第二十三章旋转综合题拓展训练（9考点60题）(学生版）_初中数学_九年级数学上册（人教版）_知识点汇总-U105_2025版

第二十三章 旋转综合题拓展训练 目录与链接 考点一 、 线段的旋转问题 ……………………………………………………………………………2 考点二 、 三角形的旋转 ……………………………………………………………………………19 考点 三、 四边形的旋转 ……………………………………………………………………………38 考点四、一次函数的图象旋转问题………………………………………………………………53 考点五、二次函数背景下的旋转问题……………………………………………………………66 考点六、二次函数的中心对称问题………………………………………………………………84 考点七、与旋转有关的最值问题…………………………………………………………………108 考点八、利用旋转构造图形解决问题……………………………………………………………128 考点九、旋转规律探究……………………………………………………………………………146 考点一、线段的旋转问题 1．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，等腰直角 中， ，将线段 绕点C逆时针旋转（ ）得到线段 ，作点A关于线段 所在直线的对称 点E，连接 和 ，分别交线段 所在直线于点M和点F，若 ， ，则 的长为 ． 2．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期末）如图，在矩形 中， ，点P是 边上一点，连接 ，以A为中心，将线段 绕点A逆时针旋转 得到 ，连接 ，且 ，则 的长度为 ． 3．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）如图①，在矩形 中，点E 在边 上，点 F 在边 上，连 接 ，已知 (1)求证： 平分 ； (2)如图②，若矩形 为正方形，求 的度数； (3)如图③，在（2）的基础上，将点E绕点D顺时针旋转使点E的对应点落到点 ，已知点 恰好落在 边 的延长线上，连接 ，若 ，求 的面积. 4．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图1，在 中，对角线 相交于点O，且 ， ，点E为线段 上一动点，连接 ，将 绕点D逆时针旋转 得到 ， 连接 ．(1)求证： ； (2)求证： ； (3)如图2，当点F落在 的外面， 交 于点M，且能构成四边形 时，四边形 的面 积是否发生变化？若不变，请末出这个值，若变化，请说明理由． 5．（22-23七年级下·上海·期末）已知在 中， ， ，点 为直线 上一动点 （点 不与点 重合），将射线 绕点 顺时针旋转 得到 ，直线 与射线 交于点 ，过 点 作 的垂线，交直线 于点 ； (1)如图，若点 在线段 上，且 ，求证： ； (2)若点 在线段 的延长线上，且 ，那么第（1）小问的结论还成立吗？请说明理由；(3)若点 在直线 上运动，当 是等腰三角形时，直接写出 的度数． 6．（23-24九年级上·四川成都·开学考试）【阅读理解】已知M，N为平面内不重合的两点．给出以下定 义：将M绕N顺时针旋转 的过程记作变换 ．例如：在平面直角坐标系 中，已知 点 ， ，则O经过变换 后所得的点B的坐标为 ． 【迁移应用】如图，在平面直角坐标系 中，直线 分别与x轴，y轴交于点 ，B，设A 经过变换 后得到C． (1)求点C的坐标； (2)过C作 轴于D，点E是线段 上一动点，设E经过变换 后得到点F，连接 ， ． （i）若 的面积为3，求点F的坐标； （ii）设点O是y轴上一动点，当以A，B，F，M四点为顶点的四边形为平行四边形时，求点M的坐标． 7．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）问题探究 如图1，在正方形 中，对角线 相交于 点O．在线段 上任取一点P（端点除外），连接 ．将线段 绕点P逆时针旋转，使点D落在 的延长线上的点Q处． （1）求证： ； （2）探究 与 的数量关系，并说明理由． 迁移探究 如图2，将正方形 换成菱形 ，且 ，其他条件不变．试探究 与 的数量关系，并说明理由．考点二、三角形的旋转 8．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图，将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子，其中 ， ， ， 分别与 交于 ， 两点，将 绕着点 顺时 针旋转 得到 ，则下列结论： ； DA平分 ； 若 ， ，则 ； 若 ，则 ．其中正确的个数有（ ） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 9．（2024·浙江·模拟预测）在 中， ， ．将 绕点 顺时针旋转 （ ），直线 与直线 交于点 ，点 间的距离记为 ，点 间的距离记为 ．给 出下面四个结论：① 的值一直变大；② 的值先变小再变大；③当 时， 的值保持 不变；④当 ， 的值保持不变；上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 10．（22-23八年级下·四川成都·期中）如图， 和 是两个不全等的等腰直角三角形，其中， ，连接 ，点M是 的中点，连接 ． (1)若点D在边 上，如图1，试探究 之间的关系，并说明理由； (2)若将图1中的 绕点A逆时针旋转 ，如图2，那么（1），中的结论是否仍成立？ 如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出新结论并证明； (3)若将图1中的 绕点A逆时针旋转 ，如图3， ， ，求BM的长． 11．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图1，已知 中， ， ，把一块含 角的 三角板 的直角顶点D放在 的中点上（直角三角板的短直角边为 ，长直角边为 ），点C在 上点B在 上． (1)求重叠部分 的面积； (2)如图2，将直角三角板 绕D点按顺时针方向旋转30度， 交 于点M， 交 于点N， ①请说明 ； ②在此条件下重叠部分的面积会发生变化吗？若发生变化，若不发生变化，请说明理由； (3)如图3，将直角三角板 绕D点按顺时针方向旋转α度（ ）， 交 于点M， 交 于点N，则 的结论仍成立吗？重叠部分的面积会变吗？（请直接写出结论不需说明理由） 12．（23-24八年级下·山西晋城·阶段练习）综合与实践： 问题情境： 在数学活动课上，老师要求同学们以矩形为背景探究几何图形运动变化中的数学结论．如 图1，在矩形 中，点O为对角线 的中点，点E 在 边上，且 ， 线段 的延长线交 于点 F． （1）如果 ，则 ． 操作探究： （2）“善思”小组的同学将图1中的 绕点B顺时针旋转(设点O，E的对应点分别为 )， 在分析旋转到不同位置时的情形后，提出如下问题，请你解答：①如图2，当点 落在 边上时， 所在的直线与 存在什么样的位置关系？并 说明理由 ②如图3，当点 落在 的延长线上时，连接 ， 判断四边形 的形状，直接写出结果，无需说 明理由． 13．（23-24八年级下·辽宁大连·阶段练习）图形的变换是初中数学学习中的重要内容，在中考前的探究专 题课上，小亮老师带领同学们对以下图形进行了变换探究．如图在 中， ， ，点D是 边上一点，连接 ． (1)如图1，智慧小组的同学将线段 绕点A逆时针旋转90°至 ．提出问题：求证 ； (2)如图2，善思小组的同学将线段 沿 翻折至 ，延长 和 交于点E．提出问题： 若 ，求 的面积； (3)如图3，小亮老师给出了自己的变换方式，若 ，在线段 上取点E，点上关于直线 的对称 点为M，连接 ，将 绕点B顺时针旋转 至 ，连接 ． ①求证 ； ②当 时，直接与出 的长度． 14．（23-24八年级下·山东济南·期末）综合与实践． 【初步探究】某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形 和等腰 直角三角形 ，按如图1的方式摆放， ，随后保持 不动，将 绕点 按逆 时针方向旋转 ，连接 ，延长 交 于点 ，交 于点 ，连接 ．该数学兴 趣小组进行如下探究，请你帮忙解答： （1）如图2，当 时： ①则 ______°；②判断 与 的位置关系，并说明理由． 【深入探究】 （2）如图3，当点 重合时，请直接写出 之间的数量关系：______； 【拓展延伸】 （3）如图4，在等边 中， 于点 ，点 在线段 上（不与 重合），以 为边在 的左侧构造等边 ，将 着点 在平面内顺时针旋转任意角度．如图5， 为 的中点， 为 的中点．请说明 为等腰三角形． 考点三、四边形的旋转 15．（2024·河南商丘·模拟预测）如图，已知正方形 的边长为2，另一边长为 的正方形 的 中心与点A重合，连接 ，设 的中点为 ，连接 ，当正方形 绕点A旋转时， 的最小 值为 ． 16．（2024·四川巴中·中考真题）综合与实践 (1)操作与发现：平行四边形和梯形都可以剪开拼成一个矩形，拼接示意图如图1、图2．在图2中，四边 形 为梯形， ， 是 边上的点．经过剪拼，四边形 为矩形．则______． (2)探究与证明：探究将任意一个四边形剪开拼成一个平行四边形，拼接示意图如图3、图4、图5．在图5 中， 是四边形 边上的点． 是拼接之后形成的四边形． ①通过操作得出： 与 的比值为______． ②证明：四边形 为平行四边形． (3)实践与应用：任意一个四边形能不能剪开拼成一个矩形？若能，请将四边形 剪成4块，按图5的 方式补全图6，并简单说明剪开和拼接过程．若不能，请说明理由． 17．（23-24八年级下·甘肃武威·期末）某班级开展数学讨论课，老师给出两个大小不同的正方形，要求同 学们利用这两个图形提出不同的数学问题，并解决问题． 【问题提出】（ ）小明思考后提出问题：如图 ，大正方形 和小正方形 ，顶点 重合，点 分别在边 ， 上．那么线段 满足什么数量关系? 【联系迁移】（ ）小颖受此问题启发，思考并提出新的问题：如图 ，将图 中的小正方形 绕点 顺时针旋转 ，（旋转不改变图形的形状和大小）使点 在边 上， 在 的延长线上，连接 ．那么线段 满足什么数量关系?说明理由； 【开放探索】（ ）小新深入研究前面提出的问题，发现并提出新的问题：如图 ，将图 中的小正方形 绕点 顺时针旋转任意角度，连接 ．那么线段 仍然具有（ ）（ ）中的数量关系 吗?说明理由．18．（23-24八年级下·河北张家口·期末）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点 ，直 线 轴，交y轴于点 ，点 在直线l上，将矩形 绕点O按顺时针方向旋转 度，得 到矩形 ，此时直线 、 分别与直线l相交于点P、Q． (1)当 时，点 的坐标为______； (2)如图2，当点 落在l上时，点P的坐标为______； (3)如图3，当矩形 的顶点 落在l上时， ①求 的长度； ②求 ． 19．（23-24八年级下·湖北十堰·期末）如图，一次函数 的图像交 轴于 点，交 轴于 点，以 ， ， 三点为顶点作矩形 ，将矩形 绕 点顺时针旋转 ，得到矩形 ，直线 交直线 于点 ．(1)求直线 的解析式； (2)求证： 是 的角平分线； (3)在角平分线 上，是否存在点 ，使得以 ， ， 为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在， 请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 20．（23-24八年级下·江西吉安·期末）问题情景 已知 与 中， ，同学们利用这样的两张 平行四边形纸片开展操作实验，从中发现；许多有趣的数学问题，请你们和他一起探索． 拼图思考： （1）希望小组的同学将 与 按照如图1所示摆放，其中点B与 重合，点 落在 边 上，点 落在 边的延长线上，他们提出了如下问题，请你解答： ①求证： 平分 ； ②求点 之间的距离． 操作探究： （2）创新小组的同学在图1的基础上进行了如下操作：保持 不动，将 绕点B沿顺时针 方向旋转，连接 ，他们又提出如下问题： ①当线段 与 交于点P时，如图2，求证：点B在 的垂直平分线上； ②在 旋转的过程中，当点 恰好落在线段 的延长线上时，请在图3中补全图形，并直接写 出此时点 之间的距离． 考点四、一次函数的图象旋转问题21．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中， 是等边三角形，点 ，直 线 绕 轴上一点 顺时针旋转120°，得到的直线 恰好经过点 ，则点 的坐标是 ． 22．（20-21八年级上·上海黄浦·期中）如图，正方形ABCD的顶点A、B落在x轴正半轴上，点C落在正 比例函数y＝kx（k＞0）上，点D落在直线y＝2x上，且点D的横坐标为a． （1）直接写出A、B、C、D各点的坐标（用含a的代数式表示）； （2）求出k的值； （3）将直线OC绕点O旋转，旋转后的直线将正方形ABCD的面积分成1：3两个部分，求旋转后得到的 新直线解析式． 23．（18-19八年级下·吉林·阶段练习）（1）探究发现 数学活动课上，小明说“若直线 向左平移3个单位，你能求平移后所得直线所对应函数表达式 吗？” 经过一番讨论，小组成员展示了他们的解答过程： 在直线 上任取点 ， 向左平移3个单位得到点 设向左平移3个单位后所得直线所对应的函数表达式为 ． 因为 过点 ， 所以 ， 所以 ，填空：所以平移后所得直线所对应函数表达式为 （2）类比运用 已知直线 ，求它关于 轴对称的直线所对应的函数表达式； （3）拓展运用 将直线 绕原点顺时针旋转90°，请直接写出：旋转后所得直线所对应的函数表达式 ． 24．（21-22八年级下·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣1的图象分别交x轴、 y轴于点A、B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C． (1)点A坐标是（ ， ）、点B坐标是（ ， ）； (2)求直线BC的函数表达式； (3)点M是射线BA上的点，在平面内是否存在点N，使得以M、N、B、C为顶点的四边形是菱形，如果存 在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由． 25．（21-22八年级下·浙江金华·开学考试）如图所示，在平面直角坐标系 中，直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，过点 作 轴的垂线 ，将直线 绕点 按逆时针方向旋转，旋转角为 ．(1)若直线 经过点 ，①求线段 的长；②直接写出旋转角 的度数； (2)若直线 在旋转过程中与 轴交于 点，当 、 、 均为等腰三角形时，求出符合条 件的旋转角 的度数． (3)若直线 在旋转过程中与直线 交于点 ，连 ，以 为边作等边 （点 、 、 按逆时针方 向排列），连BF．请你探究线段BE，OB与BF之间的数量关系？并说明理由． 考点五、二次函数背景下的旋转问题 26．（2024·辽宁·模拟预测）如图，抛物线 与 轴交于点 ， （点 在点 左边），与 轴交于点 ，抛物线的顶点为 ，点 在线段 （不与点 ，M重合）上，连接 ，将线段 绕点 旋转 后得到线段 ，若点 恰好落在抛物线上，则点 的坐标为 ． 27．（21-22九年级上·浙江·周测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 交 轴于点A，交 轴于点 和点 ，连接 、 、 ， 与 轴交于点 ．(1)求抛物线表达式； (2)点 ，点 在 轴上，点 在平面内，若 ，且四边形 是平行四边形． ①求点 的坐标； ②设射线 与 相交于点 ，交 于点 ，将 绕点 旋转一周，旋转后的三角形记为 ， 求 的最小值． 28．（23-24九年级上·湖北十堰·阶段练习）如图，抛物线 的图象过点 ，顶点为 ，点 在 轴正半轴上，线段 ． (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线上有点 ，使得 是以 为斜边的直角三角形，请求出 点的坐标； (3)将直线 绕点 逆时针方向旋转 所得直线与抛物线相交于另一点 ，若点 是直线 上的动点， 是否存在点 ，使 ， ， ， 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，请求出此时四边形的周长和 面积；若不存在，请说明理由． 29．（20-21九年级上·重庆沙坪坝·期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于 、B两 点，与y轴交于点C，顶点D的坐标为 ．(1)求抛物线的解析式； (2)已知直线l：y＝ x与抛物线交于E、F两点（点E在F的左侧），点G为线段 上的一个动点，过G 作y轴的平行线交抛物线于点H，求 的最大值及此时点G的坐标； (3)在（2）的条件下，如图2，若点G是 的中点，将 绕点O旋转，旋转过程中，点B的对应点 为 、点G的对应点为 ，将抛物线沿直线 的方向平移（两侧均可），在平移过程中点D的对应点为 ，在运动过程中是否存在点 和点 关于△ABF的某一边所在直线对称（ 与 不重合），若存在， 请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 30．（2024·四川成都·三模）已知抛物线 与 轴交于点 、 （ 在 的左侧），与 轴交于点 ． (1)若 ， ， ． ①求该抛物线解析式；②抛物线上点 的横坐标为 ， 点坐标为 ，连接 ， ，点 为平面内任意一点，将 绕 点 旋转 得到对应的 （点 ， ， 的对应点分别为点 ， ， ），若 中恰有 两个点落在抛物线上，求此时点 的坐标；（点 不与点 重合） (2)如图2，点 和点 在抛物线 上，其中 在点 左侧抛物线上， 点在 轴右侧抛物线上， 直线 交 轴于点 ，直线 交 轴于点 ，设直线 解析式为 ，当 ，试证 明 为一个定值，并求出定值． 考点六、二次函数的中心对称问题 31．（23-24九年级上·江苏连云港·期末）若函数图像上至少存在不同的两点关于原点对称，我们把该函数 称为“美好函数”，其图像上关于原点对称的两点叫做一对“美好点”．若点 是关于 的 “美好函数” 上的一对“美好点”，且该函数的对称轴始终位于直线 的右侧．有 下列结论① ；② ；③ ；④ ．其中正确的是（ ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 32．（2023·辽宁丹东·模拟预测）如图，对称轴为直线 的抛物线 图象与 轴交 于点 、 点 在点 的左侧 ，与 轴交于点 ，其中点 的坐标为 ，点 的坐标为 ． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图 ，若点 为抛物线上第二象限内的一个动点，点 为线段 上一动点，当 的面积最大时， 求 周长的最小值；(3)如图 ，将原抛物线绕点 旋转 ，得新抛物线 ，在新抛物线 的对称轴上是否存在点 使得 为等腰三角形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，说明理由． 33．（2024·浙江宁波·一模）若二次函数 与 的图象关于点 成中心 对称图形，我们称 与 互为“中心对称”函数． (1)求二次函数 的“中心对称”函数的解析式； (2)若二次函数 的顶点在它的“中心对称”函数图象上，且当 时，y 最大值为2，求此二次函数解析式． (3)二次函数 的图象顶点为M，与x轴负半轴的交点为A、B，它的“中心对称”函数 的顶点为N，与x轴的交点为C、D，从左往右依次是A、B、C、D，若 ，且四边形 为 矩形，求 的值． 34．（2022·四川资阳·中考真题）已知二次函数图象的顶点坐标为 ，且与x轴交于点 ． (1)求二次函数的表达式； (2)如图，将二次函数图象绕x轴的正半轴上一点 旋转 ，此时点A、B的对应点分别为点C、D． ①连结 ，当四边形 为矩形时，求m的值； ②在①的条件下，若点M是直线 上一点，原二次函数图象上是否存在一点Q，使得以点B、C、M、 Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 35．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）二次函数 的图像是抛物线，定义一种变换，先作这条抛物线关于原点对称的抛物线 ，再将得到的对称抛物线 向上平移 个单位，得 到新的抛物线 ，我们称 叫做二次函数 的 阶变换． (1)二次函数 的顶点关于原点的对称点为______，这个抛物线的2阶变换的解析式为______； (2)若二次函数 的5阶变换的关系式为 ． ①二次函数 的解析式为______； ②若二次函数 的顶点为点 ，与 轴相交的两个交点中右侧交点为 ， 是 轴上的一个动点，请求出 使 周长最小时，点 的坐标． 36．（23-24九年级上·江西宜春·阶段练习）二次函数 的图像交 轴于原点 及点 ． 感知特例： （1）当 时，如图1，抛物线 上的点 ， ， ， ， 分别关于点 中心对称的点为 ， ， ， ， ，如下表： ①补全表格： （___，___） ②请在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图像记为 ． 形成概念： 我们发现形如（1）中的图像 上的点和抛物线 上的点关于点 中心对称，则称 是 的“孔像抛物 线”．例如，当 时，图2中的抛物线 是抛物线 的“孔像抛物线”． 探究问题 （2）①当 时，若抛物线 与它的“孔像抛物线” 的函数值都随着 的增大而减小，则 的取值范围为_______； ②若二次函数 及它的“孔像抛物线”与直线 有且只有三个交点，求 的值． 37．（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）已知抛物线 与y轴交于点C，点N坐标 为 (1)求证：抛物线 与x轴有两个交点． (2)设 与x轴交于 和 ，且 ． ①当 时，利用图像求 的取值范围． ②抛物线 与 关于点A中心对称， 与x轴的另一个交点为 ．问是否存在a，使 为直角三角形？ 若存在，则求出所有可能的a值；若不存在，请说明理由． 38．（22-23九年级下·江苏南京·期中）已知函数 （a，b，c为常数，且 ）的图像是 中心对称图形．用数学软件在相同的坐标系中得到以下函数的图像（图①~④），观察并思考…… (1)函数 的图像如图⑤所示，指出常数a，b，c的正负． (2)你同意“函数 的图像的对称中心的横坐标为1”吗？判断并说明理由．(3)已知 ，直接写出关于x的不等式 的解集（用含a，c的式子表示）． 39．（23-24九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，抛物线 的顶点为 ，与x轴的交 点为A和B．将抛物线 绕点B逆时针方向旋转90°，点 ， 为点M，A旋转后的对应点， 旋转后的抛物线与y轴相交于C，D两点． (1)若原抛物线过点 ，求抛物线 的解析式； (2)若A， 关于点M成中心对称，求直线 的解析式； (3)在（2）的条件下，若点P是原抛物线上的一动点，点Q是旋转后的图形的对称轴上一点，E为线段 的中点，是否存在点P，使得以P，Q，E，B为顶点的四边形是平行四边形；若存在请求出点P坐标， 若不存在，请说明理由． 考点七、与旋转有关的最值问题 40．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，四边形 中， ， ， ， ， 为射线 上的动点，将线段 绕 点顺时针旋转 得到 ， 的最小 值为 ． 41．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，点 ，点 在x轴的负半轴上， ．将 绕点 顺时针旋转，得 ，点 旋转后的对应点为 ．记旋转角为 ．(1)如图①，当 时，求 与 的交点 的坐标； (2)如图②，连接 ，当 经过点A时，求 的长； (3)设线段 的中点为 ，连接 ，求线段 的长的取值范围(直接写出结果即可)． 42．（22-23八年级下·甘肃兰州·期末）在 中， ， ，将 绕点 顺时 针旋转一定的角度 后得到 ，点 的对应点分别是 ． (1)如图 ，当点 恰好在 上时，求 的度数； (2)如图 ，若 ，点 是边 的中点，试说明四边形 是平行四边形； (3)若 ，连接 ，在旋转的过程中， 的面积是否存在最大值？若存在，请求出其面积最 大值；若不存在，请说明理由． 43．（2024·山东济南·模拟预测）（1）如图1，在 中， ，点 是 内 部任意一点．连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ，则线段 与 的数量关系是______． （2）如图2，四边形 是正方形， 绕点 旋转 ，且 ， ，连接 ，直线 与直线 相交于点 ． ①求证： ； ②如图3，当点 在 的延长线上时，连接 ，已知 ，在 旋转的过程中，求线段的最小值． 44．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图1，在 中， ， ， ，点 在 轴上，以 为一边，在 外作等边三角形 ， 是 的中点，连接 并延长交 于 ． (1)①求点B的坐标； (2)如图2．将图1中的四边形 折叠，使点 与点 重合，折痕为 ，求 的长； (3)如图1，连接 ，在线段 上有一动点 ，连接 ， ，直接写出 的最小值为 ______； (4)若去掉题干中 这个条件，点 为 外一点，连接 ， ， ，若 ， ，则 当线段 的长度最小时， ______， 的最小值是______． 45．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图1，在平面直角坐标 中，已知点 ，点 ，将线 段 绕点B顺时针旋转 得到线段 ，作直线 ． (1)求直线 的函数表达式；(2) 是平面内一点，且 ，求n与m的关系； (3)如图2， 是x轴上一动点，将线段 绕点H顺时针旋转 得到线段 ，当 与直线 有 交点时，求h的取值范围． 46．（23-24八年级下·四川成都·期中）在 中， ．点 在 边上且 ，将 绕点B逆时针旋转a得到 （ ）． (1)如图1，当 时，求 ； (2)如图2，在旋转过程中，连接 ，取 中点 F，作射线 交直线 于点G．当 时， 求证： ； (3)如图3．当 时，点P为线段 上一动点，过点E作 射线 于点N，M为 中点，直 接写出 的最大值与最小值． 考点八、利用旋转构造图形解决问题 47．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图， 为等腰直角三角形， ， ， ，求 的长． 48．（22-23八年级下·天津和平·期中）阅读下面材料： 小诚遇到这样一个问题：如图 ，在等边三角形 内有一点 ，且 ， ， ，求 的度数； 小诚是这样思考的：如图 ，构造等边 ，利用全等转化问题，得到从而将问题解决．（1）请你回答：图 中 的度数等于______ 直接写答案 参考小诚同学思考问题的方法，解决下列问题： （2）如图 ，在正方形 内有一点 ，且 ， ， ． ①求 的度数； ②正方形的边长______ 直接写答案 （3）如图 ，在正六边形 内有一点 ，且 ， ， ，则 的度数等于 ______，正六边形的边长为______ 直接写答案 49．（2024·辽宁·模拟预测）【基础方法】 （1）小明遇到这样一个问题：如图1、在正方形 中，点 分别为 边上的点， ，连接 ，求证： 小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这 些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问 题．他的方法是将 绕点 顺时针旋转 得到 （如图 ），此时 即是 ，在图2中， 请依据小明的思考过程，求 的度数； 【方法应用】 （2）如图3，在四边形 中， ， ， ， 是 上一点，若 ， ，求 的长度； 【应用拓展】 （3）如图4，已知线段 ， ，以 为边作正方形 ，连接 ．当线段 的值最大时，求此时正方形 的面积． 50．（2024·吉林松原·模拟预测）如图，在四边形 中，已知 ， ，点 分别 在 上， ． (1)①如图①，若 都是直角，把 绕点 逆时针旋转 至 ，使 与 重合，则 线段 和 之间的数量关系为______； ②如图②，若 都不是直角，但满足 ，线段 和 之间的结论是否仍然成 立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； (2)如图③，在 中， ， ，点 均在边 边上，且 ，若 ，请直接写出 的长． 51．（23-24八年级下·广东深圳·期末）【问题感知】（1）如图1，在四边形 中， ，且 ，①请直接写出 、 、 的数量关系： ； ②证明： 平分 ； 【迁移应用】（2）如图2，四边形 中， ， ， ， ， ，计算 的长度； 【拓展研究】（3）如图3，正方形 中，E为 边上一点，连接 ，F为 边上一点，且 ， 垂直 交 于点G， ， ，直接写出正方形的边长． 52．（23-24八年级下·辽宁阜新·期末）下面是某数学兴趣小组探究问题的片段，请仔细阅读，并完成任务． 【问题探究】Rt△ABC ACB90,ACBC AB CD CD （1）如图1，在 中， ，点D在 上，连接 ，将线段 绕点C逆时针 旋转90得到线段CE，连接BE，请猜想AD和BE的数量关系与位置关系，并说明理由． 【问题再探】 （2）在（1）的条件下，连接AE．兴趣小组的同学们在电脑中用几何画板软件测量发现VCAE和△CDB的 面积相等．为了证明这个发现，甲组同学延长线段AC至F点，使CF CA，连接EF，从而得以证明（如 图2）；乙组同学过点D作DM BC于点M，过点E作EN  AC于点N，从而得以证明（如图3），请你 选取甲组或乙组中的一种方法完成证明过程． 【问题解决】 ABM ACB90,AC BC 2 2 BCD15 BM （3）如图4，已知， ，点D在AB上， ，若在射线 S S 上存在点E，使 △ACE △BCD，请直接写出相应的 BE 的长． 考点九、旋转规律探究 53．（22-23八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，长方形ABCD的两边BC，CD分别在x轴，y轴上， A1，2 ABCD A 点C与原点重合，点 ，将长方形 沿x轴向右翻滚，经过一次翻滚点A对应点记为 1，经过 A A 第二次翻滚点A对应点记为 2……依此类推，经过2022次翻滚后点A对应点 2022的坐标为（ ） 3033，2 3033,0 3029,2 3029,0 A． B． C． D． AB y B ABO A 54．（2024·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中， 轴，垂足为点 ，将 绕点 3 逆时针旋转到 VAB 1 O 1 的位置，使点 B 的对应点B 1 落在直线y 4 x上，再将 VAB 1 O 1 绕点B 1 逆时针旋转到 3 A 1 B 1 O 2 的位置，使点O 1 的对应点O 2 也落在直线y 4 x上，如此下去，……，若点 B 的坐标为0,3，则B 点 37的坐标为（ ）． 180,135 180,133 180,135 180,133 A． B． C． D． 55．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转 45 后得到正方形 OA 1 B 1 C 1，依此方式，绕点 O 连续旋转 2024 次得到正方形 OA 2024 B 2024 C 2024，如果点 A 的坐 A1,0 B 标为 ，那么点 2024的坐标为（ ）     2, 2 0, 2 1,1 1,1 A． B． C． D． 56．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A、C分别在 x、y轴上，且AO1．将正方形OABC绕原点O顺时针旋转90，并放大为原来的2倍，使AO=2AO，得 1 OABC OABC 90 AO2AO 到正方形 1 1 1，再将正方形 1 1 1绕原点O顺时针旋转 ，并放大为原来的2倍，使 2 1 ，得OA BC OA B C B 到正方形 2 2 2……以此规律，得到正方形 2025 2025 2025，则点 2025的坐标为（ ）  22025,22025  22024,22024  22024,22024  22022,22022 A． B． C． D． D1,0 A0,1 ABCD 57．（2023·山东日照·二模）如图，正方形 的中心与坐标原点O重合，将顶点 绕点 逆 D D 90 D D 90 D 时针旋转90°得点 1，再将 1绕点B逆时针旋转 得点 2，再将 2绕点C逆时针旋转 得点 3，再 D 90 D D 90 D D 将 3绕点D逆时针旋转 得点 4，再将 4绕点A逆时针旋转 得点 5……依此类推，则点 2023的坐 标是（ ） 2022,2023 2023,2022 2024,2023 2023,2024 A． B． C． D． 58．（2024九年级·全国·竞赛）如图，抛物线 l 1 ：yx(x2)0x2 交 x 轴于点 O 和点 A 1，顶点为点 B 1； l A 180 l x A B l A 将抛物线 1绕点 1旋转 后得到抛物线 2，与 轴的另一交点为点 2，顶点为点 2；将抛物线 2绕点 2180 l x A B 旋转 后得到抛物线 3，与 轴的另一交点为点 3，顶点为点 3……如此进行下去，直至得到抛物线 l l B 2015，则抛物线 2015的顶点 2015的坐标为 ． xOy ABC AC  AB5 59．（2022·湖北黄冈·模拟预测）如图，在平面直角坐标系 中， 为等腰三角形， ， BC8，点A与坐标原点重合，点C在x轴正半轴上，将ABC绕点C顺时针旋转一定的角度后得到 ABC B ABC B 1 1 ，使得点B对应点 1在x轴上，记为第一次旋转，再将 1 1 绕点 1顺时针旋转一定的角度后得 A BC A A 到 2 1 1，使得点 1对应点 2在x轴上，以此规律旋转，则第2023次旋转后钝角顶点坐标为 ． 60．（21-22九年级上·湖南长沙·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是正方形，点A的坐标 为（0，1），点B的坐标为（2，0）． 点C的坐标为 ； ②若正方形ABCD和正方形ABC B 关于点B成中心对称；正方形ABC B 和正方形ABC B 关于点B 成 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 中心对称；…，依此规律，则点C 的坐标为 ． 7