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2025-2026 学年八年级下册数学单元自测
第十九章 二次根式·能力提升
建议用时：60分钟，满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各式 ， ， ， 中是二次根式的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键；根据二次根式的定义，
“形如 的式子”，逐一判断各表达式即可．
【详解】解：下列各式 ， ， ， 中是二次根式的有 ， ，共2个；
故选B．
2．下列各式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式的定义．
同类二次根式需化简后根号内的数相同，比较各选项化简后与 的根号内的数是否一致．
【详解】解：A： ，根号内3，与 不是同类二次根式；
B： ，无根号，与 不是同类二次根式；
C： ，根号内2，与 不是同类二次根式；
D： ，根号内5，与 是同类二次根式；
故选：D．
3．下列计算正确的是（ ）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 1 / 23A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次根式的运算，掌握相关知识是解决问题的关键．根据二次根式的运算法则逐一判断
即可．
【详解】解：A： ，故A错误；
B： ，故B错误；
C： ，故C错误；
D： ，故D正确．
故选：D．
4．估算 的结果在（ ）
A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，无理数的估算，先计算出 的结果，再根据
无理数的估算方法求解即可．
【详解】解：
，
∵ ，
∴ ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 2 / 23∴ ，
故选：D．
5．把 根号外的因式移入根号内，下列结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件判断字母的符号，
再正确移动根号外的因式．
先根据二次根式有意义的条件确定 的符号，再将根号外的负因式处理符号后，平方移入根号内进行化简．
【详解】解：∵ ，
∴ ．
∴ = ．
故选：C．
6．若 的整数部分是a，小数部分是b，求 的值为（ ）
A． B．3 C．5 D．
【答案】B
【分析】本题考查了无理数的估算，求代数式的值，估算出 ，从而可得 ， ，代入
所求式子计算即可得解，正确估算出 是解此题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ 的整数部分是a，小数部分是b，
∴ ， ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 3 / 23∴ ，
故选：B．
7．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，化简绝对值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
先观察数轴得 ，则 ，再化简 ，即可作答．
【详解】解：观察数轴得 ，
则 ，
∴
，
故选：A．
8．如果a满足 ，那么 的值为（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、绝对值的化简，掌握二次根式的被开方数是非负数，根据取
值范围化简绝对值是解题的关键．
本题由方程中的 可知 ，从而 ，代入原方程化简后平方求解 ，再
计算 的值．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 4 / 23【详解】解：∵ 有意义
∴ ，即
∵
∴
代入原方程：
化简得：
两边平方：
∴ ．
∴ ．
故选：C．
9．对于任意的正数m、n定义运算 ： 计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了新定义运算，二次根式的加减运算．根据定义，分别计算 和 ，再求和即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ；
∴
．
故选：B．
10．已知代数式 ，其中a，b，c，d，x均为正整数，且x不是完全平方数．若
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 5 / 23，且m，n为正整数．则下列说法正确的个数（ ）
①若 ，则 ，
②若 ，且 ，则不存在任何的m，n满足条件；
③若 ，则M，N共有4种结果．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】本题考查二次根式的混合运算，根据x不是完全平方数，得到 为无理数，得到 时，
，进而得到 判断①；根据 且 ，得到 ，进而推出 ，
判断②；根据 ，得到 ，求出正整数解，进行判断即可．
【详解】解：∵x不是完全平方数，
∴ 为无理数，
∵ ，其中a，b，c，d，x均为正整数，
∴当 时， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；故①正确；
当 且 时，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 均为正整数，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 6 / 23∴ 为正整数，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
不存在正整数 ，使 ；
故不存在任何的m，n满足条件；故②正确；
当 时，则 ，
∴ ，
∵ 均为正整数， ，
∴ 或 ，
当 时，则 ， ， ，
不存在正整数 满足条件；
当 时，则 或 ， ， ，或 ，
∴ 或 ；
当 时， ；满足题意；
当 时， ；满足题意；
∴M，N共有2种结果；故③错误；
故选C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．函数 中的自变量的取值范围是 ．
【答案】
且
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，根据分母不能为零，且二次根式的
被开方数必须非负，得到关于 的不等式，解不等式求出自变量的取值范围．
【详解】解： 函数 有意义，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 7 / 23可得： ，
解得： 且 ；
故答案为： 且 ．
12．如果最简二次根式 与 是同类二次根式，则 .
【答案】5
【分析】本题主要考查同类二次根式，熟练掌握同类二次根式是解题的关键；根据同类二次根式的定义，
被开方数必须相等，列出方程求解即可．
【详解】解：∵最简二次根式 与 是同类二次根式，
∴ ，
解得 ，
∴当 时， ，符合最简二次根式的定义．
故答案为5．
13．比较大小： （填“ ”“ ”或“ ”）．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较，熟练掌握“通过平方转化为有理数（或含根式的整式）比
较大小”是解题的关键．
通过平方两个根式表达式，比较平方值的大小，进而判断原式的大小关系．
【详解】解：设 ， ．
∵ ，
，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 8 / 23∵ 均为正数，
∴ ，即 ，
故答案为： ．
14．若 ，化简 ．
【答案】
【分析】本题主要考查二次根式的性质及化简、完全平方公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先判
断 ， ，再根据二次根式的性质化简，进而得出答案．
【详解】解：原式 ，
，
， ，
原式
．
故答案为： ．
15．已知 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了代数式的化简求值，二次根式有意义的条件的应用是解题的关键．
先利用二次根式有意义求得 与 的值，然后把 与 的值代入变形后的代数式求值即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 9 / 23．
故答案为： ．
16．古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦一秦
九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记 ，那么这个三角形的面积为
．若 ， ， ，其面积S的小数部分为m，则m的值为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了代数式求值，利用二次根式的性质进行化简等知识．熟练掌握利用二次根式的性质进
行化简是解题的关键．将各值代入计算求解即可．
先计算半周长 ，再代入公式求面积S，最后估算 的整数部分并求小数部分 ．
【详解】解：
由题意， ，
，
由于 ，
所以S的整数部分为 ，小数部分 或 ．
故答案为： 或 ．
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；
共9小题，共72分）
17．计算：
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 10 / 23(1) ：
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算；
（1）根据平方差公式与二次根式的除法进行计算即可求解；
（2）根据二次根式混合运算进行计算即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．某校有一块形状为正方形的绿地（如图），其边长为 米．现在要在正方形绿地内修建四个大
小、形状相同的长方形花坛，每个花坛的长为 米、宽为 米，除去修建花坛的地方，其它地
方全部修建成通道，求通道的总面积．
【答案】通道的总面积为 ．
【分析】本题考查了二次根式的应用，根据通道的总面积等于正方形面积减去 个花坛面积，进行列式计
算，即可作答．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 11 / 23【详解】解：由题意得，通道的总面积为：
故通道的总面积为 ．
19．求当 ， 时，下列代数式的值．
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】本题考查了二次根式的运算，分母有理化，平方差公式，代数式求值，掌握知识点的应用是解题
的关键．
（ ）先求出 ， ，然后把 化为 ，再代入求解即可；
（ ）先求出 ， ，然后把 化为 ，再代入求解即可．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 12 / 23（2）解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
20．对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下： ．如 ．
(1)求 的值．
(2)求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，实数的运算，理解新定义运算法则是解题的关键．
（1）根据新定义运算法则计算 ；
（2）根据新定义运算法则计算 ．
【详解】（1）解：由题意，得：
．
故 的值为 ．
（2）解：由（1）可知， ，
∴ ．
由题意，得：
．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 13 / 23故 的值为 ．
21．像 ， ，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全
平方式进行化简．
如： ；
．
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简： ；
(2)化简： ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算、规律型：数字的变化类、完全平方式，熟练掌握以上知识点
是解题的关键．
（1）根据定义化成完全平方式的形式即可；
（2）根据定义化成完全平方式的形式即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 14 / 23；
22．若 ，则称x和y是关于3的平衡数．
(1) 与 是关于3的平衡数； 与 是关于3的平衡数；
(2)已知m为整数，若 ，请说明 与 是关于3的平衡数；
(3)已知 为整数，a和b是关于3的平衡数，则 ．
【答案】(1) ；
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了实数的新定义以及二次根式的加减混合运算的应用，正确掌握相关性质内容是解题的
关键．
（1）根据若 ，则称x和y是关于3的平衡数，直接列式作答即可；
（2）先得 ，根据题意结果为 ，可求出 ，再结合“3的
平衡数”的定义进行分析，即可作答．
（3）先得 ，则 ，再根据 ，可
求出 ，即可作答．
【详解】（1）解：由题意得， ，
∴3与 是关于3的平衡数；
∵ ，
∴ 与 是关于3的平衡数，
故答案为：0， ；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 15 / 23（2）解：由题意得，
∴ 和 ，
解得 ，
∴
，
∴二者是关于3的平衡数；
（3）解：∵ 与 是关于3的平衡数，
∴
，
由题意得，
，
又∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 16 / 23解得 ，
∴
，
∴ ，
故答案为： ．
23．观察下面算式：
第一个算式：
第二个算式：
第三个算式：
第n个算式：………………
(1)根据上述特征，请再写出第五个算式______________
(2)你发现上述等式有什么规律？请用恰当的方式描述这个规律；
(3)请你用含n式子表示上述规律，并证明这个规律．
【答案】(1) ；
(2)见解析；
(3) ，证明见解析．
【分析】本题考查二次根式的运算以及数字的变化规律，通过观察找到各式子分母分子之间的规律是解题
的关键．
（1）通过观察所给的式子，直接分析即可求解；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 17 / 23（2）通过观察算式的左边和右边的变化量和不变化量可以得出规律；
（3）通过观察算式的规律可以直接写出用含n式子表示上述规律，并利用二次根式的计算进行计算证明．
【详解】（1）解：由题意可得第五个算式： ；
故答案为： ；
（2）解：通过观察可以得出规律：等号左边的被开方数都是这个算式的序号大 的数减去 的差再乘以
加上比这个算式的序号大 的数的倒数，等号右边是这个算式的序号大 的数分之这个算式的序号大 的数
乘以比这个算式的序号大 的数的算术平方根；
（3）解：第 个等式： ，
证明： 是正整数，
．
24．问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形
面积”为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究：
材料 ．古希腊的几何学家海伦（ 约公元50年 ，在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的
海伦公式 （其中a、b、c为三角形的三边长， ，S为三角形的面
积）
材料 ．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：
，其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为 ．
(1)利用材料1解决下面的问题：当 时，求这个三角形的面积？
(2)利用材料2解决下面的问题：已知 三条边的长度分别是 ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 18 / 23记 的周长为
①当 时，请直接写出 中最长边的长度；
②若x是满足 的整数，当 取得最大值时，请用秦九韶公式求出 的面积．
【答案】(1)3
(2) 中最长边的长度为 的面积为
【分析】（1）依据题意，由 时，先求出p，再代入公式计算可以得解；
（2）①依据题意，由 ，则 ，
从而可以判断得解；
②依据题意，由 ，则 ，从而
，可得 ，且
x为整数，故当 时，三边为 ，1，4，再分类讨论计算可以得解．
本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次根式的性质是关键．
【详解】（1）解：由题意，当 时，
，
，
，
，
三角形的面积为3；
（2）解：①由题意， ，
，
中最长边的长度为3；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 19 / 23② ，
，
，
，且x为整数，
当 时，此时三边为 ，1，4，
，
不合题意舍去，
当 时，三边为2，2，3，
，
，
，
的面积为 ．
25．阅读下面问题： ，
，
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【问题探究】
（1）根据以上信息，化简： ______________________________．
【应用结论】
（2）利用以上规律，计算：
【拓展应用】
（3）如果有理数a，b满足 ，试求：
的值．
【答案】（1）
（2）2025
（3）
【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算，熟练掌握分母有理化是解题的关键．
（1）根据所给等式解答即可；
（2）根据规律，化简计算即可．
（3）根据 ，得 ，再求出 ，然后化简计算
即可．
【详解】解：（1）
．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 21 / 23故答案为： ；
（2）
．
（3）∵ ，
∴ 且 ，
解得 ，
故 ，
解得 ．
∴
．
∵
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 22 / 23∴原式
．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 23 / 23
