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培优专题 16 证明切线的两种类型
◎类型一：直线与圆有交点
方法归纳:直线过圆上某一点,证明直线是圆的切线时,只需“连半径,证垂直,得切
线”.“证垂直”时通常利用國中的关系得到 90°的角,如直径所对的圆周角等于
90°等.
常见证明垂直的思路有三种。
思路一：利用两个锐角互余证明垂直；
思路二：利用全等证明垂直；
思路三：利用勾股定理的逆定理证明垂直；
思路四：利用等腰三角形的性质证明垂直。
这三种思路在证明垂直时能经常用到，当选择用“作半径，证垂直”时可以考虑用这三
种思路。
1．（2022·江苏苏州·二模）如图，在平行四边形 中， 是对角线， ，以点 为圆心，
以 的长为半径作 ，交 边于点 ，交 于点 ，连接 ．(1)求证： 与 相切；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析；
(2) ．
【分析】（1）连接AE，根据平行四边形的性质得到 ，然后根据 证明 ，
根据全等三角形的性质即可证明；
（2）连接EF，作EG⊥AC，由（1）可知 的性质得出 后证明 是
等边三角形，接着求出 ，利用直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半求出
，最后利用勾股定理求出EF的长．
(1)
解：连接AE，
∵平行四边形 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵AE是 的半径，
∴ 与 相切；
(2)
连接EF，作EG⊥AC，
由（1）可知 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵EG⊥AC，
∴ ，
∴ ，∴ ，
在 中，
．
【点睛】本题主要考查圆的综合，切线的判定、三角形全等的判定及性质、勾股定理，重点是掌握圆的基
础知识定理，并且要灵活运用．
2．（2022·河北·邢台市开元中学九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O与
BC相交于点E，在边AC上取一点D，使得DE＝AD，连接OD、OE．
（1）求证：①△AOD≌△EOD；
②DE是⊙O的切线；
（2）当BC＝5，AD＝2时，求⊙O的半径．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）⊙O的半径为 ．
【分析】（1）①根据全等三角形的判定定理SSS证得结论；
②根据切线的判定方法，只要证明OE⊥DE即可；
（2）证出OD是△ABC的中位线，进而求出OD，再在直角三角形中利用勾股定理求出半径即可．
【详解】（1）证明：①在△AOD和△EOD中，
，
则△AOD≌△EOD（SSS）；
②由①知，△AOD≌△EOD，
∴∠OED＝∠BAC＝90°，即OE⊥DE．
∵OE是半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：由（1）①知，△AOD≌△EOD，∴∠AOD＝∠EOD．
∵OB＝OE，
∴∠B＝∠OEB，
∵∠AOE＝∠B+∠OEB，
∴∠BEO＝∠EOD，
∴OD BC，
又∵AO＝BO，
∴OD＝ BC＝ ．
在Rt△AOD中，由勾股定理得：AO＝ ＝ ．
即：⊙O的半径为 ．
【点睛】本题考查切线的判定和性质，掌握切线的判定方法是解决问题的前提，转化到直角三角形中利用
边角关系求解是常用的方法．
3．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，在正方形ABCD中，E是BD上一点，射线AE交CD于点F，交
BC的延长线于点G，过点C，F，G画圆，连接CE．求证：CE是圆的切线．
【答案】证明见解析．
【分析】连接圆心O与C点，根据等腰三角形的性质得到∠OCF＝∠OFC，根据全等三角形的性质得到
∠DAE＝∠DCE，求得∠OCF＝90°，由切线的判定定理即可得到结论．
【详解】证明：连接圆心O与C点，∵OC＝OF，
∴∠OCF＝∠OFC，
∵∠OFC＝∠DFA，
∴∠OCF＝∠DFA，
在正方形ABCD中，DA＝DC，∠ADB＝∠CDB＝45°，
在△ADE和△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴∠DAE＝∠DCE，
∵∠DAE+∠DFE＝90°，∠OCF＝∠DFA
∴∠DCE+∠OCF＝90°，即∠OCE＝90°，
∵OC⊥CE且C在圆上，
∴CE是圆的切线．
【点睛】本题考查了切线的判定，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，等腰三角形的性质，掌握以
上知识是解题的关键．
4．（2021·四川南充·中考真题）如图，A，B是 上两点，且 ，连接OB并延长到点C，使
，连接AC．（1）求证：AC是 的切线．
（2）点D，E分别是AC，OA的中点，DE所在直线交 于点F，G， ，求GF的长．
【答案】（1）见解析；（2）2
【分析】（1）先证得△AOB为等边三角形，从而得出∠OAB=60°，利用三角形外角的性质得出
∠C=∠CAB=30°，由此可得∠OAC=90°即可得出结论；
（2）过O作OM⊥DF于M，DN⊥OC于N，利用勾股定理得出AC= ，根据含30°的直角三角形的性质
得出DN = ，再根据垂径定理和勾股定理即可求出GF的长．
【详解】（1）证明：∵AB=OA，OA=OB
∴AB=OA=OB
∴△AOB为等边三角形
∴∠OAB=60°，∠OBA=60°
∵BC=OB
∴BC=AB
∴∠C=∠CAB
又∵∠OBA=60°=∠C+∠CAB
∴∠C=∠CAB=30°
∴∠OAC=∠OAB+∠CAB=90°
∴AC是⊙O的切线；
（2）∵OA=4
∴OB=AB=BC=4∴OC=8
∴AC= = =
∵D、E分别为AC、OA的中点，
∴OE//BC，DC=
过O作OM⊥DF于M，DN⊥OC于N
则四边形OMDN为矩形
∴DN=OM
在Rt△CDN中，∠C=30°，∴DN= DC=
∴OM=
连接OG，∵OM⊥GF
∴GF=2MG=2 = =2
【点睛】本题考查了切线的判定、垂径定理、等边三角形的性质和判定，熟练掌握相关的知识是解题的关
键．
◎类型二：不确定直线与圆是否有交点方法归纳:直线与圆没有已知的公共点时,通常“作垂直,证半径,得切线”证明垂
线段的长等于半径常用的方法是利用三角形全等或者利用角平分线上的点到角
的两边的距离相等.
5．（2020·浙江杭州·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．∠ABC的平分线交AC于点O，以
点O为圆心，OC为半径．在△ABC同侧作半圆O．
求证：AB与 O相切；
【答案】见解⊙析；【分析】过O作OH⊥AB于H，得到∠BHO=∠BCO=90°，根据角平分线的定义得到
∠CBO=∠HBO，根据全等三角形的性质得到OH=OC，于是得到AB与⊙O相切；
【详解】（1）证明：如图，过O作OH⊥AB于H，∠ACB＝90°
∴∠BHO＝∠BCO＝90°，
∵BO平分∠ABC，
∴∠CBO＝∠HBO，
∵BO＝BO，
∴△CBO≌△HBO（AAS），
∴OH＝OC，
∴AB与 O相切；
【点睛】⊙本题考查了切线的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识是解题的关键．
6．（2022·江苏淮安·一模）如图，在Rt ACD中，∠ACD=90°，点O在CD上，作⊙O，使⊙O与AD相
切于点B，⊙O与CD交于点E，过点D作DF ∥ AC，交AO的延长线于点F，且∠OAB=∠F．求证：AC是⊙O的切线；
【答案】见解析
【分析】由题意，首先证明OA是∠BAC的角平分线，然后得到BO=CO，即可得到结论成立；
证明：∵DF∥AC，
∴∠OAC=∠F，
∵∠OAB＝∠F，
∴∠OAC=∠OAB，
∴OA是∠BAC的角平分线，
∵AD是⊙O的切线，
∴∠ABO=∠ACO=90°，
∴BO=CO，OC为圆O的半径，
又∵AC⊥OC，
∴AC是⊙O的切线；
【点睛】本题考查了圆的切线的判定和性质、勾股定理、角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握所学的
知识，正确的求出所需的长度，从而进行解题．
