接 ， ， ，作 交 的延长线于 ，根据三角形全等的判
定与性质可以得到 ，由三角形三边关系可得 ，利用勾股定理求出 的值即可得到
解答．
【详解】解：如图，取 的中点 ，连接 ， ， ，作 交 的延长线于 ，
由题意可得： ， ，
点 是 的中点，
，
，
，
是等边三角形，
， ， ，
，
， ，
，
，
，
点 的运动轨迹是射线 ，， ， ，
，
，
，
在 中， ， ， ，
，
在 中， ，
，
的最小值为 ；
故选C．
【点睛】本题考查平行四边形与旋转的综合应用，熟练作出辅助线并掌握旋转的性质、三角形全等的判定
与性质、三角形三边关系及勾股定理的应用是解题关键．
二、填空题
11．（2023春·河南焦作·八年级焦作市实验中学校考阶段练习）如图，将等腰 绕点 逆时针旋转
后得到 ．若 ，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】如图所示，设 与 交于D，根据旋转的性质推出
，进而得到 ，利用含30度角的直角三角
形的性质和勾股定理求出 ，则 ．【详解】解：如图所示，设 与 交于D，
由题意得， ，
由旋转的性质可得 ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，
正确求出 的长是解题的关键．
12．（2023秋·广东广州·九年级校考开学考试）如图，点 在正方形 的 边上，将 绕点
顺时针旋转 得到 ，若四边形 的面积为 25， ，则 的长度为 ．
【答案】
【分析】利用旋转的性质得出四边形 的面积等于正方形 的面积，进而可求出正方形的边长，再利用勾股定理得出答案．
【详解】解： 将 绕点 顺时针旋转 得到 ，
四边形 的面积等于正方形 的面积等于25，
，
，
中， ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，正确利用旋转的性质得出对应边关系是解题关键．
13．（2023春·重庆南岸·八年级重庆市南坪中学校校联考期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标是
，作点A关于原点的对称点，得到点 ，再将点 向上平移3个单位，得到点 ，则点 的坐标
是 ．
【答案】
【分析】先根据关于原点对称点的坐标特征“横纵坐标互相相反数”，求出 ，再根据平移的坐标
变换规律“上加下减，左减右加”求得 ．
【详解】解：∵点A关于原点的对称点 ， ，
∴ ，
∵将点 向上平移3个单位，得到点 ，
∴ ，即 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化——中心对称和平移，正确求出点 的坐标是解题的关键．
14．（2023秋·江苏南通·九年级校考开学考试）如图，在 中， ，将
以点A为中心，逆时针旋转 得到 ，则线段 的长度为 ．【答案】
【分析】连接 ，作 于F，根据旋转变换的性质得到 ， ，根据等边三角形
的性质得到 ，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可．
【详解】解：连接 ，作 于F，
由旋转变换的性质可知， ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由勾股定理得， ，
∴ ，
由勾股定理得， ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是旋转变换的性质、等边三角形的判定和性质，掌握旋转变换对应点到旋转中心的距
离相等、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解题的关键．15．（2023春·河南新乡·八年级校考期末）如图，正方形 的边长为 ，对角线 ， 交于点 ，
正方形 从初始位置 边 与 重合时 ，绕点 顺时针旋转 ，边 ，
分别与正方形 的边 ， 交于点 ， 点 ， 不与正方形 的顶点重合 ．有下列三
个结论：① ；② 与 的面积和是 ；③四边形 周长的最小值为 ．以上
结论正确的为 (填序号)．
【答案】①②③
【分析】由正方形性质可证得 )，得出 ， ，故①正确；再根据全等三
角形性质可得 ，即可判断②正确；由四边形 周长 可得当
且仅当 ，旋转角 时， 的值最小，即四边形 周长最小，即可判断③正确．
【详解】解： 四边形 、四边形 是正方形，
， ， ，
，
，
)，
， ，故①正确；
，
，故②正确；
四边形 周长 ，
当且仅当 ，旋转角 时， 的值最小，即四边形 周长最小，
此时， ，四边形 周长的最小值 ，故③正确；
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，点到直线的距离垂线段
最短等，熟练掌握以上知识是解题的关键，
16．（2023秋·福建福州·九年级福州华伦中学校考阶段练习）如图， 中， ， ，
，现将 绕点 逆时针旋转30°得到 ，延长 ， 相交于点 ，则 的长是
．
【答案】
【分析】等边对等角，得到 ，旋转得到 ， ，进而推出
，过点 作 ，利用含30度角的直角三角形的性质和等腰直角三角形的
性质，分别求出 ，即可得解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵将 绕点 逆时针旋转30°得到 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
过点 作 ，则： ，在 中， ，
∴ ，
∴ ，
在 ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关性质，
添加辅助线构造特殊图形，是解题的关键．
17．（2023秋·山东菏泽·九年级校考开学考试）如图， 是正方形 边 的中点， 是正方形内一
点，连接 ，线段 以 为中心逆时针旋转 得到线段 ，连接 ．若 ， ，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】连接 ，将 以 中心，逆时针旋转 ， 点的对应点为 ，由 的运动轨迹是以 为圆
心， 为半径的半圆，可得： 的运动轨迹是以 为圆心， 为半径的半圆，再根据“圆外一定点到圆上任一点的距离，在圆心、定点、动点，三点共线时定点与动点之间的距离最短”，所以当 、 、 三点共
线时， 的值最小，可求 ，从而可求解．
【详解】解，如图，连接 ，将 以 中心，逆时针旋转 ， 点的对应点为 ，
的运动轨迹是以 为圆心， 为半径的半圆，
的运动轨迹是以 为圆心， 为半径的半圆，
如图，当 、 、 三点共线时， 的值最小，
四边形 是正方形，
， ，
是 的中点，
，
，
由旋转得： ，
，
，
的值最小为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，动点产生的线段最小值问题，掌握相关的性
质，根据题意找出动点的运动轨迹是解题的关键．18．（2023秋·四川成都·九年级校考开学考试）如图，在平行四边形 中， ， ，点
E为射线 上一动点，连接 ，将 绕点B逆时针旋转 得到 ，连接 ，则 的最小值为
．
【答案】
【分析】以 为边向下作等边 ，连接 ，在 上取一点 式的 ，证明 ，
推出 ，根据垂线段最短可知，当 时， 的值最小，利用勾股定理求解 即可求解．
【详解】解：如图，以 为边向下作等边 ，连接 ，在 上取一点 使得 ，
∵ ， ，
∴
∴
∴
根据垂线段最短可知，当 时， 的值最小，
∵四边形 时平行四边形
∴
∵
∴ ，
∵
∴ ，
∵∴
∵
∴
∴
设 ，则 ，
在 中，
∴
解得
∴
即 的最小值为
故答案为：
【点睛】本题考查了旋转的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂
线段最短，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化
的思想思考问题．
三、解答题
19．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在 中， ， ，D是 边上一点
（点D与A，B不重合），连接 ，将线段 绕点C按逆时针方向旋转 得到线段 ，连接 交
于点F，连接 ．
(1)求证： ；
(2)当 时，求 的度数．【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由题意可知： ， ，由于 ，所以 ，
，所以 ，从而可证明 ；
（2）由 可知： ， ，从而可求出 的度数．
【详解】（1）解：由题意可知： ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ；
（2）∵ ， ，
∴ ，
由（1）可知： ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转性质，等腰三角形等边对等角等知识点，熟练掌握全
等三角形的判定与性质是解本题的关键．
20．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在 中，点E在 边上， ，将线段 绕A点旋
转到 的位置，使得 ，连接 ， 与 交于点G．(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】由旋转的性质可得 ，利用 证明 ，根据全等三角形的对应边相等即可得
出 ；
（2）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出 ，那么 ，由
，得出 ，再根据三角形外角的性质即可求出 ．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵将线段 绕A点旋转到 的位置，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理及三角
形外角的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
21．（2023春·山东济宁·九年级统考期中） 在平面直角坐标系中的位置如图所示， 的顶点都在格点上，点 的坐标为 ．
按要求解答下列问题：
(1)画出 关于原点 对称的 ，并写出点 的坐标；
(2)画出 关于 轴对称的 ，并直接写出 与 位置关系；
(3)求 的面积．
【答案】(1)作图见解析，
(2)见解析
(3)
【分析】（1）利用关于原点对称的点的坐标特征得到坐标，然后描点即可；
（2）利用关于 对称的点的坐标特征得到点的坐标即可；
（3）用矩形的面积减去三个直角三角形的面积计算即可．
【详解】（1）画图：如图所示； ．
（2）画图：如图所示；关于y轴对称．
（3）
【点睛】本题考查了作图一旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相
等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的
图形．也考查了轴对称变换．
22．（2023春·山东聊城·八年级校考阶段练习）如图，在 中， ，将
绕点A逆时针旋转得到 ，并使点 落在 边上，连接 ，求 的长．
【答案】
【分析】根据旋转的性质并利用勾股定理进行求解即可.
【详解】解：∵ ,
∴根据勾股定理得： ，
由旋转的性质可知，
，，
【点睛】本题主要考查勾股定理及旋转的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键.
23．（2023秋·福建福州·九年级校考阶段练习）如图，将 绕点A顺时针旋转 得到 ，点B的
对应点为D．
(1)作出旋转后的图形（尺规作图，保留作图痕迹）；
(2)连接 ，若 ，请判断直线 是否经过点E，并说明理由．
【答案】(1)作图见解析
(2)直线 经过点E，理由见解析
【分析】（1）分别以点A、B为圆心， 为半径画弧交于点D，分别以A、C为圆心， 为半径画弧交
于点E，再连接A、D、E即可求解；
（2）由旋转的性质可得 ， ， ，可得 是等边三角形，从而求
得 ，再由 ，可得 ，再由 ，可证
点E、C、B在一条直线上，即可得出结论．
【详解】（1）解：如图， 即所求；
（2）解：由旋转的性质可得， ， ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴点E、C、B在一条直线上，
∴直线 经过点E．
【点睛】本题考查作图−旋转变换、旋转的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解题
的关键．
24．（2023秋·江苏淮安·八年级校考期末）在 中， ， ，将 绕点A按顺时针
方向旋转得到 ，旋转角为α ，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E．
(1)如图,当 时，连接 、 ，并延长 交 于点F，则 ;
(2)当 时，请画出图形并求出 的长；
(3)在旋转过程中，过点D作 垂直于直线 ，垂足为点G，连接 ．当 ，且线段
与线段 无公共点时，请猜想四边形 的形状并说明理由．
【答案】(1)
(2)作图见解析，
(3)四边形 为菱形，理由见解析【分析】（1）证明 是等边三角形，得到点B、E在 的中垂线上，进而求解；
（2）依据题意画图，如图1，证明 ，得到 ， ，即可求解；
（3）证明 ， ，则四边形 为平行四边形，而 ，从而可得出结论．
【详解】（1）解：∵ 绕点A按顺时针方向旋转 得到 ，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴点B、E在 的中垂线上，
∴ 是 的中垂线，
∵点F在 的延长线上，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， 是等边三角形， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解：依据题意画图如图1，过点E作 于点G，过点C作 于点H，∵ ， ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，∵ ， ,
则 ；
（3）解：如图，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，且 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴四边形 为平行四边形，
∵ ，
∴四边形 为菱形．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定、旋转的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质和
等边三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质，熟练运用相关性质是解题的关键．
25．（2023秋·河北保定·九年级校考开学考试）【动手操作】某班数学课外兴趣小组将直角三角板 （
， ）的直角顶点O放置在另一块直角三角板 （ ， ）的斜
边 的中点处，并将三角板 绕点O任意旋转．(1)【发现结论】当三角板 的两边 分别与另一块三角板的边 ， 交于点 时：
①如图1，当 时， 与 的数量关系为______；
②小组成员发现当 与 不垂直时（如图2所示）， 与 之间仍然存在①中数量关系，请你说明
理由；
③小组成员嘉淇认为在旋转过程中，四边形 的面积 与 的面积 之间始终保持一种不变的关
系，他们之间的关系是______，并说明理由；
(2)【探究延伸】如图3，连接 ，直角三角板 在绕点O旋转一周的过程中，若 ，
，直接写出线段 长的最小值和最大值．
【答案】(1)① ②理由见解析③ ，理由见解析
(2) 长的最小值是 ，最大值是
【分析】（1）①连接 ，由已知可证四边形 是正方形，即可得 ；②连接 ，证明
，即得 ；③由 ，知 ，故
，四边形 的面积始终保持不变；
（2）由 ， ， ， ， ， ，求出
， ，当点 ， ， 在一条直线上，且点 在点 和点 之间时，线
段 长的最小，此时线段 长的最小值为 ；当点 ， ， 在一条直线上，且点， 在
点 和点 之间时，线段 长的最大，此时线段 长的最大值为 ．【详解】（1）解：① ，理由如下：
连接 ，如图：
，
四边形 是矩形，
， ， 为 中点，
，
，
，
，
四边形 是正方形，
，
故答案为： ；
② ，理由如下：
连接 ，如图：
， ， 为 中点，
， ， ，，
，
在 和 中，
，
，
；
③ ，理由如下：
，
，
，
不变，
四边形 的面积始终保持不变，即 ，
故答案为： ；
（2）如图：
， ， ， ， ， ，
， ，
在 中， ，
当点 ， ， 在一条直线上，且点 在点 和点 之间时，线段 长的最小，如图：此时线段 长的最小值为 ；
当点 ， ， 在一条直线上，且点， 在点 和点 之间时，线段 长的最大，如图：
此时线段 长的最大值为 ，
答： 长的最小值是 ，最大值是 ．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积的计算，正确
地作出辅助线是解题的关键．
26．（2023秋·重庆渝中·八年级重庆市求精中学校校考开学考试）已知 、 ，其中 ，
， ，将 绕着点B旋转．
(1)当 旋转到图1位置，连接 、 交于点 ，连接 ；
①探究线段 与线段 的关系；
②证明： 平分 ；
(2)当 旋转到图2位置，连接 、 ，过点 作 于点 ，交 于点 ，证明：．
【答案】(1)① ， ，见解析；②见解析
(2)见解析
【分析】（1）①证明 ，即可得证；②证明 ，再根据全等三角形对
应边上的高相等，推出 ，可得结论；
（2）在 上截取 ，使 ，连接 ，用 证明 ，再证明 ，可
得结论．
【详解】（1）解： ， ，
，
，
又 ， ，
，
， ，
，
，
，
；
②证明：如图，过点 作 于点 ， 于点 ，
，
，
又 ， ，，
又 ， ，
（全等三角形对应边上的高相等），
平分 ；
（2）证明：在 上截取 ，使 ，连接
，
，
，
，
又 ，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
，．
【点睛】本题属于旋转变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中
位线定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
