文档内容
第一次月考 （压轴 32 题 10 种题型）
范围：八年级下册第一-第二单元
一．二次根式有意义的条件（共1小题）
1．若|2017﹣m|+ ＝m，则m﹣20172＝ 201 8 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵|2017﹣m|+ ＝m，
∴m﹣2018≥0，
m≥2018，
由题意，得m﹣2017+ ＝m．
化简，得 ＝2017，
平方，得m﹣2018＝20172，
m﹣20172＝2018．
故答案为：2018．
二．二次根式的性质与化简（共3小题）
2．把 a 中根号外面的因式移到根号内的结果是 ﹣ ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式＝﹣ ＝﹣ ，
故答案为：﹣
3．先阅读下列的解答过程，然后作答：
形如 的化简，只要我们找到两个数a、b使a+b＝m，ab＝n，这样（ ）2+
（ ）2＝m， • ＝ ，那么便有 ＝ ＝ ± （a
＞b）例如：化简
解：首先把 化为 ，这里m＝7，n＝12；由于4+3＝7，4×3＝12，即（ ）2+（ ）2＝7， • ＝ ，
∴ ＝ ＝ ＝2+
由上述例题的方法化简：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1） ＝ ＝ ﹣ ；
（2） ＝ ＝ ＝ ﹣ ；
（3） ＝ ＝ ．
4．已知实数在数轴上的对应点如图所示，化简 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由数轴可得：
a＜0，a+b＜0，c﹣a＞0，b+c＜0，
故原式＝﹣a+（a+b）+c﹣a﹣b﹣c
＝﹣a．
三．分母有理化（共1小题）
5．已知x＝ +3，y＝ ﹣3，求下列各式的值
（1）x2﹣2xy+y2，（2）x2﹣y2．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）当x＝ +3，y＝ ﹣3时，x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2＝[（ +3）﹣（ ﹣3）]2＝62＝36；
（2）x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝[（ +3）+（ ﹣3）][（ +3）﹣（ ﹣3）]＝2
×6＝12
四．二次根式的化简求值（共1小题）
6．阅读下面计算过程：
＝
＝
试求：
（1） 的值为 ﹣ ．
（2）求 +...+ 的值．
（3）若 ，求a2﹣4a+4的值．
【答案】（1） ﹣ ；
（2）9；
（3）5．
【解答】解：（1）
＝
＝ ﹣ ，
故答案为： ﹣ ；
（2） +...+＝ ﹣1+ ﹣ +…+ ﹣ + ﹣
＝ ﹣1
＝10﹣1
＝9；
（3）∵ ＝ +2，
∴a2﹣4a+4
＝（a﹣2）2
＝（ +2﹣2）2
＝（ ）2
＝5．
五．二次根式的应用（共2小题）
7．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．
＝（ ）2+1＝2，s ＝ ； ＝12+（ ）2＝3，S ＝ ；…
1 2
＝12+（ ）2＝4，S ＝ ；…
3
（1）请用含有n（n为正整数）的等式表示上述变化规律： ＝ n ，S ＝
n
．
（2）若一个三角形的面积是2 ，计算说明它是第几个三角形？
（3）求出 + + +…+ 的值．
【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）因为每一个三角形都是直角三角形，由勾股定理可求得：OA ＝
1
，OA ＝ ，OA ＝ …OA ＝ ，所以 ＝n．S ＝ •1• ＝ 故：答案为n
2 3 n n
与
（2）当S ＝2 时，有：2 ＝ ，解之得：n＝32
n
即：说明它是第32个三角形．
（3） + + +…+
＝ + +…+
＝11.25
即： + + +…+ 的值为11.25．
8．已知a，b均为正整数．我们把满足 的点P（x，y）称为幸福点．
（1）下列四个点中为幸福点的是 P （ 5 ， 5 ） ；
1
P （5，5）；P （6，6）；P （7，7）；P （8，8）
1 2 3 4
（2）若点P（20，t）是一个幸福点，求t的值；
（3）已知点 P（ +1， ﹣1）是一个幸福点，则存在正整数 a，b 满足
，试问是否存在实数k的值使得点P和点Q（ a+k， b﹣k）到x轴的
距离相等，且到y轴的距离也相等？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）P （5，5）；
1
（2）t的值为15或20或25；
（3）k的值为10.5，理由见解析．
【解答】解：（1）∵a，b均为正整数，满足 的点P（x，y）称为幸福点，∴当a＝1，b＝1时，x＝5，y＝5，故P （5，5）是幸福点，
1
当a＝1，b＝2时，x＝8，y＝7，故（8，7）是幸福点，
当a＝2，b＝1时，x＝7，y＝8，故（7，8）是幸福点，
..．
∴P （5，5），P （6，6），P （7，7），P （8，8）中只有P （5，5）是幸福点，
1 2 3 4 1
故答案为：P （5，5）；
1
（2）∵点P（20，t）是一个幸福点，
∴2a+3b＝20，3a+2b＝t，
∵a，b均为正整数，
∴a＝1，b＝6或a＝b＝4或a＝7，b＝2，
当a＝1，b＝6时，t＝15，
当a＝b＝4时，t＝20，
当a＝7，b＝2时，t＝25，
∴t的值为15或20或25；
（3）∵点 P（ +1， ﹣1）是一个幸福点，则存在正整数 a，b 满足
，
∴消去m得，b＝a+2，
∵P（2a+3b，3a+2b），Q（ a+k， b﹣k），
∴P（5a+6，5a+4），Q（ a+k， a+1﹣k），
∵点P和点Q到x轴的距离相等，
∴有4种情况，
① ，
解得，a＝﹣1（舍），k＝ ；② ，
解得，a＝1，k＝10.5，
∴b＝3，符合题意；
③ ，
解得，a＝﹣3（舍），k＝ ；
④ ，
解得，a＝﹣1（舍），k＝﹣ ；
∴当a＝1，b＝3，k＝10.5时，点P和点Q到x轴的距离相等，且到y轴的距离也相等．
六．勾股定理（共13小题）
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，AD，BE相交于点
F，若AF＝4， ，则AC＝（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【解答】解：如图，过点E作EG⊥AD于G，连接CF，∵AD，BE是分别是∠BAC和∠ABC的平分线，
∴∠CAD＝∠BAD，∠CBE＝∠ABE，
∵∠ACB＝90°，
∴2（∠BAD+∠ABE）＝90°，
∴∠BAD+∠ABE＝45°，
∴∠EFG＝∠BAD+∠ABE＝45°，
在Rt△EFG中，EF＝ ，
∴FG＝EG＝1，
∵AF＝4，
∴AG＝AF﹣FG＝3，
根据勾股定理，得AE＝ ＝ ，
∵AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，
∴CF是∠ACB的平分线，
∴∠ACF＝45°＝∠AFE，
∵∠CAF＝∠FAE，
∴△AEF∽△AFC，
∴ ＝ ，
∴AC＝ ＝ ＝ ，
故选：D．
10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以其三边为边分别向外作正方形，延长EC，DB
分别交GF，AH于点N，K，连接KN交AG于点M，若S ﹣S ＝2，AC＝4，则AB的长
1 2
为（ ）A．2 B． C． D．
【答案】A
【解答】解：（1）如图，根据条件得到“K”型△ABC≌△FNC，得到NF＝AB＝x．
（2）连接 GK，可以发现△GNK 的面积＝GN×AG÷2＝2GN，同理△KAG 的面积＝
2AK．
利用条件S ﹣S ＝2，得到GN﹣AK＝1，即n﹣m＝1，又因为n+x＝4，所以m＝3﹣x．
1 2
（3）在△KBC中，有射影定理AB2＝AC×AK．
这样可以得到方程：x2＝4×（3﹣x），解得x＝2，即AB＝2．
故选：A．
11．如图，AB＝AC＝4，P是BC上异于B、C的一点，则AP2+BP•PC的值是（ ）
A．16 B．20 C．25 D．30
【答案】A
【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D．∵AD⊥BC，
∴△ADP与△ABD都为直角三角形．
∴AP2＝AD2+DP2，AB2＝AD2+BD2．
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD．
∵PC＝CD+DP，BD＝CD，
∴PC＝BD+DP．
∵BP＝BD﹣DP，PC＝BD+DP，
∴BP•PC＝BD2﹣DP2．
∵AP2＝AD2+DP2，BP•PC＝BD2﹣DP2，
∴AP2+BP×PC＝AD2+BD2．
∵AB2＝AD2+BD2，AP2+BP×PC＝AD2+BD2，
∴AP2+BP•PC＝AB2．
∵AB＝4，
∴AP2+BP•PC＝16．
故选：A．
12．如图，在四边形ABCD中，已知AC⊥BD，AC＝4，BD＝5，则AD+BC的最小值是（
）
A．3 B．6 C． D．
【答案】D
【解答】解：设AC，BD的交点为O，AB，BC，CD，DA的中点分别是P，Q，R，S，连接PQ，QR，RS，SP，OQ，OS，QS，如图：
∵AC，BD互相垂直，
∴△AOD和△BOC为直角三角形，且AD，BC分别为斜边，
∴AD＝2OS，BC＝2OQ，
∴AD+BC＝2（OS+OQ），
∴当OS+OQ为最小时，AD+BC为最小，
根据“两点之间线段最短”得：OQ+OS≥QS，
∴当点O在线段QS上时，OQ+OS为最小，最小值为线段QS的长，
∵点P，Q分别为AB，BC的中点，
∴PQ为△ABC的中位线，
∴PQ＝ AC＝2，PQ∥AC，
同理：QR＝ BD＝ ，QR∥BD，RS＝ AC＝2，RS∥AC，SP＝ BD＝ ，SP∥BD，
∴PQ∥AC∥RS，QR∥BD∥SP，
∴四边形PQRS为平行四边形，
∵AC⊥BD，PQ∥AC，SP∥BD，
∴PQ⊥SP，
∴四边形PQRS为矩形，
在Rt△PQS中，PQ＝2，SP＝ ，
由勾股定理得：QS＝ ＝ ，
∴OQ+OS的最小值为 ，
∴AD+BC的最小值为 ．
故选：D．
13．如图，在△ABC中，AC＝8，∠A＝30°，∠B＝45°，点P是AC延长线上一动点，PM⊥BC边与点M，PN⊥AB边与点N，连接MN，则MN的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：过点C作CH⊥AB，
∵∠A＝30°，AC＝8，
∴CH＝4，AH＝4 ，
∵∠B＝45°，
∴BH＝CH＝4，
∴AB＝4+4 ，
连接PB，取PB的中点Q，连接MQ，QN，
∵PM⊥BC PN⊥AB，
∴点P，M，N，B四点共圆，点Q为圆心，
∵∠B＝45°，
∴∠MQN＝2∠B＝90°，
∴MN＝ QN，
∵PB＝2QN，
∴MN＝ PB，
∴当PB最小时，MN最小，
设PN＝x，
∵∠A＝30°，
∴PA＝2x，AN＝ x，
∴BN＝4+4 ﹣ x，
∵PB2＝PN2+NB2，∴PB2＝x2+（4+4 ﹣ x）2＝4x2﹣（8 +24）x+64+32 ，
∵4＞0，
∴当x＝ ＝ +3时，即PN＝ +3时，PB2有最小值，
此时BN＝4+4 ﹣ x＝ +1，
∴PN＝ BN，
∴PB＝2BN＝2 +2，
∴MN＝ ×（2 +2）＝ + ，
故选：A．
14．如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，连结 CF，作
GM⊥CF于点M，BJ⊥GM于点J，AK⊥BJ于点K，交CF于点L．若正方形ABGF与
正方形JKLM的面积之比为5，CE＝ + ，则CH的长为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【解答】解：设CF交AB于点P，过C作CN⊥AB于点N，如图：设正方形JKLM边长为m，
∴正方形JKLM面积为m2，
∵正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，
∴正方形ABGF的面积为5m2，
∴AF＝AB＝ m，
由已知可得：∠AFL＝90°﹣∠MFG＝∠MGF，∠ALF＝90°＝∠FMG，AF＝GF，
∴△AFL≌△FGM（AAS），
∴AL＝FM，
设AL＝FM＝x，则FL＝FM+ML＝x+m，
在Rt△AFL中，AL2+FL2＝AF2，
∴x2+（x+m）2＝（ m）2，
解得x＝m或x＝﹣2m（舍去），
∴AL＝FM＝m，FL＝2m，
∵tan∠AFL＝ ＝ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴AP＝ ，
∴FP＝ ＝ ＝ m，BP＝AB﹣AP＝ m﹣ ＝
，∴AP＝BP，即P为AB中点，
∵∠ACB＝90°，
∴CP＝AP＝BP＝ ，
∵∠CPN＝∠APF，∠CNP＝90°＝∠FAP，
∴△CPN∽△FPA，
∴ ＝ ＝ ，即 ＝ ＝ ，
∴CN＝m，PN＝ m，
∴AN＝AP+PN＝ m，
∴tan∠BAC＝ ＝ ＝ ＝ ，
∵△AEC和△BCH是等腰直角三角形，
∴△AEC∽△BCH，
∴ ＝ ，
∵CE＝ + ，
∴ ＝ ，
∴CH＝2 ，
故选：C．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC，BC和AB为边向上作正方形ACED和正方
形BCMI和正方形ABGF，点G落在MI上，若AC+BC＝7，空白部分面积为16，则图
中阴影部分的面积是 ．【答案】 ．
【解答】解：如图，
∵四边形ABGF是正方形，
∴∠FAB＝∠AFG＝∠ACB＝90°，
∴∠FAC+∠BAC＝∠FAC+∠ABC＝90°，
∴∠FAC＝∠ABC，
∴△FAH≌△ABN（ASA），
∴S△FAH ＝S△ABN ，
∴S△ABC ＝S四边形FNCH ，
在△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∵AC+BC＝7，
∴（AC+BC）2＝AC2+BC2+2AC•BC＝49，
∴AB2+2AC•BC＝49，
∵AB2﹣S△ABC ＝16，
∴AB2﹣ AC•BC＝16，
∴BC•AC＝ ，AB2＝ ，∴AC2+BC2＝ ，
∴阴影部分的面积和＝AC2+BC2+2S△ABC ﹣S白 ＝ +2× × ﹣16＝ ．
故答案为： ．
16．如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E，使得∠CDE＝15°，连接BE并延长
BE 到 F，使 CF＝CB，BF 与 CD 相交于点 H，若 AB＝ ，有下列四个结论：
①∠CBE＝15°；②AE＝ +1；③S△DEC ＝ ；④CE+DE＝EF．则其中正确的
结论有 ①②④ ．（填序号）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠BCE＝∠DCE＝45°．
在△BCE和△DCE中， ，
∴△BCE≌△DCE（SAS），
∴∠CBE＝∠CDE＝15°，故①正确；
②过D作DM⊥AC于M，
∵∠CDE＝15°，∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝75°，
∵∠DAE＝45°，
∴∠AED＝60°，
∵AD＝AB＝ ，∴AM＝DM＝ × ＝ ，
∴ME＝ DM＝ × ＝1，
∴AE＝ +1，故②正确；
③根据勾股定理求出AC＝2 ，
∵DM＝ ，EM＝1，
∵∠DCA＝45°，∠AED＝60°，
∴CM＝ ，
∴CE＝CM﹣EM＝ ﹣1，
∴S△DEC ＝ ×（ ﹣1）× ＝ ，故③错误；
④在EF上取一点G，使EG＝EC，连接CG，
∵BC＝CF，
∴∠CBE＝∠F，
∴∠CBE＝∠CDE＝∠F＝15°．
∴∠CEG＝60°．
∵CE＝GE，
∴△CEG是等边三角形．
∴∠CGE＝60°，CE＝GC，
∴∠GCF＝45°，
∴∠ECD＝GCF．
在△DEC和△FGC中， ，
∴△DEC≌△FGC（SAS），
∴DE＝GF．
∵EF＝EG+GF，
∴EF＝CE+ED，故④正确；故答案为：①②④．
17．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以△ABC的三条边为直角边作三个等腰直角三
角形：△ABD、△ACE、△BCF，若图中阴影部分的面积S ＝6.5，S ＝3.5，S ＝5.5，则
1 2 3
S ＝ 2. 5 ．
4
【答案】2.5．
【解答】解：∵△ABD、△ACE、△BCF均是等腰直角三角形，
∴AB＝BD，AC＝CE，BC＝CF，
设AB＝BD＝a，AC＝CE＝b，BC＝CF＝c，S△ABG ＝m，S△ACH ＝n，
∵a2+b2＝c2，
∴S△ABD +S△ACE ＝S△BCF ，
∴S +m+n+S ＝S +S +m+n，
1 4 2 3
∴S ＝3.5+5.5﹣6.5＝2.5
4
故答案为：2.5．
18．阅读：如图1，在△ABC中，3∠A+∠B＝180°，BC＝8，AC＝10，求AB的长．
小明的思路：如图2，作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE＝AE，连
接 BD ， 易 得 ∠ A ＝ ∠ D ， △ ABD 为 等 腰 三 角 形 ， 由 3∠ A+∠ B ＝ 180° 和
∠A+∠ABC+∠BCA＝180°，易得∠BCA＝2∠A，△BCD为等腰三角形，依据已知条件可得AE和AB的长．
解决下列问题：
（1）图2中，AE＝ 9 ，AB＝ 1 2 ；
（2）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a、b、c．如图3，当3∠A+2∠B＝
180°时，用含a，c式子表示b．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图2，作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE＝
AE，连接BD，
则BE是AD的垂直平分线，
∴AB＝BD，∠A＝∠D，
∵3∠A+∠ABC＝180°，∠A+∠ABC+∠BCA＝180°，
∴∠BCA＝2∠A，
∵∠BCA＝∠D+∠CBD，
∴∠BCA＝∠A+∠CBD＝2∠A，
∴∠CBD＝∠A，
∴DC＝BC＝8，
∴AD＝DC+AC＝8+10＝18，
∴AE＝AD＝9，
∴EC＝AD﹣CD＝9﹣8＝1．
∴在直角△BCE和直角△AEB中，
由勾股定理得到：BC2﹣CE2＝AB2﹣AE2，即82﹣12＝AB2﹣92，
解得，AB＝12，
故答案为：9；12；
（2）作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE＝AE，连接BD，
则BE是边AD的垂直平分线，
∴AB＝BD，∠A＝∠D．
∵3∠A+2∠B＝180°，∠A+∠ABC+∠BCA＝180°，∴2∠A+∠ABC＝∠ACB，
∵∠ACB＝∠D+∠DBC，
∴2∠A+∠ABC＝∠D+∠DBC，
∵∠A＝∠D，
∴∠A+∠ABC＝∠DBC，BD＝AB＝c，即∠DCB＝∠DBC，
∴DB＝DC＝c，
由题意得，DE＝AE＝ ，
∴EC＝AE﹣AC＝ ﹣b＝ ，
在Rt△BEC中，BE2＝BC2﹣EC2，
在Rt△BEA中，BE2＝BA2﹣EA2，
∴BC2﹣EC2＝BA2﹣EA2，即a2﹣（ ）2＝c2﹣（ ）2，
整理得，b＝ ．
19．如图，已知四边形ABCD中，AB∥CD，BC＝AD＝4，AB＝CD＝10，∠DCB＝90°，E
为CD边上的一点，DE＝7，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿着边AB向终
点B运动，连接PE，设点P运动的时间为t秒．
（1）求BE的长；
（2）若△BPE为直角三角形，求t的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵CD＝10，DE＝7，
∴CE＝10﹣7＝3，在Rt△CBE中，BE＝ ＝5；
（2）当∠BPE＝90°时，AP＝10﹣3＝7，
则t＝7÷1＝7（秒），
当∠BEP＝90°时，BE2+PE2＝BP2，即52+42+（7﹣t）2＝（10﹣t）2，
解得，t＝ ，
∴当t＝7或 时，△BPE为直角三角形．
20．如图1，四边形ADCO中，∠AOC＝90°，∠ADC＝90°，AD＝7，DC＝24，CO＝15．
（1）求线段AO的长度；
（2）如图2所示，OB是∠AOC的平分线，一动点P从点O出发，以每秒2个单位长度
的速度沿射线OB运动．设点P的运动时间为t秒，当△AOP是等腰三角形时，请求出t
的值．
【答案】（1）20；
（2）t的值为5 或10或10 ．
【解答】解：如图1，连接AC，
∵∠ADC＝90°，AD＝7，DC＝24，
∴AC＝ ＝ ＝25，
∵∠AOC＝90°，CO＝15，
∴AO＝ ＝ ＝20；（2）如图2，∵OB是∠AOC的平分线，
∴∠AOB＝∠COB＝45°，
∵一动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线OB运动，设点P的运动时
间为t秒，
∴OP＝2t，
当△AOP是等腰三角形时，分3种情况讨论：
①当AP＝OP时，
∴∠PAO＝∠POA＝45°，
∴△AOP是等腰直角三角形，
由（1）知：AO＝20，
∴OP＝ AO＝10 ，
∴2t＝10 ，
∴t＝5 ；
②当OA＝OP″时，
∴2t＝20，
∴t＝10；
③当AP′＝AO时，
∴∠AP′O＝∠AOP′＝45°，
∴△AOP′是等腰直角三角形，
∴OP＝ AO＝20 ，
∴2t＝20 ，
∴t＝10 ，∴t的值为5 或10或10 ．
21．如图，△ABC 中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若动点 P 从点 C 开始，按
C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求△ABP的周长；
（2）当t为几秒时，BP平分∠ABC；
（3）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，∴有勾股定理得AC＝8cm，动
点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm
∴出发2秒后，则CP＝2cm，那么AP＝6cm．
∵∠C＝90°，
∴由勾股定理得PB＝2 cm
∴△ABP的周长为：AP+PB+AB＝6+10+2 ＝（16+2 ）cm；
（2）如图2所示，过点P作PD⊥AB于点D，
∵BP平分∠ABC，
∴PD＝PC．
在Rt△BPD与Rt△BPC中， ，
∴Rt△BPD≌Rt△BPC（HL），
∴BD＝BC＝6 cm，
∴AD＝10﹣6＝4 cm．
设PC＝x cm，则PA＝（8﹣x）cm
在Rt△APD中，PD2+AD2＝PA2，
即x2+42＝（8﹣x）2，解得：x＝3，
∴当t＝3秒时，BP平分∠CAB；
（3）若P在边AC上时，BC＝CP＝6cm，
此时用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；
若P在AB边上时，有两种情况：
①若使BP＝CB＝6cm，此时AP＝4cm，P运动的路程为12cm，
所以用的时间为12s，故t＝12s时△BCP为等腰三角形；
②若CP＝BC＝6cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为4.8cm，
根据勾股定理求得BP＝7.2cm，
所以P运动的路程为18﹣7.2＝10.8cm，
∴t的时间为10.8s，△BCP为等腰三角形；
③若BP＝CP时，则∠PCB＝∠PBC，
∵∠ACP+∠BCP＝90°，∠PBC+∠CAP＝90°，∴∠ACP＝∠CAP，∴PA＝PC
∴PA＝PB＝5cm
∴P的路程为13cm，所以时间为13s时，△BCP为等腰三角形．
∴t＝6s或13s或12s或 10.8s 时△BCP为等腰三角形．
七．勾股定理的证明（共2小题）
22．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所
示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设
直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝6，大正方形的面积为16，
则小正方形的面积为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3【答案】C
【解答】解：由题意可得， ，
∴小正方形的面积＝（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝16﹣12＝4，
故选：C．
23．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形 ABCD 与正方形
EFGH．连结EG，BD相交于点O、BD与HC相交于点P．若GO＝GP，则 的值
是（ ）
A．1+ B．2+ C．5﹣ D．
【答案】B
【解答】解：∵四边形EFGH为正方形，
∴∠EGH＝45°，∠FGH＝90°，
∵OG＝GP，
∴∠GOP＝∠OPG＝67.5°，
∴∠PBG＝22.5°，
∵∠DBC＝45°，
∴∠GBC＝22.5°，
∴∠PBG＝∠GBC，
∵∠BGP＝∠BGC＝90°，
在△BPG和△BCG中，
，∴△BPG≌△BCG（ASA），
∴PG＝CG．
设OG＝PG＝CG＝x，
∵O为EG，BD的交点，
∴EG＝2x，FG＝ x，
∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，
∴BF＝CG＝x，
∴BG＝x+ x，
∴BC2＝BG2+CG2＝x2（ +1）2+x2＝（4+2 ）x2，
∴ ＝ ＝ ＝2+ ．
故选：B．
八．勾股定理的逆定理（共2小题）
24．已知△ABC中，BC＝m﹣n（m＞n＞0），AC＝2 ，AB＝m+n．
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）当∠A＝30°时，求m，n满足的关系式．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵BC＝m﹣n（m＞n＞0），AC＝2 ，AB＝m+n，
∴AC2+CB2＝（m﹣n）2+4mn＝m2+n2﹣2mn+4mn＝m2+n2+2mn＝（m+n）2＝AB2．
∴∠C＝90°．
∴△ABC是为直角三角形；
（2）∵∠A＝30°，
∴ ＝ ＝ ，
∴m＝3n．
25．定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三
角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点．（1）已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若AM＝1.5，MN＝2.5，BN＝2，则
点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．
（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝24，AM＝6，求
BN的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）是．
理由：∵AM2+BN2＝1.52+22＝6.25，MN2＝2.52＝6.25，
∴AM2+NB2＝MN2，
∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，
∴点M、N是线段AB的勾股分割点．
（2）设BN＝x，则MN＝24﹣AM﹣BN＝18﹣x，
①当MN为最长线段时，依题意MN2＝AM2+NB2，
即（18﹣x）2＝x2+36，
解得x＝8；
②当BN为最长线段时，依题意BN2＝AM2+MN2．
即x2＝36+（18﹣x）2，
解得x＝10，
综上所述，BN＝8或10．
九．勾股定理的应用（共6小题）
26．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的
最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，
更因为应用广泛而使人入迷．
如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1m，将它往前推6m至C处时（即水平
距离CD＝6m），踏板离地的垂直高度CF＝4m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是
（ ）m．A． B． C．6 D．
【答案】B
【解答】解：设绳长为x米，
在Rt△ADC中，
AD＝AB﹣BD＝AB﹣（DE﹣BE）＝x﹣（4﹣1）＝（x﹣3）米，
DC＝6m，AC＝x米，
∴AB2+DC2＝AC2，
根据题意列方程：x2＝（x﹣3）2+62，
解得：x＝ ，
∴绳索AC的长是 ．
故选：B．
27．如图，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是以AB为直径的半圆，下方是长方
形的仿古通道，已知AD＝2.3米，CD＝2米；现有一辆卡车装满家具后，高2.5米，宽
1.6米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道？请说出你的理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵车宽1.6米，
∴卡车能否通过，只要比较距厂门中线0.8米处的高度与车高．在Rt△OEF中，由勾股定理可得：
EF＝ ＝ ＝0.6（m），
EH＝EF+FH＝0.6+2.3＝2.9＞2.5，
∴卡车能通过此门．
28．如图是盼盼家新装修的房子，其中三个房间甲、乙、丙，他将一个梯子斜靠在墙上，
梯子顶端距离地面的垂直距离记作MA，如果梯子的底端P不动，顶端靠在对面墙上，
此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作NB．
（1）当盼盼在甲房间时，梯子靠在对面墙上，顶端刚好落在对面墙角B处，若MA＝
1.6米，AP＝1.2米，则甲房间的宽度AB＝ 3. 2 米．
（2）当他在乙房间时，测得MA＝2.4米，MP＝2.5米，且∠MPN＝90°，求乙房间的宽
AB；
（3）当他在丙房间时，测得MA＝2.8米，且∠MPA＝75°，∠NPB＝45°．
①求∠MPN的度数；
②求丙房间的宽AB．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）在Rt△AMP中，∵∠A＝90°，MA＝1.6米，AP＝1.2米，
∴PM＝ ＝ ＝2，
∵PB＝PM＝2，∴甲房间的宽度AB＝AP+PB＝3.2米，
故答案为：3.2；
（2）∵∠MPN＝90°，
∴∠APM+∠BPN＝90°，
∵∠APM+∠AMP＝90°，
∴∠AMP＝∠BPN．
在△AMP与△BPN中， ，
∴△AMP≌△BPN，
∴MA＝PB＝2.4，
∵PA＝ ＝0.7，
∴AB＝PA+PB＝0.7+2.4＝3.1；
（3）①∠MPN＝180°﹣∠APM﹣∠BPN＝60°；
②过N点作MA垂线，垂足点D，连接NM．
设AB＝x，且AB＝ND＝x．
∵梯子的倾斜角∠BPN为45°，
∴△BNP为等腰直角三角形，△PNM为等边三角形（180°﹣45°﹣75°＝60°，梯子长度
相同），∠MND＝15°．
∵∠APM＝75°，
∴∠AMP＝15°．
∴∠DNM＝∠AMP，
∵△PNM为等边三角形，
∴NM＝PM．
∴△AMP≌△DNM（AAS），
∴AM＝DN，
∴AB＝DN＝AM＝2.8米，
即丙房间的宽AB是2.8米．29．今年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，
有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为
一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又
AB＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响．
（1）海港C受台风影响吗？为什么？
（2）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【答案】（1）海港C受台风影响，理由见解答过程；
（2）台风影响该海港持续的时间为 小时．
【解答】解：（1）海港C受台风影响，理由：
∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；
过点C作CD⊥AB于D，
∵△ABC是直角三角形，
∴AC×BC＝CD×AB，
∴300×400＝500×CD，
∴CD＝240（km），
∵以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域，
∴海港C受台风影响；
（2）当EC＝260km，FC＝260km时，正好影响C港口，
∵ED＝ （km），∴EF＝2ED＝200km，
∵台风的速度为28千米/小时，
∴200÷28＝ （小时）．
答：台风影响该海港持续的时间为 小时．
30．已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°∠A、∠B、∠C所对的边分别记作a、b、c．如图
1，分别以△ABC的三条边为边长向外作正方形，其正方形的面积由小到大分别记作
S 、S 、S ，则有S +S ＝S ；
1 2 3 1 2 3
（1）如图2，分别以△ABC的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分别
记作S 、S 、S ，请问S +S 与S 有怎样的数量关系，并证明你的结论；
1 2 3 1 2 3
（2）分别以直角三角形的三条边为直径作半圆，如图 3所示，其面积由小到大分别记
作S 、S 、S ，根据（2）中的探索，直接回答S +S 与S 有怎样的数量关系；
1 2 3 1 2 3
（3）若Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，求出图4中阴影部分的面积．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵ ，根据勾股定理可知：S +S ＝S ；
1 2 3
（2）S +S ＝S ；
1 2 3
（3）S阴影部分 ＝S
1
+S
2
﹣（S
3
﹣S△ABC ）
＝S△ABC ＝ ×6×8＝24．
31．已知在△ABC中，AB＝AC，点D在线段BC上，点F在射线AD上，连接CF，作
BE∥CF交射线AD于E，∠CFA＝∠BAC＝ ．
（1）如图1，当 ＝70°时，∠ABE＝15°时，α求∠BAE的大小；
（2）当 ＝90°，αAB＝AC＝8时，
①如图2α．连接BF，当BF＝BA，求CF的长；
②若AD＝ ，求CF的长．
【答案】（1）55°；
（2）① ；②： 或 ．
【解答】解：（1）∵BE∥CF，∠CFA＝∠BAC＝ ＝70°，
∴∠BED＝70°， α
∵∠BED＝∠ABE+∠BAE，∠ABE＝15°，
∴∠BAE＝70°﹣15°＝55°；
（2）①∵BF＝BA，AB＝AC，
∴BF＝AC，
∵BE∥CF，∠CFA＝∠BAC＝ ＝90°，
∴BE⊥AF，AE＝EF，∠ABE＝α∠FBE，∠BEF＝∠AFC＝90°，∴∠ABE+∠BAE＝90°＝∠BAE+∠CAF，
∴∠ABE＝∠CAF，
∴∠CAF＝∠FBE，
∴△BEF≌△AFC（AAS），
∴EF＝FC，
∴ ，
∵AB＝AC＝8，
∴CF2+（2CF）2＝64，
解得： （负根舍去）；
②如图，过A作AM⊥BC于M，当D在M的右边时，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝8，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由（1）得：∠ABE＝∠CAF，
而∠AEB＝∠AFC＝90°，AB＝AC，
∴△BAE≌△ACF（AAS），
∴ ，
当D在M的左边时，如图，同理可得： ， ， ，
∴ ；
综上： 或 ．
一十．四边形综合题（共1小题）
32．如图，长方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，在边CD上取一点E，将△ADE折叠后点
D恰好落在BC边上的点F处
（1）求CE的长；
（2）在（1）的条件下，BC边上是否存在一点P，使得PA+PE值最小？若存在，请求
出最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）长方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，
∴∠B＝∠BCD＝90°，CD＝AB＝8，AD＝BC＝10，
由折叠知，EF＝DE，AF＝AD＝8，在Rt△ABF中，根据勾股定理得，BF＝ ＝6，
∴CF＝BC﹣BF＝4，
设CE＝x，则EF＝DE＝CD﹣CE＝8﹣x，
在Rt△ECF中，根据勾股定理得，CF2+CE2＝EF2，
∴16+x2＝（8﹣x）2，
∴x＝3，
∴CE＝3；
（2）如图，延长EC至E'使CE'＝CE＝3，连接AE'交BC于P，
此时，PA+PE最小，最小值为AE'，
∵CD＝8，
∴DE'＝CD+CE'＝8+3＝11，
在Rt△ADE'中，根据勾股定理得，AE'＝ ＝ ．
