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第 27 章 相似 章节整合练习（14 个知识点+40 题练习）
章节知识清单练习
知识点1．比例的性质
（1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫
做比例的内项．
（2）常用的性质有：
①内项之积等于外项之积．若 ＝ ，则ad＝bc．
②合比性质．若 ＝ ，则 ＝ ．
③分比性质．若 ＝ ，则 ＝ ．
④合分比性质．若 ＝ ，则 ＝ ．
⑤等比性质．若 ＝ ＝…＝ （b+d+…+n≠0），则 ＝ ．
知识点2．比例线段
（1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如
ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
（2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段
之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．
知识点3．黄金分割
（1）黄金分割的定义：
如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC
＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．
其中AC＝ AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
（2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值．
黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比： ；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金
比： ．
（3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为 ．
知识点4．相似图形
（1）相似图形
我们把形状相同的图形称为相似图形．
（2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意：
①相似图形的形状必须完全相同；
②相似图形的大小不一定相同；
③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．
（3）相似三角形
对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．
知识点5．相似多边形的性质
（1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．
（2）相似多边形对应边的比叫做相似比．
（3）全等多边形的相似比为1或相似比为1的相似多边形是全等形．
（4）相似多边形的性质为：
①对应角相等；
②对应边的比相等．
知识点6．平行线分线段成比例
（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平
行于三角形的第三边．
（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的
三边与原三角形的三边对应成比例．知识点7．相似三角形的性质
相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似．
（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
（2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；
相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．
（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平
方．
知识点8．相似三角形的判定
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时
要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
知识点9．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等
两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有
的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线
构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似
的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
知识点10．相似三角形的应用
（1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在
同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．
（2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造
“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直
角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．
（3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为
三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
知识点11．作图-相似变换
（1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到．
（2）相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简
单的相似变换作图．如图所示：
（3）如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的
三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形．
知识点12．几何变换的类型
（1）平移变换：在平移变换下，对应线段平行且相等．两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）
且相等． （2）轴对称变换：在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于
对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分． （3）旋转变换：在旋转变换下，对应线段相等，
对应直线的夹角等于旋转角． （4）位似变换：在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一
条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位
似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与
它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆
相切时切点为位似中心．
知识点13．位似变换
（1）位似图形的定义：
如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
注意：①两个图形必须是相似形；
②对应点的连线都经过同一点；
③对应边平行．
（2）位似图形与坐标
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比
等于k或﹣k．
知识点14．作图-位似变换
（1）画位似图形的一般步骤为：
①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作
的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩
小．
（2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或
在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的
位似图形的结果是不唯一的．
章节题型整合练习
一、单选题
1．已知两个相似三角形的相似比为4:9，则这两个三角形的对应高的比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用相似三角形的性质求解
【分析】根据相似三角形的性质即可得出答案.
【详解】根据“相似三角形对应高的比等于相似比”可得对应高的比为4:9，故答案选择B.
【点睛】本题考查相似三角形的性质，相似三角形对应边、对应高、对应中线以及周长比都等于相似比.
2．已知a、b、c三条线段满足 ，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C．3 D．6
【答案】D
【知识点】成比例线段【分析】根据等比性质若 ，则 ，然后进行计算即可．
【详解】解：根据等比性质 ，则 ，又因为 ，所以
．
故选：
【点睛】本题主要考查了等比性质，解题关键是掌握并应用等比性质．
3．如图，在 中，点 是 上一点，过 作 交 于点 ， ， ，
则 与 的比是（ ）
A．3：2 B．3：5 C．9：16 D．9：4
【答案】B
【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、由平行判断成比例的线段
【分析】根据平行线分线段成比例定理列式计算即可．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ 与 的比是 ，
故选： ．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
4．若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】比例的性质
【分析】根据比例的性质即可求解．
【详解】∵∴
∴
故选C．
【点睛】此题主要考查比例的性质，解题的关键是熟知比例的运算法则．
5．两个相似三角形的周长之比为4：9，则面积之比为（ ）
A．4：9 B．8：18 C．16：81 D．2：3
【答案】C
【知识点】利用相似三角形的性质求解
【详解】解：∵两个相似三角表的周长之比为4：9，∴相似比为4：9，∴它们的面积比为16：81．
故选C．
【点睛】本题考查相似三角形的性质．
6．如图，点D在 的边 上，添加一个条件，使得 ，下列不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定综合
【分析】利用相似三角形的判定方法依次判断即可．
【详解】解：A、若 ，则 ， ，
∴ ，故此选项不符合题意．
B、若 ， ，则 ，故此选项不符合题意；
C、若 ， ，则 ，故此选项不符合题意；
D、若 ，其夹角不确定是否相等，则不能判定 ，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定．掌握三角形相似的判定定理是解题的关键．
7．一块矩形绸布的长AB＝a米，宽AD＝1米，按照图中所示的方式将它裁成完全相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，那么a的值为（ ）
A．3 B． C．3 D．
【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【分析】由裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，构建方程求解即可．
【详解】解：如图所示，由题意得 ，
∵使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，
∴
∴ ，
解得 或 （舍去），
∴ ，
故选B．
【点睛】此题考查了相似多边形的性质．熟知相似多边形的对应边成比例是解题的关键．
8．将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形（ ）
A．可能是锐角三角形 B．不可能是直角三角形
C．仍然是直角三角形 D．可能是钝角三角形
【答案】C【知识点】相似图形
【详解】试题解析：∵将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形的三条边与原三角
形的三条边对应成比例，
∴两三角形相似．
又∵原来的三角形是直角三角形，而相似三角形的对应角相等，
∴得到的三角形仍是直角三角形．
故选C．
9．如图，如果五边形 五边形 ，且对应边上的高之比为3：2，那么五边形 和五
边形 的周长之比是（ ）
A．2：3 B．3：2 C．6：4 D．9：4
【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【分析】根据相似多边形的对应高之比等于相似比、周长比等于相似比计算即可．
【详解】解：∵五边形ABCDE∽五边形POGMN且对应高之比为3：2，
∴相似比为3：2，
∴五边形 和五边形 的周长之比是3：2，
故选：B．
【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应高之比等于相似比、周长比等于相似比
是解题的关键．
10．如图， 是由 经过位似变换得到的， 点是位似中心， ，则 与 的面积
比为（ ）
A．2：3 B．4：9 C．2：5 D．4：25【答案】D
【知识点】求两个位似图形的相似比
【分析】根据位似变换的性质得到△DEF∽△ABC，根据题意求出相似比，根据相似三角形的性质解答即可．
【详解】∵△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，
∴△DEF∽△ABC，
∵ ，
∴ ，即△DEF与△ABC的相似比为 ，
∴△DEF与△ABC的面积比是4：25，
故选D．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方
是解题的关键．
11．如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB＝4，AD＝2，∠DAC＝∠B．若△ABD的面积为a，则△ACD
的面积为（ ）
A．a
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】初中数学综合库
【详解】∵∠DAC＝∠B，∠C＝∠C，∴△CAD∽△CBA．∴ ．
∵AB＝4，AD＝2，∴ ，即BC＝2AC，AC＝2CD，
∴BC＝4CD，∴BD＝3CD．∵△ABD的面积为a，∴△ACD的面积为 ．故选C．
12．如图，矩形ABCD和矩形CEFG中，AD=2，AB=1，CE=3，EF=6，连接AF，H是AF的中点，那么CH的
长是（ ）
A． B．
C． D．2
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用矩形的性质证明、斜边的中线等于斜边的一半
【详解】如图，连接AC、CF，
∵在矩形ABCD和矩形CEFG中，BC=AD=2，∠B=∠E=90°，
∴AC2=AB2+BC2=12+22=5，CF2=CE2+EF2=32+62=45，
∵ = ， = = ，∴ ，
∴△ABC∽△CEF，
∴∠ACB=∠CFE，
∵∠ECF+∠CFE=90°，
∴∠ACB+∠ECF=90°，
∴∠ACF=90°，
∴AF= = =5 ，
∵H是AF的中点，
∴CH= AF= ；
故选C．
13．如图， ， 与 相交于点E，若 ， ， ，则 值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题主要考查相似三角形的判定及性质，平行线分线段成比例定理的应用，熟练掌握是解题的关
键．
先利用 得到 ，求得 ，然后利用 ，可证 ，根据相似三角
形的性质可即求出 的值．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，∴ ，解得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
14．如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ）
A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC
C．AB2=AD•AC D．
【答案】D
【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似
【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，
分别判断得出即可．
【详解】解：A、∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
B、∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
C、∵AB2=AD•AC，
∴ ，∠A=∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
D、 不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟悉相似三角形的判定定理是解题的关键.
15．一个矩形按如图1的方式分割成三个直角三角形，最小三角形的面积为 ，把较大两个三角形纸片按图2方式放置，图2中的阴影部分面积为 ，若 ，则矩形的长宽之比为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质综合
【分析】图中直角三角形比较多，通过分析 之间的关系转化为线段比，所求的长宽等于两个三角形
的相似比，面积比等于相似比的平方，从而求得线段比．
【详解】如图（1），设 的面积为 ；
如图（2）由题意，知 ，则
又矩形的长宽之比为2．
故选A．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边对等角，相似三角形的面积比等于相
似比的平方，相似三角形，本题中找到 之间的关系是解题的关键．
16．如图所示，在反比例函数 的图象上有一动点A（点A位于第二象限），连接 并延长交图象
的另一分支于点B．在第一象限内有一点C，满足 ，当点A运动时，点C始终在函数 的图
象上运动．若 ，则k的值为（ ）
A． B．6 C．8 D．16
【答案】D
【知识点】反比例函数与几何综合、等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合
【分析】由反比例函数的性质可知 ，由等腰三角形三线合一可得 ，进而得出三角形相似，然后将 ，转化为 ，由勾股定理可得 ，即三角形的相似比为 ，设 、
的长，就能表示出 、 的长，根据反比例函数图象上点的特征，可以求出 的值．主要考查反比例函
数、相似三角形、等腰三角形的性质等知识．
【详解】解：过点 、 作 轴、 轴，垂足为 、 ，连接 ，
则 ，如图所示：
、 是反比例函数 图象上关于原点对称的两点，
，
又 ，
∴OC⊥AB，
∴∠AOD+∠COE=90°，
∵ADO =90°，
∴∠DAO+∠AOD=90°，
∴∠DAO=∠COE，
∵ ，
，
，
又 ，
，
，设 ， ，则 ， ，
，
即：
故选： ．
【点睛】此题考查反比例函数、等腰三角形、相似三角形等知识的综合应用，合理而正确的转化是解决问
题的关键，点的坐标与线段的长度相互转化在本题中起到十分重要的作用；函数思想、转化思想、整体代
入等思想得以充分的应用．
二、填空题
17．如图，有三个三角形，其中相似的是 .
【答案】①与②
【知识点】相似三角形的判定综合、三角形内角和定理的应用
【分析】先分别计算三个三角形的第三个角做对比，再根据相似三角形的性质即可求出
【详解】第一个图：第三个角为: 180°-68°-61°=51°
此三角形三个角分别为：51°，61°，68°
第二个图：第三个角为: 180°-68°-51°=61°
此三角形三个角分别为：51°，61°，68°
第三个图：第三个角为: 180°-68°-49°=63°
此三角形三个角分别为：49°，63°，68°
根据两角对应相等，两个三角形相似.期中相似的是:①和②.
故答案为: ①和②.
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键.
18．小明的身高是 米，他的影长是 米，同一时刻古塔的影长是 米，则古塔的高是 米．
【答案】
【知识点】相似三角形实际应用
【分析】设古塔的高为 米，然后根据同时同地物高与影长成正比列式计算即可得解．
【详解】解：设古塔的高为 米，由题意得， ，
解得 ，
答：古塔的高为 米．
故答案为： ．
【考点】本题考查相似三角形的应用，掌握相似三角形的对应边成比例是解题关键．
19．直线CD∥EF，若OC=3，CE=4，则 的值是 ．
【答案】
【分析】根据平行线分线段成比例定理，得OD：OF=OC：OE，从而可得到答案．
【详解】解：∵CD//EF
∴OD：OF=OC：OE
∵OC=3，CE=4
∴OD：OF=OC：OE=3：7．
∴ 的值是
故答案为：
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理．
20．已知ΔABC与 相似且对应中线的比为 ，则ΔABC与 的相似比为 .
【答案】2:3
【知识点】利用相似三角形的性质求解
【分析】由于相似三角形的对应中线和周长的比都等于相似比，即可解答.
【详解】∵△ABC与 DEF相似且对应中线的比为2:3，
∴它们的相似比为2:△3
故答案为2：3.【点睛】此题考查相似三角形的性质，解题关键在于掌握其性质.
21．把图中的四边形ABCD缩小到原来的 ．
分析：把原图形缩小到原来的 ，也就是使新图形上各顶点到位似中心的距离与原图形上各对应顶点到位
似中心的距离之比为 ．
作法：
（1）在四边形ABCD外任取一点O；
（2）过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；
（3）分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′，B′，C′，D′，使得 ；
（4）顺次连接点A′，B′，C′，D′，所得四边形A′B′C′D′就是所要求的图形．
【答案】 1:2
【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形
【解析】略
22．若 ，则 ．
【答案】
【知识点】比例的性质
【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质求解即可，掌握比例的性质是解题的关键．
【详解】解： ，
∴ ，故答案为： ．
23．在 中， ，点D在 上，且 ，点E在 上，当 时，以
A，D，E为顶点的三角形与 相似．
【答案】 或
【知识点】利用相似三角形的性质求解
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法，掌握分类讨论思想成为解
题的关键．
若A，D，E为顶点的三角形与 相似时，则 或 两种情况求解即可．
【详解】解：当 时，
∵ ，
∴ ．
∴ ．
当 时，
∵ ，
∴ ．
∴ ．
故答案为： 或 ．
24．如图，AB∥CD∥EF，直线 、 与这三条平行线分别交于点A、D、F和点B、C、E．若AD：DF＝3：
1，BE＝10，则CE的长为 ．【答案】
【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到 ，则BC=3CE，然后利用BC+CE=BE=10可计算出
CE的长．
【详解】解：∵AB//CD//EF，
∴ ，
∴BC=3CE，
∵BC+CE=BE，
∴3CE+CE=10，
∴CE= ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
25．如图，在 中， ，将 绕点A逆时针旋转一定的角度得 ，且
点D恰好落在边 上， 与 交于点F．
（1）求 ；
（2）当 时， ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性
质和判定【分析】（1）过点A作 于点G，由旋转的性质知 ，设 ，则 ，
， ，由 ，可得 ，
可求结论；
（2）过A点作 交 于点M，由 可解．
【详解】（1）如图，过点A作 于点G．
设 ，则 ．
由旋转的性质知 ，
∴ ．
在 中， ．
∵ ，∠B=∠B
∴ ．
∴ ，即 ，
得 ．
∵ ，∴ ．
∴ ，
故答案为：
（2）如图，过A点作 交 于点M．
由（1）知 ．
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ，
即 ，
解得 ，
故答案为：
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，旋转的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与
性质．
26．如图，小卓利用标杆EF测量旗杆AB的高度，测得小卓的身高 米，标杆 米， 米，米，则旗杆AB的高度是 米．
【答案】9
【知识点】相似三角形实际应用
【分析】过点C作CH⊥AB于点H，CH交EF于点G，如图，易得GF＝BH＝CD＝1.8m，CG＝DF＝1m，
GH＝BF＝11m，证明 CGE∽△CHA，再利用相似比求出AH，然后计算AH+BH即可．
【详解】解：过点C作△CH⊥AB于点H，CH交EF于点G，如图，
由题意易得
GF＝BH＝CD＝1.8m，CG＝DF＝1m，GH＝BF＝11m，
∴EG＝EF﹣GF＝2.4m﹣1.8m＝0.6m，
∵EG AH，
∴∠CGE＝∠CHA，∠CEG＝∠CAH，
∴△CGE∽△CHA，
∴ ，
∴ ，
∴AH＝7.2，
∴AB＝AH+BH＝7.2+1.8＝9（m），
即旗杆AB的高度是9m．故答案为：9．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用：利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为
三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
27．如图是用卡钳测量容器内径的示意图，现测得卡钳上A，D两个端点之间的距离为10cm，
，则容器的内径是 cm．
【答案】20
【知识点】相似三角形实际应用
【分析】连接AD，BC，依题意得， ，则由对应边成比例，由此得出BC的长度.
【详解】解：如图，连接AD，BC．
则 ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为：20；
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力，解决此问题
的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题.
28．如图，在正方形ABCD中，E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连接CF，并延长CF交AD于点G，延长BF交AD边于点H．若 = ，则 的值 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、正方形折叠问题、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA
（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】先利用已知条件证明 BCE CDG，然后连接EH．根据 ，求出DE即可解
决问题．
【详解】解：连接EH．
∵ BFE是由 BCE折叠得到，
∴BE⊥CF，
∴∠ECF+∠BEC=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠BCE=90°，
∴∠ECF+∠CGD=90°，
∴∠BEC=∠CGD，
在 BCE和 CDG中，，
∴ （AAS）；
∴CE=DG，
由折叠可知BC=BF，CE=FE，
∴∠BCF=∠BFC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴ ，BC=CD，
∴∠BCG=∠HGF，
∵∠BFC=∠HFG，
∴∠HFG=∠HGF，
∴HF=HG，
∵ ，
设CE=2x，则BC=CD=3x，FE=CE=2x，
∴DE=CD－CE=x，
设HF=HG=a，
∴DH=DG－HG=2x－a，
∴由折叠可知∠BFE=∠BCE=90°，
∴∠EFH=90°，
∴ ，
∴ ，
∴x=4a或0（舍弃），
∴DH=2x－a=7a，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，
勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
三、解答题
29．已知，如图，在 ABC中，∠C=60°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，试说明 CDE∽△CAB．
△ △
【答案】见解析
【知识点】相似三角形的判定与性质综合
【分析】由在△ABC中，∠C=60°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，易得CE:CB=CD:CA=1：2，又∠C为公共角，
即可证得△CDE∽△CAB.
【详解】∵在△ABC中，∠C=60°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，
∴∠CAD=∠CBE=30°
∴CE:CB=CD:CA=1：2，
∵∠C为公共角，
∴△CDE∽△CAB.
【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是根据直角三角形求得锐角互余，再利用30°的直
角三角形特点进行求解.
30．如图，把 缩小后得到 ，求 与 的相似比．
【答案】【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比
【分析】求出OD与OB的长，再求出相似比即可．
【详解】由平面直角坐标系可知，OD=2，OB=5，
所以， 与 的相似比为 ．
【点睛】本题考查了位似图形的相似比，解题关键是求出对应边的长．
31．如图所示的平面直角坐标系中， ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣3，2），B（﹣1，3），C（﹣
1，1），请按如下要求画图： △
(1)以坐标原点O为旋转中心，将 ABC顺时针旋转90°，得到 ，请画出 ；
△
(2)以坐标原点O为位似中心，在x轴下方，画出 ABC的位似图形 ，使它与 ABC的位似比为2：
△ △
1．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】在坐标系中画位似图形、画旋转图形
【分析】（1）直接利用旋转的性质得出对应点的位置，画出图形即可；
（2）直接利用位似图形的性质得出对应点的位置，画出图形即可．
【详解】（1）解：如图， 即为所求．；
（2）解：如图， 即为所求．
【点睛】本题考查了位似变换与旋转变换，正确得出对应点的位置是解题的关键．
32．如图，在矩形 中， ， ， 是 的中点，连接 、 ．求证： ．
【答案】见解析.
【知识点】相似三角形的判定与性质综合
【分析】由条件易得 ，根据两组对边成比例且夹角相等可判定△ABM∽△BCD，再由对应边相等
可得∠BAM=∠CBD，然后可推出∠CBD+∠AMB=90°，即可得AM⊥BD.
【详解】证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴CD=AB= ，BC=AD= ，∠ABM=∠BCD=90°
又∵M是BC的中点，
∴BM= BC=
∴ ，∴
又∵∠ABM=∠BCD
∴△ABM∽△BCD
∴∠BAM=∠CBD
又∵∠BAM+∠AMB=90°，
∴∠CBD+∠AMB=90°，
∴AM⊥BD.
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，由线段长度得出成比例线段是解决本题的关键.
33．如图所示，两个四边形相似， 求未知数x，y和角度α的大小．
【答案】x＝12，y＝6，∠α＝125°
【知识点】相似多边形的性质
【分析】到已知的题意，想到根据相似多边形的性质：对应角相等，对应边成比例，从而正确解答此题.
【详解】∵两个四边形相似，
∴8:y=x:9=20:15,∠C=∠C′=50°
解得：y=6，x=12.
∵四边形内角和等于360°，
∴α=∠D=360°－∠A－∠B－∠C=125°.
∴x=12，y=6，α=125°.
【点睛】本题考查相似多边形的性质．相似多边形的对应角相等，相似多边形对应边之比、周长之比等于
相似比，而面积之比等于相似比的平方，认真计算是解答本题的关键.
34．画一个任意四边形 ，在它的内部任取一点O，以点O为位似中心，画一个四边形 ，使
它与四边形 位似，且相似比为 ．
【答案】见解析
【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形
【分析】取四边形ABCD的对角线AC和BD的交点O为位似中心，再分别取OA、OB、OC、OD的中点
、 、 、 ，然后顺次连接 、 、 、 ，则利用位似的判定方法可判断四边形 满足条件．
【详解】解：如图，四边形 即为所求．
【点睛】本题考查了作图-位似变换：画位似图形的一般步骤，先确定位似中心，再分别连接并延长位似中
心和能代表原图的关键点，接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点，然后顺次连接上述各
点，得到放大或缩小的图形．
35．如图，在 ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AB边上的垂直平分线与AB、BC交于点D、E，AC边上
的垂直平分线与△ AC、BC分别交于点G、F，
（1） AEF是什么形状？你能证明吗？
△
（2）连结DG，你能根据学过的相似三角形的知识证明DG= BC吗？
（3）DG=5cm，试求 AEF的周长．
△
【答案】（1）△AEF为等边三角形；证明见解析；（2）证明见解析；（3）10cm．
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、与三角形中位线有关的证明、等边三角形的判定、线段垂直平
分线的性质
【分析】（1）先根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算∠B=∠C=30°，再利用垂直平分线的性质得
BE=AE，AF=CF，则∠EAB=∠B=30°，∠FAC=∠C=30°，然后根据三角形的外角性质可求出
∠AEF=∠AFE=60°，于是可判断△AEF为等边三角形；
（2）由D是AB中点、G是AC中点知 ，得出 ，最后根据相似三角形的性质即可
得出答案．
（3）利用AE=BE，AF=CF可得AE+EF+AF=BE+EF+CF=BC=10cm，从而可确定△AEF的周长．
【详解】解：（1）△AEF为等边三角形．理由如下：
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，
∴BE=AE，AF=CF，
∴∠EAB=∠B=30°，∠FAC=∠C=30°，
∴∠AEF=2∠B=60°，∠AFE=2∠C=60°，
∴△AEF为等边三角形；
（2）∵D是AB中点、G是AC中点，
∴DG是△ABC中位线，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴DG= BC；
（3）∵DG=5，
∴BC=2DG=10，
∵AE=BE，AF=CF，
∴AE+EF+AF=BE+EF+CF=BC=10cm，
∴△AEF的周长为10cm．
【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段中垂线的性质、中位线定理、等腰
三角形的性质与等边三角形的判定．
36．如图，在△ ABC 中， AB ＝5， BC ＝3， AC ＝4，动点 E (与点 A ， C 不重合)在 AC 边上， EF
∥ AB 交 BC 于 F 点．
（1）当△ ECF 的面积与四边形 EABF 的面积相等时，求 CE 的长；
（2）当△ ECF 的周长与四边形 EABF 的周长相等时，求 CE 的长；
（3）试问在 AB 上是否存在点 P ，使得△ EFP 为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出 EF 的长．
【答案】（1）2 ；（2） ；（3） 或 .
【知识点】相似三角形的判定与性质综合
【详解】试题分析：（1）因为EF∥AB，所以容易想到用相似三角形的面积比等于相似比的平方解题；
（2）根据周长相等，建立等量关系，列方程解答；
（3）先画出图形，根据图形猜想P点可能的位置，再找到相似三角形，依据相似三角形的性质解答．
试题解析：（1）∵△ECF的面积与四边形EABF的面积相等
∴S△ECF：S△ACB=1：2
又∵EF∥AB∴△ECF△ACB
∵AC=4，
∴CE=2 ；
（2）设CE的长为x
∵△ECF∽△ACB
∴
∴CF=
由△ECF的周长与四边形EABF的周长相等，
得x+EF+ =（4-x）+5+（3- ）+EF
解得x=
∴CE的长为 ；
（3）△EFP为等腰直角三角形，有两种情况：
①如图1，假设∠PEF=90°，EP=EF由AB=5，BC=3，AC=4，得∠C=90°
∴Rt△ACB斜边AB上高CD=
设EP=EF=x，由△ECF∽△ACB，得：
即
解得x= ，
即EF=
当∠EFP´=90°，EF=FP′时，同理可得EF= ；
②如图2，假设∠EPF=90°，PE=PF时，点P到EF的距离为 EF
设EF=x，由△ECF∽△ACB，得：
，
即解得x= ，
即EF= .
综上所述，在AB上存在点P，使△EFP为等腰直角三角形，此时EF= 或EF= .
考点：相似三角形的判定与性质．
37．如图，矩形 中， ， ，点 ， 分别在AD， 边上， ，求
证：矩形 矩形 ．
【答案】证明见解析
【知识点】相似多边形的性质
【分析】根据矩形的性质得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD=2cm，AD=BC=4cm，AD∥BC，求出四边形AEFB
是矩形，推出∠AEF=∠EFB=90°，AB=EF=2cm，求出∠A=∠A，∠AEF=∠B，∠B=∠D，∠EFB=∠C，
，根据多边形相似的判定定理推出即可．
【详解】证明：∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ， ，
即 ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ， ， ， ， ，
∴矩形 矩形 ．
【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，相似多边形的判定定理的应用，能求出∠A=∠A、∠AEF=∠B、
∠B=∠D、∠EFB=∠C、 是解此题的关键．
38．在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．(1)画出△ABC沿x轴翻折后的△A B C ；
1 1 1
(2)以点M为位似中心，在网格中作出△A B C 的位似图形△A B C ，使其位似比为2：1；
1 1 1 2 2 2
(3)点A 的坐标______；△ABC与△A B C 的周长比是______．
2 2 2 2
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3) ，
【知识点】在坐标系中画位似图形
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点A、B 即可；
1 1
（2）延长M A 到A 使MA =2MA ，延长MB 到B 使MB =2MB ，延长MC 到C 使MC =2MC ，则可得到
1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1
ABC ，
2 2 2
△（3）根据（2）可写出点A
2
的坐标；然后根据位似的性质可得△ABC与△A2B
2
C2的周长比
【详解】（1）如图，△ABC 即为所作；
1 1 1（2）如图，△ABC 即为所作；
2 2 2
（3）由（2）得，点 的坐标 ，
由作图得，∵ 与 周长比为1:2
∴△ABC与△A2BC2的周长比是1:2
2
故答案为： ，1:2
【点睛】本题考查了作图-位似变换：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似
中心和能代表原图的关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；最后顺次连接上述
各点，得到放大或缩小的图形．也考查了轴对称变换．
39．如图1．在正方形 中，点F，H分别在边 ， 上，连结 ， 交于点E，已知
．
(1)线段 与 垂直吗？请说明理由．
(2)如图2，过点A，H，F的圆交 于点P，连结 交 于点K．求证： ．
(3)如图3，在（2）的条件下，当点K是线段 的中点时，求 的值．
【答案】(1) ，见解析
(2)见解析
(3)
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、已知圆内接四边形求角度、根据正方形的性质证明、用勾股定
理解三角形
【分析】（1）证明 （ ），得到 ，进一步得到 ，
由 CFH是等腰三角形，结论得证；
△
（2）过点K作 于点G．先证 AKG∽△ACB，得 ，证 KHG∽CHB可得 ，结
△ △
论得证；（3）过点K作 点G．求得 ，设 ， ，则KG＝AG＝GB＝3a，则
，勾股定理得 ， ，由
得 ，得 ， ，即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ （ ），
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
∵
∴△CFH是等腰三角形，
∴ ．
（2）证明：如图1，过点K作 于点G．
∵ ，
∴ ．
∴ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
∴ ，∴ ，
∴ ．
（3）解：如图2，过点K作 点G．
∵点K为 中点：
由（2）得 ，
∴ ，
设 ， ，则 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ，
∴ ，∴ ．
【点睛】此题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形全等的判定定理等知
识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
40．已知抛物线 经过点 ， ，与 轴的另一个交点为 ．
图1 图2
(1)求出此抛物线的表达式及点 坐标
(2)如图2， 的中点记为 ， ，将 绕点 在 的左侧旋转， 与射线 交于点
， 与射线 交于点 ．设 ， ，求 关于 的函数关系式．
(3)当 的边经过点 时，求 ， 的值（直接写出结果）．
【答案】(1) ， ；(2) ；
(3) ， 或 ， ；
【知识点】相似三角形问题(二次函数综合)、相似三角形的判定与性质综合、待定系数法求二次函数解析
式
【分析】（1）把A、B点的坐标代入抛物线解析式可得关于b、c的二元一次方程组，解得b、c即可得到
抛物线的解析式，令y=0求得相应x后可得C点坐标；
（2）利用三角形相似的判定与性质可以得解；
（3）分DM经过C和DN经过C两种情况讨论．
【详解】（1）分别把A、B坐标代入抛物线解析式可得：
，解之得： ，
∴抛物线的表达式为： ，
令y=0，即得： ，解之可得x=2或x=-1，
∴抛物线与x轴的另一个交点C的坐标为（-1，0）；
（2）
如图延长 使得 ，连结 ，
， ，
，∴
（3）
①当 经过 ，作 轴，
，
， ．
②当 经过 ，同法可得 ， ，
∴ ， 或 ， ；
【点睛】本题考查二次函数的综合运用，熟练运用待定系数法确定函数解析式、运用三角形相似的判定与
性质、平行线分线段成比例定理求解是解题关键 ．
